Název školy Číslo projektu Šablona
Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5
Označení materiálu Vypracoval(a), dne Ověřeno (datum) Předmět Třída Téma hodiny Druh materiálu Anotace
VY_32_INOVACE_Hor002 Mgr. Radek Horenský, Ph.D., 10.2.2013 4.3.2013 Matematika 3.A Kombinatorické pravidlo součinu Prezentace v Powerpointu Základní kombinatorická pravidla, využití pravidla součinu
CZ.1.07/1.5.00/34.0218 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Mgr. Radek Horenský, Ph.D.
Kombinatorické pravidlo součinu
Kombinatorické pravidlo součinu Kombinatorické pravidlo součinu. Můžeme-li prvek 𝑥1 vybrat právě 𝑎1 způsoby, dále prvek 𝑥2 vybrat právě 𝑎2 způsoby, přičemž prvek 𝑥1 už byl vybrán, atd. až prvek 𝑥𝑛 vybrat právě 𝑎𝑛 způsoby, přičemž všechny předchozí prvky už byly vybrány, pak celkový počet uspořádaných 𝑛-tic 𝑥1 , 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 je roven 𝑁 = 𝑎1 ∙ 𝑎2 ∙ . . .∙ 𝑎𝑛 . Důkaz tohoto tvrzení se snadno provede užitím principu matematické indukce vzhledem k 𝑛.
Kombinatorické pravidlo součinu Příklad 1: Ve třídě je celkem 24 dívek a 8 chlapců. Určete, kolika způsoby můžeme vybrat smíšený pár, který bude reprezentovat třídu na soutěži?
Kombinatorické pravidlo součinu Příklad 1: Ve třídě je celkem 24 dívek a 8 chlapců. Určete, kolika způsoby můžeme vybrat smíšený pár, který bude reprezentovat třídu na soutěži? Řešení: Dívku vybereme 24 způsoby, chlapce 8 způsoby, celkově tedy máme 24 ∙ 8 = 192 různých možností.
Kombinatorické pravidlo součinu Příklad 2: Ve třídě je celkem 24 dívek a 8 chlapců. Určete, kolika způsoby můžeme vybrat předsedu a místopředsedu třídy?
Kombinatorické pravidlo součinu Příklad 2: Ve třídě je celkem 24 dívek a 8 chlapců. Určete, kolika způsoby můžeme vybrat předsedu a místopředsedu třídy? Řešení: Předsedu můžeme vybrat 32 způsoby, místopředsedu poté 31 způsoby (1 osoba je vybrána jako předseda), celkem máme 32 ∙ 31 = 992 možností.
Kombinatorické pravidlo součinu Příklad 3: Ve třídě je celkem 24 dívek a 8 chlapců. Určete, kolika způsoby můžeme vybrat předsedu a místopředsedu třídy, jestliže jednu funkci bude zastávat dívka a druhou chlapec?
Kombinatorické pravidlo součinu Příklad 3: Ve třídě je celkem 24 dívek a 8 chlapců. Určete, kolika způsoby můžeme vybrat předsedu a místopředsedu třídy, jestliže jednu funkci bude zastávat dívka a druhou chlapec? Řešení: Mohou nastat dvě možnosti. Předsedou je dívka, tu lze vybrat 24 způsoby, místopředsedou chlapec, toho lze vybrat 8 způsoby. Nebo je předsedou chlapec ( 8 způsobů) a místopředsedkyní dívka ( 24 způsobů). Celkem máme 24 ∙ 8 + 8 ∙ 24 = 384 možností.
Kombinatorické pravidlo součinu Příklad 4: Ve třídě je celkem 24 dívek a 8 chlapců. Určete, kolika způsoby můžeme vybrat předsedu a místopředsedu třídy, jestliže obě funkce budou zastávat dívky nebo obě funkce chlapci?
Kombinatorické pravidlo součinu Příklad 4: Ve třídě je celkem 24 dívek a 8 chlapců. Určete, kolika způsoby můžeme vybrat předsedu a místopředsedu třídy , jestliže obě funkce budou zastávat dívky nebo obě funkce chlapci? Řešení: Mohou nastat opět dvě možnosti. Vybíráme-li dvě dívky, lze to provést 24 ∙ 23 způsoby, vybíráme-li dva chlapce, lze je vybrat 8 ∙ 7 způsoby. Celkem máme 24 ∙ 23 + 8 ∙ 7 = 608 možností.
Kombinatorické pravidlo součinu Jak je vidět, samotné pravidlo součinu, stejně tak i samotné pravidlo součtu mají jen určité uplatnění. Ve většině příkladů jsme nuceni oba dva principy vhodně kombinovat. Pro využití kombinatorického pravidla součtu se snažíme nalézt vhodná rozdělení daných možností na disjunktní podmnožiny, pro uplatnění pravidla součinu je důležité nalézt způsob vytváření příslušných uspořádaných skupin (v některých případech lze toto pravidlo uplatnit i pro skupiny neuspořádané).
Citace: Příklady (není-li uvedeno jinak) a formulace definic jsou vlastní, resp. všeobecně známé, pouze tematicky vycházejí z následující učebnice:
CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 4., upr. vyd. Praha: Prometheus, c2001, 170 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-8071961-475.
