ˇ EDOVEˇKA ´ EVROPA STR Strˇedoveˇk: 476 za´nik Za´padorˇ´ımske´ rˇ´ısˇe 1492 objevenı´ Ameriky 5.–11. stol.: • vznik, sjednocova´nı´ a rozpady ru˚zny´ch sta´tnı´ch u´tvaru˚ • pomaly´ kulturnı´ a veˇdecky´ rozvoj • krˇest’ansky´ za´padnı´ sveˇt, isla´msky´ vy´chodnı´ • omezene´ duchovnı´ styky • ucˇenci v kla´sˇterech a osamocenı´ vzdeˇlanci udrzˇujı´ prˇi zˇivoteˇ neˇktere´ prvky anticke´ veˇdy a vzdeˇlanosti
12.–15. stol.: • urychlova´nı´ vy´voje, naru˚sta´nı´ vy´znamu meˇst, obchod • styky mezi za´padem a vy´chodem ˇ paneˇlsko, Sicı´lie, Ita´lie,...) (S • vznik univerzit 1119 Bologna, 1150 Parˇ´ızˇ, 1167 Oxford, 1209 Cambridge, 1222 Paova, 1224 Neapol, 1225 Salamanca, ..., 1253–57 1. kolej parˇ´ızˇske´ univerzity (Robert de Sorbon, 1201–1274), ..., 1348 Praha, ... • renesance, osvojova´nı´ antic. deˇdictvı´, poznatky orientu • knihtisk ˇ ´ına: 2. stol.(?), 8. stol. z desek, 11. stol. z typu˚ z keramiky C – pohybliva´ pı´smena; Korea: 1377 – kniha Jikji – prvnı´ dochovaly´ tisk pomocı´ pohyblivy´ch kovovy´ch pı´smen; Evropa: Johannes Gensfleisch, rˇecˇeny´ Gutenberg
Johannes Gensfleisch, rˇecˇeny´ Gutenberg (1397/1400, Mohucˇ – 3. u´nora 1468, Mohucˇ) prˇedtı´m v Evropeˇ pouze blokovy´ tisk (deskotisk): stra´nka vcˇetneˇ pı´sma i obrazu se kompletneˇ odlila, cˇi vyrˇezala ze drˇeva a pak vytiskla (pro kazˇdy´ tisk musela by´t vytvorˇena zvla´sˇtnı´ deska – znacˇneˇ zdlouhave´ a na´kladne´) Gutenberg: mysˇlenka sestavit stranu z jednotlivy´ch znaku˚ (pı´smen), ktera´ se dala opeˇtovneˇ prˇeskupit a pouzˇ´ıt znovu na jinou stranu, cozˇ cely´ tisk podstatneˇ zefektivnilo a urychlilo. Gutenbergu˚v vyna´lez umozˇnil tisknout mnozˇstvı´ cely´ch knih ve znacˇny´ch se´riı´ch (drˇ´ıve byly tisˇteˇny pouze cˇa´sti knih). Vyna´lez tisku pomocı´ pohyblivy´ch liter zpu˚sobil v Evropeˇ informacˇnı´ explozi. Nejstarsˇ´ım datovany´m tiskem Johanna Gutenberga je jednolistovy´ kalenda´rˇ Almanach auf das Jahr 1448, ktery´ z povahy sve´ho obsahu vysˇel nejpozdeˇji pocˇa´tkem roku 1448.
Toma´sˇ Akvinsky´ (1225/6–1274) scholasticky´ filosof, teolog scholasticke´ tradice; jeho pra´ce = vrchol scholastiky 1323 prohla´sˇen za svate´ho Du˚kazy existenca Boha (inspirovane´ Aristotelovou metodikou a ucˇenı´m Augustinovy´m): – z pohybu (zmeˇny) lze usuzovat, zˇe musı´ existovat prvotnı´ impuls – vsˇe ma´ svou prˇ´ıcˇinu, musı´ vsˇak existovat prvotnı´ prˇ´ıcˇina – veˇci existujı´ nebo neexistujı´; to, zˇe existujı´, zpu˚sobuje neˇjaka´ nutnost – skutecˇnost je rozdeˇlena dle stupnˇu˚ dokonalosti, musı´ vsˇak existovat nejvysˇsˇ´ı stupenˇ dokonalosti
– v usporˇa´da´nı´ veˇcı´ je smysl, stejneˇ jako ve smeˇrˇova´nı´ veˇcı´, musı´ vsˇak existovat neˇco, co dane´ veˇci rˇ´ıdı´ Hlavnı´ dı´la: – Summa theologiae - Suma theologicka´ (1266 – 1273, cˇesky vysˇla v letech 1937–1940 u dominika´nu˚ v Edici Krystal, 6 svazku˚, reprint v roce 2003) – Summa contra gentiles - Suma proti pohanu˚m (1259 – 1264), cˇesky vydala Matice cyrilometodeˇjska´ v roce 1993 (prˇeklad Jirˇ´ı Bahounek), 4 svazky – Quaestiones disputatae - Ota´zky diskutovane´ – Contra errores Graecorum - Proti rˇecky´m bludu˚m – Druhe´ analytiky, Etika Nikomachova, Fyzika, Metafyzika, O dusˇi, O vyjadrˇova´nı´ (komenta´rˇe Aristotelovy´ch spisu˚, 1269 – 1273)
– O smrtelnosti a jsoucnosti – O jednoteˇ rozumu [editovat] ”O smrtelnosti a jsoucnosti,” ”O jednoteˇ rozumu,” ”Summa proti pohanu˚m” Neexistuje aktua´lnı´ nekonecˇno
Anicius Manlius Severinus BOE¨THIUS (480–524) Filosof, diplomat, popraven ˇ ´ıman a za´rovenˇ prvnı´ filosof Neˇkdy oznacˇova´n jako poslednı´ R strˇedoveˇku Nejvy´znamneˇjsˇ´ı dı´lo: U´teˇcha z filosofie, vytvorˇena´ ve veˇzenı´ prˇed popravou – sepsa´na formou versˇovane´ho dialogu, ktery´ Boe¨thius vede s panı´ Filosofiı´. ”. . . zda´lo se mi, zˇe nade mnou stojı´ zˇena s velmi ctihodny´m oblicˇejem, zˇe jı´ planou ocˇi a jsou pronikaveˇjsˇ´ı, nezˇ ocˇi obycˇejne´ho cˇloveˇka. Jejı´ plet’ byla zˇiva´ a nesmı´rneˇ sveˇzˇ´ı, acˇ zˇena byla tak letita´, zˇe by jı´ nikdo naprosto nepovazˇoval za zˇenu nasˇ´ı doby. Postava byla vzru˚stem dvojı´: nebot’ brzy se omezovala na beˇzˇne´ lidske´ rozmeˇry, brzy se zase zda´lo, zˇe se temenem hlavy doty´ka´ oblohy.” Prˇedstavuje svou znalost anticke´ho vzdeˇla´nı´ a blı´zkost novoplatonismu. Ve sve´ knize tvrdı´, zˇe sveˇt nenı´ rˇ´ızen na´hodou, ny´brzˇ bozˇsky´m rozumem, sˇteˇstı´ neza´lezˇ´ı v nahodily´ch veˇcech, i neprˇ´ıznivy´ osud by´va´ lidem prospeˇsˇny´. Svor-
nost a la´ska jsou pevne´ za´klady blaha a prave´ blaho je vsˇak jen v Bohu. Nepravost nezu˚stane nikdy bez trestu, sˇlechetnı´ dojdou sve´ho cı´le, nesˇlechetnı´ nedojdou. Dva zdroje kona´nı´, vu˚le a moc. Tresty majı´ napravovat a zastrasˇovat. I na´hoda se rˇ´ıdı´ za´kony; O svobodne´ lidske´ vu˚li; O bozˇske´ prozrˇetelnosti; Bu˚h je veˇcˇny´, sveˇt trvaly´. Citace: ”Rozum vsˇak dokazuje, zˇe Bu˚h je dobry´, takzˇe dovozuje, zˇe u neˇho je i dobro dokonale´. . . . Ale dokonale´ dobro jsme prˇece prohla´sili za pravou blazˇenost. Prava´ blazˇenost tedy musı´ by´t u nejvysˇsˇ´ıho Boha” Vzhledem k tomu, zˇe rˇecˇtina postupneˇ upadala v za´padnı´m sveˇteˇ v zapomneˇnı´, chteˇl do latiny prˇelozˇit cele´ Plato´novo a Aristotelovo dı´lo – realizoval jen zcˇa´sti; ze souboru 6 Aristotelovy´ch spisu˚ o logice prˇelozˇil Kategorie a O vyjadrˇova´nı´, opatrˇil komenta´rˇem Do evropske´ strˇedoveˇke´ filosofie uvedl za´kladnı´ pojmy a mysˇlenky Aristotelovy logiky; du˚lezˇitou roli hra´la i volba latinsky´ch ekvivalentu˚ k rˇecky´m odborny´m termı´nu˚m Ovlivnil organizaci strˇedoveˇke´ho vzdeˇla´va´nı´: rozdeˇlil sedmero
svobodny´ch umeˇnı´ na trivium (gramatika, re´torika, dialektika) a quadrivium (aritmetika, geometrie, astronomie, hudba); sedmero svobodny´ch umeˇnı´ = pru˚prava ke studiu teologie Zavedl termı´n quadrivium, sepsal u´vody do vsˇech cˇtyrˇ jeho disciplı´n -‚ jednalo se o prˇeklady cˇa´stı´ klasicky´ch rˇecky´ch spisu˚ (Nikomachos z Gerasy, Eukleides) Matematicke´ spisy: Chude´ co do obsahu Prˇes 1000 let byl v matematice autoritou, podle jeho dı´la se prˇedna´sˇelo na cı´rkevnı´ch sˇkola´ch, pozdeˇji na univerzita´ch
BEDA VENERABILIS (= CTIHODNY´) (672/3 – 735) anglosasky´ teolog (ucˇenec, ucˇitel; irsky´ mnich) De temporum ratione – ”pocˇı´ta´nı´ cˇasu” – veˇnova´no chronologii (= meˇrˇenı´ cˇasu, tvorba kalenda´rˇe – pohyblive´ sva´tky)
ALKUIN (735? – 804?) keltske´ jme´no (Alh-win = prˇ´ıtel chra´mu) mnich, anglosasky´ ucˇenec, organiza´tor vzdeˇla´va´nı´ u dvora Karla Velike´ho (747–814) – zakla´da´ny za´kladnı´ sˇkoly ve Francii a Neˇmecku (na Alkuinovo nale´ha´nı´) Propositiones ad acuendos iuvenes ´ lohy k bystrˇenı´ mladı´ku˚ –U Prˇevoznicke´ u´lohy ´ loha o trˇech bratrech, z nichzˇ kazˇdy´ meˇl sestru 17. U Byli trˇi prˇa´tele´, z nichzˇ kazˇdy´ meˇl sestru a meˇli se prˇepravit prˇes rˇeku. Kazˇdy´ z nich pocit’oval touhu po sestrˇe svy´ch prˇa´tel. Kdyzˇ prˇisˇli k rˇece, nalezli jen malou lod’ku, v nı´zˇ se ˇ ekni, kdo nemohli prˇepravit vı´ce nezˇ dva z nich soucˇasneˇ. R mu˚zˇesˇ, jak se prˇepravili prˇes rˇeku, anizˇ by jedina´ z nich byla poskvrneˇna.
´ loha o vlku, koze a hla´vce zelı´ 18. U Neˇjaky´ muzˇ meˇl prˇeve´zt prˇes rˇeku vlka, kozu a hla´vku zelı´ a nemohl hajı´t jinou lod’ku nezˇ takovou, ktera´ byla schopna uve´zt jen dva z nich. Bylo mu vsˇak narˇ´ızeno, zˇe ma´ vsˇechny ˇ ekni, kdo mu˚zˇesˇ, jak je mohl prˇeve´zt u´plneˇ neposˇkozene´. R neposˇkozene´ prˇeve´zt. ´ loha o muzˇi a zˇeneˇ va´zˇ´ıcı´ch centne´rˇ 19. U Muzˇ a zˇena, z nichzˇ kazˇdy´ va´zˇil jeden centne´rˇ, majı´cı´ dveˇ deˇti, ktere´ dohromady va´zˇ´ı take´ jeden centne´rˇ, se meˇli prˇepravit prˇes rˇeku. Nalezli lod’ku, ktera´ nemu˚zˇe une´st vı´ce nezˇ jeden centne´rˇ. Necht’ uskutecˇnı´ prˇepravu, kdo mu˚zˇe, anizˇ by se lod’ka potopila.
17: Alkuinovo rˇesˇenı´: nejprve se prˇepravı´m ja´ se svou sestrou a ja´ se s lod’kou vra´tı´m. Pak se prˇepravı´ obeˇ zby´vajı´cı´ sestry a moje sestra se s lod’kou vra´tı´. Potom se prˇepravı´ oba zby´vajı´cı´ bratrˇi a jeden z nich se vra´tı´ zpeˇt i se svou sestrou, tuto sestru necha´ na brˇehu a prˇepravı´ se spolu se mnou. Zbyla´ sestra prˇevezme lod’ku zpeˇt, nalozˇ´ı moji sestru a prˇiveze ji za mnou, nacˇezˇ bratr, jehozˇ sestra zu˚stala sama na pocˇa´tecˇnı´m brˇehu, prˇejede zpeˇt a prˇiveze svou sestru. 19: Alkuinovo rˇesˇenı´: (dı´teˇ umı´ samo veslovat): nejprve se prˇepravı´ obeˇ deˇti a jeno z nich se vra´tı´ s lod’kou zpeˇt. Pak se prˇepravı´ matka a druhe´ dı´teˇ se vra´tı´ s lod’kou zpeˇt. Potom se opeˇt prˇipravı´ nejprve se prˇepravı´m ja´ se svou sestrou a ja´ se s lod’kou vra´tı´m. Pak se prˇepravı´ obeˇ zby´vajı´cı´ sestry a moje sestra se s lod’kou vra´tı´. Potom se prˇepravı´ oba zby´vajı´cı´ bratrˇi a jeden z nich se vra´tı´ zpeˇt i se svou sestrou, tuto sestru necha´ na brˇehu a prˇepravı´ se spolu se mnou. Zbyla´ sestra prˇevezme lod’ku zpeˇt, nalozˇ´ı moji sestru a prˇiveze ji za mnou, nacˇezˇ bratr, jehozˇ sestra zu˚stala sama na pocˇa´tecˇnı´m brˇehu, prˇejede zpeˇt a prˇiveze svou sestru.
´ loha vedoucı´ na soustavu linea´rnı´ch rovnic 34. U Neˇjaky´ otec rodiny meˇl 100 cˇlenu˚ rodiny, ktery´m narˇ´ıdil da´t 100 meˇrˇec obilı´ takovy´m zpu˚sobem, zˇe muzˇi dostanou 3 meˇrˇice, zˇeny dveˇ a kazˇde´ dı´teˇ pu˚l meˇrˇice. At’ tedy rˇekne, kdo mu˚zˇe, kolik zˇen a kolik deˇtı´. ˇ esˇenı´: 11, 15, 74 R ˇ ´ısˇe, ktera´ va´zˇila 30 liber cˇili 60 ´ loha o cˇı´sˇi va´zˇ´ıcı´ 30 liber C 7. U solidos, je vyrobena ze zlata, strˇ´ıbra, mosazi a cı´nu. Strˇ´ıbra ma´ trˇikra´t vı´ce nel’ zlata, mosazi ma´ trˇikra´t vı´ce nel’ strˇ´ıbra a ˇ ekni, kdo mu˚zˇesˇ, kolik kal’de´ho cı´nu trˇikra´t vı´ce nel’ mosazi. R kovu obsahuje. ˇ esˇenı´: 15 solidos zlata, 45 solidos strˇ´ıbra, 135 solidos R mosazi a 405 solidos cı´nu. ´ loha o kra´li a jeho vojsku 13. U Neˇjaky´ kra´l narˇ´ıdil sve´mu sluhovi sebrat ze trˇiceti vesnic
vojsko takovy´m zpu˚sobem, zˇe z kazˇde´ vesnice vezme tolik ˇ el tedy sa´m do prvnı´ vesnice, muzˇu˚, kolik do nı´ vstoupilo. S ˇ ekni, kdo do druhe´ sˇel s dalsˇ´ım, tedy do trˇetı´ sˇli cˇtyrˇi. R mu˚zˇesˇ, kolik muzˇu˚ bylo sebra´no z oneˇch trˇiceti vesnic. ˇ esˇenı´: z Alkuinova vy´sledku je zrˇejme´, zˇe kra´lu˚uv sluha je R zahrnut do pocˇtu voja´ku˚, takzˇe vy´sledek je 230 = 1073741824. Alkuin zde neuva´dı´ pouze vy´sledek, ale prˇedva´dı´ i vy´pocˇet spocˇı´vajı´cı´ v tom, zˇe pocˇı´ta´ postupneˇ pocˇet muzˇu˚ odcha´zejı´cı´ch z prvnı´, druhe´, . . . , trˇica´te´ vesnice, a to v rˇ´ımsky´ch cˇı´slicı´ch. Konecˇny´ vy´sledek u Alkuina ma´ tedy tvar milies LXXIII mille milia DCCXLI DCCCXXIIII . Problematika za´pisu velky´ch“ cˇı´sel pomocı´ rˇ´ımsky´ch cˇı´slic nenı´ jednoducha´ a ru˚znı´ autorˇi volili ru˚zne´ zpu˚soby za´pisu. Protozˇe se jedna´ o za´pis nepozicˇnı´, musely by´t vysˇsˇ´ı rˇa´dy bud’ neˇjak oznacˇeny graficky (v nasˇem prˇ´ıkladu pruhem nad tisı´covkami) nebo vypsa´ny slovneˇ.
´ loha o zˇebrˇ´ıku majı´cı´m sto prˇ´ıcˇlı´. Jeden zˇebrˇ´ık meˇl sto 42. U prˇ´ıcˇlı´. Na prvnı´m sedeˇl jeden holub, na druhe´m dva, na trˇetı´m trˇi, na cˇtvrte´m cˇtyrˇi, na pa´te´m peˇt, a tak na vsˇech ˇ ekni, kdo mu˚zˇesˇ, kolik bylo celkem prˇ´ıcˇlı´ch azˇ do ste´ho. R holubu˚. ˇ esˇenı´: Pocˇet holubu˚ na prvnı´m prˇ´ıcˇli + pocˇet holubu˚ na 99. R prˇ´ıcˇli = 100, pocˇet holubu˚ na druhe´m prˇ´ıcˇli + pocˇet holubu˚ na 98. prˇ´ıcˇli = 100, atd., a padesa´ty´ a sty´ prˇ´ıcˇel nemajı´ zˇa´dny´ do pa´ru. Celkovy´ pocˇet holubu˚ tedy je 5050 (v Alkuinoveˇ za´pisu VL).
GERBERT (930/945? – 1003) Francouzsky´ mnich, ucˇenec, od r. 999: papezˇsky´ stolec Jako prvnı´ ucˇenec za´padu studoval ve Sˇpaneˇlsku arabskou matematiku. ¨ Prˇedna´sˇel (ve Francii) kvadrivium, popularizoval Boetia, vedl veˇdeckou korespondenci Vedl veˇdeckou korespondenci, r. 994 zrˇ´ıdil v Magdeburgu slunecˇnı´ hodiny Upsal se d’a´blu, nebot’ umeˇl deˇlit libovolna´ prˇirozena´ cˇı´sla Libellus de numerorum divisions (knı´zˇka o deˇlenı´ cˇı´sel – 200 let nepochopena) Regule de abaco compum (autorstvı´?) (Pravidla pocˇı´ta´nı´ na abaku) ˇ ´ısla pı´sˇe slovy nebo rˇ´ımsky´mi cˇı´sly C
´ NSKY´ (Fibonacci) LEONARDO PISA (1170 – 1250) Syn Bonacciu˚v – meˇstsky´ pı´sarˇ Studoval, cestoval jako obchodnı´k po Orientu a strˇedomorˇ´ı LIBER ABACI (1202, 1228 prˇetisk; Kniha o abaku) Tisˇteˇne´ vyda´nı´: 459 stran 15 kapitol, ohromne´ mnozˇstvı´ poznatku˚ z Eukleida a arabsky´ch zdroju˚, vlastnı´ vy´sledky (neˇkdy) aritmetika prˇirozeny´ch cˇı´sel v pozicˇnı´ arabsko-indicke´ desı´tkove´ soustaveˇ, nula jako cˇı´slo Rozklady cˇı´sel na prvocˇı´sla, znaky deˇlitelnosti cˇı´sly 2, 3, 5, 9 Pocˇı´ta´nı´ se zlomky Kupecke´ pocˇty, u´meˇry, trojcˇlenka
Prˇ´ıklad: 100 Rotulı´ (hmotnost) stojı´ 40 lir. Kolik stojı´ 5 rotulı´? ´ lohy na mı´cha´nı´, slitiny U Aritmeticke´ a geometricke´ posloupnosti Fibonacciho posloupnost: Kdosi umı´stil pa´r kra´lı´ku˚ na urcˇite´m mı´steˇ ze vsˇech stran ohrazene´m zdı´, aby poznal, kolik pa´ru˚ kra´lı´ku˚ se narodı´ pru˚beˇhem jednoho roku, jestlizˇe u kra´lı´ku je tomu tak, zˇe pa´r kra´lı´ku˚ prˇivede na sveˇt meˇsı´cˇneˇ jeden pa´r a zˇe kra´lı´ci pocˇı´najı´ rodit ve dvou meˇsı´cı´ch sve´ho veˇku. S prˇ´ıpady uhynutı´ se nepocˇı´ta´. Urcˇi pocˇet kra´lı´ku˚ na konci roku. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,. . . un+1 = un + un−1
u´lohy vedoucı´ na linea´rnı´ rovnice (nezna´ma´ = RES = veˇc, z arabske´ho sˇaj)
Ve dvou u´loha´ch se objevı´ za´porna´ cˇı´sla (prˇipousˇtı´ je!!!) ve vy´sledku – cha´pa´no jako dluh – poprve´ v Evropeˇ!! V du˚sledku zachova´nı´ platnosti algoritmu Poprve´ termı´ny +, - (ve vy´znamu vı´ce-me´neˇ, nedostatek-prˇebytek); odecˇı´ta´nı´: uzˇ´ıva´ minus, scˇı´ta´nı´: et (vy´jimecˇneˇ plus) Prˇiblizˇne´ vy´pocˇty odmocnin pomocı´ kvadraticky´ch rovnic (prˇevzato od Abu´ Ka´mila, Al-Chwa´rizmı´ho), objevil se i korˇen 0 A = a2 +r, kde a2 je nejblizˇsˇ´ı mensˇ´ı druha´ mocnina prˇirozene´ho cˇı´sla; √ odtud A = a + k; nenı´-li A cˇtverec, je 0 < k < 1. Prˇiblizˇnou hodnotu k je trˇeba nale´zt. A = a2 + r = a2 + 2ak + k2 , odkud k=
r 2a + k
Polozˇ´ıme-li ve jmenovateli k = 0, resp. k = 1, zı´ska´me odhad r 2a + 1
r 2a
Fibonacci klade k = r/2a, vypocˇte rozdı´l a+
r
2
2a
a z rovnice a+
r 2a
−A 2
−x
= A,
ve ktere´ x2 zanedba´, vypocˇte prˇiblizˇnou hodnotu x. Practica Geometriae (1220) (Praxe geometrie)
ˇ ETNI´ TECHNIKY POC Pocˇı´ta´nı´ na prstech Obchodnı´ci, financˇnı´ci - jednoduche´ zna´zorneˇnı´ cˇı´sel, scˇı´ta´nı´, odcˇı´ta´nı´ Beda Venerabilis (asi 673 – 735) De temporum ratione u´vod: De computo vel loquela digitorum – popis zna´zornˇova´nı´ cˇı´sel na prstech (jednotky: polohy prstu˚ leve´ ruky, desı´tky: kombinace poloh prstu˚ a palce leve´ ruky, stovky: polohy prstu˚ prave´ ruky, tisı´ce: kombinace poloh prstu˚ a palce prave´ ruky, desetitisı´ce, statisı´ce, miliony: polohy cely´ch pazˇ´ı a trupu → rozsˇ´ırˇenı´ v cele´ Evropeˇ
Luca Pacioli (1445 – 1514), Summa de Arithmetica . . . , 1494
Abakus Rozsˇ´ırˇen v Evropeˇ kolem 10. stolenı´ Hladka´ drˇeveˇna´ deska rozdeˇlena´ obvykle na 30 sloupcu˚ – prvnı´ trˇi obvykle pro pocˇı´ta´nı´ se zlomky, ostatnı´ s prˇirozeny´mi cˇı´sly (jednotky, desı´tky, stovky, . . . )
Gerbert (asi 940 – 1003) Modifikace abaku: mı´sto hromadeˇnı´ kame´nku˚ do prˇ´ıslusˇny´ch sloupcu˚: apices, pocˇetnı´ zna´mky se specia´lnı´mi znaky (prˇedchu˚dci nasˇich 1, 2, . . . , 9). Apexy pouzˇ´ıva´ny veˇtsˇinou jen v kla´sˇternı´ch sˇkola´ch, rozsˇ´ırˇil se abakus s rˇ´ımsky´mi cˇı´slicemi – pouzˇ´ıva´n azˇ do konce 15 stol. (vy´beˇrcˇı´ danı´, kupci)
Liny Od konce 12. stoletı´ Vy´hoda: nejsou trˇeba zˇa´dne´ specia´lnı´ pomu˚cky stacˇı´ nacˇrtnout rˇadu rovnobeˇzˇny´ch linek na tabuli cˇi stu˚l a pokla´dat kame´nky Linky – jednotky prˇ´ıslusˇne´ho rˇa´du, mezery – peˇt jednotek Scˇı´ta´nı´ na lina´ch: 3507 + 7249 = 10756
Odcˇı´ta´nı´ na lina´ch: 425 − 279 = 146
Na´sobenı´ na lina´ch: 66 × 96 = 6336
Za´pis cˇı´sel Do 10. stoletı´: pouze rˇ´ımske´ cˇı´slice ˇ paneˇlsku – s arabskou → indicko-arabske´ cˇı´slice (poprve´ ve S veˇdou a kulturou) Nejstarsˇ´ı za´pis cˇı´sla v indicko-arabske´ pozicˇnı´ desı´tkove´ souˇ paneˇlstaveˇ: Codex Vigilanus, 976 (kla´sˇter Albelda, severnı´ S sko) Prˇelom 10. a 11. stoletı´: za´padoarabske´ cˇı´slice gubar cˇi gobar (z oblasti ´Ira´nu a Egypta); nenı´ znak pro nulu, tecˇky nad cˇı´slicemi ˙ ≈ 32 apod.) → nula azˇ zacˇa´tkem 12. stoletı´ (¨ 32˙ ≈ 320, 32 Leonardo Pisa´nsky´ (Fibonacci), 1202: Liber abaci Usporˇa´dal ohromne´ mnozˇstvı´ poznatku˚ nacˇerpany´ch z arabsky´ch pracı´, anticke´ho deˇdictvı´ a poznatku˚ vlastnı´ch; ukazuje vy´hody indicko-arabske´ numerace → azˇ do 16. stoletı´ oba typy za´pisu souperˇily, azˇ definitivneˇ zvı´teˇlil indicko-arabsky´ pozicˇnı´ desı´tkovy´ syste´m (prˇispeˇl i rozvoj
knihtisku)
Pocˇetnı´ operace: Scˇı´ta´nı´: 2837 + 3524 + 1722 = 8083
Odcˇı´ta´nı´: 8946 − 6983 = 1963
Desı´tkovy´ doplneˇk: 62315 − 47836 = 14479 6 2 3 1 5 4 7 8 3 6 1 4 4 7 9
Na´sobenı´: 151 × 327 = 49377
Deˇlenı´:
