2. Frekvenční a přechodové charakteristiky

Frekvenční a přechodové charakteristiky

2. Frekvenční a přechodové charakteristiky 2.1. Obecný matematický popis Přechodové a frekvenční charakteristiky jsou důležitým prostředkem pro analýzu a syntézu regulačních obvodů a tedy také regulovaných pohonů. Dynamické chování regulačního obvodu je dáno časovým průběhem regulované veličiny při definované změně jiné veličiny, např. řídící nebo poruchové (zatížení). Největší význam má přechodová charakteristika jako reakce na jednotkový skok vstupní veličiny. Frekvenční charakteristika udává amplitudu a fázi výstupní veličiny při sinusové změně vstupní veličiny v závislosti na frekvenci. Vztah mezi vstupní veličinou x a výstupní veličinou y lineárního členu regulačního obvodu je popsán lineární diferenciální rovnicí, které odpovídá operátorový přenos definovaný jako poměr L. obrazu výstupní veličiny k L. obrazu vstupní veličiny [Čermák, 1986] F ( p) =

y ( p ) bm p m + bm −1 p m −1 + ... + b1 p + b0 = x( p ) an p n + an −1 p n −1 + ... + a1 p + a0

Mnohočleny v čitateli a jmenovateli se u dějů vyskytujících se v elektrických pohonech obvykle dají rozložit na součin členů 1. event. 2. řádu. Jestliže na vstup lineárního členu regulačního obvodu přivedeme sinusový signál frekvence ω, pak po odeznění přechodného děje bude na výstupu rovněž sinusový signál frekvence ω, jeho amplituda a fáze se však budou lišit od vstupního signálu. Provedeme-li komplexní poměr výstupní veličiny y a vstupní veličiny x pro různé frekvence, dostaneme frekvenční charakteristiku F(jω) = y/x. Rozsah frekvencí, pro které vyšetření charakteristiky v regulovaných pohonech provádíme, je ω = 0,01 ... 100, příp. 0,1 ... 1000.

F ( jω ) =

(1 + jωTn+1 )(1 + jωTn+ 2 )...(1 + jωTn+ m ) (1 + jωT1 )(1 + jωT2 )...(1 + jωTn )

Kmitavé systémy navíc obsahují ve jmenovateli jeden nebo více členů 2. řádu. Pro grafické vyjádření využíváme v regulovaných pohonech nejčastěji závislost amplitudy |F(jω)| a fáze φ = arg [F(jω)] komplexního výrazu

F ( jω ) = Re(ω ) + j Im(ω ) = F ( jω ) e

jϕ ( ω )

=

(Re(ω ) ) + (Im(ω ) ) 2

|F(jω)|

2

e

⎛ Im(ω ) ⎞ j ⋅arctg ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ Re(ω ) ⎠

Im(ω)

φ(ω) Re(ω)

Obr. 2.1. Zobrazení přenosu jako komplexního čísla Obvykle vyjadřujeme zesílení v dB (decibelech), takže zjišťujeme |F(jω)|dB = 20 log |F(jω)|, přičemž stupnici ω volíme logaritmickou. Hovoříme pak o logaritmické amplitudové a fázové frekvenční charakteristice (LAFFCH nebo Bodeův diagram).

1

Frekvenční a přechodové charakteristiky Mezi průběhem amplitudy a fáze většiny systémů existuje úzká souvislost, neboť průběhem amplitudy je určen průběh fáze a naopak. Všechny stabilní systémy tuto podmínku splňují a lze si představu o jejich chování učinit z amplitudové charakteristiky. Pro snazší aplikaci aproximujeme skutečný průběh amplitudové charakteristiky asymptotami. Logaritmické frekvenční charakteristiky umožňují jednoduchý výpočet charakteristik složených obvodů, neboť násobení přenosů při řazení členů za sebou se redukuje na sečítání charakteristik [Čermák, 1986]:

Při složitějším řazení, např. pro přenos: F ( p) =

F ( jω ) =

F1 ( p )F2 ( p ) F3 ( p )F4 ( p ) j ⋅ϕ (ω ) j ⋅ϕ (ω ) F ( jω ) F2 ( jω ) j⋅(ϕ1 (ω ) +ϕ 2 (ω ) −ϕ3 (ω ) −ϕ 4 (ω ) ) F1 ( jω )F2 ( jω ) F1 ( jω ) e 1 F2 ( jω ) e 2 = = 1 e j ⋅ϕ 3 (ω ) j ⋅ϕ 4 (ω ) F3 ( jω )F4 ( jω ) F3 ( jω ) e F4 ( jω ) e F3 ( jω ) F4 ( jω )

F ( jω ) dB = 20 log F ( jω ) = 20 log F1 ( jω ) + 20 log F2 ( jω ) − 20 log F3 ( jω ) − 20 log F4 ( jω )

ϕ (ω ) = ϕ1 (ω ) + ϕ 2 (ω ) − ϕ3 (ω ) − ϕ 4 (ω ) Diferenciální rovnice, operátorový přenos a frekvenční charakteristika určují sice dynamické vlastnosti systému, avšak pro praktický jednotný popis členů regulovaného pohonu a jednoduchou analýzu a syntézu je nejvhodnější přechodová charakteristika jako odezva na jednotkový skok 1(t) = 1 pro t ≥ 0 a 1(t) = 0 pro t < 0. 2.2. Charakteristiky nejdůležitějších členů v regulačních obvodech 2.2.1. Proporcionální člen

Vytváří výstupní signál úměrný vstupnímu bez časového zpoždění (např. tachodynamo nebo odporový dělič). Jeho diferenciální rovnice má tvar y = Ko x , operátorový přenos F(p) = Ko . Frekvenční přenos obsahuje pouze reálnou část, takže absolutní hodnota (amplituda) je rovna přímo konstantnímu zesílení Ko. Fáze proporciálního členu, vycházející z obecného vztahu je po dosazení nulová

ϕ = arctg (Im(ω ) / Re(ω )) = arctg (0 / K 0 ) = 0

2

Frekvenční a přechodové charakteristiky Obr. 2.2. Přechodová charakteristika Obr. 2.3. LAFFCH proporcionálního členu proporcionálního členu 2.2.2. Aperiodický článek 1.řádu (setrvačný člen) Nejčastěji se vyskytující článek v regulačních obvodech el.pohonů je aperiodický článek 1.řádu. Budící obvod, kotevní obvod stejnosměrného motoru a další obvody charakterizované v náhradním schématu sériovým spojením indukčnosti L a odporu R jsou typickými příklady tohoto článku. operátorový přenos R-L obvodu je F ( p) =

I ( p) K 1/ R = = U ( p ) 1 + pT 1 + p ( L / R )

Frekvenční přenos F ( jω ) =

Ke j⋅0 1 + (ωT ) e 2

j ⋅arctg ( Im(ω ) / Re( ω ) )

=

K 1 + (ωT )

2

e − j⋅arctg (ωT )

LAFFCH: F ( jω ) dB = 20 log F ( jω ) = 20 log K − 20 log 1 + (ωT )

2

ϕ (ω ) = −arctg (ωT ) Asymptotická amplitudová charakteristika: pro ωT <<1 platí F ( jω ) dB = 20 log K − 20 log 1 = 20 log K pro ωT >>1 platí F ( jω ) dB = 20 log K − 20 log ωT

Aproximovali jsme skutečný průběh amplitudové charakteristiky asymptotami se sklonem 0 dB/dek ve frekvenčním rozsahu ω =0 až ω = 1/T a se sklonem - 20 dB/dek ve frekvenčním rozsahu ω =1/T až ω = ∞ Frekvenci ω = 1/T říkáme lomová frekvence, v ní se skutečná amplitudová charakteristika liší s největší chybou od asymptotické (-3 dB). Průběh fáze: Fázová charakteristika φ(ω) = - arctg (ωT) má pro lomovou frekvenci ω = 1/T φ = -arctg (1) = -45°. Pro ω=0 φ = -arctg (0) = 0° pro ω=∞ φ = -arctg (∞) = -90° Přechodová charakteristika má rovnici t − ⎛ T ⎜ y = K ⎜1 − e ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

3


Obr. 2.4. LAFFCH členu 1. řádu (kresleno pro K = 1 a T = 1)

Obr. 2.5. Přechodová charakteristika členu 1. řádu

2.2.3. Zpožďovací člen 2.řádu (kmitavý článek)

F ( p) =

K 1 + 2 pδ T + p 2T 2

V závislosti na velikosti tlumení δ může mít rovnice 3 druhy řešení: a) δ > 1 V tomto případě dvou různých reálných kořenů charakteristické rovnice jmenovatele se dá řešení převést na sériové spojení dvou zpožďujících členů 1. řádu. Pro K=1 jsou LAFFCH vyneseny na obr. 2.6 a přechodová charakteristika má aperiodický charakter – viz obr.2.8.

F ( p) =

K K = 2 2 (1 + pT1 )(1 + pT2 ) 1 + 2 pδ T + p T

Porovnáním koeficientů u p, resp. p2 dostaneme vztah pro setrvačné časové konstanty

(

T1, 2 = T δ ± δ 2 − 1

)

Přechodová charakteristika má rovnici t t ⎛ ⎛ T − − T2 T1 T2 1 ⎜ ⎜ y = K 1− e − e ⎜ ⎜ T1 − T2 − T T 1 2 ⎝ ⎝

⎞⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠⎠

b) δ = 1 V tomto případě vychází dvojnásobný reálný kořen, který vede k přechodové charakteristice na mezi aperiodicity. T1 = T2 = T

4

Frekvenční a přechodové charakteristiky c) δ <1 V tomto případě dvou komplexně sdružených kořenů se zápornou reálnou částí je průběh kmitavý tlumený, při kladné reálné části kmity narůstají. Operátorový přenos pak uvádíme ve výchozím tvaru F ( p) =

K 1 + 2 pδ T + p 2T 2

Frekvenční přenos F ( jω ) =

K K = 2 2 2 2 2 1 + j 2δωT + j ω T 1 − ω T + j 2δωT

F ( jω ) =

(

)

K

(1 − ω T ) + (2δωT ) 2

2 2

2

(

)

F ( jω ) dB = 20 log F ( jω ) = 20 log K − 20 log 1 − ω 2T 2 + (2δωT ) 2

2

Asymptotická amplitudová charakteristika: Vynášíme ji pro případ, kdy uvažujeme δ =1.

(

)

F ( jω ) dB = 20 log F ( jω ) = 20 log K − 20 log 1 − 2ω 2T 2 + ω 2T 2 + 4ω 2T 2 =

(

= 20 log K − 20 log 1 + 2ω 2T 2 + ω 2T 2

)

2

2

(

= 20 log K − 20 log 1 + ω 2T 2

)

2

=

= 20 log K − 40 log 1 + (ωT )

2

pro ωT <<1 platí F ( jω ) dB = 20 log K − 20 log 1 = 20 log K pro ωT >>1 platí F ( jω ) dB = 20 log K − 40 log ωT Průběh fáze:

ϕ (ω ) = arctg

Im(ω ) 2δωT = − arctg 2 Re(ω ) 1 − (ωT )

Fázová charakteristika φ(ω) má pro lomovou frekvenci ω = 1/T φ = -arctg (2δ/0) = -90°. Pro ω=0 φ = -arctg (0/1) = 0° pro ω=∞ φ = -arctg (2δT/(1/ω- ωT2)) = -arctg (2δT/(-∞)) = -180° Kmitavý článek je tedy charakterizován tlumením δ <1. Pro K=1 jsou LAFFCH vyneseny na obr. 2.7. Přechodová charakteristika má v tomto případě rovnici (průběh viz obr. 2.9.)

⎛ ⎛ ⎛ t 1− δ 2 y = K ⎜1 − ⎜ cos⎜ ⎜ ⎜ ⎜ T ⎝ ⎝ ⎝

⎛ t 1− δ 2 ⎞ ⎟+ δ sin⎜ ⎜ T ⎟ 1− δ 2 ⎝ ⎠

5

⎞ ⎞ − δ t ⎞⎟ ⎟ ⎟e T ⎟ ⎟⎟ ⎠⎠ ⎠


Obr. 2.6. LAFFCH členu 1 1 ⋅ 1 + pT1 1 + pT2

Obr. 2.7. LAFFCH kmitavého členu (kresleno pro K = 1, ω0 = 1/T)

Obr. 2.8. Přechodové charakteristiky členu 1 1 ⋅ 1 + pT1 1 + pT2

Obr. 2.9. Přechodové charakteristiky kmitavého členu

2.2.4. Integrační člen

Integrační člen se vyskytuje v pohonech velmi často jako regulátor a nebo jako součást regulované soustavy. 1 pT

Operátorový přenos

F ( p) =

Frekvenční přenos

F ( jω ) =

F ( jω ) =

1 ωT

1 jωT

F ( jω ) dB = 20 log F ( jω ) = 20 log 1 − 20 log ωT = −20 log ωT

6


ωT Im(ω ) = −arctg = −90° Re(ω ) 0 Přechodová charakteristika je přímka y = h(t) = t/T (obr.2.10), LAFFCH má sklon -20 dB/dek (obr. 2.11) a konstantní fázi -90° v celém rozsahu frekvencí.

Průběh fáze: ϕ (ω ) = arctg

Obr. 2.10. Přechodová charakteristika integračního členu

Obr. 2.11. Amplitudová charakteristika integračního členu

2.2.5. Člen s dopravním zpožděním

Typickým představitelem tohoto členu je dynamické chování tyristorového měniče. Rozbor provedeme pro jednotkové zesílení členu. Rovnice je y = x(t-T) , přechodová charakteristika je na obr.2.12. Přenos

F ( p) =

1 = e − pT pT e

F ( jω ) =

1 e

jωT

= e − jωT = cos( −ωT ) + j sin( −ωT ) = cos(ωT ) − j sin(ωT )

F ( jω ) = e − jωT = cos 2 (ωT ) + sin 2 (ωT ) = 1


F ( jω ) dB = 20 log 1 = 0

Im(ω ) sin(−ωT ) = arctg = arctg (tg (−ωT )) = −ωT Re(ω ) cos(−ωT )

LAFFCH (obr. 2.13.) má tedy amplitudu splývající s osou 0 dB a fázi φ = -ωT. Pohybuje se tedy od nuly do -∞ (při frekvenci ω=1/T φ = -1 rad, tj. -57,3°). Pro oblast vysokých kmitočtů způsobuje tedy značnou změnu fáze.

Obr. 2.12. Přechodová charakteristika

Obr. 2.13. Amplitudová charakteristika

7

Frekvenční a přechodové charakteristiky členu s dopravním zpožděním 2.2.6. Derivační člen

členu s dopravním zpožděním

F ( p) = p T

Operátorový přenos Frekvenční přenos

F ( jω ) = jωT

F ( jω ) = ω T

F ( jω ) dB = 20 log F ( jω ) = 20 log ωT


Im(ω ) ωT = arctg = 90° Re(ω ) 0

Přechodová charakteristika má rovnici y = ∞ pro t = 0 y = 0 pro t > 0 která odpovídá výchozí diferenciální rovnici y = T dx/dt 2.2.7. Proporcionálně derivační člen (PD člen, někdy nazývaný také jako předstihový člen) F ( p ) = K (1 + p T )


F ( jω ) = K (1 + jωT )


F ( jω ) = K 1 + (ωT ) e j⋅arctg (Im(ω ) / Re(ω ) ) = K 1 + (ωT ) e j⋅arctg (ωT ) 2

2

LAFFCH: F ( jω ) dB = 20 log F ( jω ) = 20 log K + 20 log 1 + (ωT )

2

ϕ (ω ) = arctg (ωT ) Asymptotická amplitudová charakteristika: pro ωT <<1 platí F ( jω ) dB = 20 log K + 20 log 1 = 20 log K pro ωT >>1 platí F ( jω ) dB = 20 log K + 20 log ωT

Aproximovali jsme skutečný průběh amplitudové charakteristiky asymptotami se sklonem 0 dB/dek ve frekvenčním rozsahu ω = 0 až ω = 1/T a se sklonem + 20 dB/dek ve frekvenčním rozsahu ω =1/T až ω = ∞ Frekvenci ω = 1/T říkáme lomová frekvence, v ní se skutečná amplitudová charakteristika liší s největší chybou od asymptotické (3 dB). Průběh fáze: Fázová charakteristika φ(ω) = arctg (ωT) má pro lomovou frekvenci ω = 1/T φ = arctg (1) = 45°. Pro ω=0 φ = arctg (0) = 0° 8

Frekvenční a přechodové charakteristiky pro ω=∞ φ = arctg (∞) = 90° LAFFCH PD členu viz obr. 2.14. Přechodová charakteristika má rovnici y = ∞ pro t = 0 y = K pro t > 0

2.2.8. Srovnání LAFFCH výše uvedených členů

Obr. 2.14. LAFFCH základních členů (index 1 ... aperiodický článek 1.řádu (setrvačný člen)) (index 3 ... integrační člen) (index 4 ... člen s dopravním zpožděním) (index 6 ... proporcionálně derivační člen) Z obr. 2.14. je vidět, že pro frekvence ωT <<1 amplitudová charakteristika aperiodického článku F1 a článku s dopravním zpožděním F4 splývají a rovněž fázové charakteristiky pro tyto frekvence jsou si blízké. Proto je možno provést též aproximaci členu s dopravním zpožděním aperiodickým článkem v případě, že převrácená hodnota dopravního zpoždění je výrazně větší než horní frekvence pásma rozhodujícího o stabilitě regulačního obvodu.

9


2.2.9. Proporcionálně integrační (PI) člen

Tento člen je nejčastěji se vyskytující regulátor v regulačních obvodech el. pohonů (1 + p T ) pT


F ( p) = K


F ( jω ) = K

F ( jω ) = K

1 + (ωT )

(1 + jωT ) jωT

2

ωT

e j⋅(arctg (ωT )−π / 2 )

LAFFCH: F ( jω ) dB = 20 log F ( jω ) = 20 log K + 20 log 1 + (ωT ) − 20 log ωT 2

ϕ (ω ) = arctg (ωT ) − π / 2 Asymptotická amplitudová charakteristika: pro ωT <<1 platí F ( jω ) dB = 20 log K + 20 log 1 − 20 log ωT = 20 log K − 20 log ωT pro ωT >>1 platí F ( jω ) dB = 20 log K + 20 log ωT − 20 log ωT = 20 log K

Dostáváme tedy asymptoty se sklonem -20 dB/dek ve frekvenčním rozsahu ω = 0 až ω = 1/T a se sklonem 0 dB/dek ve frekvenčním rozsahu ω =1/T až ω = ∞ Průběh fáze: Fázová charakteristika φ(ω) = arctg (ωT) – π/2 má pro lomovou frekvenci Pro pro

ω = 1/T ω=0 ω=∞

φ = arctg (1) = -45°. φ = arctg (0) = -90° φ = arctg (∞) = 0°

Přechodová charakteristika má rovnici t⎞ ⎛ y = K ⎜1 + ⎟ , což plyne ze složkového tvaru operátorového přenosu ⎝ T⎠ F ( p) = K

⎛ (1 + p T ) 1 ⎞ ⎟ = K ⎜⎜1 + pT pT ⎟⎠ ⎝

10


|Fφ|dB -20

0

1 T

0°

K T

20 log K ω ω

- 45° -90° φ Obr. 2.15. LAFFCH PI členu

Obr. 2.16. Přechodová charakteristika PI členu

2.2.10. Proporcionálně integračně derivační (PID) člen

Tento člen je často se vyskytující regulátor v regulačních obvodech el.pohonů F ( p) = K


(1 + p T1 )(1 + p T2 ) pT1

Frekvenční přenos (1 + jωT1 )(1 + jωT2 ) F ( jω ) = K jωT1 F ( jω ) = K

1 + (ωT1 )

2

1 + (ωT2 )

ωT1

2

e j⋅(arctg (ωT1 )+ arctg (ωT2 )−π / 2 )

LAFFCH: F ( jω ) dB = 20 log F ( jω ) = 20 log K + 20 log 1 + (ωT1 ) + 20 log 1 + (ωT2 ) − 20 log ωT1 2

2

ϕ (ω ) = arctg (ωT1 ) + arctg (ωT2 ) − π / 2 Asymptotická amplitudová charakteristika: uvažujme, že T1 > T2 (1/ T1 < 1/ T2) pro ω << 1/T1 (tím spíše ω << 1/T2 ) platí

F ( jω ) dB = 20 log K − 20 log ωT1

pro 1/T1 << ω << 1/T2 platí F ( jω ) dB = 20 log K + 20 log ωT1 + 20 log 1 − 20 log ωT1 = 20 log K pro ω >> 1/T2 (tím spíše ω >>1/T1 ) platí F ( jω ) dB = 20 log K + 20 log ωT1 + 20 log ωT2 − 20 log ωT1 = 20 log K + 20 log ωT2

11


Dostáváme tedy asymptoty se sklonem -20 dB/dek ve frekvenčním rozsahu ω = 0 až ω = 1/T1 , se sklonem 0 dB/dek ve frekvenčním rozsahu ω =1/T1 až ω = 1/T2 a sklonem +20 dB/dek ve frekvenčním rozsahu ω = 1/T2 až ω = ∞. Průběh fáze: Fázová charakteristika φ(ω) = arctg (ωT1) + arctg (ωT2) – π/2 má pro ω=0 φ = arctg (0) = -90° pro ω=∞ φ = arctg (∞) = 90° Tvar přechodové charakteristiky plyne opět ze složkového tvaru operátorového přenosu F ( p) = K

⎞ ⎛T +T (1 + p T1 )(1 + p T2 ) 1 = K ⎜⎜ 1 2 + + p T2 ⎟⎟ pT1 pT1 ⎠ ⎝ T1

Přechodová charakteristika má rovnici y = ∞ pro t = 0 ⎛T +T t ⎞ y = K ⎜⎜ 1 2 + ⎟⎟ pro t > 0 T1 ⎠ ⎝ T1

1 T1

Obr. 2.17. LAFFCH PID členu

K 1 T1 T2

Obr. 2.18. Přechodová charakteristika PID členu

12

2. Frekvenční a přechodové charakteristiky

Recommend Documents