2013. Nur Insani, M.Sc

9/30/2013

Logika & Himpunan

2013

KALKULUS PERNYATAAN • Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru lewat penggunaan operator logika: negasi (-), dan (^), atau (v), jika..maka (), bila dan hanya bila (), d ekuivalen dan k i l (ek). ( k) • Proposisi baru yang dihasilkan dari kombinasi tersebut disebut dengan proposisi majemuk (compound proposition)

Totologi & Kontradiksi Nur Insani, M.Sc

2

Tingkat Kekuatan Operator -

Tabel Kebenaran • Setiap pernyataan dalam pernyataan majemuk dinamakan pernyataan tunggal. • Hasil akhir setiap pernyataan majemuk diwakili oleh satu kolom. • Nilai diletakkan pada kolom yang memuat operator logika. • Perhitungan dilakukan berdasar letak pernyataan dalam tanda kurung.

WEAKER

Λ V

  3

Nur Insani - [email protected]

4

Universitas Negeri Yogyakarta

1

9/30/2013

Logika & Himpunan

2013

Contoh • Bagaimana bila 3 pernyataan ? • Permutasi 3 unsur : 2³ = 8 komposisi nilai. 2ⁿ.. • Permutasi n unsur : 2 Contoh : 3 pernyataan (p,q,r)

p

q

r

B

B

B

B B

B S

S B

B

S

S

S

B

B

S

B

S

S S

S S

B S

• Bagaimana tabel kebenaran dari pernyataan majemuk : (p ‫ ר‬q) ‫( ש‬r ‫¬ ר‬q) • Jawab: p ‫ ר‬q ‫ ש‬r ‫ ¬ ר‬q

5

B

B

B

B

B

S

S

B

B

B

B

S

S

S

B B

B

S

S

B

B

B

B

S

B S

S S

S B

S S

S B

S S

B S

S B

S

S

B

S

S

S

S

B

S

S

S

B

B

B

B

S

S

S

S

S

S

S

B

S

6

TOTOLOGI • Bagaimana tabel kebenaran pernyataan majemuk : a. b b. c. d.

dari

Setiap pernyataan majemuk yang bernilai benar, untuk setiap nilai kebenaran komponen-komponennya, disebut tautologi.

p ‫~( ש‬q → r) ~p p ↔ (q ‫~ ר‬r) r) (p → q) ‫~( ש‬p ‫ ש‬r) (p ‫ ש‬q) ‫( ר‬r ‫ ש‬s)

7



2

9/30/2013

Logika & Himpunan

Contoh

2013

Tautologi

• Saya mahasiswa atau bukan mahasiswa ~p ‫ ש‬p • a‫ש‬b↔b‫ש‬a ( ) • a ↔ ~(~a)

• Jika Tautologi dipakai pada suatu argumen, berarti argumen harus mempunyai nilai B pada seluruh pasangan pada tabel kebenaran yang ada, membuktikan argumen tadi Valid.

• Lihat Contoh Totologi Implikasi & Totologi Biimplikasi pada buku Logika & Himpunan hal 34 – 35.

9

10

KONTRADIKSI • Cari apakah pernyataan dibawah ini valid atau tidak menggunakan tabel kebenaran: a. b b. c. d.

p ‫¬ ש‬p p ‫(( ר‬p ‫ ש‬q) ‫ ר‬q) (p → ¬q) → (¬q → p) ((p → q) ‫¬( ר‬q ‫ ש‬r)) → (p → r)

•Setiap pernyataan majemuk yang bernilai salah, untuk setiap nilai kebenaran komponen-komponennya, disebut kontradiksi. Karena kontradiksi selalu bernilai salah, maka kontradiksi merupakan ingkaran dari tautologi dan sebaliknya.

11



3

9/30/2013

Logika & Himpunan

2013

Contoh

KONTINGEN

• Pratiwi seorang mahasiswa dan bukan mahasiswa. (pp)

• Kontingen – Pernyataan yang memiliki nilai kebenaran yang merupakan kombinasi dari Benar dan Salah.

Pernyataan ini selalu bernilai salah, tidak tergantung pada nilai kebenaran dari “Pratiwi seorang mahasiswa” maupun “Pratiwi mahasiswa Pratiwi bukan mahasiswa mahasiswa”.

• a ↔ ~a • (a  b)  ~a

13

14

FUNGSI NILAI KEBENARAN

Contoh

• Pada himpunan bilangan, – Operasi bilangan dapat dinyatakan dalam notasi fungsi. – Contoh: 5 + 2 = 7 dapat d t dinyatakan di t k sbg b +(5, (5 2) = 7 5 x 2 = 10 dapat dinyatakan sbg x(5, 2) = 10

• a‫ש‬b • ab • ab→c

15



4

9/30/2013

Logika & Himpunan

2013

Contoh

FUNGSI NILAI KEBENARAN • Pada himpunan pernyataan, – Operasi pernyataan dapat dinyatakan dalam notasi fungsi, yg domain dan rangenya adalah himpunan nilai kebenaran. Range

– Fungsi ini mrp fungsi konstan. 2 – Domain fungsi ini: W  ( B, B ), ( B, S ), ( S , B ), ( S , S ) – Secara mudah dpt ditentukan Range dari fungsi tsb, yaitu: →( (B, B), B)=B →( (B, S), B)=B →( (S, B), S)=B →( (S, S), S)=B 18

Domain  (a,b)

‫( ש‬a,b)

→(a,b)

↔ (a,b)

(B,B)

B

B

B

B

(B,S)

S

B

S

S

(S,B)

S

B

B

S

(S,S)

S

S

B

B

• ~p → (q v (r  s)) dapat dinyatakan dlm notasi fungsi : →(~p , ‫( ש‬q, (r, s))). • p  q → p dapat dinyatakan dlm notasi fungsi sebagai →( (p, q), p).

Contoh • Apabila range suatu fungsi kebenaran = {B}, maka fungsi tersebut mrp totologi. • Apabila range suatu fungsi kebenaran = {S}, g tersebut mrp p kontradiksi. maka fungsi

MENENTUKAN NILAI KEBENARAN PERNYATAAN MAJEMUK DGN ARITMATIKA • Cara lain utk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk yaitu dgn prosedur aritmatika sbb: Pernyataan majemuk

• Secara umum, jika suatu pernyataan majemuk memuat n pernyataan tunggal yg berbeda, maka domain dari fungsi kebenaran utk pernyataan majemuk tsb = W n

~a

Prosedur aritmatika 1+a

a  b

a + b + ab

aVb

ab

a →b

(1+a) b

a ↔ b

a+b

19



5

9/30/2013

Logika & Himpunan

MENENTUKAN NILAI KEBENARAN • Jika pernyataan majemuk bernilai: B maka hasil perhitungan aritmatika bernilai 0. S maka hasil perhitungan aritmatika bernilai 1. • Ingat: g • 1+1=0 • a v a ↔ a maka dlm prosedur aritmatika dinyatakan sbg aa = a • a ↔ a (selalu bernilai benar), maka dlm prosedur aritmatika dinyatakan sbg a + a = 2a = 0 • a(a+1)=0

Penyederhaan dan Bentuk Normal dari Kalimat Logika • Dalam bentuk normal hanya terdapat operator logika utama ( ~,  dan ) • Ada dua macam: – CNF (Conjunctive normal form) – DNF (Disjunctive normal form)

2013

Contoh • Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut dgn prosedur aritmatika: pq→pr  (1+(p  q))(p  r)  (1+ (1 p+q+pq)) pr  pr + p^2r + pqr + pqr  2pr + 2pqr  0 + 0 = 0 (B)

Prosedur merubah bentuk proposisi majemuk ke dalam bentuk normal 1. Eliminasi koneksi →, ↔ dengan menggunakan hukum Implikasi dan Bikondisional g (j (jika p perlu)) 2. Gunakan hukum De Morgan 3. Gunakan hukum Negasi Ganda (jika perlu) 4. Gunakan hukum Distributif (jika perlu)



6

9/30/2013

Logika & Himpunan

2013

• Ingat :

p q (pq)(qp) Hukum Implikasi : p  q ~ p  q ~ (p ~ q) Hukum Bikondisional (Biimplikasi)

pq  p q ~ (p ( q ) p ~ q

:

pq ~ (~a ~ b)

p q (pq)(~p~ q)

pq ~ pq ~ qp

pq ~ (~a ~ b)

Contoh • (p → (~q→r))  (p→~q)  (~p(~q → r))  (p→~q)  (~p(~(~q)r))  (p→~q)  (~pqr)  (p→~q)  (~pqr)  (~p~q)

• Ingat : H k Hukum D Morgan De M Hukum Negasi Ganda: Hukum Distributif :

p  q   p  q :p  q   p  q pp p  (q  r) ≡ (p  q)  (p  r) p  (q  r) ≡ (p  q)  (p  r)



7

9/30/2013

Logika & Himpunan

Contoh • (p → q) → (pr → qs)  (~pq) → (pr → qs) p q) → ((~(pr) (p )  (q (qs)) ))  ((~pq)  (~pq) → ((~p~r)  (qs))  ~(~pq)  ((~p~r)  (qs))  (p~q)  (~p~r)  (qs)

2013

Soal • Tentukan bentuk normal untuk kalimat: • (( a  b)  ~a ) ~ b • ~(p  q)  (~p ~r)



8

2013. Nur Insani, M.Sc

Recommend Documents