2004

N´ ahodn´ a veliˇ cina

1

1

ˇ ˇc´ıslo 1145/2004. Tyto materi´ aly byly vytvoˇreny za pomoci grantu FRVS

N´ ahodn´ a veliˇ cina Vˇetˇsina n´ahodn´ ych pokus˚ u m´a jako v´ ysledky re´aln´a ˇc´ısla. Budeme tedy d´ale n´ahodnou veliˇcinou rozumˇet promˇennou, kter´a m˚ uˇze nab´ yvat r˚ uzn´ ych re´aln´ ych ˇc´ısel v z´avislosti na n´ahodˇe. Na tomto m´ıstˇe si pˇripomeˇ nme, ˇze lze rozliˇsovat n´ahodnou veliˇcinu diskr´etn´ı a spojitou. Je-li n´ahodn´a veliˇcina X spojit´a, pak m˚ uˇze nab´ yvat vˇsech hodnot z koneˇcn´eho nebo nekoneˇcn´eho intervalu. Naopak, n´ahodnou veliˇcinu X povaˇzujeme za diskr´etn´ı, nab´ yv´a-li koneˇcn´eho nebo spoˇcetn´eho poˇctu hodnot. N´ahodnou veliˇcinu X lze tedy ch´apat jako re´alnou funkci prvk˚ u prostoru element´arn´ıch jev˚ u. Pravdˇepodobnost toho, ˇze n´ahodn´a veliˇcina X dos´ahla hodnoty xi znaˇc´ıme takto P (X = xi ) .

(1)

Um´ıme-li pro kaˇzd´e re´aln´e x urˇcit pravdˇepodobnost, ˇze n´ahodn´a veliˇcina X nabyde hodnoty menˇs´ı nebo rovn´e x, pak zn´ame tzv. rozdˇ elen´ı pravdˇ epodobnosti n´ahodn´e veliˇciny X.

Zp˚ usob popisu n´ ahodn´ ych veliˇ cin Prvn´ım zp˚ usobem je z´apis prostˇrednictv´ım tabulky rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı viz tabulka 1.

Tabulka 1: Tabulka rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı – hod ide´aln´ı kostkou xi 1 2 3 4 5 6 P (X = xi )

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

Druhou moˇznost´ı je pomoc´ı polygonu rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı. Dalˇs´ı moˇznost´ı popisu rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti je prostˇrednictv´ım distribuˇ cn´ı funkce. Ta je definov´ana vztahem: F (x) = P (X ≤ xi ) . (2) Distribuˇcn´ı funkce je definov´ana na pˇredem dan´em intervalu. Jej´ı z´akladn´ı vlastnosti jsou: 0 ≤ F (x) ≤ 1 F (xi ) ≤ F (xj ) pro kaˇzdou dvojici ˇc´ısel xi < xj limx→−∞ F (x) = F (−∞) = 0 limx→+∞ F (x) = F (+∞) = 1 P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a) 1

(3)

Distribuˇcn´ı funkce F (x) je zprava spojit´a a m´a nejv´ yˇs spoˇcetnˇe bod˚ u nespojitosti. Grafu distribuˇcn´ı funkce odpov´ıd´a v popisn´e statistice graf kumulativn´ıch relativn´ıch ˇcetnost´ı. Distribuˇcn´ı funkce diskr´etn´ı n´ahodn´e veliˇciny je nespojit´a. Pro diskr´etn´ı n´ahodnou veliˇcinu plat´ı: X F (xi ) = P (X ≤ xi ) = pj (4) j≤i

Pro spojitou n´ahodnou veliˇcinu, nab´ yvaj´ıc´ı vˇsech hodnot z intervalu x ∈ [a; b] Zx F (x) = P (X ≤ xi ) =

f (t)dt

(5)

a

Dalˇs´ım d˚ uleˇzit´ ym pojmem je hustota pravdˇ epodobnosti (nˇekdy tak´e frekvenˇcn´ı funkce). Jde o funkci kter´a je definov´ana vztahem f (x) =

0 dF (x) = F (x) dx

(6)

Z´akladn´ı vlastnosti hustoty pravdˇepodobnosti jsou: f (x) ≥ 0 limx→−∞ f (x)dx = 0 limx→+∞ f (x)dx = 0 Rb

f (x)dx = 1

(7)

pro x ∈ [a; b]

a

P (a < X ≤ b) =

Rb

f (x)dx

a

Velmi d˚ uleˇzit´ ym pojmem ve spojitosti s popisem n´ahodn´ ych veliˇcin je pojem kvantilu. α-kvantilem nebo α · 100%-n´ım kvantilem n´ahodn´e veliˇciny X, kter´a m´a jist´e spojit´e rozdˇelen´ı n´ahodn´e veliˇciny s distribuˇcn´ı funkc´ı F (x) a hustotu pravdˇepodobnosti f(x), je ˇc´ıslo xα pro kter´e plat´ı Zxα F (xα ) = P (X ≤ xα ) =

f (x)dx = α

(8)

−∞

Nˇekter´e kvantily maj´ı speci´aln´ı n´azvy napˇr.: medi´an, doln´ı kvartil, horn´ı kvartil, prvn´ı decil, osm´ y percentil, atd...

Nˇ ekter´ a rozdˇ elen´ı diskr´ etn´ıch a spojit´ ych n´ ahodn´ ych veliˇ cin Bernoulliho rozdˇ elen´ı Nˇekdy tak´e Alternativn´ı rozdˇelen´ı. Pomoc´ı tohoto rozdˇelen´ı lze popsat ty situace, ve kter´ ych m˚ uˇze n´ahodn´a promˇenn´a nab´ yvat pouze dvou moˇzn´ ych hodnot. 2

Pˇr´ıkladem m˚ uˇze b´ yt hod ide´aln´ı minc´ı. Dalˇs´ım moˇzn´ ym pˇr´ıkladem m˚ uˇze b´ yt hlasov´an´ı jedn´e ze dvou stran bez moˇznosti zdrˇzet se hlasov´an´ı. Bez ztr´aty obecnosti lze uvaˇzovat o dvou moˇzn´ ych v´ ysledc´ıch 0 nezdar a 1 zdar. Bernoulliho rozdˇelen´ı je definov´ano pomoc´ı parametru p. Tento parametr lze interpretovat jako pravdˇepodobnost zdaru. Pravdˇepodobnostn´ı funkce Bernoulliho rozdˇelen´ı je definov´ana takto ( (1 − p) pokud x = 0 . (9) f (x; p) = p pokud x = 1 Pravdˇepodobnostn´ı funkci pro Bernoulliho rozdˇelen´ı lze zapsat ekvivalentnˇe jako: P (X = x) = px (1 − p)(1−x) . (10) Distribuˇcn´ı funkci tohoto rozdˇelen´ı pak zap´ıˇseme jako ( (1 − p) pokud x = 0 F (x; p) = . 1 pokud x = 1

(11)

Stˇredn´ı hodnota Bernoulliho rozdˇelen´ı je d´ana hodnotou p, rozptyl pak hodnotou p(1 − p). Symbolick´ ym z´apisem X ∼ Bern(p) nebo A(p).

Binomick´ e rozdˇ elen´ı Pokud budeme opakovat n-kr´ at urˇcit´ y pokus pˇri dodrˇzen´ı stejn´ ych podm´ınek, pˇriˇcemˇz v kaˇzd´em pokusu bude moci nastat n´ahodn´ y jev A, se stejnou pravdˇepodobnost´ı p a naopak nenastat s pravdˇepodobnost´ı 1 − p, pak takov´e sch´ema pokus˚ u naz´ yv´ame Bernoulliho sch´ema. Poˇcet realizac´ı jevu A v n nez´avisl´ ych pokusech Bernoulliho sch´ematu je zˇrejmˇe diskr´etn´ı n´ahodnou veliˇcinou s definiˇcn´ım oborem {0, 1, . . . , n}. Vzhledem k tomu, ˇze jsou tyto pokusy navz´ajem nez´avisl´e lze ps´at: µ ¶ n x P (X = x) = p (1 − p)n−x . (12) x N´ahodnou veliˇcinu X maj´ıc´ı binomick´e rozdˇelen´ı lze vyj´adˇrit jako souˇcet n nez´avisl´ ych n´ahodn´ ych veliˇcin, kter´e maj´ı alternativn´ı rozdˇelen´ı se stejn´ ym parametrem p : X = X1 + X2 + . . . + Xn . (13) Stˇredn´ı hodnotu lze pak urˇcit jako: E(X) = E(X1 ) + E(X2 ) + . . . + E(Xn ) = np . Pro rozptyl pak D(X) = D(X1 ) + D(X2 ) + . . . + D(Xn ) = np(1 − p) . 3

Napˇr´ıklad pˇredpokl´adejme, ˇze poˇcet x vadn´ ych v´ yrobk˚ u mezi n nez´avisle vyroben´ ymi v´ yrobky m´a binomick´e rozdˇelen´ı Bi(n, p), kde p ud´av´a pravdˇepodobnost, ˇze pˇri v´ yrobn´ım procesu bude vyroben zmetek. Pro n = 40 a p = 0, 05 z´ısk´ame n´asleduj´ıc´ı graf pravdˇepodobnostn´ı funkce viz graf 2.

0.10

0.15

Obr´azek 1: Pravdˇepodobnostn´ı funkce pro X ∼ Bi(40; 0.05)

0.00

0.05

Probability

Bi(40, 0.25)

0

10

20

30

40

x

Poissonovo rozdˇ elen´ı V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech nen´ı poˇcet dat v´ ysledkem pˇredem stanoven´eho poˇctu zkouˇsek. Napˇr´ıklad pokud y pˇredstavuje poˇcet u ´mrt´ı pˇri automobilov´ ych neˇ bˇehem n´asleduj´ıc´ıho t´ hod´ach v CR ydne, pak teoreticky nen´ı stanovena horn´ı hranice n pro y. Vhodn´ y pravdˇepodobnostn´ı model pak pˇredstavuje Poissonovo rozdˇelen´ı. Poissonovo rozdˇelen´ı m´a pouze jeden jedin´ y parametr. T´ım je λ. Tento parametr ud´av´a jak stˇredn´ı hodnotu tak rozptyl. Skuteˇcnost, ˇze se stˇredn´ı hodnota Poissonova rozdˇelen´ı mus´ı b´ yt shodn´a s rozptylem je velice d˚ uleˇzit´a, zvl´aˇstˇe pˇri modelov´an´ı nˇekter´ ych typ˚ u dat. Poissonova pravdˇepodobnostn´ı funkce je definov´ana takto e−λ λx . (14) f (x; λ) = x!

4

Distribuˇcn´ı funkce pak jako F (x; λ) =

x X e−λ λz

z!

z=0

.

(15)

Pokud n´ahodn´a veliˇcina X sleduje Poissonovo rozdˇelen´ı s parametrem λ pak p´ıˇseme X ∼ P o(λ). Jednou z cest jak definovat Poissonovo rozdˇelen´ı je pomoc´ı aproximace binomick´ ym rozdˇelen´ım, a to za pˇredpokladu, ˇze n je extr´emnˇe vysok´e a π je bl´ızko nule. Pˇresnˇeji pokud n → ∞, π → 0, a nπ → λ, pak binomick´e rozdˇelen´ı s parametry n a π aproximuje Poissonovo rozdˇelen´ı s parametrem λ. Nebot’ lze binomickou pravdˇepodobnostn´ı funkci zapsat jako ¡n¢ x n! n−x = (n−x)! π x (1 − π)n−x x π (1 − π) =

n(n−1)···(n−x+1) x π (1 x!

=

n(n−1)···(n−x+1) x!

³

nπ n

− π)n−x

´x ³

1−

1 = n(n − 1) · · · (n − x + 1) x!

³

nπ n

nπ n

´n−x

´x ³

1 (nπ)x = n(n − 1) · · · (n − x + 1) x!

=

n(n−1)···(n−x+1) (1 nx

− π)−x (nπ) x!

x

1−

nπ n

³ ´x ³ 1 n

³ 1−

´n ³

1−

nπ n

´n

1−

nπ n

nπ n

´−x

´n ³ 1−

nπ n

´−x

. (16)

A plat´ı limn→∞

D´ale plat´ı

n(n − 1) · · · (n − x + 1) =1 nx

(17)

limπ→0 (1 − π)−x = 1 .

(18)

³ nπ ´n lim π→∞ 1 − = e−λ , nπ→λ n

(19)

a tedy limnπ→λ

(nπ)x λx = . x! x!

(20)

ˇ ımˇz je dok´az´ano to, ˇze pokud n → ∞, π → 0 a nπ → λ, pak je pravdˇepodobnostn´ı C´ funkce binomick´eho rozdˇelen´ı rovna e−λ λx , x! coˇz je pr´avˇe pravdˇepodobnostn´ı funkce Poissonova rozdˇelen´ı.

5

Hypergeometrick´ e rozdˇ elen´ı N´ahodn´a veliˇcina X m´a hypergeometrick´e rozdˇelen´ı s parametry N, M, n, jestliˇze m´a definovanou pravdˇepodobnostn´ı funkci n´asleduj´ıc´ım zp˚ usobem:

P (X = x) =

−M ) ( (Mx )(Nn−x (Nn )

pokud x ∈ hmax(0, M − N + n); min(M, n)i

0

jinak .

(21) Pˇriˇcemˇz N, M, n a x jsou pˇrirozen´a ˇc´ısla, pro kter´a plat´ı ≤ M ≤ N a 1 ≤ n ≤ N . Uvˇedomte si, ˇze faktori´al je definov´an pouze pro nulu a pˇrirozen´a ˇc´ısla. V´ yznam jednotliv´ ych symbol˚ u lze vysvˇetlit takto: Mˇejme N objekt˚ u, z nichˇz M m´a jistou sledovanou vlastnost. Z takov´eho souboru vybereme n´ahodnˇe n objekt˚ u, pˇriˇcemˇz kaˇzd´a n-tice vytvoˇren´a z tˇechto N objekt˚ u m´a stejnou pravdˇepodobnost ˇze bude vybr´ana. Pro mal´a n/N pˇribliˇznˇe pro n/N ≤ 0, 1 lze hypergeometrick´e rozdˇelen´ı aproximovat binomick´ ym rozdˇelen´ım s parametrem p = M/N . V pˇr´ıpadˇe, ˇze je n/N a M/N mal´e a n velk´e, ˇreknˇeme n/N ≤ 0, 1, M/N ≤ 0, 1 a n > 30, lze hypergeometrick´e rozdˇelen´ı aproximovat tzv. Poissonov´ ym rozdˇelen´ım s parametrem λ = nM/N . Uved’me si jeden pˇr´ıklad. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze spr´avnˇe zaˇskrtneme na l´ıstku SAZKY 3 ˇc´ısla ze ˇsesti, tj. v´ yhry p´at´eho m´ısta ve sportce? Postupujme selsk´ ym rozumem. Jev uhodnut´ı 3 ze 6 vyhr´avaj´ıc´ıch nastane tehdy, pokud se budou shodovat 3 ˇc´ısla z 6 vyhr´avaj´ıc´ıch. Takov´ ych moˇzn´ ych trojic je ¡6¢ . Ostatn´ ı ˇ c ´ ısla, pak mus´ ı b´ y t ˇ c ´ ısla kter´ e nevyhr´ a vaj´ ı, tˇ e ch je 49 − 6 = 43. Ta3 ¡ ¢ ’ kov´ ychto ”nev´ ytˇezn´ ych” trojic je tedy 43 . Nebot kaˇ z d´ a v´ y tˇ e zn´ a trojice m˚ uˇze 3 b´ y t zkombinov´ a na s nevyhr´ a vaj´ ıc´ ı, pak poˇ c et vˇ s ech vyhovuj´ ıc´ ıch v´ y sledk˚ u je ¡6¢ ¡43¢ · . Celkov´ y poˇ c et ˇ s estic kter´ e lze vytvoˇ r it z 49 ˇ c ´ ısel kter´ a jsou v osud´ ı je ¡349¢ 3 epodobnost hledan´e v´ yhry je tedy: 6 . Pravdˇ ¡6¢ ¡43¢ · P (X = 3) = 3 ¡49¢3 . 6

Pˇripom´ın´a V´am nˇeco tento v´ ysledek? Mˇel by, nebot’: ¡M ¢¡N −M ¢ ¡6¢ ¡43¢ · x n−x P (X = 3) = = 3 ¡49¢3 . ¡N ¢ n

6

Norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı V souvislosti s t´ımto rozdˇelen´ım se lze setkat i s n´azvem Laplace – Gaussovo rozdˇelen´ı. Patˇr´ı mezi nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı spojit´a rozdˇelen´ı n´ahodn´ ych veliˇcin a m´a z´ asadn´ı v´ yznam jak v statistick´e teorii, tak i v aplikac´ıch. Lze ˇr´ıci, ˇze t´ımto rozdˇelen´ım lze popsat jevy, na jejichˇz kol´ıs´an´ı m´a vliv velk´ y poˇcet nepatrn´ ych a vz´ajemnˇe nez´avisl´ ych vliv˚ u.

6

Norm´aln´ı rozdˇelen´ı, jak bylo jiˇz v´ yˇse zm´ınˇeno patˇr´ı mezi nejuˇz´ıvanˇejˇs´ı pravdˇepodobnostn´ı modely. Tvar distribuˇcn´ı funkce odvodil na z´akladˇe velk´eho poˇctu pokus˚ u hodu minc´ı francouzsk´ y matematik Moivre jiˇz v roce 1733. Znovu byla tato kˇrivka objevena na z´akladˇe chyb mˇeˇren´ı v astronomii na zaˇc´atku 19. stolet´ı, a byla pojmenov´ana po zn´am´em nˇemeck´em matematikovi Carlu Friedrichovi Gaussovi (1777-1855). Pojmenov´an´ı Norm´aln´ı rozdˇelen´ı“, pak poprv´e zavedl ” francouzsk´ y matematik Qu´etelet. Hustota pravdˇepodobnosti tohoto rozdˇelen´ı je d´ana funkc´ı f (x) =

(xi −µ)2 1 √ e− 2σ2 pro xi ∈ (−∞, ∞) . σ 2π

(22)

Jak je z v´ yrazu patrn´e, m´a toto rozdˇelen´ı dva parametry µ a σ 2 Norm´aln´ı rozdˇelen´ı s tˇemito parametry se zpravidla znaˇc´ı N (µ, σ 2 ), kde prvn´ı parametr je stˇredn´ı hodnotou a druh´ y je rozptylem n´ahodn´e veliˇciny. Norm´aln´ı rozdˇelen´ı je symetrick´e kolem sv´e stˇredn´ı hodnoty, kter´a je souˇcasnˇe medi´anem i modem. Pokud bychom hodnoty n´ahodn´e veliˇciny X s norm´aln´ım rozdˇelen´ım vhodnˇe transformovali resp. znormovali, pak bychom z´ıskali n´ahodnou veliˇcinu jej´ıˇz rozdˇelen´ı bylo opˇet norm´aln´ı s jednotkov´ ym rozptylem a nulovou stˇredn´ı hodnotu. Tomuto rozdˇelen´ı se ˇr´ık´a normovan´e norm´aln´ı rozdˇelen´ı a znaˇc´ıme jej N (0, 1). Distribuˇcn´ı funkce je stejnˇe jako hustota pravdˇepodobnosti tabelov´ana pr´avˇe pro normovan´e norm´aln´ı rozdˇelen´ı, nebot’ kaˇzd´e norm´aln´ı rozdˇelen´ı lze transformovat na norm´aln´ı normovan´e rozdˇelen´ı. Tabulky hustoty pravdˇepodobnosti spolu s distribuˇcn´ı funkc´ı jsou sestaveny vˇetˇsinou pro nez´aporn´e hodnoty normovan´e veliˇciny U . Kde hodnotu ui normovan´e veliˇciny U z´ısk´ame transformac´ı ui =

xi − µ . σ

(23)

Hustotu normovan´eho norm´aln´ıho rozdˇelen´ı d˚ uslednˇe oznaˇcujeme symbolem ϕ(x). Distribuˇcn´ı funkci rozdˇelen´ı N (0, 1) d˚ uslednˇe oznaˇcujeme prostˇrednictv´ım symbolu φ(x). Hodnoty pro x ≺ 0 plynou ze vztah˚ u ϕ(−x) = ϕ(x) ,

(24)

φ(−x) = 1 − φ(x) .

(25)

Dalˇs´ım velmi d˚ uleˇzit´ ym vztahem je pˇredpis uα = −u1−α .

(26)

Chi–kvadr´ at rozdˇ elen´ı Uvaˇzujme navz´ajem n nez´avisl´ ych n´ahodn´ ych veliˇcin U1 , U2 , · · · , Un , z nichˇz kaˇzd´a m´a normovan´e norm´aln´ı rozdˇelen´ı. Potom rozdˇelen´ı souˇctu ˇctverc˚ u tˇechto n´ahodn´ ych veliˇcin m´a χ2 rozdˇelen´ı. Tedy χ2 =

n X i=1

7

Ui2 .

(27)

Souˇcet ˇctverc˚ u n vz´ajemnˇe nez´avisl´ ych normovan´ ych norm´aln´ıch n´ahodn´ ych veliˇcin m´a hustotu pravdˇepodobnosti danou pˇredpisem ( n 2 1 − χ2 (χ2 ) 2 −1 e , χ2 > 0 n n 2 2 Γ( 2 ) f (x) = (28) 0, χ2 ≤ 0 Kde funkce Γ( n2 ) se naz´ yv´a gama funkce, kter´a je definov´ana jako Γ( 12 ) = 1 Γ( n2 ) = ( n−2 2 )! Γ( n2 ) =

n−2 n−4 2 2

pro √ · · · 32 12 π

n = 2, 4, 6, · · ·

(29)

pro n = 3, 5, 7, · · ·

Parametr n naz´ yv´ame poˇctem stupˇ n˚ u volnosti. V naˇsem pˇr´ıpadˇe mluv´ıme o χ2 rozdˇelen´ı s n stupni volnosti, kter´e znaˇc´ıme χ2 (n). Distribuˇcn´ı funkce tohoto rozdˇelen´ı je definov´ana rovnic´ı ( R χ2 − t − n −1 1 e 2 t 2 dt, χ2 > 0 n n 2 2 Γ( 2 ) 0 F (x) = (30) 0, χ2 ≤ 0 . Charakteristiky tohoto rozdˇelen´ı jsou E(χ2 ) = n , D(χ2 ) = 2n . Frekvenˇcn´ı funkce χ2 rozdˇelen´ı je asymetrick´a. Jej´ı pr˚ ubˇeh z´avis´ı na poˇctu stupˇ n˚ u volnosti. S rostouc´ım n se χ2 rozdˇelen´ı bl´ıˇz´ı norm´aln´ımu rozdˇelen´ı N (n, 2n). Pokud n > 30 lze toto rozdˇelen´ı aproximovat normovan´ ym norm´aln´ım rozdˇelen´ım.

Studentovo nebo tak´ e t-rozdˇ elen´ı Jedn´ım z nejˇcastˇeji vyuˇz´ıvan´ ym rozdˇelen´ım je tzv. t-studentovo rozdˇelen´ı. Lze jej definovat pomoc´ı dvou nez´avisl´ ych n´ahodn´ ych veliˇcin U a χ2 , kter´e maj´ı po 2 ˇradˇe N (0, 1) a χ (n) rozdˇelen´ı. N´ahodn´a veliˇcina t kde ta je definov´ana jako U t= q

χ2 n

,

(31)

m´a hustotu pravdˇepodobnosti f (x; n) = √

Γ( n+1 x2 − n+1 2 ) ) 2 (1 + n πn · Γ( n2 )

x ∈ (−∞; ∞) .

(32)

Rozdˇelen´ı s touto hustotou pravdˇepodobnosti se naz´ yv´a t rozdˇelen´ı, t´eˇz Studentovo rozdˇelen´ı o n stupn´ıch volnosti. Poˇcet stupˇ n˚ u volnosti veliˇciny χ2 ve jmenovateli veliˇciny t urˇcuje poˇcet stupˇ n˚ u volnosti Studentova rozdˇelen´ı. Rozdˇelen´ı t pˇri rostouc´ım poˇctu stupˇ n˚ u volnosti rychle konverguje k norm´aln´ımu rozdˇelen´ı. Pro n > 30 lze nahradit Studentovo rozdˇelen´ı norm´aln´ım normovan´ ym rozdˇelen´ım. Studentovo rozdˇelen´ı je symetrick´e jednovrcholov´e. Vzhledem k symetrii plat´ı: tα (n) = −t1−α (n) . (33) 8

Fisherovo–Snedecorovo rozdˇ elen´ı Dalˇs´ım hojnˇe vyuˇz´ıvan´ ym rozdˇelen´ım je Fisherovo–Snedecorovo rozdˇelen´ı, zn´am´e rovnˇeˇz jako F -rozdˇelen´ı. Lze jej definovat prostˇrednictv´ım dvou nez´avisl´ ych n´ahodn´ ych veliˇcin kter´e poch´azej´ı z Chi-kvadr´at rozdˇelen´ı s m resp. n stupni volnosti. N´ahodn´a veliˇcina F je definov´ana takto: χ21 m χ22 n

F =

.

(34)

Rozdˇelen´ı s touto hustotou pravdˇepodobnosti se symbolicky zapisuje jako F (m, n). Uvˇedomte si, ˇze zde z´aleˇz´ı na poˇrad´ı stupˇ n˚ u volnosti m, n. Nicm´enˇe plat´ı vztah Fα (m, n) =

1 . F1−α (n, m)

(35)

Rozdˇelen´ı F se pˇri velk´ ych poˇctech stupˇ n˚ u volnosti bl´ıˇz´ı k rozdˇelen´ı norm´aln´ımu, ale dosti pomalu. Toto rozdˇelen´ı je asymetrick´e.

9