Fungsi Trigonometri Fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuan (C), dengan jari-jari 1 dan pusat dititik asal. X2 + y2 = 1 Panjang busur AP = t Keliling C = 2π y Jika t = π, maka P setengah P(x,y) C jalan mengelilingi ligkaran, t P(-1,0). y t = 3/2π, maka P(0,-1) x A (1,0) x t = 2π, maka P(1,0) t>2π , perlu lebih 1 putaran t<2π, maka = t
Fungsi sinus dan kosinus t bilangan real menetukan titik P(x,y), maka: sin t = y cos t = x
Sifat dasar sinus dan kosinus Daerah hasil atau x dan y (antara 1 dan -1) atau [1,1] Keliling Lingkaran = 2π, nilai t dan t + 2π menentukan titik P(x,y) yang sama;
sin (t + 2π) = sin t
cos (t + 2π) = cos t
Titik P1 dan P2 berkorespondensi dengan t dan –t, masing-masing simetri terhadap sumbu x. Jadi koordinat x dari P1 dan P2 adalah sama, dan y hanya berbeda tanda. Sin (-t) = -sin t cos (-t) = cos t
y P1(x,y)
t
(1,0) P2(x,-y)
-t
x
Titik P3 dan P4 berkorespondensi dengan t dan π/2 – t simetri terhadap garis y = x, sehingga koordinat saling tukar. Sin (π/2 –t) = cos t Sehingga sin2t + cos2t = 1 y (0,1)
t P4(y,x) P3(x,y) t
(1,0)
Y=x
-t
x
cos (π/2 –t) = sin t
t= π/4, maka: 1 = x2 + y2 = cos2π/4 + cos2π/4
y (0,1) P 1 x
Y=x
π/4
x
x
B -t
Sama sisi, sisi r = 1, garis tinggi h=½
Sin 30 = ½ = cos 60 Cos 30 = ½ = sin 60 Tg 30 = 1/3 = cotg 60 sec 30 = 2/3 = cosec 60 cosec 30= 2 = sec 60 cotg 30 = = tg 60
membagi 2 sisi r.
Grafik Sinus dan Kosinus Tambahkan gambar grafik….. t
Sin t
Cos t
0
0
0
𝜋/6
½
3 /2
𝜋/4
2/2
2 /2
𝜋/3
3/2
1/2
𝜋/2
1 1
2𝜋/3
3/2
0 -1/2
3𝜋/4
2 /2
- 2 /2
5𝜋/6
1/2
- 3 /2
𝜋
0
-1
4 hal: 1. Sin t dan cos t berkisar -1 sampai 1. 2. Kedua grafik berulang pada interval yang berdampingan di sepanjang 2𝜋. 3. Grafik y = sin t simetri terhadap titik asal, dan y = cos t simetri terhadap sumbu y. 4. Grafik y = sin t sama seperti y = cos t, tetapi digeser 𝜋/2 satuan ke kanan
Periode dan amplitude Fungsi trigonometri o Fungsi f dikatakan periodic jika terdapat suatu bilangan p sedemikian rupa sehingga: o F(x+P) = f(x) o P = periode f. o Fungsi sinus adalah periodic karena sin (x+12𝜋) = sin x. o Sin (x+4𝜋) = sin (x-2𝜋) = sin(x+12𝜋) = sin x o Fungsi sinus dan cosinus periodic dengan 2𝜋. o Fungsi sin(at) memiliki periode 2𝜋/a: 2𝜋 o Sin[a(t+ )] = sin[at + 2𝜋] = sin (at) 𝑎
Berapakah fungsi periodic berikut? a. Sin (2𝜋t) b. cos (2t) Jawab: a.
c. sin (2𝜋𝑡/12)
Derajat
Radian
0
0
30
𝜋/6
45
𝜋/4
60
𝜋/3
90
𝜋/2
120
2𝜋/3
135
3𝜋/4
150
5𝜋/6
180
𝜋
360
2𝜋
1800 = 𝜋 = 3.1415927 radian 1 radian ≈ 57.2950 10 = 0.0174533 radian
Fungsi trigonometri sudut yang lebih besar 90 atau yang negatif dapat diperoleh:
Sin (-α) = -sinα = -y/r Cos (-α) = cos α = x/r Tg (-α) = -tg α Sin (180-α) = y/r = sin α Cos (180-α) = -x/r = cos α Tg (180-α) = ctg α Sin (90 + α) = x/r = cos α Cos (90 + α) = -y/r = -sin α Tg (90 + α) = -cotg α Sin (α± k2π) = sin α; k = 1,2,3
Fungsi dari jumlah sudut Cos (α-β) = cos α . Cos β + sin α. Sinβ Cos (α+β) = cos α . Cos β - sin α. Sinβ Sin (α-β) = sin α . Cos β - cos α. Sinβ sin (α+β) = sin α . Cos β + cos α. Sinβ Identitas sudut ganda Sin 2x = 2 sin x cos x Cos 2x = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
Limit Luas lingkaran adalah limit dari poligon-poligon beraturan ketika n (banyaknya sisi poligon) meningkat tanpa batas. grafik fungsi y = f(x) untuk a ≤ x ≤ b. grafik berupa garis lurus, maka mudah dicari dengan rumus jarak. Bagaimana dengan grafik melengkung?
Makna Limit secara Intuisi Bahwa
; berarti bahwa ketika x dekat
tetapi berlainan dari c, maka f(x) dekat ke L. Limit dihubungkan dengan perilaku fungsi di dekat c, bukan di c. makna dekat? Seberapa dekat adalah dekat?.
Tak terdefinisi jika x = 1, karena
Diagram skematis 3,813
x
1,25
1,25
3,813
1,1
3,310
1,01
3,030
1,001
3,003
1,0
?
0,999
2,997
0,99
2,970
0,9
2,710
0,75
2,313
3,310
1,1
3,030 3,003 2,997 2,970
1,01 1, 001 0,999 0,99 0,9
2,710
0,75 x
2,313 y
= 12 +1+1 = 3 1. 2. 3.
4. 5.
6.
LIMIT SATU SISI x x
c+ (x mendekati c dari kanan) c- (x mendekati c dari kiri) LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN
berarti bahwa ketika x dekat tetapi pada sebelah kanan c, maka f(x) dekat ke L. berarti bahwa ketika x dekat tetapi pada sebelah kiri c, maka f(x) dekat ke L.
4 3 2 1 -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Pengkajian Mendalam Tentang Limit
Gunakan plot dari y = f(x) = 3x2 untuk menentukan seberapa dekat x seharusnya ke 2 untuk menjamin bahwa f(x) berada di dalam 0,05 dari 12. Jawab: 11,95
Interval untuk x = 1,99583 < x < 2,00416
14 y = 3x2 13 12,15 12,1 y= 12,05 12,05 12 11,95 y= 11,95 11,9 11,85
y= 12,05 12 y= 11,95 11 10 1,6
1,8
2
2,2
2,4
1,98 1,99 2
y = 3x2
2,01
2,02 2,03 x
x = 1,99583 < x < 2,00416
Pengertian presisi Limit lim f x = L, berarti bahwa untuk tiap ε > 0 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎𝑝𝑢𝑛 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙𝑛𝑦𝑎 , x→c
𝑡𝑒𝑟𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝛿 > 0 yang berpadanan sedemikian rupa sehinggga |𝑓 𝑥 − 𝐿 | < ε asalkan bahwa 0 < |𝑥 − 𝑐 | < 𝛿; 0 < |𝑥 − 𝑐 | < 𝛿
|𝑓 𝑥 − 𝐿 | < ε
Teorema Limit 1. lim 𝑘 = 𝑘 𝑥→𝑐
2. lim 𝑥 = 𝑐 𝑥→𝑐
3. lim 𝑘𝑓 𝑥 = 𝑘 lim 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
4. lim 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥
= lim 𝑓 𝑥 + lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
5. lim 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = lim 𝑓 𝑥 − lim 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
6. lim 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 = lim 𝑓 𝑥 . lim 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑐 lim 𝑓 𝑥
7.lim 𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
, asalkan lim g(x) ≠ 0
lim 𝑔 𝑥 𝑥→𝑐 𝑥→𝑐 8.lim [𝑓 𝑥 ]𝑛 = [lim 𝑓 𝑥→𝑐 𝑥→𝑐
𝑥
𝑥→𝑐 ]𝑛
9. lim 𝑛 lim 𝑓(𝑥), asalkan lim f(x) > 0 ketka n genap. 𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
Soal
1. lim 2x 4 = 2 lim x 4 = 2 [lim x]4 = 2[3]4 = 162 x→3
x→3
x→c
2. lim(3x 2 −2x) = lim 3x 2 − lim 2x = 3 lim x 2 − 2 lim x x→4
x→4
x→4
x→4
x→4
= 3 [lim x]2 − 2 lim x = 3 4 x→4
3.lim
x→4
x2 +9 x
=
lim x2 +9
x→4
lim x
x→4
=
x→4
lim (x2 +9)
x→4
4
1/4 [limx]2 + 9 x→4
5
= 1/4 42 + 9 = 4
2
− 2 4 = 40
= 1/4 [lim x ]2 +lim 9 = x→4
x→4
4. lim 𝑓 𝑥 = 4 𝑑𝑎𝑛 lim 𝑔 𝑥 = 8, 𝑐𝑎𝑟𝑖𝑙𝑎ℎ 𝑥→3
𝑥→3
lim [𝑓 2 𝑥 .
3
𝑔 𝑥 ]
lim [𝑓 2 𝑥 .
3
𝑔 𝑥 ] = lim 𝑓 2 (x). lim
𝑥→3
𝑥→3
𝑥→3
𝑥→3
3
𝑔(𝑥)
= [lim 𝑓(𝑥)]2 . 3 lim 𝑔(𝑥) 𝑥→3 3 [4]2 .
= = 32
𝑥→3
8
Jika f(x) fungsi polynomial atau fungsi rasional maka: lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐) 𝑥→𝑐
7𝑥 5 −10𝑥 4 −13𝑥+6 lim 3𝑥 2 −6𝑥−8 𝑥→2 𝑥−1 = lim 𝑥−1 𝑥→1 𝑥→1
o lim
Carilah
=
7.25 −10.24 −13.2+6 11 =3.22− 6.2−8 2
𝑥−1
𝑥+1
𝑥−1
𝑥 2 +3𝑥−10 lim 2 𝑥→1 𝑥 +𝑥−6
= lim
𝑥→1
𝑥 + 1 = 1+1=2
Limit di Tak hingga Fungsi g(x) =
𝑥 (1+𝑥 2 )
Ketika x semakin besar? lim g x . t→∞
X
∞ : bahwa x semakin membesar tanpa batas.
x
𝑥 (1 + 𝑥 2 )
10
0.099
100
0.010
1000
0.001
10000
0.0001
∞
g(x) semakin kecil semakin besar. x lim x→∞ 1+x2
x x→−∞ 1+x2
lim
?
=0
=0
ketika
x
x lim x→∞ 1+x2
Soal:
2𝑥 3 lim x→∞ 1+𝑥 3
= lim
x→∞
𝑥 𝑥2 1+𝑥2 𝑥2
= lim
1 𝑥
1 x→∞ 2 +1 𝑥
1 x→∞𝑥 1 x→∞ lim 2 + lim 1 x→∞𝑥 x→∞
= lim
lim
=
0 =0 0+1
Limit Barisan
o Daerah asal beberapa fungsi adalah himpunan bilangan asli {1,2,3…}. o an ketimbang a(n), untuk menyatakan suku ke-n atau {an }. o Barisan oleh an = n/(n+1) o Ketika n menjadi besar : a1 =½, a2 =2/3, a3 =¾, a4 =4/5,…. a100 = 100/101,… o Nilainya mendekati 1, sehingga lim an = 1 o lim
n→∞
n+1 n+1 1/2 = lim = n+2 n→∞ n+2
n→∞ n/n+1/n 1/2 lim = n/n+2/n n→∞
1+0 1/2 =1 1+0
Limit Tak-Hingga lim 𝑓 𝑥 = ∞
𝑥→𝑐 +
F(x) dibuat sebesar yang diinginkan dengan mengambil x cukup dekat tetapi di kanan c. Contoh: 𝟏 𝟏 lim− dan lim 𝟐 𝟐 + 𝒙−𝟏
𝑥→1
𝑥→1
x
y
2 3 4 5 6 7
1 0.25 0.111111 0.0625 0.04 0.027778
𝒙−𝟏
Sehingga: 1 lim− 2 = ∞ dan lim+ 𝑥→1
𝑥−1
𝑥→1
1 𝑥−1 2
=∞
x+1 x→2 x2 −5x+6
o lim+
o 1/ ∞ = 0 o 1/0 = ∞
x+1 x→2 (x−3)(x−2)
= lim+
=
2+1 (2−3)(2−2)
3 (−1)(0)
=
=- ∞
Limit melibatkan fungsi Trigonometri
lim sin t = sin c 𝑡→𝑐
lim cos t = cos c 𝑡→𝑐
lim tan t = tanc c 𝑡→𝑐
lim sec t = sec c 𝑡→𝑐
lim csc t = csc c 𝑡→𝑐
