Kapitola 11: Vektory a matice
1/19
Prostor Rn
Rn = {(x1 , ..., xn ) | xi ∈ R, i = 1, . . . , n},
n∈N
~x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn se nazývá vektor xi je i-tá souˇradnice vektoru ~x rovnost vektoru: ˚ ~x = ~y ⇔ ∀i = 1, . . . , n : xi = yi grafická reprezentace vektoru˚ pro n = 2, 3
2/19
Operace na vektorech Definice: Necht’ ~a = (a1 , ..., an ), ~b = (b1 , ..., bn ) ∈ Rn , α ∈ R. souˇcet: ~a + ~b = (a1 + b1 , . . . , an + bn ) ∈ Rn α-násobek: α · ~a = (α · a1 , . . . , α · an ) ∈ Rn ˇ staˇcí umet ˇ používat) ˇ Veta: (neuˇcte se zpameti, ∀ ~a, ~b ∈ Rn ∀ α, β ∈ R: (i) ~a + ~b = ~b + ~a (ii) (~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c ) (iii) α (~a + ~b) = α ~a + α ~b (iv) (α + β) ~a = α ~a + β ~a (v) (α β) ~a = α (β ~a) Dk: Rozepsáním definice.
3/19
Lineární kombinace vektoru˚ Definice: Necht’ ~a1 , ~a2 , . . . , ~ak ∈ Rn jsou vektory a necht’ α1 , α2 , . . . , αk ∈ R jsou reálná cˇ ísla. Vektor ~a = α1 ~a1 + α2 ~a2 + · · · + αk ~ak =
k X
αi ~ai
i=1
nazýváme lineární kombinací (LK) vektoru˚ ~a1 , . . . , ~ak . ˇ Císla α1 , . . . , αk . . . koeficienty této lineární kombinace. Triviální lineární kombinace . . . všechna αi = 0. (Je vždy rovna nulovému vektoru ~o = (0, . . . , 0)). Netriviální lineární kombinace . . . alesponˇ jedno αi 6= 0.
4/19
Lineární nezávislost vektoru˚ (1) Definice: Systém vektoru˚ ~a1 , . . . , ~ak ∈ Rn nazýváme lineárneˇ nezávislým (LN), jestliže pouze triviální lineární kombinace ˇ techto vektoru˚ je rovna ~o. Systém vektoru˚ ~a1 , . . . , ~ak ∈ Rn nazýváme lineárneˇ závislým (LZ), jestliže není LN, t.j. existuje alesponˇ jedna netriviální ˇ lineární kombinace techto vektoru, ˚ která je rovna ~o. ˇ cka: ˇ Veti (pˇreformulování definice) Systém vektoru˚ ~a1 , . . . , ~ak ∈ Rn je LN práveˇ tehdy, když platí implikace k X αi ~ai = ~o ⇒ α1 = · · · = αk = 0 . i=1
Pˇríklad: • Vektory ~a = (1, 0, 2), ~b = (0, 2, 3), ~c = (−1, 1, −1) jsou LN. ~ = (2, 1, 1) jsou LZ. • Vektory ~u = (1, 0, 1), ~v = (1, 1, 0), w
5/19
Lineární nezávislost vektoru˚ (2) ˇ Veta: Systém vektoru˚ ~a1 , . . . , ~ak ∈ Rn je LN ⇔ žádný z vektoru˚ nelze vyjádˇrit jako lineární kombinaci ostatních vektoru. ˚ ˇ ˇ Systém ~a1 , . . . , ~ak ∈ Rn je LZ ⇔ nekterý Ekvivalentne: z vektoru˚ je lineární kombinací ostatních vektoru. ˚ ˇ ˇ pˇri urˇcování hodnosti matice) Veta: (využijeme pozdeji ˇ LZ/LN vektoru˚ ~a1 , . . . , ~ak : Následující úpravy nemení ˇ vynásobení nekterého vektoru ~ai nenulovým cˇ íslem ˇ pˇriˇctení nejakého vektoru ~ai k vektoru ~aj Dusledek: ˚ ˇ Pˇriˇcteme-li k nekterému vektoru (napˇr. ~a1 ) lineární kombinaci ˇ ˇ ostatních vektoru, ˚ LZ/LN P systému se nezmení. Formálne: Oznaˇcme ~b1 = ~a1 + ki=2 αi ~ai . ~a1 , . . . , ~ak jsou LN
⇔
~b1 , ~a2 , . . . , ~ak jsou LN
6/19
Matice A=
··· ··· .. .
a1n a2n .. .
am1 am2 · · ·
amn
a11 a21 .. .
a12 a22 .. .
∈ Rm×n
A - matice typu (m, n), (též m × n matice) (ai1 , · · · , ain ) ∈ Rn (a1j , · · · , amj
)T
- i-tý ˇrádkový vektor matice A m
∈ R - j-tý sloupcový vektor matice A (aij ) - prvek A v i-tém rˇádku a j-tém sloupci rovnost matic A=B
⇔
∀ i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n : aij = bij
{a11 , . . . , akk }, k = min{m, n} - hlavní diagonála matice A matice typu (n, n) se nazývá cˇ tvercová matice
7/19
Operace s maticemi - sˇcítání, násobení cˇ íslem Definice: Jsou-li A, B matice stejného typu (m, n) a α ∈ R, pak souˇcet matic A a B je matice A + B = C s prvky cij = aij + bij . α - násobek matice A je matice α A = C s prvky cij = α aij . ˇ staˇcí umet ˇ používat) ˇ Veta: (neuˇcte se zpameti, Necht’ A, B, C jsou libovolné matice typu (m, n) a necht’ α, β ∈ R, pak platí: (i) A + B = B + A (ii) (A + B) + C = A + (B + C) (iii) α (A + B) = α A + α B (iv) (α + β) A = α A + β A (v) (α β) A = α (β A) Dk: Rozepsáním definice.
8/19
Operace s maticemi - násobení (1) Definice (pˇripomenutí ze SŠ): Necht’ ~a = (a1 , . . . , an ), ~b = (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn . Skalární souˇcin vektoru˚ ~a a ~b je reálné cˇ íslo n X ~a · ~b = a1 · b1 + · · · + an · bn = ai · bi . i=1
Definice: Necht’ A ∈ Rm×k , B ∈ Rk ×n . Souˇcin matic A a B (v tomto poˇradí!) je matice A · B = C ∈ Rm×n s prvky k X ~ ~ cij = ai · bj = ail · blj , l=1
kde ~ai je i-tý ˇrádek matice A a ~bj je j-tý sloupec matice B. Poznámka: • Prvek cij = skal. souˇcin i-tého ˇrádku A a j-tého sloupce B. • Násobení matic není komutativní (A · B 6= B · A).
9/19
Operace s maticemi - násobení (2) ˇ staˇcí umet ˇ používat) ˇ Veta: (neuˇcte se zpameti, (Pokud mají uvedené operace smysl), platí: (i) (A · B) · C = A · (B · C) (ii) A · (B + C) = A · B + A · C (iii) (A + B) · C = A · C + B · C (iv) α (A · B) = (α A) · B = A · (α B) Definice: Jednotková matice . . . cˇ tvercová matice, která má na hlavní diagonále 1 a jinak samé 0. Znaˇcí se E (nebo En ). 1 0 E = .. .
0 1 .. .
··· ··· .. .
0 0 .. .
0
0
···
1
Platí: Je-li A matice typu (m, n), pak Em · A = A, A · En = A. 10/19
Operace s maticemi - transponování Definice: Necht’ A ∈ Rm×n . Transponovaná matice k matici A je matice AT = (bji ) ∈ Rn×m , kde bji = aij ( ∀ i, j ). Poznámka: • j-tý ˇrádek matice AT je j-tý sloupec matice A • i-tý sloupec matice AT je i-tý ˇrádek matice A ˇ staˇcí umet ˇ používat) ˇ Veta: (neuˇcte se zpameti, (Pokud mají uvedené operace smysl) platí: (i) (A + B)T = AT + B T (ii) (α A)T = α AT (iii) (A · B)T = B T · AT (iv) (AT )T = A Definice: Symetrická matice . . . cˇ tvercová A, pro kterou platí A = AT . 11/19
Hodnost matice ˇ že matice A má hodnost k , jestliže k je Definice: Ríkáme, maximální poˇcet lineárneˇ nezávislých ˇrádku˚ matice A. Píšeme h(A) = k . ˇ Veta: h(A) = h(AT ).
(bez Dk)
Dusledek: ˚ Je-li A matice typu (m, n), pak h(A) ≤ min{m, n}. Definice: Matici typu (m, n) nazýváme horní trojúhelníkovou maticí (HT-maticí) jestliže (i) m ≤ n (ii) aii 6= 0, pro i = 1, . . . , m (iii) aij = 0, pro j < i. ˇ Veta: Hodnost HT-matice je rovna poˇctu jejích ˇrádku. ˚ 12/19
Ekvivalentní úpravy Ekvivalentní úpravy matice: ˇ zámena dvou ˇrádku˚ nebo sloupcu˚ vynásobení ˇrádku nebo sloupce nenulovým cˇ íslem pˇriˇctení násobku ˇrádku k jinému ˇrádku (analogicky pro sloupce) vynechání nulového ˇrádku (sloupce) Definice: Pokud matice B vznikla z matice A ekvivalentními úpravami, ˇríkáme, že B je ekvivalentní A a znaˇcíme B ∼ A. ˇ Veta: Je-li A ∼ B, potom h(A) = h(B). ˇ ˇ Veta: Každou matici lze postupným provádením ekvivalentních úprav pˇrevést na HT-matici. 13/19
Determinanty
14/19
Definice determinantu ˇ Necht’ A je ctvercová matice. Definice (rozvoj determinantu podle k -tého rˇádku): Je-li A matice 1 × 1, tj. A = [a ]. Pak definujeme det A = a. Necht’ A je matice n × n. Oznaˇcme symbolem Mij determinant cˇ tvercové matice ˇrádu (n − 1), která vznikne z matice A vynecháním i-tého ˇrádku a j-tého sloupce. Zvolme libovolneˇ k ∈ N, 1 ≤ k ≤ n. Potom determinant matice A cˇ íslo det A = (−1)k +1 ak 1 Mk 1 + · · · + (−1)k +n akn Mkn n X = (−1)k +j akj Mkj j=1
Názvosloví: Mij . . . minor (n − 1)-ho ˇrádu k prvku aij ˇ prvku aij Aij := (−1)i+j Mij . . . algebraický doplnek Poznámka: V literatuˇre je obvyklá jiná definice determinantu (pomocí permutací). 15/19
Determinanty - vlastnosti rozvoje
Platí: (bez Dk) (i) Hodnota determinantu nezávisí na volbeˇ ˇrádku, podle kterého determinant rozvíjíme. ˇ rozvoj podle k -tého sloupce (ii) Podobneˇ lze udelat det A =
n X
aik Aik
i=1
ˇ a hodnota determinantu se také nezmení. (iii) det A = det AT .
16/19
Determinanty 2x2 a 3x3 ˇ Veta:
" det
a11 a12 a21 a22
# = a11 a22 − a12 a21
ˇ (Sarrusovo pravidlo): Veta a11 a12 a13 det a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 −a13 a22 a31 − a32 a23 a11 − a21 a12 a33 a31 a32 a33 +
+
Q Q
a11 a21 a31
+
−
+
Q Q QQ
a12 a22
a13
Q Q
a23
Q Q
a32
+
Q Q
Q Q
−
a11 a21
Q Q
a33
+QQ s
Q Q
a31
QQ s
− a12
a22 a32 QQ s 17/19
Determinanty - výpoˇcet pˇrevodem na HT-matici ˇ Veta: ˇ (i) Determinant matice A se nezmení, pˇriˇcteme-li k ˇrádku (sloupci) matice A libovolný násobek jiného ˇrádku (sloupce) matice A. (ii) Vznikne-li matice B z matice A vynásobením jejího ˇrádku (sloupce) cˇ íslem α, platí det B = α det A. (tj. z ˇrádku (sloupce) lze vytknout cˇ íslo α pˇred determinant) ˇ ením ˇ (iii) Vznikne-li matice B z matice A zamen dvou ˇrádku˚ (sloupcu) ˚ matice A, platí det B = − det A. ˇ Veta: Je-li A = (aij ) cˇ tvercová HT-matice ˇrádu n, je n Y det A = a11 a22 . . . ann = aii . i=1 18/19
Determinanty - další vlastnosti ˇ Definice: Ctvercová matice A je regulární, jestliže det A 6= 0, cˇ tvercová matice A je singulární, jestliže det A = 0. ˇ Veta: Je-li A cˇ tvercová matice ˇrádu n, pak det A 6= 0 ⇔ h(A) = n Dk: (plyne z pˇrevodu na HT-matici) Dusledek: ˚ Je-li A cˇ tvercová matice ˇrádu n, pak A je regulární ⇔ det A 6= 0 ⇔ h(A) = n ⇔ ⇔ ˇrádky A jsou LN ⇔ sloupce A jsou LN ˇ Veta: (bez Dk) Jsou-li A a B cˇ tvercové matice ˇrádu n, pak platí det A · B = det A · det B 19/19
