28/09/2012
SAMPLE SPACE, SAMPLE POINTS, EVENTS
Sample space,Ω, space Ω adalah sekumpulan semua sample points,ω, points ω yang mungkin; dimana ω∈Ω
Contoh 1. Melemparkan satu buah koin:Ω={Gambar,Angka} Contoh 2. Menggelindingkan dadu: Ω={1,2,3,4,5,6} Contoh 3. Jumlah pelanggan dalam antrian: Ω={0,1,2,…} Contoh 4. Waktu pendudukan panggilan (call holding time): Ω={x∈ℜ⏐x>0}
Events A,B,C,… ⊂ Ω adalah himpunan bagian dari sample space Contoh 1. Angka genap pada sebuah dadu:A={2,4,6} Contoh 2 2. Tidak ada pelanggan yang ang mengantri : A={0} A {0} Contoh 3. Call holding time lebih dari 3 menit. A={x∈ℜ⏐x>3}
Event yang pasti : sample space Ω Event yang tidak mungkin : himpunan kosong (∅)
2
1
28/09/2012
KOMBINASI EVENT
Union (gabungan) :“A atau B” : A∪B={ω∈Ω⏐ω∈A atau ω∈B} Irisan: “A dan B” : A∩B={ω∈Ω⏐ω∈A dan ω∈B} Komplemen : “bukan A”:Ac={ω∈Ω⏐ω∉A} Event A dan B disebut tidak beririsan (disjoint) bila : A∩B=∅ Sekumpulan event {B1,B2,…} merupakan partisi dari event A jika
(i) Bi ∩ Bj=∅ untuk semua i≠j (ii) ∪iBi =A
3
Back to Six
PROBABILITAS (PELUANG) Probabilitas suatu event dinyatakan oleh P(A) P(A)∈[0,1] Sifat-sifat peluang
4
2
28/09/2012
CONDITIONAL PROBABILITY (PELUANG BERSYARAT) Asumsikan bahwa P(B)>0 Definisi : Conditional probability dari suatu event A bila diketahui event B terjadi didefinisikan sebagai berikut
Dengan demikian
5
TEOREMA PROBABILITAS TOTAL
Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space Ω Lalu {A∩Bi} merupakan partisi dari event A, maka berdasarkan sifat probabilitas yang ketujuh pada slide nomor 4
Kemudian asumsikan bahwa P(Bi)>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5 dapat didefinisikan teorema probabilitas total sbb 6
3
28/09/2012
TEOREMA BAYES
Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space Ω Asumsikan bahwa P(A)>0 dan P(Bi)>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5
Kemudian, berdasarkan teorema probabilitas total, kita peroleh
Ini merupakan teorema Bayes
Peluang P(Bi) disebut peluang a priori dari event Bi Peluang P(Bi⏐A) disebut peluang a posteriori dari event Bi (bila diketahui event A terjadi) 7
KESALINGBEBASAN STATISTIK DARI EVENT (STATISTICAL INDEPENDENCE OF EVENT) Definisi : Event A dan B saling bebas (independent) jika
Dengan demikian
Demikian pula
8
4
28/09/2012
PEUBAH ACAK (RANDOM VARIABLES) Definisi : Peubah acak X (yang merupakan bilangan riil [real-valued]) adalah fungsi bernilai riil dan dapat diukur yang didefinisikan pada sample space Ω;X: Ω →ℜ Setiap titik sample (sample points) ω∈Ω dihubungkan dengan sebuah bilangan riil X(ω) Dengan kata lain : memetakan setiap titik sample ke sebuah bilangan riil menggunakan peubah acak X
9
CONTOH Sebuah koin dilempar tiga kali; setiap lemparan akan menghasilkan head (H) atau tail (T) Sample space: Misalnya peubah acak X merupakan jumlah total tail (T) dalam ketiga eksperimen pelemparan koin tersebut maka : tersebut,
10
5
28/09/2012
PROBABILITY DISTRIBUTION FUNCTION (PDF) Definisi : PDF dari suatu p peubah acak X adalah fungsi g FX: ℜ → [[0,1] , ] yyangg didefinisikan sebagai berikut PDF menentukan distribusi dari peubah acak Sifat
11
KESALINGBEBASAN STATISTIK DARI PEUBAH ACAK (STATISTICAL INDEPENDENCE OF RANDOM VARIABLES) Definisi : Peubah acak X dan Y saling bebas jika untuk semua x dan y
Definisi : Peubah acak X1, …,Xn saling bebas jika untuk semua i dan xi
12
6
28/09/2012
PEUBAH ACAK DISKRIT Definisi : himpunan A⊂ℜ disebut diskrit bila
Terbatas : A={x1,…,xn}, atau Tak terbatas : A={x1,x2,…} Definisi : p peubah acak X disebut diskrit bila terdapat p sebuah himpunan p diskrit Sx⊂ℜ sedemikian hingga
Maka
P{X=x} ≥ 0 untuk semua x ∈ Sx P{X=x} = 0 untuk semua x ∉ Sx Himpunan Sx disebut himpunan nilai (value set)
13
PELUANG TITIK (POINT PROBABILITIES) Misalkan X adalah p peubah acak diskrit Distribusi X ditentukan oleh peluang titik pi
Definisi : probability mass function (pmf) dari X adalah merupakan fungsi pX: ℜ → [0,1] yang didefinisikan sbb
Pada kasus ini, PDF merupakan fungsi step
14
7
28/09/2012
CONTOH
15
KESALINGBEBASAN PEUBAH ACAK Peubah acak diskrit X dan Y dikatakan saling bebas jika dan hanya jika untuk semua xi∈SX dan yj∈Sy
16
8
28/09/2012
EKSPEKTASI (HARAPAN,RATAAN)
Definisi : Harga g ekspektasi p ((rata-rata/mean / value)) dari X dinyatakan y oleh
Sifat-sifat
17
VARIANCE
Definisi : Variance dari X didefinisikan sbb
Rumus yang bermanfaat
Sifat-sifat
18
9
28/09/2012
COVARIANCE
Definisi : Covariance antara X dan Y didefinisikan sbb Rumus yang bermanfaat Sifat-sifat
19
PARAMETER LAIN YANG BERHUBUNGAN DENGAN DISTRIBUSI Deviasi standard dari X
Momen ke-k dari X
20
10
28/09/2012
DISTRIBUSI BERNOULLI
Menyatakan suatu eksperimen acak dengan dua keluaran yang mungkin Sukses (1) Gagal (0)
Nilai 1 berpeluang p (nilai 0 berpeluang (1-p))
21
DISTRIBUSI BINOMIAL
Menyatakan jumlah sukses dalam sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masingmasing eksperimen bersifat Bernoulli);
22
11
28/09/2012
DISTRIBUSI GEOMETRIK
Menyatakan jumlah sukses yang terjadi sampai didapatkan kegagalan yang pertama dari sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli) p = peluang sukses dalam suatu eksperimen
23
DISTRIBUSI POISSON
Limit dari distribusi binomial dimana n →∞ dan p → 0,, sedemikian hingga gg np p→a
24
12
28/09/2012
CONTOH
Asumsikan
200 pelanggan terhubung ke sentral lokal Trafik setiap pelanggan adalah 0.01 Pelanggan saling bebas Maka jumlah panggilan yang aktif X ~ Bin(200,0.01) Pendekatan Poisson X ≈ Poisson(2,0) Peluang titik
25
PEUBAH ACAK KONTINU
Definisi : peubah acak X kontinu jika terdapat fungsi yang dapat diintegralkan fX:ℜ→ℜ+, sedemikian hingga untuk semua x∈ℜ
Fungsi fX disebut probability density function (pdf) Himpunan SX, dimana fX>0 disebut value set
Sifat-sifat
26
13
28/09/2012
CONTOH
27
EKSPEKTASI DAN PARAMETER LAIN
Ekspektasi (nilai rata-rata/mean value) dari X didefinisikan sbb
Note 2: Jika , maka Sifat sama dengan distribusi diskrit Parameter distrubusi lainnya didefinisikan dan memiliki sifat yang sama seperti pada distribusi diskrit
28
14
28/09/2012
DISTRIBUSI UNIFORM (X~U(A,B), A
29
DISTRIBUSI EKSPONENSIAL (X~EXP(Λ), Λ>0) Versi kontinu dari distribusi geometrik (peluang gagal ≈ λdt)
30
15
28/09/2012
LATIHAN 1. Diketahui peubah acak kontinue memiliki pdf sbg berikut fx(x)=cx-3. 1.Hitunglah c. 2.Mean dari peubah acak tsb. 3.Fx(X) 2. Ukuran paket data pd internet dapat dimodelkan sbg peubah acak pareto yang 1 Fx ( x) = Pr ( X ≤ x) = 1 − a , x ≥ 1, a > 0 memiliki persamaan, x 1.Tentukan pdf dr peubah acak x 2.Tentukan expected value dari x. 3.Tentukan rentang nilai a agar expected value memiliki harga.
31
16
