Název školy Číslo projektu Šablona
Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5
Označení materiálu Vypracoval(a), dne Ověřeno (datum) Předmět Třída Téma hodiny Druh materiálu Anotace
VY_32_INOVACE_Hor018 Mgr. Radek Horenský, Ph.D., 1.6.2013 12.6.2013 Matematika 3.A Charakteristiky polohy Prezentace v Powerpointu Základní statistické charakteristiky polohy, průměry, odchylky
CZ.1.07/1.5.00/34.0218 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Mgr. Radek Horenský, Ph.D.
Charakteristiky polohy
Charakteristiky polohy Pro popis statistického souboru je tabulka četností (například známek z písemky z matematiky) kompletní statistickou informací, ale pro rychlou orientaci máme údajů příliš mnoho ⇒ hledáme proto určitá čísla, která nám rychle řeknou, jaké jsou typické hodnoty souboru dat.
Charakteristiky polohy Nejčastějším statistickým průměrné hodnoty souboru. K nejpoužívanějším patří: • Aritmetický • příp. aritmetický vážený
• Geometrický • příp. geometrický vážený
• Harmonický • Kvadratický
údajem
jsou
Charakteristiky polohy Aritmetický průměr 𝑥 je nejčastěji užívanou charakteristikou polohy a je dán vzorcem: 𝑛 𝑥1 + 𝑥2 +. . . +𝑥𝑛 1 𝑥= = 𝑥𝑖 𝑛 𝑛 𝑖=1
Součet zjištěných hodnot znaku všech jednotek vydělíme počtem všech jednotek. Vážený aritmetický průměr, kdy prvek 𝑥1 má četnost výskytu 𝑛1 , prvek 𝑥2 má četnost výskytu 𝑛2 , atd. až prvek 𝑥𝑘 má četnost výskytu 𝑛𝑘 , pak 𝑛1 𝑥1 + 𝑛2 𝑥2 +. . . +𝑛𝑘 𝑥𝑘 1 𝑥= = 𝑛1 + 𝑛2 +. . . +𝑛𝑘 𝑛 kde 𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2 +. . . +𝑛𝑘 .
𝑘
𝑛𝑖 𝑥𝑖 , 𝑖=1
Charakteristiky polohy Aritmetický průměr 𝑥 v mnoha případech však dává zkreslené informace o souboru. Vyskytuje-li se mezi srovnávanými hodnotami extrémně velký či extrémně malý prvek, dostáváme výsledný aritmetický průměr posunutý daným směrem. Pro lepší náhled na hodnoty v souboru tyto extrémní hodnoty ze souboru vyřadíme a aritmetický průměr vztáhneme jen na zbývající prvky. Pro velké soubory statistických dat jsou důležité další hodnoty, a to: • Modus 𝑥, resp. 𝑀𝑜𝑑(𝑥) (prvek s největší četností) • Medián 𝑥 , resp. 𝑀𝑒𝑑(𝑥) (prostřední prvek, resp. aritmetický průměr dvou prostředních prvků v uspořádaném souboru dat)
Charakteristiky polohy V případě souboru dat, který vyjadřuje např. tempo růstu dané veličiny, zavádíme střední tempo růstu, které vystihuje geometrický průměr 𝑥𝑔 , který je dán vzorcem: 𝑥𝑔 =
𝑛
𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙. . .∙ 𝑥𝑛 =
𝑛
𝑛
𝑥𝑖 𝑖=1
Vážený geometrický průměr, kdy prvek 𝑥1 má četnost výskytu 𝑛1 , prvek 𝑥2 má četnost výskytu 𝑛2 , atd. až prvek 𝑥𝑘 má četnost výskytu 𝑛𝑘 , je pak 𝑥𝑔 =
𝑛
𝑥1 𝑛1 ∙ 𝑥2 𝑛2 ∙. . .∙ 𝑥𝑘 𝑛𝑘 =
𝑛
𝑘
𝑥𝑖 𝑛𝑖 , 𝑖=1
kde 𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2 +. . . +𝑛𝑘 .
Charakteristiky polohy V případě souboru dat, který vyjadřuje např. výkon různých strojů, zavádíme střední výkon, který vystihuje harmonický průměr 𝑥ℎ , jehož převrácená hodnota je aritmetický průměr převrácených hodnot jednotlivých výkonů, platí tedy: 𝑛 𝑛 𝑥ℎ = = 1 1 1 𝑛 1 + +. . . + 𝑖=1 𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑖 V případě souboru dat, který vyjadřuje např. kinetické energie jednotlivých částic, je výhodné zavést kvadratický průměr 𝑥𝑘 , jehož hodnota je: 𝑥𝑘 =
𝑥1 2 + 𝑥2 2 +. . . +𝑥𝑛 2 𝑛
=
𝑛 2 𝑖=1 𝑥𝑖
𝑛
Charakteristiky polohy Příklad: Písemka dopadla následujícím způsobem, 6 studentů dostalo výbornou, 8 studentů chvalitebnou, 9 studentů dobrou a 2 studenti dostatečnou. Určete aritmetický, geometrický, harmonický a kvadratický průměr, modus a medián souboru.
Charakteristiky polohy Tabulka četností je:
Aritmetický průměr je 6 ∙ 1 + 8 ∙ 2 + 9 ∙ 3 + 2 ∙ 4 + 0 ∙ 5 57 𝑥= = = 2,28. 25 25 Geometrický průměr je 25 𝑥𝑔 = 16 ∙ 28 ∙ 39 ∙ 42 ∙ 50 ≈ 2,07.
Charakteristiky polohy Harmonický průměr je
25 𝑥ℎ = ≈ 1,85. 6 8 9 2 0 + + + + 1 2 3 4 5 Kvadratický průměr je 6 ∙ 12 + 8 ∙ 22 + 9 ∙ 32 + 2 ∙ 42 + 0 ∙ 52 𝑥𝑘 = ≈ 2,46. 25 Modus je nejčastější hodnota, tj. 𝑥 = 𝑀𝑜𝑑 𝑥 = 3. Medián je prostřední, tj. třináctá hodnota uspořádaného souboru, tj. 𝑥 = 𝑀𝑒𝑑 𝑥 = 2.
Citace: Příklady (není-li uvedeno jinak) a formulace definic jsou vlastní, resp. všeobecně známé, pouze tematicky vycházejí z následující učebnice:
CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 4., upr. vyd. Praha: Prometheus, c2001, 170 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-8071961-475.
