19

Heteroskedastisitas Tjipto Juwono, Ph.D.

September 8, 2016

TJ (SU)

Hetero.

Sep 2016

1 / 19

Pengertian Homoskedastisitas

Asumsi CLRM Salah satu asumsi dalam Classical Linear Regression Model adalah bahwa variance dari setiap suku disturbance ui adalah merupakan konstanta yang sama dengan σ 2 . Secara simbolik: E (ui ) = σ 2 , i = 1, 2, . . . , n.

TJ (SU)

Hetero.

Sep 2016

2 / 19

Pengertian Homoskedastisitas

Figure 1: Contoh homoskedastisitas

TJ (SU)

Hetero.

Sep 2016

3 / 19

Pengertian Heteroskedastisitas

Figure 2: Contoh heteroskedastisitas

TJ (SU)

Hetero.

Sep 2016

4 / 19

Pengertian Heteroskedastisitas

Misalkan model dua variabel: Yi = β1 + β2 Xi + ui Y : income, dan X saving rata-rata. Gambar 1 dan 2 menunjukkan bahwa ketika income naik maka saving rata-rata juga naik. Pada Gambar 2, bukan saja keluarga dengan income tinggi mempunyai saving rata-rata lebih tinggi, tetapi juga: keluarga dengan income lebih tinggi mempunyai variasi yang lebih luas.

TJ (SU)

Hetero.

Sep 2016

5 / 19

Penyebab Heteroskedastisitas 1. Error learning model: Semakin lama orang belajar, error dalam belajar akan berkurang. Dalam hal ini σi2 diharapkan akan berkurang. Gambar 3 menunjukkan hubungan antara jumlah error dengan jumlah jam latihan mengetik.

Figure 3: Typing Error

TJ (SU)

Hetero.

Sep 2016

6 / 19

Penyebab Heteroskedastisitas

2. Dengan peningkatan income, maka jenis income juga semakin bervariasi akibatnya σi2 juga akan naik seiring dengan bertambahnya income. Perusahaan dengan profit yang lebih besar akan mempunyai variasi lebih banyak dalam kebijakan devidend. 3. Metode pengumpulan data yang lebih canggih akan menurunkan σi2 . Bank yang lebih canggih akan mempunyai data error yang lebih kecil.

TJ (SU)

Hetero.

Sep 2016

7 / 19

Penyebab Heteroskedastisitas 4. Outliers. Data ”Chile” pada Gambar 4 merupakan contoh outlier.

Figure 4: Contoh outlier TJ (SU)

Hetero.

Sep 2016

8 / 19

Penyebab Heteroskedastisitas

5. Beberapa variabel penting diabaikan dalam suatu model. Ini melanggar satu asumsi penting dalam CLRM, yaitu bahwa model yang digunakan harus dispesifikasi secara benar. 6. Skewness. Contoh: variabel ekonomi seperti kekayaan yang biasanya mempunyai skewness dalam distribusinya.

TJ (SU)

Hetero.

Sep 2016

9 / 19

Cross Sectional Data vs Time Series

Contoh Cross Sectional Data: Data dari berbagai perusahaan pada suatu waktu tertentu. Contoh Time Series Data: Data dari satu perusahaan tertentu sebagai fungsi dari waktu.

TJ (SU)

Hetero.

Sep 2016

10 / 19

Cross Sectional Data vs Time Series

Problem heteroskedastisitas lebih sering muncul pada data-data cross-sectional dari pada data-data time series. Data-data pada cross-sectional seringkali lebih variatif (umpamanya karena berasal dari berbagai perusahaan dengan berbagai ukuran) Data-data pada time-series lebih kurang variatif.

TJ (SU)

Hetero.

Sep 2016

11 / 19

BLUE

Best Linear Unbiased Estimator Estimator. β1 , β2 , β3 , . . . Bias. Selisih antara expected value dari suatu estimator, dan harga sesungguhnya (true value) dari estimator itu. Jika suatu estimator merupakan estimator yang unbiased, maka mean dari samplenya akan sama dengan mean dari populasinya. Best. Estimator yang diperoleh dari variance yang terkecil.

TJ (SU)

Hetero.

Sep 2016

12 / 19

Generalized Least Squares (GLS)

Jika ui bersifat heteroskedastis, maka βi tidak lagi ”best”, tetapi masih tetap ”unbiased”. OLS (Ordinary Least Squares) perlu diganti dengan GLS (Generalized Least Squares).

TJ (SU)

Hetero.

Sep 2016

13 / 19

Generalized Least Squares (GLS)

Figure 5: contoh yang membutuhkan GLS TJ (SU)

Hetero.

Sep 2016

14 / 19

Generalized Least Squares (GLS)

Pada Gambar 5: Terdapat variasi pendapatan pada berbagai kelompok ukuran jumlah karyawan, sebagaimana ditunjukkan oleh standard deviasi. Kita ingin membuat perhitungan di mana data yang mempunyai lebih banyak variasi akan mendapat bobot yang lebih rendah. Untuk kelas 10-19, σi =727.8; untuk kelas 500-999, σi = 1307. Jadi kelas 10-19 harusnya diberi bobot lebih tinggi daripada kelas 500-999. Jika kita menggunakan OLS, maka semua data diberi bobot yang sama. Karena itu kita membutuhkan GLS, sehingga kita dapat membuat estimasi PRF lebih baik.

TJ (SU)

Hetero.

Sep 2016

15 / 19

Generalized Least Squares (GLS) Pada OLS kita mulai dari persamaan berikut: Yi = β 1 + β 2 Xi + ui

(1)

Pada GLS kita mulai dari persamaan berikut: Yi = β1 X0i + β2 Xi + ui

(2)

Dengan X0i = 1, untuk semua i. Anggap σi diketahui. Bagilah persamaan 2 dengan σi . Diperoleh: X0i Xi ui Yi = β1 + β2 + σi σi σi σi

TJ (SU)

Hetero.

(3)

Sep 2016

16 / 19

Generalized Least Squares (GLS)

Untuk mudahnya, kita tulis: Yi∗ = β1∗ X0i∗ + β2∗ Xi∗ + ui∗

(4)

Apa manfaat mentransformasi model semula menjadi model di atas? Dapat dibuktikan bahwa variance dari ui∗ sekarang menjadi homoskedastik, dan estimatornya sekarang menjadi BLUE.

TJ (SU)

Hetero.

Sep 2016

17 / 19

Generalized Least Squares (GLS)

Hasil proses minimalisasi pada GLS menghasilkan: P P P P ( wi )( wi Xi Yi ) − ( wi Xi)( wi Yi ) ∗ P P P β2 = ( wi )( wi Xi2 ) − ( wi Xi )2

(5)

Dengan wi = 1/σi .

TJ (SU)

Hetero.

Sep 2016

18 / 19

Generalized Least Squares (GLS)

Perbedaan OLS dan GLS: Dalam OLS kita meminimalisir Dalam GLS kita meminimalisir

TJ (SU)

P

P

P

(Yi − βˆ1 − βˆ2 Xi )2 P wi σ ˆi2 = wi (Yi − βˆ1∗ X0i − βˆ2∗ Xi )2 σ ˆi2 =

Hetero.

Sep 2016

19 / 19