2015. tavaszi félév

´ Geometria modellezes ¨ ek ´ es ´ feluletek Egyszeru˝ gorb ¨

´ ıtog ´ epes ´ Szam´ Grafika ´ Valasek G. Hajder L. es [email protected] ¨ os ¨ Lorand ´ ´ Eotv Tudomanyegyetem Informatikai Kar

´ ev ´ 2014/2015. tavaszi fel

´ Valasek G. [email protected] Hajder L. es

´ ıtog ´ epes ´ Szam´ Grafika


Tartalom

1

´ Geometria modellezes

2

¨ ek ´ es ´ feluletek Egyszeru˝ gorb ¨ ´Altalanos ´ ´ le´ıras ¨ ek ´ Gorb Feluletek ¨




´ feladata Geometria modellezes

´ Geometriai alakzatok egzakt le´ırasa Pontok ¨ ek ´ Gorb Testek Feluletek ¨ stb.

´ esek ´ Kerd Hogyan adjuk meg ezeket a halmazokat? ˝ Hogyan lehet oket kirajzolni?




´ ´ Esettanulmany: egyenes le´ırasa

¨ elek ´ eppen, ´ ´ aul: ´ Egyenes megadhato´ tobbf peld y = ax+b x 0 1 = +λ y b a

´ Tanulsag: ´ es ´ Feladattol ´ is fugghet ´ ´ ´ Dimenziotol a modszer kivalaszt asa ¨




´ anos ´ ´ Altal le´ıras ¨ ek ´ Gorb Feluletek ¨

Tartalom

1


2






¨ ek, ´ feluletek ´ Gorb le´ırasa ¨

¨ eket, ´ ¨ e´ az egyenes es ´ a s´ık is Az gorb feluleteket (amik koz ¨ tartozik) egy-egy ponthalmaznak tekintjuk. ¨ Hogyan adjuk meg ezeket a halmazokat? explicit: y = f (x) → mi van ha vissza akarjuk ”ford´ıtani”? implicit: f (x, y ) = 0 x(t) parametrikus: p(t) = ,t ∈ R y (t)





´ ˝ Pelda # 1: fugg tengelyu˝ parabola 2D-ben ¨ oleges

˝ ´ nem altal ´ anos) ´ A fugg tengelyu˝ (tehat parabola ¨ oleges ´ le´ırasa: explicit: y = ax 2 + bx + c implicit: ax 2 − y + bx + c = 0 t x(t) parametrikus: p(t) = = ,t ∈ R y (t) at 2 + bt + c





´ ´ anos ´ ´ ¨ Pelda # 2: altal helyzetu˝ (terbeli) gomb T ¨ ´ ¨ eppont ´ ´ sugar ´ Gomb parameterei: koz ( x0 y0 z0 ) es (r ). ´ modok: ´ Le´ırasi 2 2 2 2 implicit: (x − xp 0 ) + (y − y0 ) + (z − z0 ) − r = 0 explicit: z = ± r 2 − (x − x0 )2 − (y − y0 )2 + z0 Parametrikus:



   x(t) r sin(u) cos(v ) p(t) =  y(t)  =  r sin(u) sin(v )  y (t) r cos(u) v ∈ [−π, π), u ∈ [0, π]





Tartalom

1


2






´ parabola Specialis

´ Az y tengelyu, u´ parabola ˝ (0, p) fokuszpont Implicit egyenlete: x 2 − 4py = 0 x2 Explicit egyenlete: y = 4p 2

t T Parametrikus egyenlete: p(t) = [t, 4p ] ,t ∈R





´ e´ specialis ´ parabola Kevesb

Mi van, ha a c = cx ´ a parabolat?

´ ol ´ cy ponttal akarjuk eltolni az origob

´ explicit alakban be kell vinni a (cx , cy ) Az implicit es ´ akat ´ ˝ (x − cx )2 − 4p(y − cy ) = 0 koordinat (pl. implicitbol lesz) Parametrikus alakban egyszeruen p(t) + c lesz az uj ˝ ´ alak.





´ anos ´ Altal helyzetu˝ parabola

Implicit egyenlet: Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, ´ felteve, hogy B 2 = 4AC. ´ alkalmazzak ´ Tul ´ bonyolult, ritkan

´ bonyolultabb, teljes negyzett ´ ´ Explicit: Meg e´ alak´ıtassal ˝ ´ Parametrikus: fugg tengelyu˝ parabola elforgatassal ¨ oleges h i t2 t2 p(t) = cos(φ)t − sin(φ) 4p + cx , cos(φ) 4p + sin(φ)t + cy cx , cy , t ∈ R, φ ∈ [−π, π)





¨ Kor

¨ eppont ´ ¨ egy A c ∈ R2 koz u, ´ r sugaru´ kor Implicit egyenlete: (x − cx )2 + (y − cy )2 − r 2 = 0 ´ kort ¨ le´ırni egy Explicit alakban nem tudjuk az egesz ´ ´ fuggv ennyel (DE k et darabban menne, pl. c = 0, r = 1 ¨ √ mellett y = ± 1 − x 2 , ahol x ∈ [−1, 1]) Parametrikus egyenlete: p(t) = r [cos t, sin t]T + c, ahol t ∈ [0, 2π)





Ellipszis

¨ eppont ´ ´ A c ∈ R2 koz u, az x tengellyel ´ nagytengelyevel ´ ´ 2b kistengelyu˝ ellipszis parhuzamos, 2a nagytengelyu˝ es egy 2

(y−c )2

x) Implicit egyenlete: (x−c + b2 y − 1 = 0 a2 ´ elobb ˝ Explicit alakban: lasd Parametrikus egyenlete: p(t) = [a cos t, b sin t]T + c, ahol t ∈ [0, 2π)





Ellipszis

De mi van, ha nem akarjuk, hogy x, y tengellyel ´ parhuzamosak legyenek a tengelyeink? Implicit egyenlet: Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, ´ felteve, hogy B 2 < 4AC. ´ bonyolult... Eleg

´ ellipszisbol ˝ baziscsere ´ Parametrikus egyenlete: specialis ´ evel ´ seg´ıtseg kapjuk: ha az uj ´ tengelyek k, l, akkor p(t) = a cos tk + b sin tl + c, ahol t ∈ [0, 2π) ´ l tengelyek egy szog ¨ (elforgatas) ´ seg´ıtseg ´ evel ´ k es ˝ kifejezhetoek.





Szakasz

´ pont, a, b ∈ E3 . A ket ´ ponton atmen ´ Legyen adott ket o˝ egyenes parametrikus egyenlete:

p(t) = (1 − t)a + tb, ahol t ∈ R. ¨ ¨ o˝ egyenes Ha t ∈ [0, 1], akkor az a, b pontokat osszek ot szakaszt kapjuk.





Egyenes ´ Parameteres egyenlet: p0 + λd Explicit egyenlete: y = a0 x + b0 Implicit egyenlete: ax + by + c = 0 ´ az ´ asra ´ ´ eketlen: ´ Skal erz νax + νby + νc = 0

´ AT X = 0 ahol Implicit egyenlet vektoros alakban is ´ırhato: T A= a b c T X = x y 1 ´ X skal ´ az ´ asra ´ ´ eketlen. ´ A es erz ´ koordinatak ´ ent. ´ ´ koordinat ´ ara ´ X felfoghato´ homogen Valos ´ er ´ es ´ eseten ´ a harmadik koordinat ´ aval ´ att osztani kell! ´ Valasek G. [email protected] Hajder L. es




´ egyenes metszespontja ´ Ket Implicit egyenletekkel: Elso˝ egyenes: AT1 X = 0 ´ Masodik egyenes: AT2 X = 0 ´ ´ egyenlet egyuttes ´ BX = 0, Metszespont: ket megoldasa ¨ ahol T A B = 1T A2 ´ B merete: 2 × 3, B nulltere (pontosabban: nullvektora) adja ´ a megoldast ´ koordinat ´ akban ´ ´ A nullvektor homogen adja az eredmenyt!





´ egyenes metszespontja ´ Ket ´ Parameteres egyenletekkel: (1)

Elso˝ egyenes: p0 + λ(1) d(1) (2) ´ Masodik egyenes: p0 + λ(2) d(2)

´ ´ egyenlet koz ¨ os ¨ megoldasa: ´ Metszespont: a ket (1)

(2)

p0 + λ(1) d(1) = p0 + λ(2) d(2) ´ aban ´ Mivel 2D-ben vagyunk, ez valoj 2 egyenlet. ´ ´ egyenlet megoldas ´ ab ´ ol ´ Metszespont a megfelelo˝ linearis ¨ jon:

(1) λ(1) (2) −1 p(2) − p(1) = d −d 0 0 λ(2)





Spline-ok

¨ ¨ eload ˝ as ´ lesz rola. ´ Olyan fontos gorbele´ ıro´ elem, hogy kul ¨ on





¨ ek ´ parametrikus alakja Gorb

´ Derivaltak: p(i) (t) = [x (i) (t), y (i) (t)]T , t ∈ [...], i = 0, 1, 2, ... ¨ et ´ egy mozgo´ pont paly ´ aj ´ anak ´ Ha a gorb tekintjuk, ¨ akkor az ´ a sebessegnek ´ ˝ a masodik ´ elso˝ derivalt tekintheto, a ´ gyorsulasnak stb. ´ sebesseg, ´ gyorsulas ´ eseten ´ t ∈ R az idot ˝ jeloli. ¨ Valodi





Tartalom

1


2






´ Megadas

Explicit: z = f (x, y) Implicit: f (x, y , z) = 0 Parametrikus: p(u, v ) = [x(u, v ), y(u, v ), z(u, v )]T , (u, v ) ∈ [a, b] × [c, d]





S´ık ´ ´ p0 + λ1 d1 + λ2 d2 Parameteres megadas: Implicit egyenlete: ax + by + cz + d = 0 ´ az ´ asra ´ ´ eketlen: ´ Skal erz νax + νby + νcz + νd = 0

´ AT X = 0 ahol Implicit egyenlet vektoros alakban is ´ırhato: T A= a b c d T X = x y z 1 ´ X skal ´ az ´ asra ´ ´ eketlen. ´ A es erz ´ koordinatak ´ ent. ´ ´ koordinat ´ ara ´ X felfoghato´ homogen Valos ´ er ´ es ´ eseten ´ a negyedik koordinat ´ aval ´ att osztani kell!

´ normalvektorral ´ Ponttal (p0 ) es (n) megadott s´ık implicit T egyenlete: n (p − p0 ) = 0 ´ Valasek G. [email protected] Hajder L. es




´ s´ık metszesvonala ´ Ket Implicit egyenletekkel: Elso˝ s´ık: AT1 X = 0 ´ Masodik s´ık: AT2 X = 0 ´ ´ s´ık egyuttes ´ BX = 0, ahol Metszesvonal: ket megoldasa ¨

B=

T A1 AT2

´ ´ v2 B merete: 2 × 4, B nulltere 2 vektor: v1 es Egyenes pontjai: αv1 + βv2 ´ koordinat ´ aban ´ Pontok homogen vannak, osztani kell az ´ aval ´ utolso´ koordinat





´ s´ık metszesvonala ´ Ket ´ Parameteres egyenletekkel: (1)

(1) (1)

(1) (1)

Elso˝ s´ık: p0 + λ1 d1 + λ2 d2 (2) (2) (2) (2) (2) ´ Masodik s´ık: p0 + λ1 d1 + λ2 d2

´ ´ egyenlet koz ¨ os ¨ megoldasa: ´ Metszesvonal: a ket

(1)

(1) (1)

(1) (1)

(2)

(2) (2)

(2) (2)

p0 + λ1 d1 + λ2 d2 = p0 + λ1 d1 + λ2 d2

´ aban ´ Mivel 3D-ben vagyunk, ez valoj 3 egyenlet, 4 (1) (1) (2) (2) ismeretlennel (λ1 , λ2 , λ1 , λ2 ). ´ egy parametert ´ ´ Megoldas: szabadon megvalaszthatunk, a ´ ´ ´ egyenletrendszerbol ˝ szam´ ´ ıthato. ´ masik harom a linearis ´ Valasek G. [email protected] Hajder L. es




´ Feluletek feluleti normalisa ¨ ¨ ´ ´ Defin´ıcio´ szerint a felulet egy adott pontjaban az ¨ normalisa ´ ˝ ık normalisa. ´ erint os´ A parametrikus alakban adott a felulet: ¨ n(u, v ) = ∂u p(u, v ) × ∂v p(u, v ) ´ ´ ast ´ jelenti, ∂v a v a ∂u az u parameter szerinti derival szerintit.

´ Implicit alakban (f (x, y , z) = 0) adott feluletn el ¨ n(x, y, z) = ∇f , ahol ∇f = [fx , fy , fz ]T ∂f ∂f ∂f ´ fz = ∂z ahol fx = ∂x , fy = ∂y es ´ mindez igaz mas ´ dimenzioban. ´ Megjegyzes: Pl. 2D-ben ´ ˝ ık helyett erint ´ ˝ ´ erint os´ oegyenes, 4D-ben erint o˝ als´ık...stb.





¨ Gomb Implicit: (x − cx )2 + (y − cy )2 + (z − cz )2 = r 2 Parametrikus: p(u, v ) = r [cos u sin v , sin u sin v , cos v ]T + c (u, v ) ∈ [0, 2π) × [0, π]





´ ellipszoid Specialis ´ (tengelyei parhuzamosak ´ ´ Specialis a koordinatatengellyel) ellipszoid egyenlete: Implicit:

(x−cx )2 a2

+

(y−cy )2 b2

+

(z−cz )2 c2

−1=0

Parametrikus: p(u, v ) = [a cos u sin v , b sin u sin v , c cos v ]T + c, (u, v ) ∈ [0, 2π) × [0, π]





Egyszeru˝ paraboloid Explicit:

z c

=

x2 a2

+

y2 b2 2

2

Parametrikus: p(u, v ) = [u, v , c ua2 + c vb2 ]T ´ A paraboloid tengelye a z tengellyel parhuzamos





´ Amire figyelni erdemes

´ ´ aban ´ Matematikaban altal a felfele´ mutato´ tengelynek a z tengelyt tekintik ´ ˝ ´ a ”vart” ´ kepet ´ A fenti kepletek is ennek megfeleloen adjak ´ ´ Grafikaban viszont sokszor az y mutat felfele!



2015. tavaszi félév

Recommend Documents