Kapitola 10: Diferenciální rovnice
1/14
Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y (x), jejími derivacemi y 0 (x), y 00 (x), y 000 (x), . . . a nezávisle ˇ promennou x. Napˇr:
y 000 − x y 00 − 2 y y 0 = x 2 sinx
ˇ Definice: Rešením diferenciální rovnice je funkce y (x), x ∈ I ˇ (vždy interval!) taková, že ∀x ∈ I splnuje danou DR. Definice: obecné ˇrešení . . . množina všech ˇrešení diferenciální rovnice partikulární ˇrešení . . . jedno konkrétní ˇrešení integrální kˇrivka . . . graf partikulárního ˇrešení ˇ úloha nalézt partikulární ˇrešení, V aplikacích DR . . . nejˇcasteji které pro danou hodnotu x0 nabývá pˇredepsanou hodnotu y0 , ˇ tj. ˇrešení splnující poˇcáteˇcní podmínku y (x0 ) = y0 .
2/14
Typy diferenciálních rovnic V této kapitole se nauˇcíme ˇrešit dif. rovnice 2 typu: ˚ 1
Separovatelné DR y 0 = f (x) · g(y )
2
Lineární DR 1. ˇrádu a0 (x)y 0 + a1 (x)y = b1 (x), resp.
a0 (x) 6= 0
y 0 + a(x)y = b(x)
ˇ Poznámka: Rád DR je ˇrád nejvyšší derivace vyskytující se v rovnici.
3/14
Rovnice typu y 0 = f (x) · g(y ). ˇ ˇ Veta: (O existenci a jednoznacnosti) ( bez DK) Uvažujme rovnici y 0 = f (x) · g(y ). Je-li f (x) spojitá na intervalu (a, b) a g(y ) spojitá na intervalu (c, d), pak každým bodem obdélníku O = (a, b) × (c, d) prochází práveˇ jedna integrální kˇrivka. Tj. pro každý bod [x0 , y0 ] ∈ O existuje práveˇ jedno ˇrešení rovˇ nice y 0 = f (x) g(y ) splnující poˇcáteˇcní podmínku y (x0 ) = y0 . Geometrický význam: V každém bodeˇ [x, y ] obdélníku O ˇ nakreslíme krátkou úseˇcku o smernici k = f (x) · g(y ), tím ˇ obdržíme smerové pole. Úseˇcka je teˇcná k integrální kˇrivce procházející bodem [x, y ]. Pˇríklad: y 0 = − yx na obdélníku O = (−∞, ∞) × (0, ∞)
4/14
ˇ Metoda separace promenných pro y 0 = f (x) g(y ). 1
Najdeme všechny body y0 , pro které g(y0 ) = 0. Potom y ≡ y0 je konstantní ˇrešení DR y 0 = f (x) g(y ). dy = f (x)g(y ), dx
2
3
dy ˇ Separujeme promenné: = f (x)dx g(y ) Z
4
5
dy = g(y )
Z f (x)dx
Spoˇcteme primitivní funkce: G(y ) + C1 = F (x) + C2 , G(y ) = F (x) + C,
6
Vyjádˇríme y :
kde C1 , C2 ∈ R lib. konstanty
kde C = C2 − C2 .
y (x) = G−1 (F (x) + C),
kde x ∈ I. 5/14
ˇ Metoda separace promenných - shrnutí ˇ Veta: Necht’ je funkce f (x) spojitá na intervalu (a, b) a funkce g(y ) spojitá na intervalu (c, d). Potom: 1
ˇ Je-li g(y0 ) = 0 pro nejaké y0 ∈ (c, d), je konstantní funkce y (x) ≡ y0 definované na (a, b) ˇrešením rovnice y 0 = f (x) g(y ).
2
Je-li g(y ) 6= 0 pro každé y ∈ (c, d), pak obecné rˇešení rovnice y 0 = f (x) g(y ) na obdélníku (a, b) × (c, d) má tvar y (x) = G−1 (F (x) + C), Z Z 1 dy . kde F (x) = f (x)dx a G(y ) = g(y )
6/14
ˇ Aplikaˇcní úloha na separaci promenných
Pˇríklad: ˇ V nádrži je 100 l roztoku 10 kg soli ve vode. • Do nádrže pˇritéká cˇ istá voda rychlostí 5 l/s. • Z nádrže odtéká vznikající roztok rychlostí 5 l/s. Pˇredpokládáme, že roztok je v nádrži ideálneˇ promíchán. a) Jaké množství soli bude v nádrži v cˇ ase t ? b) Kdy klesne množství soli v nádrži na polovinu? Výsledek: t a) m(t) = 10 · e− 20 . b) t = 20 · ln 2 = 13, 9 s.
7/14
Lineární dif. rovnice 1. ˇrádu Pˇredpokládejme, že funkce a0 (x), a1 (x), b1 (x), a(x), b(x) jsou spojité na intervalu I = (α, β) Definice: Lineární diferenciální rovnice 1. ˇrádu je DR tvaru a0 (x)y 0 + a1 (x)y = b1 (x),
a0 (x) 6= 0 ∀x ∈ I
nebo y 0 + a(x)y = b(x) y 0 + a(x)y = 0
se nazývá
homogenní lineární diferenciální rovnice (HLDR) 1. ˇrádu. y 0 + a(x)y = b(x),
∃ x ∈ I : b(x) 6= 0
se nazývá
nehomogenní lineární diferenciální rovnicí (NLDR) 1. ˇrádu.
8/14
ˇ o existenci a jednoznaˇcnosti pro LDR 1. ˇrádu Veta ˇ Veta: ( bez DK) Uvažujme rovnici y 0 + a(x)y = b(x) . Jsou-li funkce a(x), b(x) spojité na intervalu I = (a, b), pak pro každý bod [x0 , y0 ] ∈ O = I × R existuje práveˇ jedno ˇreˇ šení rovnice y 0 + a(x)y = b(x) splnující poˇcáteˇcní podmínku y (x0 ) = y0 . Pozn. 1: Totéž pro a0 (x)y 0 + a1 (x)y = b1 (x),
a0 (x) 6= 0 ∀x ∈ I.
Pozn. 2: Definiˇcním oborem ˇrešení je vždy celý interval I. 9/14
Struktura ˇrešení LDR ˇ Veta: Obecné ˇrešení NLDR 1. ˇrádu y 0 + a(x)y = b(x) je ve tvaru
y = yH + yp
kde yH jsou všechna ˇrešení HLDR a yp je jedno libovolné partikulární ˇrešení NLDR. ˇ Veta: Množina všech ˇrešení HLDR 1. ˇrádu y 0 + a(x)y = 0 má tvar
yH (x) = C e−A(x) , C ∈ R, Z
kde A(x) =
a(x)dx.
ˇ Pozn.: Vzorec pro yH se není tˇreba uˇcit zpameti. 10/14
ˇ Rešení NLDR - metoda variace konstanty. Uvažujme NLDR y 0 + a(x)y = b(x), 1
x ∈ I.
ˇ Rešíme HLDR y 0 + a(x)y = 0 yH vyjde vždy ve tvaru: yH (x) = C · ϕ(x), C ∈ R ( možno použít vzorec yH (x) = C e−A(x) )
2
Variace konstanty = hledáme yp ve tvaru yp (x) = c(x) · ϕ(x), ˇ kde c(x) je nejaká funkce definovaná na I. • Dosadíme yp do NLDR, dostaneme rovnici pro c 0 (x)
c 0 (x)ϕ(x) = b(x). • Z této rovnice vypoˇcteme c 0 (x) a integrací vypoˇcteme c(x). Všechna ˇrešení NLDR tedy jsou:
y = yp + yH = C · ϕ(x) + c(x) · ϕ(x), C ∈ R 11/14
Variace konstanty - shrnutí.
ˇ Veta: Necht’ je dána NLDR
y 0 + a(x)y = b(x)
(resp. a0 (x)y 0 + a1 (x)y = b1 (x),
a0 (x) 6= 0 ∀x ∈ I)
a necht’ obecné ˇrešení pˇriˇrazené HLDR má tvar yH (x) = C · ϕ(x). ˇ Splnuje-li funkce c(x) rovnici c 0 (x)ϕ(x) = b(x) (resp. c 0 (x)ϕ(x) = je funkce
b1 (x) ) a0 (x)
yp (x) = c(x)ϕ(x)
ˇrešením uvažované NLDR.
12/14
Aplikaˇcní úloha na LDR 1.ˇrádu Pˇríklad: ˇ V 1. nádrži je 100 l roztoku 10 kg soli ve vode. V 2. nádrži je 100 l roztoku cˇ isté vody. • Do 1. nádrže pˇritéká cˇ istá voda rychlostí 5 l/s. • Z 1. nádrže pˇretéká rychlostí 5 l/s vznikající roztok do 2. nádrže. • Z 2. nádrže odtéká rychlostí 5 l/s vznikající roztok pryˇc. Pˇredpokládáme, že roztok je v nádržích ideálneˇ promíchán. a) Jaké množství soli bude v 2. nádrži v cˇ ase t ? b) Kdy se koncentrace soli v obou nádržích vyrovnají?
Výsledek: a) m2 (t) =
t 2
t
· e− 20
. b) t = 20s. Potom m1 (t) = m2 (t) = 10 · e−1 = 3, 68 kg.
13/14
Eulerova metoda. Numerická metoda pro výpoˇcet pˇribližného ˇrešení diferenciální rovnice: y 0 = f (x, y ) y (x ) = y . 0
0
Po n krocích dostaneme pˇribližné ˇrešení bodech x0 , x1 , . . . , xn . . Oznaˇcme tuto pˇribližnou hodnotu yi = y (xi ). Získáme tedy funkci zadanou tabulkou: x0 y0
x1 y1
··· ···
xn yn
Pˇribližné hodnoty vypoˇcteme Eulerovou metodou takto: xi+1 = xi + h, yi+1 =
yi + f (xi , yi ) · h
i = 0, 1, . . . , n
kde h je krok metody. Chyba E(h) = yn − y (xn ) je pˇrímo ˇ úmerná veliˇcineˇ h (= h1 ). Eulerova metoda je metoda 1. ˇrádu. 14/14
