G&R havo B deel 3 C. von Schwartzenberg
9 Allerlei functies 1/18
1a
Zie de plot hiernaast.
1b
Dat zijn de punten (0, 0) en (1; 0,5).
1c
Van de grafieken van y1 en y 3 ligt geen enkel punt onder de x -as.
1d
De grafieken van y1 en y 3 hebben de y -as als symmetrieas.
2a
Zie de plot hiernaast. De grafieken zijn ten opzichte van elkaar verticaal verschoven.
2b
translatie (0, 6) 2 y = 1 x 2 ☺ → y = 1 x + 6. (6 omhoog)
3a
2 2 Translatie (0, 6) is een verschuiving van 0 eenheden naar rechts en 6 omhoog.
Zie een plot hiernaast. translatie (6, 0) 2 y1 = 1 x 2 ☺ → y 2 = 1 (x − 6) . (6 naar rechts) 2 2
3b
Zie een plot hiernaast. translatie ( −4, 0) 2 1 y1 = 1 x 2 ☺ → y3 = 2 (x + 4) . (4 naar links) 2
3c
translatie (2, 0) 2 1 y = 1 x 2 ☺ → y = (x − 2) . (2 naar rechts)
2
2
translatie (2, 5)
4a
2 y = −5x 2 → y = −5(x − 2) + 5.
4b
2 y = −5x 2 → y = −5(x + 3) + 6.
4c
2 y = −5x 2 → y = −5(x − 7) .
5
2 y = 2x 2 ☺ → g (x ) = 2(x + 2) ; translatie (2, −2) 2 y = 2x 2 ☺ → h (x ) = 2(x − 2) − 2;
translatie ( −3, 6) translatie (7, 0)
translatie ( −2, 0)
translatie ( −1, −3)
2 y = 2x 2 ☺ → k (x ) = 2(x + 1) − 3 en translatie (1, − 4) 2 y = 2x 2 ☺ → l (x ) = 2(x − 1) − 4
y -as
6a
y = −2x
translatie ( −2, −3)
2
max y (0) = 0 B = ←,0
x -as
2
→ f (x ) = −2(x + 2) − 3 .
O
max f ( −2) = −3 Bf = ←, −3
Zie een schets hiernaast. 6b
translatie (3, − 4)
2 y = 0,18x 2 ☺ → g (x ) = 0,18(x − 3) − 4 . min y (0) = 0 B = 0, →
min g (3) = − 4 Bg = −4, →
( −2, − 3)
g
f
(3, − 4)
Zie een schets hiernaast. translatie (0, 2)
7a
2 y = −3x 2 → f (x ) = −3x + 2 met maximum f (0) = 2 en bereik Bf = ←, 2 .
7b
4 y = −3x 4 → g (x ) = −3(x − 2) + 8 met maximum g (2) = 8 en bereik Bg = ←, 8 .
7c
2 y = 5x 2 ☺ → h (x ) = 5(x + 1) met minimum h ( −1) = 0 en bereik Bh = 0, → .
7d
6 y = 5x 6 ☺ → k (x ) = 5x + 1 met minimum k (0) = 1 en bereik Bk = 1, → .
7e
2 1 y = − 1 x 2 → l (x ) = − 2 (x − 100) met maximum l (100) = 0 en bereik Bl = ←, 0 . 2
7f
2 y = −0, 4x 2 → m (x ) = −0, 4(x + 0,1) − 0,3 met max. m ( −0,1) = −0,3 en bereik Bm = ←, −0,3 .
translatie (2, 8)
translatie ( −1, 0) translatie (0, 1)
translatie (100, 0)
transl. ( −0,1; − 0,3)
( −3, 2)
8a
O g
transl. ( −3, 2)
6 y = −5x 6 → g (x ) = −5(x + 3) + 2 met top ( −3, 2).
8c
5 y = 8x 5 → h (x ) = 8(x + 6) − 12 met punt van symm. ( −6, − 12).
8d
(1, 0)
transl. (2, − 7)
4 y = 3x 4 ☺ → f (x ) = 3(x − 2) − 7 met top (2, − 7).
8b
transl. ( −6, −12)
3
transl. (1, 0)
h
x -as k
f (2, −7)
3
y = −8x → k (x ) = −8(x − 1) met punt van symm. (1, 0).
y -as
( −6, −12)
G&R havo B deel 3 C. von Schwartzenberg 9a
9 Allerlei functies 2/18
Zie een plot hiernaast. 1
vermenigvuldiging t.o.v. de x -as met 2 2 1 y1 = x 2 − 5x ☺ → y 2 = (x − 5x ) ☺. 2
9b
Zie een plot hiernaast. vermenigvuldiging t.o.v. de x -as met −1 1
2 2 y1 = x 2 − 5x ☺ → y 3 = −1 1 (x − 5x ) . 2
transl. ( −3, −5)
verm. (x -as, −3)
transl. ( −5, 6)
verm. (x -as, 3)
)
(
10
3 3 3 y = − 1 x 3 → y = − 1 (x + 3) − 5 → y = −3 − 1 (x + 3) − 5 = 1 1 (x + 3) + 15. 2 2 2 2
11a
4 y = 0,3x 4 → → y = 3 0, 3(x + 5) 4 + 6 = 0, 9(x + 5) 4 + 18. y = 0,3(x + 5) + 6 top (0, 0)
11b
verm. (x -as, 3)
)
(
top ( −5, 6)
top ( −5, 18)
transl. ( −5, 6)
4 y = 0,3x 4 → → y = 0, 9(x + 5) 4 + 6. y = 0, 9x top (0, 0)
top (0, 0)
top ( −5, 6)
12a
Vermenigvuldiging ten opzichte van de x -as met − 1 komt op hetzelfde neer als spiegelen in de x -as.
12b
2 2 y = 3(x − 1)2 − 6 → y = − 3(x − 1) − 6 ofwel y = −3(x − 1) + 6.
13a
Het domein is D = 0, → (ofwel x ≥ 0) en het bereik is B = 0, → (ofwel y ≥ 0).
13b
y = x → y = x + 2 + 3.
13c
y = x → y = x − 1 − 4.
13d
y = x → → y = 3 x −1 y = x − 1 verm. (x -as, 3) transl. (1, 0) y = x → → y = 3 x − 1. y = 3 x
13e
x -as 2 y = x → → y = 2 ⋅ x = 2x of y = x y = 2x .
14a
y = x
spiegelen in de x -as
transl. (1, − 4)
verm. (x -as, 3)
transl. (1, 0)
verm.
verm. (x -as, −3)
transl. ( −2, 0)
→ y = x +2
→ f (x ) = −3 x + 2.
D = −2, → en B = ←, 0
D = −2, → en B = 0, →
verm. ( y -as, 21 )
transl. ( −6, −1)
y = x
of
verm. ( y -as, 1 )
, 2
D = 0, → en B = 0, →
14c
)
transl. ( −2, 3)
D = 0, → en B = 0, →
14b
(
→ y = x + 6 −1
D = −6, → en B = −1, →
→ g (x ) = 2x + 6 − 1 = −1 + 2x + 6. D = −3, → en B = −1, → y -as
Zie een schets rechts hiernaast. (gebruik eventueel een plot op de GR)
g
Df = −2, → en Bf = ←, 0 . Dg = −3, → en Bg = −1, → .
( −2, 0)
x -as
(zie 14a voor uitleg)
O
( −3, − 1)
f
15a
verm. (x -as, 2)
y = x D = 0, → en B = 0, →
y = x D = 0, → B = 0, →
15b
→ y =2 x
D = 0, → en B = 0, → verm. ( y -as, 41 )
transl. ( −6, 0)
transl. (0, −3)
→ f (x ) = 2 x − 3.
D = 0, → en B = −3, → verm. (x -as, −1)
→ → y = x + 6 y = 4x + 6 → g (x ) = − 4x + 6. D = −6, → B = 0, →
D = −1 21 , → B = 0, →
D = −1 21 , → B = ←, 0
y -as
Zie een schets hiernaast.
f
(gebruik eventueel de GR)
15c
Df = 0, → en Bf = −3, → . Dg = −1 1 , → en Bg = ←, 0 . 2 (zie 15a voor uitleg)
( −1, 5; 0) O (0, − 3)
x -as
g
G&R havo B deel 3 C. von Schwartzenberg transl. ( −5, 3)
y = x
16a
9 Allerlei functies 3/18
→ f (x ) = x + 5 + 3. beginpunt ( −5, 3) D = −5, → B = 3, →
beginpunt (0, 0) D = 0, → B = 0, →
16b
transl. ( −3, − 7)
y = x beginpunt (0, 0) D = 0, → B = 0, →
16c
beginpunt (0, 0) D = 0, → B = 0, →
beginpunt (0, 0) D = 0, → B = 0, →
→
→
beginpunt (0, 0) D = 0, → B = 0, →
y =− x beginpunt (0, 0) D = 0, → B = ←, 0
y = x −3 beginpunt (0, −3) D = 0, → B = −3, →
2x − 5 = 3 (beide kanten kwadrateren) 2x − 5 = 9 2x = 14 x =7
verm. ( y -as, 1 )
2 → g (x ) = 2x + 3 − 7.
beginpunt ( −1 21 , − 7) D = −1 21 , → B = −7, →
verm. (x -as, −2)
→ h (x ) = −2 x + 1.
y =3 x
→
transl. (0, −3)
y = x beginpunt (0, 0) D = 0, → B = 0, →
17a
y = x +1 beginpunt ( −1, 0) D = −1, → B = 0, →
verm. (x -as, −1)
y = x
16f
→
verm. (x -as, 3)
y = x
16e
beginpunt ( −3, −7) D = −3, → B = −7, →
transl. ( −1, 0)
y = x beginpunt (0, 0) D = 0, → B = 0, →
16d
→ y = x +3 −7
beginpunt ( −1, 0) D = −1, → B = ←, 0
transl. (0, 1)
→ k (x ) = 3 x + 1. beginpunt (0, 1) D = 0, → B = 1, →
transl. (1, −1)
→ l (x ) = − x − 1 − 1. beginpunt (1, −1) D = 1, → B = ←, −1
verm. ( y -as, 1 )
5 → m (x ) = −3 + 5x .
beginpunt (0, −3) D = 0, → B = −3, →
17b
2x − 5 = −3 ( ... kan niet negatief zijn) Dus de vergelijking 2x − 5 = −3 heeft geen oplossing.
18a
18b
x = 5x + 14 (kwadrateren) x 2 = 5x + 14 x 2 − 5x − 14 = 0 (x − 7)(x + 2) = 0 x = 7 ∨ x = −2 (controleren) x = 7 voldoet (want 7 = 49) x = −2 voldoet niet (want − 2 ≠ ...).
18c
3x = 8x + 20 (kwadrateren)
18d
9x
2
25x = x 2
x 2 − 25x = 0 x (x − 25) = 0 x = 0 ∨ x = 25 (controleren) x = 0 voldoet (want 5 ⋅ 0 = 0) x = 25 voldoet (want 5 ⋅ 25 = 25).
9x 2 − 18x − 72 = 0
9x − 8x − 20 = 0 2
x 2 − 2x − 8 = 0 (x − 4)(x + 2) = 0 x = 4 ∨ x = −2 (controleren) x = 4 voldoet (want 12 = 72 + 72) x = −2 voldoet niet (want − 6 ≠ ...).
D = ( −8) − 4 ⋅ 9 ⋅ −20 = 784 x = 8 + 28 = 36 = 2 ∨ x = 8 − 28 = −20 = −1 1 (controleren) 18
2⋅9
18
x = 2 voldoet (want 6 = 36) x = −1 1 voldoet niet (want − 3 39 ≠ ...).
9
9
19a
4 − 3 x = 2 (wortelvorm isoleren) 2 = 3 x (kwadrateren) 4 = 9x x = 4 (controleren)
x
9 = 4 voldoet (want 4 − 3 ⋅ 9
3x = 18x + 72 (kwadrateren) 9x 2 = 18x + 72
= 8x + 20
2
2⋅9
5 x = x (kwadrateren)
4 9
= 2).
19b
5 x − 2x = 0 (wortelvorm isoleren) 5 x = 2x (kwadrateren) 25x = 4x 2 4x 2 − 25x = 0 x (4x − 25) = 0 x = 0 ∨ 4x = 25 x = 0 ∨ x = 25 4
x = 0 voldoet (want 5 ⋅ 0 − 0 = 0) x = 25 voldoet (want 5 ⋅ 254 − 2 ⋅ 254 = 0). 4
G&R havo B deel 3 C. von Schwartzenberg 19c
9 Allerlei functies 4/18
2x − 5 x = 3 (wortelvorm isoleren) 2x − 3 = 5 x (kwadrateren) (2x − 3)(2x − 3) = 25x
19d 5x − 2 x = 3 (wortelvorm isoleren) 5x − 3 = 2 x (kwadrateren) (5x − 3)(5x − 3) = 4x 4x 2 − 6x − 6x + 9 = 25x 25x 2 − 15x − 15x + 9 = 4x 4x 2 − 37 x + 9 = 0 25x 2 − 34x + 9 = 0 2 D = ( −37) − 4 ⋅ 4 ⋅ 9 = 1225 D = ( −34)2 − 4 ⋅ 25 ⋅ 9 = 256 x = 37 + 35 = 72 = 9 ∨ x = 37 − 35 = 2 = 1 (controleren) x = 34 + 16 = 50 = 1 ∨ x = 34 − 16 = 18 = 9 (controleren) 2⋅4 8 2⋅4 8 4 2 ⋅ 25 50 2 ⋅ 25 50 25 x = 1 voldoet (want 5 − 2 = 3) x = 9 voldoet (want 18 − 5 ⋅ 9 = 3) 9 9 x = 1 voldoet niet (want 21 − 5 ⋅ 41 ≠ 3). x = 9 voldoet niet (want 5 ⋅ 25 − 2 ⋅ 25 ≠ 3). 4
20a
25
2x + x = 10 (wortelvorm isoleren) x = 10 − 2x (kwadrateren) x = (10 − 2x )(10 − 2x )
20c
x = 100 − 20x − 20x + 4x 2 0 = 4x 2 − 41x + 100 D = ( −41)2 − 4 ⋅ 4 ⋅ 100 = 81 x = 41 + 9 = 50 = 25 ∨ x = 41 − 9 = 32 = 4 (controleren)
x = 36 − 12x − 12x + 4x 2 0 = 4x 2 − 25x + 36 D = ( −25)2 − 4 ⋅ 4 ⋅ 36 = 49 x = 25 + 7 = 32 = 4 ∨ x = 25 − 7 = 18 = 9 (controleren)
x = 25 voldoet niet (want
x = 4 voldoet niet (want 8 + 4 ≠ 6) x = 9 voldoet (want 92 + 94 = 6).
2⋅4
8
4
4
2⋅4
25 2
+
25 4
8 ≠ 10)
2⋅4
x = 4 voldoet (want 8 + 4 = 10). 20b
2x + x = 6 (wortelvorm isoleren) x = 6 − 2x (kwadrateren) x = (6 − 2x )(6 − 2x )
Zie de plot hiernaast.
21b
x = 2 geeft y =
21c
y =5⇒
2⋅4
8
4
4
x + 12 = x (kwadrateren) x + 12 = x 2 0 = x 2 − x − 12 (x − 4)(x + 3) = 0 x = 4 ∨ x = −3 (controleren) x = 4 voldoet (want 4 +12 = 4) x = −3 voldoet niet (want −3+12 ≠ −3).
21a
8
20d
10 − x x = 2 (wortelvorm isoleren) 8 = x x (kwadrateren) 64 = x 3 3
x = 3 64 = 43 = 4 (controleren) x = 4 voldoet (want 10 − 4 ⋅ 4 = 2).
1 + 5 = 1 + 5 kan niet. (zie ook TABLE) 2−2 0 (delen door nul is niet toegestaan) 1 + 5 = 5 ⇒ 1 = 0 kan niet. Dus de grafiek van y = 1 + 5 snijdt de lijn y = 5 niet. x −2 x −2 x −2
22a
y = 1
x V.A.: x = 0 H.A.: y = 0
transl. ( −4, −2)
→ f (x ) =
1
x +4
− 2.
V.A.: x = − 4 H.A.: y = −2
f
22b f (x ) heeft V(orizontale) A(symptoot): x = −4 en H(erticale) A(symptoot): y = −2. 22c
x = −4
Zie de grafiek hiernaast.
23ab y = 1
x V.A.: x = 0 H.A.: y = 0
verm. t.o.v. −3 → y = x -as met −3
x V.A.: x = 0 H.A.: y = 0
transl. (4, 2) −3 + 2. → f (x ) =
x −4
V.A.: x = 4 H.A.: y = 2
Zie de schets hieronder. x =4 y =2 f
y = −2
G&R havo B deel 3 C. von Schwartzenberg 24a
f (x ) =
1
9 Allerlei functies 5/18
+ 6 met V.A.: x = 5 en H.A.: y = 6.
x −5
x =5
f (x ) =
1
x −5
24c
h (x ) =
4
x −3
met V.A.: x = 3 en H.A.: y = 0.
h (x ) =
+6
y =6
4
x −3
x =3 y =0
24b
g (x ) =
g (x ) =
−2 − 3 met V.A.:
x +1
−2
x +1
x = −1 en H.A.: y = −3.
24d
k (x ) =
5 − 3 met V.A.:
x
x = 0 en H.A.: y = −3.
−3
y = −3
y = −3 x =0 x = −1
k (x ) =
25a
Zie een plot hiernaast.
25b
Voor grote waarden van x wordt 2x − 3 heel groot, dus Dus voor grote x wordt f (x ) =
5 + 3 ≈ 0 + 3 = 3. 2x − 3
5
x
−3
5 ≈ 0. 2x − 3
De grafiek van f (x ) heeft de lijn y = 3 als horizontale asymptoot. 25c
Voor x = 1 1 wordt de noemer 2x − 3 gelijk aan nul. 2
Voor x een heel klein beetje kleiner dan 1 1 wordt f (x ) =
5 + 3 heel klein (heel groot negatief). 2 2x − 3 5 1 Voor x een heel klein beetje groter dan 1 wordt f (x ) = + 3 heel groot (positief). 2 2x − 3 5 1 De grafiek van f (x ) = + 3 heeft de lijn x = 1 als verticale asymptoot. 2x − 3 2
26a
De grafiek van f (x ) = 3x + 2 heeft als verticale asymptoot: (noemer 4 − x = 0 ⇒ −x = −4 ⇒) x = 4. 4 −x
Voor grote waarden van x is f (x ) = 3x + 2 ≈ 3x + 2 = −3 + 2 = −1 ⇒ de lijn y = −1 is horizontale asymptoot. 4 −x
26b
27a
−x
De grafiek van g (x ) = 2x − 3 heeft als verticale asymptoot: (noemer 5 + 2x = 0 ⇒ 2x = −5 ⇒) x = −2 1 . 5 + 2x 2 Voor grote waarden van x is g (x ) = 2x − 3 ≈ 2x = 1 ⇒ de lijn y = 1 is horizontale asymptoot van de grafiek van 5 + 2x 2x
De grafiek van f (x ) = 2x − 1 heeft als x +3
verticale asymptoot: (noemer x + 3 = 0 ⇒) x = −3. Voor grote waarden van x is f (x ) = 2x − 1 ≈ 2x = 2, x +3
x
dus y = 2 is horizontale asymptoot van de grafiek van f . Gebruik TABLE op de GR om de grafiek te tekenen. Stippel de asymptoten en schrijf er de formules bij. Hiernaast staat de grafiek. 27b
g.
g
x = −3 y =2 f
f (x ) = g (x ) ⇒ 2x − 1 = x − 3 1 x +3 (x + 3)(x − 3) = 1 ⋅ (2x − 1) x ≠ −3, want f ( −3) bestaat niet x 2 − 3x + 3x − 9 = 2x − 1 x 2 − 2x − 8 = 0 (x − 4)(x + 2) = 0 x = 4 ∨ x = −2. f (x ) ≤ g (x ) geeft (gebruik de oplossing hiernaast en de grafiek hierboven) − 3 < x ≤ −2 ∨ x ≥ 4.
G&R havo B deel 3 C. von Schwartzenberg
28a
x +1 = x −1 1 x −1
9 Allerlei functies 6/18
28b
(x − 1)(x − 1) = x + 1
4x = 2x + 6
28c
x (x − 2) = 15 x 2 − 2x = 15 x 2 − 2x − 15 = 0 (x − 5)(x + 3) = 0 x = 5 ∨ x = −3.
x2 −x −x +1 = x +1 x 2 − 3x = 0 x (x − 3) = 0 x = 0 ∨ x = 3. 29a
x = 15 1 x −2
2x + 6 1
28d
4x = 2x + 6 ⋅ 2x + 6 4x = 2x + 6 2x = 6 x = 3.
2x
x 2−3
2 = x 1−3
2x = x 2 − 3 x 2 − 2x − 3 = 0 (x − 3)(x + 1) = 0 x = 3. (x = −1 voldoet niet)
Voor grote t is N = 1 800 − 1200 ≈ 1 800 − 1200 ≈ 1 800 − 0 = 1 800. 1 + 3t
3t
Dus de lijn N = 1 800 is een horizontale asymptoot. Praktische betekenis: het aantal insecten nadert op den duur naar 1 800 (stuks). 29b
Maak een schets van de plot hiernaast. (stippel de H.A.: N = 1800)
29c
N = 1 800 − 1200 = 1 760 (intersect) ⇒ t ≈ 9, 7. 1 + 3t
Of 40 = 1200 ⇒ 1200 = 40(1 + 3t ) ⇒ 30 = 1 + 3t ⇒ 3t = 29 ⇒ t = 29 = 9 2 . 1
1 + 3t
Dus op de tiende dag (van t = 9 tot t = 10) zijn er 1 760 insecten. 29d
3
3
Op de vierde dag (die loopt van t = 3 tot t = 4) zijn er (TABLE of)
N (4) − N (3) ≈ 1 708 − 1 680 = 28 insecten bijgekomen. 29e
N = 1 800 − 1200 = 1 680 (intersect/algebraïsch/29d) ⇒ t = 3. 1 + 3t
N = 1 800 − 1200 = 1 745 (intersect/algebraïsch) ⇒ t ≈ 7. Het duurt (ongeveer) 7 − 3 ≈ 4 dagen. 1 + 3t
30a
De grafiek van f (x ) = 2x − 7 heeft als verticale asymptoot: (noemer x − 5 = 0 ⇒) x = 5. x −5
Voor grote waarden van x is f (x ) = 2x − 7 ≈ 2x = 2 ⇒ de lijn y = 2 is horizontale asymptoot. (gebruik TABLE) x −5
x
De grafiek van g (x ) = x − 2 + 3 alleen voor (x − 2 ≥ 0 ⇒) x ≥ 2. (gebruik TABLE)
30b
f (x ) = g (x ) ⇒ 2x − 7 = x − 2 + 3 (intersect) ⇒ x = 6. x −5 f (x ) ≤ g (x ) geeft (gebruik ook de grafiek hiernaast) 2 ≤ x < 5 ∨ x ≥ 6.
31a 31b
Zie de schermen hiernaast. Twee raaklijnen met rc = −1.
31c
Er zijn geen raaklijnen met rc = 1 (alle raaklijnen hebben een negatieve rc).
32
f (x ) = 3x − 4 kunnen we nog niet differentiëren, 2x − 1 dus f '(x ) op de GR benaderen met nDeriv(Y 1, X , X ). f '(x ) = 0,2 geeft dan met intersect x = −2 ∨ x = 3. (x = −2 en x = 3 zijn nu de x -coördinaten van de raakpunten)
x = −2 geeft f ( −2) = −6 − 4 = −10 = 2 ⇒ raakpunt A( −2, 2) en −4 − 1
−5
x = 3 geeft f (3) = 9 − 4 = 5 = 1 ⇒ raakpunt B (3, 1). 6 −1
33
5
f (x ) = 2x − 4 kunnen we nog niet differentiëren, x −4 dus f '(x ) op de GR benaderen met nDeriv(Y 1, X , X ). f '(x ) = −1 geeft dan met intersect x = 2 ∨ x = 6. (x = 2 en x = 6 zijn de x -coördinaten van de raakpunten)
x = 2 geeft f (2) = 4 − 4 = 0 = 0 ⇒ raakpunt A(2, 0) en 2−4
−2
x = 6 geeft f (6) = 12 − 4 = 8 = 4 ⇒ raakpunt B (6, 4). 6−4 2 m: y = −x + b door A(2, 0) geeft 2 = −0 + b ⇒ b = 2 en n : y = −x + q door B (6, 4) geeft 4 = −6 + q ⇒ q = 4 + 6 = 10. De twee raaklijnen met richtingscoëfficiënt − 1 zijn m: y = −x + 2 en n : y = −x + 10.
G&R havo B deel 3 C. von Schwartzenberg 34
9 Allerlei functies 7/18
f (x ) = 5x kunnen we nog niet differentiëren, dus f '(x ) op de GR benaderen met nDeriv(Y 1, X , X ). 2x + 3 f '(x ) = g '(x ) ( g (x ) = 0, 6x + 3 ⇒ g '(x ) = 0, 6) f '(x ) = 0, 6 geeft met intersect x = −4 ∨ x = 1. f ( −4) = −20 = −20 = 4 ⇒ raakpunt A( −4, 4) en −8 + 3
−5
f (1) = 5 = 5 = 1 ⇒ raakpunt B (1, 1). 2+3
35a
5
De grafiek van f (x ) = 4x
x +2
heeft als verticale asymptoot: (noemer x + 2 = 0 ⇒) x = −2.
Voor grote waarden van x is f (x ) = 4x ≈ 4x = 4 ⇒ de lijn y = 4 is horizontale asymptoot van de grafiek van f . x +2
35b
x
f ( x ) = g (x ) ⇒ 4 x = x − 3 x +2 1 (x + 2)(x − 3) = 4x
x 2 − 3x + 2x − 6 = 4x x 2 − 5x − 6 = 0 (x − 6)(x + 1) = 0 x = 6 ∨ x = −1.
f (x ) > g (x ) geeft (gebruik 35ab en de plot hierboven) x < −2 ∨ − 1 < x < 6.
35c
f (x ) = 4x ⇒ f '(x ) benaderen op de GR. x +2 f '(x ) = g '(x ) ( g (x ) = x − 3 ⇒ g '(x ) = 1) f '(x ) = 1 geeft met intersect x ≈ −4, 828... ∨ x ≈ 0,828... f ( −4,828...) ≈ 6,828... ⇒ raakpunt A( −4, 83; 6,83) en f (0,828...) ≈ 1,171... ⇒ raakpunt B (0,83; 1,17).
36a
10x = 2 (intersect) ⇒ x ≈ 0,30103.
36b
10x = 5 (intersect) ⇒ x ≈ 0, 69897. Dus 5 ≈ 10 0,69897.
36c
10x = 15 (intersect) ⇒ x ≈ 1,17609. Dus 15 ≈ 101,17609.
37a
25 = 10log(25).
38a
7 = 10log(7) ⇒ 7 x = 10log(7)
38b 38c
20 = 10log(20). 7 x = 10 x ⋅ log(7) (zie 38a) x ⋅ log(7) x = 10log(20) ofwel x ⋅ log(7) = log(20). ⇒ 7 = 20 geeft 10 log(20) 20 = 10 (zie 38b)
38d
x ⋅ log(7) = log(20) ⇒ x =
39a
2
39b
3
log(0,2) =
39c
5
log(50) =
40a
2x + 1 = 10log(2)
40b
32x + 1 = 10log(3)
40c
2 ⋅ 5x = 2 ⋅ 10log(5)
37b
(
log(80) =
log(0,2) ≈ −1, 465. log(3) log(50) ≈ 2, 431. log(5)
(
(
)
x +1
)
x
Onthoud : 10... en log(... heffen elkaar op .
= 10 x ⋅ log(7). (bij machten van machten doe je de exponenten vermenigvuldigen)
log(20) Dus 7 x = 20 oplossen geeft x = . log(7)
39d 39e 39f
1 2
2 1 3
log(25) =
log(25) log( 21 )
≈ −4, 644.
log(10) + 2 log(12) = 1
log(20) − 3 log(10) =
log(10) log(12) + ≈ 6, 907. log(2) log(2) log(20) log( 31 )
= 10(x + 1) ⋅ log(2) = 10x ⋅ log(2) + 1 ⋅ log(2) ≈ 10 0,301x + 0,301.
2x − 1
)
x
log(20) . log(7)
log(80) ≈ 6,322. log(2)
(
)
2 = 10log( 2).
= 10(2x − 1) ⋅ log(3) = 102x ⋅ log(3) − 1 ⋅ log(3) ≈ 10 0,954x − 0,477.
= 10log(2) ⋅ 10 x ⋅ log(5) = 10log(2) + x ⋅ log(5) ≈ 10 0,301 + 0,699x .
−
log(10) log( 31 )
≈ −0, 631.
G&R havo B deel 3 C. von Schwartzenberg
(
41a
62x + 1 = 62x ⋅ 61 = 10log(6)
41b
()
41c
42a
1 2
3x − 2
3x
(2) (2)
= 1
⋅ 1
−2
9 Allerlei functies 8/18 2x
)
⋅ 6 = 6 ⋅ 102x ⋅ log(6) ≈ 6 ⋅ 101,556x . 3x
log( 1 ) = 10 2
(
1
3x ⋅ log( 2 ) ⋅ 1 2 = 11 ⋅ 10 ≈ 4 ⋅ 10 −0,903x .
( )
() 1 2
1,184x − 1 = 1,184x ⋅ 1,18−1 = 10log(1,18)
)
4x
4
⋅ 1
1,181
= 1 ⋅ 10 4x ⋅ log(1,18) ≈ 0,847 ⋅ 10 0,288x . 1,18
In de tiende week (van t = 9 tot t = 10) zijn er (TABLE of)
N (10) − N (9) ≈ 18 (of 165 − 146 = 19) ratten bijgekomen. In de veertigste week (van t = 39 tot t = 40) zijn er (TABLE of)
N (40) − N (39) ≈ 42 (of 1612 − 1571 = 41) ratten bijgekomen. 2000 ≈ 2000 = 2000 = 2 000 ⇒ de lijn 1 + 40 ⋅ 0 1 1 + 40 ⋅ 0,88t Praktische betekenis: het aantal ratten nadert op den duur naar 2 000 (stuks).
42b
Voor grote waarden van t is N =
N = 2 000 is horizontale asymptoot.
42c
2000 kunnen we nog niet differentiëren, dus N '(t ) op de GR benaderen met nDeriv(Y 1, X , X ). 1 + 40 ⋅ 0,88t N '(t ) maximaal (optie maximum loslaten op N ') ⇒ t ≈ 28, 9 en N 'max ≈ 63, 9. Dus de snelheid is maximaal voor t ≈ 28, 9 (na ongeveer 29 weken). Er komen dan (ongeveer) 64 ratten per week bij, dat is ongeveer 9 per dag.
42d
G = 2 000, a = 40 en (zie de uitleg hieronder) b ≈ −0, 056.
N =
(
0,88t = 10log(0,88)
t
)
= 10t ⋅ log(0,88) ≈ 10 −0,056t .
(
t
)
= 10t ⋅ log(0,88) + log(40). Dus N =
42e
40 ⋅ 0,88t = 10log(40) ⋅ 10log(0,88)
43a
De grafiek van f (x ) = 2 log(x − 3) heeft als verticale asymptoot: (x − 3 = 0 ⇒) x = 3.
43b
Zie de schermen hiernaast.
43c
log(a ) Er is gebruik gemaakt van de regel: g log(a ) = (zie Theorie B blz. 26 en 27 in het boek).
44a
De grafiek van f (x ) = 3 log(4x − 1) heeft als verticale asymptoot: (4x − 1 = 0 ⇒ 4x = 1 ⇒) x = 1 .
2000 2000 ≈ . 1 + 40 ⋅ 0,88t 1 + 10 −0.056t + 1,602
log( g )
4
(gebruik TABLE voor het maken van de grafiek)
x =
f
1 4
y =2
Zie de grafiek van f hiernaast. 44b
f
3
f (x ) = 2 ⇒ log(4x − 1) = 2 (voorwaarde: x > 41 ) ...
(met 3 kun je 2
3
...
log(... opheffen dus neem links en rechts 3 )
4x − 1 = 3 = 9 4x = 10 x =21. f (x ) ≤ 2 geeft (zie de grafiek) 1 < x ≤ 2 1 . 2
4
2
1
45a
De grafiek van g (x ) = 4 + 2 log(3x ) heeft als verticale asymptoot: (3x = 0 ⇒) x = 0. (zie de grafiek hieronder)
45b
g (x ) = 0 ⇒ 4 + 2 log(3x ) = 0 ⇒ 2 log(3x ) = −4 (voorwaarde: x > 0)
1
3x
()
= 1 2
−4
=
()
x = 16 = 5 1 . 3
1
3
1 2
4
1
= 1
( ) 1 16
x =0
g
= 16 y =0
g (x ) ≥ 0 geeft (zie de grafiek) 0 < x ≤ 5 1 . 3
G&R havo B deel 3 C. von Schwartzenberg
45c
46a
9 Allerlei functies 9/18 1
x = 2,5 geeft g (x ) = g (2,5) = 4 + 2 log(3 ⋅ 2,5) ≈ 1, 09. x ≥ 2,5 geeft (zie een plot of de grafiek) g (x ) ≤ 1, 09. De grafiek van f (x ) = 2 log(x 2 − 4) heeft als verticale asymptoot: (x 2 − 4 = 0 ⇒ x 2 = 4) x = −2 en x = 2. (gebruik TABLE voor het maken van de grafiek)
x = −2
x =2
f
f y =3
46b
f (x ) = 3 ⇒ 2 log(x 2 − 4) = 3 (intersect of) ...
(met 2 kun je 2 3
2
...
log(... opheffen dus neem links en rechts 2 )
x −4=2 =8 x 2 = 12 x = ± 12 ≈ ±3, 46.
f (x ) ≤ 3 geeft (zie de grafiek) − 3, 46 ≤ x < −2 ∨ 2 < x ≤ 3, 46.
46c
Voor x ≥ −3 neemt (zie een plot of de grafiek) f (x ) alle waarden aan, want voor x > 2 neemt f (x ) nog alle waarden aan
47a
De grafiek van f (x ) = 6 + 2 log(x 2 + 5) heeft geen verticale asymptoot. (x 2 + 5 = 0 ⇒ x 2 = −5 kan niet)
1
De grafiek van g (x ) = 3log(x 2 − 2x ) heeft als verticale asymptoot: (x 2 − 2x = 0 ⇒ x (x − 2) = 0 ⇒) x = 0 en x = 2. x =2
x =0 g
g
f
Zie de grafiek van f hiernaast. 47b
Er zijn twee snijpunten (zie de grafiek hiernaast). Intersect geeft (zie de schermen hierboven) de snijpunten: ( −2, 759; 2,344) en (3, 776; 1, 732).
47c
f (x ) > g (x ) geeft dan − 2, 759 < x < 0 ∨ 2 < x < 3, 776.
48a
a = 0 (m) ⇒ D = −9, 6 + 5 log(02 + 400) ≈ −5, 88 (m). Dus bij de put 5,88 m diep. a = 500 (m) ⇒ D = −9, 6 + 5 log(5002 + 400) ≈ −1,88 (m). Dus op een afstand van 500 m staat het water 1,88 m diep.
48b
−9, 6 + 5 log(a 2 + 400) = −2,5 (intersect of) 5
48d
2
log(a + 400) = 7,1 a 2 + 400 = 57,1 a 2 = 57,1 − 400 a (een afstand kan alleen positief zijn) ≈ 302 (m). 48e D < −2, 5 (m) geeft (0 ≤) a < 302 (m).
Je hebt te maken met een vermenigvuldiging t.o.v. de D -as. (hij peutert in de formule aan de a ) Hij neemt factor p .
a = 500 moet D = −2,30 opleveren. Intersect (/algebraïsch) ⇒ p ≈ 1, 41.
48c
Ja, de grafiek is afnemend stijgend.
49a
2 f (x ) = 2x 2 − 3x → g (x ) = 2(x − 1) − 3(x − 1) + 2 = 2(x − 1)(x − 1) − 3(x − 1) + 2 = 2(x 2 − x − x + 1) − 3x + 3 + 2 = 2x 2 − 4x + 2 − 3x + 3 + 2 = 2x 2 − 7 x + 7.
49b
2 2 2 4 f (x ) = 2x 2 − 3x → h (x ) = 2 ⋅ (4x ) − 3 ⋅ 4x = 2 ⋅ 16x − 12x = 32x − 12x . t.o.v. de y -as
50a
f ( x ) = x 3 − 4x = 0 x (x 2 − 4) = 0 x = 0 ∨ x2 = 4 x = 0 ∨ x = −2 ∨ x = 2 De nulpunten van f zijn − 2, 0 en 2.
transl. (1, 2)
verm. met
1
50b
Je vermenigvuldigt met 3 ten opzichte van de y -as. Dan is het beeld van ( −2, 0) het punt ( −6, 0), het beeld van (0, 0) het punt (0, 0) en het beeld van (2, 0) het punt (6, 0). Dus de nulpunten van g zijn dus − 6, 0 en 6.
G&R havo B deel 3 C. von Schwartzenberg 51a
9 Allerlei functies 10/18
verm. met 2 4 4 f (x ) = x 4 − 3x → g (x ) = f ( 1 x ) = ( 1 x ) − 3 ⋅ ( 1 x ) = 1 x − 1 1 x . t.o.v. de y -as 2
verm. met −
2
2
16
2
1 3
51b
3 2 3 2 3 2 h (x ) = 4x 3 − 2x 2 → k (x ) = h ( −3x ) = 4 ⋅ ( −3x ) − 2 ⋅ ( −3x ) = 4 ⋅ −27 x − 2 ⋅ 9x = −108x − 18x . t.o.v. de y -as
52a
f (x ) = x 3 − 9x = 0 x (x 2 − 9) = 0 x = 0 ∨ x2 = 9 x = 0 ∨ x = −3 ∨ x = 3 De nulpunten van f zijn − 3, 0 en 3.
52b
g (x ) = 1 x 3 − 2 1 x = 0
52c
3
64
4
(×64)
x − 144x = 0 x (x 2 − 144) = 0 x = 0 ∨ x 2 = 144 x = 0 ∨ x = −12 ∨ x = 12
f (x ) = x 3 − 9x
De nulpunten van 9 zijn − 12, 0 en 12.
vermenigvuldigen t.o.v. de y -as met 4 g (x ) = f ( 1 x ) = ( 1 x )3 − 9 ⋅ ( 1 x ) = 1 x 3 − 2 1 x . 4 4 4 64 4
×4
nulpunt van f → nulpunt van g .
52d
53a
f (x ) = −6x 3 + 18x ⇒ f '(x ) = −18x 2 + 18.
53b
f '(x ) = 0 ⇒ −18x 2 + 18 = 0 ( ÷ 18) −x 2 + 1 = 0 1 = x 2 ⇒ x = −1 ∨ x = 1. (extreme waarden zijn maxima/minima) Min. (zie een plot) f ( −1) = −12 en max. (zie een plot) f (1) = 12.
53c
verm. met 4 3 3 3 f (x ) = −6x 3 + 18x → g (x ) = f ( 1 x ) = −6 ⋅ ( 1 x ) + 18 ⋅ ( 1 x ) = − 6 x + 4 1 x = − 3 x + 4 1 x . t.o.v. de y -as
53d
g (x ) = − 3 x 3 + 4 1 x ⇒ g '(x ) = − 9 x 2 + 4 1 32 2 32 2 ) g '(x ) = 0 ⇒ − 9 x 2 + 4 1 = 0 ( × 32 9 32 2 2
4
4
4
64
2
32
2
−x + 16 = 0
16 = x 2 ⇒ x = −4 ∨ x = 4. Min. (zie een plot) g ( −4) = −12 en max. (zie een plot) g (4) = 12. verm. met 4
53e
top van de grafiek van f → top van de grafiek van g . t.o.v. de y -as
54a
f (x ) = 3x 3 − 36x ⇒ f '(x ) = 9x 2 − 36 f (x ) = 0 ⇒ 3x 3 − 36x = 0 3x (x 2 − 12) = 0 x = 0 ∨ x 2 = 12 x = 0 ∨ x = − 12 ∨ x = 12. De nulpunten van f zijn − 12, 0 en 12.
f '(x ) = 0 ⇒ 9x 2 − 36 = 0 ( ÷ 9) x2 − 4 = 0 x 2 = 4 ⇒ x = −2 ∨ x = 2. Max. (zie plot) f ( −2) = 48 en min. (zie plot) f (2) = −48.
verm. met 3
54b
3 3 3 1 1 1 1 3 f (x ) = 3x 3 − 36x → g (x ) = f ( 3 x ) = 3 ⋅ ( 3 x ) − 36 ⋅ ( 3 x ) = 27 x − 12x = 9 x − 12x . t.o.v. de y -as
54c
nulpunt van f → nulpunt van g . Dus de nulpunten van g zijn − 3 12, 0 en 3 12.
×3
verm. met 3 t.o.v. de y -as
top van de grafiek van f → top van de grafiek van g . Dus max. g ( −6) = 48 en min. g (6) = −48. 55 55a
Gegeven is de functie f (x ) = x 2 + 3x .
55b
2
g (x ) = f (x + 3) = (x + 3) + 3 ⋅ (x + 3) = (x + 3)(x + 3) + 3x + 9 = x 2 + 3x + 3x + 9 + 3x + 9 = x 2 + 9x + 18.
56a
55c 55d
h (x ) = 3 ⋅ f (x ) = 3 ⋅ (x 2 + 3x ) = 3x 2 + 9x . j (x ) = f (3x ) = (3x )2 + 3 ⋅ (3x ) = 9x 2 + 9x . k (x ) = f (x ) + 3 = x 2 + 3x + 3.
56b
f
f f (x + 2)
1 f 2
(x )
G&R havo B deel 3 C. von Schwartzenberg
9 Allerlei functies 11/18
56c
56d 2f (x )
f ( 21 x )
f
f
57a
f (10) = 0,2 ⋅ 102 = 0,2 ⋅ 100 = 20.
57b
verm. met p (10, 20) → (30, 20). Dus 10 p = 30 ⇒ p = 30 = 3. t.o.v. de y -as
57c
verm. met 3 2 2 0,2 2 f (x ) = 0,2x 2 → x = 2 x 2 = 1 x 2. g (x ) = f ( 1 x ) = 0,2 ⋅ ( 1 x ) = 0,2 ⋅ 1 x =
57d
40 (10, 20) → (10, 40). Dus 20q = 40 ⇒ q = 20 = 2. t.o.v. de x -as
57e
2 2 f (x ) = 0,2x 2 → h (x ) = 2 ⋅ f (x ) = 2 ⋅ 0,2x = 0, 4x .
58a
2 b 15 (b , 1 + 2b ) → (b , p (1 + 2 )) = (2, 15). Dus b = 2 en p ⋅ (1 + 2 ) = 15 ⇒ 5 p = 15 ⇒ p = 5 = 3. t.o.v. de x -as
58bc
g (x ) = 3 ⋅ f (x ) = 3 ⋅ (1 + 2x ) = 3 + 3 ⋅ 2x . De lijn y = 3 is de horizontale asymptoot van de grafiek van g .
58d
4 d d (d , 1 + 2d ) → (qd , 1 + 2 ) = ( −1, 17). Dus 1 + 2 = 17 = 1 + 2 ⇒ d = 4 en q ⋅ 4 = −1 ⇒ q = − 1 . t.o.v. de y -as
10
t.o.v. de y -as
3
3
9
9
90
45
verm. met q
verm. met 2 t.o.v. de x -as
verm. met p
verm. met q
( )
x
= 1 + 14 2
x
4
( )
x
58e
h (x ) = f ( 1 ⋅ x ) = f ( −4x ) = 1 + 2−4x = 1 + 2−4
59a
3 (t , − 2 + 3log(t − 1)) → (at , − 2 + log(t − 1)) = ( −10, − 2). t.o.v. de y -as
q
=1+ 1
16
.
verm. met a
Dus − 2 + 3log(t − 1) = −2 ⇒ 3log(t − 1) = 0 ⇒ t − 1 = 30 = 1 ⇒ t = 2 en a ⋅ 2 = −10 ⇒ a = −10 = −5. 2
59b 59c
g (x ) = f ( 1 ⋅ x ) = f ( − 1 x ) = −2 + 3log( − 1 x − 1). a 5 5 3 1 De grafiek van g (x ) = −2 + log( − x − 1) heeft als verticale asymptoot: ( − 5
1 5
x − 1 = 0 ⇒ − 51 x = 1 ⇒) x = −5.
60a
t = 10 geeft B = 1 000 ⋅ 1, 0510 ≈ 1 628,89 (€) en t = 20 geeft B = 1 000 ⋅ 1, 0520 ≈ 2 653,30 (€).
60b
T = 1 (keer tien jaar), dus t = 10.
60c
t = 10 (resp. t = 20) moet hetzelfde geven als T = 1 (resp. T = 2) ⇒ t = 10T . Dit geeft de formule B = 1 000 ⋅ 1, 0510T (met T de tijd in tientallen jaren na 1-1-2000, dus 10T het aantal jaren na 1-1-2000).
61a
N = 500 ⋅ 1, 0757w (met w de tijd in weken, zodat 7w de tijd weer in dagen geeft).
(
N = 500 ⋅ 1, 0757w = 500 ⋅ 1, 0757 61b
w
)
≈ 500 ⋅ 1, 659w .
u
N = 500 ⋅ 1, 075 24 (met u de tijd in uren, zodat u weer de tijd in dagen geeft). u
N = 500 ⋅ 1, 075 24
u
24
1 = 500 ⋅ 1, 075 24 ≈ 500 ⋅ 1, 003u .
62a
Bij de groeifactor 1, 075 hoort het groeipercentage 7,5%.
62b
De groeifactor per week is 1, 659 (zie 61a), dus het groeipercentage per week is 65,9%. De groeifactor per uur is 1, 003 (zie 61b), dus het groeipercentage per uur is 0,3%.
G&R havo B deel 3 C. von Schwartzenberg 63a
63b
9 Allerlei functies 12/18
N (t ) = 480t 2 − 40t 3 ⇒ N '(t ) = 960t − 120t 2 . 63c Om 10:15 is k = 4 + 1 = 5 (kwartier) en 2 om 10:45 is k = 4 + 3 = 7 (kwartier). N '(t ) = 0 ⇒ 960t − 120t = 0 Van 10:15 tot 10:45 is het aantal 120t (8 − t ) = 0 bezoekers toegenomen met t = 0 ∨ t = 8. N (7) − N (5) ≈ 584. Het maximale aantal (zie een plot) is N (8) = 10 240. Op t = 8 is het 17:00 uur. (9 + 8 = 17) 63d N (k ) = 30k 2 − 5 k 3 ⇒ N '(k ) = 60k − 15 k 2 . 2 3 8 8 2 3 k k k k N (k ) = 480 ⋅ − 40 ⋅ = 480 ⋅ 2 − 40 ⋅ 3 Om 11:15 is (k = 2 ⋅ 4 + 1 = 9 ⇒) N '(9) ≈ 388 ( pers.kwart. ).
()
()
4
4
4
4
2 3 = 480 ⋅ k − 40 ⋅ k = 30k 2 − 5 k 3.
16 64 8 (het aantal uren t is het aantal kwartieren gedeeld door 4)
64
Je hebt te maken met een vermenigvuldiging t.o.v. de y -as met 4. (het aantal kwartieren is het aantal uren keer 4)
65
Kruiselings vermenigvuldigen levert zowel bij formule
66a
A = 1
B B +2
66b
A(B + 2) = B AB + 2A = B AB − B = −2A B (A − 1) = −2A B = − 2A .
y 1
= 2 als ook bij de formule x = 2 de vorm xy = 2 op. x
1
P = Q −5 Q 1
66c
R −1
P −1
4200 − 5 ⋅ 0,6 = 10 492,5. 1 − 0,6
67a
p = 0, 6 ⇒ K =
67b
p = 0, 95 ⇒ K =
67c
p = 1 ⇒ K = 4200 − 5 ⋅ 1 = 4195 kan niet (delen door nul is niet geoorloofd).
67e 68a 68b
69a
K = 28 000 ⇒ p
b
b
b
0
68c
b
b b 1 2b + 1 a= b . 2b + 1
1
b=
1 = 5 − 2 = 5q − 2 = 5q − 2 (keer beide breuken om)
=
p=
q
q
q
q 5q − 2
q 5q − 2
1 =2+ 1
a
b
b a b = a
a a =
q
5 −K
1 = 1 − 2 = 1 − 2a = 1 − 2a (keer beide breuken om)
1 = 2b + 1 (keer beide breuken om)
p p
.
69b
a
1 − 2a
N (5R + 2) = 2R + 2 5NR + 2N = 2R + 2 5NR − 2R = 2 − 2N R (5N − 2) = 2 − 2N R = 2 − 2N . 5N − 2
1 = 10 − 2
T
S
1 = 10S − 2
T
S
S
1 = 10S − 2 (keer beide breuken om)
T
T =
S S . 10S − 2
a
.
1 = 1 −3 2 n 3 = 1 − 1 = m − 2 = m − 2 (keer beide breuken om) n 2 m 2m 2m 2m n = 2m (links en rechts keer 3) 3 m −2 n = 6m . m −2
2F
70c
a
m
2FK = 3 K = 3 . 70b
a
1 − 2a
F = 1 + 1 = 2 + 1 = 3 (keer beide breuken om) 1 2K 2K 2K 2K K 1 = 2K 3 F
N = 2R + 2 1 5R + 2
K = 4200 − 5 p 1 −p 1
K (1 − p ) = 4 200 − 5 p K − Kp = 4 200 − 5 p 5 p − Kp = 4 200 − K p (5 − K ) = 4 200 − K p = 4200 − K .
= 4200 − 28000 ≈ 0,85. Dus 85% wordt bereikt. 5 − 28000
1 = 2 + 1 = 2b + 1 = 2b + 1 .
a
1
70a
67d
4200 − 5 ⋅ 0,95 = 83 905. 1 − 0,95
1−1
R = F −2 F −1 1
R (F − 1) = 1(F − 2) RF − R = F − 2 RF − F = R − 2 F (R − 1) = R − 2 F = R −2.
PQ = 1(Q − 5) PQ = Q − 5 PQ − Q = −5 Q (P − 1) = −5 Q = −5 .
A −1
y
70d
6 =5− 2 8 A 2 =5− 6 A 8 B 2 = 5B − 48 A 8B 8B 2 = 5B − 48 (keer beide breuken om) A 8B A = 8B (keer 2) 2 5B − 48 B 16 A= . 5B − 48
B
G&R havo B deel 3 C. von Schwartzenberg
71a 71b
9 Allerlei functies 13/18
f = 3 ⇒ 1 = 1 + 1 ⇒ 1 = 1 − 1 = v − 3 = v − 3 (keer beide breuken om) ⇒ b = 3v . b
3
v
De grafiek van b
b
3
v
3v
3v
3v
v −3
= 3v heeft als verticale asymptoot: (noemer v − 3 = 0 ⇒) v −3
v = 3.
Praktische betekenis: als de voorwerpafstand v = 3 cm, dan is er geen beeld. Voor grote waarden van v is b = 3v ≈ 3v = 3 ⇒ de lijn b = 3 is horizontale asymptoot. v −3
v
Praktische betekenis: als de voorwerpafstand v oneindig groot is, dan is de beeldpuntsafstand b ≈ 3 cm. 71c
b = v én b = 3v geeft v = 3v v −3 v −3 v (v − 3) = 3v v 2 − 3v = 3v v 2 − 6v = 0 v (v − 6) = 0 v = 0 ∨ v = 6. (v = 0 voldoet niet omdat
1
v
volgt b = 3 v v − 3 ⇒ 3 =2 Verder is gegeven: b = 2 v − 3 v 2(v − 3) = 3 2v − 6 = 3 2v = 9 v =41. Uit b = 3v
71d
v −3
2
Dus voor v = 4 1 geldt b = 2.
niet bestaat voor v = 0)
72a
log(2x + 1) = y (neem links en rechts 10 ... )
2x + 1 = 10 y (links en rechts − 1)
72b
2x + 1 = 10 y (10 ... en log(... heffen elkaar op).
2x = 10 y − 1 (links en rechts delen door 2) ⇒ x = 1 ⋅ 10 y − 1 . 2
73a
Fout omdat 1 ⋅ 10A −3 ≠ 5A −3.
73b
1 ⋅ 10A −3 = 1 ⋅ 10A ⋅ 10 −3 = 1 ⋅ 10A ⋅ 1 = 1 ⋅ 10A ⋅ 1 = 0, 0005 ⋅ 10A . 2 2 2 2 1000 103
74a
log(5P + 2) = N
2
5P = −2 + 10N
P = − 2 + 1 ⋅ 10N . 5
Neem bijv. A = 3 dan is 1 ⋅ 103−3 = 1 ⋅ 10 0 = 1 ⋅ 1 = 1 en 53−3 = 50 = 1. 2
74b
5P + 2 = 10N
2
5log(N ) − 8 = F 5log(N ) = F + 8 log(N ) = 1 F + 8
N = 10
5
1 F 5
5 +8 5
2
2
log(4Q + 1) − 2 = 0,5D log(4Q + 1) = 0,5D + 2
74c
4Q + 1 = 10 0,5D +2
5
4Q = −1 + 10 0,5D +2
.
Q = − 1 + 1 ⋅ 10 0,5D +2. 4
75abc
4
2log(B ) − 4 = A 2log(B ) = A + 4 log(B ) = 1 A + 2 2
B = 10
76a
v
2
Dus voor v = 6 is b = v ( = 6).
1 A +2 2
A
1 1 A A 1 = 10 2 ⋅ 102 = 10 2 ⋅ 100 = 100 ⋅ 10 2
2log(S ) − 6 = R 2log(S ) = R + 6 log(S ) = 1 R + 3
76b
2
S = 10 = 10
1 R +3 2 1 R 2
≈ 100 ⋅ 3,16A.
R
⋅ 103 = 10 ⋅ 1000 ≈ 1000 ⋅ 3,16R . 1 2
3log(N ) + 2 = 5K 3log(N ) = −2 + 5K log(N ) = − 2 + 5 K
N = 10
3 − 2 + 5K 3
− 23
= 10
3
3
5
⋅ 10 3
K
− 32
= 10
K
5 ⋅ 10 3
≈ 0,22 ⋅ 46, 42K .
2
G&R havo B deel 3 C. von Schwartzenberg
9 Allerlei functies 14/18
Diagnostische toets D1a
transl. (3, 6)
2 y = 0, 5x 2 → y = 0,5(x − 3) + 6.
f
transl. ( −2, 5)
D1b
2 y = 0, 5x 2 → y = 0, 5(x + 2) + 5.
D1c
2 y = 0, 5x 2 → y = 0,5(x − 5) .
D2a
2 y = 0, 5x 2 → f (x ) = 0, 5(x − 2) + 4. (zie een schets hiernaast)
(2, 4)
transl. (5, 0)
g
transl. (2, 4)
top (2, 4)
top (0, 0)
D2b y = 2x
( −3, − 6)
transl. ( −3, − 6)
5
punt van symm. (0, 0)
5 → g (x ) = 2(x + 3) − 6. (zie een schets hiernaast) punt van symm. ( −3, − 6)
verm. (x -as; 2,5)
transl. ( −2, 3)
2 2 D3a f (x ) = 2x 2 → y = 5x → y = 5(x + 2) + 3. top (0, 0)
top (0, 0)
top ( −2, 3)
verm. (x -as; 2,5)
transl. ( −2, 3)
)
(
2 2 2 D3b f (x ) = 2x 2 → y = 2(x + 2) + 3 → y = 2, 5 2(x + 2) + 3 = 5(x + 2) + 7,5 . top (0, 0)
D4a
y = x D = 0, → en B = 0, →
y = x D = 0, → en B = 0, →
top ( −2, 3)
top ( −2; 7,5)
transl. (2, 2)
→ f (x ) = x − 2 + 2 = 2 + x − 2. Df = 2, → en Bf = 2, →
verm. (x -as, 3)
transl. (1, 2)
→ y = 3⋅ x
D = 0, → en B = 0, →
D4b Df = 2, → en Bf = 2, → ;
Dg = 1, → en Bg = 2, →
Dg = 1, → en Bg = 2, → . (zie D4a voor een uitleg)
D5a
x = 8x − 7 (kwadrateren) x 2 = 8x − 7 x 2 − 8x + 7 = 0 (x − 1)(x − 7) = 0 x =1 ∨ x =7 x = 1 voldoet (want 1 = 1) x = 7 voldoet (want 7 ≠ 49).
D6a
transl. ( −2, 4) y = 1 → f (x ) =
x
→ g (x ) = 3 ⋅ x − 1 + 2.
1
+ 4.
x +2
D5b
x − 8 x = 9 (wortelvorm isoleren) x − 9 = 8 x (kwadrateren) x 2 − 9x − 9x + 81 = 64x x 2 − 82x + 81 = 0 (x − 1)(x − 81) = 0 x = 1 ∨ x = 81 x = 1 voldoet niet (want 1 − 8 ⋅ 1 ≠ 9) x = 81 voldoet (want 81 − 8 ⋅ 81 = 9).
D6b
f (x ) =
1
x +2
+ 4. met V.A.: x = −2 en H.A.: y = 4.
D7a De grafiek van g (x ) = 3x + 2 heeft als verticale asymptoot: (noemer x + 2 = 0 ⇒) x = −2. x +2
Voor grote waarden van x is g (x ) = 3x + 2 ≈ 3x = 3 ⇒ de lijn y = 3 is horizontale asymptoot. (zie de grafiek hieronder) x +2
x
De grafiek van h (x ) = x − 4 heeft als verticale asymptoot: (noemer x + 4 = 0 ⇒) x = −4. x +4
Voor grote waarden van x is h (x ) = x − 4 ≈ x = 1 ⇒ de lijn y = 1 is horizontale asymptoot. (zie de grafiek hieronder) x +4
x
g
h
x = −2 y =3
g h
D7b
g (x ) = h (x ) met intersect geeft x ≈ −6,83 en x ≈ −1,17. g (x ) ≤ h (x ) geeft (gebruik de oplossing hierboven en de grafiek hiernaast)
x = −4 h
de oplossing: − 6,83 ≤ x < −4 ∨ − 2 < x ≤ −1,17. g
y =1
G&R havo B deel 3 C. von Schwartzenberg
D8a
9 Allerlei functies 15/18
1 x − 1 = x − 22 x +1 1
D8b
(x + 1)(x − 2 1 ) = x − 1
2 x −21 x + x −21 = x −1 2 2 x 2 − 2 1 x − 1 1 = 0 ⇒ (abc -formule of) (x − 3)(x + 1 ) = 0 ⇒ x = 3 ∨ 2 2 2 2
D9
x =−1.
x + 5 = 2x + 3 1 2x + 3
2x + 3 ⋅ 2x + 3 = x + 5 2x + 3 = x + 5 x = 2.
2
f (x ) = 4 − x kunnen we nog niet differentiëren, x +1 dus f '(x ) op de GR benaderen met nDeriv(Y 1, X , X ). f '(x ) = −5 geeft dan met intersect x = −2 ∨ x = 0. (x = −2 en x = 0 zijn nu de x -coördinaten van de raakpunten)
x = −2 geeft f ( −2) = 4 − −2 = 6 = −6 ⇒ raakpunt A( −2, − 6) −2 + 1
−1
en x = 0 geeft f (0) = 4 − 0 = 4 = 4 ⇒ raakpunt B (0, 4). 0 +1
1
m: y = −5x + b door A( −2, − 6) geeft − 6 = −5 ⋅ −2 + b ⇒ b = −6 − 10 = −16 en n : y = −5x + q door B (0, 4) geeft 4 = −5 ⋅ 0 + q ⇒ q = 4. De twee raaklijnen met richtingscoëfficiënt − 5 zijn m: y = −5x − 16 en n : y = −5x + 4. 1
D10a y = 3 2
x −1
1
= 32
x
1 1 x x 1 x ⋅ log(3) 1 10 2 2 ⋅ 3−1 = 10 log(3) ⋅ 1 = 1 ⋅ 10log(3) = 1 ⋅ 10 2 ≈ ⋅ 10 0,239x . 3 3 3 3
(
(
D10b y = 520,6x + 3 = 520,6x ⋅ 523 = 10log(52)
)
0,6x
)
⋅ 140 608 == 140 608 ⋅ 10 0,6x ⋅ log(52) ≈ 140 608 ⋅ 101,030x .
D11a De grafiek van f (x ) = 5 − 2 log(2x + 9) heeft als verticale asymptoot: (2x + 9 = 0 ⇒ 2x = −9 ⇒) x = −4 1 . Voer op de GR in y = 5 −
2
log(2x + 9) en log(2)
gebruik TABLE voor het maken van de grafiek. f
x = −4 21
D11b f (x ) = 0 ⇒ 5 − 2 log(2x + 9) = 0 2
log(2x + 9) = 5
2x + 9 = 25 = 32 2x = 23 x = 23 = 11 1 . Dus geeft f (x ) ≥ 0 (gebruik de grafiek) − 4 1 < x ≤ 11 1 . 2
2
2
2
D11c f (0) ≈ 1, 83 (zie TABLE hierboven) en x ≤ 0 geeft (gebruik de grafiek) f (x ) ≥ 1,83.
D12
2 g (x ) = f ( 1 x ) = − 1 x + 1 x + 6 = − 1 x 2 + 1 x + 6.
D13
2 (a , − a 2 + a + 6) → ( p ⋅ a , − a + a + 6) = (6, 4). t.o.v. de y -as
( ) ( )
4
4
4
16
4
verm. met p
Nu is − a 2 + a + 6 = 4 ⇒ −a 2 + a + 2 = 0 ⇒ a 2 − a − 2 = 0 ⇒ (a − 2)(a − 1) = 0 ⇒ a = 2 ∨ a = −1. a = 2 (a = −1 vervalt omdat p > 0) en p ⋅ a = 6 ⇒ p ⋅ 2 = 6 ⇒ p = 6 = 3. 2
Dus g (x ) = f ( 1 x ) = f ( 1 x ) = −( 1 x )2 + ( 1 x ) + 6 = − 1 x 2 + 1 x + 6. p
3
(
D14a V = 13 ⋅ 0, 784t = 13 ⋅ 0, 78 4
3
t
)
3
1
m
3
≈ 13 ⋅ 0,37t .
(het aantal kwartieren gedeeld door 4 is het aantal uren ⇒
D14b V = 13 ⋅ 0, 78 15
9
1 = 13 ⋅ 0, 78 15
m
k 4
= t ⇒ k = 4t )
≈ 13 ⋅ 0, 98m .
(het aantal kwartieren keer 15 is het aantal minuten ⇒ k ⋅ 15 = m ⇒ k =
1 15
m)
G&R havo B deel 3 C. von Schwartzenberg D15a A = 2B + 3
D15b 1 = 2 − 3
B −5
1
9 Allerlei functies 16/18
p
A(B − 5) = 1(2B + 3) AB − 5A = 2B + 3 AB − 2B = 5A + 3 B (A − 2) = 5A + 3 B = 5A + 3 .
D15c U = 2log(V ) + 3 2log(V ) = U − 3 log(V ) = 1 U − 3
q
3 =2− 1
q
p
2 2 (10... doet log(... opheffen) 1 U −3
3 = 2p − 1
q
3
q q
A −2
3
q
p p 2p − 1 = (keer beide breuken om) p p = (links en rechts keer 3) 2p − 1 3p = . 2p − 1
V = 10 2
2
.
Gemengde opgaven 9. Allerlei functies G1b
y = x heeft beginpunt (0, 0) en gaat door (1, 1). Dus beide grafieken zijn verticaal uitgerekt met factor 2. y = x
y = x
vermenigvuldigen t.o.v. de x -as met 2
y =2 x
translatie ( −3, − 1)
f (x ) = 2 (x + 3) − 1 G2a
translatie (4, 3)
g (x ) = −2 (x − 4) + 3.
y = −2x 4
vermenigvuldigen t.o.v. de x -as met − 2
y = −2 x
G2b
translatie ( −3, 1)
y = −x 3
G2c
translatie (1, 4)
y = 0, 001x 6 ☺
translatie (1000, 450)
f (x ) = −2(x + 3) 4 + 1
g (x ) = −(x − 1)3 + 4
h (x ) = 0, 001(x − 1 000)6 + 450
met Bf = ← , 1 .
met Bg = ».
met Bh = 450, → .
( −3, 1)
h
(1, 4)
g
f
(1000, 450)
G3a
y = 1 x
verm. t.o.v. de x -as met − 9 = −9
y
x
f
translatie ( −1, 3) f (x ) = −9 + 3. x +1
y =3
G3b De grafiek van f (x ) = −9 + 3 heeft als x +1
verticale asymptoot: (noemer x + 1 = 0 ⇒) x = −1. Voor grote waarden van x is f (x ) = −9 + 3 ≈ −9 + 3 = 3, x +1
f
x
dus y = 3 is horizontale asymptoot van de grafiek van f . Gebruik TABLE op de GR om de grafiek te tekenen. De grafiek van g is een lijn door (0, − 6) en (6, 0). Hiernaast staat de grafiek.
x = −1
G3c f (x ) = g (x ) ⇒ −9 + 3 = x − 6 −9 = x − 9 x +1 1
x +1
(x + 1)(x − 9) = −9
x 2 − 9x + x − 9 = −9 x (x − 8) = 0 x = 0 ∨ x = 8. Dit geeft voor f (x ) ≤ g (x ) (zie de grafiek) als oplossing: − 1 < x ≤ 0 ∨ x ≥ 8.
g
G&R havo B deel 3 C. von Schwartzenberg
9 Allerlei functies 17/18
G3d f (x ) = −9 + 3 kunnen we nog niet differentiëren, dus f '(x ) op de GR benaderen met nDeriv(Y 1, X , X ). x +1
f '(x ) = g '(x ) ( g (x ) = x − 6 ⇒ g '(x ) = 1) ⇒ f '(x ) = 1 geeft met intersect x = −4 ∨ x = 2. f ( −4) = −9 + 3 = −9 + 3 = 3 + 3 = 6 ⇒ raakpunt A( −4, 4) en −4 + 1
−2
f (2) = −9 + 3 = −9 + 3 = −3 + 3 = 0 ⇒ raakpunt B (2, 0). 2 +1 3 m: y = x + b door A( −4, 4) geeft 4 = −4 + b ⇒ b = 8 en n : y = x + q door B (2, 0) geeft 0 = 2 + q ⇒ q = −2. De raaklijnen aan f evenwijdig met de grafiek van g zijn m: y = x + 8 en n : y = x − 2. G4a
y = 2 log(x )
verm. t.o.v. de x -as met − 1
y = − 2 log(x )
translatie ( −2, 1)
D
f (x ) = 1 − 2 log(x + 2). G4b De grafiek van f (x ) = 1 − 2 log(x + 2) heeft als verticale asymptoot: (x + 2 = 0 ⇒) x = −2. Hiernaast zie je de grafiek van f . (gebruik TABLE) G4c
x =q
f x = −2
C x =q
g (x ) = f (2x ) = 1 − 2 log(2x + 2).
C
g
D
G4d AB = 7 ⇒ xA − xB = 7 met xB = 1 xA ⇒ 1 xA = 7 ⇒ xA = 14. 2 2 xA = 14 ⇒ yA = f (14) = 1 − 2 log(14 + 2) = 1 − 2 log(16) = 1 − 2 log(24 ) = 1 − 4 = −3. Dus p = −3.
B
y =p
A
G4e CD = 1 ⇒ yD − yC = 1 of yD − yC = −1. yD − yC = 1 ⇒ g (x ) − f (x ) = 1 (intersect) ⇒ x = q ≈ −0, 67. yD − yC = −1 ⇒ g (x ) − f (x ) = −1 (intersect geeft geen oplossing) ⇒ kan niet. Zelfs door de tabel bladeren (met grotere stappen) geeft te zien dat g (x ) − f (x ) voor grote waarden van x wel nadert naar − 1. G5a
De grafiek van f (x ) = 2 − 2 log(x 2 − 4x + 4) heeft als vert. asympt.: (x 2 − 4x + 4 = 0 ⇒ (x − 2)(x − 2) = 0 ⇒) x = 2. Hiernaast zie je de grafiek van f . (gebruik TABLE)
G5b f (x ) = 2 − 2 log(x 2 − 4x + 4) = −2 2 log(x 2 − 4x + 4) = 4
f
f
x 2 − 4x + 4 = 24 = 16 x 2 − 4x − 12 = 0 (x − 6)(x + 2) = 0 ⇒ x = 6 ∨ x = −2. f (x ) ≥ −2 (zie de grafiek) voor − 2 ≤ x < 2 ∨ 2 < x ≤ 6. G5c
x =2
De grafiek van f is symmetrisch in de lijn x = 2. (zie TABLE) AB = 5 ⇒ xA = 2 − 2 1 = − 1 en xB = 2 + 2 1 = 4 1 (of omgekeerd). Dus p = f ( − 1 ) = f (4 1 ) ≈ 0, 64. 2
G5d f (0) = 0 en f (10) = −4.
2
2
G6a f (x )
2
2
2
Dus voor 0 ≤ x ≤ 10 (zie ook de grafiek) is f (x ) ≥ −4 G6b
translatie ( −2, 3)
f (x )
y = f (x + 2) − 3
G6c
verm. t.o.v. x -as met 3
y = 3f (x )
f (x )
verm. t.o.v. x -as met − 1
y = −f (x )
translatie (1, 0)
y = 3f (x − 1) f
verm. t.o.v. y -as met 2
y = −f ( 1 x ) 2
f 3f (x − 1)
f (x + 2) − 3
f −f ( 21 x )
G&R havo B deel 3 C. von Schwartzenberg
9 Allerlei functies 18/18
G7a f (x ) = x (x 2 − 27) = 0
x = 0 ∨ x 2 = 27 x = 0 ∨ x = − 27 ∨ x = 27. De nulpunten van f zijn: − 27, 0 en 27. f (x ) = x (x 2 − 27) = x 3 − 27x ⇒ f '(x ) = 3x 2 − 27 f '(x ) = 3x 2 − 27 = 0 3x 2 = 27 ⇒ x 2 = 9 ⇒ x = −3 ∨ x = 3. De extreme waarden van f zijn: max. (zie een plot) f ( −3) = 54 en min. f (3) = −54.
(
(
)) =
G7b
g (x ) = −f ( − 1 x ) = − ( − 1 x ) ⋅ ( − 1 x )2 − 27
G7c
De nulpunten van g zijn: − 2 27, 0 en 2 27. De extreme waarden van g zijn: min. g (6) = −54 en max. g ( −6) = 54.
G8a
2
2
2
1 x ⋅ ( 1 x 2 − 27). 2 4
In 2005 (van t = 5 tot t = 6) zijn er (TABLE of)
N (6) − N (5) ≈ 313 (of 2509 − 2195 = 314) otters bijgekomen. G8b N =
10000 kunnen we nog niet differentiëren, 1 + 8,5 ⋅ 0,84t
dus N '(t ) op de GR benaderen met nDeriv(Y 1, X , X ). N '(t ) maximaal (optie maximum loslaten op N ') ⇒ t ≈ 12,3 en N 'max ≈ 436. Dus de snelheid is maximaal voor t ≈ 12,3 (na ongeveer 12,3 jaar). De maximale snelheid is 436 otters per jaar.
(
t
)
= 10log(8,5) + t ⋅ log(0,84) = 10 −0,076t + 0,929. Dus N =
G8c
8,5 ⋅ 0, 84t = 10log(8,5) ⋅ 10log(0,84)
G9a
AB = L( p ) = g ( p ) − f ( p ) = 1 p + 2 − 3log(2 p − 1) 2 De optie minimum geeft L min ≈ 1, 98 (voor p ≈ 2, 32).
10000 . 1 + 10 −0,076t + 0,929
G9b AB = 4 (intersect) ⇒ p ≈ 0,58 ∨ p ≈ 9,20.
(
)
G9c OABC = 1 ⋅ AB ⋅ p = 1 ⋅ 1 p + 2 − 3 log(2p − 1) ⋅ p 2
2
2
De optie minimum geeft OABC minimaal voor p ≈ 0, 66. G10a P = T + 5 1
2T − 4
P (2T − 4) = 1(T + 5) 2PT − 4P =T + 5 2PT −T = 4P + 5 T (2P − 1) = 4P + 5 T = 4P + 5 . 2P − 1
G10b 2 = 1 − 4 x
5 y 4 = 1 − 2 y 5 x 4 = x − 10 y 5x 5x 4 = x − 10 (keer beide breuken om) y 5x y = 5x (links en rechts keer 4) x − 10 4 y = 20x . x − 10
G10c log(2P − 4) =V − 1 (10... doet log(... opheffen) V −1
2P − 4 = 10
2P = 4 + 10V ⋅ 10 −1
P = 2 + 1 ⋅ 10V ⋅ 1 2
10
P = 2 + 1 ⋅ 10V . 20
