14

Aplikovaná matematika I (NMAF071) Mirko Rokyta (KMA MFF UK)

ZS 2013/14 1 Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

Výroky a množiny Zobrazení Reálná čísla Komplexní čísla Mohutnost množin Posloupnosti a jejich limity Hlubší vlastnosti posloupností

2 Funkce jedné reálné proměnné 2.1 2.2 2.3 2.4

Základní pojmy Limita a spojitost Věty o limitách a spojitosti Elementární funkce

3 Derivace funkce jedné reálné proměnné 3.1 Definice a základní vztahy, diferenciál 3.2 Derivace vyššího řádu

4 Neurčitý integrál a primitivní funkce 4.1 Základní vlastnosti 4.2 Integrace racionálních funkcí 4.3 Některé užitečné substituce

5 Aplikace diferenciálního a integrálního počtu v jedné dimenzi 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Funkce spojité na intervalu Věty o střední hodnotě Taylorův polynom Konvexní a konkávní funkce Průběh funkce Základní typy obyčejných diferenciálních rovnic

6 Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace 6.1 Newtonův integrál 6.2 Riemannův integrál - poznámky 6.3 Aplikace určitého integrálu

7 Lineární vektorové prostory

2 2 4 5 8 8 8 11 12 12 12 13 16 28 28 29 31 31 32 32 35 35 35 36 38 39 39 42 42 43 43

7.1 7.2 7.3 7.4

Definice a příklady Lineární závislost a nezávislost vektorů Podprostory, lineární obal, báze Lineární zobrazení

45 45 45 46 47

   

Řecká abeceda Goniometrické a hyperbolické funkce - základní vztahy (porovnání) Tabulka derivací Tabulka primitivních funkcí

26 27 30 33

Bonusy

Tento učební text vznikl jako doplněk k přednášce Aplikovaná matematika I (NMAF071), kterou jsem v zimním semestru akademického roku 2013/14 vedl na MFF UK a je rozšířením a doplněním textu, který vznikl v akademickém roce 2010/11, kdy jsem tuto přednášku měl poprvé. Text rozhodně není úplným záznamem přednášky, obsahuje pouze definice a znění všech vět a tvrzení a některé příklady a poznámky. Neobsahuje komentáře, podrobnější poznámky a příklady a zejména důkazy vět a tvrzení, apod. Text rovněž neprošel podrobnějším korekturním čtením, proto je možné, že obsahuje překlepy či chyby. Upozornění na jakýkoli nedostatek bude vítáno na adrese [email protected] Text je možno nalézt v elektronické podobně na http://www.karlin.mff.cuni.cz/~rokyta/vyuka/ ©M. Rokyta, 2011-14

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 1: Úvod, cˇ ísla, zobrazení, posloupnosti

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14

Sylabus = obsah (plán) pˇrednášky [a orientaˇcní poˇcet pˇrednášek vˇenovaných kapitole] 1. Úvod, cˇ ísla, zobrazení, posloupnosti 2. Funkce jedné reálné promˇenné

[3]

[2]

3. Derivace funkce jedné reálné promˇenné 4. Neurˇcitý integrál a primitivní funkce

[1] [1.5]

5. Aplikace diferenciálního a integrálního poˇctu v 1 dimenzi 6. Urˇcitý integrál a jeho výpoˇcet, aplikace 7. Lineární vektorové prostory

[2.5]

[1.5]

[1.5]

- podrobnˇeji postupnˇe na webu pˇrednášejícího http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/

Literatura 1. J. Kopáˇcek: Matematika (nejen) pro fyziky I.,II. Skripta MFF UK, Matfyzpress. 2. J. Kopáˇcek a kol.: Pˇríklady z matematiky (nejen) pro fyziky I., II. Skripta MFF UK, Matfyzpress. 3. J. Kvasnica: Matematický aparát fyziky. Academia, Praha, 1989. ˇ Úvod do inteligentního kalkulu, Academia, Praha, 2002. 4. I. Cerný: 5. B. P. Dˇemidoviˇc: Sbírka úloh a cviˇcení z matematické analýzy. Fragment, Praha, 2003. 6. J. Beˇcváˇr: Lineární algebra. Skripta MFF UK, Matfyzpress, 2002. 7. ... web pˇrednášejícího: poznámky a prezentace.

http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/

1


2

1 Úvod, cˇ ísla, zobrazení, posloupnosti 1.1

Výroky a množiny

Logika je vˇeda o formální správnosti myšlení. Pˇri formálnˇe logickém pˇrístupu jde o správnost vyvození závˇeru z daných pˇredpoklad˚u. Výrokem nazveme jakékoliv tvrzení, o nˇemž má smysl ˇríci, že platí (je pravdivé, má pravdivostní hodnotu 1) nebo že neplatí (je nepravdivé, má pravdivostní hodnotu 0). Definice. Negací ¬A výroku A rozumíme výrok: Není pravda, že platí A. A 0 1

¬A 1 0

Definice. Konjunkcí A&B výrok˚u A a B nazveme výrok: Platí A i B. Definice. Disjunkcí A ∨ B výrok˚u A a B nazveme výrok: Platí A nebo B. Definice. Implikací A ⇒ B nazýváme výrok: Jestliže platí výrok A, potom platí výrok B. Výroku A v implikaci se ˇríká premisa, výrok B se nazývá závˇer. Pokud je výrok A ⇒ B pravdivý, pak ˇríkáme, že "A je postaˇcující podmínkou pro platnost B" a "B je nutnou podmínkou pro platnost A". Definice. Ekvivalencí A ⇔ B nazýváme výrok: Výrok A platí tehdy a jen tehdy, když platí výrok B. (Platnost výroku) A je nutnou a postaˇcující podmínkou (platnosti výroku) B. Vše je možno shrnout do následující tabulky: A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

A&B 0 0 0 1

A∨B 0 1 1 1

A⇒B 1 1 0 1

A⇔B 1 0 0 1

Intuitivnˇe (bez pˇresné definice) budeme pˇrijímat pojmy množina (jako soubor objekt˚u), být prvkem množiny ("x je prvkem množiny M " píšeme: x ∈ M ) a nebýt prvkem množiny ("x není prvkem množiny M " píšeme: x ∈ / M ). Poznámka. Symboly N, Z, Q, R, C budou vyhrazeny pro množiny (po ˇradˇe) pˇrirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních cˇ ísel.



3

Výrokovou formou budeme nazývat výraz A(x1 , x2 , . . . xm ), z nˇehož vznikne výrok dosazením prvk˚u x1 ∈ M1 , . . . , xm ∈ Mm z daných množin M1 , . . . , Mm . Definice. Nyní necht’ A(x), x ∈ M , je výroková forma. Výrok Pro všechna x ∈ M platí A(x). zapisujeme ve tvaru: ∀x ∈ M : A(x). Symbol ∀ nazýváme obecným (velkým) kvantifikátorem. Definice. Nyní necht’ A(x), x ∈ M , je výroková forma. Výrok Existuje x ∈ M , pro které platí A(x). zapisujeme ve tvaru: ∃x ∈ M : A(x). Symbol ∃ nazýváme existenˇcním (malým) kvantifikátorem. Pro obrat "Existuje právˇe jeden . . . " cˇ asto používáme symbol ∃!

Poznámka. Pokud výrok obsahuje nˇekolik po sobˇe jdoucích kvantifikátor˚u stejného typu, lze jejich poˇradí libovolnˇe mˇenit, napˇríklad následující dva výroky jsou ekvivalentní pro jakoukoli výrokovou formu V (x, y), x ∈ M, y ∈ N: ∀x ∈ M ∀y ∈ N : V (x, y)

∀y ∈ N ∀x ∈ M : V (x, y) Pˇríklad: ∀x ∈ R ∀y ∈ R : x2 + y 4 ≥ 0 .

Poznámka. Pˇri zámˇenˇe poˇradí kvantifikátor˚u r˚uzného typu však nový výrok nemusí být ekvivalentní s výrokem p˚uvodním: ∃x ∈ M ∀y ∈ N : V (x, y)

∀y ∈ N ∃x ∈ M : V (x, y)

nejsou ekvivalentní výroky. (Jeden z nich však implikuje druhý - rozmyslete si.) Pˇríklad: ∀x ∈ N ∃y ∈ R : y > x . Tvrzení 1.1 (Negace složených výrok˚u). Platí: ¬(A & B) = ¬A ∨ ¬B

¬(A ∨ B) = ¬A & ¬B

¬(A ⇒ B) = A & ¬B

¬(A ⇔ B) = (¬A & B) ∨ (A & ¬B)

¬(∀x ∈ M : A(x)) = ∃x ∈ M : ¬A(x)

¬(∃x ∈ M : A(x)) = ∀x ∈ M : ¬A(x)



4

Pˇríklad: Urˇcete, který z výrok˚u je pravdivý: ¬(∃x ∈ R ∀y ∈ R ∀z ∈ R : y 2 + z 2 > x) =

∀x ∈ R ∃y ∈ R ∃z ∈ R : y 2 + z 2 ≤ x .

ˇ Definice. • Rekneme, že množina A je cˇ ástí množiny B (nebo A je podmnožinou B), jestliže každý prvek množiny A je rovnˇež prvkem množiny B. Tomuto vztahu ˇríkáme inkluze a znaˇcíme A ⊂ B. • Dvˇe množiny jsou si rovny (A = B), jestliže mají stejné prvky. • Prázdnou množinou nazveme množinu, která neobsahuje žádný prvek. Oznaˇcíme ji symbolem ∅. Poznámka. Pro libovolné dvˇe množiny A, B platí: A = B ⇐⇒ (A ⊂ B) & (B ⊂ A) . Definice (množinové operace). Necht’ I je neprázdná množina a Aα je množina pro každé α ∈ I. S • Definujeme sjednocení α∈I Aα jako množinu všech prvk˚u, které patˇrí alespoˇn do jedné z množin Aα . T u, které náleží do každé z množin Aα . • Definujeme prunik ˚ α∈I Aα jako množinu prvk˚ Definice.

• Mají-li dvˇe množiny prázdný pr˚unik, ˇrekneme o nich, že jsou disjunktní.

• Rozdílem množin A a B (znaˇcíme A \ B) nazveme množinu prvk˚u, které patˇrí do množiny A a nepatˇrí do množiny B. • Kartézským souˇcinem množin A1 , . . . , An nazveme množinu všech uspoˇrádaných n-tic A1 × A2 × · · · × An = {[a1 , a2 , . . . , an ]; a1 ∈ A1 , . . . , an ∈ An }. Vˇeta 1.2 (de Morganova pravidla). Necht’ I je neprázdná množina, X, Aα (α ∈ I) jsou množiny. Pak platí [ \ X\ Aα = (X \ Aα ), α∈I

X\

1.2

\

α∈I

α∈I

Aα =

[

α∈I

(X \ Aα ).

Zobrazení

Definice. Necht’ X a Y jsou množiny. Je-li každému prvku x ∈ X pˇriˇrazen nejvýše jeden prvek z Y , rˇekneme, že je definováno zobrazení z X do Y . Píšeme f : X → Y a f (x) = y, pˇrípadnˇe f : x 7→ y. Množinu D(f ) := {x ∈ X, ∃y ∈ Y, f (x) = y} nazýváme definiˇcním oborem zobrazení f . Definice. Necht’ X, Y jsou neprázdné množiny a f : X → Y . • Obrazem množiny A ⊂ X pˇri zobrazení f se nazývá množina f (A) = {f (x); x ∈ A}. • Je-li A = D(f ) definiˇcním oborem zobrazení f : X → Y , nazýváme množinu f (A) oborem hodnot zobrazení f . (Znaˇcíme R(f ) nebo H(f ).)



5

• Vzorem množiny B ⊂ Y pˇri zobrazení f nazveme množinu f−1 (B) = {x ∈ X; f (x) ∈ B}. Definice. Necht’ X, Y jsou množiny a f : X → Y . • Zobrazení f je prosté (injektivní) na A ⊂ X, jestliže ∀x1 , x2 ∈ A : x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ). • Zobrazení f je zobrazením množiny A ⊂ X "na" množinu Y (f je surjektivní), jestliže f (A) = Y . ˇ • Rekneme, že f je bijekce A na Y , jestliže f je prosté a na Y . Definice. Necht’ f : A → Y je prosté, f (A) = B. Pak zobrazení f −1 : B → A definované pˇredpisem f −1 (y) = x, kde y ∈ f (A) a f (x) = y, nazýváme inverzním zobrazením k zobrazení f . Definice. Necht’ f : X → Y je zobrazení, A ⊂ X. Zobrazení f |A : A → Y takové že f |A (x) = f (x) ∀x ∈ A nazýváme zúžením zobrazení f na množinu A. Definice. Necht’ f : X → Y a g : Y → Z jsou dvˇe zobrazení. Symbolem g ◦ f oznaˇcíme zobrazení z množiny X do množiny Z definované pˇredpisem (g ◦ f )(x) = g(f (x)). Takto definované zobrazení se nazývá složeným zobrazením zobrazení f a g, pˇriˇcemž f je vnitˇrní zobrazení a g je vnˇejší zobrazení.

1.3

Reálná cˇ ísla

Vybudování cˇ íselných množin - nˇekolik možností: Možnost I: N (intuitivnˇe nebo z teorie množin) −→ Z −→ Q −→ R Možnost II: R (axiomaticky) −→ N −→ Z −→ Q Ad I: Krok Q −→ R obtížný (napˇr. tzv. Dedekindovy ˇrezy) Ad II: Krok R −→ N napˇr. pomocí pojmu tzv. induktivní množiny. V obou možnostech na závˇer následuje krok R −→ C. Ad II: Množinu reálných cˇ ísel R lze definovat jako množinu, na níž jsou definovány operace sˇcítání a násobení, které budeme znaˇcit obvyklým zp˚usobem, a relace uspoˇrádání (≤), pˇriˇcemž jsou splnˇeny následující tˇri skupiny vlastností. I. Vlastnosti sˇcítání a násobení a jejich vzájemný vztah II. Vztah uspoˇrádání a operací sˇcítání a násobení III. Axiom o supremu I. Vlastnosti sˇcítání a násobení a jejich vzájemný vztah • ∀x, y, z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativita sˇcítání), http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/


6

• ∀x, y ∈ R : x + y = y + x (komutativita sˇcítání), • ∃w ∈ R ∀x ∈ R : w + x = x (prvek w je urˇcen jednoznaˇcnˇe, znaˇcíme ho 0 a ˇríkáme mu nulový prvek), • ∀x ∈ R ∃z ∈ R : x + z = 0 (z je tzv. opaˇcné cˇ íslo k cˇ íslu x, je urˇceno jednoznaˇcnˇe a znaˇcíme ho −x), • ∀x, y, z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (asociativita násobení), • ∀x, y ∈ R : x · y = y · x (komutativita násobení), • ∃v ∈ R \ {0} ∀x ∈ R : v · x = x (prvek v je urˇcen jednoznaˇcnˇe, znaˇcíme ho 1 a ˇríkáme mu jednotkový prvek), • ∀x ∈ R \ {0} ∃y ∈ R : x · y = 1 (prvek y je urˇcen jednoznaˇcnˇe a znaˇcíme ho x−1 nebo x1 ), • ∀x, y, z ∈ R : (x + y) · z = x · z + y · z (distributivita). II. Vztah uspoˇrádání a operací sˇcítání a násobení • ∀x, y, z ∈ R : (x ≤ y & y ≤ z) ⇒ x ≤ z (tranzitivita), • ∀x, y ∈ R : (x ≤ y & y ≤ x) ⇒ x = y (slabá antisymetrie), • ∀x, y ∈ R : x ≤ y ∨ y ≤ x, • ∀x, y, z ∈ R : x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z, • ∀x, y ∈ R : (0 ≤ x & 0 ≤ y) ⇒ 0 ≤ x · y. Oznaˇcení. • Oznaˇcení x ≥ y znamená totéž co y ≤ x. Symbolem x < y budeme znaˇcit situaci, kdy x ≤ y, ale x 6= y (tzv. ostrá nerovnost). • Reálná cˇ ísla, pro nˇež x > 0 (resp. x < 0), budeme nazývat kladnými (resp. zápornými). • Reálná cˇ ísla, pro nˇež x ≥ 0 (resp. x ≤ 0), budeme nazývat nezápornými (resp. nekladnými). ˇ Definice. • Rekneme, že množina M ⊂ R je omezená zdola, jestliže existuje cˇ íslo a ∈ R takové, že pro každé x ∈ M platí x ≥ a. Takové cˇ íslo a se nazývá dolní závorou množiny M .

• Analogicky definujeme pojmy množina omezená shora a horní závora. ˇ • Rekneme, že množina M ⊂ R je omezená, je-li omezená shora i zdola. ˇ Definice. Necht’ M ⊂ R. Rekneme, že a je nejvˇetší prvek (maximum) množiny M , jestliže a je horní závorou množiny M a pˇritom a ∈ M . Analogicky definujeme nejmenší prvek (minimum) M . Maximum a minimum jsou urˇceny jednoznaˇcnˇe (pokud existují) a znaˇcíme je max M a min M . Minimum a maximum dané množiny reálných cˇ ísel nemusí existovat: (0, 1). ˇ Definice. Necht’ M ⊂ R. Císlo G ∈ R splˇnující • ∀x ∈ M : x ≤ G, • ∀G′ ∈ R, G′ < G ∃x ∈ M : x > G′ , http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/


7

nazýváme supremem množiny M . Poznámka. Necht’ M ⊂ R. Má-li množina M supremum, je toto urˇceno jednoznaˇcnˇe a znaˇcíme jej sup M . III. Axiom suprema • Každá neprázdná shora omezená podmnožina R má supremum. ˇ Definice. Necht’ M ⊂ R. Císlo g ∈ R splˇnující • ∀x ∈ M : x ≥ g, • ∀g ′ ∈ R, g ′ > g ∃x ∈ M : x < g ′ , nazýváme infimem množiny M . Poznámka. Necht’ M ⊂ R. Má-li množina M infimum, je toto urˇceno jednoznaˇcnˇe a znaˇcíme jej inf M . Vˇeta 1.3. Necht’ M ⊂ R je neprázdná zdola omezená množina. Pak existuje infimum množiny M . Poznámka. • Klademe sup M := +∞ pro shora neomezenou množinu, a inf M := −∞ pro zdola neomezenou množinu. • Klademe sup ∅ := −∞ a inf ∅ := +∞.

Z axiomu o supremu plynou nˇekteré d˚uležité vlastnosti R:

Vˇeta 1.4.

1. Pro každé r ∈ R existuje právˇe jedno cˇ íslo k ∈ Z takové, že k ≤ r < k + 1.

2. Ke každému x ∈ R existuje n ∈ N splˇnující x < n. 3. Necht’ a, b ∈ R, a < b. Pak existuje q ∈ Q takové, že a < q < b. 4. Pro každé n ∈ N a x ∈ R, x ≥ 0, existuje právˇe jedno y ∈ R, y ≥ 0, splˇnující y n = x. 1. Pro každé x ∈ R, x ≥ −2 a pro každé n ∈ N

Vˇeta 1.5 (Základní nerovnosti mezi reálnými cˇ ísly). platí tzv. Bernoulliho nerovnost

(1 + x)n ≥ 1 + nx . 2. Pro všechna reálná cˇ ísla a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn platí tzv. Cauchy-Schwarzova nerovnost n X j=1

aj bj

2

≤

n X j=1

2

aj ·

n X

bj 2 .

j=1

3. Pro všechna nezáporná reálná cˇ ísla a1 , . . . , an platí tzv. A-G (aritmeticko-geometrická) nerovnost √ a1 + · · · + an ≥ n a1 · · · an . n



8

Komplexní cˇ ísla

1.4

Množinu komplexních cˇ ísel C definujeme jako množinu všech uspoˇrádaných dvojic (a, b), kde a, b ∈ R, pˇriˇcemž pro komplexní cˇ ísla x = (a, b), y = (c, d) definujeme operace sˇcítání a násobení takto • x + y = (a + c, b + d), • x · y = (ac − bd, ad + bc). Dále ztotožˇnujeme x = (x, 0) pro x ∈ R, a definujeme i = (0, 1). Potom • (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + b(0, 1) = a + bi, • (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1, tj. i2 = −1, a tedy C = {a + bi; a, b ∈ R} kde i2 = −1 . Necht’ x = a + bi ∈ C. Prvek a nazýváme reálnou cˇ ástí x, prvek b nazýváme imaginární cˇ ástí x. √ Absolutní hodnotou komplexního cˇ ísla x rozumíme |x| = a2 + b2 . Komplexnˇe sdruženým cˇ íslem k x rozumíme cˇ íslo x = a−bi; symbol −x znaˇcí cˇ íslo −a−bi a symbol 1/x znaˇcí pro x 6= 0 (jednoznaˇcnˇe urˇcené) cˇ íslo splˇnující x · x1 = 1.

1.5

Mohutnost množin

ˇ Definice. • Ríkáme, že množiny A, B mají stejnou mohutnost a píšeme A ≈ B, jestliže existuje bijekce A na B. ˇ • Ríkáme, že množina A má mohutnost menší nebo rovnou mohutnosti množiny B a píšeme A B, jestliže existuje prosté zobrazení A do B. • Symbol A ≺ B znaˇcí situaci, kdy A B a neplatí A ≈ B. ˇ Definice. Rekneme, že množina A je koneˇcná, jestliže je bud’ A = ∅ nebo existuje n ∈ N takové, že platí A ≈ {1, . . . , n}. ˇ Rekneme, že množina A je spoˇcetná, jestliže platí A ≈ N. ˇRekneme, že množina A je nespoˇcetná, jestliže A není ani koneˇcná ani spoˇcetná. Tvrzení 1.6. Množiny N, Z, Q jsou spoˇcetné, množiny R, C jsou nespoˇcetné.

1.6

Posloupnosti a jejich limity

Definice. Necht’ A je neprázdná množina. Zobrazení pˇriˇrazující každému pˇrirozenému cˇ íslu n prvek an z množiny A nazýváme posloupnost prvku˚ množiny A. Prvek an nazveme n-tým cˇ lenem této posloupnosti. Znaˇcíme {an }∞ n=1 . Pˇríklad. Posloupnosti zadané • explicitnˇe: an := (1 + 1/n)n ; • popisem: an := n-té prvoˇcíslo; • rekurentnˇe: a1 = a2 := 1, an+2 := an+1 + an ∀n ∈ N . http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/


9

• ... Poznámka. Posloupností budeme nadále až do odvolání rozumˇet (nekoneˇcnou) posloupnost reálných cˇ ísel. ˇ Definice. Rekneme, že posloupnost {an } je • shora omezená, jestliže množina všech cˇ len˚u této posloupnosti je shora omezená, • zdola omezená, jestliže množina všech cˇ len˚u této posloupnosti je zdola omezená, • omezená, jestliže množina všech cˇ len˚u této posloupnosti je omezená. ˇ Definice. Rekneme, že posloupnost reálných cˇ ísel {an } je • neklesající, je-li an ≤ an+1 pro každé n ∈ N, • rostoucí, je-li an < an+1 pro každé n ∈ N, • nerostoucí, je-li an ≥ an+1 pro každé n ∈ N, • klesající, je-li an > an+1 pro každé n ∈ N. Posloupnost {an } je monotónní, pokud splˇnuje nˇekterou z výše uvedených podmínek. Posloupnost {an } je ryze monotónní, pokud je rostoucí cˇ i klesající. ˇ Definice. Rekneme, že posloupnost (reálných cˇ ísel) {an } má limitu rovnou reálnému cˇ íslu A, jestliže platí ∀ε ∈ R, ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : |an − A| < ε. Poznámka. Necht’ K ∈ R, K > 0, A ∈ R. Jestliže posloupnost {an } splˇnuje podmínku ∀ε ∈ R, ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : |an − A| < Kε, potom lim an = A. ˇ Definice. Rekneme, že posloupnost {an } má limitu +∞ ≡ ∞ , jestliže ∀L ∈ R ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≥ L. ˇ Rekneme, že posloupnost {an } má limitu −∞, jestliže ∀K ∈ R ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≤ K. Vˇeta 1.7 (jednoznaˇcnost limity). Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Definice. Má-li posloupnost {an } limitu rovnou cˇ íslu A ∈ R, pak píšeme lim an = A nebo jenom n→∞ ˇ lim an = A.Podobnˇe píšeme lim an = lim an = ∞, resp. lim an = lim an = −∞. Rekneme, že n→∞

n→∞

posloupnost {an } je konvergentní, pokud existuje A ∈ R takové, že lim an = A. Není-li posloupnost konvergentní, ˇríkáme, že je divergentní.

Vˇeta 1.8. Každá konvergentní posloupnost je omezená. ˇ ísel. Jestliže {nk }∞ Definice. Necht’ {an }∞ n=1 je posloupnost reálných c k=1 je rostoucí posloupnost pˇriroze∞ ∞ ných cˇ ísel, pak {ank }k=1 se nazývá vybranou posloupností z {an }n=1 . ∞ Vˇeta 1.9. Necht’ {ank }∞ k=1 je vybraná posloupnost z posloupnosti {an }n=1 . Jestliže platí lim an = A ∈ n→∞

R ∪ {∞} ∪ {−∞}, pak také lim ank = A. k→∞



10

ˇ ísel. Pak A ∈ R∪{∞}∪{−∞} nazýváme hromadnou Definice. Necht’ {an }∞ n=1 je posloupnost reálných c hodnotou posloupnosti {an }∞ , jestliže existuje vybraná posloupnost {ank }∞ n=1 k=1 taková, že lim ank = A. k→∞

R⋆ := R ∪ {−∞} ∪ {+∞}

Rozšíˇrená reálná osa: Uspoˇrádání: • ∀a ∈ R ∪ {+∞}:

−∞ < a,

• ∀a ∈ {−∞} ∪ R:

a < +∞

Absolutní hodnota: • | − ∞| = | + ∞| = +∞ Sˇcítání a odˇcítání: • −(+∞) = −∞,

+(−∞) = −∞,

• ∀a ∈ R:

−∞ + a = a + (−∞) = −∞,

• ∀a ∈ R:

+∞ + a = a + (+∞) = +∞,

• (−∞) + (−∞) = −∞,

(+∞) + (+∞) = +∞

Násobení a dˇelení: • ∀a ∈ R⋆ , a > 0:

a · (±∞) = (±∞) · a = ±∞,

• ∀a ∈ R⋆ , a < 0:

a · (±∞) = (±∞) · a = ∓∞,

•

1 +∞

=

1 −∞

=0

NEDEFINUJEME: • (−∞) + (+∞), • 0 · (±∞), •

±∞ ±∞ ,

• cokoli 0 Vˇeta 1.10 (aritmetika limit). Necht’ lim an = A ∈ R⋆ a lim bn = B ∈ R⋆ . Potom platí: (i) lim (an ± bn ) = A ± B, pokud je pravá strana definována, (ii) lim (an · bn ) = A · B, pokud je pravá strana definována, (iii) lim an /bn = A/B, pokud je pravá strana definována. Vˇeta 1.11. Necht’ lim an = 0 a necht’ posloupnost {bn } je omezená. Potom lim an bn = 0. Vˇeta 1.12. Necht’ lim an = A ∈ R⋆ . Potom lim |an | = |A|. Vˇeta 1.13 (limita a uspoˇrádání). Necht’ lim an = A ∈ R⋆ a lim bn = B ∈ R⋆ . (i) Necht’ existuje n0 ∈ N takové, že pro každé pˇrirozené n ≥ n0 je an ≥ bn . Potom A ≥ B. (ii) Necht’ A < B. Potom existuje n0 ∈ N takové, že pro každé pˇrirozené n ≥ n0 je an < bn . http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/


11

Vˇeta 1.14 (o dvou strážnících). Necht’ {an }, {bn }, {cn } jsou posloupnosti splˇnující: (i) ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≤ cn ≤ bn , (ii) existují lim an , lim bn , a navíc lim an = lim bn . Potom existuje lim cn a platí lim cn = lim an . Poznámka. Pokud existuje lim an = ∞, není nutné uvažovat žádnou posloupnost {bn } a tvrzení vˇety z˚ustává v platnosti. Podobnˇe je tomu v pˇrípadˇe lim bn = −∞, kdy "nepotˇrebujeme" posloupnost {an }. Vˇeta 1.15 (Limita monotónní posloupnosti). Každá monotónní posloupnost má limitu. √ Tvrzení 1.16. • Pro a > 0 je lim n a = 1. √ • Platí lim n n = 1. n n+1 • Posloupnost an := 1 + n1 je neklesající a shora omezená; posloupnost bn := 1 + n1 je nerostoucí a zdola omezená, pˇriˇcemž existují lim an = lim bn . Tuto spoleˇcnou limitní hodnotu oznaˇcujeme e ≈ 2.718 281 828 . . . . Vˇeta 1.17. Necht’ lim an = A ∈ R⋆ , A > 0, lim bn = 0 a existuje n0 ∈ N, že pro každé n ∈ N, n ≥ n0 , platí bn > 0. Pak lim an /bn = ∞.

1.7

Hlubší vlastnosti posloupností

Poznámka (Komplexní pˇrípad). • Zobrazení pˇriˇrazující každému pˇrirozenému cˇ íslu n prvek an ∈ C nazveme komplexní posloupností. Evidentnˇe {an } je komplexní posloupnost právˇe tehdy, když existují reálné posloupnosti {xn }, {yn } takové, že an = xn + iyn pro všechna pˇrirozená n. • Pro komplexní posloupnost nedefinujeme (nemají smysl) pojmy jako "rostoucí", "klesající", apod., ˇ ale také pojem "shora resp. zdola omezená" posloupnost. Rekneme, že komplexní posloupnost {an } je omezená, pokud existuje K > 0 taková, že |an | ≤ K pro všechna pˇrirozená n.

Poznámka (Komplexní limita). • Je-li an = xn + iyn komplexní posloupnost, a existují lim xn , lim yn vlastní, klademe lim an = lim xn + i lim yn . Výrazy tvaru "a ± i∞", "±∞ ± ib", resp. "±∞ ± i∞" nedefinujeme.

Vˇeta 1.18 (Bolzano-Weierstrassova vˇeta). Z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. Vˇeta 1.19. Posloupnost {an }∞ e tehdy, když splˇnuje Bolzano-Cauchyovu podn=1 má vlastní limitu právˇ mínku, tj. ∀ε ∈ R, ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 ∀m ∈ N, m ≥ n0 : |an − am | < ε.


M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promˇenné

12

2 Funkce jedné reálné promˇenné 2.1

Základní pojmy

Definice. Reálná funkce f jedné reálné promˇenné (dále jen funkce) je zobrazení f : M → R, kde M je podmnožinou množiny reálných cˇ ísel. Definice. Funkce f : J → R je rostoucí na intervalu J, jestliže pro každou dvojici x1 , x2 ∈ J, x1 < x2 , platí nerovnost f (x1 ) < f (x2 ). Funkce f : J → R je klesající na intervalu J, jestliže pro každou dvojici x1 , x2 ∈ J, x1 < x2 , platí nerovnost f (x1 ) > f (x2 ). Analogicky definujeme funkci neklesající (nerostoucí) na intervalu J. Definice. Monotónní funkcí (resp. ryze monotónní funkcí) na intervalu J rozumíme funkci, která je neklesající nebo nerostoucí (resp. rostoucí nebo klesající) na J. Poznámka. Je-li funkce ryze monotónní na množinˇe M ⊂ R, je na ní prostá, ale nikoli naopak. ˇ Definice. Necht’ f je funkce. Rekneme, že funkce f je • lichá, jestliže pro každé x ∈ D(f ) platí −x ∈ D(f ) a f (−x) = −f (x), • sudá, jestliže pro každé x ∈ D(f ) platí −x ∈ D(f ) a f (−x) = f (x), • periodická s periodou a ∈ R, a > 0, jestliže pro každé x ∈ D(f ) platí x+a ∈ D(f ), x−a ∈ D(f ) a f (x + a) = f (x − a) = f (x). ˇ Definice. Necht’ f je funkce a M ⊂ D(f ). Rekneme, že funkce f je • shora omezená na M , jestliže existuje cˇ íslo K ∈ R takové, že pro všechna x ∈ M je f (x) ≤ K, • zdola omezená na M , jestliže existuje cˇ íslo K ∈ R takové, že pro všechna x ∈ M je f (x) ≥ K, • omezená na M , jestliže existuje cˇ íslo K ∈ R takové, že pro všechna x ∈ M je |f (x)| ≤ K, • konstantní na M , jestliže pro všechna x, y ∈ M platí f (x) = f (y).

2.2

Limita a spojitost

Definice. Necht’ a ∈ R a ε ∈ R, ε > 0. Potom definujeme • okolí bodu a jako U ε (a) = (a − ε, a + ε), • prstencové (redukované) okolí bodu a jako P ε (a) = (a − ε, a + ε) \ {a}. Okolí a prstencové okolí bodu +∞ (resp. −∞) definujeme takto: P ε (+∞) = U ε (+∞) = (1/ε, +∞),

P ε (−∞) = U ε (−∞) = (−∞, −1/ε). ˇ Definice. Rekneme, že prvek A ∈ R⋆ je limitou funkce f v bodˇe a ∈ R⋆ , jestliže ∀ε ∈ R, ε > 0 ∃δ ∈ R, δ > 0 ∀x ∈ P δ (a) : f (x) ∈ U ε (A). Píšeme: lim f (x) = A. x→a



13

Vˇeta 2.1 (jednoznaˇcnost limity). Funkce f má v daném bodˇe nejvýše jednu limitu. Poznámka. Limita je tzv. lokální pojem. Rozmyslete si následující vlastnosti: • Pokud existuje δ > 0 takové, že f (x) = g(x) pro všechna x ∈ P δ (a), potom limx→a f (x) existuje právˇe tehdy, když existuje limx→a g(x). V tom pˇrípadˇe se obˇe limity rovnají. • Hodnota f (a), dokonce ani to, jestli funkce f je v˚ubec v bodˇe a definována, nemá žádný vliv na existenci cˇ i velikost hodnoty A := limx→a f (x). Rozhoduje pouze chování f na prstencovém okolí P δ (a) bodu a. Definice. Necht’ a ∈ R a ε ∈ R, ε > 0. Potom definujeme ε (a) = ha, a + ε), • pravé okolí bodu a jako U+ ε (a) = (a − ε, ai, • levé okolí bodu a jako U− ε (a) = (a, a + ε), • pravé prstencové okolí bodu a jako P+ ε (a) = (a − ε, a). • levé prstencové okolí bodu a jako P−

Definice. Dále definujeme ε (+∞) = (1/ε, +∞), • levé okolí bodu +∞ jako U− ε (−∞) = (−∞, −1/ε), • pravé okolí bodu −∞ jako U+ ε (+∞) = U ε (+∞), • levé prstencové okolí bodu +∞ jako P− − ε (−∞) = U ε (−∞). • pravé prstencové okolí bodu −∞ jako P+ +

ˇ Definice. Necht’ A ∈ R⋆ , a ∈ R ∪ {−∞}. Rekneme, že funkce f má v bodˇe a limitu zprava rovnou A, jestliže δ ∀ε ∈ R, ε > 0 ∃δ ∈ R, δ > 0 ∀x ∈ P+ (a) : f (x) ∈ U ε (A). Píšeme limx→a+ f (x) = A. Analogicky definujeme pojem limity zleva v bodˇe a ∈ R ∪ {+∞} a píšeme limx→a− f (x) = A. ˇ Definice. Rekneme, že funkce f je spojitá v bodˇe a ∈ R, jestliže lim f (x) = f (a) ∈ R. x→a

ˇ Definice. Rekneme, že funkce f je v bodˇe a ∈ R spojitá zprava (resp. zleva), jestliže lim f (x) = f (a) ∈ x→a+

R (resp. lim f (x) = f (a) ∈ R). x→a−

2.3

Vˇety o limitách a spojitosti

Vˇeta 2.2.

• Necht’ a ∈ R, A ∈ R⋆ . Pak limx→a f (x) = A, právˇe když lim f (x) = lim f (x) = A. x→a+

x→a−

• Funkce f je v bodˇe a spojitá, právˇe když je spojitá v bodˇe a zprava i zleva zároveˇn. Vˇeta 2.3. Necht’ funkce f má vlastní limitu v bodˇe a ∈ R⋆ . Pak existuje δ ∈ R, δ > 0 takové, že f je na P δ (a) omezená. Vˇeta 2.4. Necht’ funkce f má vlastní limitu A 6= 0 v bodˇe a ∈ R⋆ . Pak existuje δ ∈ R, δ > 0 a konstanta c > 0 takové, že |f (x)| > c pro všechna x ∈ P δ (a). Vˇeta 2.5 (limita a aritmetické operace). Necht’ a ∈ R⋆ . Necht’ limx→a f (x) = A ∈ R⋆ a limx→a g(x) = B ∈ R⋆ . Potom platí: http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/


14

(i) limx→a (f (x) + g(x)) = A + B, pokud je výraz A + B definován, (ii) limx→a f (x)g(x) = AB, pokud je výraz AB definován, (iii) limx→a f (x)/g(x) = A/B, pokud je výraz A/B definován. Vˇeta 2.6. Necht’ a ∈ R⋆ . Necht’ limx→a f (x) = 0, a necht’ existuje η > 0 takové, že funkce g je omezená na P η (a). Pak limx→a (f (x) g(x)) = 0. Vˇeta 2.7. Necht’ a ∈ R⋆ . Necht’ limx→a g(x) = 0, limx→a f (x) = A ∈ R⋆ a A > 0. Jestliže existuje η > 0 takové, že funkce g je kladná na P η (a), pak limx→a (f (x)/g(x)) = +∞. (A obdobnˇe pro A < 0, g zápornou atd.) Vˇeta 2.8 ("o zámˇenˇe 0 a ∞"). Platí: 1 lim f (x) = A ∈ R ⇐⇒ lim f = A ∈ R⋆ , x→+∞ x→0+ x ⋆

a podobnˇe 1 = B ∈ R⋆ . lim f (x) = B ∈ R ⇐⇒ lim f x→−∞ x→0− x ⋆

Vˇeta 2.9 (o srovnání). Mˇejme a ∈ R⋆ . (i) Necht’ lim f (x) > lim g(x).

x→a

Pak existuje prstencové okolí

P δ (a)

x→a

takové, že platí ∀x ∈ P δ (a) : f (x) > g(x).

(ii) Necht’ existuje prstencové okolí P δ (a) takové, že platí ∀x ∈ P δ (a) : f (x) ≤ g(x). Necht’ existují limx→a f (x) a limx→a g(x). Potom platí lim f (x) ≤ lim g(x).

x→a

x→a

(iii) (o dvou strážnících) Necht’ na nˇejakém prstencovém okolí P δ (a) platí f (x) ≤ h(x) ≤ g(x). Necht’ limx→a f (x) = limx→a g(x). Potom existuje rovnˇež limx→a h(x) a všechny tˇri limity jsou si rovny. Vˇeta 2.10 (limita složené funkce). Necht’ a, D, A ∈ R⋆ , limx→a g(x) = D, limy→D f (y) = A a je splnˇena alespoˇn jedna z podmínek (P1) ∃η ∈ R, η > 0 ∀x ∈ P η (a) : g(x) 6= D, (P2) f je spojitá v D. Potom limx→a f (g(x)) = A. Poznámka. • Jsou-li funkce f , g spojité (pˇrípadnˇe spojité zleva, zprava) v bodˇe a ∈ R, jsou v bodˇe a spojité (pˇrípadnˇe spojité zleva, zprava) i funkce f ± g, f g, a pokud je g(a) 6= 0, pak i funkce f /g. http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/


15

• Necht’ a ∈ R, funkce g je spojitá v a, funkce f je spojitá v g(a). Potom funkce f ◦ g je spojitá v a. Vˇeta 2.11 (limita monotónní funkce). Necht’ funkce f je monotónní na (a, b), a, b ∈ R⋆ . Potom existují limx→a+ f (x) a limx→b− f (x). Poznámka (komplexní funkce). • Komplexní funkce f jedné reálné promˇenné (dále jen komplexní funkce) je zobrazení f : M → C, kde M je podmnožinou množiny reálných cˇ ísel. Evidentnˇe f : M → C je komplexní funkce právˇe tehdy, když existují reálné funkce g, h : M → R takové, že f (x) = g(x) + ih(x) pro všechna x ∈ M . • Pro komplexní funkci nedefinujeme (nemají smysl) pojmy jako "rostoucí", "klesající", apod., ale také ˇ pojem "shora resp. zdola omezená" funkce. Rekneme, že komplexní funkce f je omezená na M ⊂ ⋆ R , pokud existuje K > 0 taková, že |f (x)| ≤ K pro všechna x ∈ M .

Poznámka (komplexní limita, spojitost). • Je-li f (x) = g(x) + ih(x), f : M → C komplexní funkce, a ∈ M , a existují limx→a g(x), limx→a h(x) vlastní, klademe limx→a f (x) = limx→a g(x) + i limx→a h(x). Podobnˇe pro jednostranné limity. Výrazy tvaru "a±i∞", "±∞±ib", resp. "±∞±i∞" nedefinujeme. • Je-li f (x) = g(x) + ih(x), f : M → C komplexní funkce, a ∈ M , a jsou-li g, h spojité v a (resp. spojité v a zprava, zleva), ˇrekneme, že f je spojitá v a (resp. spojité v a zprava, zleva). Vˇeta 2.12 (Heineho o limitˇe). Necht’ C ∈ R⋆ (resp. C ∈ C) a reálná (resp. komplexní) funkce f je definována (alespoˇn) na prstencovém okolí bodu a ∈ R⋆ . Pak výroky (i) a (ii) jsou ekvivalentní: (i) limx→a f (x) = C (ii) Pro každou posloupnost {xn }∞ nující n=1 splˇ • limn→∞ xn = a,

• ∀n ∈ N : xn 6= a,

platí limn→∞ f (xn ) = C. Vˇeta 2.13 (Heineho o spojitosti). Necht’ reálná (resp. komplexní) funkce f je definována (alespoˇn) na okolí bodu a ∈ R⋆ . Pak výroky (i) a (ii) jsou ekvivalentní: (i) f je spojitá v a (ii) Pro každou posloupnost {xn }∞ nující n=1 splˇ • limn→∞ xn = a platí limn→∞ f (xn ) = f (a). Definice (funkce spojitá na intervalu). Necht’ J ⊂ R je nedegenerovaný interval (tj. obsahuje nekoneˇcnˇe mnoho bod˚u). Funkce f : J → R(C) je spojitá na intervalu J, jestliže platí: • f je spojitá zprava v levém krajním bodˇe intervalu J, pokud tento bod patˇrí do J, • f je spojitá zleva v pravém krajním bodˇe intervalu J, pokud tento bod patˇrí do J, • f je spojitá v každém vnitˇrním bodˇe J.



2.4

16

Elementární funkce

Vˇeta 2.14 (zavedení logaritmu). Existuje právˇe jedna funkce (znaˇcíme ji ln a nazýváme ji pˇrirozeným logaritmem), která má tyto vlastnosti: (L1) D(ln) = (0, +∞) a na tomto intervalu je ln rostoucí, (L2) ∀x, y ∈ (0, +∞) : ln xy = ln x + ln y, (L3) limx→1

ln x x−1

ln(1+x) x

= limx→0

= 1.

Poznámka: vztahu (L3) se nˇekdy ˇríká "základní limita pro logaritmus". Definice. Exponenciální funkcí budeme rozumˇet funkci inverzní k funkci ln. Budeme ji znaˇcit symbolem exp(x). Základní limita pro exponenciální funkci (lze odvodit z (L3)): exp(x) − 1 = 1. x→0 x lim

Lze postupovat i tak, že se nejprve definuje exponenciální funkce (zformuluje se vˇeta o existenci a jednoznaˇcnosti exponencální funkce), a poté se funkce ln definuje jako její inverzní funkce. Definice. Necht’ a, b ∈ R, a > 0. Obecnou mocninu ab definujeme jako ab = exp(b ln a). Poznámka. Tedy pro cˇ íslo e ∈ R takové, že ln e = 1, platí ex = exp(x ln(e)) = exp(x) . Vˇeta 2.15 (zavedení funkcí sinus a kosinus). Existuje právˇe jedno kladné reálné cˇ íslo (budeme ho znaˇcit π) a právˇe jedna dvojice funkcí sinus (sin) a kosinus (cos), které mají následující vlastnosti: G1) D(sin) = D(cos) = R, G2) pro všechna x, y ∈ R platí sin(x + y) = sin x · cos y + cos x · sin y,

cos(x + y) = cos x · cos y − sin x · sin y, sin(−x) = − sin x,

cos(−x) = cos x,

G3) sin je rostoucí na h0, 21 πi, sin 0 = 0, sin( 12 π) = 1, G4) limx→0

sin x x

= 1.

Poznámka. Základní limity (shrnutí): ln(x + 1) = 1, x→0 x sin x = 1, lim x→0 x lim


ex − 1 = 1, x→0 x 1 cos x − 1 lim =− . x→0 x2 2 lim


17

Definice. Funkci tangens znaˇcíme tg a definujeme pˇredpisem tg x =

sin x cos x

pro každé reálné x, pro nˇež má zlomek smysl, tj. D(tg) = {x ∈ R; x 6= (2k + 1)π/2, k ∈ Z}. Symbolem cotg budeme znaˇcit funkci kotangens, která je definována na množinˇe D(cotg) = {x ∈ R; x 6= kπ, k ∈ Z} pˇredpisem cos x cotg x = . sin x Definice (zavedení cyklometrických funkcí). Cyklometrickými funkcemi budeme rozumˇet funkce arkussinus (arcsin), arkuskosinus (arccos), arkustangens (arctg), arkuskotangens (arccotg), které jsou definovány takto arcsin = (sin |h− π2 , π2 i )−1 ,

arccos = (cos |h0,πi )−1 ,

arctg = (tg |(− π2 , π2 ) )−1 ,

arccotg = (cotg |(0,π) )−1 .

Tvrzení 2.16 (vlastnosti cyklometrických funkcí). Funkce arcsin, arccos, arctg, arccotg jsou ryze monotónní (tedy prosté) funkce na svých definiˇcních oborech a platí: D π πE , arcsin roste na h−1, 1i , arcsin(h−1, 1i) = − , 2 2 arccos klesá na h−1, 1i , arccos(h−1, 1i) = h0, πi , π π arctg roste na R , arctg(R) = − , , 2 2 arccotg klesá na R , arccotg(R) = (0, π) . Definice (hyperbolické funkce). Hyperbolickými funkcemi budeme rozumˇet funkce hyperblický sinus (sinh), hyperbolický kosinus (cosh), hyperbolický tangens (tgh) a hyperbolický kotangens (cotgh), které jsou definovány takto ex − e−x , 2 ex + e−x , cosh x = 2 ex − e−x sinh x = x , tgh x = cosh x e + e−x cosh x ex + e−x cotgh x = = x , sinh x e − e−x sinh x =

D(sinh) = R, D(cosh) = R, D(tgh) = R, D(cotgh) = R \ {0} .

Definice (inverzní hyperbolické funkce). Inverzními hyperbolickými funkcemi (nˇekdy též hyperbolometrickými funkcemi) budeme rozumˇet funkce argument hyperbolického sinu (argsinh), argument hyperbolického kosinu (argcosh), argument hyperbolické tangenty (argsinh), argument hyperbolické kotangenty (argcotgh), které jsou definovány takto argsinh = (sinh)−1 , argcosh = (cosh |h0,∞) )−1 , argtgh = (tgh)−1 ,

argcotgh = (cotgh)−1 .



18

Tvrzení 2.17 (vlastnosti hyperbolometrických funkcí I). Hyperbolometrické (inverzní hyperbolické) funkce jsou prosté na svých definiˇcních oborech, pˇriˇcemž • argsinh roste na D(argsinh) = R, a argsinh(R) = R, • argcosh roste na D(argcosh) = h1, +∞), a argcosh(h1, +∞)) = h0, +∞), • argtgh roste na D(argtgh) = (−1, 1), a argtgh((−1, 1)) = R, • argcotgh klesá na (−∞, −1) a na (1, +∞) (ale nikoli na celém D(argcotgh) = R \ h−1, 1i), a argcotgh(R \ h−1, 1i) = R. Poznámka (vlastnosti hyperbolometrických funkcí II). Existuje vyjádˇrení hyperbolometrických funkcí pomocí funkce ln (srovnejte to se skuteˇcností, že hyperbolické funkce jsou definovány pomocí funkce exp). Platí: p argsinh x = ln(x + x2 + 1), x ∈ R, p argcosh x = ln(x + x2 − 1), x ∈ h1, +∞), 1 1+x , x ∈ (−1, 1), argtgh x = ln 2 1−x 1 x+1 argcotgh x = ln , x ∈ R \ h−1, 1i. 2 x−1 Vˇeta 2.18. Funkce log, exp, sin, cos, tg, cotg, arcsin, arccos, arctg, arccotg, sinh, cosh, tgh, cotgh, argsinh, argcosh, argtgh, argcotgh jsou spojité na svých definiˇcních oborech. Poznámka. Termínem elementární funkce budeme oznaˇcovat funkce 1, x, exp(x), sin x, a všechny funkce, které lze z tˇechto funkcí obdržet aplikováním koneˇcného poˇctu následujících operací: • sˇcítání, odˇcítání, násobení, dˇelení, • skládání funkcí, • zúžení (restrikce) funkce a vytvoˇrení inverzní funkce. • Lze dokázat (napˇríklad z teorie mocninných ˇrad), že platí

Poznámka (komplexní exponenciála). sin x =

eix − e−ix , 2i

cos x =

eix + e−ix , 2

x ∈ R,

tedy eix = cos x + i sin x ,

x ∈ R.

• V tomto smyslu (tj. uvažujeme-li komplexní funkce) je tedy exponenciála základní elementární funkcí, nebot’ všechny goniometrické (i hyperbolické) funkce lze vyjádˇrit jejím prostˇrednictvím. Poznámka (nedefinované výrazy v obecné mocninˇe). Protože máme ab = exp(b ln a) (pro a>0), je výraz ab nedefinován (i ve smyslu aritmetiky rozšíˇrené reálné osy) právˇe tehdy, když je nedefinován výraz b ln a, tj. když b ln a = ”0 · ±∞” nebo b ln a = ” ± ∞ · 0”. Odtud dostáváme následující výrazy v obecné mocninˇe, které nejsou definovány (ani ve smyslu aritmetiky rozšíˇrené reálné osy): 00 , (±∞)0 , 1(±∞) .



2.5

Grafy nˇekterých elementárních funkcí


19



20



21



22



23



24



25


26

ˇ Bonus I: Recká abeceda

A, α

alfa

N, ν

ný

B, β

béta

Ξ, ξ

ksí

Γ, γ

gamma

O, o

omikron

∆, δ

delta

Π, π

pí

E, ǫ, ε

epsílon

P, ρ

ró

Z, ζ

(d)zéta

Σ, σ

sígma

H, η

éta

T, τ

tau

Θ, θ, ϑ

théta

Y, υ

ypsilon

I, ι

ióta

Φ, ϕ

fí

K, κ, κ

kappa

X, χ

chí

Λ, λ

lambda

Ψ, ψ

psí

M, µ

mý

Ω, ω

ómega



Bonus II: Goniometrické a hyperbolické funkce (porovnání)

eix − e−ix 2i eix + e−ix cos x = 2 eix = cos x + i sin x

ex − e−x 2 ex + e−x cosh x = 2 ex = cosh x + sinh x

sin x =

sinh x =

sin2 x + cos2 x = 1

cosh2 x − sinh2 x = 1

sin 2x = 2 sin x cos x 2

2

cos 2x = cos x − sin x x 1 − cos x = 2 2 1 + cos x 2 x cos = 2 2 sin2

sinh 2x = 2 sinh x cosh x cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x x cosh x − 1 = 2 2 cosh x + 1 2 x cosh = 2 2 sinh2

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y

sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y

sinh(x − y) = sinh x cosh y − cosh x sinh y

cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y

cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y x+y x−y cos 2 2 x−y x+y sin sin x − sin y = 2 cos 2 2 x−y x+y cos cos x + cos y = 2 cos 2 2 x+y x−y cos x − cos y = −2 sin sin 2 2 sin x + sin y = 2 sin

cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y cosh(x − y) = cosh x cosh y − sinh x sinh y x+y x−y cosh 2 2 x+y x−y sinh x − sinh y = 2 cosh sinh 2 2 x+y x−y cosh x + cosh y = 2 cosh cosh 2 2 x+y x−y cosh x − cosh y = 2 sinh sinh 2 2 sinh x + sinh y = 2 sinh

sin(ix) = i sinh x

sinh(ix) = i sin x

cos(ix) = cosh x

cosh(ix) = cos x

sin(x + iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y cos(x + iy) = cos x cosh y − i sin x sinh y sinh(x + iy) = sinh x cos y + i cosh x sin y cosh(x + iy) = cosh x cos y + i sinh x sin y


27

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 3: Derivace funkce jedné reálné promˇenné

28

3 Derivace funkce jedné reálné promˇenné 3.1 Definice a základní vztahy, diferenciál Definice. Necht’ f je reálná funkce, necht’ a ∈ R. Pak • derivací funkce f v bodˇe a budeme rozumˇet

f (a + h) − f (a) ; h→0 h

f ′ (a) = lim

• derivací funkce f v bodˇe a zprava budeme rozumˇet f (a + h) − f (a) ; h→0+ h

f+′ (a) = lim

analogicky definujeme derivaci funkce f v bodˇe a zleva. Vˇeta 3.1. Necht’ funkce f má v bodˇe a ∈ R vlastní derivaci. Potom je funkce f v bodˇe a spojitá. Poznámka: podobnˇe pro derivaci zprava, zleva. Vˇeta 3.2 (aritmetika derivací). Pˇredpokládejme, že funkce f a g mají v bodˇe a ∈ R vlastní derivace. Potom platí (i) (f ± g)′ (a) = f ′ (a) ± g′ (a), (ii) (f g)′ (a) = f ′ (a)g(a) + f (a)g′ (a), (iii) je-li g(a) 6= 0, pak

′ f ′ (a)g(a) − f (a)g′ (a) f . (a) = g g2 (a)

Vˇeta 3.3 (derivace složené funkce). Necht’ funkce f má vlastní derivaci v bodˇe y0 ∈ R, funkce g má vlastní derivaci v bodˇe x0 ∈ R a y0 = g(x0 ). Pak (f ◦ g)′ (x0 ) = f ′ (y0 ) · g′ (x0 ). Vˇeta 3.4 (derivace inverzní funkce). Necht’ funkce f je na intervalu (a, b) spojitá a ryze monotónní. Bud’ x0 ∈ (a, b) a oznaˇcme y0 = f (x0 ). (i) Pokud existuje (vlastní nebo nevlastní) f ′ (x0 ) 6= 0, má funkce f −1 derivaci v bodˇe y0 a platí rovnost (f −1 )′ (y0 ) = (kde klademe

1 ±∞

1

f ′ (f −1 (y

0 ))

,

= 0).

(ii) Je-li f ′ (x0 ) = 0 a f je rostoucí (resp. klesající) na (a, b), je (f −1 )′ (y0 ) = +∞ (resp. −∞). Vˇeta 3.5 (l’Hospitalovo pravidlo). (i) Necht’ a ∈ R ∪ {−∞}, limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = 0, f a g ′ (x) mají na jistém pravém prstencovém okolí bodu a vlastní derivaci a existuje limx→a+ fg′ (x) . Pak f (x) f ′ (x) = lim ′ . x→a+ g(x) x→a+ g (x) lim

(ii) Necht’ a ∈ R ∪ {−∞}, limx→a+ |g(x)| = +∞, f a g mají na jistém pravém prstencovém okolí ′ (x) bodu a vlastní derivaci a existuje limx→a+ fg′ (x) . Pak f ′ (x) f (x) = lim ′ . x→a+ g (x) x→a+ g(x) lim



Poznámka.

29

• L’Hospitalovo pravidlo platí i pro limitu zleva, resp. pro oboustrannou limitu.

• Pokud neexistuje limx→a+ notu limity

f ′ (x) g ′ (x) ,

nelze podle l’Hospitalova pravidla nic tvrdit pro existenci nebo hod-

(x) limx→a+ fg(x) .

Vˇeta 3.6. Necht’ f je spojitá zprava v bodˇe a ∈ R a existuje limx→a+ f ′ (x). Potom existuje f+′ (a) a platí rovnost f+′ (a) = lim f ′ (x). x→a+

Definice (diferenciál). Bud’ a ∈ R necht’ existuje f ′ (a) vlastní. Diferenciálem funkce f v bodˇe a nazvu lineární zobrazení df (a) : h 7→ f ′ (a) · h , h ∈ R. Diferenciál identické funkce, tedy funkce I(x) = x, je proto zobrazení dI(x) = dx, s vlastností dx(h) = h. Podíl diferenciál˚u obecné funkce f a identické funkce je potom lineární zobrazení s vlastností f ′ (x) · h df (x) (h) = = f ′ (x) . dx h Podíl diferenciál˚u

df (x) dx

tedy nezávisí na promˇenné h, a lze psát

df (x) df (x) = f ′ (x), resp. f ′ (x) = , dx dx kde zlomek vpravo chápeme jako podíl dvou diferenciál˚u. Vztah, který dostaneme z tohoto výrazu "rozšíˇrením dx", tj. df (x) = f ′ (x) dx pak chápeme jako vztah mezi dvˇema diferenciály: diferenciál funkce f v bodˇe x je f ′ (x)-násobkem diferenciálu identity. Pˇri oznaˇcení y = f (x) lze pak tento proces (proces diferencování) zachytit takto: y = f (x)

=⇒

dy = f ′ (x) dx .

Poznámka (parciální derivace). Je-li f funkce, závislá na více než jedné promˇenné, napˇríklad f = f (x, y, z), lze uvažovat její derivace jen podle nˇekteré z jejích promˇenných, napˇríklad x. Tuto derivaci pak naýváme parciální derivací f podle x a znaˇcíme ∂f ∂x (x, y, z). Napˇríklad ∂ ∂ x x 1 2xy , . = 2 =− 2 2 2 ∂x y + z y +z ∂y y + z (y + z)2

3.2 Derivace vyššího rˇ ádu Definice. Necht’ n ∈ N, a ∈ R, a f má vlastní n-tou derivaci na okolí bodu a. Pak (n + 1)-ní derivací funkce f v bodˇe a budeme rozumˇet f (n) (a + h) − f (n) (a) . h→0 h

f (n+1) (a) = lim

Vˇeta 3.7 (Leibniz˚uv vzorec). Necht’ a ∈ R, n ∈ N, a necht’ existují vlastní derivace f (n) (a), g(n) (a). Potom existuje vlastní derivace (f g)(n) (a), a platí n X n (n−k) (n) (f g) (a) = f (a) g(k) (a) . k k=0



Tabulka derivací nˇekterých elementárních funkcí f′ 0

D(f ) R

D(f ′ ) • (tj.: "jako D(f )")

Pozn.

xn

nxn−1

R

•

n∈N

xa

axa−1

x>0

•

a∈R

ex

ex

R

•

ax

ax ln a

R

•

x>0

•

x>0

•

f const.

ln x loga x

1 x 1 x ln a

sin x

cos x

R

•

cos x

− sin x

R

•

π 2

•

tg x cotg x arcsin x arccos x arctg x arccotg x

1 cos2 x 1 − 2 sin x 1 √ 1 − x2 1 −√ 1 − x2 1 1 + x2 1 − 1 + x2

x 6=

+ kπ

•

h−1, 1i

(−1, 1)

v ±1: jen jednostranné derivace

h−1, 1i

(−1, 1)

v ±1: jen jednostranné derivace

R

•

R

•

cosh x

R

•

cosh x

sinh x

R

•

tgh x

1 − tgh2 x

R

•

cotgh x

1 − cotgh2 x

x 6= 0

•

R

•

x>1

•

−1 < x < 1

•

|x| > 1

•

1

√

x2

argcosh x

√

x2

argtgh x argcotgh x

+1

1 −1

1 1 − x2 1 1 − x2

a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞)

x 6= kπ

sinh x

argsinh x

a>0


30

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 4: Neurˇcitý integrál a primitivní funkce

31

4 Neurˇcitý integrál a primitivní funkce 4.1

Základní vlastnosti

ˇ Definice. Necht’ funkce f je definována na neprázdném otevˇreném intervalu I = (a, b). Rekneme, že ′ ′ funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže pro každé x ∈ I existuje F (x) a platí F (x) = f (x). Definice. Necht’ funkce f je definována na koneˇcném sjednocení neprázdných disjunktních otevˇrených ˇ interval˚u J = ∪kj=1 (aj , bj ). Rekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na J, jestliže pro každé x ∈ J ′ ′ existuje F (x) a platí F (x) = f (x). Vˇeta 4.1. 1. Necht’ F a G jsou primitivní funkce k funkci f na otevˇreném intervalu I. Pak existuje c ∈ R takové, že F (x) = G(x) + c pro každé x ∈ I. 2. Necht’ F a G jsou primitivní funkce k funkci f na koneˇcném sjednocení neprázdných disjunktních otevˇrených interval˚u J = ∪kj=1 (aj , bj ). Pak existují konstanty c1 , . . . , ck ∈ R takové, že F (x) = G(x) + cj pro každé x ∈ (aj , bj ). Poznámka. • Pro výše uvedené situace používáme rˇcení "F se rovná G až na konstantu" (v prvním pˇrípadˇe), resp. "F se rovná G až na konstanty" (ve druhém pˇrípadˇe). V obou pˇrípadech píšeme c F (x) = G(x). R • Pro primitivní funkci k funkci f používáme cˇ asto symbol neurˇcitého integrálu f (x) dx, je-li tedy F (x) jedna z primitivních funkcí k funkci f (x) na I = (a, b), resp. na J = ∪kj=1 (aj , bj ), píšeme Z c f (x) dx = F (x) na I resp. J. Vˇeta 4.2. Necht’ f je spojitá funkce na otevˇreném neprázdném intervalu I. Pak f má na I primitivní funkci. Vˇeta 4.3. Necht’ f má na otevˇreném intervalu I primitivní funkci F , funkce g má na I primitivní funkci G a α, β ∈ R. Potom funkce αF + βG je primitivní funkcí k αf + βg na I. Tedy Z Z Z c αf (x)+βg(x) dx = α f (x) dx+β g(x) dx na I , pokud primitivní funkce vpravo existují. Vˇeta 4.4 (integrace per partes). Necht’ I je neprázdný otevˇrený interval a funkce f je spojitá na I. Necht’ F je primitivní funkce k f na I a G je primitivní funkce ke g na I. Pak platí Z Z g(x)F (x) dx = G(x)F (x) − G(x)f (x) dx na I. Vˇeta 4.5 (první vˇeta o substituci). Necht’ F je primitivní funkce k f na (a, b). Necht’ ϕ je funkce definovaná na (α, β) s hodnotami v intervalu (a, b), která má v každém bodˇe t ∈ (α, β) vlastní derivaci. Pak Z c f (ϕ(t))ϕ′ (t) dt = F (ϕ(t)) na (α, β). Vˇeta 4.6 (druhá vˇeta o substituci). Necht’ funkce ϕ má v každém bodˇe intervalu (α, β) nenulovou vlastní derivaci a ϕ((α, β)) = (a, b). Necht’ funkce f je definována na intervalu (a, b) a platí Z c f (ϕ(t))ϕ′ (t) dt = G(t) na (α, β). Pak

Z

c

f (x) dx = G(ϕ−1 (x))

na (a, b).

Poznámka: Lze ukázat, že pokud ϕ′ (t) 6= 0 pro všechna t ∈ (α, β), potom ϕ je ryze monotónní v (α, β).



4.2

32

Integrace racionálních funkcí

Definice. Racionální funkcí budeme rozumˇet podíl dvou polynom˚u, kde polynom ve jmenovateli není identicky roven nule. Vˇeta 4.7 (o rozkladu na parciální zlomky). Necht’ P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové, že (i) st P < st Q, (ii) Q(x) = an (x − x1 )p1 . . . (x − xk )pk (x2 + α1 x + β1 )q1 . . . (x2 + αl x + βl )ql , (iii) an , x1 , . . . xk , α1 , . . . , αl , β1 , . . . , βl ∈ R, an 6= 0, (iv) p1 , . . . , pk , q1 , . . . , ql ∈ N, (v) žádné dva z mnohoˇclen˚u x − x1 , x − x2 , . . . , x − xk , x2 + α1 x + β1 , . . . , x2 + αl x + βl nemají spoleˇcný koˇren, (vi) mnohoˇcleny x2 + α1 x + β1 , . . . , x2 + αl x + βl nemají reálný koˇren. Pak existují jednoznaˇcnˇe urˇcená cˇ ísla A11 , . . . , A1p1 , . . . , Ak1 , . . . , Akpk , B11 , C11 , . . . , Bq11 , Cq11 , . . . , B1l , C1l , . . . , Bql l , Cql l taková, že platí A1p1 Akpk A11 Ak1 P (x) = + · · · + + · · · + + · · · + + Q(x) (x − x1 )p1 x − x1 (x − xk )pk x − xk Bq11 x + Cq11 Bql l x + Cql l B1l x + C1l B 1 x + C11 + · · · + + · · · + + 2 1 + · · · + . (x + α1 x + β1 )q1 x2 + α1 x + β1 (x2 + αl x + βl )ql x2 + αl x + βl Poznámka. Bud’te a, b, c, A, B ∈ R, n ∈ N, n ≥ 2, potom platí tato pravidla (hodná zapamatování): R dx c = ln |x − a|, x ∈ (−∞, a) ∪ (a, +∞) • x−a •

R

c 1 dx (x−a)n = 1−n

•

R

c dx = 1b x2 +b2

•

R

c dx = 1b (x+a)2 +b2

·

1 , (x−a)n−1

x ∈ (−∞, a) ∪ (a, +∞)

arctg xb , pokud b 6= 0 arctg x+a b , pokud b 6= 0

• Pokud ax2 + bx + c nemá žádné reálné koˇreny, pak používáme rovnost R R R 2ax+b R Ax+B dx A A ln(ax2 +bx+c)+ B− Ab dx = 2a dx+ B− Ab = 2a 2a 2a ax2 +bx+c ax2 +bx+c ax2 +bx+c a ve jmenovateli posledního integrálu použijeme techniku doplnˇení na cˇ tverec.

4.3

Nˇekteré užiteˇcné substituce

Typ

R

R(sin t, cos t) dt

• vždy lze užít substituci tg 2t = x • je-li R(a, −b) = −R(a, b), lze užít substituci sin t = x • je-li R(−a, b) = −R(a, b), lze užít substituci cos t = x • je-li R(−a, −b) = R(a, b), lze užít substituci tg t = x


dx , ax2 +bx+c


Typ

R

at+b 1/q at+b 1/q R(t, ( ct+f ) ) dt q ∈ N, q > 1, a, b, c, f ∈ R, af 6= bc =⇒ substituce ( ct+f ) = x.

Typ

R

R(eat ) dt a ∈ R =⇒ substituce eat = x.

Typ

R

1 t R(ln t)

Typ

R

R(t,

√

33

dt =⇒ substituce ln t = x.

at2 + bt + c) dt, a 6= 0 √

√ at2 + bt + c = a|t − α|, pro a > 0 q √ t−α2 • at2 + bt + c má dva reálné koˇreny α1 < α2 : at2 + bt + c = |t − α1 | a t−α 1 • at2 + bt + c má dvojnásobný koˇren α ∈ R:

• at2 + bt + c nemá reálné koˇreny: pak a > 0, c > 0, a lze užít nˇekterou z Eulerových substitucí √ √ √ √ at2 + bt + c = tx + c nebo užít hyperbolických funkcí. at2 + bt + c = ± at + x nebo

Tabulka základních primitivních funkcí f

R

c f=

Pozn.

Kde

xn

xn+1 n+1

n ∈ Z, n 6= −1

x ∈ R pro n ≥ 0, x ∈ R \ {0} pro n < 0

xa

xa+1 a+1

a∈R\Z

x ∈ (0, +∞)

1 x

ln|x|

x ∈ R \ {0}

ex

ex

x∈R

ax

ax lna

sin x

− cos x

x∈R

cos x

sin x

x∈R

tg x

− ln | cos x|

x ∈ R \ { π2 + kπ, k ∈ Z}

cotg x

ln | sin x|

x ∈ R \ {kπ, k ∈ Z}

sinh x

cosh x

x∈R

cosh x

sinh x

x∈R

tgh x

ln(cosh x)

x∈R

cotgh x

ln | sinh x|

x ∈ R \ {0}

a > 0, a 6= 1


x∈R


Tabulka dalších primitivních funkcí R

f

c f=

Pozn.

Kde

1 cos2 x

tg x

x ∈ R \ { π2 + kπ, k ∈ Z}

1 sin2 x

−cotg x

x ∈ R \ {kπ, k ∈ Z}

arcsin x

x arcsin x +

arccos x

x arccos x −

√

1 − x2

√

x ∈ (−1, 1)

1 − x2

x ∈ (−1, 1)

arctg x

x arctg x − 12 ln(x2 + 1)

x∈R

arccotg x

x arccotg x + 12 ln(x2 + 1)

x∈R

√ 1 1−x2

arcsin x

x ∈ (−1, 1)

√ 1 1−x2

−arccos x

x ∈ (−1, 1)

1 1+x2

arctg x

x∈R

1 1+x2

−arccotg x

x∈R

√ 1 x2 +1

argsinh x

x∈R

√ 1 x2 −1

sign x · argcosh |x|

|x| > 1

1 1−x2

argtgh x

Def. obor!

−1 < x < 1

1 1−x2

argcotgh x

Def. obor!

|x| > 1

1+x ln 1−x

Def. obor!

x ∈ R \ {−1, 1}

1 1−x2

1 2


34

M. Rokyta, MFF UK: Apl. mat. I – kap. 5: Aplikace diferenciálního a integrálního poˇctu v 1D

35

5 Aplikace diferenciálního a integrálního poˇctu v jedné dimenzi 5.1

Funkce spojité na intervalu

Definice (funkce spojitá na intervalu - opakování). Necht’ J ⊂ R je nedegenerovaný interval (neboli obsahuje nekoneˇcnˇe mnoho bod˚u). Funkce f : J → R je spojitá na intervalu J, jestliže platí: • f je spojitá zprava v levém krajním bodˇe intervalu J, pokud tento bod patˇrí do J, • f je spojitá zleva v pravém krajním bodˇe intervalu J, pokud tento bod patˇrí do J, • f je spojitá v každém vnitˇrním bodˇe J. Vˇeta 5.1 (Bolzano). Necht’ funkce f spojitá na intervalu ha, bi a pˇredpokládejme, že f (a) < f (b). Potom pro každé C ∈ (f (a), f (b)) existuje ξ ∈ (a, b) takové, že platí f (ξ) = C. Vˇeta 5.2 (zobrazení intervalu spojitou funkcí). Necht’ J je nedegenerovaný interval. Necht’ funkce f : J → R je spojitá na J. Potom je f (J) interval (nebo bod). Vˇeta 5.3 (o inverzní funkci). Necht’ f spojitá a rostoucí (klesající) funkce na intervalu J. Potom funkce f −1 je spojitá a rostoucí (klesající) na intervalu f (J). Vˇeta 5.4. Necht’ f spojitá funkce na intervalu ha, bi. Potom je f na ha, bi omezená shora i zdola. ˇ Definice. Necht’ M ⊂ R, x ∈ M a funkce f je definována alespoˇn na M (M ⊂ D(f )). Rekneme, že f nabývá v bodˇe x maxima (resp. minima) na M , jestliže platí ∀y ∈ M : f (y) ≤ f (x)

(resp. ∀y ∈ M : f (y) ≥ f (x)).

Bod x pak nazýváme bodem maxima (resp. minima) funkce f na množinˇe M . Symbol maxM f (resp. minM f ) oznaˇcuje nejvˇetší (resp. nejmenší) hodnotu, které funkce f na množinˇe M nabývá (pokud taková hodnota existuje). Vˇeta 5.5. Necht’ f je spojitá funkce na intervalu ha, bi. Potom funkce f nabývá na ha, bi své nejvˇetší hodnoty (maxima) a své nejmenší hodnoty (minima), tj. existují body c, d ∈ ha, bi takové, že f (c) = maxha,bi f (x), f (d) = minha,bi f (x). ˇ Definice. Necht’ M ⊂ R, x ∈ M a funkce f je definována alespoˇn na M (tj. M ⊂ D(f )). Rekneme, že funkce f má v bodˇe x • lokální maximum vzhledem k M , jestliže existuje δ > 0 takové, že pro každé y ∈ P δ (x) ∩ M : f (y) ≤ f (x), • lokální minimum vzhledem k M , jestliže existuje δ > 0 takové, že pro každé y ∈ P δ (x) ∩ M : f (y) ≥ f (x). Vˇeta 5.6 (nutná podmínka lokálního extrému). Budiž a ∈ R bodem lokálního maxima nebo lokálního minima funkce f . Potom f ′ (a) neexistuje nebo je rovna nule.

5.2

Vˇety o stˇrední hodnotˇe

Vˇeta 5.7 (Rolleova). Necht’ funkce f má následující vlastnosti: (i) je spojitá na intervalu ha, bi, (ii) má derivaci (vlastní cˇ i nevlastní) v každém bodˇe otevˇreného intervalu (a, b),



36

(iii) platí, že f (a) = f (b). Potom existuje ξ ∈ (a, b) takové, že platí f ′ (ξ) = 0. Vˇeta 5.8 (Lagrangeova). Necht’ funkce f je spojitá na intervalu ha, bi a má derivaci (vlastní cˇ i nevlastní) v každém bodˇe intervalu (a, b). Potom existuje ξ ∈ (a, b) takové, že platí f (b) − f (a) . b−a

f ′ (ξ) =

Vˇeta 5.9 (Cauchyova). Necht’ funkce f , g jsou spojité na intervalu ha, bi a takové, že f má derivaci (vlastní cˇ i nevlastní) v každém bodˇe intervalu (a, b) a g má v každém bodˇe intervalu (a, b) vlastní a nenulovou derivaci. Potom existuje ξ ∈ (a, b) takové, že platí f (b) − f (a) f ′ (ξ) = . ′ g (ξ) g(b) − g(a) Poznámka: L’Hospitalovo pravidlo a vˇeta o jednostranné limitˇe derivací jsou (m.j.) d˚usledkem Cauchyovy vˇety o stˇrední hodnotˇe. Vˇeta 5.10 (vztah derivace a monotonie). Necht’ funkce f je spojitá a má derivaci na intervalu (a, b), a < b. (i) Je-li f ′ (x) > 0 pro všechna x ∈ (a, b), pak f je rostoucí na (a, b). (ii) Je-li f ′ (x) < 0 pro všechna x ∈ (a, b), pak f je klesající na (a, b). (iii) Je-li f ′ (x) ≥ 0 pro všechna x ∈ (a, b), pak f je neklesající na (a, b). (iv) Je-li f ′ (x) ≤ 0 pro všechna x ∈ (a, b), pak f je nerostoucí na (a, b). D˚usledek: Je-li f ′ (x) = 0 pro všechna x ∈ (a, b), pak f je konstantní na (a, b).

5.3

Tayloruv ˚ polynom

Definice. Necht’ f je funkce, a ∈ R a f (n) (a) ∈ R. Pak polynom Tnf,a (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) + · · · +

f (n) (a) (x − a)n n!

nazýváme Taylorovým polynomem rˇ ádu n funkce f v bodˇe a. ˇ Definice (symbol "malé o"). Necht’ f a g jsou funkce, a ∈ R⋆ . Rekneme, že funkce f je v bodˇe a malé o od g (píšeme f (x) = o(g(x)), x → a), jestliže platí lim

x→a

f (x) = 0. g(x)

Nˇekterá pravidla pro zacházení se symbolem "o": Pro jednoduchost: a = 0, g(x) = xn , n ∈ N0 := N ∪ {0}. o(xn ) n x→0 x

• lim

=0

• c · o(xn ) = o(xn )

c ∈ R, n ∈ N0 , x → 0,

o(xn ) ± o(xn ) = o(xn )

n ∈ N0 , x → 0,



• o(xn ) · o(xm ) = o(xn+m ) xm · o(xn ) = o(xn+m )

• o(o(xn )) = o(xn )

37

n, m ∈ N0 , x → 0, n, n ∈ N0 , x → 0,

n ∈ N0 , x → 0,

• !! o(xn ) = o(xm ), m ≤ n

n, m ∈ N0 , x → 0,

Pˇresnˇeji: f (x) = o(xn ) =⇒ f (x) = o(xm ), m ≤ n ("rovnost" zde není symetrická!)

Vˇeta 5.11 (Pean˚uv tvar zbytku). Necht’ a ∈ R, f (n) (a) ∈ R a Tnf,a je Taylor˚uv polynom rˇádu n funkce f v bodˇe a. Pak f (x) − Tnf,a (x) =0 lim x→a (x − a)n neboli f (x) = Tnf,a (x) + o((x − a)n ), x → a. Vˇeta 5.12 (Obecný tvar zbytku). Necht’ a, x ∈ R, a < x. Pˇredpokládejme, že

• f je funkce, která má v každém bodˇe intervalu ha, xi vlastní (n + 1)-ní derivaci,

• ϕ je spojitá funkce na ha, xi, která má v každém bodˇe intervalu (a, x) vlastní nenulovou derivaci.

Pak existuje ξ ∈ (a, x) takové, že

f (x) − Tnf,a (x) =

1 ϕ(x) − ϕ(a) (n+1) f (ξ)(x − ξ)n . n! ϕ′ (ξ)

Vˇeta 5.13 (Lagrange˚uv tvar zbytku). Necht’ a, x, f jsou jako ve Vˇetˇe 5.12. Pak existuje ξ ∈ (a, x) takové, že f (n+1) (ξ) f (x) − Tnf,a (x) = (x − a)n+1 . (n + 1)! Vˇeta 5.14 (Cauchy˚uv tvar zbytku). Necht’ a, x, f jsou jako ve Vˇetˇe 5.12. Pak existuje ξ ∈ (a, x) takové, že f (n+1) (ξ) (x − ξ)n (x − a). n! Definice. Necht’ f je funkce, a ∈ R a f (n) (a) ∈ R pro každé n ∈ N. Potom ˇradu f (x) − Tnf,a (x) =

∞ X f (n) (a)

n!

n=0

(x − a)n

nazýváme Taylorovou rˇ adou o stˇredu a. Ve speciálním pˇrípadˇe a = 0 mluvíme o Maclaurinovˇe rˇ adˇe.

x

∀x ∈ R : e = ∀x ∈ (−1, 1i : ln(1 + x) = ∀x ∈ R : sin x =

∞ X

n

(−1)

n=0

∀x ∈ R : cos x =

∞ X

n=0

x2n+1 (2n + 1)!

(−1)n

x2n (2n)!

, ,

∞ X xn

n=0 ∞ X

n!

(−1)n−1

n=1

∞ X x2n+1 sinh x = (2n + 1)!

cosh x =

n=0 ∞ X

n=0

x2n (2n)!

∞ X α n α x ∀x ∈ (−1, 1), α ∈ R : (1 + x) = n n=0


xn n


5.4

38

Konvexní a konkávní funkce

Definice. Necht’ f má vlastní derivaci v bodˇe a ∈ R. Oznaˇcme

Ta = {[x, y] ∈ R2 ; y = f (a) + f ′ (a)(x − a)}.

ˇ Rekneme, že bod [x, f (x)] leží pod teˇcnou Ta , jestliže

f (x) < f (a) + f ′ (a) · (x − a). Platí-li opaˇcná nerovnost, ˇrekneme, že bod [x, f (x)] leží nad teˇcnou Ta . ˇ Definice. Necht’ f ′ (a) ∈ R. Rekneme, že a je inflexním bodem funkce f , jestliže existuje δ > 0 takové, že platí (i) ∀x ∈ (a − δ, a) : [x, f (x)] leží pod teˇcnou Ta , (ii) ∀x ∈ (a, a + δ) : [x, f (x)] leží nad teˇcnou Ta nebo (i) ∀x ∈ (a − δ, a) : [x, f (x)] leží nad teˇcnou Ta , (ii) ∀x ∈ (a, a + δ) : [x, f (x)] leží pod teˇcnou Ta .

Vˇeta 5.15 (nutná podmínka pro inflexi). Necht’ a ∈ R je inflexní bod funkce f . Potom f ′′ (a) neexistuje nebo je rovna nule. Vˇeta 5.16 (postaˇcující podmínka pro inflexi). Necht’ funkce f má spojitou první derivaci na intervalu (a, b) a z ∈ (a, b). Necht’ platí: • ∀x ∈ (a, z) : f ′′ (x) > 0, • ∀x ∈ (z, b) : f ′′ (x) < 0.

Potom z je inflexním bodem funkce f . ˇ Definice. Rekneme, že funkce f : I → R je konvexní na intervalu I, jestliže ∀x1 , x2 ∈ I ∀λ ∈ h0, 1i :

f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ).

ˇ Rekneme, že funkce f : I → R je ryze konvexní na intervalu I, jestliže ∀x1 , x2 ∈ I, x1 6= x2 ∀λ ∈ (0, 1) :

f (λx1 + (1 − λ)x2 ) < λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ).

Lemma 5.17. Funkce f je na intervalu I konvexní, právˇe když ∀x1 , x2 , x3 ∈ I, x1 < x2 < x3 :

f (x3 ) − f (x2 ) f (x2 ) − f (x1 ) ≤ . x2 − x1 x3 − x2

Vˇeta 5.18. Necht’ f : (a, b) → R, a < b, a necht’ f ′ je spojitá na (a, b).

(i) Jestliže f ′′ (x) > 0 pro každé x ∈ (a, b), pak f je ryze konvexní na (a, b). (ii) Jestliže f ′′ (x) < 0 pro každé x ∈ (a, b), pak f je ryze konkávní na (a, b). (iii) Jestliže f ′′ (x) ≥ 0 pro každé x ∈ (a, b), pak f je konvexní na (a, b). (iv) Jestliže f ′′ (x) ≤ 0 pro každé x ∈ (a, b), pak f je konkávní na (a, b). http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/


5.5

39

Prubˇ ˚ eh funkce

Vˇeta 5.19. Necht’ f ′ (a) = 0, f ′′ (a) > 0 (resp. f ′′ (a) < 0). Potom f má v a lokální minimum (resp. lokální maximum). ˇ Definice. Rekneme, že funkce x 7→ ax+b, a, b ∈ R, je asymptotou funkce f v +∞ (resp. v −∞), jestliže lim (f (x) − ax − b) = 0,

x→+∞

(resp.

lim (f (x) − ax − b) = 0).

x→−∞

Vˇeta 5.20. Funkce f má v +∞ asymptotu x 7→ ax + b, a, b ∈ R, právˇe když lim

x→+∞

f (x) = a ∈ R, x

lim (f (x) − ax) = b ∈ R.

x→+∞

Vyšetˇrení prubˇ ˚ ehu funkce 1. Urˇcíme definiˇcní obor a obor spojitosti funkce. 2. Zjistíme symetrie funkce: lichost, sudost, periodicita. 3. Dopoˇcítáme limity v "krajních bodech definiˇcního oboru". 4. Spoˇcteme první derivaci, urˇcíme intervaly monotonie a nalezneme lokální a globální extrémy. Urˇcíme obor hodnot. 5. Spoˇcteme druhou derivaci a urˇcíme intervaly, kde funkce f je konvexní nebo konkávní. Urˇcíme inflexní body. 6. Vypoˇcteme asymptoty funkce. 7. Naˇcrtneme graf funkce.

5.6

Základní typy obyˇcejných diferenciálních rovnic

Motivace: volný pád bez odporu vzduchu: ma = mg v′ = g Volný pád s odporem vzduchu, který závisí lineárnˇe na rychlosti: mv ′ = mg − bv Obyˇcejné diferenciální rovnice (ODR): rovnice pro neznámou funkci jedné promˇenné (zde v = v(t)), ve které se vyskytují derivace hledané funkce. Definice. (Obyˇcejnou) diferenciální rovnicí (ODR) pro funkci y = y(x) rozumíme rovnici tvaru F (y (n) , y (n−1) , . . . , y ′′ , y ′ , y, x) = 0,

(1)

ˇ kde F je reálná funkce n + 2 promˇenných. Rádem ODR (1) nazveme ˇrád nejvyšší derivace funkce y, která se v rovnici (1) vyskytuje.



40

Definice. ˇ • Rešením diferenciální rovnice (1) rozumíme funkci y definovanou na nˇejakém neprázdném otevˇreném intervalu I, která má v každém bodˇe intervalu I vlastní n-tou derivaci a jejíž hodnoty spolu s hodnotami derivací splˇnují rovnici (1) v každém bodˇe intervalu I, tj. pro každé x ∈ I platí F (y (n) (x), y (n−1) (x), . . . , y ′′ (x), y ′ (x), y(x), x) = 0. ˇ • Rešení y diferenciální rovnice (1) je maximální, pokud neexistuje takové ˇrešení z, pro které D(y) $ D(z) a které se na D(y) shoduje s y. Definice. Rovnice se separovanými promˇennými je rovnice tvaru y ′ = g(y) · h(x).

(2)

Návod k rˇ ešení: • Pokud g(c) = 0, je funkce y(x) = c ˇrešením rovnice. • Na intervalech, kde g(y) 6= 0 uvažte

y′ g(y)

= h(x) s následným

R

dy g(y)

=

R

h(x) dx.

• Nutná je diskuse o možnostech navazování ˇrešení pˇredchozích dvou typ˚u! Definice. Lineární ODR prvního rˇ ádu je rovnice tvaru y ′ + p(x)y = q(x),

(3)

kde p, q jsou spojité funkce na daném intervalu (a, b), a, b ∈ R∗ , a < b Návod k rˇ ešení: • Násobte rovnici výrazem eP (x) , kde P je primitivní funkce k p na (a, b). • Upravte na levé stranˇe do tvaru derivace souˇcinu. • Integrujte. Definice. Lineární diferenciální rovnice druhého rˇ ádu s konstantními koeficienty je rovnice tvaru Ay ′′ + By ′ + Cy = f (x),

(4)

kde A, B, C ∈ R, A 6= 0, a funkce f (x) je spojitá na intervalu (a, b). Pokud je f identicky nulová na (a, b), nazýváme rovnici (4) homogenní. Pˇrípad I: f ≡ 0, rovnice: Ay ′′ + By ′ + Cy = 0, obecné ˇrešení yh Pokud charakteristická rovnice Aλ2 + Bλ + C = 0 má: 1. dva r˚uzné reálné koˇreny λ1 6= λ2 : yh (x) = c1 eλ1 x + c2 eλ2 x 2. jeden dvojnásobný reálný koˇren λ: yh (x) = c1 eλx + c2 xeλx



41

3. dva komplexnˇe sdružené koˇreny α ± iβ, β 6= 0: yh (x) = eαx (c1 cos βx + c2 sin βx) Pˇrípad II: f 6≡ 0, rovnice: Ay ′′ + By ′ + Cy = f (x) Pro ˇrešení y(x) platí: y(x) = yh (x) + yp (x), kde yh (x) je obecné ˇrešení homogenní rovnice (viz pˇredchozí pˇrípad) a yp (x) je jedno (jakékoliv), tzv. partikulární ˇrešení rovnice Ay ′′ + By ′ + Cy = f (x). Nˇekterá partikulární ˇrešení lze "uhodnout" podle tvaru pravé strany. • Je-li f (x) = P (x)eαx , kde α ∈ R a P je polynom, potom existuje polynom Q, st Q = st P , že 1. α 6= λ1 , α 6= λ2 =⇒ yp (x) = Q(x)eαx ,

2. α 6= λ1 , α = λ2 =⇒ yp (x) = xQ(x)eαx ,

3. α = λ1 = λ2 =⇒ yp (x) = x2 Q(x)eαx .

• Je-li f (x) = eαx (P (x) cos βx + R(x) sin βx), (P , R polynomy), existují polynomy Q, S, stupnˇe nejvýše max(st P, st R), takové, že 1. α + iβ 6= λ1 , α + iβ 6= λ2 =⇒ yp (x) = eαx (Q(x) cos βx + S(x) sin βx),

2. α + iβ = λ1 , α + iβ 6= λ2 =⇒ yp (x) = xeαx (Q(x) cos βx + S(x) sin βx), Více se dozvíme ve speciální kapitole cˇ . 16 (vˇenované ODR a systém˚um ODR), v pˇrednášce Aplikovaná matematika III, NMAF073.


M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 6: Urˇcitý integrál a jeho výpoˇcet, aplikace

42

6 Urˇcitý integrál a jeho výpoˇcet, aplikace 6.1

Newtonuv ˚ integrál

ˇ Definice. Rekneme, že Newtonuv ˚ integrál funkce f na intervalu (a, b), a < b, a, b ∈ R⋆ , existuje, jestliže f má na (a, b) primitivní funkci (oznaˇcme ji F ), limity limx→a+ F (x), limx→b− F (x) existují a jejich rozdíl je definován. Hodnotou Newtonova integrálu funkce f pˇres interval (a, b) pak rozumíme cˇ íslo Z b (N ) f (t) dt = lim F (x) − lim F (x). x→a+

x→b−

a

Rb Pokud (N ) a f (t) dt existuje vlastní, pak ˇríkáme, že integrál je konvergentní. Není-li integrál konvergentní, ˇríkáme, že je divergentní. Oznaˇcení. • Množinu všech funkcí f : (a, b) → R, které mají konvergentní Newton˚uv integrál od a do b, znaˇcíme N (a, b). • Je-li f ∈ N (a, b) a F je primitivní k f na (a, b), oznaˇcujeme (je-li výraz vpravo definován) [F ]ba := lim F (x) − lim F (x). x→a+

x→b−

• Tam, kde nehrozí nedorozumˇení, vynecháváme nˇekdy pro úsporu cˇ asu oznaˇcení promˇenné: Z b Z b f. f (t) dt ≡ a

a

Vˇeta 6.1 (vlastnosti Newtonova integrálu). (a) Necht’ f, g ∈ N (a, b) a α ∈ R. Potom f + g ∈ N (a, b), αf ∈ N (a, b) a platí Z b Z b Z b Z b Z b f. αf = α g, f+ (f + g) = (b) Necht’ f, g ∈ N (a, b) a f ≤ g. Pak

Rb a

a

a

a

a

f≤

Rb a

a

g.

(c) Necht’ −∞ ≤ a < b < c ≤ +∞ a f ∈ N (a, c). Potom f ∈ N (a, b), f ∈ N (b, c) a platí Rc Rb Rc a f = a f + b f. (d) Necht’ −∞ ≤ a < b < c ≤ +∞, f ∈ N (a, b), f ∈ N (b, c) a f je spojitá v b. Potom f ∈ N (a, c). Vˇeta 6.2. Necht’ funkce F je primitivní k f na (a, b), G je primitivní ke g na (a, b). Potom Z b Z b b Gf, gF = [GF ]a − a

a

pokud je pravá strana definována. Vˇeta 6.3 (substituce pro urˇcitý integrál). Necht’ ω : (α, β) → (a, b) splˇnuje ω((α, β)) = (a, b) a ω má vlastní nenulovou derivaci na (α, β). Potom Z

b

f (x) dx =

a

pokud alespoˇn jeden z integrál˚u existuje.


Z

ω −1 (b) ω −1 (a)

(f ◦ ω)(t) ω ′ (t) dt,


43

Vˇeta 6.4 (první vˇeta o stˇrední hodnotˇe). Necht’ a, b ∈ R, a < b, f : ha, bi → R je spojitá, g : ha, bi → R je nezáporná, g ∈ N (a, b) a f g ∈ N (a, b). Potom existuje ξ ∈ ha, bi takové, že Z

b

f g = f (ξ)

a

Z

b

g. a

Vˇeta 6.5 (druhá vˇeta o stˇrední hodnotˇe). Necht’ a, b ∈ R, a < b, f : ha, bi → R je spojitá, g : ha, bi → R je monotónní a spojitá na ha, bi. Potom existuje ξ ∈ ha, bi takové, že Z

b

f g = g(a)

a

6.2

Z

ξ

f + g(b) a

Z

b

f. ξ

Riemannuv ˚ integrál - poznámky Rπ 0

sin x dx = 2

1.92

n X j=1

|

2.08

n X

min f (x) · (xj − xj−1 )

hxj−1 ,xj i

{z

|

}

=s(f,Dn )

Pro jakékoliv ξj ∈ hxj−1 , xj i máme s(f, Dn ) ≤

j=1

n P

j=1

max f (x) · (xj − xj−1 )

hxj−1 ,xj i

{z

=S(f,Dn )

}

f (ξj ) · (xj − xj−1 ) ≤ S(f, Dn ).

Bud’ F ∈ C(ha, bi) primitivní k f na (a, b). Potom (podle Lagrangeovy vˇety) existuje ξj ∈ (xj−1 , xj ) takové, že F (xj ) − F (xj−1 ) = F ′ (ξj ) · (xj − xj−1 ) = f (ξj ) · (xj − xj−1 ) n n P P f (ξj ) · (xj − xj−1 ) F (xj ) − F (xj−1 ) = j=1

j=1

F (b) − F (a) =

n P

j=1

f (ξj ) · (xj − xj−1 )

s(f, Dn ) ≤ F (b) − F (a) ≤ S(f, Dn ).

6.3

Aplikace urˇcitého integrálu

Definice. Kˇrivkou budeme rozumˇet zobrazení ϕ : ha, bi → Rn (n ∈ N, a, b ∈ R, a < b) takové, že ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕn ) je tˇrídy C 1 , tj. ϕ′i je spojité na ha, bi, i = 1, . . . , n, pˇriˇcemž v krajních bodech ha, bi symbol ϕ′i (x) znaˇcí pˇríslušnou jednostrannou derivaci. Geometrickým obrazem kˇrivky ϕ rozumíme množinu hϕi = ϕ(ha, bi) ⊂ Rn .



44

Definice. Necht’ ϕ : ha, bi → Rn je kˇrivka. Délkou kˇrivky ϕ rozumíme hodnotu L(ϕ) = sup{L(ϕ, D); D je dˇelení intervalu ha, bi}, kde pro dˇelení D = {xj }kj=0 intervalu ha, bi definujeme L(ϕ, D) =

k X

vzdálenost (ϕ(xj−1 ), ϕ(xj )).

j=1

Vˇeta 6.6 (délka kˇrivky). Necht’ ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕn ) : ha, bi → Rn je kˇrivka. Potom platí Z bq L(ϕ) = (ϕ′1 )2 + · · · + (ϕ′n )2 . a

Je-li kˇrivka zadána jako graf funkce y = f (x), x ∈ ha, bi, f ∈ C 1 (ha, bi), pak Z bp 1 + (f ′ (x))2 dx. L(ϕ) = a

Je-li kˇrivka zadána v polárních souˇradnicích funkcí r = r(ϕ), ϕ ∈ hα, βi, r ∈ C 1 (hα, βi), pak Z βp L(ϕ) = (r(ϕ))2 + (r′ (ϕ))2 dϕ. α

Vˇeta 6.7 (plošný obsah rovinných množin). Necht’ f je spojitá a nezáporná na intervalu ha, bi, a, b ∈ R, a < b. Oznaˇcme P = {[x, y] ∈ R2 ; x ∈ ha, bi, 0 ≤ y ≤ f (x)}. Pak Z

Plocha (P ) =

b

f (x) dx. a

Je-li množina M vymezena v polárních souˇradnicích polopˇrímkami ϕ = α, ϕ = β a kˇrivkou r = r(ϕ), ϕ ∈ hα, βi, r ∈ C(hα, βi), pak Z 1 β 2 r (ϕ)dϕ. Plocha (M ) = 2 α Vˇeta 6.8 (objem a povrch rotaˇcního tˇelesa). Necht’ f je spojitá a nezáporná na intervalu ha, bi, a, b ∈ R, a < b. Oznaˇcme p T = {[x, y, z] ∈ R3 ; x ∈ ha, bi, y 2 + z 2 ≤ f (x)}. Pak Objem (T ) = π

Z

b

f (x)2 dx.

a

Je-li navíc

f′

spojitá na ha, bi, pak Povrch pláštˇe (T ) = 2π


Z

b a

p f (x) 1 + (f ′ (x))2 dx.

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 7: Lineární vektorové prostory

45

7 Lineární vektorové prostory 7.1

Definice a pˇríklady

Definice. Množina G se nazývá grupou, jestliže • v G je definována (binární) operace "◦ : G × G → G", tj. ke každým dvˇema prvk˚um x, y ∈ G je pˇriˇrazen právˇe jeden prvek x ◦ y ∈ G, pˇriˇcemž platí: • (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z)

. . . asociativnost

• v G existuje neutrální prvek, tj. ∃e ∈ G, x ◦ e = e ◦ x = x pro každé x ∈ G; • ke každému x ∈ G existuje inverzní prvek x−1 ∈ G takový, že x ◦ x−1 = x−1 ◦ x = e. Dodatek: pokud navíc pro všechna x, y ∈ G platí x◦y = y◦x (komutativita), nazýváme G komutativní (nebo též Abelovou) grupou. Definice. Množina V se nazývá reálným, resp. komplexním lineárním vektorovým prostorem (LVP), pokud • V je komutativní grupou vzhledem k operaci "sˇcítání prvk˚u ve V "; • ve V je navíc definováno násobení "·" reálným resp. komplexním cˇ íslem, splˇnující: • 1·x=x • α · (β · x) = (αβ) · x

. . . asociativnost;

• (α + β) · x = α · x + β · x α · (x + y) = α · x + α · y . . . distributivnost pro všechna reálná (resp. komplexní) cˇ ísla α, β a libovolné x, y ∈ V .

7.2

Lineární závislost a nezávislost vektoru˚

Úmluva: prvky lineárního (vektorového) prostoru budeme nazývat vektory, prvky (reálná nebo komplexní cˇ ísla), kterými násobíme vektory, budeme nazývat skaláry. P Definice. Necht’ x1 , . . . , xn ∈ V jsou vektory a c1 , . . . , cn skaláry. Potom vektor nj=1 cj xj nazýváme lineární kombinací prvku˚ x1 , . . . , xn s koeficienty c1 , . . . , cn . Pokud je c1 = · · · = cn = 0, nazýváme tuto kombinaci triviální lineární kombinací. ˇ Definice. Rekneme, že vektory x1 , . . . , xn ∈ V jsou lineárnˇe závislé, pokud existuje netriviální lineární kombinace tˇechto vektor˚u, která je rovna nule. Pokud taková netriviální lineární kombinace neexistuje, tj. pokud platí Pn =⇒ c1 = · · · = cn = 0, j=1 cj xj = 0 ˇríkáme, že vektory x1 , . . . , xn ∈ V jsou lineárnˇe nezávislé. ˇ Definice. Bud’ M ⊂ V libovolná podmnožina LVP. Rekneme, že M je lineárnˇe nezávislá, pokud je každá její koneˇcná podmnožina lineárnˇe nezávislá. Tvrzení 7.1. Vektory x1 , . . . , xn ∈ V jsou lineárnˇe závislé právˇe tehdy, je-li jeden z nich lineární kombinací zbylých vektor˚u. Vˇeta 7.2 (Steinitzova). Necht’ pro vektory x1 , . . . , xn ∈ V , y1 , . . . , ym ∈ V platí: • pro všechna k = 1, 2, . . . , m je vektor yk (nˇejakou) lineární kombinací vektor˚u x1 , . . . , xn , http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/


46

• y1 , . . . , ym jsou lineárnˇe nezávislé. Potom m ≤ n. Jinak rˇ eˇceno: v množinˇe všech lineárních kombinací daných n vektor˚u existuje nejvýše n lineárnˇe nezávislých vektor˚u. Ještˇe jinak rˇ eˇceno: vytvoˇríme-li z n vektor˚u lineárními kombinacemi k vektor˚u, a pˇritom k > n, tak tˇechto k vektor˚u už je lineárnˇe závislých.

7.3

Podprostory, lineární obal, báze

Definice. Necht’ V je lineární vektorový prostor. Množinu P ⊂ V nazýváme podprostorem prostoru V , pokud • pro každé x, y ∈ P je x + y ∈ P , • pro každé x ∈ P a pro každý skalár α je α · x ∈ P . Pozorování: • Každý podprostor LVP je sám LVP. • Pr˚unik libovolných podprostor˚u je opˇet podprostor; sjednocení dvou podprostor˚u je podprostor jen tehdy, je-li jeden z nich podmnožinou druhého. Definice (Lineární obal). Bud’ M ⊂ V libovolná podmnožina LVP. Lineárním obalem množiny M (znaˇcíme L(M )) nazveme množinu všech koneˇcných lineárních kombinací prvk˚u z M , L(M ) = {x ∈ V, ∃n ∈ N, ∃x1 , . . . , xn ∈ M, n X ∃c1 , . . . , cn skaláry , x = cj xj } . j=1

Pˇríklad: L({0}) = {0}, L(V ) = V . Vˇeta 7.3. Bud’ M ⊂ V libovolná podmnožina LVP. Potom L(M ) je podprostorem ve V . Poznámky: • L(M ) je nejmenší podprostor, obsahující M ; • L(M ) se nezmˇení, pokud z M vynecháme prvek, který je lineární kombinací ostatních prvk˚u z M ; nebo pokud k M pˇridáme prvek, který je lineární kombinací ostatních prvk˚u z M ; • Bud’ M = {x1 , . . . , xn }, Je-li k > n, potom každých k vektor˚u z L(M ) je lineárnˇe závislých (viz "Steinitz"). Definice. Bud’ V neprázdný LVP. ˇ • Rekneme, že M ⊂ V generuje V (je generátorem prostoru V ), pokud L(M ) = V . ˇ • Rekneme, že V je koneˇcnˇe generovaný, pokud existuje množina o koneˇcném poˇctu prvk˚u, která jej generuje. V opaˇcném pˇrípadˇe ˇríkáme, že V je nekoneˇcnˇe generovaný. Definice (Báze). Podmnožina M ⊂ V se nazývá bází prostoru V , pokud • M je lineárnˇe nezávislá;



47

• M generuje V . Vˇeta 7.4. Každý LVP má bázi. Poznámka: Báze V není urˇcena jednoznaˇcnˇe, ale platí: pokud ve V existuje n-prvková báze (n ∈ N), pak každá báze V má n prvk˚u (plyne ze Steinitzovy vˇety). ˇ Definice (Dimenze). • Rekneme, že prostor V má dimenzi n ∈ N, a píšeme dim V = n, pokud v nˇem existuje báze, složena z n prvk˚u. • Nulovému prostoru V = {0} pˇripisujeme dimenzi 0. ˇ • Rekneme, že V je koneˇcnˇe dimenzionální, pokud dim V ∈ N ∪ {0}. • Není-li V koneˇcnˇe dimenzionální, ˇríkáme, že je nekoneˇcnˇe dimenzionální, a píšeme dim V = ∞. Poznámky: • Je-li dim V = n ∈ N, pak každá lineárnˇe nezávislá n-prvková množina je báze. • Je-li dim V = ∞, pak pro každou n-prvkovou množinu M (n ∈ N) platí L(M ) ( V . Vˇeta 7.5 (O zámˇenˇe). Necht’ dim V = n, {x1 , . . . , xn } je báze ve V . Necht’ P ⊂ V je podprostor V , dim P = k, k < n, {y1 , . . . , yk } je báze v P . Potom existují indexy j1 , . . . jn−k takové, že množina {y1 , . . . , yk , xj1 , . . . , xjn−k } tvoˇrí bázi ve V . D˚usledek: doplnˇení báze podprostoru na bázi celého prostoru. Vˇeta 7.6 (O souˇradnicích). Necht’ dim V = n, {x1 , . . . , xn } je báze ve V s reálnými (resp. komplexními skaláry). Potom pro každý x ∈ V existuje jednoznaˇcnˇe urˇcená n-tice skalár˚u c1 , . . . , cn taková, že x=

n X

cj xj .

j=1

ˇ Definice. Císla c1 , . . . , cn z pˇredchozí vˇety se nazývají souˇradnice vektoru x v bázi {x1 , . . . , xn }.

7.4

Lineární zobrazení

ˇ Definice. Necht’ V a W jsou LVP. Rekneme, že zobrazení ϕ : V → W je lineární, pokud • D(ϕ) = W ; • ϕ(cx + dy) = cϕ(x) + dϕ(y) pro všechny vektory x, y ∈ V a všechny skaláry c, d; Tvrzení 7.7. Je-li ϕ : V → W lineární zobrazení mezi dvˇema LVP, platí ϕ(0) = 0 ,

ϕ

X n

cj xj

j=1

=

n X

cj ϕ(xj ) ,

j=1

pro všechny vektory xj , a všechny skaláry cj , j = 1, . . . , n. Definice. Bud’ ϕ : V → W lineární zobrazení mezi dvˇema LVP. • Množinu R(ϕ) := {y ∈ W, ∃x ∈ V, ϕ(x) = y} nazýváme oborem hodnot zobrazení ϕ. • Množinu N (ϕ) := {x ∈ V, ϕ(x) = 0} nazýváme jádrem zobrazení ϕ.



48

Poznámky: • Jiné termíny a znaˇcení: Obor hodnot ≡ Range; jádro: N (ϕ) = Ker(ϕ).

• Je-li ϕ : V → W lineární zobrazení, je R(ϕ) podprostorem ve W a N (ϕ) podprostorem ve V . Vˇeta 7.8. Bud’ ϕ : V → W lineární zobrazení mezi dvˇema LVP. • Je-li ϕ prosté zobrazení, je ϕ−1 lineární a prosté zobrazení z R(ϕ) do V . • Zobrazení ϕ je prosté právˇe tehdy, když platí ϕ(x) = 0 =⇒ x = 0. (Poznámka: implikace x = 0 =⇒ ϕ(x) = 0 platí vždy.)

• Je-li ϕ prosté zobrazení, pak platí {x1 , . . . xk } LN ve V ⇐⇒ {ϕ(x1 ), . . . ϕ(xk )} LN ve W a {x1 , . . . xk } LZ ve V ⇐⇒ {ϕ(x1 ), . . . ϕ(xk )} LZ ve W . Vˇeta 7.9. Bud’ ϕ : V → W lineární zobrazení mezi dvˇema LVP, pˇriˇcemž dim V je koneˇcná. Potom platí dim N (ϕ) + dim R(ϕ) = dim V . Vˇeta 7.10. Bud’ ϕ : V → W lineární zobrazení mezi dvˇema LVP, pˇriˇcemž dim V = dim W je koneˇcná. Potom platí ϕ je prosté na V ⇐⇒ ϕ zobrazuje V na W . D˚usledek: Vˇeta 7.11 (Fredholmova alternativa). Bud’ ϕ : V → W lineární zobrazení mezi dvˇema LVP, pˇriˇcemž dim V = dim W je koneˇcná. Potom ∀y ∈ W ∃!x ∈ V

ϕ(x) = y

právˇe tehdy, když ϕ(x) = 0 =⇒ x = 0 .


14

Recommend Documents