@198
16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny úhly v obloukové nebo stupňové míře, které zadané rovnici vyhovují. Poznámka: Příklady goniometrických rovnic cos x = 2/2 sin x = 3,5 sin2x - sin4x = sin6x Rovnice 2x + 3 = sin
je lineární, rovnice sin x = x
je transcendentní.
Poznámka: Jako u všech rovnic je i u goniometrických rovnic nedílnou součástí řešení zkouška. Vzhledem k technickým problémům ji nebudeme v této části kurzu provádět. Neznamená to ale, že by neměla být provedena. Poznámka: Goniometrické rovnice z hlediska řešení můžeme rozdělit do pěti skupin. Následující text probere jednotlivé skupiny zvlášť. Úmluva: Budeme-li chtít zformulovat nějaké tvrzení o goniometrických rovnicích, které nebude závislé na konkrétní goniometrické funkci, budeme ji nahrazovat jedním písmenem. Například: I. Základní typ f(x) = a, a R znamená některou rovnici z těchto sin x = a, cos x = a, tg x = a, cotg x = a Příklad: Řešte rovnice
sin x = 0,
cos x = 0
Řešení: Z průběhu grafů obou funkcí víme, že sin x = 0 <=> x = k cos x = 0 <=> x = /2 + k pokračování
resp. x = k180o kde k C (k je libovolné celé číslo) resp. x = 90o + k180o , kde k C
@201 Řešte rovnice a) sin x = - 2/2 pomocný úhel partikulární řešení obecné řešení
b) cos x = 3/2 pomocný úhel partikulární řešení obecné řešení
c) cotg x = - 3/3 pomocný úhel partikulární řešení obecné řešení d) cos x = - 2 pokračování zpět
= /4 známe zpaměti + /4 = 5 /4 sin je záporný v 3. kv. 3= a ve 4. kv. 4 = 2 - /4 = 7 /4 x1 = 5 /4 + 2k přidáme jen k násobek periody x2 = 7 /4 + 2k = /6 známe zpaměti cos je kladný v 1. kv. 1 = 5 /4 = 2 /6 = 11 /6 a ve 4. kv. 4 x1 = /6 + 2k přidáme jen k násobek periody x2 = 11 /6 + 2k = /3 známe zpaměti = /3 = 2 /3 tg je záporný ve 2. kv. 2 x1 = 2 /3 + k přidáme jen k násobek periody
nemá řešení
@204
III. typ af2(x) + bf(x) + c = 0 , a,b,c R a 0 Substitucí z = f(x) převedeme řešení 3. typu na řešení kvadratické rovnice. Její řešení, pokud existuje, označme z1, z2. Zpětná substituce představuje řešení základního typu goniometrických rovnic f(x) = z1 Příklad: Řešte rovnici
a
f(x) = z2
2 cos2x - cos x - 1 = 0
Řešení: substituce cos x = z vede k rovnici 2z2 - z - 1 = 0 Řešení kvadratické rovnice je
z1 = 1 a z2 = - 1/2
Zpětná substituce vede ke dvěma základním goniometrickým rovnicím cos x = 1
cos x = -1/2
obecné řešení původní rovnice x1 = 2k
x2 = 2 /3 + 2k x3 = 4 /3 + 2k
Úkol: Řešte rovnici 2 cos2x = 3 sin x výsledek zpět
@207 Nyní případ, kdy jsou všechny tři koeficienty jsou různé od nuly.
B.
a cos x + b sin x + c = 0 , a,b,c R\{0}
Tento typ se řeší substitucí (ano je umělá, ale vede k cíli a tak buďme rádi, že ji někdo kdysi objevil a nám předal): Nejprve hledáme pomocný úhel t (0; 2 ), pro který platí tyto dvě základní rovnice:
a
sin t
a2
cos t
b2
b a2
b2
Čísla na pravých stranách jsou mezi -1 a 1, součet jejich druhých mocnin je 1, a tedy úhel t vždy existuje. POZOR NA ZNAMÉNKA
Další postup: Rovnici vydělíme (a2+b2)
0
a cos x + b sin x + c = 0
a a2
b2
cos x
b a2
c b2
a2
b2
Dále použijeme pomocný úhel t a součtový vzorec
sin t cos x cos t sin x sin( x t )
c a2 c a2
b2 b2
Tím jsme převedli typ IV na typ II, který už umíme řešit. Příklad: Řešte rovnici
3 cosx + sin x = 1
Řešení: a = 3 b = 1 => (a2+b2) = 2 Hledáme úhel t sin t = 3/2 cos t = 1/2 Podle znamének je úhel t v 1. kvadrantu a podle hodnot jde o t = 60o Zadanou rovnici vydělíme 2 a zavedeme substituci sin 60o cos x + cos 60o sin x = 1/2
Dostali jsme goniometrickou rovnici 2. typu sin (x + 60o) = 1/2 substituce obecné řešení řešení zadané rovnice
z = x + 60o z1 = 30o + k360o z2 = 150o + k360o x1 = -30o + k360o = 330o + K360o x2 = 90o + k360o
Úkol: Řešte rovnici sinx - cosx = 1 výsledek zpět
@211 Řešte rovnice a) sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0 Použijeme dvakrát vzorec pro součet sinů 2 sin(3x/2) cos(x/2) + 2 sin(7x/2) cos(x/2) = 0 rovnici podělíme 2 a vytkneme co se dá [sin(3x/2) + sin(7x/2)] cos(x/2) = 0 a na výraz v závorce použijeme opět vzorec pro součet sinů 2 sin(5x/2) cos(-x) cos(x/2) = 0 Původní úloha se převádí na tři rovnice II.typu sin(5x/2) = 0 =>
x = 2k
cos(-x) = 0
=>
x = /2 + k
cos(x/2) = 0
=>
x=
+ 2k
b) (sin x - cos x)2 = sin2x cos2x – 2 sinx cosx + sin2x = sin2x cos2x – 2 sinx cosx = 0 cosx (cosx - 2sinx) = 0 tedy cos x = 0
=>
x = 90o + k180o
tg x = 0,5
=>
x = 26o34' + k180o
c) 3 sin2x = 2 sin x + 1 3 sin2x - 2 sin x - 1 = 0 kvadratická rovnice má řešení
{1; -1/3}
sin x = 1
=>
x = 90o + k360o
sin x = -1/3
=>
x = 199o28' + k360o x = 340o32' + k360o
Úkol: Řešte rovnice
a) (tg x + 1)(tg x + 5) = 12 b) cos 2x + sin x = 9/8 c) sin2x + 2cos x = 0 výsledek zpět
@199
I. Základní typ f(x) = a, a R Řešení tohoto typu goniometrické rovnice můžeme zcela formalizovat (vyrobit kuchařku), a proto je musí umět každý středoškolák řešit. Definice: Definujme pomocný úhel rovnice f(x) = a jako úhel pro který platí f( ) = |a|.
z I.kvadrantu
Partikulární řešení goniometrické rovnice f(x) = a je takový úhel funkce f, pro který platí f( ) = a.
<0; /2> ,
<0; p), kde p je perioda
Obecné řešení goniometrické rovnice f(x) = a jsou všechny úhly tvaru x = + kp , kde p je perioda funkce f a k je libovolné celé číslo a jsou postupně všechna partikulární řešení. Obecný postup při řešení základního typu goniometrických rovnic dává následující tabulka. Pro určení pomocného úhlu slouží především hodnoty, které musíme znát zpaměti (uplatní se ve školní praxi), dále pak tabulky a kalkulačky.
Základní goniometrické rovnice sin x
a 1
a
tg x
a
cotg x
podmínka řešitelnosti
řešení existuje vždy
1 řešení existuje
pomocný úhel
0;
2
sin
resp.
a
cos
a
tg
a
cotg
0 ;90 a 0 3
a
1 řešení neexistuje
a 2
cos x
a
partikulární řešení
a
0
I
I
II
IV
III
II
IV
2
III
I
I
II
II
2
a
a 0 x1 4
I
2k
x1
I
obecné řešení
x2
II
2k
x2
IV
k - celé číslo
a 0 x1
III
2k
x1
II
x2
IV
2k
x2
III
pokračování zpět
2k
x1
I
x1
II
k
x1
I
k
x1
II
k
2k
2k 2k
k
@202
II. typ f(ax+b) = c, a,b,c R a 0 Substitucí z = ax+b převedeme řešení 2. typu na základní typ f(z) = c. Po jeho vyřešení provedeme zpětnou substituci. Příklad: Řešte rovnici
sin(3x + /3) = 2/2
Řešení: substituce z = 3x + /3 převede zadanou rovnici v rovnici sin(z) = 2/2 pomocný úhel partikulární řešení obecné řešení
= /4 známe zpaměti sin je kladný v 1. kv. 1 = /4 - /4 = 3 /4 a ve 2. kv. 2= z1 = /4 + 2k přidáme jen k násobek periody z2 = 3 /4 + 2k
obecné řešení původní rovnice dostaneme řešením lineárních rovnic 3x1 + /3 = /4 + 2k 3x2 + /3 = 3 /4 + 2k Úkol: Řešte rovnice a) sin 2x = - 3/2 b) sin(2 /3 - x) = 1/2 c) tg(2x – /6) = - 3 d) cotg(3 /2 - 6x) = 1 výsledek zpět
=> =>
x1 = - /36 + 2k /3 x2 = 5 /36 + 2k /3
@205 Řešte rovnici 2 cos2x = 3 sin x Řešení: protože cos2x = 1 - sin2x
převedem rovnici na
2 sin2x + 3 sinx - 2 = 0 substituce t=sinx vede ke kvadratické rovnici s kořeny 1/2 a -2 zpětná substituce vede ke dvěma základním goniometrickým rovnicím sin x = 1/2
sin x = -2
z nichž druhá řešení nemá. Obecné řešení původní rovnice je x1 = 30o + k360o pokračování zpět
a
x2 = 150o + k360o
@208 Řešte rovnici sinx - cosx = 1 Řešení: a = -1 b = 1 => (a2+b2) = 2 Hledáme úhel t sin t = -1/ 2 = - 2/2 cos t = 1/ 2 = 2/2 Podle znamének je úhel t v 4. kvadrantu a podle hodnot jde o t = 315o Zadanou rovnici vydělíme 2 a zavedeme substituci sin 315o cos x + cos 315o sin x = 2/2 Dostali jsme goniometrickou rovnici 2. typu sin (x + 315o) = 2/2 substituce obecné řešení řešení zadané rovnice
pokračování zpět
z = x + 315o z1 = 45o + k360o z2 = 135o + k360o x1 = -270o + k360o = 90o + K360o x2 = -180o + k360o = 180o + K360o
@210 Řešte rovnice a) cos2x - 2 sinx cosx + sin2x = 0 Rovnici buď převedeme na kvadratickou rovnici III. typu nebo poznáme, že jde o známý vzorec (cos x - sin x)2 = 0 což vede k rovnici tg x = 1
x = 45o + k180o
=>
b) cos2x + 2 3 sinx cosx + 3 sin2x = 0 totéž jako výše (cos x + 3 sin x)2 = 0 což vede k rovnici tg x = - 3/3 =>
x = 150o + k180o
c) sin( /3 + x) - sin x = 1/2 Použijeme součtové vzorce sin( /3) cos x + cos( /3) sin x – sin x = 1/2 3/2 cos x – 1/2 sin x = 1/2 což je IV.typ a = 3/2 b = -1/2 => (a2+b2) = 1 Hledáme úhel t sin t = 3/2 cos t = -1/2 Podle znamének je úhel t v 2. kvadrantu a podle hodnot jde o t = 120o Zavedeme substituci sin 120o cos x + cos 120o sin x = 1/2 Dostali jsme goniometrickou rovnici 2. typu sin (x + 120o) = 1/2 substituce obecné řešení řešení zadané rovnice
z = x + 120o z1 = 30o + k360o z2 = 150o + k360o x1 = -90o + k360o = 270o + K360o x2 = 30o + k360o
Úkol: Řešte rovnice a) sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0 b) (sin x - cos x)2 = sin2x
c) 3 sin2x = 2 sin x + 1 výsledek zpět
@200 Příklad: Řešte rovnice a) cos x = -0,5 b) sin x = 3 c) tg x = 3 Řešení: a) cos x = -1/2 pomocný úhel partikulární řešení obecné řešení
b) sin x = 3
= 180o – 60o = 120o o o o 3 = 180 + 60 = 240
2
x1 = 120o + k360o x2 = 240o + k360o
cos je záporný v 2. kv. a ve 3. kv.
přidáme jen k násobek periody
nemá řešení, protože funkční hodnoty jsou pouze v intervalu <-1; 1>
c) tg x = 3 pomocný úhel partikulární řešení obecné řešení Úkol: Řešte rovnice a) sin x = - 2/2 b) cos x = 3/2 c) cotg x = - 3/3 d) cos x = - 2 výsledek zpět
= 60o známe zpaměti
= /3 1 = /3 x = /3 + k
známe zpaměti tg je kladná v I. kv.
@203 Řešte rovnice a) sin 2x = - 3/2 substituce obecné řešení
z = 2x z1 = 4 /3 + 2k z2 = 5 /3 + 2k x1 = 2 /3 + k x2 = 5 /6 + k
b) sin(2 /3 - x) = 1/2 substituce obecné řešení
z = 2 /3 - x z1 = /6 + 2k z2 = 5 /6 + 2k x1 = /2 - 2k = /3 + 2K x2 = - /6 - 2k = -p/6 + 2K = 11 /6 + 2L Je jedno jakým písmenkem označíme celé číslo k, K, L, vždy jde o všechny celočíselné násobky periody. c) tg(2x – /6) = - 3 substituce obecné řešení
d) cotg(3 /2 - 6x) = 1 substituce obecné řešení
pokračování zpět
z = 2x – /6 z1 = 2 /3 + k x1 = 5 /12 + k
z = 3 /2 - 6x z1 = /4 + k x1 = 5 /24 - k
@206
IV. typ a cos x + b sin x + c = 0 , a,b,c R a,b 0 Postup řešení je závislý na tom, je-li c nulové či nikoli.
A.
a cos x + b sin x = 0 , a,b 0
Obecné řešení: Kořeny rovnice x0 jsou jistě takové, že funkční hodnota cos x0 je určitě různá od nuly. Kdyby totiž platilo cos x0 = 0 , pak sin x0 = 1. Zkouška: L = a cos x0 + b sin x0 = 1 0 = P ukazuje, že cos x0 0. Zadanou rovnici podělíme cos x, a zadanou rovnici převedeme do tvaru tg x
sin x cos x
b a
což je základní goniometrická rovnice, jejíž postup řešení byl již popsán. Příklad: Řešte rovnici
cos x - sin x = 0
Řešení: Obecné řešení x = 45o + k180o pokračování zpět
cos x = sin x 1 = tg x
@209
V. typ všechny ostatní Postup řešení: Kuchařku, jako v předchozích případech, uvést nemůžeme. Co můžeme je popsat zásady postupu. Tady je prostor pro individuální nápady, umění a trocha štěstí. Zásady: 1) Jsou-li v argumentech různé násobky neznámé, snažíme se pomocí vzorců převést všechny argumenty na jeden z nich. 2) Pomocí vzorců se snažíme převést všechno na jednu goniometrickou funkci nebo na jeden z dříve uvedených typů. 3) Snažíme se rovnici rozložit na součin roven nule a pak řešit dvě či více jednodušších rovnic. 4) Vždycky lze převést jakoukoli goniometrickou rovnici pomocí následující substituce na polynomickou rovnici pro t
t
tg
x 2
x
( 2k 1)180o
kdy dosazujeme za
2t 1 t2
sin x
cos x
1 t2 1 t2
tg x
2t 1 t2
cotg x
1 t2 2t
Otázkou zůstává, zda-li jsme vzniklou polynomickou rovnici obvykle vyššího řádu schopni vyřešit. Příklad: Řešte rovnici sin 2x - cos 2x = cos 3x - sin 3x Řešení: Známe vzorce pro součet a rozdíl sinů resp. kosinů sin 2x + sin 3x = cos 2x + cos 3x
2 sin
5x x cos( ) 2 2
2 cos
5x x cos( ) 2 2
Funkce cos je sudá, proto znaménka v argumentech můžeme jednoduše zaměnit. Vše převedeme na jednu stranu a stejné členy vytkneme před závorku.
x 5x 2 cos (sin 2 2
cos
5x ) 0 2
Součin se rovná nule, právě když se nule rovná některý činitel. Dostáváme tedy dvě rovnice: =>
x = 180o + k360o
1) II.typ
cos(x/2) = 0
2) IV.typ A
sin(5x/2) – cos(5x/2) = 0
čili
tg(5x/2) = 1
=>
x = 18o + k72o
Úkol: Řešte rovnice a) cos2x - 2 sinx cosx + sin2x = 0 b) cos2x + 2 3 sinx cosx + 3 sin2x = 0 c) sin( /3 + x) - sin x = 1/2 výsledek zpět
@212 Řešte rovnice a) (tg x + 1)(tg x + 5) = 12 Roznásobením a úpravou dostaneme kvadratickou rovnici s řešením {1; -7} tg2x + 6 tgx - 7 = 0 tg x = 1
=>
x = 45o + k180o
tg x = -7
=>
x = 98o08' + k180o
b) cos 2x + sin x = 9/8 Použijeme vzorec pro dvojnásobný úhel cos2x - sin2x + sin x = 9/8 a změnu cos na sin 1 - sin2x - sin2x + sin x = 9/8 16 sin2x - 8 sin x + 1 = 0 což vede ke kvadratické rovnici s jedním dvojnásobným kořenem {1/4} sin x = 0,25
=>
x = 14o29' + k360o x = 165o31' + k360o
c) sin2x + 2 cos x = 0 změna sin na cos vede ke kvadratické rovnici se dvěma kořeny {1- 2; 1+ 2} cos2x – 2 cosx - 1 = 0 cos x = 1 + 2 > 0
=>
neexistuje řešení
cos x = 1 - 2 = - 0,41421 => x = 114o28' + k360o x = 245o32' + k360o zpět KONEC LEKCE
