1J. feladat Petike men˝o sr´ac az iskol´aban, ´ıgy mindig csak felem´as sz´ın˝ u zoknikat hord. Ruh´asszekr´enye m´ely´en ¨osszesen 30 darab piros sz´ın˝ u, 40 darab z¨old sz´ın˝ u ´es 40 darab k´ek sz´ın˝ u zokni tal´alhat´ o, azonban a szekr´eny egy s¨ ot´et padl´ashelys´egben helyezkedik el. Petike egyes´evel veszi ki a zoknikat a szekr´enyb˝ol an´elk¨ ul, hogy meg tudn´a ´allap´ıtani a kivett zokni sz´ın´et. Legal´abb h´any zoknit kell kivennie ahhoz, hogy biztosan legyen n´ala 8 p´ar felem´as sz´ın˝ u zokni. (Egy zoknit legfeljebb csak egy p´ arba lehet belesz´ amolni.) Eredm´eny: 48 Megold´ as: Ha Petike kiveszi az ¨osszes z¨old sz´ın˝ u zoknit, valamint 7 darab piros sz´ın˝ ut, akkor m´eg ´eppen nem ´all a rendelkez´es´ere 8 felem´ as sz´ın˝ u p´ar, ´ıgy 47 kivett zokni m´eg nem felt´etlen el´egs´eges. De hogyha 48 darab zoknit vesz ki, akkor minden bizonnyal van legal´abb 48 ın˝ u kivett zokni, ´es van tov´abb´a legal´abb 48 − 8 = 40 kivett 3 = 16 egyforma sz´ zokni, amelynek a sz´ıne ett˝ ol k¨ ul¨ onb¨ ozik, ´ıgy biztosan tud majd Petike 8 felem´as sz´ın˝ u zoknip´art ¨ossze´all´ıtani. ul, hogy x2 + 2y 2 = 2468. Adjuk meg x-et, hogyha tudjuk, 2J. feladat Legyenek x ´es y pozit´ıv eg´eszek, amelyekre teljes¨ hogy egyetlen megfelel˝ o (x, y) p´ ar l´etezik. Seg´ıts´egk´eppen: 1234 = 282 + 2 · 152 . Eredm´eny: 30 Megold´ as: A megadott 1234 = 282 + 2 · 152 azonoss´ag felhaszn´al´as´aval azt kapjuk, hogy 2468 = 2(282 + 2 · 152 ) = (2 · 15)2 + 2 · 282 . Mivel tudjuk, hogy egyetlen megfelel˝ o sz´ amp´ ar l´etezik, ´ıgy azt kapjuk, hogy x = 30. 3J. feladat Digit´ alis o´r´ank a pontos id˝ ot o´r´akban ´es percekben mutatja a ,,24 o´r´ as” form´ atumnak megfelel˝ oen. Egy nap sor´ an h´ any percben lehet rajta l´ atni az 5-¨ os sz´ amjegyet? Eredm´eny: 450 Megold´ as: K´et ´ ora´ert´ek eset´en l´ athat´o a teljes o ´ra alatt az 5-¨ os sz´amjegy, az 5-¨ os ´es a 15-¨os ´ert´ek sor´ an. Ez ¨onmag´ aban 120 percet jelent. A nap tov´ abbi r´esz´eben az 5-¨ os sz´amjegy minden o´ra utols´ o 10 perc´eben l´ athat´ o (ez 22 · 10 = 220 perc), valamint a fennmarad´o 50 percekben m´eg 5 tov´abbi perc sor´an lehet l´atni (ez m´eg 22 · 5 = 110 perc). Teh´at o¨sszesen ´eppen 450 percr˝ ol van sz´ o. 4J. feladat
Egy 136 cm ker¨ ulet˝ u nagy t´eglalap az ´abr´an l´athat´o m´odon fel lett osztva 7 egybev´ag´o kisebb t´eglalapra.
Mekkora a nagy t´eglalap ter¨ ulete cm2 -ben m´erve? Eredm´eny: 1120 Megold´ as: Mivel a kis t´eglalapok oldalainak ar´anya 2 : 5, jel¨ olj¨ uk a hosszukat 2x-szel ´es 5x-szel. A nagy t´eglalap oldalainak hossza teh´at 10x ´es 7x, ´ıgy a nagy t´eglalap ker¨ ulete 2 · (10x + 7x) = 34x. Ez alapj´an teh´at x = 4, vagyis a nagy t´eglalap ter¨ ulete 10 · 7 · 42 = 1120. ¨ ad´es dobozunk alakja ´eppen egy s cm oldalhossz´ us´ag´ u egyenl˝o oldal´ u h´ aromsz¨og. Osszesen 2n darab 5J. feladat Csokol´ egyenl˝ o oldal´ u h´ aromsz¨og alak´ u csokol´ ad´e van a dobozban, amik egy¨ utt kit¨ oltik a rendelkez´esre a´ll´ o helyet: n darab 1 cm oldalhossz´ us´ ag´ u ´es n darab 2 cm oldalhossz´ us´ ag´ u. Mekkora a lehet˝o legkisebb sz´oba j¨ohet˝o s ´ert´eke? Eredm´eny: 10 Megold´ as: Legyen a a kicsi, 1 cm oldalhossz´ us´ag´ u h´ aromsz¨og alak´ u csokol´ad´e ter¨ ulete. Ekkora a nagyobb csokol´ ad´e ter¨ ulete 4a, az o¨sszes csokol´ad´e egy¨ uttes ter¨ ulete teh´at na + 4na = 5na, a doboz ter¨ ulete pedig s2 a hiszen a doboz alakja is hasonl´o a kis csokol´ad´e alakj´ahoz, a hasonl´os´ag ar´anya pedig ´eppen s. Teh´at azt kaptuk, hogy 5n = s2 , ´ıgy s az 5 t¨ obbsz¨ or¨ ose lehet csup´ an.
1
Bel´athat´o, hogy nem lehet 5 nagy csokol´ ad´et elhelyezni az 5 cm oldalhossz´ us´ ag´ u dobozban, emiatt s = 6 5. Azonban 20 kicsi, ´es 20 nagy csokol´ ad´et m´ ar egyszer˝ uen el lehet helyezni egy 10 cm oldalhossz´ us´ag´ u dobozban.
6J. feladat Petike most m´ar feln˝ott, emiatt jelenleg csak egyforma sz´ın˝ u zoknikat hajland´o viselni. A nagymam´ aja j´ ovolt´ ab´ol rengeteg u ´j zoknit is kapott, ´ıgy imm´ aron 20 barna sz´ın˝ u, 30 piros sz´ın˝ u, 40 z¨old sz´ın˝ u, 40 k´ek sz´ın˝ u, 30 fekete sz´ın˝ u ´es 20 feh´er sz´ın˝ u zokni tal´alhat´o a ruh´asszekr´eny´eben. Azonban a szekr´enye tov´abbra is a s¨ot´et padl´ ast´erben van. Legal´ abb h´ any zoknit kell Petik´enek kivennie ahhoz, hogy biztosan legyen 8 p´ ar p´ aronk´ent egyforma sz´ın˝ u zoknija, hogyha tov´ abbra sem l´ atja, hogy milyen sz´ın˝ u zoknikat vesz ki? (Egy zoknit legfeljebb csak egy p´arba lehet belesz´amolni.) Eredm´eny: 21 Megold´ as: Egyfel˝ol tetsz˝oleges sz´am´ u zokni eset´eben a kiv´alasztott zoknik sz´ama el˝oa´ll a p´aros sok, egym´ assal p´ art form´ al´o zoknik sz´am´ anak, valamint a n´eh´ any tov´abbi, p´ ar n´elk¨ uli zokni sz´ am´anak az o¨sszegek´ent (ez ut´ obbi sz´am a sz´ınek sz´ ama miatt legfeljebb 6). Ha Petike 21 zoknit vesz ki, akkor nem lehets´eges, hogy van 6 olyan kivett zokni, aminek nincsen p´arja, hiszen 21 − 6 = 15 nem p´aros. ´Igy legfeljebb 5 darab p´ar n´elk¨ uli zokni van n´ala, a fennmarad´o zoknik pedig 21−5 =8 2 darab p´aronk´ent egyforma sz´ın˝ u p´art alkotnak. M´asfel˝ol pedig 20 zokni kiv´etele nem el´egs´eges, mivel lehet, hogy ekkor Petike p´eld´ aul kivett 7 p´ ar feh´er zoknit, valamint 6 tov´abbi zoknit, minden sz´ınb˝ol egyet. Vagyis a megold´as 21. alyos o¨tsz¨og ugyanazon k¨or´e´ırt k¨orrel rendelkeznek, tov´ abb´a van egy k¨oz¨ os cs´ ucsuk 7J. feladat Egy n´egyzet ´es egy szab´ is. Mekkora a legnagyobb bels˝o sz¨oge annak a soksz¨ognek, amely a sz´oban forg´o n´egyzet ´es szab´alyos o¨tsz¨og metszetek´ent a´ll el˝ o? Eredm´eny: 153◦ Megold´ as: Jel¨olj¨ uk a cs´ ucsokat az a´br´anak megfelel˝oen. Ekkor az AB1 B2 C1 C2 D1 D2 soksz¨og lesz a n´egyzet ´es a szab´alyos o¨tsz¨ og metszete. A
W B
Z B1
D2
B2
D
D1
C2
C1 X
Y C
Mivel az alakzat az AC egyenesre szimmetrikus, ´ıgy elegend˝o meghat´arozni a bels˝o sz¨ogeket az A, B1 , B2 ´es C1 cs´ ucsokn´al. Vil´agos, hogy az els˝o ´ert´eke ´eppen 90◦ a legutols´o´e pedig 135◦ . Mivel B2 D1 p´arhuzamos XY -nal, azt kapjuk, hogy 2
D1 B2 B1 ^ = Y XW ^ = 108◦ , tov´abb´a, mivel C1 B2 D1 ^ = CBD^ = 45◦ (B2 D1 k BD), a B2 -n´el lev˝o bels˝o sz¨og 153◦ . V´eg¨ ul a B1 BB2 h´ aromsz¨og der´eksz¨ og˝ u, ami alapj´ an k¨ onnyen meghat´ arozhat´ o, hogy a B1 -n´el lev˝ o bels˝ o sz¨ og 117◦ . Teh´at a ◦ legnagyobb sz¨ og ezek k¨ oz¨ ul 153 . 8J. feladat Az 1-gyel jelzett k¨or a´tm´er˝oje 48 mm. Mekkora legyen a 2-vel sorsz´ amozott k¨ or a´tm´er˝oje, hogy a berendez´es m˝ uk¨ od˝ ok´epes legyen?
1
2
Eredm´eny: 20 mm Megold´ as: A fogaskerekek megsz´amol´as´ aval k¨onnyen meghat´arozhat´o, hogy az 1-es k¨or egy teljes fordulata a kett˝ os 4 fogasker´ek 20 = -nyi fordulat´ a t eredm´ e nyezi. Hasonl´ o okoskod´ a ssal a kett˝ o s fogasker´ e k egy teljes fordulata eset´ e n a 2-es k¨ or 15 3 18 9 4 9 12 = fordulatot tesz meg. Emiatt az 1-es k¨ o r egy teljes fordulata a 2-es k¨ o r · = -nyi fordulat´ a t eredm´ e nyezi. Teh´ at 10 5 3 5 5 5 a 2-vel sorsz´ amozott k¨ or ker¨ ulete az 1-gyel sorsz´ amozott k¨ or ker¨ ulet´enek 12 -ed r´esze kell, hogy legyen. A ker¨ uletek ar´ anya 5 megegyezik az ´ atm´er˝ ok ar´ any´ aval, ami alapj´ an k¨ onnyen meghat´arozhat´o, hogy a 2-es k¨or ´atm´er˝oje 12 · 48 mm = 20 mm. uliusi ´es augusztusi ny´ari vak´aci´oj´ ara Robi pontos tervet k´esz´ıtett arr´ol, hogy mely napokon fog 9J. feladat A 62 napos j´ hazudni, ´es mely napokon fog igazat mondani. Valamennyi 1 ≤ k ≤ 62 eset´en a vak´aci´ o k-adik napj´ an azt mondta, hogy legal´ abb k napon tervezett hazudni. H´ anyszor hazudott ezen kijelent´esek sor´an? Eredm´eny: 31 Megold´ as: Vegy¨ uk ´eszre, hogy ha Robi igazat mondott egy nap, akkor az ¨osszes azt megel˝oz˝o napon igazat kellett mondania. Teh´at hogyha csup´an k < 31 napon mondott igazat, akkor az ellentmond´asba ker¨ ulne azzal a t´ennyel, hogy 62 − k > 31 napon hazudott. Hasonl´oan, ha t¨obb, mint 31 napon mondott igazat, akkor t´ ul keveset kellett volna hazudnia. K¨ ovetkez´esk´eppen pontosan 31 napon hazudott. 10J. feladat A torped´ o j´at´ekban az ellenfel¨ unk elrejtett egy anyahaj´ ot, aminek egy 5 × 1 vagy 1 × 5 m´eret˝ u blokk felel meg valahol a 9 × 9-es t´abl´an. Legal´abb h´anyszor kell l˝on¨ unk (teh´at kiv´alasztanunk egy cell´at a t´abl´ an) ahhoz, hogy biztosan eltal´ aljuk az anyahaj´ ot legal´ abb egyszer? Eredm´eny: 16 Megold´ as: A 9 × 9-es t´abla a´br´anak megfelel˝o feloszt´ asa mutatja, hogy 16 l¨ov´es sz¨ uks´eges, hiszen minden 5 × 1-es t´eglalapot legal´ abb egyszer el kell tal´ alnunk.
3
De 16 l¨ ov´es elegend˝ o is, amint az az al´ abbi ´ abr´ ar´ol leolvashat´o.
´Igy a megold´ as 16. 11J / 1S. feladat Mi a legnagyobb lehets´eges ´ert´eke azon a, b ´es c k¨ ul¨onb¨oz˝o pozit´ıv eg´esz sz´amok legnagyobb k¨oz¨os oszt´ oj´ anak, amelyekre fenn´ all, hogy a + b + c = 2015? Eredm´eny: 155 Megold´ as: Mivel 5 · 13 · 31 = 2015 = a + b + c = lnko(a, b, c) · (a0 + b0 + c0 ) alkalmas k¨ ul¨onb¨oz˝o pozit´ıv eg´esz a0 , b0 ´es c0 sz´amokra, ez´ert a0 + b0 + c0 ≥ 6. Emiatt lnko(a, b, c) ´ert´eke legfeljebb 5 · 31 = 155 lehet. Ez a maximum el´erhet˝ o, hogyha tetsz˝oleges, 13 ¨osszeg˝ u k¨ ul¨onb¨oz˝o pozit´ıv eg´eszeket v´alasztunk. P´eld´aul a0 = 1, b0 = 5 ´es c0 = 7 v´alaszt´assal a = 1 · 155, b = 5 · 155 ´es c = 7 · 155, s egy megfelel˝ o sz´ amh´ armashoz jutunk. 12J / 2S. feladat Egy vas¨ uzem ell´at´as´a´ert felel˝os vonat egy mozdonyb´ ol (ami mindig a vonat elej´en tal´alhat´o) ´es 6 ´ am le akarta fot´ozni a tehervagonb´ol ´all, ez ut´obbiak mindegyike vagy szenet, vagy vasat tartalmaz rakom´ anyk´ent. Ad´ vonatot, de nem siker¨ ult a teljes szerelv´enyt lef´enyk´epeznie, csup´an egy vasat sz´ all´ıt´o vagon, ´es k¨ozvetlen¨ ul m¨ og¨otte k´et szenet sz´ all´ıt´o vagon l´ atszik a f´enyk´ep´en. A k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o tehervagonok nem teljesen szimmetrikusak, ´ıgy biztos, hogy a f´emet sz´all´ıt´ o vagon volt a h´arom k¨oz¨ ul legel¨ol. H´any f´ele k¨ ul¨onb¨oz˝o vonatot lehet lef´enyk´epezni u ´ gy, hogy ugyanazt a k´epet ´ amnak siker¨ kapjuk, mint amit Ad´ ult? Eredm´eny: 31 Megold´ as: N´egy lehets´eges helyen k´epzelhet˝o el a lef´enyk´epezett V − Sz − Sz tehervagon-sorozat, ´es mindegyik eset´eben 23 f´ele k´eppen lehet kip´ otolni a hi´ anyz´ o vagonokat. Azonban ´ıgy a V − Sz − Sz − V − Sz − Sz vagonkombin´ aci´ ot k´etszer sz´ amoltuk. Teh´ at a k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o sz´ oba j¨ ohet˝ o vonatok sz´ama 4 · 8 − 1 = 31. 13J / 3S. feladat Egy n´eh´any azonos kock´ab´ol ´ep´ıtett t´argy h´atulr´ol n´ezve ”1”-esnek n´ez ki, fel¨ ulr˝ol n´ezve pedig ”3”-asnak (l´ asd a´bra). H´any kocka l´ athat´o a t´argyban a jobb oldalr´ ol n´ezve, hogyha tudjuk, hogy a lehet˝o legt¨obb kock´ at haszn´ altuk fel a t´ argy megalkot´ as´ ahoz?
Megjegyz´es: A lenti ´abr´an illusztr´aci´ok´ent fel lett t¨ untetve egy kocka, valamint ugyanezen kocka h´ atulr´ol, majd fel¨ ulr˝ol n´ezve.
Eredm´eny: 17 Megold´ as: Vil´agos, hogy az objektum elf´er egy k´et kocka sz´eles, o¨t kocka magas ´es o¨t kocka hossz´ us´ag´ u dobozban. V´ agjuk f´elbe, ´es vizsg´ aljuk meg a k´et, egyenk´ent 1 × 5 × 5 m´eret˝ u r´esz´et k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on. Hogyha el¨olr˝ol n´ezz¨ uk az objektumot egy ”1”-es t¨ uk¨ork´ep´et l´athatjuk, teh´at a jobb oldali fel´eben egy kocka l´ athat´o el¨olr˝ ol ´es ¨ot kocka l´athat´ o fel¨ ulr˝ol. Ez csak u ´gy tehet˝ o meg, hogyha egym´ as m¨ og´e helyez¨ unk el sorban 5 kock´at. Hasonl´o okoskod´assal a bal oldali fel´er˝ ol az mondhat´ o el, hogy ¨ot kocka l´athat´o el¨olr˝ol, ´es h´arom kocka l´athat´o fel¨ ulr˝ol, teh´at u ´ gy helyezhetj¨ uk el a lehet˝o legt¨obb kock´at, hogyha h´ arom oszlopban egyenk´ent 5 kock´ at rakunk egym´asra. 4
Az ´ıgy kapott objektum l´ athat´ o az al´ abbi ´ abr´an, vil´agos m´odon 17 kocka l´athat´o benne jobb oldalr´ol n´ezve.
14J / 4S. feladat Azt mondjuk, hogy egy n pozit´ıv eg´esz sz´am finom, hogyha a sz´amjegyeinek ¨osszege oszthat´o 17-tel, ´es ugyanez teljes¨ ul (n + 10)-re is. Melyik a legkisebb finom sz´am? Eredm´eny: 7999 Megold´ as: Jel¨olj¨ uk Q(r)-rel az r sz´am sz´amjegyeinek o¨sszeg´et. Hogyha az n sz´amban a tizesek helyi´ert´ek´en 9-t˝ol k¨ ul¨ onb¨oz˝o sz´amjegy a´ll, akkor Q(n + 10) = Q(n) + 1. Emiatt a tizesek helyi´ert´ek´en sz¨ uks´egszer˝ uen 9-es kell, hogy szerepeljen. Hogyha a sz´azasok helyi´ert´ek´en 9-t˝ol k¨ ul¨onb¨oz˝ o sz´amjegy szerepel, akkor Q(n + 10) = Q(n) − 8, de, ha a sz´azasok helyi´ert´ek´en 9-es ´all, azonban az ezresek helyi´ert´ek´en nem, akkor Q(n + 10) = Q(n) − 17, ´ıgy el´erhet˝o, hogy mind Q(n), mind pedig Q(n + 10) oszthat´o legyen 17-tel. Ahhoz, hogy n a lehet˝o legkisebb legyen, tegy¨ uk fel, hogy a fentebb v´ azolt helyzet ´ all fenn, tov´abb´a, hogy Q(n) = 2 · 17 = 34. A tizesek ´es sz´azasok helyi´ert´ek´en a´ll´o sz´amjegyeket nem sz´amolva a sz´amjegyek o¨sszege 34 − 2 · 9 = 16 < 2 · 9, ami azt jelenti, hogy k´et tov´ abbi sz´amjegy elegend˝ o. Vil´agosan l´ athat´o teh´at, hogy n = 7999 a keresett sz´ am. oz¨ ott u ¨ zemeltet buszj´aratokat, a B ´es C v´arosok ´erint´es´evel 15J / 5S. feladat Egy buszt´arsas´ag az A ´es D v´arosok k¨ (ebben a sorrendben). A buszjegy a´ra egyenesen ar´anyos a buszon utazott t´avols´ aggal. P´eld´aul, egy A v´ arost´ol C v´ arosig t¨ort´en˝o buszoz´as ugyanannyiba ker¨ ul, mint egy A v´arosb´ol B v´arosba, majd egy B v´arosb´ol C v´arosba t¨ort´en˝o buszoz´as egy¨ uttv´eve. Tov´abb´a a t´arsas´ag nem forgalmaz ret´ urjegyeket, csak vonaljegyeket. Laura szorgalmasan gy˝ ujti a jegyeket, az a c´elja, hogy minden lehets´eges ´ ar´ u jegyet ¨ osszegy˝ ujts¨on az utaz´as ir´ any´ at´ol f¨ uggetlen¨ ul. Eddig sikeresen f´elretett 10, 40, 50, 60 ´es 70 ´ert´ek˝ u jegyeket. Mi lehet a hi´ anyz´ o jegy ´ert´eke? Eredm´eny: 20, 110 Megold´ as: Tegy¨ uk fel el˝osz¨or, hogy Laur´an´ al van a lehets´eges legdr´ ag´abb jegy (teh´at az A v´ arosb´ol D v´ arosba men˝o´e), ´ıgy ennek az ´ ara 70. Mivel ez az ´ ar a h´ arom kisebb r´eszhez (teh´at AB-hez, BC-hez ´es CD-hez) tartoz´o jegy´ arak ¨ osszege, amelyek k¨oz¨ ul legal´ abb kett˝ o m´ar Laura tulajdon´ aban van, l´athat´o, hogy az egyetlen lehets´eges a´raz´asa ezen h´ arom jegynek: 10, 20 ´es 40, ´ıgy a hi´anyz´o jegy´ar 20. Egyszer˝ uen megmutathat´o, hogy ezen a´rak v´alaszt´asa mellett l´etezik a jegyek a´rainak olyan kioszt´ asa, amely minden sz¨ uks´eges felt´etelnek eleget tesz. Amennyiben nincsen Laur´an´al a legdr´ ag´abb lehets´eges jegy, u ´ gy a 70 k¨ olts´eg˝ u jegy biztosan egy egy v´arost ´erint˝o utaz´asra sz´ol; az egyetlen lehets´eges feloszt´as a birtokolt jegyekkel 10 + 60. Ezek alapj´an kik¨ovetkeztethet˝o, hogy a hi´anyz´o ´ szegmens u ´ tik¨olts´ege 40, emiatt a leghosszabb t´ avols´ ag megt´etel´enek ´ ara 10 + 40 + 60 = 110. Ujfent egyszer˝ uen l´athat´ o, hogy l´etezik egy minden felt´etelnek eleget tev˝ o realiz´aci´oja ezen ´araz´asnak. 16J / 6S. feladat Egy ´oraboltban Hann´ anak szemet sz´ urt egy kar´ ora, amely egy ´ atl´atsz´o, n´egysz¨oglet˝ u dobozba van csomagolva u ´ gy, hogy a doboz k¨oz´eppontja ´es az ´ ora k¨ oz´eppontja (a pont, ami k¨or¨ ul a mutat´ ok forognak) egybeesik. A doboz r¨ovidebbik oldala 3 cm hossz´ u. Hann´anak az is felt˝ unt, hogy d´elben az ´oramutat´o a r¨ovidebbik oldal felez˝opontja fel´e mutat, 1 ´ orakor pedig a doboz sarka fel´e. Milyen messze van a doboz hat´ar´an azon pont, amelyre az ´oramutat´o 1 o´rakor mutat, att´ ol a pontt´ ol, amelyre 2 ´ orakor mutat? √ Eredm´eny: 3 cm Megold´ as: Legyen Px a doboz hat´ar´anak azon pontja, ahova az o´ramutat´o mutat x o´rakor, ´es legyen C a doboz k¨oz´eppontja. Mivel P2 CP1 ^ = P3 CP2 ^ = 30◦ , ez´ert P2 az egyenl˝o oldal´ u CC 0 P1 h´aromsz¨og k¨oz´eppontja, ahol C 0 a C t¨ uk¨ork´epe a P3 2 pontra. L´ athat´o, hogy a keresett P1 P2 t´avols´ag 3 -a azon egyenl˝o oldal´ u h´ aromsz¨ og magass´ag´anak, amelynek az oldalhossza
5
3 cm, azaz P1 P2 =
2 3
·
1 2
·
√
3 · 3 cm =
√
3 cm. P1
P2 C
P3
C0
17J / 7S. feladat Adjuk meg azt a kilencjegy˝ u sz´amot, amelynek sz´amjegyei az 1, 2, . . . , 9 sz´amok egy olyan elrendez´esben, hogy b´ armely k´et egym´ ast k¨ovet˝o sz´ amjegyb˝ ol k´epzett k´etjegy˝ u sz´ am el˝oa´ll k · l alak´ u szorzatk´ent, ahol k, l ∈ {1, 2, . . . , 9}. Eredm´eny: 728163549 Megold´ as: Legyenek x, y ∈ {1, 2, . . . , 9} k¨ ul¨onb¨oz˝o sz´amjegyek. Az xy p´art nevezz¨ uk ´erv´enyesnek, hogyha l´etezik k, l ∈ {1, 2, . . . , 9}, hogy 10x + y = kl. Mivel az egyetlen 9-es sz´amjegyet is tartalmaz´o ´erv´enyes p´ar a 49, a 49-es blokk sz¨ uks´egk´eppen a keresett kilencjegy˝ u sz´am (z) legv´eg´en kell, hogy szerepeljen. K´et lehets´eges ´erv´enyes p´ar van a 7-es sz´amjeggyel, 27 ´es 72. Mindkett˝o nem szerepelhet z-ben, tov´abb´ a z legv´ege m´ ar ismert, ´ıgy a keresett z sz´am 72-vel kell, hogy kezd˝odj¨ on. Mivel a 8-as sz´ amjegyet tartalmaz´ o ´erv´enyes p´arok a 18, 28, 48 ´es 81, tov´ abb´a a 4-es sz´amjegy m´ar fel lett haszn´alva a 49-es blokkban, egyed¨ ul a 281-es blokk k´epz´ese j¨ohet sz´oba. ´Igy z = 7281 . . . 49. Most m´ar csak a fennmaradt h´ arom sz´ amjegyet (3, 5 ´es 6) kell megfelel˝ oen elhelyezni. Mivel sem 13, sem 34 nem ´erv´enyes p´ ar, valamint az egyetlen olyan ´erv´enyes xy p´ar, amelyben y = 3 szerepel az x ∈ {5, 6} megk¨ot´essel a 63, ez´ert z = 728163549, amely eleget tesz a feladat feltev´eseinek. 18J / 8S. feladat Hat´ arozzuk meg a legnagyobb p pr´ımet, amely kisebb, mint 210 ´es (210 − p) ¨osszetett sz´ am! Megjegyz´es: Figyelem! Az 1 se nem pr´ım, se nem ¨osszetett. Eredm´eny: 89 Megold´ as: Ahelyett, hogy a legnagyobb p pr´ımsz´amot keresn´enk, keress¨ uk a legkisebb megfelel˝o n o¨sszetett sz´amot (teh´at, hogy 210 − n pr´ım). Tudjuk, hogy 210 = 2 · 3 · 5 · 7, emiatt ha n 2-vel, 3-mal, 5-tel vagy 7-tel oszthat´o, akkor 210 − n is, teh´ at ekkor nem lehet pr´ım. ´Igy a legkisebb sz´ oba j¨ohet˝o ¨osszetett sz´am n-re 112 , teh´at p = 210 − 121 = 89, ami pr´ım. 19J / 9S. feladat Egy a´ltal´ anos iskola vezet˝ os´ege elhat´arozta, hogy vesz valamennyi ceruz´ at ´es sz´etosztja az els˝os tanul´ok k¨oz¨ott, akik h´arom oszt´alyban tanulnak: A, B ´es C. Hogyha minden tanul´onak ugyanannyi ceruz´at adn´anak, akkor mindenki kilencet kapna. Amennyiben minden ceruz´ at az A oszt´aly tanul´oi kapn´ anak, u ´ gy minden tanul´o ebben az oszt´ alyban harminc ceruz´ ahoz jutna. Amennyiben pedig minden ceruz´ at a B oszt´ aly tanul´oinak adn´ ak, u ´ gy minden itt tanul´ o di´ ak harminchatot tudhatna a mag´a´enak. H´any ceruz´at kapna egy C oszt´alyban tanul´o di´ak, hogyha csak a C oszt´ alyban tanul´ ok kapn´ ak meg a ceruz´ akat? Eredm´eny: 20 Megold´ as: Legyen T a ceruz´ak sz´ama o¨sszesen, ´es jel¨olje a, b ´es c a megfelel˝o oszt´alyban tanul´o di´akok sz´am´at. A feladat alapj´an elmondhat´o, hogy T = 9(a + b + c), T = 30a ´es T = 36b. Keress¨ uk a T /c ´ert´eket. Az a = T /30 ´es b = T /36 helyettes´ıt´esekkel ´elve azt kapjuk, hogy T = 9 20 T T c
3 10 T
+ 14 T + 9c,
= 9c, = 20.
20J / 10S. feladat Adjuk meg az ¨osszes olyan n´egyjegy˝ u n´egyzetsz´amot, amelynek az els˝o k´et sz´amjegy´eb˝ol, illetve az utols´o k´et sz´amjegy´eb˝ol k´epzett k´etjegy˝ u sz´am is nemnulla n´egyzetsz´am (az utols´o k´et sz´amjegyb˝ol k´epzett sz´ am els˝o sz´ amjegye lehet nulla)! Eredm´eny: 1681 Megold´ as: Mivel k ≥ 50 eset´en (k + 1)2 − k 2 > 100, 502 = 2500 az egyetlen 25-tel kezd˝od˝o n´egyzetsz´am (hasonl´o igaz a 3600, 4900, 6400 ´es 8100 sz´ amokra is). ´Igy a keresett sz´ am sz¨ uks´egk´eppen 16-tal kezd˝ odik. Az egyetlen olyan n´egyzetsz´am, amely 1600 ´es 1700 k¨ oz¨ ott van, az a 412 = 1681, ami nyilv´anval´oan eleget tesz a feladat feltev´eseinek.
6
21J / 11S. feladat Egy sof˝or a f˝ ou ´ ton ´alland´o sebess´eggel szokott haladni k´et v´aros k¨oz¨ott. Sajnos a f˝outat n´eh´ any szakaszon ´eppen jav´ıtj´ak, ´ıgy ezen r´eszeken a sebess´eg´et 25%-kal cs¨ okkentenie kellett. Emiatt azonban annyi id˝ o alatt, amennyi id˝o alatt ´altal´aban megteszi a k´et v´aros k¨oz¨otti t´avols´agot, most csup´an az u ´tnak a hatheted´et tudta megtenni. Eddig az id˝ opontig az ideje hanyad r´esz´et t¨ olt¨ otte a fel´ uj´ıt´as alatt ´all´o szakaszokon t¨ort´en˝o ´athalad´assal? Eredm´eny: 4/7 Megold´ as: Legyen x azon id˝ otartam, amelyet a fel´ uj´ıt´as alatt a´ll´o szakaszokon t¨ort´en˝o a´thalad´assal t¨olt¨ ott. Ekkor 1 − x az az id˝ otartam, amely alatt a f˝ ou ´t t¨ obbi r´esz´en haladt ´at. ´Igy 6 3 = x + 1 − x, 7 4 teh´ at x = 4/7. us´ag´ u t´eglalapot felosztottunk 12 n´egyzetre, melyeknek az oldalai 2, 2, 3, 3, 5, 5, 22J / 12S. feladat Egy eg´esz oldalhossz´ 7, 7, 8, 8, 9 ´es 9 egys´eg hossz´ uak. Mekkora a t´eglalap ker¨ ulete? Eredm´eny: 90 Megold´ as: A n´egyzetek ter¨ ulet´et o¨sszeadva azt kapjuk, hogy a t´eglalap ter¨ ulete 464 = 24 · 29. A t´eglalap mindegyik oldala legal´abb 9 egys´eg hossz´ us´ag´ u, mivel tartalmaz 9 egys´eg oldalhossz´ us´ag´ u n´egyzetet. ´Igy az egyetlen lehets´eges el˝oa´ll´ıt´asa a ter¨ ulet´enek szorzatalakban: 16 · 29, ami alapj´ an a ker¨ ulete 90. Megjegyz´es: L´etezik megfelel˝ o felbont´ as, amint azt az ´abra is mutatja:
5
7
8
9
3 3
2
8
7
2
9
5
23J / 13S. feladat N´egyzet alak´ u pap´ırlapunkat u ´ gy hajtjuk meg, hogy az egyik cs´ ucsa ´eppen az egyik oldal´ara essen. Az a´br´ar´ ol leolvashat´ o, hogy keletkezik egy kis h´aromsz¨ og, amely lel´og az eredeti n´egyzetr˝ ol. A h´aromsz¨ og azon n´egyzeten k´ıv¨ ul es˝ o oldala, amelyik a hajt´ as´ellel ´erintkezik, 8 cm hossz´ u, a m´asik n´egyzeten k´ıv¨ uli oldala pedig 6 cm hossz´ u. 8 6
Mekkora oldalhossz´ us´ aggal rendelkezik a pap´ırlapunk? Eredm´eny: 36 cm Megold´ as: A sz¨ogek alapj´an elmondhat´o, hogy az a´br´ an szerepl˝o o¨sszes h´aromsz¨og der´eksz¨og˝ u, tov´abb´a egym´ ashoz hasonl´ o. Hogyha a jobb als´o sarokban tal´alhat´o h´aromsz¨og oldalait 6x-szel, 8x-szel ´es Pitagorasz t´etele ´ertelm´eben 10x-szel jel¨ olj¨ uk, akkor a ”visszahajtogat´ as” ut´ an l´ athat´ o, hogy a n´egyzet¨ unk oldala ´eppen 18x. Emiatt a bal als´o h´aromsz¨og egyik oldala 18x − 6x = 12x, amint az az al´ abbi a´br´an is l´athat´ o. Ezen h´aromsz¨og m´asik k´et oldala teh´at 9x ´es 15x hossz´ us´ag´ u, mivel a hasonl´os´ag ar´anya 3/2. ´Igy teh´ at l´athat´ o, hogy a n´egyzet¨ unk oldala 15x + 6 hossz´ us´ag´ u, ami alapj´an x = 2. Emiatt a
7
n´egyzet oldala 36 cm hossz´ us´ ag´ u.
8
10x
10 6 15x
10x
9x
8x
12x
6x
24J / 14S. feladat Egy ¨oreg g˝ozhaj´ o´ alland´o sebess´eggel halad egy csatorn´ an. Sanyika meg akarja hat´arozni a haj´o hossz´at. Mialatt a g˝oz¨os lassan halad el˝ore, ˝o mellette s´et´al a v´ızparton a h´atulj´at´ ol eg´eszen az elej´eig, szint´en ´alland´ o sebess´eggel, s mindek¨ ozben ¨osszesen 240 l´ep´est tesz meg. Ezut´ an egyb˝ ol visszafordul, ´es a haj´ o orr´ at´ol eg´eszen a tatj´aig s´et´al ugyanazzal az a´lland´o sebess´eggel, ez´ uttal pedig 60 l´ep´est kellett megtennie. Milyen hossz´ u a haj´o l´ep´esekben m´erve? Eredm´eny: 96 Megold´ as: Mire Sanyika vissza´er a haj´o h´atulj´ahoz, ¨osszesen 300 l´ep´est tett meg, a haj´o pedig ek¨ozben 240 − 60 = 180 l´ep´est haladt el˝ore. ´Igy mialatt Sanyika megtesz 60 l´ep´est, a haj´ o 180 : 5 = 36 l´ep´est halad el˝ ore. Sanyika azonban 60 l´ep´es alatt vissza´ert a haj´ o tatj´ ahoz, ´ıgy a haj´ o sz¨ uks´egk´eppen 60 + 36 = 96 l´ep´es hossz´ us´ag´ u. u sz´am, amelyb˝ol kih´ uzhat´o h´ arom, p´aronk´ent k¨ ul¨onb¨oz˝o 25J / 15S. feladat 137641 = 3712 a legkisebb olyan hatjegy˝ sz´amjegy oly m´odon, hogy megkapjuk a n´egyzetgy¨ok´et: 137641. Hat´arozzuk meg a legnagyobb ilyen tulajdons´aggal rendelkez˝ o hatjegy˝ u sz´ amot! Eredm´eny: 992016 = 9962 Megold´ as: Legyen (1000 − n)2 a keresett sz´am (n ≥ 1). Az n = 1, 2, 3, 4, . . . esetekben ki tudjuk sz´am´ıtani a sz´ am ´ert´ek´et, felhaszn´alva az al´ abbi azonoss´ agot: (1000 − n)2 = 1000 · (1000 − 2n) + n2 . ´Igy 9992 = 998001, 9982 = 996004, 9972 = 994009, 9962 = 992016, . . . Mivel a 2, 0, 1 sz´amjegyek p´aronk´ent k¨ ul¨onb¨oz˝oek, valamint 992016 = 996 a 992016 n´egyzetgy¨oke, ez´ert a keresett sz´ am a 992016. ut¨ ott valamit a sz´amol´ og´ep´ebe, ´es egy h´aromjegy˝ u sz´ am jelent meg a kijelz˝ oj´en. Patrik, aki 26J / 16S. feladat Lilla be¨ vele szemben u ¨ lt, ´eszrevette, hogy az ˝ o n´ez˝opontj´ ab´ ol (teh´ at fejjel lefel´e) egy olyan h´aromjegy˝ u sz´ am l´atszik a kijelz˝ on, amely 369-cel nagyobb a Lilla ´ altal be¨ ut¨ ottn´el. Melyik sz´amot u ¨t¨otte be Lilla? Megjegyz´es: A sz´ amol´ og´ep az ´ abr´ an l´ athat´ o m´ odon k´epes megjelen´ıteni a sz´amjegyeket:
Eredm´eny: 596 Megold´ as: Vegy¨ uk ´eszre, hogyha egy sz´amjegyet a feje tetej´ere ´all´ıtunk, akkor vagy egy´altal´ an nem v´altozik (0, 2, 5, 8), vagy m´asik sz´amjegy lesz bel˝ole (6, 9), vagy pedig egy´altal´an nem lesz bel˝ole sz´ amjegy (1, 3, 4, 7). Teh´at egy 0, 2, 5, 8 sz´amjegyekb˝ ol ´all´ o sz´amot a feje tetej´ere ´all´ıtva ugyanazt a sz´amot kapjuk, mint hogyha felcser´elt¨ uk volna sz´amjegyei sorrendj´et. Ilyen felt´etelnek eleget tev˝ o k´et h´ aromjegy˝ u sz´ am k¨ ul¨ onbs´ege oszthat´o 99-cel, hiszen (a + 10b + 100c) − (c + 10b + 100a) = 99(c − a). Mivel 99 - 369, ez´ert a Lilla ´ altal be¨ ut¨ ott sz´am biztosan tartalmaz 6-ost vagy 9-est. Ha az els˝o sz´amjegye 9 lenne, akkor a fejjel lefel´e tekintett verzi´oja 6-ra v´egz˝odne, ´ıgy a k¨ ul¨onbs´eg csak u ´gy lehet 369, hogyha a sz´ amunk 7-re v´egz˝ odik, de a 7 nem megengedett sz´amjegy. Hasonl´ o ´ervel´essel l´ athat´o, hogy 9-es nem szerepelhet az egyesek helyi´ert´ek´en sem, tov´ abb´ a azt is l´ athatjuk, hogy a sz´am 6-sal sem kezd˝odhet, s˝ ot a k¨ oz´eps˝ o sz´ amjegye sem lehet ¨ 6. Osszesen k´et eset maradt h´ atra, hogyha 9-es van a tizesek helyi´ert´ek´en, vagy hogyha 6-os van az egyesek helyi´ert´ek´en, de mindk´et esetben ugyanahhoz a megold´ ashoz jutunk, m´egpedig az 596-hoz.
8
27J / 17S. feladat Na-boi sziget´en h´arom csal´ad ´el, mindegyik csal´adnak k´et fi´ u ´es k´et le´ any gyermeke van. H´anyf´elek´eppen alkothat ezen 12 fiatal hat m´ atkap´ art, hogyha testv´erek egym´assal nem h´azasodhatnak ¨ossze? Eredm´eny: 80 Megold´ as: Jel¨olj¨ uk a csal´adokat A-val, B-vel ´es C-vel. Hogyha az A csal´ad fi´ ugyermekei egy m´asik csal´ad (az a´ltal´anoss´ag megszor´ıt´asa n´elk¨ ul feltehet˝ o, hogy B csal´ad) le´anytestv´erp´arj´at veszi el, akkor az A csal´ad le´anygyermekeinek sz¨ uks´egk´eppen a C csal´ad fiaihoz kell hozz´amenni¨ uk, k¨ ul¨ onben a C csal´ad egyik fia k´enytelen lenne saj´at hug´at vagy n˝ov´er´et feles´eg¨ ul venni. K¨ovetkezik teh´at, hogy a B csal´ad fiai ´es a C csal´ad l´anyai kelnek egybe, ´ıgy teh´at o¨sszesen 2 · 23 = 16 f´ele k´eppen tudnak ilyen feltev´esek mellett h´azasodni, hiszen k´etf´elek´eppen lehet p´ aros´ıtani a csal´adokat ´es minden le´ anytestv´erp´arnak k´etf´ele lehet˝ os´eg ´ all rendelkez´es´ere a megfelel˝ o csal´ad fiai k¨oz¨ ul. Azonban, hogyha az A csal´ad fiai k¨ ul¨onb¨oz˝o csal´adok l´anyaival kelnek egybe, le´anytestv´ereiknek is ugyanezt a strat´egi´at kell k¨ovetni¨ uk, hogy elker¨ ulj¨ uk a csal´adon bel¨ uli h´ azass´agokat. A k´et fi´ unak egy¨ uttesen 8 lehet˝os´ege van feles´eget v´alasztania, ´es ugyanez teljes¨ ul a k´et A csal´adbeli l´anyra is. Ezut´an a p´aros´ıt´ as ut´an mind a B, mind pedig a C csal´adb´ol rendelkez´esre a´ll m´eg pontosan egy fi´ u ´es egy le´any, akiket o¨sszesen egyf´elek´eppen lehet a megengedett m´odon p´aros´ıtani. ´Igy ebben az esetben 8 · 8 = 64 lehet˝ os´eg¨ unk van ¨ osszesen. Vagyis mind¨ osszesen 16 + 64 = 80 f´ele lehets´eges h´azass´ag k´epzelhet˝o el a szigeten. 28J / 18S. feladat Andr´as ´es B´ela egy hatalmas pizz´at s¨ ut¨ottek, amely ¨osszesen 50 darab egybev´ag´o, k¨orcikk alak´ u szeletb˝ol ´all. A pizz´ara az olivabogy´okat u ´gy helyezt´ek el, hogy az ´oramutat´o j´ar´as´aval megyegyez˝o k¨or¨ ulj´ar´assal, sorban egym´ as ut´ an 1, 2, 3, . . . , 50 szem ker¨ ulj¨ on az egyes pizzaszeletekre. Szeretn´ek elfelezni a teljes pizz´ at egy egyenes v´ag´ assal a ¨ szeletek ment´en, de oly m´odon, hogy Andr´ as fel´en k´etszer annyi olivabogy´ o legyen ¨ osszesen, mint B´el´a´en. Osszesen h´any olivabogy´ o tal´ alhat´ o a v´ ag´ as ment´en tal´ alhat´ o n´egy pizzaszeleten? Eredm´eny: 68, 136 Megold´ as: Sorsz´ amozzuk a pizzaszeleteket a rajtuk tal´alhat´ o olivabogy´ok sz´ am´ anak megfelel˝oen. Vil´ agos, hogy a felez´es nem t¨ ort´enhet az 1 ´es 50 sorsz´ am´ u szeletek (vagy ´eppen a 25 ´es 26 sorsz´am´ u szeletek) k¨oz¨ott, mivel 2 · (1 + 2 + · · · + 25) < 26 + 27 + · · · + 50. ´Igy feltehet˝ o, hogy a felez˝ovonal ment´en fekv˝ o szeletek sorsz´ama n, n + 1, n + 25 ´es n + 26 alak´ u, ahol 1 ≤ n ≤ 24. Ezen sz´amok o¨sszege teh´at 4n + 52. Figyelembe v´eve, hogy (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + 25) = 25n + 12 · 25 · 26 = 25(n + 13) ´es 1 + 2 + · · · + 50 = 21 · 50 · 51 = 25 · 51, k´et lehet˝ os´eg k´epzelhet˝o el 25(n + 13) =
1 · 25 · 51 = 25 · 17 3
vagy
25(n + 13) =
2 · 25 · 51 = 25 · 34. 3
Az els˝o lehet˝os´egb˝ol azt kapjuk, hogy n = 4, emiatt a keresett o¨sszeg 4n + 52 = 68. A m´asodik lehet˝os´eg pedig az n = 21 ´es 4n + 52 = 136 megold´ asokat adja. Teh´ at a feladatnak k´et megold´asa van, m´egpedig 68 ´es 136. 29J / 19S. feladat Hat´ arozzuk meg az ¨ osszes olyan p pr´ımsz´amot, amelyre 19p + 1 egy eg´esz sz´am k¨obe! Eredm´eny: 421 Megold´ as: hogy
Ha a p pr´ımsz´am kiel´eg´ıti a k´ıv´ant felt´etelt, akkor l´etezik egy k > 2 eg´esz, amelyre k 3 = 19p + 1. ´Igy elmondhat´ o, 19p = k 3 − 1 = (k − 1)(k 2 + k + 1).
A k > 2 felt´etel ´ertelm´eben a jobb oldalon szerepl˝o szorz´ ot´enyez˝ ok mindegyike a 19p val´odi oszt´ oja. Mivel 19p k´et pr´ımsz´am szorzata, ez´ert k´et lehet˝os´eg ´all el˝ott¨ unk: k − 1 = 19, vagy k 2 + k + 1 = 19. Az els˝o esetb˝ol k¨ ovetkezi, hogy k = 20 ´es p = 400 + 20 + 1 = 421, ami val´oban pr´ımsz´am. A m´ asodik eset a k 2 + k − 18 = 0 m´asodfok´ u egyenlethez vezet, amelynek nincsen eg´esz megold´ asa! Emiatt p = 421 az egyetlen megold´as. 30J / 20S. feladat Az ABCD paralelogramm´aban tekints¨ uk azt az E pontot, amely az AD oldalon helyezkedik el oly m´odon, hogy 2 · AE = ED, tov´abb´a azt az F pontot, amely az AB oldalon tal´alhat´o, ´es teljes¨ ul r´a, hogy 2 · AF = F B. A CF ´es CE szakaszok a BD a´tl´ot a G ´es H pontokban metszik. Az ´ıgy keletkez˝ o AF GHE o¨tsz¨og ter¨ ulete h´anyad r´esze az ABCD paralelogramma ter¨ ulet´enek? Eredm´eny:
7 30
9
Megold´ as: Az al´ abbiakban sz¨ogletes z´ar´ojellel fogjuk jel¨olni az egyes alakzatok ter¨ ulet´et. Mivel az EHD ´es a CHB h´ aromsz¨ ogek hasonl´ oak, ez´ert azt kapjuk, hogy BH BC = = HD ED
2 3
AD 3 = 2 · AD
Az F BG ´es a CDG h´aromsz¨ogek hasonl´os´aga alapj´an teh´at elmondhat´o, hogy a HG = 15 · DB azonoss´ agok teljes¨ ulnek. Tekintve, hogy [ECD] =
DG GB
= 32 . Emiatt a DH = BG =
2 5
· DB ´es
2 2 1 [ACD] = · [ABCD] = [F BC], 3 3 2
azt kapjuk, hogy [AF GHE] = [AF CE] − [GCH] =
31J / 21S. feladat teljes¨ ul r´ a, hogy
1 1 1 − · 3 5 2
[ABCD] =
7 [ABCD]. 30
Adjuk meg a legnagyobb olyan ¨otjegy˝ u sz´amot, amely csak nemnulla sz´ amjegyeket tartalmaz, ´es
• Az els˝ o h´ arom sz´ amjegy´eb˝ ol alkotott sz´ am az utols´o k´et sz´amjegy´eb˝ol alkotott sz´amnak ´eppen a 9-szerese. • Az utols´ o h´ arom sz´ amjegy´eb˝ ol alkotott sz´ am az els˝o k´et sz´amjegy´eb˝ol alkotott sz´amnak ´eppen a 7-szerese. Eredm´eny: 85595 Megold´ as: Legyen abcde egy olyan ¨ otjegy˝ u sz´ am, amelyre teljes¨ ul, hogy abc = 9 · de ´es cde = 7 · ab. Ekkor 63 · de = 7 · abc = 70 · ab + 7c = 10 · cde + 7c = 1007c + 10 · de, ´ıgy de = 1007c oan meghat´arozhat´ o, hogy ab = 17c. Hogyha c ≥ 6, akkor a 17c ´es 19c sz´ amok nagyobbak, 53 = 19c. Hasonl´ mint 100. Mindezek alapj´an elmondhat´o, hogy a c lehets´eges legnagyobb ´ert´eke 5, vagyis 17119c lehets´eges legnagyobb ´ert´eke 85595. 32J / 22S. feladat Tizenk´et okos ember egy k¨ or alak´ u asztaln´al u ¨ l. Mindegyik˝oj¨ uk kap egy k´arty´ at v´eletlenszer˝ uen a tizenk´et k´arty´at tartalmaz´o paklinkb´ ol, amelyben kilenc u ¨ res k´ artyalapon k´ıv¨ ul van egy J, egy Q ´es egy K karakterrel ell´ atott speci´ alis k´ artya. Mindegyik˝ oj¨ uk megn´ezi a saj´ at k´ artyalapj´ at, majd tov´ abbadja azt a jobboldali szomsz´edj´ anak. Ezt sz´epen folytatj´ak, mindek¨ozben minden egyes k´artyalap megtekint´ese ut´an egyszerre fel kell emelnie azoknak a kez¨ uket, akik tudj´ak, hogy kin´el melyik speci´alis k´ artya van az adott pillanatban. N´egy k´artyalap megtekint´ese ut´ an senki nem emelte fel a kez´et. Az o¨t¨odik k´artya megtekint´ese ut´an egy ember emelte fel a kez´et. Ezut´an x ember emelte fel a kez´et hat k´ artyalap megtekint´ese ut´ an, majd pedig y ember emelte fel a kez´et h´et k´ artyalap megtekint´ese ut´ an. Hat´arozzuk meg xy ´ert´ek´et! Eredm´eny: 42 Megold´ as: Az els˝ o ember, aki feltette a kez´et, az els˝o olyan ember volt, aki l´atta mindh´arom speci´ alis k´arty´at. Ez az ember sz¨ uks´egk´eppen speci´ alis k´ arty´at kapott az ¨ ot¨odik k¨ orben, mivel k¨ ul¨ onben hamarabb is feltette volna m´ ar a szomsz´edja a kez´et. Tov´abb´a biztos, hogy az els˝ o k¨orben is egy speci´alis k´ artya volt n´ala, mivel k¨ ul¨onben a baloldali szomsz´edja m´ar egy k¨orrel hamarabb l´athatta volna mindh´arom speci´alis k´arty´at. Jel¨olj¨ uk C1 -gyel az els˝o kapott speci´alis k´arty´at, C3 -mal az o¨t¨odiknek kapott k´arty´at, amely szint´en speci´alis volt ´es legyen C2 a kor´abbi kett˝o k¨oz¨ott valamikor k´ezhez kapott speci´alis k´artya. Az o¨t¨odik k¨or ut´an pontosan azok tudj´ak kik¨ovetkeztetni, hogy hol j´ar a h´arom speci´alis k´artya, akikn´el m´ar j´art a C2 -es speci´alis k´ artya, ´es m´eg egy m´ asik k´ artya, hiszen a C1 -es ´es C3 -as speci´alis k´arty´ak helyzete mindenki sz´ am´ ara ismert, a rajtuk szerepl˝o karakterek azonban nem. Ezek alapj´an k¨ onnyen l´ athat´o, hogy pontosan hat ilyen ember van a hatodik k¨ orben, ´es h´et ilyen ember van a hetedik k¨orben, ´ıgy a keresett szorzat ´ert´eke 42.
10
33J / 23S. feladat Egy egyenl˝o sz´ar´ u der´eksz¨ og˝ u h´ aromsz¨ og alapja 1 egys´eg hossz´ us´ag´ u. Eme h´ aromsz¨ ogben az ´abr´ an l´ athat´ o m´ odon felvett¨ unk h´et k¨ orlapot:
Mekkora a k¨ orlapok ¨ osszter¨ uete? √ 2
Eredm´eny: π 3−24
√
2
1√ = π (1−4 2) = π 4(1+1√2)2 = π 4(3+2 2)
Megold´ as: Hogyha egy egyenl˝o sz´ar´ u der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨oget k´et egybev´ o h´aromsz¨ogre v´agunk sz´et, akkor a keletkezett √ag´ h´aromsz¨ogek az eredetihez hasonl´oak lesznek, a hasonl´os´ag ar´anya pedig 2 : 1, emiatt a be´ırt k¨ or¨ok sugarainak az ar´anya is ennyi. ´Igy minden egyes tov´abbi be´ırt k¨or ter¨ ulete fele akkora, mint az o˝t megel˝ oz˝o k¨or ter¨ ulete. Teh´at a k¨or¨ok o¨sszter¨ ulete a f´elbev´ag´ asok sor´ an nem v´altozik semmit. Emiatt elegend˝o meghat´arozni az eredeti h´aromsz¨ og be´ırt k¨ or´enek a ter¨ ulet´et. Ezen k¨or sugara k¨onnyen meghat´ arozhat´o a k¨ orh¨oz h´ uzott ´erint˝oszakaszok alapj´an, hiszen, mivel az eredeti h´aromsz¨og √ befog´oinak a hossza ´eppen 22 Pitagorasz t´etele ´ertelm´eben, ´es az ezen oldalakhoz, mint ´erint˝okh¨ oz h´ uzott sugarak egy √ 2 1 n´egyzetet hat´ aroznak meg a befog´ okkal, a keresett sug´ar ´ert´eke 2 − 2 , ´ıgy a keresett ter¨ ulet π
√ 3−2 2 . 4
34J / 24S. feladat Adjuk meg az ¨ osszes olyan p pr´ımsz´amot, amelyre (p + 11) oszt´oja a p(p + 1)(p + 2) sz´ amnak! Eredm´eny: 7, 11, 19, 79 Megold´ as: Mivel p pr´ım, ez´ert vagy egyenl˝o 11-gyel (ami vil´agos m´odon kiel´eg´ıti a megadott felt´etelt), vagy pedig relat´ıv pr´ım (p+11)-hez k´epest. Az ut´ obbi esetben a vizsg´alt szorzat akkor ´es csak akkor oszthat´o (p+11)-gyel, hogyha (p+1)(p+2) oszthat´ o vele. Ez az egyszer˝ us´ıtett szorzat modulo 11 tekintve megegyezik (−10) · (−9)-cel, emiatt p + 11 | 90. Ez pedig csup´ an a p ∈ {7, 19, 79} esetekben teljes¨ ul. ´ 35J / 25S. feladat Az ´aszkar´akoknak tizenn´egy l´ abuk van ¨osszesen. Aszkar´ akmam´anak rengeteg egyforma zoknija ´es cip˝oje van a gyermekei sz´am´ara a k¨ozelg˝o hideg t´elre val´o tekintettel. Jancsi fi´anak kik¨ot¨otte, hogy a zoknikat ´es a cip˝oket tetsz˝oleges sorrendben h´ uzhatja fel a l´abaira, azonban minden egyes l´ab´ara el˝obb egy zoknit kell felh´ uznia, s csak ut´ana vehet r´ a egy cip˝ot. H´anyf´elek´eppen o¨lt¨ ozhet fel a kis Jancsika, hogyha minden l´ab´ ara kell, hogy ker¨ ulj¨on zokni ´es cip˝o is? Eredm´eny: 228! 14 Megold´ as: Jancsika l´abainak fel¨olt¨oztet´ese egy 28 elem˝ u rendezett listak´ent kezelhet˝o, amelynek elemei a 14 zokni ´es a 14 cip˝o, tov´abb´a az egyes l´abakhoz tartoz´o zoknik az ugyanahhoz a l´abhoz tartoz´o cip˝ oket megel˝oz˝o helyen kell, hogy szerepeljenek. Az els˝o zokni-cip˝o p´ar sz´am´ara ¨ osszesen 28 lehets´ e ges hely k´ e pzelhet˝ o el. A m´asodik zokni-cip˝o p´arnak 2 26 m´ar csak 28 − 2 = 26 hely a´ll rendelkez´esre, ´ıgy 2 lehet˝os´eg k´epzelhet˝o el. A gondolatmenetet folytatva a tizennegyedik p´ ar sz´ am´ ara 22 = 1 lehet˝ os´eg marad h´ atra, a keresett megold´as teh´at 28 26 24 2 28! · · ··· = 14 . 2 2 2 2 2 36J / 26S. feladat Legyen x egy val´ os sz´ am, amelyre teljes¨ ul, hogy x3 + 4x = 8. Hat´arozzuk meg x7 + 64x2 ´ert´ek´et! Eredm´eny: 128 Megold´ as: Elegend˝ o behelyettes´ıteni a x3 = 8 − 4x kifejez´est a meghat´arozand´o mennyis´egbe az al´abbi m´odon: x7 + 64x2 = x · (x3 )2 + 64x2 = x(8 − 4x)2 + 64x2 = 64x + 16x3 = 16(x3 + 4x) = 128.
11
37J / 27S. feladat Az egyenl˝o sz´ar´ u ABC h´aromsz¨og alapja legyen AB. Legyen D az ∠ACB sz¨og sz¨ogfelez˝oj´enek ´es az AB oldalnak a metsz´espontja, tov´ abb´a legyen E a ∠BAC sz¨og sz¨ogfelez˝oj´enek ´es a BC oldalnak a metsz´espontja. Hat´ arozzuk meg a BAC^ sz¨ og ´ert´ek´et, hogyha tudjuk, hogy AE = 2 · CD! Eredm´eny: 36◦ Megold´ as: Legyen F azon pont a BC egyenesen, amelyre AE k DF . Mivel DF = 12 AE = CD, ez´ert az F CD h´aromsz¨og egyenl˝ o sz´ ar´ u, alapja F C. Legyen ϕ = BAC^. Ekkor AEC^ = DF C^ = F CD^ = DCA^ = 90◦ − ϕ. an az AEC h´ aromsz¨ oget haszn´alva azt kaphatjuk, hogy Tov´ abb´ a CAE^ = 12 ϕ alapj´ 1 ϕ + 3(90◦ − ϕ) = 180◦ , 2 vagyis ϕ = 36◦ .
C E F A
D
B
38J / 28S. feladat Legyen (an ) val´ os sz´ amokb´ol ´ all´o sorozat, amelyre a1 = 2015, tov´ abb´a a1 + a2 + · · · + an = n2 · an minden n ≥ 1 eset´en. Hat´ arozzuk meg a2015 ´ert´ek´et! 1 Eredm´eny: 1008 Megold´ as: K´epezve az n-re ´es (n−1)-re vonatkoz´o rekurz´ıv formula k¨ ul¨onbs´eg´et, azt kapjuk, hogy an = n2 ·an −(n−1)2 ·an−1 , n−1 ´ egyszer˝ us´ıt´es ut´ an pedig an = n+1 an−1 . Igy an = teh´ at a2015 =
2·2015 2015·2016
=
n−1 n−2 n−3 2 1 2a1 · · · · · · · a1 = , n+1 n n−1 4 3 n(n + 1)
1 1008 .
39J / 29S. feladat Anna ´es Bea a k¨ovetkez˝ o j´at´ekot tal´ alt´ak ki: k´et egyforma, tizenk´et oldal´ u szab´alyos dob´okocka oldalait ci´ank´ek, magenta ´es s´arga sz´ınekre festett´ek oly m´odon, hogy mindh´arom sz´ın jelen van mindk´et dob´ okock´ anak legal´abb az egyik oldal´an, tov´abb´a az els˝o dob´okock´an pontosan n´egy darab s´arga sz´ın˝ u oldal tal´alhat´o. Hogyha ezen k´et dob´okock´at eldobva ugyanaz a sz´ın l´athat´ o legfel¨ ul rajtuk, akkor Anna nyer, k¨ ul¨onben pedig Bea. Tegy¨ uk fel, hogy a sz´ınek u ´gy vannak elosztva a dob´ okock´ akon, hogy a k´et l´ any egyenl˝ o es´elyekkel rendelkezik. H´any darab magenta sz´ın˝ u oldallapja van a m´ asodik dob´ okock´ anak? Eredm´eny: 1, 9 Megold´ as: Jel¨olj¨ uk az egyes kock´ak megfelel˝ o sz´ın˝ u oldalainak a sz´am´at sorrendben c1 -gyel, m1 -gyel, s1 -gyel, c2 -vel, m2 -vel ´es s2 -vel. Tudjuk, hogy c1 + m1 + s1 = 12, c2 + m2 + s2 = 12, ´es, hogy s1 = 4. Tov´abb´a a lehets´eges 122 = 144 kockadob´ asnak pontosan a fele eredm´enyez azonos sz´ın˝ u oldalp´art, ´ıgy c1 c2 + m1 m2 + s1 s2 = 72. Kifejezve a bal oldali kifejez´est a c1 , c2 ´es m2 v´ altoz´ok ´es a fenti azonoss´agok seg´ıts´eg´evel, azt kapjuk, hogy c1 c2 − c1 m2 − 4c2 + 4m2 + 48 = 72, egyszer˝ us´ıt´es ut´ an pedig (c1 − 4)(c2 − m2 ) = 24. Kihaszn´alva, hogy −3 ≤ c1 − 4 ≤ 3 ´es −9 ≤ c2 − m2 ≤ 9, elmondhat´ o, hogy c2 − m2 ´ert´eke vagy 8, vagy pedig −8, melyet o¨sszevetve a 0 < s2 = 12 − c2 − m2 felt´etellel, azt kapjuk, hogy m2 ´ert´eke vagy 1, vagy pedig 9. Egy egyszer˝ u ellen˝ orz´essel k¨ onnyen meggy˝ oz˝ odhet¨ unk r´ ola, hogy mindk´et eset lehets´eges.
12
40J / 30S. feladat Egy nagy kerek asztal k¨or¨ ul n > 24 asszony u ¨l, mindegyik˝oj¨ uk vagy mindig igazat mond, vagy mindig hazudik. Mindegyik asszony a k¨ ovetkez˝ oket ´ all´ıtja: ˝ maga igazat mond. • O • A t˝ ole 24 hellyel jobbra tal´ alhat´ o asszony hazudik. Mekkora a legkisebb n, amely eset´eben ez megval´os´ıthat´o? Eredm´eny: 32 Megold´ as: V´ alasszunk ki egy asszonyt, ´es hozz´ a v´ alasszuk ki a t˝ole 24 hellyel jobbra u ¨l˝ot is, majd a t˝ole 24 hellyel jobbra u ¨l˝ot is, ´es ´ıgy tov´abb. N´eh´ any ilyen l´ep´es ut´ an (jel¨olj¨ uk a sz´ am´ at s-sel), visszajutunk az eredeti asszonyhoz. Vil´agos, hogy ez az s a legkisebb olyan pozit´ıv eg´esz sz´am, amelyre teljes¨ ul, hogy 24s az n eg´esz sz´am´ u t¨obbsz¨or¨ose. ´Igy s = n/d, ahol d az n ´es a 24 legnagyobb k¨ oz¨ os oszt´ oja. Vegy¨ uk ´eszre, hogy az asszonyok igazmond´asa egy ilyen l´epeget´es sor´an sz¨ uks´egk´eppen v´altakozik, teh´at egy asszony akkor ´es csak akkor igazmond´o, hogyha a t˝ ole 24 hellyel jobbra u ¨l˝o asszony hazug. Hogyha s p´aratlan lenne, ez ellentmond´ashoz vezetne, ´ıgy s biztosan p´ aros. Teh´ at n-nek oszt´oja kell legyen egy olyan 2-hatv´ any, amely a 24-nek m´ar nem oszt´oja. Ezek alapj´ an az n legkisebb lehets´eges ´ert´eke a 32, k¨ onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy ennyi hellyel l´etezik megfelel˝o u ¨ltet´es. 41J / 31S. feladat K´et n´egyzet k¨oz¨os k¨oz´epponttal rendelkezik, valamint a kisebbik n´egyzet cs´ ucsai a nagyobbik oldalain tal´ alhat´oak. Hogyha a kisebbik n´egyzetet elhagyjuk a nagyobbikb´ol, akkor n´egy darab egym´assal egybev´ag´ o h´ aromsz¨og marad h´atra, tov´abb´a minden egyes h´atramaradt h´aromsz¨og ter¨ ulete a nagy n´egyzet ter¨ ulet´enek egy tizenketted r´esze. Mekkora fokokban m´erve a legkisebb bels˝ o sz¨ oge egy ilyen h´atramaradt h´aromsz¨ognek?
? Eredm´eny: 15◦ Megold´ as: Jel¨olj¨ uk a h´ atramaradt h´aromsz¨og befog´oinak a hossz´at a-val ´es b-vel (feltehet˝o, hogy a ≤ b), az ´atfog´oj´ at pedig c-vel. K¨onnyen l´athat´o, hogy a kisebbik n´egyzet ter¨ ulete ´eppen k´etharmada a nagyobbik n´egyzet ter¨ ulet´enek, ´ıgy egy h´ atramaradt h´ aromsz¨ og ter¨ ulete ´eppen a kisebbik n´egyzet ter¨ ulet´enek a nyolcada, azaz 1 1 ab = c2 . 2 8 Legyen a sz´ oban forg´ o h´ aromsz¨ og legkisebb bels˝ o sz¨oge α. Ekkor a = c sin α, valamint b = c cos α, teh´at c2 = 4ab = 4c2 sin α cos α = 2c2 sin 2α, ´ıgy
1 . 2 Mivel α ≤ 45◦ , ez´ert vil´ agos, hogy 2α = 30◦ , ami alapj´an α = 15◦ . sin 2α =
42J / 32S. feladat Az ω3 k¨or sugara 3 egys´eg, ezen k¨ort bel¨ ulr˝ ol ´erintik az ω1 ´es ω2 k¨or¨ok, melyeknek a sugara 1, illetve 2 egys´eg. Emellett az ω1 ´es ω2 egym´ast k´ıv¨ ulr˝ol ´erintik. Az ω3 -on tal´alhat´o A ´es B pontokat u ´gy v´alasztjuk meg, hogy az AB szakasz egy k¨ oz¨ os k¨ uls˝ o ´erint˝ oje legyen az ω1 ´es ω2 k¨or¨oknek. Mekkora az AB szakasz hossza? √ Eredm´eny: 34 14 Megold´ as: Legyenek az ω1 , ω2 ´es ω3 k¨or¨ok k¨oz´eppontjai rendre O1 , O2 ´es O3 , tov´abb´a legyenek T1 , T2 ´es T3 az O1 , O2 ´es O3 k¨oz´eppontokb´ ol az AB szakaszhoz h´ uzott mer˝ olegesek talppontjai (teh´at T1 ´es T2 az AB ´erint˝oszakasz ω1 -hez, illetve ω2 -h¨oz tartoz´o ´erint´esi pontja). Mivel O1 T1 k O2 T2 k O3 T3 , O1 T1 = 1, O2 T2 = 2, valamint O1 O3 = 2O2 O3 , tov´ abb´a O1 ,
13
O2 ´es O3 egy egyenesre esnek, vil´agos, hogy O3 T3 = AO3 T3 h´ aromsz¨ ogre, azt kapjuk, hogy
5 3
(a hasonl´o h´aromsz¨ogek alapj´an). Alkalmazva Pitagorasz t´etel´et a s
AB = 2AT3 = 2
32
2 4√ 5 = − 14. 3 3
O3
O1
O2
A T1 T3
T2
B
43J / 33S. feladat Oidipusz, a rettenthetetlen h˝os, egy napon ¨osszetal´alkozott a m´agikus szfinxszel, aki az al´abbi rejtv´enyt adta fel neki: a szfinx v´alasztott egy k´etjegy˝ u eg´esz S sz´amot. Oidipusz v´alaszthatott h´ arom darab egyjegy˝ u eg´esz sz´amot, a < b < c-t ´es megk´erdezhette, hogy az S sz´am oszthat´o-e vel¨ uk. Minden egyes v´ alasztott sz´am eset´eben kapott egy igen-nem v´ alaszt a k´erd´es´ere. Ezek ut´an Oidipusz k´ets´egbe esett, mivel pontosan k´et megfelel˝ o sz´am l´etezett az a´ltala kider´ıtett oszthat´os´agok alapj´an. Szerencs´ere a szfinx r´aj¨ott, hogy hib´azott, ´es t´eves v´alaszt adott neki a b sz´ammal val´o oszthat´os´aggal kapcsolatban. ´Igy m´ ar Oidipusz egy´ertelm˝ uen meg tudta hat´arozni a keresett sz´ amot. Mi volt ez a S sz´am? Eredm´eny: 84 Megold´ as: A feladat alapj´ an elmondhat´o, hogy pontosan h´ arom olyan k´etjegy˝ u sz´ am van, amely eleget tesz a megk´ıv´ ant a-val ´es c-vel val´o oszthat´os´ agi szab´alynak (kett˝ o k¨oz¨ ul¨ uk a szfinx eredeti v´ alasz´ anak felel meg, egy pedig a m´odos´ıtott v´alasznak). Tov´abb´ a az is vil´agos, hogy mind az a-ra vonatkoz´o k´erd´esre, mind pedig a c-re vonatkoz´o k´erd´esre igenl˝ o v´ alaszt kellett kapnia, k¨ ul¨ onben biztos, hogy h´ aromn´al t¨obb lehets´eges k´etjegy˝ u sz´am ker¨ ulne el˝o. Teh´ at ezen h´ arom sz´ am biztos, hogy lkkt(a, c) = m t¨obbsz¨or¨osei. A kor´ abbiak alapj´an l´athat´ o, hogy 25 ≤ m ≤ 33, de csup´ an k´et olyan m ´ert´ek van ezek k¨ oz¨ ott, amely k´et sz´ amjegynek a legkisebb k¨oz¨ os t¨ obbsz¨or¨ ose, m´egpedig: 28 = lkkt(4, 7) ´es 30 = lkkt(5, 6). Az ut´obbi eset nem lehets´eges, mivel c − a ≥ 2, k¨ovetkez´esk´eppen a = 4 ´es c = 7. Hogyha b ´ert´eke 5 lenne, akkor nincsen olyan k´etjegy˝ u sz´am, amely mind a-val, mind b-vel, mind pedig c-vel is oszthat´ o lenne egyszerre. b = 6 eset´eben pedig a b-re vonatkoz´o k´erd´esre adott nemleges v´alasz megfelel a 28 ´es 56 sz´amoknak, m´ıg az igenl˝o v´alasz eset´eben az S = 84 sz´amot kapjuk megold´ asnak. 44J / 34S. feladat N´egy ember halad az utc´an, mindegyik˝oj¨ uk ´alland´o sebess´eggel. Az els˝o aut´ot vezet, a m´asodik motorker´ekp´ arral utazik, a harmadik egy kis robog´ oval k¨ ozlekedik, a negyedik pedig biciklit teker. Az aut´os d´elben, 12 o´rakor tal´ alkozott a robog´oval, d´elut´an 2-kor a biciklissel ´es d´elut´an 4-kor a motorker´ekp´ arossal. A motorker´ekp´aros d´elut´ an 5-kor tal´ akozott a robog´ ossal ´es d´elut´ an 6-kor a ker´ekp´aroz´o szem´ellyel. Mikor tal´alkozott a bicikli ´es a robog´ o? Eredm´eny: D´elut´ an 3 ´ ora 20 perc Megold´ as: Mivel az id˝o foly´ as´at nem befoly´asolja a v´alaszott referenciapont, ez´ert feltehet˝o, hogy az aut´o egy´ altal´ an nem is mozog. Ezen feltev´es mellett a motorker´ekp´ arnak egy ´ or´aba telt az aut´ oval t¨ort´en˝ o tal´ alkoz´ast´ ol sz´ am´ıtva a robog´oval o¨sszefutni, a robog´onak pedig o¨t o´r´ara volt sz¨ uks´ege mindehhez, teh´at a motorker´ekp´ar o¨tsz¨or olyan gyorsan haladt, mint a robog´o. Hasonl´o okoskod´ assal meghat´arozhat´o, hogy a motorker´ekp´ar k´etszer olyan gyors volt, mint a bicikli, teh´at a robog´ o ´es a bicikli sebess´eg´enek az ar´ anya 2 : 5. Amennyiben a robog´onak t id˝ ore volt sz¨ uks´ege, hogy az aut´ot´ ol eljusson a biciklivel t¨ ort´en˝ o tal´alkoz´ asi pontig, akkor a biciklinek ugyanehhez a t´av megt´etel´ehe t − 2 o´r´ara volt sz¨ uks´ege. A megfelel˝o id˝ok ar´anya ´eppen a sebess´egek ar´any´ anak a reciproka, teh´ at t−2 2 = , t 5 azaz t = 10/3. Kihaszn´alva, hogy a robog´o az aut´oval d´elben, 12 ´orakor tal´alkozott, l´ athat´o, hogy a keresett id˝opont d´elut´ an 3 ´ ora 20 perc.
14
45J / 35S. feladat Lakoszt´alyunk padl´oj´an egy n´egyzet alak´ u sz˝onyeg van kiter´ıtve, amelynek oldalai huszonk´et m´eter hossz´ uak. Egy automata porsz´ıv´o azt a feladatot kapta, hogy porsz´ıv´ ozza ki a sz˝ onyeget. A k¨ onnyebbs´eg kedv´e´ert a sz˝onyeg fel van osztva 484 darab egys´egnyi n´egyzetre. Az automata porsz´ıv´o egys´egenk´ent takar´ıt az al´abbi szab´alyoknak megfelel˝ oen: • Ha v´egzett egy egys´eg kitakar´ıt´ as´ aval, arra u ´jfent m´ar nem mehet r´a. • Egy ir´ anyba halad mindaddig, am´ıg el nem ´er a sz˝onyeg sz´el´eig, vagy egy m´ar kor´abban kitakar´ıtott egys´egig. • Hogyha ir´ anyt kell v´ altania, ´es k´et lehets´eges opci´o is a rendelkez´es´ere ´all, azt v´alasztja, amelyiket szeretn´e. Kezdetben az automat´at elhelyezz¨ uk egy egys´egen, ahonnan a rendelkez´esre ´all´o ir´anyok b´armelyik´ebe folytathatja a munk´aj´at. H´any darab egys´eg van a sz˝onyegen, amelyr˝ol indulva be tudja fejezni a teljes sz˝ onyeg takar´ıt´as´at, hogyha nem sz¨ uks´eges, hogy a sz˝ onyeg sz´el´en v´egezzen? Eredm´eny: 20 Megold´ as: Hogyha az automata porsz´ıv´o nem valamelyik 3 × 3 egys´egnyi n´egyzet alak´ u sarokr´eszb˝ol kezd, akkor biztosan fog maradni egy ki nem takar´ıtott egys´eg, amikor ugyanis az automata elhagyja a sz˝onyeg sz´el´et (ami legk´es˝obb a hetedik fordul´asn´ al bek¨ovetkezik), a fennmarad´ o, m´eg ki nem tiszt´ıtott egys´egek k´et k¨ ul¨on´all´o r´eszre bomlanak sz´et. Hasonl´o ´ervel´essel kiz´ arhat´oak az (1, 2), (2, 1), (2, 3) ´es (3, 2) koordin´at´ akn´al tal´alhat´ o egys´egek, valamint a t¨obbi sarokban a vel¨ uk szimmetrikusan tal´alhat´o t´arsaik is az alkalmas kezd˝oegys´egek sor´ab´ ol. Azonban az (1, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 1) ´es (1, 3) koordin´at´aj´ u egys´egek megfelel˝o kezd˝ohelynek bizonyulnak, szimmetriai megfontol´asokb´ol a nekik megfelel˝o, m´asik sarokban tal´ alhat´ o egys´egek is j´ ok lesznek. Teh´ at ¨osszesen 4 · 5 = 20 megfelel˝o kezd˝oegys´eg van a sz˝onyegen.
46J / 36S. feladat Vegy¨ uk fel az o´ramutat´ o j´ar´as´aval megegyez˝oen sorban az A, B, C, D, E ´es F pontokat az ω k¨or¨on. Tegy¨ uk fel, hogy AD az ω egy ´ atm´er˝oje, BF pedig messe az AD ´es CE szakaszokat a G ´es H pontokban. Legyenek tov´ abb´ a F EH^ = 56◦ , DGB^ = 124◦ ´es DEC^ = 34◦ . Mekkora a ∠CEB sz¨og? Eredm´eny: 22◦ Megold´ as: A k¨oz´epponti ´es ker¨ uleti sz¨ogek t´etele ´ertelm´eben CDB^ = CEB^, ´ıgy elegend˝o a CDB^ sz¨og ´ert´ek´et meghat´arozni. Legyen X az AD ´es a CH szakaszok metsz´espontja. Vegy¨ uk ´eszre, hogy 124◦ + 56◦ = 180◦ , valamint, ◦ ◦ ◦ ´ hogy 34 + 56 = 90 . Igy teh´at EXGF h´ urn´egysz¨ og, ami miatt AD k BC. Az ABD h´aromsz¨og der´eksz¨og˝ u, tov´abb´ a DEC^ = DBC^, vagyis ABC^ = 124◦ . Tekintve, hogy BDA^ = DBC^ = 34◦ ´es CDA^ = 180◦ − ABC^ = 56◦
15
(ADCB h´ urn´egysz¨ og), azt kapjuk, hogy CEB^ = CDB^ = 56◦ − 34◦ = 22◦ . A
B G F
H
X
E
C
D 47J / 37S. feladat T´ız feln˝ott – ¨ot feles´eg, ´es a f´erjeik – r´eszt vett ¨osszesen E esem´enyen. Tudjuk, hogy egy h´azasp´ar sem vett r´eszt ugyanazon az esem´enyen. Azt is tudjuk, hogy minden lehets´eges nem h´azas p´ ar (azonos nem˝ u p´arokat is bele´ertve) r´eszt vett k¨oz¨ osen pontosan egy esem´enyen, valamint, hogy pontosan egy szem´ely volt pontosan k´et esem´eny r´esztvev˝ oje. Mekkora az E lehets´eges legkisebb ´ert´eke? Eredm´eny: 14 Megold´ as: Jel¨ olj¨ uk a h´ azasp´arokat rendre (a1 , a2 ), (b1 , b2 ), (c1 , c2 ), (d1 , d2 ) ´es (e1 , e2 )-vel. Az ´ altal´anoss´ ag megszor´ıt´asa n´elk¨ ul feltehet˝o, hogy a1 volt az a szem´ely, aki pontosan k´et esem´enyen vett r´eszt, tov´abb´a azt is feltehetj¨ uk, hogy ezen k´et esem´eny k¨oz¨ ul az els˝on jelen volt b1 , c1 , d1 ´es e1 is, m´ıg a m´asodik esem´enyen a p´arjaik vettek r´eszt a1 -gyel k¨oz¨osen. Minden tov´abbi esem´enyen a b1 , b2 , . . . , e1 , e2 emberek k¨ oz¨ ul legfeljebb kett˝o vehetett r´eszt egyszerre, ´ıgy kellett, hogy legyen legal´abb 12 esem´eny m´eg. Tov´abb´ a, hogyha a2 r´eszt vesz b´armely 4 diszjunkt esem´enyen ezek k¨oz¨ ul, akkor a feladatnak megfelel˝ o sz´etoszt´ ast kapjuk, teh´ at a legkisebb lehets´eges E ´ert´ek a 14. ak: a tan´arn˝o adott nekik egy h´ aromjegy˝ u abc sz´amot, 48J / 38S. feladat Az iskol´aban Dani´ek a k¨ovetkez˝o feladatot kapt´ amelyre teljes¨ ult, hogy 0 < a < b < c. A feladatuk az volt, hogy szorozz´ak meg 6-tal, majd cser´elj´ek fel a t´ızesek ´es a sz´azasok helyi´ert´ek´en a´ll´o sz´amjegyet. Dani t´eved´esb˝ol a 6-tal val´o szorz´as el˝ott cser´elte fel a sz´amjegyeket, de az eredm´enye ´ıgy is helyes lett. Hat´ arozzuk meg abc-t! Eredm´eny: 678 Megold´ as: Tekintve, hogy 0 < a < b, elmondhat´ o, hogy b ≥ 2, valamint, hogy 6 · bac > 1200, ´ıgy a Dani ´altal kapott eredm´eny egy n´egyjegy˝ u sz´am kell, hogy legyen, 6 · bac = def g. M´asr´eszt viszont tudjuk, hogy 6 · abc = df eg. A k´et azonoss´ agot egym´ asb´ ol kivonva teh´ at 6(bac − abc) = def g − df eg. ´Igy 540(b − a) = 90(e − f ), azaz 6(b − a) = e − f . Mivel e ´es f sz´amjegyek, ez´ert e − f ≤ 9. Teh´at e − f = 6, ´es b − a = 1 (b − a > 0, hiszen b > a). Behelyettes´ıtve a b = a + 1 azonoss´agot az 6 · bac = def g egyenletbe, l´athat´o, hogy def g = 6(100(a + 1) + 10a + c) = 660(a + 1) − 6(10 − c). Ez azt jelenti, hogy def g legal´abb 6-tal, de legfeljebb 54-gyel t´er el a 660 egy megfelel˝o t¨obbsz¨ or¨os´et˝ol. Tudva, hogy e − f = 6 ´es 6 | def g, tov´abb´a v´egign´ezve a lehets´eges a = 1, 2, . . . , 7 eseteket, meghat´arozhat´o az o¨sszes potenci´alis def g: 1932, 1938, 2604, 3930, 3936, 4602 ´es 4608. Ezek k¨oz¨ ul csup´an a def g = 4608 eset´eben kapjuk, hogy a bac = def g/6 = 768 sz´ amnak csupa nemnulla sz´ amjegyei vannak. K¨ onnyen leellen˝orizhet˝o, hogy 6 · abc = 6 · 678 = 4068 = df eg.
16
49J / 39S. feladat Tekints¨ unk egy 5 × 3-as r´acsot. A r´acs bal fels˝o sark´aban u ¨l egy kiseg´er, aki el akar jutni a jobb als´o sarokban tal´alhat´o sajthoz. Emellett a r´acs bal als´o sark´aban u ¨ l egy r´akocska, aki pedig a jobb fels˝o sarokban tal´ alhat´o algalevelet szemelte ki mag´anak. A k´et a´llat egyszerre mozog a r´acson. Minden m´asodpercben az eg´er egy r´acsnyit halad jobbra vagy lefel´e, a r´ak pedig egy r´acsnyit halad jobbra vagy felfel´e. H´ anyf´elek´eppen ´erhetik el a c´eljukat u ´ gy, hogy u ´tk¨ ozben ne tal´ alkozzanak?
Eredm´eny: 70 Megold´ as: Vegy¨ uk ´eszre, hogy a k´et a´llat csup´an a k¨oz´eps˝o sorban tud o¨sszetal´alkozni. Ezen fel¨ ul az a´llatok a´ltal megtett utat egy´ertelm˝ uen meghat´arozz´ak a k¨oz´eps˝ o sorban ´altaluk ´erintett n´egyzetek. Vil´agosan l´athat´o, hogy az ´allatok csak akkor nem tal´ alkoznak, hogyha a k¨oz´eps˝o sorban tekintett u ´ tvonalr´eszleteik nem metszik egym´ ast, teh´ at a k¨oz´eps˝o sor diszjunkt szakaszp´ arjainak a sz´ ama ´erdekel minket v´egs˝o soron. El˝osz¨or is tekints¨ uk azt az esetet, amikor is a k´et ´allat k¨oz´eps˝o sorban megtett u ´ tszakasza k¨ oz¨ott van legal´abb egy nem haszn´alt n´egyzet. Ekkor a keresett p´ arok sz´ ama megadhat´ o a 2 · 64 k´eplettel, mivel el˝osz¨ or is ki kell v´alasztani azt a n´egy f¨ ugg˝oleges n´egyzetoldalt, amelyek k¨ozre fogj´ak fogni a k´et ´allat u ´ tj´at a k¨oz´eps˝o sorban, majd pedig el kell d¨onteni, hogy melyik ´ allat melyik r´eszt fogja haszn´ alni (az els˝o ´allat az els˝o k´et f¨ ugg˝oleges oldal k¨oz¨otti n´egyzet(ek)en halad ´ at, a m´ asodik a´llat pedig a fennmarad´ o kett˝ o k¨ oz¨ ottin). Amennyiben pedig nincsen kihagyott n´egyzet a k´et u ´tr´esz k¨oz¨ ott, akkor ezt 2 · 63 f´ele m´ odon tudj´ ak kivitelezni, imm´ aron h´arom f¨ ugg˝oleges oldalnak megfelel˝oen. 6 6 ¨ Osszesen teh´ at 2 · 4 + 2 · 3 = 70 megengedett u ´tvonalp´ar van. √ amok sz´am´ at, amelyekre b 3 nc az n egy 50J / 40S. feladat Adjuk meg azon 1000-n´el nem nagyobb n pozit´ıv eg´esz sz´ oszt´ oja. Megjegyz´es: A bxc kifejez´es az x eg´eszr´esz´et jelenti, azaz a legnagyobb olyan eg´esz sz´amot, amely nem nagyobb, mint x. Eredm´eny: 172 √ Megold´ as: Vegy¨ uk ´eszre, hogy b 3 nc = k akkor ´es csak akkor, ha k 3 ≤ n ≤ (k + 1)3 − 1. Az ennek a kit´etelnek megfelel˝o 3k 2 + 3k + 1 darab sz´amb´ol, minden k-adik oszthat´ o k-val, k 3 -t˝ol kezd˝od˝oen ´ıgy ¨osszesen 3k + 4 ilyen sz´ am ´ all a rendelkez´es¨ unkre. M´ ar csak annyi a dolgunk, hogy ¨osszeadjuk ezen darabsz´amokat minden lehets´eges k-ra, melyre (k + 1)3 − 1 ≤ 1000 (azaz k ≤ 9), valamint m´eg 1-et hozz´a kell adnunk az 1000 miatt, ami vil´agos m´odon teljes´ıti a feladat felt´etel´et. Teh´ at a keresett darabsz´ am 1+
9 X
(3k + 4) = 1 + 9 · 4 + 3 ·
k=1
9 · 10 = 172. 2
51J / 41S. feladat Adjuk meg az ¨osszes olyan val´os m sz´amot, amelyre az al´abbi egyenlet gy¨okei egy der´eksz¨og˝ u h´ aromsz¨ og oldalhosszainak feleltethet˝ oek meg: √ √ x3 − 15 2x2 + mx − 195 2 = 0 Eredm´eny: 281/2 Megold´ as: Legyenek a megadott egyenlet gy¨okei a, b ´es c, ezen sz´amok a feladat ´ertelm´eben egy der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og oldalhosszainak is megfeleltethet˝oek. Az a´ltal´anoss´ag megszor´ıt´asa n´elk¨ ul feltehet˝o, hogy 0 < a, b < c, ´ıgy Pitagorasz t´etele ´ertelm´eben fenn´all az a2 + b2 = c2 ¨osszef¨ ugg´es. A Viete formul´ak alkalmaz´as´aval (vagy az (x − a)(x − b)(x − c) szorzat kibont´ as´ aval ´es vizsg´ alat´ aval) azt kapjuk, hogy √ √ 15 2 = a + b + c, m = ab + ac + bc, 195 2 = abc. √ √ N´egyzetre emelve a 15 2 − c = a + b kifejez´ √ est, azt kapjuk, hogy 450 − 30 2c = 2ab. Az egyenletet c-vel megszorozva, majd behelyettes´ıtve a kapott abc = 195 2 ¨ osszef¨ ugg´est, az al´abbi m´asodfok´ u egyenlethez jutunk √ 2 √ 2c − 15c + 13 2 = 0, 17
√ √ √ √ melynek gy¨ okei c1 = 2 ´es c2 = 13 2/2. A 0 < a, b < c ´es abc = 195 2 felt´etelek ´ertelm´eben csak a c = 13 2/2 gy¨ ok val´ odi, a keresett m sz´ am teh´ at m = ab + ac + bc =
1 1 · ((a + b + c)2 − 2c2 ) = · 450 − c2 = 281/2. 2 2
ak tal´alhat´ oak, legal´abb egy darab piros, ´es legal´abb k´et darab z¨ old 52J / 42S. feladat Egy kos´arban z¨old ´es piros alm´ alma van benne. Annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy egy v´eletlenszer˝ uen kiv´alasztott alma piros negyvenk´etszer akkora, mint annak a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy k´et v´eletlenszer˝ uen (visszatev´es n´elk¨ ul) kiv´alasztott alma k¨ oz¨ ul mindkett˝o z¨old. H´any z¨old ´es h´ any piros alma van a kos´ arban? Eredm´eny: 4 z¨ old ´es 21 piros Megold´ as: Legyen z a z¨old alm´ak sz´ama a kos´arban, ´es legyen p a piros alm´ ak sz´ama. A feladat ´ all´ıt´asa a k¨ ovetkez˝o alakban is megadhat´ o: p z · (z − 1) = 42 · , z+p (z + p) · (z + p − 1) azaz p2 + (z − 1)p − 42z · (z − 1) = 0. Ez ut´ obbi kifejez´es tekinthet˝ o egy p v´ altoz´ oj´ u, z param´eterrel megadott m´asodfok´ u egyenletnek. A diszkrimin´ ansa, (z − 1)2 + 168z · (z − 1) = 169z 2 − 170z + 1 egy eg´esz sz´am n´egyzete kell, hogy legyen, k¨ ul¨onben a gy¨ok¨ ok irracion´alis sz´amok. Tekintve, hogy z ≥ 2, az al´ abbi egyenl˝ otlens´egekhez jutunk (13z − 6)2 = 169z 2 − 156z + 36 > 169z 2 − 170z + 1 > 169z 2 − 208z + 64 = (13z − 8)2 . ´Igy 169z 2 − 170z + 1 meg kell, hogy egyezzen a (13z − 7)2 kifejez´essel, ami alapj´an 12z = 48, ´ıgy z = 4. Ekkor a m´asodfok´ u egyenlet gy¨okei −24 ´es 21, de mivel p > 0, az egyetlen lehets´eges megold´as az p = 21. Teh´at 4 z¨old ´es 21 piros alma van a kos´ arban. ´riember, u ´j u ´sz´omedenc´et szeretne a kertj´eben. Szereti a szimmetrikus 53J / 43S. feladat P´enzes P´al, egy nagyon gazdag u dolgokat, ´ıgy a kert´esz´enek azt parancsolta, hogy egy ellipszis alak´ u medenc´et hozzon neki l´etre egy 10 m × 10 m-es ABCD n´egyzet alak´ u ter¨ uleten bel¨ ul. A medenc´enek mind a n´egy n´egyzetoldalt ´erintenie kell, r´aad´asul az AB oldalt az A cs´ ucst´ol 2, 5 m-re elhelyezked˝o P pontban. A kert´esz pontosan tudja, hogyan a´ssa ki az ellipszis alak´ u medenc´enek a helyet, hogyha adva vannak az ellipszis f´ okuszpontjai, valamint egy pont az ellipszisen. Meg´allap´ıtotta, hogy a szimmetrikus elrendez´es miatt csup´ an a f´ okuszpontok k¨ oz¨otti t´ avols´ agra van sz¨ uks´ege. Seg´ıts¨ unk a kert´esznek azzal, hogy meghat´arozzuk m´eterben m´erve a k´ıv´ ant t´ avols´ agot! C D
A
P
B
Eredm´eny: 10 Megold´ as: Zsugor´ıtsuk mind a n´egyzetet, mind az ellipszist az AC oldal ment´en addig, am´ıg az ellipszisb˝ ol k¨ or nem lesz, ´es jel¨olj¨ uk az ´ıgy keletkez˝ ou ´j pontokat az eredeti jel¨ol´esek vessz˝oz¨ ott alakj´ aval. Tov´abb´ a, legyen S az AC felez˝opontja, T
18
pedig az A0 B 0 -´e.
C
C0
S
D = D0
B = B0 T
P0 A0 P A 0
0
1 0 0 4A B ,
0
0
0
Mivel A P = l´ athat´o, hogy A P = P T , teh´ at SA0 = ST . Ezek alapj´ an A0 C 0 = B 0 C 0 , valamint az A0 B 0 C 0 h´ aromsz¨ og egyenl˝ o oldal´ u. Emiatt a zsugor´ıt´ as ar´anya √ A0 C 0 3 = . AC 3 Mindezekb˝ol k¨onnyen meghat´arozhat´ o, hogy a k¨or sugara (ami mellesleg ´eppen az eredeti ellipszis f´el kistengely´enek hossza, b) megegyezik 14 AC-vel. A f´el nagytengely hossza, a pedig megkaphat´ o a f´el kistengely hossz´anak ´es a kicsiny´ıt´es ar´any´anak a h´anyadosak´ent. Az a ´ e s b hosszok ismeret´ e ben m´ a r csak annyi a dolgunk, hogy meghat´ arozzuk a f´ okuszpontok t´ avols´ag´at, √ amelyet az e = a2 − b2 mennyis´eg (excentricit´ as) k´etszeresek´ent tudunk megadni. 54J / 44S. feladat Az (an ) sorozatot a k¨ ovetkez˝ok´eppen defini´aljuk. Legyen a1 = 1, tov´abb´a p an = b a1 + a2 + · · · + an−1 c minden n > 1 eset´eben. Hat´ arozzuk meg a1000 ´ert´ek´et! Megjegyz´es: Az bxc kifejez´es az x eg´eszr´esz´et jelenti, azaz a legnagyobb olyan eg´esz sz´amot, amely nem nagyobb, mint x. Eredm´eny: 495 Megold´ as: Az els˝ o n´eh´any elemet ki´ırva (1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, . . . ) ´eszrevehet˝o, hogy az 1-es sz´am n´egyszer ism´etl˝odik meg, a n´ala nagyobb sz´amok pedig m´ar csak k´etszer vagy h´aromszor ism´etl˝odnek. Igazoljuk indukci´oval, hogy a h´ aromszor megjelen˝ o sz´ amok ´eppen a kett˝ohatv´anyok lesznek! Tegy¨ uk fel, hogy le´ırtuk a sorozat elemeit eg´eszen az n sz´am (n > 1) legels˝o megjelen´es´eig, ´es tegy¨ uk fel, hogy a fentebb le´ırt m´odon viselkedett ezid´ aig a sorozat. Legyen k a legnagyobb olyan eg´esz, amelyre 2k < n. Ekkor az o¨sszes le´ırt sz´ am o¨sszege nem m´ as, mint s1 = (1 + 2 + · · · + n) + (1 + 2 + · · · + n − 1) + (1 + 2 + 22 + · · · + 2k ) + 1 = n2 + 2k+1 . √ Mivel 2k+1 = 2 · 2k < 2n < 2n + 1 = (n + 1)2 − n2 , ´ıgy s1 < (n + 1)2 , teh´at a sorozat k¨ovetkez˝o eleme b s1 c = n. 2 k+1 Hat´ arozzuk meg a sorozat soron k¨ovetkez˝ o elem´et is. Most az ¨ osszeg s2 = s1 + n = n + n + 2 . Ha 2k+1 < n + 1, 2 akkor s2 < (n + 1) , teh´at a soron k¨ovetkez˝o elem szint´en n. Azonban k a legnagyobb olyan eg´esz sz´am, amelyre teljes¨ ul, hogy 2k < n, emiatt 2k+1 ≥ n. Vagyis ez az eset csak a 2k+1 = n egyenl˝os´eg fenn´ all´asa eset´en teljes¨ ulhet. Hogyha n nem egy kett˝ohatv´any, akkor a soron k¨ovetkez˝o elem n + 1 lesz, mivel 2k+1 < 2n < 3n + 4, ami ekvivalens azzal, hogy n2 + n + 2k+1 < (n + 2)2 . M´eg azt kell megmutatni, hogy n = 2k+1 eset´en h´aromszor fordul el˝o az n miel˝ott n + 1 megjelenhetne. Ez azonban k¨onnyen l´athat´ o, hiszen ha kisz´am´ıtjuk a k¨ovetkez˝ o ¨osszeget is: s3 = s2 + n = n2 + 2n + 2k+1 = n2 + 3n, l´athatjuk, 2 2 hogy (n + 1) < s3 < (n + 2) . Ezzel az indukci´os l´ep´est is igazoltuk, teh´ at meghat´arozhat´o, hogy a1000 = 495 (mivel 500 = a1010 = a1009 ).
19
55J / 45S. feladat Hat´ arozzuk meg azon 4 × 4-es nemnegat´ıv eg´esz sz´amokat taralmaz´o t´abl´ azatok sz´ am´at, amelyekre teljes¨ ul, hogy • minden sorban ´es minden oszlopban legfeljebb k´et nemnulla sz´am tal´alhat´o, • minden sorban ´es minden oszlopban az ott tal´alhat´o sz´amok ¨osszege 3. Eredm´eny: 576 Megold´ as: Vegy¨ uk ´eszre, hogy minden, a feladatnak megfelel˝o t´abl´azat egy´ertelm˝ uen felbomlik k´et olyan 4 × 4-es t´abl´azat elemenk´enti ¨osszeg´ere, amelyek k¨oz¨ ul az egyik minden sorban ´es minden oszlopban pontosan egy darab 1-est tartalmaz, a m´asik pedig minden sorban ´es minden oszlopban pontosan egy darab 2-est tartalmaz. Megford´ıtva pedig, egy ilyen t´ablap´ ar elemenk´enti o¨sszege vil´agos m´odon a feladat felt´eteleinek eleget tev˝ o t´ abl´azatot ad ki. Teh´at a keresett darabsz´am (4!)2 = 576.
20
