10. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA
Dovednosti : 1. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály. 2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 3. Umět vyslovit binomickou větu a použít ji při řešení jednoduchých úloh. 4. Chápat pojmy variace a permutace bez opakování a umět použít tyto pojmy při řešení jednoduchých úloh. 5. Chápat pojem kombinace bez opakování a umět použít tento pojem při řešení jednoduchých úloh. 6. Na základě rozboru textu dané úlohy umět aplikovat správný kombinatorický pojem. 7. Chápat jev A jako podmnožinu množiny Ω , kde Ω značí množinu všech výsledků náhodného děje. 8. Umět zapsat jevy pomocí množinových operací a obráceně umět z množinového zápisu interpretovat zapsané jevy. 9. Ovládat vzorec pro výpočet pravděpodobnosti P ( A) =
m , kde m značí n počet všech výsledků příznivých jevu A a n počet všech možných výsledků, tj. A = m, Ω = n.
10. Umět použít vzorec P ( A) =
m v případech, kdy k určení m a n je třeba n
použít kombinační čísla. 11. Umět podle charakteristiky daného jevu A určit doplňkový jev A´ a využít v jednoduchých situacích vztah P ( A) + P A´ = 1.
( )
12. Chápat vztah P ( A ∩ B ) = P ( A) . P (B ) pro nezávislé jevy a umět jej použít v jednoduchých úlohách . 13. Chápat vztah P ( A ∪ B ) + P ( A) + P (B ) pro vylučující se (neslučitelné) jevy a umět jej použít v jednoduchých úlohách.
1
14. Z úloh vyžadujících kombinaci předcházejících dovedností umět řešit alespoň úlohy typu: „ žádný z daných jevů nenastane“ a „ alespoň jeden z uvedených jevů nastane“.
Úlohy: Kombinatorika 1. Jana má 5 různě barevných triček a 3 nestejné sukně. Kolika způsoby si může vzít tričko a sukni, aby pokaždé vypadala jinak? [15]
2. V restauraci mají na jídelním lístku 3 druhy polévek, 7 možností výběru hlavního jídla, 4 druhy moučníku. K pití si lze objednat kávu, limonádu nebo džus. Kolika způsoby si host může vybrat oběd, za předpokladu, že bude jíst a) jen polévku a hlavní jídlo, b) polévku, hlavní jídlo a nápoj, c) polévku, hlavní jídlo, moučník a nápoj. [ a) 21; b) 63; c) 252 ]
3. Kolik různých přirozených čtyřciferných čísel s různými ciframi lze sestavit z cifer 1,2,3, 4,5? Kolik je jich dělitelných 5 ? Kolik z nich je lichých? [ 120; 24; 72 ]
4. Kolik různých přirozených pěticiferných čísel s různými ciframi lze sestavit z cifer 0, 2, 4, 6,7,8,9? Kolik je jich dělitelných 4 ? Kolik z nich je dělitelných 10 ? Kolik z nich je sudých? [2160; 840; 360; 1560]
5. Určete počet všech přirozených čísel menších než 3000, které lze vytvořit z cifer 0;2;6;7;8? Žádná z cifer se neopakuje. [ 92]
6. Ve třídě R4B se vyučuje 13 různých předmětů. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na 1den, vyučuje-li se tento den 7 hodin. Předpokládejte, že předměty se neopakují v jednom dni a jsou všechny jednohodinové. [ 8 648 640 ]
7. Kolika způsoby lze postavit do řady vedle sebe na poličku 15 různých knih? [ 15! ]
2
8. Zvětšíme-li počet prvků o 3, zvětší se počet variací druhé třídy z těchto prvků vytvořených o 36. Kolik je prvků ? [5]
9. Zmenší-li se počet prvků o dva, zmenší se počet permutací z těchto prvků vytvořených dvacetkrát. Kolik je prvků ? [5]
10. Z kolika prvků lze vytvořit 420 variací druhé třídy bez opakování ? [21]
11. Z kolika prvků lze vytvořit třikrát více variací třetí třídy než variací druhé třídy? (proveď zkoušku )
12. Zjednodušte výraz, určete podmínky pro n: (n + 2)! a) (n + 1)!
[5]
[ n+2; n ∈ N; n= -1 ]
b)
(n + 2)! (n − 1)!
c)
(n − 2)! n!
d)
(n − 5)! (n − 3)!
e)
(2n)! (2n − 1)!
[ 2n; n∈N ]
f)
(3n − 2)! (3n − 3)!
[3n- 2; n∈N ]
[ n 3 +3n 2 +2n; n ∈ N; n=1 ]
[
[
13. Upravte, určete podmínky pro n : n 1 − a) (n − 3)! (n − 4)! b)
(k − 2)! (k − 1)! − (k − 3)! (k − 2)!
c)
n! (n + 2)! 4(n + 1)! − + (n − 1)! (n + 1)! n!
1 ; n∈N; n= 0] n −n 2
1 ; n ∈ N; n = 5 ] n − 7 n + 12 2
3 (n − 3)! ; n ∈ N ; n ≥ 4 [-1; n∈N; n ≥ 3 ]
[4n+2; n∈N; n ≥ 3 ]
3
d)
2 2n 2n + 4 − − n! (n + 1)! (n + 2)!
e)
(n − 1)! n! + 3n 4(n + 1)!
7n + 4 12n 2 + 12n ; n ∈ N
f)
(n − 1)! n! . 3n! 4(n + 1)!
1 2 12n + 12n ; n ∈ N
[0; n∈Z; n ≥ 0 ]
n 2 − 16 n 2 + 5 3 + + g) 2. (n + 4)! (n + 3)! (n + 2)!
1 ; n ∈ Z ; n ≥ −1; (n + 1)! pro a= -2 je výsledek 0 ] [
14. Kolik různých přímek je určeno dvanácti body, jestliže: a) žádné tři neleží v jedné přímce, b) pět z nich leží na jedné přímce. [ a) 66; b) 57 ]
15. Kolik kružnic určuje deset různých bodů v rovině, z nichž a) žádné tři neleží v přímce, b) právě šest leží v přímce. [ a) 120; b) 100 ]
16. Ve třídě je 13 chlapců a 15 dívek.Kolik různých čtyřčlenných družstev je možno vytvořit, aby v družstvu byli 2 chlapci a 2 dívky,. [ 32 760 ]
17. V krabici je 10 výrobků,z nichž jsou právě tři vadné.Kolika způsoby lze vybrat 5 výrobků tak, aby a) žádný nebyl vadný , [ 21 ] b) právě jeden byl vadný , [ 105 ] c) nejvýše jeden byl vadný , [ 126 ] d) právě dva byly vadné , [ 105 ] e) nejvýše dva byly vadné, [ 231 ] f) alespoň dva byly vadné. [ 126 ]
18. Zvětší-li se počet prvků o 15, zvětší se počet kombinací druhé třídy bez opakování vytvořených z těchto prvků třikrát. Určete původní počet prvků. [ 21 ]
19. Z kolika prvků lze vytvořit 66 kombinací druhé třídy bez opakování?
4
[ 12 ] 20. Řešte rovnici pro n ∈ Z : a) 5(n+1)! = (n+2)!
{3}
b) (n+2)!n! =24(n+1)!(n-1)! (n − 2)!+ n! = 1,5(n − 1)! c) 2
{4} {2}
d)
n! = 4n (n − 2)!
{5}
e)
10 − 17 n 4 + =0 (n + 1)! (n − 1)!
{2}
f)
(n + 6)! (n − 4)! − n. = 5n + 80 (n + 4)! (n − 5)!
{5}
g)
(2n + 1)! (3n)! (n + 1)! + = + 50 (2n)! (3n − 1)! 2n!
{11}
21. Řešte rovnici s neznámou x∈R: 5 1 4 6 a) = 2. x + + 3 1 2 3
{4}
5 2 8 7 b) x 2 − x − : = 0 0 2 4 3
{ -1; 2 }
x + 1 = 36 c) x − 1
{8}
x x + 1 = 25 d) + 2 2
{5}
x − 1 x − 2 − 2. = 0 e) x − 3 x − 4
{5}
x + 6 x + 4 5 − = 4!+ x f) 2. x + 4 x + 2 2
{ 0; 5 }
x + 1 5 x + 1 4 x + 1 + − . = 1 g) x + 1 3 x 3 x − 1
{5}
5
x + 8 x x x + 1 x − = 2 . . h) x + 7 1 0 x x − 1
{5}
x x x2 +1 + = ch) 2 x − 2 x − 1
x∈ Ø
x + 1 x + 1 x + 1 . − 9. + 18 = 0 x − 1 2 2
i)
{ 2;3 }
22. Vypočítejte: a) (1 + 2 ) 5 b) (1 – 2 3 3 ) 6 c) (x +
[ 41 + 29 2 ] [97-708. 3 3 -516. 3 9 ]
x )4
[x 4 +4x 3 . x +6x 3 +4x 2 . x + x 2 ]
5
5 5 3 5 5 5 1 + − y − y + y − 3 2 2 4 y 16 y 32 y 5
1 d) y − 2 y
23. Umocněte podle binomické i podle Moivreovy věty: a) (-1 + 2i) 6 b)
c)
( 2 − i 2) (− 2 + 2i 3 )
[117 – 44i]
6
[64i]
[− 512 − 512; 3 ]
5
24. a) Vypočítejte pátý člen binomického rozvoje ( 1+ y) 10 . b) Určete jedenáctý člen binomického rozvoje( -x 4+1)15
[ 210 y 4 ] [-3003 x20 ]
25. Který člen binomického rozvoje a) ( 5 – 2m)7 obsahuje m4?
[ 5. člen ]
14
1 b) 2 x − obsahuje x6 ? x
[ 5. člen ]
10
1 1 26. Určete x∈R tak, aby pátý člen binomického rozvoje výrazu 2 x − 2 byl roven číslu 1 x = 8
105.
6
Pravděpodobnost 1.
Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne 1 [ ] 6 1 [ ] 2 5 [ ] 6 [0]
a) šestka b) sudé číslo c) číslo větší než 1 d) číslo 10
2. a)Určete pravděpodobnost výhry v I. pořadí ve sportce.(6 čísel ze49 uhodneme) [ 0,000 000 072 ] b) Jaká je pravděpodobnost, že vyhrajeme ve sportce 5. cenu (3 ze 6 tažených uhodneme a 3 ne) [0,017 7]
3. V osudí jsou 4 bílé a 3 modré lístky. Jaký je počet všech možných výsledků, tj. počet prvků množiny Ω ? Jaký je počet všech výsledků příznivých jevům A,B, kde A,B značí jevy: a) A – oba vytažené lístky budou bílé b) B – jeden vytažený lístek bude bílý a jeden bude modrý [ Ω = n = 21, A = m = 6, B = m = 12] 4. Student si má vytáhnout 3 z 10 otázek. Je připraven na 5 otázek. Jaký je počet všech možných výsledků, tj. počet prvků množiny Ω ? Jaký jaký je počet všech výsledků příznivých jevům A, B, kde A,B značí jevy: a) A – student vytáhne právě jednu otázku, kterou umí b) B – student nevytáhne žádnou otázku, kterou umí. [ Ω = n = 120, A = m = 50, B = m = 10 ] 5. Pro libovolné jevy A,B vyjádřete v množinové symbolice, že: a) nastaly oba jevy [A ∩ B] b) nastal právě jeden z těchto jevů [(A ∩ B´) ∪ (A´ ∩ B)] c) nenastal žádný jev [A´ ∩ B´ ] ´ ´ d) nastal nejvýše jeden z těchto jevů [(A ∩ B´) ∪ (A ∩ B) ∪ (A´ ∩ B ) = Ω - (A ∩ B) ] e) nastal alespoň jeden z těchto jevů [A ∪ B] 6. Jaká je pravděpodobnost, že v náhodně zvoleném dvouciferném čísle budou obě cifry stejné? [0,1]
7. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne součet: a) právě 11,
[
7
1 ] 18
1 ] 12 5 ] [ 18 1 [ ] 36
b) aspoň 11,
[
c) menší nebo roven 5, d) právě 2 ?
8. Ve třídě je 35 žáků, z toho je 20 děvčat. Vybereme namátkou pětici žáků. Jaká je pravděpodobnost, že vybereme: a) jen děvčata, [ 0,047 8] b) 3 děvčata a 2 chlapce? [0,369]
9. V zásilce je 20 výrobků, z nichž jsou 3 vadné. Náhodně vybereme 5 výrobků. Jaká je pravděpodobnost toho, že: a) to nebudou zmetky , [0,399] b) mezi nimi bude právě jeden zmetek ? [0,461]
10. Ve třídě je 31 žáků. Mají být zkoušeni 3 žáci. Na zkoušku je připraveno 25 žáků. Jaká je pravděpodobnost, že budou a) všichni 3 nepřipraveni, [0,004 45] b) právě 2 nepřipraveni ? [0,083 4]
11. Osudí je 5 kuliček černých a 15 kuliček bílých. Namátkou vybereme 4 kuličky. Jaká je pravděpodobnost, že budou a) všechny černé, [0,001 03] b)1 černá a 3 bílé? [0,469 6]
12. Jaká je pravděpodobnost,že při hodu dvěma kostkami padne součet 5 nebo 6?
[0,25]
13. Ve třídě R4B jsou dva žáci, kteří chodí pozdě. Jeden s pravděpodobností 0,1 a druhý s pravděpodobností 0,2. Jaká je pravděpodobnost toho, že : a) oba přijdou včas, [0,72] b) alespoň jeden přijde včas, [0,98] c) oba přijdou pozdě? [0,02]
14. Student k maturitní zkoušce ovládá učivo z českého jazyka na 87%, z anglického jazyka na 83%, z matematiky na 93% a z odborného předmětu na 97%. Jaká je pravděpodobnost, že student a) prospěje ze všech předmětů, [0,651] b) neprospěje z češtiny a z ostatních prospěje, [0,097 3] [4,64 . 10-5] c) neprospěje ani z jednoho předmětu, d) neprospěje z jednoho (kteréhokoliv) předmětu? [0,293]
8
Statistika 1. Při zjišťování počtu nezletilých dětí ve dvaceti domácnostech jsme dostali výsledky 0,0,2,2,1,1,1,1,1,0,0,0,3,2,1,1,2,3,2,1. Uspořádejte údaje do tabulky rozdělení četností, vypočítejte relativní četnosti a uveďte je v procentech. [0…25%,1…40%,2…25%,3…10%]
2. Ve třídě je 10 žáků s prospěchem od 1 do 1,5, 15 žáků s prospěchem od 1,5 do 2, 12 žáků s prospěchem od 2 do 2,5 a 5 žáků s prospěchem od 2,5 do 3. Sestavte tabulku intervalového rozdělení četností prospěchu žáků; četnosti intervalů prospěchu vyjádřete absolutně, relativně a v procentech. [1-1,5…24%, 1,5-2…36%, 2-2,5…29%, 2,5-3…12%]
3. V první třídě nasbíral jeden žák průměrně 20kg papíru, ve druhé třídě 30kg papíru a ve třetí 40kg. Kolik kg papíru sebral průměrně jeden žák za všechny tři třídy dohromady, jestliže ve druhé třídě byl stejný počet žáků jako v první třídě, ale ve třetí třídě byla polovina žáků ve srovnání s první i druhou třídou? [28kg]
4.
Kruhový diagram vyjadřuje v procentech volební preference pěti politických stran. Jsou-li volební preference jedné strany znázorněny kruhovou výsečí se středovým úhlem velikosti 72° , jaké jsou preference této strany v procentech? [20%]
5.
Z 360 studentů gymnázia bydlí 240 v místě školy, 90 dojíždí autobusem a 30 vlakem. Sestrojte odpovídající kruhový diagram rozdělení četností.
6.
Rozložení prospěchu žáků třídy v matematice je dáno tabulkou Známka 1 2 3 4 5 Počet žáků 2 4 9 8 0 Vypočtěte průměrný prospěch třídy v matematice.
[3]
7. Při kontrole kvality ocelového drátu byly na 15 náhodně vybraných výrobcích naměřeny tyto hodnoty pevností v tahu v N/mm2: 750,780,730,790,670,820,880,920,760,700,880,830,840,850,650. Určete střední hodnotu pevnosti v tahu jako aritmetický průměr. Vypočítejte směrodatnou odchylku a variační koeficient. [ x = 790; s x = 77,5; v x = 0,098 ]
8 Dopravní firma vlastní 100 vozidel. Vedení firmy zpracovalo statistický přehled počtů kilometrů najetých jednotlivými vozidly k určitému dni: Počet najetých km ( v tisících) Počet vozidel
120
140
160
180
200
220
9
18
25
30
14
4
9
a) Sestrojte sloupkový diagram znázorňující závislost počtu vozidel na počtu najetých km. b) Vypočtěte aritmetický průměr, modus a medián počtu km najetých jednotlivými vozidly. c) Určete rozptyl a směrodatnou odchylku počtu najetých km. [ x = 166800; Mod ( x) = 180000km; Med ( x) = 160000km; s x2 =&66000.10 4 km 2 ; s x = 26000km
9.
Průměrná výška nominovaných členů školního basketbalového mužstva byla 183 cm. Poté co byl do družstva zařazen nový hráč Ondřej, který měří 199 cm, vzrostla průměrná výška v družstvu o 2 cm. Kolik členů má školní družstvo nyní? [8]
10
]
