8/3/2013
Sudaryatno Sudirham
Pokok Bahasan mencakup 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
Fungsi dan Grafik
Pengertian Tentang Fungsi Fungsi Linier Gabungan Fungsi Linier Mononom dan Polinom Bangun Geometris Fungsi Trigonometri Gabungan Fungsi Sinus Fungsi Logaritma Natural Fungsi Eksponensial Fungsi Hiperbolik Fungsi dalam Koordinat Polar
1
2
3
4
Pembatasan Pembahasan Fungsi dan Grafik dibatasi hanya padafungsi dengan peubah bebas tunggal yang berupa bilangan nyata
Contoh:
Fungsi
panjang sebatang batang logam (= y) merupakan fungsi temperatur (= x)
Apabila suatu besaran y
Secara umum pernyataan bahwa y merupakan fungsi x dituliskan
memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x
y = f (x)
maka dikatakan bahwa y merupakan fungsi x
y disebut peubah tak bebas
x disebut peubah bebas
nilainya tergantung x
bisa bernilai sembarang
Walaupun nilai x bisa berubah secara bebas, namun nilai x tetap harus ditentukan sebatas mana ia boleh bervariasi Dalam pelajaran ini kita hanya akan melihat x yang berupa bilangan nyata. Selain bilangan nyata kita mengenal bilangan kompleks yang dibahas dalam pelajaran mengenai bilangan kompleks. 5
6
1
8/3/2013
Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku (koordinat Cartesian, dikemukakan oleh des Cartes)
Domain Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi.
Bidang dibatasi oleh dua sumbu, yaitu sumbu mendatar yang kita sebut sumbu-x dan sumbu tegak yang kita sebut sumbu-y.
Ada tiga macam rentang nilai yaitu: rentang terbuka
a
a<x
Bidang terbagi dalam 4 kuadran yaitu Kuadran I, II, III, dan IV
b
sumbu-y y 3
a dan b tidak termasuk dalam rentang Q[-2,2]
rentang setengah terbuka a≤x
-4 -3
0 -2 -1 0 -1 III
rentang tertutup
a
a≤x≤b
-2
b R[-3,-3]
a dan b masuk dalam rentang
I
1
b
a masuk dalam rentang, tetapi b tidak
sumbu-x
2 II
a
Posisi titik pada bidang dinyatakan dalam koordinat [x, y]
1
P[2,1] 2
IV
3
4
x
S[3,-2]
-3 -4
7
Kurva dari Suatu Fungsi
8
Kekontinyuan
Kita lihat fungsi: y = 0,5x
Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut.
Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y x
-1
0
1
2
3
4
dst.
y
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
dst.
Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat: (1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c; (2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita tuliskan sebagai lim f ( x) = f (c )
2,5
y
2
Kurva y = 0,5x
R
1,5
Q
1
x →c
∆y
Titik P, Q, R, terletak pada kurva
∆x
0,5
P
0 -0,5 0
1
2
3
4
x
Kemiringan kurva:
yang kita baca: limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c).
∆y ∆x
-1
(kita baca: “delta x per delta y”)
9
Contoh:
10
Simetri y = u(x)
y
1. Jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;
Terdefinisikan di x = 0
1 0
0
yaitu y|x=0 = 1
x
2. Jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.
(y untuk x = 0 adalah 1) y1
-10
-5
0 0
3. Jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.
y = 1/x Tak terdefinisikan di x = 0
5
10
x
4. Jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].
(y untuk x = 0 tidak dapat ditentukan nilainya)
y = 1/x -1
11
12
2
8/3/2013
Pernyataan Fungsi Bentuk Implisit
Contoh:
y = f (x) disebut bentuk eksplisit.
Pernyataan fungsi 6
y = 0,3x2 tidak berubah bila x diganti −x (simetris terhadap sumbu-y)
y
dapat diubah ke bentuk eksplisit
-6
-3
0
3
-3
Pernyataan bentuk implisit
y= x
y2 = x
y 2 + xy + ( x 2 − 8) = 0
x + xy + y = 8 2
y2 + x2 = 9 tidak berubah jika: x diganti −x x dan y diganti dengan −x dan −y x dan y dipertukarkan y diganti dengan −y
-6
y = 1/ x
xy = 1
y = 0,05x3 tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y (simetris terhadap titik [0,0]) x 6
0
y = 1− x2
x2 + y2 =1
3
2
Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas y
y=
x 2 − 4( x 2 − 8)
−x ± 2
2 8 y 4 x 0
-4
0
-2
2
4
-4
13
Fungsi Bernilai Banyak
Fungsi Bernilai Tunggal
Fungsi bernilai banyak adalah fungsi yang memiliki lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas
Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas Contoh:
Contoh:
8
y = 0,5 x
4
-1
1,6
y
y
0
0
1
2
14
-8
3
4
0 0
2
0,8
x
0
y=+ x 0
1
2
-0,8
y
x 2
1
-1,6
10
x
2
y
y
y=− x
x
0 0
y = x = x2
y
4
-4
-2
y = log10 x
0,8
0
2 0 0
y
2
4
1
2
x
0 0
3
-1
-5
-2
-10
1
y 2 = 1/ x
2
3
y = ± 1/ x
x 0
x
5
y=± x
1
1
2
3
4
-0,8
15
16
Sistem Koordinat Polar
Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas
Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem koordinat polar.
Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas: w = f ( x, y, z , u , v )
Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol θ
Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak, misalnya
Hubungan antara koordinat sudut siku dan koordinat polar adalah sebagai berikut
ρ2 = x2 + y2 + z 2
Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai
y
rcosθ r
ρ = + x2 + y2 + z 2
y = r sin θ
P
x = r cos θ
rsinθ
r = x2 + y2
θ x
17
θ = tan −1 ( y / x)
18
3
8/3/2013
Contoh:
Contoh:
r = 2(1 − cos θ) 3 P[r,θ]
rθ = 2 y
2
y
r
-1
θ
0,5
0 -3
r
1
1 θ -5
y=2 P[r,θ]
1,5
2
1 x
-1
0
-1
0 -0,5
1
2
3
x
-2 -1 -3
Bentuk ini disebut cardioid 19
20
Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari −∞ sampai +∞.
y=k Contoh:
y=4
y5
0
-5
0
x
5
-4
y = −3.5
22 21
Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Lurus
Persamaan Garis Lurus yang melalui [0,0]
y = mx
y 2
garis lurus melalui [0,0]
y
10
kemiringan garis lurus
6
∆x
0 0
1
2
3
4
x
kemiringan = m =
-1
∆y , ∆x
y
y − 2 = 2x
8
∆y
1
pergeseran ke arah sumbu-x
pergeseran ke arah sumbu-y
" delta y" dibaca : " delta x"
-1
0 -2
0
1
2
3
x
4
y
8
y = 2x
6
y = 0,5x
2 0 -1
-2 -4 -6
Secara umum, persamaan garis lurus yang tergeser sebesar b ke arah sumbu-y positif adalah
m>0
y=x
4
0
1
2
y = -1,5 x
3
4
x
( y − b) = mx m<0 23
menunjukkan pergeseran sebesar b ke arah sumbu-y positif
0 -2 -4
-4
Contoh:
y =2(x–1)
2 0
2
-1
y = 2x
6 4
y = 2x
4
titik potong dengan sumbu-y
8
1
2
3
x
4
titik potong dengan sumbu-x
y = m( x − a )
y = mx + b
menunjukkan pergeseran sebesar a ke arah sumbu-x positif
y = mx + a′
Bentuk umum persamaan garis lurus 24
4
8/3/2013
Contoh:
Persamaan Garis Lurus yang melalui dua titik Q
8
y
y8 memotong sumbu y di 4
6
6
P
4
[x1,y1]
y − y1 m= 2 x2 − x1
[x2,y2]
memotong sumbu x di 2
0
2
-1
0
1
2
x
-2
0 0
-1
1
2
3
-2
x
dapat dilihat sebagai garis melalui (0,0) yaitu y = -2x yang tergeser kearah sumbu-y atau tergeser kearah sumbu-x
∆y y2 − y1 0 − 4 = = = −2 ∆x x2 − x1 2 − 0
Persamaan garis: y − 4 = −2 x
Contoh: y −y 8− 4 m= 2 1 = =2 x2 − x1 3 − 1
[3,8]
8
y
6 4
persamaan garis: y − b = 2 x atau y = 2( x − a )
[1,4]
0 0
-1
1
2
3
x
-2
b=2
a = −1
y − 2 = 2x
y = 2( x + 1)
4
-4
y = 2x + 2
25
Dua garis: y1 = a1x + b1 dan
y2 = a2 x + b2
Contoh:
Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan memperoleh percepatan a
Koordinat titik potong P harus memenuhi: a1 x + b1 = a 2 x + b 2 b −b ⇒ xP = 2 1 a1 − a 2 ⇒ yP = a1xP + b1 atau y P = a2 xP + b2
y2 P
10 0 -5
y1 = 2 x + 3
y1
20
-10
F = ma
Contoh:
Contoh: 30
0
5
dan
Koordinat titik potong P harus memenuhi persamaan y1 maupun y2.
10
-10
Kuat medan listrik: E =
Titik potong: P[(5,5), 14]
-30
]
katoda l
V l
eV l F Percepatan pada elektron: a = e me
yP
-20
anoda
Gaya pada elektron: Fe = eE =
xP
y = 2 x + 3 = 2 × 5,5 + 3 = 14
v (t ) = v0 + at
Beda tegangan antara anoda dan katoda dalam tabung katoda adalah V
y2 = 4 x − 8
y1 = y 2 → 2 x + 3 = 4 x − 8 → x = 5,5
x
26
Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa Nyata
Perpotongan Garis Lurus
y
8 = 2( 3 − a )
4−b = 2
2
y = −2 x + 4
y = −2( x − 2)
atau
P dan Q Garis ini harus digeser hingga melalui P dan Q
3
-4
4
-4
m=
Persamaan garis lurus
melalui [0,0] yang sejajar y − y1 y = mx = 2 x dengan garis yang melalui x1 − x1
2
4
gaya fungsi linier dari V percepatan fungsi linier dari Fe
Apakah percepatan elektron fungsi linier dari V ? 28
27
Contoh:
Contoh: Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila tarikan yang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaya tarikan merupakan fungsi linier dari panjang tarikan. F = kx gaya
materi masuk di xa
Cx
Dalam sebatang konduktor sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i jika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus merupakan fungsi linier dari tegangan. V 1 G dan R i = GV = G= adalah tetapan R R resistansi
i V j= = A RA kerapatan arus Luas penampang konduktor
Peristiwa difusi mencapai keadaan mantap,jika konsentrasi materi Ca di xa dan Cx di x bernilai konstan
materi keluar di x
Ca
panjang tarikan konstanta pegas
Contoh:
konduktansi
Peristiwa difusi: materi menembus materi lain
R=ρ
l A
resistivitas
panjang konduktor 29
xa
∆x
gradien konsentrasi
x J x = −D
Fluksi materi yang berdifusi ke arah x
dC dx
koefisien difusi
Fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi Inilah Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi. 30
5
8/3/2013
Fungsi Anak Tangga Fungsi anak tangga satuan y = u (x)
u ( x) = 1 untuk x ≥ 0 = 0 untuk x < 0
y
2
y = u (x)
1
Fungsi ini memiliki nilai yang terdefinisi di x = 0 muncul pada x = 0
0 1
0
x
5
y = ku (x)
Secara umum
amplitudo Contoh:
y
y = 3,5u ( x )
5
0
x
0
5
y = −2,5u ( x)
-4
32
31
y = axu(x)
Fungsi Ramp
y = ku ( x − a )
Fungsi anak tangga tergeser
Fungsi ini baru muncul pada x = 0 karena ada faktor u(x) yang didefinisikan muncul pada x = 0 (fungsi anak tangga)
kemiringan
Pergeseran sebesar a ke arah sumbu-x positif
Fungsi ramp satuan : y = xu(x) Contoh: y
y = 3,5u ( x − 1)
5
Contoh:
6
y
0 0
1
x
kemiringan a = 1
y = a ( x − g )u ( x − g )
Fungsi ramp tergeser:
y2 = 2xu(x)
5
y1 = xu(x)
4
5
3 -4
y3 = 1,5(x-2)u(x-2)
2 1
Pergeseran searah sumbu-x
0 -1
1
0
3
2
x
4
33
Pulsa
34
Perkalian Ramp dan Pulsa
Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu nilai x1 tertentu dan menghilang pada x2 > x1
y = mxu( x) × A{u ( x − x1 ) − u ( x − x2 )}
persamaan : y = au ( x − x1 ) − au( x − x2 ) lebar pulsa : x2 − x1 Contoh:
y = mAx{u ( x − x1 ) − u ( x − x2 )}
lebar pulsa
Contoh:
1
y1 + y2 = 2 u(x-1) – 2 u(x-2)
0 0 -1 -2
maka y juga akan bernilai dalam selang lebar pulsa saja
y1=2u(x-1)
2
-1
pulsa hanya mempunyai nilai dalam selang lebarnya
ramp
1
2
3 x
4
y3 = y1 y2
10
= 2{u ( x − 1) − u ( x − 2)}
y
8 6
y2 = −2u(x−2)
perioda
y1=2xu(x)
4
y2=1,5{u(x-1)-u(x-3)}
2
y
Deretan Pulsa:
-1
0 0
1
2
3
4
x
5
x 35
36
6
8/3/2013
Gabungan Fungsi Ramp
y = axu( x) + b( x − x1 )u ( x − x1 ) + c ( x − x2 )u ( x − x2 ) + .......
Contoh: y3 = y1 y2 = mx{u(x)-u(x-b)}
10
y
y
8 6
Contoh: y
y1 = mxu(x)
4
y1= 2xu(x)
8
y2 = {u(x)-u(x-b)}
Kemiringan yang berlawanan membuat y3 bernilai konstan mulai dari x tertentu
4
2 0 -1
y3= 2xu(x)−2(x−2)u(x−2)
12
0
1
2
b
3
4
x
0 0
5
1
2
3
4
x
5
-4
y2= −2(x−2)u(x−2)
-8
37
Contoh:
38
Contoh:
y
y3= 2xu(x)−4(x−2)u(x−2)
15
y
y3= {2xu(x)−4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)}
15 10
10 5 0 -5
Pulsa ini membuat y3 hanya bernilai dalam selang 1≤ x ≤ 3
0
-10
1
2
3
4
x
5
y1=2xu(x) y2 lebih cepat menurun dari y1 maka y3 menurun mulai dari x tertentu
y1= 2xu(x)
5 0 0
y2= −4(x−2)u(x−2)
-5 -10
1
2
3
4
x
5
y2= −4(x-2)u(x-2)
39
40
Mononom
42 41
7
8/3/2013
Mononom
Pergeseran kurva mononom pangkat dua
Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kxn
Contoh: 10
y
y=
5x2
y3 = 10(x−2)2 + 30
Karena x2 ≥ 0,maka jika k > 0 → y > 0 jika k < 0 → y < 0
y = kx 2
Mononom Pangkat Dua:
100
3x2
y=
y1 = 10x2
9 8
y
Pergeseran ke arah sumbu-y positif
50
y2 = 10(x−2)2
7 6 5
-5
y = x2
4
-4
-3
0 -1 0 -20
-2
4x 5
3
0 -5
-3
-1
1
x
3
5
Pergeseran ke arah sumbu-x positif
y = −2x 2
-60
2
-80
1
y -100
0 -2
2
-40
3
-3
1
-1
0
1
2
x
y = −10x 2
3
y memiliki nilai maksimum
y memiliki nilai minimum
43
Mononom Pangkat Genap pada umumnya Contoh:
y y1 = 2x2
Pangkat ganjil terendah: linier y
Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka berpotongan di titik P[1,k]
1 0 -1
Mononom Pangkat Ganjil
Pada mononom berpangkat genap, makin besar pangkat makin melandai kurva di sekitar titik puncak
3 2
y2 = 2x4 y3 = 2x6 -1.5
-0.5
0
0.5
1
x
-1.5
-1
-1 0
6 x 2 = 3x 4 → x 2 = 2
-3
6 4
→ x = 2 dan y = 3 2
2
Kurva : y = x 6 dan y = 3 x 4
0
x 6 = 3x 4 → x 2 = 3
0
0.5
1
x
1.5
→ x = 3 dan y =
Mononom Pangkat Tiga
y
-0.5
-2
0.5
1
1.5
x
Makin tinggi pangkat mononom, makin landai kurva di sekitar titik [0,0] yaitu titik yang merupakan titik belok Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka berpotongan di titik P[1,k]
( )4 = 12 Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0]
( 3 )6 = 81
Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu-y
y = −3x 3
-1
Kurva : y = 6 x 2 dan y = 3x 4
-0.5
y = 2x5 y = 2x3
0 -1.5
y
y = x6
y = 2x
1
1.5
8
y = 3x4
3 2
Koordinat titik potong antara kurva y = 6x2
44
45
46
Pergeseran ke arah sumbu-y positif y = 10(x−2)3 + 100
500 600
400
y = 2x 3
300
y
y = 10x3
400
Polinom
200 200
100 0 -5 -4 -3 -2 -100 -1 0
0 1
2
3
4
-200 -300 -400 -500
Mononom pangkat tiga Simetris terhadap [0,0]
x
5
-5
-3
-1
1
3
x
5
-200 -400 -600
y = 10(x−2)3 Pergeseran mononom pangkat tiga ke arah sumbu-x positif 47
48
8
8/3/2013
Polinom Pangkat Dua
150
y1=2x2
150
y2=15x
0 -10
x
0
-10
0
x = −15/2
x
10
0 10
-10
0
-150
x
10
-150
2 Sumbu simetri dari y = 2 x + 15x
y2=15x
-150
-150
Penjumlahan mononom pertama dan ke-dua: y = 2 x 2 + 15 x
y = 2 x 2 + 15 x + 13
x
0
0
10
Kurva masing-masing komponen (mononom) dari polinom:
y4 = 2x2+15x
y4 = 2x2+15x
−15/2
0 -10
y5 = 2x2+15x+13
sumbu simetri
150
y4 = 2x2+15x
y3=13
150
sumbu simetri −15/4
y
y y1=2x2
y
y
y = ax 2 + bx + c
memotong sumbu-x di: x = −
15 4
Penambahan komponen y3 = 13 memberikan: y = 2 x 2 + 15 x + 13
Koordinat titik puncak:
Perpotongan dengan sumbu-x
x = −15 / 4 = 3,75
15 0 = 2 x + 15 x ⇒ x = − 2
− 15 − 15 y = 2 + 15 + 13 = −15,125 4 4
2
2
49
50
Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga + polinom pangkat dua
Polinom Pangkat Dua secara umum y = ax2 +bx +c
y = ax3 + bx 2 + cx + d b y = a x 2 + x + c a
y
2
x1
y=
x2 0 0
b 2 − 4 ac − 4a
x=−
y2 0 -10
Pergeseran ke arah kiri sumbu-x
b 2a
2000
2
b b 2 − 4ac = a x + − 2a 4a
x
Sumbu simetri:
y
2000
b b2 = a x + +c − 2a 4a
ax2
y3 = 4 x 3 + 19 x 2 − 80 x − 200
y 2 = 19 x − 80 x − 200 y 2
y1 =
x
0
0
10
-10
-2000
Pergeseran ke arah negatif sumbu-y
-2000
Mononom pangkat tiga (y1) Dan Polinom pangkat dua (y2)
y3 memotong sumbu-x di 3 titik Hal ini tidak selalu terjadi Tergantung dari nilai koefisien y1
52
y = ax3 + bx 2 + cx + d 2000
y = ax3 + bx 2 + cx + d
2000
y2 = bx 2 + cx + d
2000
y2
2000
y2
y3 = y1 + y2 -10
10
-10
y3 = y1+y2
y1
y1 = ax
y3 = y1 + y2
15 0
y1
-10
0
3
Kasus: a kurang positif Penurunan kurva y1 di daerah x negatif tidak terlalu tajam Kurva terlihat hanya memotong sumbu-x di 2 titik Titik potong ke-3 jauh di sumbu-x negatif
15
0
-10 0
15
-2000
-2000
10
Penjumlahan: y3 = y1 + y2
51
y2
x
0
y1
4x3
y1
y1 = ax 3
-2000
Kasus: a terlalu positif Penurunan y1 di daerah negatif sangat tajam Tak ada titik potong dengan sumbu di daerah x negatif Hanya ada satu titik potong di x positif
y1 = ax = −kx 3
3
-2000
y3 = y1 + y2
a<0 Kurva y3 berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif 53
Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat
54
9
8/3/2013
Simetri jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y; jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x. jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].
• •
• •
56 55
Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat
Nilai Peubah
Koordinat titik potong dengan sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x = 0. Apabila dengan cara demikian tidak diperoleh nilai y ataupun x maka kurva tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y
Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari y dan x yang kita perhatikan Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks Contoh:
Contoh:
y2 + x2 = 1
y2 + x2 = 1
y = ± 1− x2
Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan Q[−1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,−1]
Apabila |x| > 1, maka (1 - x2) < 0 Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang
−1 ≤ x ≤ 1
xy = 1 Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y
Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang
−1 ≤ y ≤ 1 57
Asimptot
58
Jarak Antara Dua Titik
Suatu garis yang didekati oleh kurva namun tidak mungkin menyentuhnya, disebut asimptot Jika P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka Contoh:
y 2 ( x 2 − x) = x 2 + 10
y=±
PQ = ( x p − xq ) 2 + ( y p − yq ) 2
x + 10 x( x − 1) 2
Contoh: 4
y
tidak boleh < 0 agar x(x−1) > 0 haruslah x < 0 atau x > 1
0 -4
0
-4
4
[3,8]
8
y
PQ = (3 − 1) 2 + (8 − 4) 2 = 20
6 4
x
[1,4]
2
Tidak ada bagian kurva yang berada antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah asimptot dari kurva 59
0 0
-1 -2
1
2
3
x
4
-4
60
10
8/3/2013
Parabola
y = kx 2
Bentuk kurva y
P[x,y]
[0,0]
x
2
PR = ( y + p)
= ( y − p) 2 + x 2 =
y − 2 py + p + x 2
y=
Q disebut titik fokus parabola Garis y disebut direktrik
R[x,−p]
2
dapat kita tuliskan
ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga PQ = PR
Q[0,p]
PQ = (PR − p) + x
y = 0,5 x 2
Parabola
P terletak pada kurva Q terletak di sumbu-y y = −p garis sejajar sumbu-x R terletak pada garis y
y=kx2
2
Contoh:
disebut parabola
1 2 1 x = x2 2 4 × 0,5
Direktrik:
Titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya
y = − p = −0,5
Titik fokus:
Q[0,(0,5)]
2
y 2 − 2 py + p 2 + x 2 = y + p
y=
x2 4p
y=
1 2 x 4p
k=
1 4p
p=
1 4k
61
62
Lingkaran Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu yang disebut titik pusat lingkaran
Contoh: y
( x − 0,5) 2 + ( y − 0,5) 2 = r 2
1
Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r 0,5
r = x2 + y2
x2 + y 2 = r 2
r -1
persamaan lingkaran berjari-jari r berpusat di [0.0] Pergeseran titikpusat lingkaran sejauh a kearah sumbu-x dan sejauh b ke arah sumbu-y
1
[0,0]
x
0,5
r=1
-1
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
x2 + y2 = 1
Persamaan umum lingkaran berjari-jari r berpusat di (a,b) 64
63
Elips
Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan
x2 a2
Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips y
P[-c, 0]
XQ = ( x − c ) + y 2
Q[c, 0]
kwadratkan
[0,b] y
X[x,y]
[a,0]
2
sumbu pendek = 2b P[-c, 0]
Q[c, 0]
[0,−b] sumbu panjang = 2a
( x + c) 2 + y 2 = 2a − ( x − c) 2 + y 2
Elips tergeser kwadratkan
( x − p) 2
c x = ( x − c)2 + y 2 a
a 2 − 2cx +
c2 a
2
x 2 = x 2 − 2cx + c 2 + y 2
di segitiga PXQ : XP + XQ = 2a > 2c → a 2 > c 2
x
x
( x + c) 2 + y 2 = 4a 2 − 4a ( x − c) 2 + y 2 + ( x − c) 2 + y 2 a−
=1
(kita misalkan )
⇒ ( x + c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2 = 2a
sederhanakan
y2 b2
[−a,0] X[x,y]
XP = ( x + c ) 2 + y 2
XP + XQ = 2a
+
a2
+
( y − q) 2 b2
2a = 2 → a = 1
q = 0, 25
x2 a
2
+
y2 a −c 2
2
=1
x2 a
2
+
y2 b
2
=1
b 2 = a 2 − c2
( x − 0,5) 2
0
-1
0
-1 65
2b = 1 → b = 0,5
y
1
=1
1
x
2
12
+
( y − 0,25) 2 0,5 2
=1
p = 0,5 66
11
8/3/2013
Hiperbola
Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan
x2 a2
−
y2 b2
=1
b2 = c2 − a2
y
XP = ( x + c) 2 + y 2
X(x,y)
+∞
y
XQ = ( x − c ) 2 + y 2
X(x,y) Q[c,0]
P[-c,0]
x c
-c
x
XP − XQ = ( x + c ) 2 + y 2 = 2 a + ( x − c) 2 + y 2
( x + c) 2 + y 2 − ( x − c) 2 + y 2 = 2a
−∞
[-a,0] [a,0] (c / a ) x − a = ( x − c ) 2 + y 2
kwadratkan dan sederhanakan
kwadratkan
x2
y2
−
Kurva tidak memotong sumbu-y =1
a2 c2 − a2 Dalam segitiga PXQ, selisih (XP−XQ) < PQ → 2c < 2a → c2 − a2 = b2
x2 a2
−
y2 b2
Tidak ada bagian kurva yang terletak antara x = −a dan x = a
=1
persamaan hiperbola
67
68
Perputaran Sumbu Koordinat
Kurva Berderajat Dua Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua
Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu-x y
X[x,y]
( x + a) 2 + ( y + a) 2 − ( x − a ) 2 + ( y − a ) 2 = 2a
Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah Q[a,a]
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
Persamaan parabola: Lingkaran:
( x + a ) 2 + ( y + a ) 2 = 2a + ( x − a) 2 + ( y − a ) 2
x
P[-a,-a]
x + y − a = ( x − a ) 2 + ( y − a) 2
B = C = D = F = 0; A = 1; E = −4 p
B = D = E = 0;
A = 1; C = 1;
2 xy = a 2
F = −1
y
Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis y = x,
Bentuk Ax2 dan Cy2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun bentuk Bxy yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini
Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri yang terputar 45o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumnya, yaitu sumbu-x.
-5
5
0
0
x
-5
69
70
Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan, r = 1 Fungsi Cosecan csc θ =
1 1 = sin θ PQ
y
1 = sin 2 θ + cos 2 θ 1
Fungsi sinus P
r=1
-1
O [0,0]
sin θ =
PQ = PQ r
θ -θ
Q
1 x
Fungsi Cosinus P’
cos θ =
-1
Fungsi Secan sec θ =
OQ = OQ r 1 1 = cos θ OQ
Fungsi Tangent PQ sin θ = OQ cos θ P′Q −PQ tan(−θ) = = = − tan θ OQ OQ
tan θ =
Fungsi Cotangent OQ cos θ = PQ sin θ OQ OQ cot( −θ) = = = − cot θ P′Q − PQ cot θ =
72 71
12
8/3/2013
Relasi-Relasi
Relasi-Relasi cosα
y
y
sinα cosβ
cosα
sinα sinα sinβ
1
sinα cosβ sinα sinα sinβ
1
β α -1
[0,0]
β
β α
cosα sinβ 1x
-1
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cosα sinβ
β 1x
[0,0]
cosα cosβ
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
cosα cosβ
-1
Karena sin( −β) = − sin β cos( −β) = cos β
-1
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
73
74
Contoh:
Contoh:
a). sin( 2α) = sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α
b). cos( 2α ) = cos(α + α) = cos α cos α − sin α sin α = cos α − sin α 2
c).
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
d). 2
sin(α + β) + sin(α − β) = 2 sin α cos β
cos(2α) = cos 2 α − sin 2 α
1 = cos 2 α + sin 2 α
sin α cos β =
sin( α + β) + sin( α − β) 2
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
e).
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
cos(2α) + 1 = 2 cos α 2
cos(α + β) + cos(α − β) = 2 cos α cos β
cos(2α) = 2 cos 2 α − 1
f).
cos(2α) − 1 = −2 sin α 2
cos α cos β =
cos(α + β) + cos(α − β) 2
sin α sin β =
cos(α − β) − cos(α + β) 76 2
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
cos(2α) = 1 − 2 sin 2 α
cos(α − β) − cos(α + β) = 2 sin α sin β 75
Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y Fungsi Sinus y = sin(x)
y
Fungsi Cosinus y = cos(x) y
perioda
1
Fungsi Trigonometri Normal
−2π
−π
0
perioda
1
0
π
2π
x
−π
0
0
π
2π
x
-1
-1
y = sin( x ) = cos( x − π / 2) pergeseran fungsi cosinus sejauh π/2 ke arah sumbu-x positif Contoh:
sin 56 o = cos(56 o − 90 o ) = cos 34 o 77
78
13
8/3/2013
Fungsi Cotangent
Fungsi Tangent
sin θ cos θ
3
tan θ =
1 -3π/4 -π/2 -π/4
0 0 -1
π/4
π/2
3π/4
sin θ 1 = cos θ cot θ
2
-3
cot θ =
1
Rentang: -π/4 < tanθ < π/4 π/4 < tanθ < 3π/4 dst. Lebar rentang: π/2
-2
sin θ cos θ
asimptot 3
2
-3π/4 -π/2
-π/4
0 0 -1
π/4
π/2
3π/4
-2
cos θ 1 = sin θ tan θ
Rentang: 0 < tanθ < π/2 -π/2 < tanθ < 0 dst. Lebar rentang: π/2
-3
asimptot
79
3
Fungsi Secan 1 cos( x)
2
y = sec( x) =
1 0 -1,5π
-π
-0,5π
80
0
π
0,5π
Rentang: -π/2 < tanθ < π/2 π/2 < tanθ < 3π/2 dst. Lebar rentang: π
1,5π
-1 -2 -3
Fungsi Trigonometri Inversi
asimptot
Fungsi Cosecan 1 y = csc( x ) = sin( x )
3 2 1 0 -1,5π
-π
-0,5π
0
0,5π
π
Rentang: 0 < tanθ < π -π< tanθ < 0 dst. Lebar rentang: π
1,5π
-1 -2 -3
81
Sinus Inversi
y = arcsin x atau
Cosinus Inversi
Sudut y yang sinusnya = x
= sin −1 x
82
sin y = x
y y 0,5π π
1
0
1
−π −2π
x
-1
-0,5
0
0,5
1
1− x
-0,5π
cos y = 1 − x 2 tan y =
-1
0
0
1
1
x
x y = cos −1 x
0,25π
-1
-0,5
0
0,5
x
1
sin y = 1 − x 2
Kurva nilai utama 2
0 < cos-1x < π Kurva lengkap
-1 < x < 1
83
1− x2
y
0
−π
x 1− x
1π
0,75π 0,5π
y = sin −1 x
Kurva nilai utama
π
2
-0,25π
-π/2 < sin-1x <π/2 Kurva lengkap
x
y
x
y
0,25π 0
0
x = cos y
y
2π
-1
y = cos −1 x
tan y =
1− x2 x
-1 < x < 1
84
14
8/3/2013
y = tan −1 x
Tangent Inversi
x = tan y
Cotangent inversi y = cot −1 x
x = cot y
dengan nilai utama 1,5π y
π
y
0,5π
0,25π 0 -10
-3 -2 -1 0 1 -0,5π
-5
3 x
2
0
5
x
10
Kurva nilai utama
-1,5π
−
0,5π
y = tan −1 x x sin y = 1+ x2 1 cos y = 1+ x2
-0,5π
-π
π π < tan −1 x < 2 2
1+ x2
y
1
y 1
-0,25π
Kurva lengkap
1π
x
y
0,5π 0
0 < cot −1 x < π
1+ x2
-10
-5
0
x
0
5
x
y = tan −1 x 1 sin y = 1+ x2 x cos y = 1+ x2
10
Kurva nilai utama 0 < cot −1 x < π
85
86
Cosecan Inversi Secan Inversi
y = sec
−1
x = cos
−1
1 x
1 x dengan nilai utama
y = csc −1 x = sin −1
x = sec y
dengan nilai utama 0 ≤ sec −1 x ≤ π
π
y
x y
0,5π
π π ≤ csc −1 x ≤ 2 2
x
0,25π
1+ x2
0,75π
-4
-3
-2
-1
0
1
2
1+ x2
3 x 4
y = csc −1 x 1 sin y = x
-0,25π
0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
Kurva nilai utama 0 < sec −1 x < π
3
x4
1+ x2 x 1 cos y = x
sin y =
-0,5π
Kurva nilai utama −
1
y
0
1 y = sec −1 x
0,25π
−
0,5π y
x = csc y
cos y =
π π ≤ csc −1 x ≤ 2 2
tan y =
tan y = 1 + x 2 87
1+ x2 x 1 1+ x2
88
Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal yang merupakan fungsi waktu, seperti misalnya gelombang cahaya, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb Oleh karena itu kita akan melihat fungsi sinus dengan menggunakan waktu, t, sebagai peubah bebas Tiga besaran karakteristik fungsi sinus y = A sin( x + θ) = A sin( 2πf 0 t + θ) sudut fasa amplitudo
frekuensi siklus Selain frekuensi siklus, f0, kita mengenal juga frekuensi sudut, ω0, dengan hubungan
ω0 = 2πf 0 90 89
15
8/3/2013
Fungsi sinus adalah fungsi periodik yaitu fungsi yang memenuhi hubungan
Contoh: Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan oleh besaran karakteristik fungsi sinus penyusunnya
f (t − T0 ) = f (t ) perioda
Hubungan antara frekuensi siklus dan perioda adalah: f0 = y
0
4
T0
0
t
15
-5
y = 3 cos 2f0t
-4
A
T0
4
-5
1 T0 y
A
y
4 y
15 -4
t
y = 1 + 3 cos 2f0t
y 1
0 -A
0
t
0 0
Ts
0
t
t
-5
-5
15
-A
-4
y = 1 + 3 cos 2πf 0 t − 2 cos( 2π( 2 f 0 )t + π / 4)
y = 1 + 3 cos 2 πf 0 t − 2 cos( 2π( 2 f 0 )t )
Karena fungsi sinus adalah fungsi periodik maka gabungan fungsi sinus juga merupakan fungsi periodik walaupun tidak berbentuk sinus.
15 -4
Perbedaan amplitudo, frekuensi, dan sudut fasa menentukan bentuk gelombang gabungan 92
91
Contoh:
Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan juga oleh jumlah komponen sinus yang terlibat
Gabungan fungsi sinus yang membentuk gelombang persegi
Komponen-komponen sinus yang terlibat dalam pembentukan gelombang gabungan disebut harmonisa Komponen sinus dengan f0 disebut komponen fundamental
sinus dasar (fundamental).
Di atas komponen fundamental adalah
harmonisa-3 dan
harmonisa-5 dan
sinus dasar + harmonisa-3.
sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5.
Harmonisa ke-2 dengan frekuensi 2f0 Harmonisa ke-3 dengan frekuensi 3f0 Harmonisa ke-4 dengan frekuensi 4f0 dst. Gabungan fungsi sinus juga mungkin mengandung fungsi tetapan yang disebut komponen searah harmonisa-7 dan
hasil penjumlahan sampai pada harmonisa ke-21.
sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7. 93
94
Spektrum Contoh:
Jika gabungan fungsi sinus membentuk gelombang periodik yang tidak berbentuk sinus (non-sinus) maka bentuk gelombang non-sinus dapat diuraikan menjadi komponen-komponen sinus
Suatu persamaan gelombang:
y = 10 + 30 cos( 2πf 0t ) + 15 cos( 2π2 f 0t − π / 2) + 7,5 cos( 2π4 f 0t + π)
Komponen-komponen sinus itu membentuk suatu spektrum. Ada dua spektrum yaitu Spektrum Amplitudo dan Spektrum Sudut-fasa
Frekuensi
0
f0
2 f0
4 f0
Amplitudo
10
30
15
7,5
Sudut fasa
−
0
−π/2
π
Makin tinggi frekuensi harmonisa, makin rendah amplitudonya. Frekuensi tertinggi, fmaks, adalah frekuensi harmonisa yang amplitudonya sudah dapat diabaikan.
2π
Frekuensi terendah, fmin, adalah frekuensi komponen fundamental yaitu 1, atau 0 jika spektrum mengandung komponen searah
Sudut Fasa
Amplitudo
40 30 20 10 0 0
Lebar Pita Lebar pita frekuensi suatu spektrum adalah selang frekuensi yang merupakan selisih fmaks dan fmin
1
2 3 Frekuensi [×f0]
4
Spektrum Amplitudo 95
5
π/2 0 0 −π/2
1
2
3
4
5
−2π Frekuensi [×f0]
Spektrum Sudut-fasa 96
16
8/3/2013
Deret Fourier Contoh:
Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyal tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier f (t ) = a 0 +
y
a0 = 2 A / π
A
4A / π n genap; an = 0 n ganjil 1 − n2 bn = 0 untuk semua n an =
∑[an cos(2πnf0t ) + bn sin(2πnf0t )]
t
T0
fungsi periodik Koefisien Fourier Contoh:
Contoh: y
a0 = A / π
y
an =
an = 0 untuk semua n
n genap; a n = 0 n ganjil 1− n2 b1 = A / 2 ; bn = 0 n ≠ 1
t
T0
a0 = A / 2
A
2A / π
t
T0
bn = −
A untuk semua n nπ
97
98
Bilangan Natural Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangan e Bilangan e ini, seperti halnya bilangan π, adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakang koma, nilainya adalah e = 2,7182818284
ln e = 1
ln e a = a ln e = a
100 99
Fungsi Logaritma Natural Definisi ln x
Sifat-Sifat
6
y
5 4
luas bidang antara fungsi 1/t dan sumbu-x ln x yang dibatasi oleh t = 1 dan t = x
1/t
3
ln x =
2 1 0 0
Kurva y = ln x y
1
2
x
4
ln x n = n ln x ln e = 1 ln e x = x
t
ln x bernilai negatif untuk x < 1
2
y = ln x
1,5
ln e = 1
3
x1
∫1 t dt
ln ax = ln a + ln x x ln = ln x − ln a; a
1 0,5 0 -0,5
0
1
2
e
3
x
4
-1 -1,5 -2
e = 2,7182818284….. 101
102
17
8/3/2013
Fungsi Eksponensial Antilogaritma
Antilogaritma adalah inversi dari logaritma
x = ln y Fungsi Eksponensial
y = ex Fungsi eksponensial yang sering kita jumpai adalah fungsi eksponensial dengan eksponen negatif
y = e − ax u ( x) ; x ≥ 0 Faktor u(x) membuat fungsi ini muncul pada x = 0 Namun demikian faktor ini biasa tidak lagi dituliskan dengan pengertian bahwa fungsi eksponensial tetap muncul pada t = 0 104 103
y
1
e−2x
0,6
y = Ae −at u (t ) = Ae −t / τ u (t )
Makin negatif eksponen fungsi ini, makin cepat ia menurun mendekati sumbu-x
e− x
0,8
Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A dengan waktu sebagai peubah bebas adalah
y = e − ax
Kurva Fungsi Eksponensial
yang dituliskan dengan singkat
τ = 1/a disebut konstanta waktu
0,4
makin kecil τ, makin cepat fungsi eksponensial menurun
0,2 0
y = Ae − at = Ae −t / τ
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
x
4
Pada saat t = 5τ, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari A Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36% dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x = 0), pada saat x = 1/a
fungsi eksponensial dianggap sudah bernilai nol pada t = 5τ
Pada saat x = 5/a, kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-x, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari nilai awalnya Oleh karena itu fungsi eksponensial biasa dianggap sudah bernilai nol pada x = 5/a 105
106
Gabungan Fungsi Eksponensial y1 = Ae − t / τ1 y 2 = Ae − t / τ2
A
(
y = A e − t / τ1 − e − t / τ 2
0
1
2
3
4
t/τ
)
5
107 108
18
8/3/2013
Fungsi Hiperbolik
Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik
Definisi Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsi hiperbolik, seperti
y
cosh x =
e +e 2 x
−x
; sinh x =
e −e 2 x
2
−x
y1 =
y = sinh x =
0
-2
-1
-1
0
x
1
e x − e− x 2
2
y2 = −
-2
cosh x e x + e − x coth x = = sinh x e x − e − x
1 2 = ; cosh x e x + e − x
sech x =
1
1 x e 2
Fungsi hiperbolik yang lain sinh x e x − e − x tanh x = = ; cosh x e x + e − x
4 3
cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh)
1 −x e 2
-3 -4
1 2 = sinh x e x − e − x
csch x =
109
cosh x =
e x + e− x 2
4 y
110
4
y
y = cosh x
3
3
2
y1 =
1
1 x e 2 -1
-1
2
y = sinh x
0 -2
0
x
1
2
1
y = sech x =
-2 0 -3
-2
-1
0
-4
x
1
2
-1
111
y = csch x =
112
1 sinh x 4
y
4
y = coth x =
y 3
3
y = sinh x
2
cosh x sinh x
2 1
y = tanh x =
1 0
0 -2
-1
-1
0
1 cosh x
1
x
-2
-1
0
1
x
sinh x cosh x
2
-1
2
-2
y = coth x
-2
-3
-3 -4
-4
y = csch x 113
114
19
8/3/2013
Identitas Jika untuk sin x dan cos x kita kenal hubungan:
cos2 x + sin 2 x = 1 untuk sinh x dan cosh x terdapat hubungan e 2 x + 2 + e −2 x e 2 x − 2 + e −2 x 4 − = =1 4 4 4
cosh 2 x − sinh 2 x =
cosh 2 v − sinh 2 v = 1
Beberapa Identitas:
1 − tanh 2 v = sech 2v coth 2 v − 1 = csch 2v cosh v + sinh v = e v
cosh v − sinh v = e −v 115 116
Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[0,0] dalam koordinat sudut-siku adalah
Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku
x2 + y2 = c2
y •
yP
P(xP ,yP)
P[r,θ]
θ [0,0]
yP = r sin θ
y
xP = r cos θ
r
r θ
x
xP
[0,0]
x
Dalam koordinat polar persamaan ini menjadi (r cos θ) 2 + ( r sin θ) 2 = c 2 117
Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,0] dalam koordinat sudut-siku adalah
118
Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,b] dalam koordinat sudut-siku adalah
( x − a) 2 + ( y − b) 2 = c 2
( x − a) 2 + y 2 = c 2
y
y
r
r θ
b
θ
x
[0,0]
[0,0]
x a
a
Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi
Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi (r cos θ − a ) 2 + ( r sin θ − b) 2 = c 2
(r cos θ − a) 2 + (r sin θ) 2 = c 2 119
120
20
8/3/2013
Contoh:
Contoh:
r = 2(1 − cos θ)
r 2 = 16 cos θ
3 P[r,θ]
y
3
2 1 θ -3
-1
P[r,θ] r
1
0 -5
y
2
r
1 x
-1
-5
-3
-1
0
θ
1
x 5
3
-1
-2
-2
-3
-3
Bentuk ini disebut cardioid 121
Contoh:
122
Persamaan Garis Lurus
rθ = 2 y y
2 P[r,θ]
1,5
P[r,θ]
r
1
r
θ
0,5 -1
l1
y=2
0
0 -0,5 θ = π θ = 3π -1
1
2
x
θ
3
a
O
θ = 4π θ = 2π
x l1 : r cos θ = a
123
124
y
b
l3 : r cos(β − θ) = a
l2
l3
r
r A θ
O
P[r,θ]
y
l 2 : r sin θ = b P[r,θ]
a
θ
x
β
α O
125
x
126
21
8/3/2013
Parabola, Elips, Hiperbola Eksentrisitas
y
Eksentrisitas: es =
y D
l 4 : r cos(θ − β) = a
P[r,θ]
P[r,θ]
titik fokus
l4
r θ A
B
F
r θ
r = es (k + r cos θ) = es k + es r cos θ r=
direktriks
β O
x
Parabola:
es = 1
Elips:
es < 1
r=
r=
Hiperbola: es > 1
Lemniskat dan Oval Cassini
Lemniskat
Kurva-kurva ini adalah kurva pada kondisi khusus, yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang hasil kali jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan θ = π/2
0,5 × k k = 1 − 0,5 cos θ 2 − cos θ
(PF1 )
(PF2 )
2
2
= r 2 + a 2 + 2ar cos θ
Kurva dengan
(
2
θ = π/2 1
a=1
θ = π/2
= (r sin θ ) + (a − r cos θ ) 2
0,6
0,5
= r 2 + a 2 − 2ar cos θ
Misalkan PF1 × PF2 = b 2
)(
b = r + a + 2ar cos θ × r + a − 2ar cos θ 4
128
Kondisi khusus: k > 1, misal k = 1,1
θ=0 F2[a,0]
= (r sin θ) + (a + r cos θ ) 2
(misal es = 2)
r 2 = 2a 2 cos 2θ
r F1[a,π]
2
2
2
2
0,2
θ=π
)
-1,5
-1
0 -0,5 0 -0,2
θ=0 0,5
1
θ=π
k 4 a 4 = r 4 + a 4 − 2a 2 r 2 cos 2θ
r = a cos 2θ ± a 2
Oval Cassini
2
2
-2
-1
cos 2θ − (1 − k )
0
1
2
-0,5
0 = r 4 − 2a 2 r 2 cos 2θ + a 4 (1 − k 4 ) 2
θ=0
0
1,5
4 4 2 2 = r 4 + a 4 + 2a 2 r 2 (1 − 2 cos 2 θ) = r + a − 2 a r cos 2θ
Buat b dan a berrelasi b = ka
(misal es = 0,5)
r 2 = a 2 cos 2θ ± a 2 cos 2 2θ − (1 − k 4 )
Kondisi khusus: k = 1
P[r,θ]
θ
θ=π
es k 1 − es cos θ
k 1 − cos θ
2× k r= 1 − 2 cos θ
127
2
Dengan pengertian eksentrisitas ini kita dapat membahas sekaligus parabola, elips, dan hiperbola.
x
k
a
PF r = PD k + r cos θ
-0,6 -1
4
129
130
r 2 = a 2 cos 2θ ± a 2 cos 2 2θ − (1 − k 4 )
Kondisi khusus: k < 1, misalkan k = 0,8 θ = π/2
Fungsi dan Grafik
1,5 1 0,5
θ=π -2
Sudaryatno Sudirham
θ=0
0 -1
0
1
2
-0,5 -1 -1,5
131
132
22
