Komplex számok Wettl Ferenc
2012-09-07
Wettl Ferenc ()
Komplex számok
2012-09-07
1 / 14
Tartalom
1
Számok A számfogalom b®vülése Egy kis történelem
2
Miért számolunk velük? A megoldóképlet egy speciális esetre Alkalmazások
3
Számolás komplex számokkal Komplex számok Komplex szám konjugáltja M¶veletek komplex számokkal M¶veleti tulajdonságok Az algebra alaptétele Binomiális tétel Összefoglalás
Wettl Ferenc ()
Komplex számok
2012-09-07
2 / 14
Számok
A számfogalom b®vülése
pozitív egészek összeadás, szorzás
a+x =b
megoldhatósága
ax = b
megoldhatósága
x2
megoldása
=2
→
→
→
negatív számok és 0
racionális számok
vannak nem racionális számok is
sorozatok határértékének fogalma racionális + irracionális számok és mi van az
x 2 = −1
→
→
irracionális számok
valós számok
egyenlet megoldhatóságával? Szükség van
további b®vítésre?
Wettl Ferenc ()
Komplex számok
2012-09-07
3 / 14
Számok
Egy kis történelem
Girolamo Cardano (15011576) orvos, lozófus, matematikus 1538 körül értesül arról, hogy Scipione del Ferro és Niccolò Tartaglia egymástól függetlenül felfedezték az
x 3 + px = q
alakú harmadfokú
egyenlet megoldását 1545-ben megírja Ars magna sive de regulis algebraicis cím¶ m¶vét, benne a megoldóképlettel 1552-t®l kezd®d®en Európa egyik leghíresebb orvosa a 60-as évek elején elveszti két át (gyilkosságért halál, rablásért szám¶zetés) 1570-ben Bolognában bebörtönzik, szabadulása után Rómába költözik Scipione del Ferro (14651526) felfedezi a harmadfokú egyenlet megoldásának módját titokban tartja (kivétel Nave, Fiore) Niccolò Fontana (1500?1557) gúnynevén Tartaglia (dadogó) (1511 Brescia, francia dúlás) 1535: Fiore kihívja Tartagliát egy 15 napos versenyre (30 feladat, a vesztes a gy®ztest és 29 barátját megvendégeli) felkészüléskor Tartaglia rájön a nehezebb típusú harmadfokú egyenletek megoldásának módjára
Wettl Ferenc ()
Komplex számok
2012-09-07
4 / 14
Számok
Egy kis történelem
Cardano (kilátásba helyezve Tartaglia tüzérségi találmányainak pártfogót keres, titoktartás igérete mellett megszerzi a titkot) amikor Navétól megtudja, hogy del Ferro is ismerte e képleteket, felmentve érzi magát, és publikálja (a negyedfokú esetre is továbbfejlesztve az eredményt) Tartaglia leírta megcsalatásának történetét Milánóban Ferrari (Cardano tanítványa) vitára hívja Tartagliát, aki a vitát elveszti, ennek következtében lehet®ségeit (nyilvános el®adások) elveszíti
Wettl Ferenc ()
Komplex számok
2012-09-07
5 / 14
Miért számolunk velük?
3 Oldjuk meg az x
= bx + c
A megoldóképlet egy speciális esetre
egyenletet!
A Tartaglia által talált képlet:
v v u ! u u u c 2 u 3 c x = t +t − 2
Oldjuk meg a
x=
= =
2
x 3 = 7x + 6
v u u 3 6 t 2 1 3 1 3
6
2
q 3
3
2
+ 30
2
√
+
v u u 3 6 t
81
− 30
3 −
7 3
1
2
s 2
3
1 3
9/2
6
−
q
−3 + 3 √ 9/2 + 1/2 −3 + 81
v v u ! u u u c 2 u 3 c +t −t −
b
!3
3
egyenletet!
s 2 +
b
!3
√
2
3 −
7
3
−3
− 1/2
√
−3
=3 Wettl Ferenc ()
Komplex számok
2012-09-07
6 / 14
Miért számolunk velük?
Alkalmazások
hidrodinamika, áramlások vizsgálata, Zsukov-féle szárnypro l elektromosságtan, jelfeldolgozás, villamosmérnöki tudományok lineáris rendszerek, lineáris dierenciálegyenletek megoldása relativitáselmélet, kvantummechanika fraktálok (Julia- és Mandelbrot-halmazok) ... Egy Julia és egy Mandelbrot halmaz:
Wettl Ferenc ()
Komplex számok
2012-09-07
7 / 14
Számolás komplex számokkal
Komplex számok
Jelölés
i=
√
−1
De níció Az
i
a + bi , a, b ∈ R
az a szám, melyre
alakú kifejezéseket komplex számoknak nevezzük, ahol
i 2 = −1.
Egy komplex szám több alakba is felírható,
ezt az alakot algebrai alaknak nevezzük. Az imaginárius, jelölése:
a = Im z , b = Re z .
a
szám a
z
valós része, a
b
A komplex számok halmazát
az
C
jelöli. Komplex számok ábrázolása, komplex számsík, komplex számgömb. De níció
(a, b) vektor x -tengellyel bezárt szöge legyen ϕ, hossza r . Ekkor a z = a + ib komplex szám felírható r (cos ϕ + i sin ϕ) alakban is, hisz a = r cos ϕ, és b = r sin ϕ. Ezt az alakot trigonometriai alaknak, az r
Az
nemnegatív valóst a komplex szám abszolút értékének, argumentumának nevezzük: Wettl Ferenc ()
ϕ-t
r = |z |, ϕ = arg z . Komplex számok
2012-09-07
8 / 14
Számolás komplex számokkal
Komplex szám konjugáltja
De níció (konjugált)
z¯ = a − ib ,
ahol
z = a + ib
z z¯ = (√ a + ib )(a − √ ib ) = a2 + b 2 = |z |2 , |z | = a2 + b2 = z z¯
Wettl Ferenc ()
innen
Komplex számok
2012-09-07
9 / 14
Számolás komplex számokkal
M¶veletek komplex számokkal
z1 = a1 + b1 i = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), z2 = a2 + b2 i = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) algebrai alakban: összeadás, kivonás, szorzás algebrai kifejezésként az
i 2 = −1
helyettesítést használva; osztás a nevez® konjugáltjával való
b®vítéssel.
z1 ± z2 = (a1 ± a2 ) + (b1 ± b2 )i , z1 z2 = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 )i , (a1 + b1 i )(a2 − b2 i ) z1 a1 + b1 i = = = (a2 + b2 i )(a2 − b2 i ) z2 a2 + b2 i (a1 a2 + b1 b2 ) + (a2 b1 − a1 b2 )i , a22 + b22 trigonometriai alakban:
z1 z2 = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )) z1 r1 z2 = r2 (cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )) n z = r n (cos nϕ + i sin nϕ) p √ ϕ + 2k π ϕ + 2k π n n r (cos ϕ + i sin ϕ) = r cos + i sin , n n k = 0, 1, . . . n − 1. Wettl Ferenc ()
Komplex számok
ahol
2012-09-07
10 / 14
Számolás komplex számokkal
M¶veleti tulajdonságok
Tétel (Konjugált tulajdonságai) 1
z1 ± z2 = z¯1 ± z¯2
2
z1 z2 = z¯1 z¯2
3 4
z1 /z2 = z¯1 /¯ z2 z¯ = z
Tétel (Abszolút érték tulajdonságai) 1
|¯ z | = |z |
2
|z1 z2 | = |z1 ||z2 |
3
|z1 /z2 | = |z1 |/|z2 |
4
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
Wettl Ferenc ()
Komplex számok
2012-09-07
11 / 14
Számolás komplex számokkal
Az algebra alaptétele
Tétel (Algebra alaptétele) Minden komplex-együtthatós
n-edfokú (n ≥ 1)
polinomnak van komplex
gyöke.
Tétel (Algebra alaptétele változat) Minden komplex-együtthatós
n-edfokú (n ≥ 1)
polinomnak pontosan
n
gyöke van, ha a gyököket multiplicitással számoljuk. Másként fogalmazva minden komplex-együtthatós polinom lineáris tényez®k szorzatára bontható. Nevezetesen az
an x n + · · · + a1 x + a0 , egyenlethez léteznek olyan
an 6= 0, a0 , a1 , . . . , an ∈ C
c1 , c2 , . . . , cn ∈ C
számok, hogy
an x n + · · · + a1 x + a0 = an (x − c1 )(x − c2 ) . . . (x − cn ), és ez a felbontás a tényez®k sorrendjét®l eltekintve egyértelm¶. Wettl Ferenc ()
Komplex számok
2012-09-07
12 / 14
Számolás komplex számokkal
Binomiális tétel
De níció (Binomiális együttható)
n n(n − 1) . . . (n − k + 1) n! = = k 1 · 2 · 3...k k !(n − k )! Tétel (Binomiális tétel) Tetsz®leges valós vagy komplex
(a + b)n = an + nan−1 b +
a
és
n(n − 1) 2
b
számokra
a n −2 b 2 + . . . + b n =
n X n n −k k a b . k k =0
Példa
(1 + i )3 = 1 + 3i + 3i 2 + i 3 = 1 + 3i − 3 − i = −2 + 2i
Wettl Ferenc ()
Komplex számok
2012-09-07
13 / 14
Számolás komplex számokkal
Összefoglalás
Amit tudni kell
1
Komplex számok algebrai alakja, m¶veletek (összeadás, kivonás, szorzás, osztás, b®vítés a konjugálttal, konjugált tulajdonságai)
2
Komplex trigonometriai algebrai alakja, m¶veletek (szorzás, osztás, hatványozás, gyökvonás)
3
Algebra alaptétele
4
Binomiális tétel
Wettl Ferenc ()
Komplex számok
2012-09-07
14 / 14
