Kuželosečky
Obsah 1 OHNISKOVÉ VLASTNOSTI KUŽELOSEČEK
5
1.1
Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.1 1.3 1.4 1.5
Ohniskové vlastnosti elipsy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.3.1
Ohniskové vlastnosti hyperboly . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.4.1
Ohniskové vlastnosti paraboly . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2 OSOVÁ AFINITA V ROVINĚ
37
3 KUŽELOSEČKY V OSOVÉ AFINITĚ
42
3.1
Obraz kružnice v afinitě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.2
Užití afinity k řešení úloh o elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.3
Hyperbola a parabola v osové afinitě . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4 PERSPEKTIVNÍ KOLINEACE
60
4.1
Nevlastní prvky roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4.2
Perspektivní kolineace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
5 KUŽELOSEČKY V PERSPEKTIVNÍ KOLINEACI
73
5.1
Obraz kuželosečky v perspektivní kolineaci . . . . . . . . . . . . . . . .
73
5.2
Užití kolineace při sestrojování kuželoseček . . . . . . . . . . . . . . . .
79
4
Kapitola 1 OHNISKOVÉ VLASTNOSTI KUŽELOSEČEK 1.1
Úvod
Kuželosečka je rovinná křivka, která vznikne jako řez rotační kuželové plochy rovinou, která neprochází vrcholem této plochy. Můžeme rozlišit tři vzájemné polohy rotační kuželové plochy a roviny. • Rovina σ není rovnoběžná s žádnou povrchovou přímkou kuželové plochy. (Obr. 1.1.1) • Rovina σ je rovnoběžná právě s jednou povrchovou přímkou kuželové plochy. (Obr. 1.1.2) • Rovina σ je rovnoběžná se dvěma různými povrchovými přímkami kuželové plochy. (Obr. 1.1.3)
Obr. 1.1.1
Obr. 1.1.2
5
Obr.1.1.3
A) Eliptický řez rotační kuželové plochy Jestliže rovina σ není rovnoběžná se žádnou povrchovou přímkou rotační kuželové plochy, pak kuželosečku, která je řezem této plochy rovinou σ nazýváme elipsa (resp. kružnice, je-li rovina % kolmá k ose rotačního kužele.) Na obr. 1.1.4 je zobrazen průmět rotační kuželové plochy do roviny ν proložené osou o dané rotační kuželové plochy. Rovina řezu σ je kolmá k této rovině, je tedy rovinou promítací. Průmětna ν protíná kuželovou plochu ve dvou přímkách, a, b. Do dané kuželové plochy vepíšeme pomocné kulové plochy κ1 , κ2 tak, aby se dotýkaly roviny řezu (body F1 , F2 ). Středy S1 , S2 kulových ploch leží na ose o. Křivka řezu se zobrazí do úsečky AB. Zvolme na křivce řezu libovolný bod P . Povrchová přímka p rotační kuželové plochy, která prochází bodem P , se dotýká kulových ploch v bodech P1 , P2 . Z bodu P jsou ke kulovým plochám vedeny tečny P P1 , P P2 ; z téhož bodu jsou dále vedeny ještě tečny P F1 , P F2 . Protože všechny body dotyku tečen kulové plochy, které procházejí stejným bodem, mají od tohoto bodu stejnou vzdálenost, dostáváme |P P1 | = |P F1 | a |P P2 | = P F2 |. Sečtením dostáváme |P F1 | + |P F2 | = |P P1 | + |P P2 | = |P1 P2 |. Usečka P1 P2 je však strana rotačního komolého kužele s podstavami k1 , k2 . Její délka nezávisí na volbě povrchové přímky ani na volbě bodu P . Skutečná velikost |P1 P2 | je rovna velikosti úsečky Q1 Q2 , kterou na povrchové přímce a určují kružnice k1 , k2 . Platí tedy, že součet vzdáleností libovolného bodu P řezu od bodů F1 , F2 je konstsantní a rovná se |Q1 Q2 |.
Obr. 1.1.4 6
B) Parabolický řez rotační kuželové plochy Jestliže rovina σ je rovnoběžná právě s jednou povrchovou přímkou rotační kuželové plochy, pak kuželosečku, která je řezem této plochy rovinou σ nazýváme parabola. Podobně jako při eliptickém řezu vepíšeme do dané kuželové plochy kulovou plochu κ tak, aby se dotýkala roviny řezu σ, obr. 1.1.5. Plocha κ se dotýká kuželové plochy podél kružnice k a roviny σ v bodě F . Rovina kružnice k protíná rovinu σ v přímce d. Libovolná povrchová přímka p(6= b) protíná rovinu σ v bodě P a dotýká se kulové plochy κ v bodě P 0 . Z bodu P jsou ke kulové ploše κ vedeny tečny P F, P P 0 , pro jejichž úseky platí |P F | = |P P 0 |. Skutečná velikost úsečky |P P 0 | je stejná jako |QQ0 |. Protože |QQ0 | = |P d|, je |P F | = |P d|, tedy vzdálenost libovolného bodu řezu od bodu F je stejná jako vzdálenost tohoto bodu od přímky d (řídicí přímky).
Obr. 1.1.5
7
C) Hyperbolický řez rotační kuželové plochy Jestliže rovina σ je rovnoběžná se dvěma různými povrchovými přímkami rotační kuželové plochy, pak kuželosečku, která je řezem této plochy rovinou σ nazýváme hyperbola. Podobně jako v případě eliptického řezu existují dvě kulové plochy κ1 , κ2 vepsané do rotační kuželové plochy a dotýkající se roviny řezu. Ponechme i ostatní označení na obr. 1.1.6 stejné jako v případě eliptického řezu. Pro libovolný bod P řezu platí | |P F1 |−|P F2 | | = | P P1 |−|P P2 | | = |P1 P2 | = |Q1 Q2 | = |Q01 Q02 |. Protože |BQ2 | = |BF2 | a |BQ1 | = |AF2 |, dostáváme |Q1 Q2 | = |BQ2 | − |BQ1 | = |BF2 | − |AF2 | = |AB|, tedy rozdíl vzdáleností libovolného bodu řezu od bodů F1 a F2 konstantní.
Obr. 1.1.6
8
1.2
Elipsa
Definice 1.2.1 Nechť F1 , F2 jsou dva různé body roviny %, pro jejichž vzdálenost platí |F1 F2 | < 2a, kde a je kladné reálné číslo. Množina všech bodů M roviny %, pro které platí |M F1 | + |M F2 | = 2a, se nazývá elipsa.
Obr.1.2.1
Základní pojmy: (Obr.1.2.1) A, B - hlavní vrcholy
o1 - hlavní osa, o1 =↔ AB
C, D - vedlejší vrcholy
o2 - vedlejší osa, o2 =↔ CD
F1 , F2 - ohniska
a - hlavní poloosa, a = |AS| = |BS|
M F1 , M F2 -průvodiče
b - vedlejší poloosa, b = |CS| = |DS|
↔ M F1 , ↔ M F2 - průvodiče
e - excentricita (lineární výstřednost)
S - střed
e = |F1 S| = |F2 S|
4F1 SC- charakteristický trojúhelník
pro elipsu platí vztah: a2 = b2 + e2
9
Bodová konstrukce elipsy (Obr. 1.2.2): Jsou dány dva různé body F1 , F2 a úsečka velikosti hlavní polosy a > |F1 F2 |/2. Střed S úsečky F1 F2 je středem elipsy. Hlavní vrcholy elipsy leží na hlavní ose o1 =↔ F1 F2 ve vzdálenosti a od středu elipsy (|AF1 | + |AF2 | = (a − e) + (a + e) = 2a). Na přímce F1 F2 zvolíme libovolný bod X mezi ohnisky F1 , F2 a sestrojíme kružnice k1 (F1 ; |XA|) a k2 (F2 ; |XB|). Body M1 , M2 , ve kterých se obě kružnice protínají, jsou body elipsy, protože |Mi F1 | = |XA|, |Mi F2 | = |XB|, a tedy |Mi F1 |+|Mi F2 | = |XA|+|XB| = 2a, i = 1, 2, .... Pro bod X = F1 dostaváme hlavní vrchol A a pro bod X = F2 hlavní vrchol B. V případě, že X = S, dostáváme vedlejší vrcholy C, D. (|F1 C| = |F2 C| = a + a = 2a).
Obr. 1.2.2 Z bodové konstrukce elipsy plyne, že body M1 , M2 jsou osově souměrné podle hlavní osy elipsy o1 . Pokud použijeme ještě kružnice k3 (F1 ; |XB|) a k4 (F2 ; |XA|), získáme další dva body elipsy M3 , M4 . Z předchozí konstrukce plyne, že body M1 , M3 (nebo M2 , M4 ) jsou osově souměrné podle vedlejší osy o2 elipsy. Složením dvou osových souměrností s navzájem kolmými osami vznikne středová souměrnost se středem souměrnosti v jejich průsečíku. Můžeme tedy vyslovit následující dvě věty: 10
Věta 1.2.1 Elipsa je osově souměrná podle dvou k sobě kolmých os o1 , o2 a středově souměrná podle jejich průsečíku S (-střed elipsy). Věta 1.2.2 Součet délek průvodičů bodu elipsy se rovná dvojnásobku velikosti její hlavní poloosy, |M F1 | + |M F2 | = |AB| = 2a.
Oskulační kružnice ve vrcholech elipsy (Obr. 1.2.3): Při rýsování obvykle nepoužíváme bodovou konstrukci, ale kuželosečku ve vrcholu nahrazujeme kružnicí, která se kuželosečky v tomto bodě dotýká (kružnice i kuželosečka mají v bodě dotyku společnou tečnu) a má ve vrcholu stejnou křivost (viz diferenciální geometrie). Tuto kružnici nazýváme oskulační kružnicí kuželocečky v příslušném dotykovém bodě. Analyticky lze snadno dokázat, že střed oskulační kružnice v hlavním (vedlejším) vrcholu elipsy leží na hlavní (vedlejší) ose a velikost poloměru je b2 /a (a2 /b). Konstrukce oskulačních kružnic elipsy: 1. Pravoúhlý trojúhelník ASC doplníme na obdélník ASCW . 2. Z bodu W sestrojíme kolmici q k úhlopříčce AC. 3. Kolmice q protíná hlavní osu ve středu SA , (SA = o1 ∩ q), vedlejší osu ve středu SC , (SC = o2 ∩ q) oskulačních kružnic ve vrcholech A, C. Obr. 1.2.3
11
1.2.1
Ohniskové vlastnosti elipsy
Elipsa rozděluje rovinu, ve které leží, na dvě části. Ta čast roviny, která obsahuje ohniska, se nazývá vnitřní část elipsy. Pro vnitřní body X elipsy platí nerovnost |F1 X|+ |F2 X| < 2a. Druhá část roviny je vnější část elipsy. Je-li bod Y vnějším bodem, pak platí |F1 Y | + |F2 Y | > 2a.
Obr. 1.2.4 Definice 1.2.2 Přímka t, která má s elipsou společný právě jeden bod T , tzv. dotykový bod, a všechny její ostatní body jsou vnější body elipsy, se nazývá tečna elipsy.
Definice 1.2.3 Leží-li bod T na elipse, nazýváme vnějším úhlem průvodičů ten z obou úhlů průvodičů, který obsahuje hlavní vrchol elipsy. Druhý úhel nazýváme vnitřním úhlem průvodičů elipsy.
Obr. 1.2.5 12
Nechť T je bod elipsy, t je osa vnějšího úhlu průvodičů F1 T, F2 T , (obr. 1.2.5). Q je bod souměrně sdružený podle osy t k ohnisku F1 . Platí |F1 T | + |F2 T | = |QT | + |T F2 | = |QF2 | = 2a. Pro jakýkoliv jiný bod L přímky t je |F1 L| + |F2 L| = |QL| + |LF2 | > |QF2 | = 2a, protože součet dvou stran v trojúhelníku je vždy větší než strana třetí. Bod L tedy neleží na elipse, je to bod vnější, a proto je přímka t tečna elipsy.
Věta 1.2.3 Tečna t sestrojená v bodě T elipsy půlí vnější úhel průvodičů.
Definice 1.2.4 Kolmice k tečně elipsy v jejím dotykovém bodě se nazývá normála elipsy.
Součet vnitřního a vnějšího úhlu průvodičů bodu T elipsy je úhel přímý. Tečna sestrojená v bodě T je osou vnějšího úhlu průvodičů, a proto kolmice k ní, sestrojená v témže bodě T , je osou druhého úhlu. Věta 1.2.4 Normála n sestrojená v bodě T elipsy půlí vnitřní úhel průvodičů.
Na obrázku 1.2.6 je bod Q souměrně sdruženým bodem s ohniskem F1 podle tečny t, takže |F1 T | = |QT |. Platí tedy |F1 T | + |F2 T | = |QT | + |T F2 | = |QF2 | = 2a. Tečna t byla zvolena libovolně, proto tuto vlastnost mají všechny body Q souměrně sdružené s ohniskem podle tečny. Věta 1.2.5 Všechny body Q souměrně sdružené podle tečen elipsy s ohniskem F1 (resp.F2 ) leží na řídicí kružnici d2 (resp. d1 ), která je opsaná z druhého ohniska F2 (resp. F1 ) s poloměrem 2a, Q ∈ d2 (F2 ; 2a) (resp. Q ∈ d1 (F1 ; 2a)).
13
Úsečka P S je střední příčka trojúhelníka 4QF2 F1 (bod P je středem strany F1 Q, bod S je středem strany F1 F2 ). Platí tedy |P S| = |QF2 |/2 = a a P S||QF2 . Věta 1.2.6 Paty P všech kolmic sestrojených z ohnisek elipsy na její tečny leží na vrcholové kružnici ν, která má střed ve středu kuželosečky a prochází hlavními vrcholy A, B; P ∈ ν(S; a). Věta 1.2.7 Dotykový bod T na tečně t elipsy leží na spojnici bodu Q souměrně sdruženého podle tečny k ohnisku F1 (resp. F2 ) s druhým ohniskem F2 (resp. F1 ), T ∈ QF2 (resp. T ∈ QF1 ). Věta 1.2.8 Bod T leží na elipse právě tehdy, pokud se kružnice l1 (T ; |T F1 |) (resp. l2 (T ; |T F2 |) dotýká řídicí kružnice d2 (F2 ; 2a) (resp. d1 (F1 ; 2a)). Z konstrukce bodu Q plyne, že |F2 T | = 2a − |T F1 | = 2a − |QT |. Jde tedy o dvě kružnice s vnitřním dotykem.
Obr. 1.2.6
14
Příklad 1.2.1 Sestrojte elipsu, je-li dán její střed S, délka hlavní poloosy a a tečny t1 , t2 .
Řešení: (obr. 1.2.7) Kružnice k0 (S, a) protne tečnu t1 v bodech P1 , P10 a tečnu t2 v bodech P2 , P20 . Tyto body jsou patami kolmic spuštěných z ohnisek F1 , F2 na tečny t1 , t2 . Proto ohniska leží na kolmicích vztyčených v P1 , P10 k tečně t1 a na kolmicích vztyčených v P2 , P20 k tečně t2 . Dostáváme celkem čtyři ohniska F1 , F2 , F10 , F20 , přičemž F1 , F2 jsou body souměrné podle středu S a patří jedné elipse. Body F10 , F20 jsou také souměrné podle středu S a patří druhé elipse. Úloha tedy může mít dvě řešení, pokud všechna čtyři ohniska leží uvnitř kružnice k0 . Konstrukce: 1. k0 (S, a) 2. P1 , P10 = k0 ∩ t1 , P2 , P20 = k0 ∩ t2 , 3. q1 : P1 ∈ q1 , q1 ⊥ t1 , q10 : P10 ∈ q1 ⊥ t1 , q2 : P2 ∈ q2 ⊥ t2 , q20 : P20 ∈ q2 ⊥ t2 , 4. F1 = q1 ∩ q2 , F2 = q10 ∩ q20 , F10 = q1 ∩ q20 , F20 = q10 ∩ q2 , Další konstrukci provedeme jen pro ohniska F1 , F2 . 5. o1 =↔ F1 F2 6. A, B = o1 ∩ k0 7. o2 : S ∈ o2 , o2 ⊥ o1
Obr. 1.2.7
8. C, D = o2 ∩ k1 (F1 ; |SA|)
15
Příklad 1.2.2 Sestrojte tečny elipsy určené vrcholy A, B, C, D, které procházejí bodem X. Řešení: (obr. 1.2.8) Bod Q souměrný s ohniskem F1 podle hledané tečny t leží na řídicí kružnici d2 (F2 ; 2a). Tečna je pak osa úsečky QF1 . Konstrukce: 1. o1 =↔ AB 2. F1 , F2 = o1 ∩ k(C; 21 |AB|) 3. d2 (F2 ; 2|SA|) 4. k(X; |XF1 |) 5. Q1 , Q2 = k ∩ d2 6. P1 střed úsečky Q1 F1 7. t1 =↔ P1 X 8. P2 střed úsečky Q2 F1 8. t2 =↔ P2 X
Obr. 1.2.8
Úlohu lze řešit i pomocí vrcholové kružnice v, na které leží body P , přičemž úhel F1 P X musí být pravý.
16
1.3
Hyperbola
Definice 1.3.1 Nechť F1 , F2 jsou dva různé body roviny %, pro jejichž vzdálenost platí |F1 F2 | > 2a, kde a je kladné reálné číslo. Množina všech bodů M roviny %, pro které platí | |M F1 | − |M F2 | | = 2a, se nazývá hyperbola. Základní pojmy (Obr. 1.3.1): Označení A, B, F1 , F2 , M F1 , M F2 , (↔ M F1 , ↔ M F2 ), S, o1 , o2 , a, b, e je obdobné jako u elipsy. Pro hyperbolu definujeme vedlejší poloosu b vztahem: e2 = a2 + b2 . Hyperbola má navíc dvě asymptoty aI , aII . Jsou to přímky procházející středem hyperboly, které svírají s hlavní osou úhel ϕ, tgϕ = b/a. Hyperbola není uzavřená křivka, rozpadá se na dvě větve, které jsou "sevřeny" asymptotami.
Obr. 1.3.1
17
Bodová konstrukce hyperboly (Obr. 1.3.2): Jsou dány dva různé body F1 , F2 a úsečka velikosti hlavní poloosy a < |F1 F2 |/2. Střed S úsečky F1 F2 je střed hyperboly. Hlavní vrcholy hyperboly leží na hlavní ose o1 = F1 F2 ve vzdálenosti a od středu hyperboly. Na přímce F1 F2 zvolíme libovolný bod X vně úsečky F1 F2 a sestrojíme kružnice k1 (F1 ; |XA|) a k2 (F2 ; |XB|). Body M1 , M2 , ve kterých se obě kružnice protínají, jsou body hyperboly, protože |M1 F1 | = |XA|, |M1 F2 | = |XB|, a tedy | |M1 F1 | − |M1 F2 | | = | |XA| − |XB| | = 2a. Pro X = F1 dostáváme hlavní vrchol A a pro X = F2 hlavní vrchol B. Z bodové konstrukce hyperboly vyplývá, že body M1 a M2 jsou osově souměrné podle hlavní osy o1 . Použitím kružnic k3 (F2 ; |XA|) a k4 (F1 ; |XB|) získáme další body hyperboly, M3 a M4 , které jsou také souměrné podle osy o1 . Body M1 a M3 , resp. M2 a M4 , jsou navíc souměrné podle vedlejší osy o2 .
Obr. 1.3.2
Věta 1.3.2 Hyperbola je souměrná podle dvou k sobě kolmých os o1 , o2 a středově souměrná podle jejich průsečíku S. Protože |F1 A| = |BF2 |, je 2a = | |F1 B| − |BF2 | | = | |F1 B| − |F1 A| | = |AB|. Věta 1.3.3 Rozdíl délek průvodičů bodu M hyperboly se rovná dvojnásobku velikosti její hlavní poloosy, |AB| = 2a = | |M F1 | − |M F2 | |. 18
Oskulační kružnice ve vrcholech hyperboly (Obr. 1.3.3): Konstrukce: 1. Sestrojíme asymptoty aI , aII , 2. Z hlavního vrcholu A vedeme kolmici q k ose o1 a určíme její průsečík K s asymptotou aI . 3. Z bodu K vedeme kolmici h k asymptotě aI . 4. Kolmice h protíná hlavní osu ve středu SA , (SA = o1 ∩ h), oslulační kružnice ve vrcholu A. 5. Oskulační kružnice procházející vrcholem B má vzhledem k symetrii hyperboly stejný polo-
Obr. 1.3.3
měr. Příklad 1.3.1 Sestrojte hyperbolu, je-li dána excentricita e a poloha ohniska F1 a asymptoty aI . Řešení: (obr. 1.3.4) Víme, že |F S| = e. Můžeme tedy určit polohu středu hyperboly a následně osy hyperboly, druhé ohnisko a asymptotu. Konstrukce: 1. k1 (F1 ; e) 2. S = aI ∩ k1 , dvě řešení S, S ∗ , další konstrukci provedeme jen pro střed S 3. o1 =↔ F1 S 4. o2 : S ∈ o2 , o2 ⊥ o1 5. k2 (S; e) 6. F2 : F2 = k2 ∩ o1 7. E : E = k2 ∩ aI 8. m : E ∈ m, m ⊥ o1 9. B : B = m ∩ o1 10. A, aII osově souměrné podle
Obr. 1.3.4
o2 s B, aI
19
√
1.3.1
Ohniskové vlastnosti hyperboly
Hyperbola rozděluje rovinu, ve které leží, na dvě části. Ta část roviny, která obsahuje ohniska, se nazývá vnitřní část hyperboly, obsahuje vnitřní body hyperboly (X). Druhá část roviny je vnější část hyperboly, obsahuje vnější body hyperboly (Y ). (Obr. 1.3.5)
Obr. 1.3.5 Definice 1.3.2 Přímka t, která má s hyperbolou společný právě jeden bod T , tzv. dotykový bod, a všechny její ostatní body jsou vnější body hyperboly, se nazývá tečna hyperboly. Definice 1.3.3 Leží-li bod T na hyperbole, nazýváme vnějším úhlem průvodičů ten z obou úhlů průvodičů, který obsahuje hlavní vrchol hyperboly. Druhý úhel nazýváme vnitřním úhlem průvodičů hyperboly. Předpokládejme, že T je bodem hyperboly a přímka t, která tímto bodem prochází, je osou vnějšího úhlu průvodičů F1 T, F2 T . Sestrojme bod Q tak, aby byl souměrně sdružený podle osy t s ohniskem F1 (obr. 1.3.6). Platí | |F1 T | − |F2 T | | = | |QT | − |T F2 | | = |QF2 | = 2a. Pro jakýkoliv jiný bod L přímky t je | |F1 L| − |F2 L| | = | |QL| − |LF2 | | < |QF2 | = 2a, protože rozdíl dvou stran v trojúhelníku je vždy menší než strana třetí. Bod L tedy neleží na hyperbole, je to její vnější bod, a proto je přímka t tečnou hyperboly. 20
Věta 1.3.4 Tečna t v bodě T hyperboly půlí vnější úhel průvodičů. Definice 1.3.4 Kolmice k tečně hyperboly sestrojená v jejím dotykovém bodě se nazývá normála hyperboly. Věta 1.3.5 Normála n sestrojená v dotykovém bodě tečny T hyperboly půlí vnitřní úhel průvodičů.
Obr. 1.3.6
21
Na obrázku 1.3.7 je bod Q souměrný s ohniskem F1 podle tečny t. Proto | |F1 T | − |F2 T | | = | |QT | − |T F2 | | = |QF2 | = 2a.
Věta 1.3.6 Všechny body Q souměrně sdružené podle tečen hyperboly s ohniskem F1 (resp.F2 ) leží na řídicí kružnici d2 (resp. d1 ), která je opsaná z druhého ohniska F2 (resp. F1 ) s poloměrem 2a, Q ∈ d2 (F2 ; 2a) (resp. Q0 ∈ d1 (F1 ; 2a).
Obr. 1.3.7 Úsečka |P S| je střední příčkou trojúhelníka 4QF2 F1 . (opět je bod S středem úsečky F1 F2 a bod P středem úsečky F1 Q). Platí tedy |P S| = |QF2 |/2 = a.
Věta 1.3.7 Paty P všech kolmic sestrojených z ohnisek hyperboly na její tečny leží na vrcholové kružnici ν, která má střed ve středu hyperboly a prochází hlavními vrcholy A, B; P ∈ ν(S; a). Bezprostředně z konstrukce bodu Q plyne i následující tvrzení.
Věta 1.3.8 Dotykový bod T na tečně t hyperboly leží na spojnici bodu Q souměrně sdruženého podle tečny k ohnisku F1 (resp. F2 ) s druhým ohniskem F2 (resp. F1 ), T ∈ QF2 (resp. T ∈ QF1 ) 22
Věta 1.3.9 Bod T leží na hyperbole právě tehdy, pokud se kružnice l1 (T ; |T F1 |) (resp. l2 (T ; |T F2 |) dotýká řídicí kružnice d2 (F2 ; 2a) (resp. d1 (F1 ; 2a)). V tomto případě jde o vnější dotyk kružnic, protože |F2 T | = |F1 T | + 2a = |QT | + 2a = |QT | + |QF2 |. Příklad 1.3.2 Sestrojte středovou kuželosečku je-li dáno její ohnisko F1 , délka hlavní poloosy a a dvě tečny t1 , t2 . Řešení: (obr. 1.3.8) Sestrojíme vrcholovou kružnici v: Konstrukce: 1. pi : F1 ∈ pi , pi ⊥ ti , i = 1, 2 2. Pi = pi ∩ ti , i = 1, 2 3. ki (Pi ; a), i = 1, 2 4. Si = k1 ∩ k2 , i = 1, 2 Další konstrukci provedeme jen pro střed S = S1 5. o1 = F1 S 6. F2 ∈ o1 , úsečka F1 F2 se středem S 7. v(S; a) 8. A, B = v ∩ o1 9. Q : Q ∈ F1 P1 , úsečka F1 Q se středem P1 10. T1 = QF2 ∩ t1 11. analogicky získáme dotykové body druhé
Obr. 1.3.8
tečny Řešením úlohy je hyperbola a elipsa. Pro elipsu doplníme ještě polohu vedlejších vrcholů C, D(|F1 C| = |F1 D| = a) a pro hyperbolu asymptoty. 2. řešení: Tuto úlohu můžeme řešit i tak, že sestrojíme druhé ohnisko F2 jako střed řídicí kružnice. Ta prochází body Q, Q0 souměrně sdruženými k ohnisku F1 podle tečen t1 , t2 , a tedy √ ohnisko F2 leží na ose q úsečky QQ0 ve vzdálenosti 2a od bodů Q, Q0 .
23
Je-li hyperbola určena asymptotami a jejím bodem M , můžeme sestrojit délku její hlavní poloosy a. K odvození konstrukce užijeme analytické geometrie. Zvolme souřadnicový systém tak, aby střed hyperboly ležel v jeho počátku, hlavní osa splývala s osou x a vedlejší s osou y (obr 1.3.9). Pak je hyperbola popsána rovnicí 2 x2 − y = 1 a2 b2
Rovnice jejích asymptot jsou y = ± ab x. Bodem M = [xM , m] veďme rovnoběžku p s hlavní osou, její rovnice je y = m. Určíme průsečík N této přímky s hyperbolou a a průečík R s jednou asymptotou. Zjistíme dále velikost součinu délek úseček M R a RN . Protože yM = yN = yR = m, je |N R| = xR − xN , |RM | = xM − xR . Souřadnice xM , xN vypočteme z rovnice hyperboly, dosadíme-li do ní za y číslo m. Vychází √ √ xM = ab b2 + m2 , xN = − ab b2 + m2 , xR = ab m. Dosadíme-li tyto hodnoty do součinu |M R|.|N R|, dostaneme √ √ 2 2 |M R|.|N R| = a2 (m + b2 + m2 ).( b2 + m2 − m) = a2 (b2 + m2 − m2 ) = a2 . b b Je-li tedy dán bod M , sestrojíme bod N jako obraz bodu M v osové souměrnosti podle vedlejší osy hyperboly a najdeme průsečík R přímky M N s asymptotou. Dále sestrojíme kružnici nad průměrem M N . Bodem R vedeme rovnoběžku s vedlejší osou a určíme její průsečík K s kružnicí. Velikost úsečky RK je rovna délce hlavní poloosy (dle Euklidovy věty o výšce).
Obr. 1.3.9
24
Věta 1.3.10 Nechť sečna hyperboly p rovnoběžná s hlavní osou (pko1 ) protíná hyperbolu v bodech M, N a asymptotu v bodě R (viz obr 1.3.9). Pak platí: |M R|.|N R| = a2 . Obdobně lze dokázat i následující dvě věty. Věta 1.3.11 Nechť sečna hyperboly protíná hyperbolu v bodech M, N a asymptoty v bodech X, Y (viz obr 1.3.10). Pak platí: |M X| = |N Y |.
Obr. 1.3.10
Věta 1.3.12 Dotykový bod T tečny t půlí úsek tečny hyperboly mezi jejími asymptotami, |T X| = |T Y | (viz obr 1.3.11).
Obr. 1.3.11
25
1.4
Parabola
Definice 1.4.1 Nechť v rovině % je dána přímka d a bod F , který na ní neleží. Množina všech bodů M roviny %, pro které platí |M d| = |M F |, se nazývá parabola.
Základní pojmy:(Obr.1.4.1) V - vrchol F - ohnisko M F, QM průvodiče ↔ M F, ↔ QM průvodiče o - osa d - řídicí přímka p - parametr, p = |F d| v - vrcholová tečna Obr.1.4.1.
Přímo z definice paraboly plyne následující tvrzení. Věta 1.4.1 Délky průvodičů bodu paraboly jsou si rovny.
Bodová konstrukce paraboly (Obr.1.4.2): Je dána řídicí přímka d a ohnisko F . Kolmice sestrojená z ohniska na přímku d je osa paraboly o. Vrchol V paraboly je bod na ose, který má od řídicí přímky d i od ohniska F stejnou vzdálenost p/2. Na ose o zvolíme libovolný bod X, jehož vzdálenost od d je větší než p/2. Tímto bodem vedeme přímku d0 kd. Z ohniska F opíšeme kružnici k o poloměru rovnému vzdálenosti přímek dd0 , k(F ; |dd0 |). Průsečíky M, M 0 kružnice k a přímky d0 jsou body paraboly. 26
Obr. 1.4.2
Obr.1.4.3
Na základě bodové konstrukce paraboly vidíme, že body M, M 0 jsou souměrné podle osy paraboly. Věta 1.4.2 Parabola je souměrná podle osy o.
Oskulační kružnice ve vrcholu paraboly (Obr.1.4.3): Poloměr oskulační kružnice ko ve vrcholu paraboly je roven parametru, její střed SV leží na ose o.
1.4.1
Ohniskové vlastnosti paraboly
Parabola rozděluje rovinu, ve které leží, na dvě části. Ta čast roviny, která obsahuje ohnisko, se nazývá vnitřní část paraboly, obsahuje vnitřní body paraboly X. Druhá část roviny je vnější část paraboly, obsahuje vnější body paraboly Y .
Obr.1.4.4 27
Definice 1.4.2 Přímka t, která má s parabolou společný právě jeden bod T , tzv. dotykový bod, a všechny její ostatní body jsou vnější body paraboly, se nazývá tečna paraboly. Definice 1.4.3 Leží-li bod T na parabole, nazýváme vnějším úhlem průvodičů ten z obou úhlů průvodičů, který obsahuje vrchol paraboly. Druhý úhel nazýváme vnitřním úhlem průvodičů paraboly. Nechť T je bod paraboly (Obr. 1.4.5), t je osa vnějšího úhlu průvodičů T Q, T F . Q je bod souměrně sdružený podle osy t k ohnisku F1 . Platí |dT | = |QT | = |F T |. Pro libovolný bod L přímky t je |dL| < |QL| = |F L|, tedy |dL| < |F L|. V pravoúhlém trojúhelníku je odvěsna vždy menší než přepona. Bod L tedy neleží na parabole, je to její vnější bod, a proto je přímka t tečna paraboly.
Obr.1.4.5 Věta 1.4.3 Tečna t v bodě T paraboly půlí vnější úhel průvodičů. Definice 1.4.4 Kolmice k tečně paraboly v jejím dotykovém bodě se nazývá normála paraboly. Podobně, jako u předchozích kuželoseček, si čtenář sám dokáže následující tvrzení. 28
Věta 1.4.4 Normála n v bodě T paraboly půlí vnitřní úhel průvodičů. Nechť bod T je libovolný bod paraboly a přímka QT průvodič bodu T ; Q ∈ d. Pak tojúhelník 4P T F je shodný s trojúhelníkem 4T P Q, (podle věty ssu, P T je společná strana, |QT | = |F T |, oba trojúhelníky jsou pravoúhlé) (Obr. 1.4.6). Platí tedy také |P Q| = |P F |, a tedy bod Q je souměrně sdružený podle tečny k ohnisku.
Obr. 1.4.6 Věta 1.4.5 Všechny body Q souměrně sdružené podle tečen paraboly s ohniskem F leží na řídicí přímce d. Úsečka P V je střední příčka 4QDF, P V kQD (Obr. 1.4.6).
Věta 1.4.6 Paty P všech kolmic sestrojených z ohniska paraboly na její tečny leží na vrcholové tečně v.
29
Bezprostředně z konstrukce bodu Q plyne (Obr. 1.4.6). Věta 1.4.7 Dotykový bod T na tečně t leží na přímce vedené bodem Q rovnoběžně s osou paraboly. Protože |dT | = |F T |, je |dT | poloměr kružnice, jejíž tečnou je řídicí přímka d (Obr.1.4.7).
Obr. 1.4.7 Věta 1.4.8 Bod T leží na parabole právě tehdy, pokud se kružnice l(T ; |T F |) dotýká řídicí přímky.
Příklad 1.4.1 Je dána dán vnější bod R paraboly, která je určene ohniskem F a řídicí přímkou d. Veďte z bodu R tečny k parabole a určete jejich dotykové body. (Grafické zadání, viz obr. 1.4.8) Řešení: Body Q1 , Q2 ,souměrně sdružené podle hledaných tečen t1 , t2 a ohniskem F , leží ne kružnici k(R, |RF |) a pro danou parabolu také na řídicí přímce d. Hledané tečny t1 , t2 jsou tedy osy souměrnosti úseček Q1 F a Q2 F . Dotykové body T1 , T2 jsou průsečíky tečen s rovnoběžkami s osou, vedenými body Q1 , Q2 .
30
Konstrukce: 1. l(R; |RF |) 2. Q1 , Q2 = d ∩ l 3. ti : R ∈ ti , ti ⊥ F Qi , i = 1, 2 4. mi : Qi ∈ mi , mi ko, i = 1, 2 5. Ti : Ti = ti ∩ mi , i = 1, 2
Obr. 1.4.8
√
Příklad 1.4.2 Sestrojte parabolu, která je dána ohniskem F , bodem M a tečnou t. (Grafické zadání, viz obr. 1.4.9) Řešení: Z věty 1.4.8 víme, že se kružnice l(M ; |F M |) dotýká řídicí přímky d, která prochází bodem Q na řídicí přímce, který je souměrný s ohniskem podle tečny. Osa paraboly prochází ohniskem kolmo k řídicí přímce.
Konstrukce: 1. l = (M ; |F M |) 2. Q souměrný s F podle T 3. d1 , d2 - tečny ke kružnici l vedené z bodu Q 4. o1 , o2 - kolmice k d1 , d2 spuštěné z ohniska F Úloha má dvě řešení. Obr. 1.4.9
√
31
Sestrojme tečny t1 , t2 paraboly ve dvou jejích různých bodech T1 , T2 , viz obr. 1.4.10. Veďme bodem R, který je průsečíkem těchto tečen, rovnoběžku o0 s osou paraboly. Nechť body Q1 , Q2 jsou opět body souměrné s ohniskem F podle tečen t1 , t2 . Pak čtyřúhelník Q1 Q2 T2 T1 je lichoběžník, Q1 T1 kQ2 T2 . Protože úsečka Q1 Q2 je tětivou kružnice l(R; |RF |) a přímka o0 je k ní kolmá, půlí ji v bodě X. Z toho plyne, že i přímka o0 půlí protější stranu T1 T2 .
Obr. 1.4.10 Věta 1.4.9 Spojnice průsečíku dvou tečen paraboly se středem tětivy, spojující jejich body dotyku, je rovnoběžná s osou paraboly. Příklad 1.4.3 Sestrojte parabolu, znáte-li její dvě tečny t1 , t2 s body dotyku T1 , T2 . (Grafické zadání, viz obr. 1.4.11) Řešení: Spojíme-li střed S tětivy T1 T2 s průsečíkem R tečen, získáme směr o0 osy paraboly. Můžeme tedy sestrojit průvodiče bodů T1 , T2 , které jsou rovnoběžné s osou. Protože tečna půlí vnější úhel průvodičů, můžeme doplnit druhé průvodiče a nalézt v jejich průsečíku ohnisko F . Osa paraboly o prochází ohniskem F a je rovnoběžná s přímkou o0 . Řídicí přímka d prochází bodem Q1 souměrným s ohniskem podle tečny t1 kolmo k ose. Konstrukce: 1. R = t1 ∩ t2 2. S - střed úsečky T1 T2 3. o0 =↔ SR 32
4. qi : Ti ∈ qi , qi ko0 , i = 1, 2 5. pi : Ti ∈ pi , ti je osa úhlu různoběžek pi , qi , i = 1, 2, obsahující bod R. 6. F = p1 ∩ p2 7. o : F ∈ o, oko0 8. Q1 - souměrný s F podle t1 9. d : Q1 ∈ d, d ⊥ o
Obr. 1.4.11
33
√
Pro parabolu se obvykle zavádí další pojmy. Nechť U je pata kolmice spuštěné z bodu T na osu, N je průsečík normály sestrojené v bodě T s osou o paraboly a M je průsečík tečny s touto osou o. Pak úsek M U nazýváme subtangentou a úsek N U subnormálou.
Obr. 1.4.12 • Bod M je vrcholem kosočtverce F T QM . Pak 4M DQ ∼ = 4F U T (|DQ| = |U T |, pravý úhel, QM kF T ). Proto |M D| = |F U |. • Pro parametr p platí: p = |F D| = |M F | − |M D| = |T Q| − |M D| = |F N | − |M D| = |F N | − |F U | = |U N |. • V kosodélníku QT N F je |F N | = |QT |. V kosočtverci F T QM je |QT | = |F M |. Proto |M F | = |F N |. Platí tedy. Věta 1.4.10 a) Subtangenta |M U | je půlena vrcholem V paraboly. b) Délka subnormály |N U | je konstantní a rovná se parametru p. c) Součet subtangenty a subnormaly, tj. úsek |M N |, je půlen ohniskem F . 34
1.5
Shrnutí
Kuželosečka rozděluje rovinu, ve které leží, na dvě části. Ta čast roviny, která obsahuje ohniska, se nazývá vnitřní část kuželosečky, obsahuje vnitřní body kuželosečky. Druhá část roviny je vnější část kuželosečky, obsahuje vnější body kuželosečky.
Přímka t, která má s kuželosečkou společný právě jeden bod T , tzv. dotykový bod, a všechny její ostatní body jsou vnější body kuželosečky, se nazývá tečna kuželosečky.
Leží-li bod T na kuželosečce, nazýváme vnějším úhlem průvodičů ten z obou úhlů průvodičů, který obsahuje hlavní vrchol kuželosečky. Druhý úhel nazýváme vnitřním úhlem průvodičů kuželosečky.
Tečna t v bodě T kuželosečky půlí vnější úhel průvodičů.
Kolmice k tečně kuželosečky v jejím dotykovém bodě se nazývá normála kuželosečky.
Normála n v bodě T kuželosečky půlí vnitřní úhel průvodičů.
Všechny body Q souměrně sdružené podle tečen elipsy nebo hyperboly s ohniskem F1 (resp.F2 ) leží na řídicí kružnici d2 (resp. d1 ), která je opsaná z druhého ohniska F2 (respa. F1 ) s poloměrem 2a, Q ∈ d2 (F2 ; 2a) (resp. Q ∈ d1 (F1 ; 2a). U paraboly leží body Q souměrné podle tečen k ohnisku F na řídicí přímce d.
Paty P všech kolmic sestrojených z ohnisek elipsy nebo hyperboly na tečny této kuželosečky leží na vrcholové kružnici ν, která má střed ve středu kuželosečky a prochází hlavními vrcholy A, B, P ∈ ν(S; a). U paraboly leží paty kolmic na vrcholové tečně v.
Dotykový bod T na tečně t elipsy nebo hyperboly leží na spojnici bodu Q souměrně 35
sdruženého podle tečny k ohnisku F1 (resp. F2 ) s druhým ohniskem F2 (resp. F1 ), T ∈ QF2 (resp. T ∈ QF1 ) U paraboly leží dotykový bod T tečny t na přímce vedené bodem Q rovnoběžně s osou paraboly.
Bod T leží na elipse nebo hyperbole právě tehdy, pokud se kružnice l1 (T ; |T F1 |) (resp. l2 (T ; |T F2 |) dotýká řídicí kružnice d2 (F2 ; 2a) (resp. d1 (F1 ; 2a)). Bod T leží na parabole právě tehdy, pokud se kružnice l(T ; |T F |) dotýká řídicí přímky.
36
Kapitola 2 OSOVÁ AFINITA V ROVINĚ Definice 2.1 Osová afinita v rovině je % je zobrazení A : % → %, v němž: 1. Obrazem bodu A je bod A0 , obrazem přímky a je přímka a0 ; incidence se zachovává. 2. Odpovídající si přímky a, a0 se protínají na pevné přímce o, zvané osa afinity, nebo jsou s ní rovnoběžné. 3. Odpovídající si body leží na rovnoběžných přímkách (určují tzv. směr osové afinity).
Obr. 2.1
Obr. 2.2
Sestrojování obrazů bodů a přímek v osovém afinitě je zřejmé z obr. 2.1 a 2.2. Vezmeme-li bod Q na ose o osové afinity, platí zřejmě Q = Q0 (jde tedy o samodružný bod zobrazení). Platí tedy: 37
Věta 2.1 Všechny body osy afinity jsou samodružné, jiné samodružné body neexistují. Úmluva: Místo osová afinita v rovině budeme déle používat pouze termín afinita v rovině, resp. jen afinita. Z vlastností stejnolehlosti se středem S = S 0 (obr. 2.1) na ose afinity, resp. translace (obr. 2.2), plyne bezprostředně: Věta 2.2 Afinita zachovává dělicí poměr tří bodů na přímce, tj. (ABC) = (A0 B 0 C 0 ). Jestliže vzory přímek a, b jsou rovnoběžné , pak i jejich obrazy a0 , b0 musí být rovnoběžné. Pokud by měly společný bod Q0 , pak z definice afinity plyne, že i přímky a, b by musely mít společný bod Q. Tedy: Věta 2.3 V afinitě odpovídají rovnoběžným přímkám a, b opět rovnoběžné přímky a0 , b0 . Jestliže směr afinity je kolmý k její ose, afinita se nazývá pravoúhlá, je-li směr kosý k ose, afinita se nazývá kosoúhlá, je-li směr dán osou afinity, afinita se nazývá elace. Vraťme se k obrázkům 2.1 a 2.2. Označme A0 , B0 průsečíky přímek AA0 , BB 0 a osou o afinity. Pak z vlastností stejnolehlosti, resp. translace, plyne bezprostředně rovnost dělicích poměrů λ = (A0 AA0 ) = (B 0 BB0 ). Dělicí poměr λ se nazývá charakteristika afinity. Jestliže osa o neodděluje body A (vzor), A0 (obraz), je λ > 0, jestliže osa o odděluje body A, A0 , je λ < 0. Pravoúhlá afinita s λ = −1 je osová souměrnost. Věta 2.4 Afinita je určena osou a dvojicí odpovídajících si nesamodružných bodů A, A0 .
38
Je-li totiž mimo osu dán bod X 6= A, dovedeme sestrojit jeho obraz X 0 následovně: a) Není-li bod X bodem přímky AA0 (obr 2.3), pak jsou přímky XX 0 a AA0 rovnoběžné a bod X 0 leží na obrazu přímky m =↔ AX. Protíná-li přímka XA osu v bodě Q, je Q = Q0 a obrazem přímky AX je přímka m0 =↔ QA0 =↔ A0 X 0 . Je-li přímka XA s osou o rovnoběžná, je s osou o rovnoběžná i Obr. 2.3
přímka A0 X 0 .
b) Je-li bod Y 6= A (obr. 2.4) bodem přímky AA0 , zvolíme bod Z, který neleží ani na ose, ani na přímce AA0 . Sestrojíme jeho obraz Z 0 a bod Y 0 musí ležet na obraze m0 přímky m =↔ ZY . Obr. 2.4 Konstrukce prováděné na obr.2.3 a 2.4 jsou stejné, je-li afinita elací. Kromě určení afinity osou a dvojicí odpovídajících si bodů může být afinita určena i jinak. Afinita může být určena například (zadání afinity je demonstrováno na obr. 2.5. a obr. 2.6 ): a) osou o, směrem s a dvojicí odpovídajících si přímek, b) třemi páry odpovídajících si bodů A ↔ A0 , B ↔ B 0 , C ↔ C 0 , přičemž AA0 ||BB 0 ||CC 0 , c) dvěma páry odpovídajících si přímek a ↔ a0 , b ↔ b0 ,
ad a)
ad b)
Obr. 2.5 39
ad c)
d) dvojicí odpovídajících si bodů A ↔ A0 a dvojicí odpovídajících si přímek b ↔ b0 , které těmito body neprocházejí, e) osou, směrem a charakteristikou.
ad d)
ad e) Obr. 2.6
Z uvedených zadání vždy dovedeme sestrojit osu o afinity a dvojici odpovídajících si bodů. (Proveďte jako cvičení.) Příklad 2.1 Sestrojte obraz trojúhelníka ABC v osové afinitě dané osou o a dvojicí odpovídajících si bodů L, L0 . (Grafické zadání i řešení viz Obr. 2.7)
Řešení: Nejprve sestrojíme bod B 0 (přímky LB a L0 B 0 se protínají na ose o). Ke konstrukci jsou dále použity samodružné body 1,2.
Obr. 2.7
40
√
Příklad 2.2 Určete afinitu s danou osou o tak, aby obrazem daného rovnoběžníku ABCD byl čtverec A0 B 0 C 0 D0 . (Grafické zadání i řešení viz Obr. 2.8)
Řešení: Z vlastností čtverce plyne, že úhel 6 BAC se musí zobrazit do úhlu 6 B 0 A0 C 0 o velikosti 45o , přičemž se přímky AB, A0 B 0 ; AC, A0 C 0 musí protnout na ose o v bodech 1,2. Všechny body A0 , pro něž platí, že úhel 6 1A0 2 má velikost 45o leží na kružnici k1 (plyne z vlastností středového a obvodového úhlu kružnice), jejíž střed O leží na Thaletově kružnici sestrojené nad úsečkou 12. Analogicky se úhel 6 BAD musí zobrazit do pravého úhlu, tj. jeho vrchol musí ležet na Thaletově kružnici k2 sestrojené nad úsečkou 13 (bod 3 je průsečíkem přímky AD s osou o). Průsečíkem kružnic k1 , k2 je bod A0 . Další postup je zřejmý z vlastností afinity. (Na obr. 2.8 je sestrojeno pouze jedno řešení.)
Obr. 2.8
41
√
Kapitola 3 KUŽELOSEČKY V OSOVÉ AFINITĚ 3.1
Obraz kružnice v afinitě
Nechť je dána kružnice k (viz obr. 3.1.1) o středu S a poloměru r a afinita určená osou o a dvojicí odpovídajících si bodů S, S 0 (S 0 je obrazem S). Zvolíme dvě kartézské soustavy souřadnic K1 = {S, x, y} a K2 = {S 0 , ξ, η} tak, aby K2 = {S 0 , ξ, η} byla obrazem K1 = {S, x, y} v dané afinitě. Poněvadž si osy x, ξ odpovídají v dané afinitě, protínají se na o v bodě 1, analogicky se y, η protínají na ose o v bodě 2 (body 1, 2 jsou průsečíky Thaletovy kružnice se středem Q na o, procházející body S, S 0 ). Na ose x, resp. y, zvolíme body P , resp. R, tak, aby |SP | = |SR| = 1. Bodům P, R odpovídají v afinitě body P 0 , R0 . Označme |S 0 P 0 | = p, |S 0 R0 | = q. Zvolíme-li nyní na kružnici libovolný bod M = [x, y], odpovídá u v afinitě bod M 0 = [ξ, η]. ξ y η Protože afinita zachovává dělicí poměr, musí platit x 1 = p, 1 = q , a tedy ξ = px, η = qy, tj. x = pξ , y = ηq . Daná kružnice má v soustavě souřadnic K1 rovnici x2 + y 2 = r2 . Po dosazení za x, y z posledních dvou rovnic obdržíme rovnici ξ 2 + η 2 = 1, což je rovnice obrazu kružnice k zapsaná v soustavě souřadnic K . 2 (pr)2 (qr)2 Jde o rovnici elipsy (pokud p 6= q) nebo kružnice (pokud p = q). Platí tedy věta: Věta 3.1.1 Obrazem kružnice v afinitě je elipsa nebo kružnice. 42
Obr. 3.1.1 Analogicky bychom dokázali větu: Věta 3.1.2 Ke každé elipse e lze vyhledat afinitu tak, že jí odpovídá kružnice e0 . Poznámka Můžeme tedy mluvit o tom, že kružnice a elipsa si navzájem odpovídají v afinitě (A, A−1 ). Průměrem kružnice, resp. elipsy, rozumíme úsečku, která prochází jejím středem a má koncové body na kružnici, resp. elipse. Dvojici kolmých průměrů kružnice nazýváme dvojicí sdružených průměrů kružnice a dvojici průměrů elipsy, pro které platí, že tečny v koncových bodech jednoho průměru jsou rovnoběžné s druhým průměrem se nazývají sdružené průměry elipsy. Je zřejmé, že sdružené průměry elipsy se navzájem půlí (viz obr 3.1.2) a osy elipsy jsou jedinou dvojicí navzájem kolmých sdružených průměrů.
43
Z vlastností afinity bezprostředně plyne věta (viz obr. 3.1.2): Věta 3.1.3 Odpovídá-li elipsa k 0 kružnici k v osové afinitě, pak 1) středu kružnice S odpovídá střed elipsy S 0 , 2) tečně t kružnice v bodě T odpovídá tečna t0 elipsy v bodě T 0 , 3) sdruženým, tj. vzájemně kolmým, průměrům kružnice odpovídají sdružené průměry elipsy.
Obr. 3.1.2 Dále platí (viz obr. 3.1.3): Věta 3.1.4 Odpovídají-li si kružnice k a elipsa k 0 v osové afinitě, pak vždy existují jejich společné tečny, které jsou rovnoběžné se směrem afinity.
Obr. 3.1.3 Přímky rovnoběžné se směrem afinity s jsou slabě samodružné (invariantní). Sestrojímeli tečnu tA kružnice k rovnoběžně se směrem afinity, má jediný společný bod s kružnicí k. Její obraz tA0 má proto také jen jediný společný bod A0 s elipsou k 0 , tj. tA = tA0 ||s. 44
Konstrukce 3.1 Sestrojte osy elipsy k 0 , která je obrazem dané kružnice k(S; r) v osové afinitě A(o; S ↔ S 0 ). Řešení (viz obr. 3.1.4): V kružnici k zvolíme dvojici sdružených průměrů AB ⊥ CD tak,aby jejich obrazem v afinitě byla dvojice sdružených průměrů elipsy A0 B 0 , C 0 D0 , které na sebe budou také kolmé, tj.budou to osy elipsy k 0 . Odpovídající si průměry AB ↔ A0 B 0 , CD ↔ C 0 D0 se musí protínat na ose o (v bodech 1 = 10 , 2 = 20 ). Body 1,2 tedy musí ležet na Thaletově kružnici kT se středem Q = Q0 na ose o (kružnice prochází body S, S 0 ).
Obr. 3.1.4
45
Konstrukce 3.2 Jsou dány vrcholy A, B, C, D elipsy e. Určete afinitu, v níž elipse e odpovídá kružnice e0 . Řešení (viz obr. 3.1.5): Na obrázku 3.1.5a) je za osu o afinity zvolena hlavní osa elipsy. Pak A = A0 , B = B 0 , S = S 0 . Odtud plyne konstrukce kružnice e0 a bodů C 0 , D0 . Na obrázku 3.1.5b) je za osu o afinity zvolena vedlejší osa elipsy. Elipse pak odpovídá kružnice e0 procházející body C 0 = C, D0 = D. Obě afinity jsou pravoúhlé.
a)
b) Obr. 3.1.5
46
Konstrukce 3.3 Jsou dány sdružené průměry elipsy e koncovými body M, N, P, Q. Určete afinitu, v níž elipse e odpovídá kružnice e0 . Řešení (viz obr. 3.1.6): Zvolme za osu o afinity přímku M N . Pak S 0 = S, M 0 = M, N 0 = N jsou střed a body kružnice e0 . Poněvadž dvojici sdružených průměrů elipsy odpovídá v afinitě dvojice kolmých průměrů kružnice e0 , musí body P 0 , Q0 ležet na kolmici k přímce M 0 N 0 procházející bodem S = S 0 . Afinita je pak určena osou o a dvojicí P ↔ P 0 , resp. Q ↔ Q0 ( přímka P P 0 , resp. QQ0 , určuje její směr).
Obr. 3.1.6
Poznámka: Je zřejmé, že druhou afinitu vyhovující úloze je možno volit tak, že bodu P přiřadíme jako obraz bod P20 , který je na obrázku označen Q0 . Změní se tím ovšem směr afinity.
47
Konstrukce 3.4 - trojúhelníková Nechť je dána elipsa s hlavními vrcholy A, B a vedlejšími vrcholy C, D (obr. 3.1.7). Sestrojte libovolný bod bod M této elipsy. Řešení: Užijme obě afinity z konstrukce 3.2 s osami o1 , o2 . Kružnice přiřazené elipse v afinitách s uvedenými osami označíme e0 , e00 . Bodem S vedeme libovolnou přímku m. Ta protne kružnici e0 v bodě M 0 , kružnici e00 v bodě M 00 . Body M 0 , M 00 odpovídají bodu M elipsy v afinitách s osami o1 , o2 . Poněvadž obě afinity jsou pravoúhlé, leží bod M elipsy na kolmici vedené bodem M 0 k ose o1 a na kolmici vedené bodem M 00 k ose o2 . Opakováním konstrukce (pro další volby přímky m) získáme další body elipy.
Obr. 3.1.7
48
Konstrukce 3.5 - proužková Nechť je dána elipsa s hlavními vrcholy A, B a libovolným dalším bodem M . Určete vedlejší vrcholy C, D (obr. 3.1.8). Řešení: Vedeme-li modem M elipsy (obr 3.1.7) rovnoběžku s přímkou m, protne osy elipsy v bodech Q, R. Z rovnoběžníku M M 0 SR plyne |M R| = |M 0 S| = |BS| = a (velikost hlavní poloosy elipsy), z rovnoběžníku M M 00 SQ plyne |M Q| = |M 00 S| = |CS| = b (velikost vedlejší poloosy elipsy). To vede k následující tzv. proužkové konstrukci elipsy o poloosách a, b (obr. 3.1.8). Známe-li hlavní vrcholy A, B elipsy a její další bod M , sestrojíme bod R na vedlejší ose elipsy tak, aby |M R| = a. Spojnice M R protne hlavní osu elipsy v bodě Q a |QM | = b. Vedlejší vrcholy sestrojíme tak, že |SC| = |SD| = b. Konsrukce vrcholů A, B z daných vrcholů C, D a bodu elipsy je z téhož obrázku zřejmá.
Obr. 3.1.8
Z předchozího zřejmě platí: Pohybují-li se krajní body úsečky RQ konstantní délky po dvou k sobě kolmých přímkách o1 , o2 tak, že bod Q leží stále na přímce o1 a bod R na přímce o2 , opisuje libovolný bod M ležící na spojnici RQ (vně úsečky RQ) elipsu. Její osy leží na přímkách o1 , o2 a délky poloos jsou rovny velikosti úseček M R, M Q.
49
Konstrukce 3.6 - Rytzova Je dána elipsa s hlavními vrcholy A, B, vedlejšími vrcholy C, D (středem S a poloosami a, b). K odvození konstrukce použijeme obrázek 3.1.9. Stejně jako v konstrukci 3.4 sestrojíme bod elipsy M a na přímce m body M 0 , M 00 . Středem elipsy vedeme přímku n kolmou k přímce m a sestrojíme 4N N 0 N 00 . Z afinity mezi kružnicí e0 a elipsou e pak plyne, že body M, N jsou koncovými body sdružených průměrů M Q, N P dané elipsy.
Obr. 3.1.9 Otočíme-li pravoúhlý trojúhelník N N 0 N 00 o devadesát stupňů okolo středu S, přejdou body N 0 , N 00 do bodů M 0 , M 00 a bod N do bodu N0 . Vznikne tak obdélník o vrcholech N0 M 0 M M 00 . Jeho střed označme X. Úhlopříčka N0 M tohoto obdélníka protne osy elipsy v bodech Y, Z. Druhá úhlopříčka prochází středem S. Pak platí |XN0 | : |XZ| = |XM 00 | : |XS| = |XM | : |XY |, a poněvadž |XN0 | = |XM 0 | = |XM 00 | = |XM | platí |XY | = |XS| = |XZ|. Bod X je tedy středem přepony pravoúhlého trojúhelníka 4Y SZ (body Y, Z leží na Thaletově kružnici se středem X a poloměrem |XS|). Z rovnoramenného lichoběžníka SM 00 M Y plyne, že |M Y | = b a ze vztahů |XZ| = |XS|, |XM 0 | = |XM |, |XS| + |XM 0 | = a plyne, že |M Z| = a. Uvědomme si, že úsečky SN a SN0 jsou na sebe kolmé (plyne z otočení o pravý úhel). 50
Získaných poznatků užijeme při provedení následující konstrukce: Rytzova konstrukce os elipsy ze zadaných sdružených průměrů. Jsou dány sdružené průměry elipsy s koncovými body N P, M Q. Sestrojte její osy a vrcholy. Řešení (obr. 3.1.10): K průměru P N sestrojíme kolmici v bodě S a na ní bod N0 tak, aby |SN0 | = |SN |. Na spojnici bodů N0 M sestrojíme střed X úsečky N0 M . Dále sestrojíme kružnici k se středem X, procházející bodem S. Průsečíky této kružnice s přímkpou p =↔ N0 M označíme Y, Z. Body Z, Y prochází osy elipsy. Poněvadž |M Y | = b, |M Z| = a, sestrojíme snadno vrcholy A, B, C, D elipsy. (Hlavní osa leží v ostrém úhlu daných sdružených průměrů.)
Obr. 3.1.10
51
Konstrukce 3.7 - příčková konstrukce bodů elipsy Z obr. 3.1.11 snadno zjistíme, že 4R1M ∼ 4XM N . Odtud plyne, že 6
M XN je pravý a
dle Thaletovy věty je bod X bodem kružnice k. Poněvadž afinita zachovává dělicí poměr a rovnoběžnost, odpovídá obrázku 3.1.11 po transformaci afinitou obrázek 3.1.12 (čtverci odpovídá rovnoběžník) a bodům X odpo-
Obr. 3.1.11
vídají body elipsy dané sdruženými průměry M 0 N 0 , P 0 Q0 .
V obrázku 3.1.12 je sestrojena část elipsy pomocí dělení na stejný počet dílů (body 0, 1, 2, 3 , 4). Konstrukce dalších částí elipsy je zřejmá.
Obr. 3.1.12
52
3.2
Užití afinity k řešení úloh o elipse
Afinitu mezi kružnicí a elipsou můžeme užít k řešení úloh o zadané elipse nebo ke konstrukci elipsy z daných prvků. a) Řešení úloh o zadané elipse Postupujeme tak, že elipse afinitou přiřadíme kružnici; zadání převedeme touž afinitou. Řešíme úlohu o kružnici a výsledek afinitou převedeme k elipse. Příklad 3.1 Sestrojte tečny z bodu R k elipse e dané vrcholy A, B, C, D. Řešení (viz obr. 3.2.1): Elipse e přiřadíme kružnici e0 , dle konstrukce 3.2, v afinitě s osou AB a dvojicí odpovídajících si bodů C ↔ C 0 . Bodu R v této afinitě odpovídá bod R0 . Nyní sestrojíme tečny kružnice e0 ; označíme je t01 , t02 a jejich body dotyku T10 , T20 . Tečnám t01 , t02 odpovídají v afinitě tečny t1 , t2 elipsy, bodům dotyku T10 , T20 odpovídají body dotyku T1 , T2 tečen elipsy. Analogicky bychom postupovali, pokud by elipsa byla dána dvojicí sdružených průměrů. (Afinita by byla určena dle konstrukce 3.3.)
Obr. 3.2.1
53
√
Příklad 3.2 Sestrojte průsečík přímky p s elipsou, která má sdružené průměry M N, P Q. Řešení (viz obr. 3.2.2): Konstrukcí 3.2 přiřadíme elipse e kružnici e0 , jež jí odpovídá v afinitě určené osou o =↔ M N a dvojicí přidružených bodů P, P 0 . Přímce p odpovídá v této afinitě přímka p0 , která protíná kružnici e0 v bodech X 0 , Y 0 . Těmto bodům odpovídají průsečíky X, Y přímky p s elipsou e.
Obr. 3.2.2
54
√
b) Sestrojení elipsy z daných prvků Postupujeme tak, že vyhledáme afinitu, která elipse e zadané danými prvky přiřazuje kružnici e0 . Sestrojíme tuto kružnici a pak elipsa e odpovídá, v nalezené afinitě, kružnici e0 . Při hledání afinity volíme buď osu nebo směr. Příklad 3.3 Jsou dány přímky p, q, na nichž leží dvojice sdružených průměrů elipsy e a její tečna t a bodem dotyku T . Sestrojte elipsu e. Řešení (viz obr. 3.2.3): Zvolíme tečnu t elipsy e za osu o afinity. Pak je t = t0 = o, přičemž T 0 je bod dotyku kružnice e0 přiřazené elipse s její tečnou t0 . Střed S 0 kružnice e0 tedy musí ležet na kolmici vedené bodem T 0 k tečně t0 . Sdruženým průměrům p, q elipsy musejí odpovídat sdružené průměry 0
0
p , q kružnice, které jsou na sebe kolmé a protínají se s nimi na ose afinity v bodech 1, 2. Jejich průsečík S 0 musí tedy ležet na Thaletově kružnici sestrojené nad průměrem 1, 2. Hledaná afinita je určena osou a dvojicí odpovídajících si bodů S, S 0 . Přímky p0 a q 0 protnou kružnici e0 v bodech M 0 , N 0 , P 0 , Q0 , které odpovídají v nalezené afinitě koncovým bodům sdružených průměrů M N, P Q elipsy e. Osy elipsy můžeme sestrojit buď pomocí Rytzovy konstrukce nebo pomocí konstrukce 3.1.
√
Obr. 3.2.3 55
Příklad 3.4 Sestrojte elipsu e, která se dotýká dvou rovnoběžných tečen t1 kt2 a prochází body M, N, P . Řešení (viz obr. 3.2.4): Vyhledáme opět osovou afinitu, která elipse přiřadí kružnici e0 . Tentokrát zvolíme směr afinity určený rovnoběžnými tečnami tk t2 . Pak t1 = t01 , t2 = t02 . Přímky t01 , t02 jsou (podle věty 3.1.4) tečnami kružnice e0 . Kružnici e0 tedy zvolíme tak, aby se těchto přímek dotýkala. Obrazy bodů M, N, P , tj. body M 0 , N 0 , P 0 , pak musí ležet na kružnici e0 a na přímkách náležejících směru afinity. Odpovídající si přímky M N ↔ M 0 N 0 a N P ↔ N 0 P 0 se protnou v bodech 1, 2 na ose afinity. Osy elipsy e, která odpovídá kružnici e0 nalezneme pomocí konstrukce 3.1.
√
Obr. 3.2.4 Poznámka:
Za bod M 0 můžeme volit i druhý z průsečíků přímky M M 0 s kružnicí e0 , podobně i pro body N 0 , P 0 (získáme tak ovšem jinou afinitu).
56
3.3
Hyperbola a parabola v osové afinitě
Poněvadž k provedení důkazů následujících tvrzení by byly potřeba znalosti tzv. projektivní geometrie, která není předmětem této publikace, uvedeme je bez důkazu. Věta 3.3.1 Obrazem paraboly v afinitě je opět parabola, obrazem hyperboly v afinitě je hyperbola. Tečně kuželosečky odpovídá tečna jejího obrazu, bodu dotyku tečny odpovídá bod dotyku jejího obrazu. Obrazem středu hyperboly je střed jejího obrazu. Na obr. 3.2.5 je naznačen postup, kterým můžeme sestrojit obraz hyperboly se středem S, vrcholy A, B, ohnisky F1 , F2 a asymptotami aI , aII . Osová afinita je určena osou o a dvojicí odpovídajících si bodů S ↔ S 0 . Můžeme postupovat např. takto: sestrojíme obrazy a0I , a0II asymptot a obraz M 0 libovolného bodu M hyperboly h. Obraz h0 hyperboly h můžeme sestrojit pomocí věty 1.3.10. Pozor! Vrcholům a ohniskům hyperboly neodpovídají vrcholy a ohniska jejího obrazu.
Obr. 3.2.5 57
Obraz paraboly v afinitě sestrojíme snadno, známe-li dvě její tečny s body dotyku. Na obr. 3.2.6 je parabola určena tečnami t1 , t2 s body dotyky T1 , T2 . Afinita je určena osou o a dvojicí odpovídajících si bodů R, R0 . Sestrojíme obrazy tečen t1 , t2 , tj. přímky t01 , t02 , a bodů dotyku T1 , T2 , tj. body T10 , T20 . Nyní máme parabolu určenou tečnami t01 , t02 s body dotyku T10 , T20 . Parabolu pak můžeme sestrojit pomocí konstrukce z příkladu 1.4.3. (Opět pozor! Vrcholu a ohnisku paraboly neodpovídá vrchol a ohnisko jejího obrazu.)
Obr. 3.2.6
58
Na závěr uvedeme (opět bez důkazu) praktickou konstrukci paraboly dané dvěma tečnami s body dotyku, jakožto obálky jejích tečen (obr. 3.2.7). Parabola je dána tečnami t1 , t2 s body dotyku T1 , T2 .
Obr. 3.2.7
Úseky na tečnách, od jejich průsečíku 0 k bodům dotyku tečen, rozdělíme na stejný počet dílků a očíslujeme (viz obr. 3.2.7). Pak spojnice bodů o stejných číslech obalí parabolu.
59
Kapitola 4 PERSPEKTIVNÍ KOLINEACE 4.1
Nevlastní prvky roviny
Nevlastními prvky roviny rozumíme: a) nevlastní bod - označujeme dolním indexem ∞, např. A∞ , b) nevlastní přímka - označujeme dolním indexem ∞, např. a∞ . Rozšíříme-li euklidovskou rovinu E2 o nevlastní prvky, dostaneme tzv. rozšířenou euklidovskou rovinuA˜2 . Nevlastní bod Mějme v rovině přímku p a mimo ni bod Q (viz obr. 4.1.1). Zaveďme zobrazení, které každé přímce m, procházející bodem Q, přiřadí jednoznačně bod M přímky p tak, že M = m ∩ p. Neníli přímka m rovnoběžná s přímkou p, získáme body "klasické" euklidovské roviny, tzv. vlastní body. Rozšíření roviny o nevlastní body provedeme tak, že i přímce m0 ||p přiřadíme jediný bod přímky p. Protože Obr. 4.1.1
m0 ||p, bod přiřazený přímce m0 se nezobrazí na žádný vlastní bod přímky p, označíme ho jako M∞ a nazveme nevlastním bodem přímky p. Na obr. 4.1.1 je označen šipkou ,→. 60
Ze zavedení rozšířené přímky plyne, že všechny rovnoběžné přímky mají společný nevlastní bod (obr. 4.1.2)
Poznámka: Při grafickém znázornění nezáleží na
Obr. 4.1.2
tom, na který "konec" přímky umístíme šipku znázorňující nevlastní bod. V rozšířené rovině se libovolné dvě různé přímky a, b protínají v jednom bodě. V případě, že různoběžek je to vlastní bod roviny (obr. 4.1.3a), v případě rovnoběžek jde o nevlastní bod roviny (obr. 4.1.3b).
Obr. 4.1.3a
Obr. 4.1.3b
Nevlastní přímka Dva různé body určují přímku, dva nevlastní body U∞ , V∞ určují nevlastní přímku u∞ =↔ U∞ V∞ . Nevlastní přímka obsahuje všechny nevlastní body roviny (obr. 4.1.4).
Obr. 4.1.4 61
4.2
Perspektivní kolineace
Definice 4.2.1 Kolineací v rovině % je zobrazení K : % → %, v němž: 1. Obrazem bodu A je bod A0 , obrazem přímky a je přímka a0 ; incidence se zachovává. 2. Odpovídající si přímky se protínají na pevné přímce o, zvané osa kolineace. Jejich průsečík je vlastní bod osy kolineace, je-li přímka s touto osou různoběžná (obr. 4.2.1 přímka a) a nevlastní bod, je-li přímka s touto osou rovnoběžná (obr. 4.2.1 přímka b). 3. Odpovídající si body leží na přímkách procházejících pevným bodem S (středem kolineace).
Obr. 4.2.1 Poznámky: 1. Kolineace, jejíž střed S leží na ose kolineace o se nazývá elace (obr. 4.2.2). 2. Kolineace s nevlastním středem S∞ a nevlastní osou o∞ je posunutí v rovině (obr. 4.2.3).
62
Obr. 4.2.2
Obr. 4.2.3
3. Kolineace s nevlastní osou o∞ a vlastním středem S je stejnolehlost (obr. 4.2.4). 4. Kolineace s vlastní osou o a s nevlastním středem S∞ je osová afinita (obr. 4.2.5).
Obr. 4.2.4
Obr. 4.2.5
5. Kolineace s vlastní osou o a vlastním středem S je perspektivní (středová, centrická) kolineace.
Dále se budeme zabývat vlastnostmi pouze perspektivní kolineace; budeme ji krátce nazývat pouze kolineace.
63
Body, které jsou v kolineaci obrazy nebo vzory nevlastních bodů, nazýváme úběžníky. Přímky, které jsou obrazy nebo vzory nevlastních přímek nazýváme úběžnicemi (obr. 4.2.6): 0 v . . . . . . . vzor nevlasní přímky v∞
u0 . . . . . . . obraz nevlastní přímky u∞ V ∈ v . . . . vzor nevlastního bodu V∞ U 0 ∈ u0 . . . obraz nevlastního bodu U∞
Obr. 4.2.6
Z definice kolineace bezprostředně plynou následující tvrzení. Věta 4.2.1 Body na ose kolineace jsou samodružné. Věta 4.2.2 Obrazy rovnoběžných přímek se protínají na úběžnici, přičemž a) je-li (akb) 6 ko, pak U 0 = a0 ∩ b0 je vlastní bod, tj. a0 , b0 jsou různoběžky (obr. 4.2.7a), 0 b) je-li ckdko, pak U∞ = c0 ∩ d0 je nevlastní bod, tj. c0 , d0 jsou rovnoběžné
s osou kolineace (obr. 4.2.7b).
64
Obr. 4.2.7a
Obr. 4.2.7b
Také v případě kolineace můžeme zavést pojem charakteristika kolineace. Je-li bod A0 průsečík přímky AA0 s osou kolineace (obr. 4.2.8) a λA = (A0 AS), λA0 = (A0 A0 S) jsou dělicí poměry, pak charaktristikou kolineace je dvojpoměr k = λλA0 A Obr. 4.2.8 0 Protože nevlastní přímka roviny v∞ (resp. u∞ ) a jí odpovídající vlastní
přímka v (resp. u0 ) mají společný bod v nevlastním bodě osy kolineace, platí: Věta 4.2.3 Úběžnice jsou rovnoběžné s osou kolineace o (o||u0 ||v). Bezprostředně z rovnoběžníku XU 0 SV na obr. 4.2.6 plyne i následující tvrzení: Věta 4.2.4 Orientovaná vzdálenost středu kolineace S od jedné úběžnice je rovna orientované vzdálenosti druhé úběžnice od osy o kolineace.
65
Z vlastnosti stejnolehlosti plyne,že
Věta 4.2.5 Kolineace nezachovává dělicí poměr bodů na přímce, která je různoběžná s osou kolineace o (obr. 4.2.9a), na přímce rovnoběžné s osou kolineace se dělicí poměr zachovává (obr. 4.2.9b). 4ASC 6∼ 4A0 SC 0
4ASC ∼ 4A0 SC 0
neshodují se v úhlech
(věta uu)
Obr. 4.2.9a
Obr. 4.2.9b
Věta 4.2.6 Kolineace je určena osou o, středem S a dvojicí odpovídajících si bodů A ↔ A0 .
Je-li totiž mimo osu dán bod X 6= A, dovedeme sestrojit jeho obraz X 0 a) Není-li bod X bodem přímky
následovně:
AA0 (obr 4.2.10), pak přímky XX 0 a AA0 procházejí bodem S a bod X 0 leží na obrazu přímky m
=↔
AX. Protíná-li přímka
XA osu v bodě Q, je Q = Q0 a obrazem přímky AX je přímka m0 =↔ QA0 =↔ A0 X 0 . Je-li přímka
Obr. 4.2.10
XA s osou o rovnoběžná, je s osou o rovnoběžná i přímka A0 X 0 .
66
b) Je-li bod Y 6= A (obr. 4.2.11) bodem přímky AA0 , zvolíme bod Z, který neleží ani na ose, ani na přímce AA0 . Sestrojíme jeho obraz Z 0 a bod Y 0 musí ležet na obraze m0 přímky m =↔ ZY .
Obr. 4.2.11
Kromě určení kolineace osou, středem a dvojicí odpovídajících si bodů může být kolineace určena i jinak. Kolineace může být určena například: a) středem S, osou o a dvojicí odpovídajících si přímek (a ∩ a0 ∈ o nebo aka0 ko včetně úběžnic). b) dvěma trojicemi odpovídajících si bodů (S ∈↔ AA0 , S ∈↔ BB 0 , S ∈↔ CC 0 ). c) dvěma trojicemi odpovídajících si přímek (protínají-li se vzory ve třech bodech téže přímky, alespoň dva body musí být různé; pokud a ∩ a0 ∈ o, b ∩ b0 ∈ o, c ∩ c0 ∈ o, alespoň dva průsečíky jsou různé). d) středem S, dvojicí odpovídajících si bodů A ↔ A0 a dvojicí odpovídajících si přímek a ↔ a0 (A 6∈ a). e) osou o a dvěma dvojicemi odpovídajících si bodů (S ∈↔ AA0 , ↔ AB∩ ↔ A0 B 0 ∈ o). f ) středem S a dvěma dvojicemi odpovídajících si přímek a ↔ a0 , b ↔ b0 (A = a ∩ b, B = a0 ∩ b0 pak S ∈↔ AB nebo přímky procházejí týmž bodem 6= S). g) Středem S, osou o a charakteristikou k.
Důkaz, konstrukce a diskuzi těchto tvrzení přenecháme opět píli laskavého čtenáře (nebo mohou sloužit jako námět na cvičení). 67
Příklad 4.2.1 V kolineaci K(S, o, a ↔ a0 ) určete úběžnice v a u0 .
Řešení (obr. 4.2.12): a přímky a se zobrazí do vlastního bodu U 0 ∈ a0 . Středem Nevlastní bod U∞
S kolineace vedeme přímku qka. Bod U 0 , kterým prochází úběžnice u0 ko, je jejím průsečíkem s přímkou a0 , U 0 = a0 ∩ q. Úběžnici vko doplníme tak, aby orientovaná vzdálenosti |ou0 | a |vS| byly shodné (věta 4.2.4) nebo vko, V ∈ v, V = a ∩ p, S ∈ p, pka0 .
Obr. 4.2.12
68
Příklad 4.2.2 V kolineaci K(S, o, v) zobrazte čtverec ABCD. Řešení (obr. 4.2.13): V našem případě jsou strany čtverce AD a BC rovnoběžné s osou o kolinace, takže i jejich obrazy budou rovnoběžné s osou o. Zvolme přímku q =↔ AB a označme její průsečíky s osou o a úběžnicí v po řadě X = q ∩ o, Y = q ∩ v. Bod úběžnice se zobrazí do nevlastního bodu přímky q 0 , tzn. ↔ SY kq 0 . Přímka q 0 prochází samodružným bodem X. Pro vrcholy obrazu čtverce B 0 a A0 platí: A0 =↔ AS ∩ q 0 , B 0 =↔ SB ∩ q 0 .
Obr. 4.2.13
69
Příklad 4.2.3 V kolineaci K(S, o, v) zobrazte trojúhelník ABC, jestliže: a) úběžnice v nemá žádný společný bod s 4ABC, b) úběžnice prochází vrcholem C, c) úběžnice protíná strany AB, AC. Řešení: a) Vrcholy trojúhelníka nalezneme stejným postupem, který byl použit v příkladu 4.2.2 (obr. 4.2.14a).
Obr. 4.2.14a
70
0 b) Vrchol C leží na úběžnici v, proto je jeho obrazem nevlastní bod C∞ 0 0 a strany A0 C∞ a B 0 C∞ jsou rovnoběžné (obr. 4.2.14b)
Obr. 4.2.14b
71
c) Obraz trojúhelníka bude obsahovat dva nevlastní body, které jsou obrazy bodů X a Y , ve kterých úběžnice v protíná strany trojhelníka (obr. 4.2.14c).
Obr. 4.2.14c
72
Kapitola 5 KUŽELOSEČKY V PERSPEKTIVNÍ KOLINEACI 5.1
Obraz kuželosečky v perspektivní kolineaci
Podobně jako v kapitole o osové afinitě také zde nebudeme věty dokazovat. Zaměříme se spíše na popis konstrukce. Bez důkazu uvádíme, že: • elipsa (kružnice) nemá žádný nevlastní bod,
• parabola má jeden nevlastní bod (bevlastní bod osy)
• hyperbola má dva nevlastní body (nevlastní body asymptot).
Věta 5.1.1 V perspektivní kolineaci odpovídá kuželosečce k kuželosečka k 0 , přičemž kuželosečka k 0 má tolik nevlastních bodů, kolik má její vzor (kuželosečka k) průsečíků s úběžnicí v.
73
To znamená, že výsledná kuželosečka nemusí být stejného typu jako výchozí kuželosečka. Úběžnice je vzhledem
kuželosečka
počet
ke kuželosečce k
k0
nevlastních bodů
nesečna
←→
elipsa (kružnice)
0
sečna
←→
hyperbola
2
tečna
←→
parabola
1
Věta 5.1.2 Bodům, tečnám a bodům dotyku tečen kuželosečky k odpovídají body, tečny a body dotyku tečen kuželosečky k 0 . POZOR! • Středu elipsy či hyperboly nemusí odpovídat střed kuželosečky po zobrazení, i když výsledkem bude opět středová kuželosečka. • Průměru kuželosečky nemusí odpovídat průměr výsledné kuželosečky, i když to bude opět středová kuželosečka. • Sdruženým průměrům kružnice či elipsy nemusí po zobrazení odpovídat sdružené průměry, i když výslednou kuželosečkou bude kružnice či elipsa.
Konstrukce 5.1 V kolineaci K(S, o, v) dané středem S, osou o a úběžnicí v sestrojte obraz kružnice k(K; r), která neprotíná úběžnici v. Řešení (obr. 5.1.1): Podle věty 5.1.1 pje výslednou kuželosečkou elipsa k 0 . Pokusme se tedy najít sdružené průměry této elipsy. Tečnám kružnice t1 , t2 , které jsou rovnoběžné s osou kolineace o odpovídají tečny elipsy t0 , které jsou také rovnoběžné s osou o. To znamená, že body T1 , T2 dotyku tečen t1 , t2 přejdou do bodů T10 , T20 ohraničujících průměr 74
elipsy. Střed O0 úsečky T10 T20 je pak středem hledané elipsy k 0 . Dále určíme vzor tohoto bodu, tj. bod O na průměru T1 T2 kružnice. Veďme bodem O sečnu q rovnoběžnou s osou kolineace o, tj. kolmou na průměr T1 T2 . Označme její průsečíky s kružnicí P, Q. Protože obraz q 0 přímky q musí být také rovnoběžný s osou o, tedy i s tečnami t01 , t02 , je úsečka P 0 Q0 sdruženým průměrem elipsy k průměru T10 T20 . Osy elipsy najdeme pomocí Rytzovy konstrukce 3.6.
Obr. 5.1.1
75
Konstrukce 5.2 V kolineaci K(S, o, v) dané středem S, osou o a úběžnicí v sestrojte obraz kružnice k(K; r), je-li úběžnice v její tečnou. Řešení (obr. 5.1.2): Podle věty 5.1.1 je výslednou kuželosečkou parabola k 0 . Zvolíme-li dvě libovolné tečny t1 , t2 s body dotyku T1 , T2 kružnice, víme (věta 5.1.2), že jim odpovídají tečny t01 , t02 s body dotyku T10 , T20 . K zobrazení výsledné paraboly použijeme postup uvedený v příkladu 1.4.3.
Obr. 5.1.2
76
Můžeme postupovat i jiným způsobem. 0 Dotykový bod W úběžnice se zobrazí do nevlastního bodu paraboly W∞ ,
máme tedy určený směr osy paraboly o0p . Vrcholová tečna t0V je kolmá na osu paraboly o0p . Rovnoběžka s touto vrcholovou tečnou vedená středem S protne úběžnici v bodě M , kterým musí procházet vzor tV vrcholové tečny. Z bodu M tedy vedeme tečnu ke kružnici k a určíme její dotykový bod V . Jeho obrazem V 0 je vrchol paraboly. Na kružnici dále zvolíme další libovolný bod T , sestrojíme v něm tečnu t a najdeme jejich obrazy T 0 , t0 . Parametr p paraboly určíme jako subnormálu, sestrojíme ohnisko F a řídicí přímku d (věta 1.4.10).
Obr. 5.1.3
77
Konstrukce 5.3 V kolineaci K(S, o, v) dané středem S, osou o a úběžnicí v sestrojte obraz kružnice k(K; r), která protíná úběžnici v ve dvou bodech. Řešení (obr. 5.1.4): Podle věty 5.1.1 je výslednou kuželosečkou hyperbola k 0 . Pokusme se tedy najít nejprve její asymptoty a0I , a0II . Vzory asymptot a0I , a0II jsou tečny elipsy sestrojené v bodech AI , AII , v nichž kružnice k protíná úběžnici v. Střed O0 hyperboly je průsečíkem asymptot a0I , a0II a osy hyperboly jsou osami úhlů asymptot. Zvolme dále libovolný bod M kružnice a najděme jeho obraz M 0 . (V našem případě byl použit samodružný bod.) Velikost hlavní poloosy a určíme podle věty 1.3.10. Z definice asymptot určíme velikost vedlejší poloosy, dále velikost excentricity a obě ohniska.
Obr. 5.1.4
78
Příklad 5.1.1 V kolineaci K(S, o, v) dané středem S, osou o a úběžnicí v sestrojte obraz paraboly k, která protíná úběžnici v ve dvou bodech. Řešení (obr. 5.1.5): Podle věty 5.1.1 je výslednou kuželosečkou hyperbola k 0 . Postup je tedy analogický s konstrukcí 5.3. Nejprve sestrojíme asymptoty a0I , a0II
hledadné hyperboly. Vzory asymptot a0I , a0II jsou tečny paraboly se-
strojené v bodech AI , AII , v nichž parabola k protíná úběžnici v. Střed O0 hyperboly je průsečíkem asymptot a0I , a0II a osy hyperboly jsou osami úhlů asymptot. Zvolme dále libovolný bod M paraboly a najděme jeho obraz M 0 . Velikost hlavní poloosy a určíme podle věty 1.3.10. Z definice asymptot určíme velikost vedlejší poloosy, dále velikost excentricity a obě ohniska.
√
Obr. 5.1.5
5.2
Užití kolineace při sestrojování kuželoseček
Při sestrojování kuželoseček pomocí kolineace rozlišíme dva případy: A) Kuželosečka k je zadána dvěma tečnami t1 , t2 a třemi různými body 79
M1 , M2 , M3 , které neleží v jedné přímce (obr. 5.2.1). B) Kuželosečka je dána dvěma body M1 , M2 a třemi tečnami t1 , t2 , t3 , které neprocházejí týmž bodem (obr 5.2.2). Pokud nalezneme kolineaci mezi kuželosečkou k a přiřazenou kružnicí 0
k , můžeme k jejímu sestrojení využít konstrukce 5.1, 5.2 a 5.3. Z vlastností kolineace plyne, že je-li střed kolineace S vnějším bodem kružnice k 0 , pak bodem S procházejí společné tečny kružnice a kuželosečky. Tím je určen i další postup řešení: 1. Zvolme jeden ze základních prvků určované kolineace. Střed S volíme vždy v průsečíku daných tečen; osu o volíme jako spojnici daných bodů. 2. Sestrojíme kružnici k 0 . • při volbě středu S se kružnice k 0 dotýká obou tečen, • při volbě osy o prochází kružnice k 0 oběma body. 3. Užitím vlastností kolineace doplníme všechny kolineárně odpovídající prvky k daným prvkům kuželosečky k. 4. Sestrojíme druhý základní prvek kolineace, tj. osu o nebo střed S. 5. Sestrojíme kuželosečku k. Poznámka. Při určení kuželosečky tečnou s bodem dotyku a dalšími třemi prvky považujeme podle potřeby tuto tečnu s bodem dotyku za: a) dva splývající body, jejichž spojnicí je tečna, b) dvě splývající tečny, jejichž průsečíkem je bod dotyku, c) tečnu a bod.
80
Obr. 5.2.1
Obr. 5.2.2
81
Příklad 5.2.1 Seastrojte rovnoosou hyperbolu, která je dána tečnou t s bodem dotyku T a dvěma body M1 , M2 . Řešení (obr. 5.2.3, 5.2.4, 5.2.5): Za střed kolineace S zvolíme bod T , který považujeme za průsečík dvou tečen. Kolineární kružnici k 0 volíme tak, aby se dotýkala tečny t v bodě T . Její střed označíme K 0 . K bodům M1 , M2 najdeme odpovídající body M10 , M20 na kružnici k 0 . Máme-li setrojit hyperbolu, musí být úběžnice u0 sečnou kolineární kružnice k 0 (věta 5.1.1). Nechť jsou příslušnými průsečíky kružnice k 0 s úběžnicí u0 body W10 , W20 . Protože hledaná hzperbola má být rovnoosá, musí být její asymptoty navzájem kolmé. Směr asymptot je určen přímkami SW10 , SW20 , tedy přímka SW10 musí být kolmá k přímce SW20 . Střed kolineace S a body W10 , W20 leží na kružnici k 0 , takže pravý úhel 6
W10 SW20 je úhlem obvodovým
a body W10 , W20 musí být koncovými body průměru kružnice k 0 . Úběžnice u0 proto prochází středem K 0 kolineární kružnice (obr. 5.2.3).
Obr. 5.2.3 Středu kružnice K 0 ∈ u0 odpovídá nevlastní bod K∞ ∈↔ SK 0 . Osa kolineace je určena body 1 =↔ M1 M2 ∩ ↔ M10 M20 a 2 =↔ M1 K∞ ∩ M10 K 0 ; o =↔ 12. Úběžnice u0 je rovnoběžné s osou kolineace o (obr. 5.2.4).
82
Obr. 5.2.4
83
Pro sestrojení hyperboly užijeme postupu konstrukce 5.3. Na následujícím obrázku vycházíme z výsledku předchozí konstrukce osy o a úběžnice u0 . Tečny kružnice k 0 sestrojené v bodech W10 , W20 jsou vzory a0I , a0II asymptot aI , aII ; aI kSW10 , aII kSW20 . Hlavní poloosu určíme podle věty 1.3.10.
√
Obr. 5.2.5
84
LITERATURA [1] KOPŘIVOVÁ, H.: Deskriptivní geometrie I, II.[ Skriptum ČVUT], Praha, ČVUT 1997. [2] DRÁBEK, K. - HARANT, F. - SETZER, O.: Deskriptivní geometrie I, II. Praha, SNTL 1979,1981. [3] URBAN, A: Deskriptivní geometrie I, II. SNTL, Praha 1967. [4] PISKA, R. - MEDEK, V.: Deskriptivní geometrie I, SNTL, Praha 1966. [5] KEJZLAR, A. - KŘEČEK, V. - NOVÁK, J.: Deskriptivní geometrie, [Skriptum VŠST],VŠST, Liberec 1969. [6] DRS, L. - NOVÁK, J. - ROUBEK, O.: Konstruktivní geometrie. [Skriptum FS ČVUT], ČVUT. Praha 1992 [7] LÁNÍČEK, J.: Deskriptivní geometrie. [Skriptum VŠB v Ostravě], Ostrava 1990.
85
POZNÁMKY
86
