1.3. POLYNOMY
V této kapitole se dozvíte: •
co rozu míme po d po jme m po lynom nebo-li mnohočlen n -tého stupně;
•
jak pro vádět základní p očetní úkon y s p o lyno my, konk rétně souče t a ro zdíl po lyno mů , násob ení, u mo cňování a d ělen í po lyno mů a ro zk lad po lyno mu na součin;
•
jak zní tzv . bino mick á věta.
Klíčová slova této kapitoly: polynom (mnohočlen) n -tého stupně, základní operace s polynomy, binomická věta.
Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,5 + 1,0 hodiny (teorie + řešení příkladů )
Definice. Polynomem nebo-li mnohočlenem n-tého stupně proměnné x rozumíme výraz Pn ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 , kde an ≠ 0 . Poznámka. n
a) Často je výhodný kratší zápis pomocí znaménka sumy: Pn ( x ) = ∑ ak x k . k =0
b) Termín mnohočlen se v praxi neexaktně používá také pro jakýkoliv výraz tvořený součtem nebo rozdílem dvou či více jiných výrazů. Definice. Polynomy jsou si rovny, jsou-li si rovny odpovídající koeficienty u týchž mocnin proměnné. Sčítání a odčítání polynomů. Sčítáme, resp. odečítáme členy se stejnými mocninami proměnné, a to tak, že sečteme, resp. odečteme příslušné koeficienty. Je zřejmé, že při uvedených operacích se stupeň polynomu nemůže zvětšit. Např. ( 2 x 2 + 3 x − 1) + ( 4 x + 2 ) = ( 2 + 0 ) x 2 + ( 3 + 4 ) x + ( −1 + 2 ) = 2 x 2 + 7 x + 1 . Násobení polynomů. Součinem dvou polynomů je polynom, který je součtem součinů všech členů prvního polynomu se všemi členy druhého polynomu: m n m n k j ⋅ = a x b x ak b j x k + j . ∑ ∑ ∑∑ k j k =0 j =0 k =0 j =0
Stupeň výsledného polynomu je součinem stupňů obou činitelů. Speciálním případem je násobení polynomu reálným číslem k, tj. polynomem nultého stupně. Vznikne polynom, jehož koeficienty jsou rovny k-násobku původních hodnot. Umocňování polynomů. Umocňování polynomů na přirozený exponent je možné vždy provést jako opakované násobení. Níže uvedené vzorce patří k základnímu matematickému vybavení ( A, B jsou libovolné výrazy):
( A ± B)
2
= A2 ± 2 AB + B 2 ; ( A + B + C ) = A2 + B 2 + C 2 + 2 AB + 2 BC + 2 AC ; 2
( A ± B)
3
= A3 ± 3 A2 B + 3 AB 2 ± B 3 .
Binomická věta. Binomická věta je obecný vzorec pro libovolnou přirozenou mocninu dvojčlenu (binomu). Pro každé A, B ∈ R , n ∈ N platí:
n n n 0 n n −1 1 n 1 n −1 n 0 n n n−k k n + = + + ... + + = A B A B A B A B A B ( ) ∑ A B . k =0 k 0 1 n − 1 n
n n! Symboly = jsou tzv. kombinační čísla. Např. k k !( n − k ) !
8 8! 8⋅7 ⋅6 = = 56 . = 3 3!⋅ 5! 3 ⋅ 2 ⋅1
Rozklad mnohočlenu na součin mnohočlenů. Některé mnohočleny je možné vyjádřit jako součin mnohočlenů nižšího stupně. To má často velký význam, protože např. při úpravách zlomků tak můžeme získat možnost krácení. Jednoduchý obecný algoritmus na zjištění, zda je možné polynom rozložit na součin, neexistuje. Jedna možnost je určit tzv. kořeny polynomu a provést rozklad na součin kořenových činitelů (bude probráno později). Některé jednoduché rozklady známe zpaměti: A2 − B 2 = ( A − B ) ⋅ ( A + B ) ; A3 ± B 3 = ( A ± B ) ( A2 ∓ AB + B 2 ) . Pozor: A2 + B 2 v reálném oboru rozložit nelze! Dělení polynomů. Polynom Pn ( x ) stupně n lze dělit polynomem Qm ( x ) nižšího stupně m. Výsledkem může být opět nějaký polynom S n − m ( x ) , pak se jedná o dělení beze zbytku, nebo obecněji součet polynomu S n − m ( x ) a zlomku tvaru
Rp ( x )
Qm ( x )
, kde R p ( x ) je zbytek po dělení a je to polynom
nižšího stupně než Qm ( x ) . Rp ( x ) Pn ( x ) = Sn−m ( x ) + , n >m > p. Qm ( x ) Qm ( x ) Poznámka. Vidíme, že operace dělení není na množině všech polynomů uzavřena (výsledkem dělení polynomů nemusí být polynom). Algoritmus pro písemné dělení polynomů. 1) Dělence i dělitele uspořádáme od nejvyšší mocniny x k nejnižší. 2) Vydělíme první člen dělence prvním členem dělitele; výsledkem je první člen podílu. 3) Vynásobíme tímto členem dělitele a výsledek odečteme od dělence; tím získáme nového dělence. 4) Opakujeme tento postup s novým dělencem tak dlouho, dokud není zbylý polynom nižšího stupně než dělitel. Tento zbylý polynom (pokud existuje) tvoří zbytek po dělení.
Shrnutí kapitoly: Polynomem nebo-li mnohočlenem je neexaktně nazýván libovolný matematický výraz, obsahující urč itý počet aditivních členů (tj . členů, které se buď sčítají nebo odčítají). Exaktní definice definuje navíc tvar jednotlivých členů jako součin určitého koeficientu a přirozené mocniny proměnné. Nejvyšší přítomná mocnina proměnné, u které figuruje nenulový koeficient, určuje tzv. stupeň polynomu. Podobně jako s libovolnými matematickými výrazy lze i s polynomy provádět základní početní operace , jako jsou součet, rozdíl, součin, přirozená mocnina a dělení. Speciální operací je rozklad polynomu na součin jiných polynomů. O tom, jak vypadá přirozená mocnina dvojčlenu (binomu) pro libovolný přirozený exponent, hovoří tzv. binomická věta. Operace dělení polynomů se od ostatních liší tím, že není uzavřena v množině všech polynomů. Na písemné dělení polynomů existuje jednoduchý algoritmus.
Otázky: •
Co rozumíme pod pojme m polyno m n ebo -li mn ohočlen? Definu jte exa k tně polynom n -tého stupně.
•
Jaké základní operace pro p olyno my znáte a jak se p rov ádějí?
•
Jak se mění stupeň polynomů při jejich sčítání, odčítání, n ásob ení, u mo cňov án í a dělení?
•
Co přesně říká binomická věta?
•
Čím se liší operace děle ní polyn omů od o stat ních operací? Jak v ypadá algo ritmu s p ro p ísemn é dělení polyno mů?
Příklad 1. Upravte na nejjednodušší tvar: 2 a2 − 4 4a 2 − 1 a −1 a −1 m +1 m −1 m − 4 ;b) ; c) − ; d) − ⋅ ; a −1 a +1 a+2 4a 2 − 4a + 1 m + 2 m − 2 2m x4 − y 4 −3 −2 a 5b −4 a −2b −3 4 pq 1 x2 y 2 e) p + q − ; g) −3 2 4 −5 ; : ; f) p + q p2 − q2 y2 2 x x2 c d c d + 2 1 + 2 ⋅ 1 − y y x
a)
−2
−2
a+ x a− x a+x a+x h) − − − ; a + x a + x a + x a − x i)
−1
1+ x 1− x + 1− x 1 + x ; j) 1 ⋅ a − b + a + b . 2a a + b 1+ x 1− x a − b − 1− x 1+ x
Příklad 2. Rozložte na součin polynomů: a) 2ax 2 + ax 3 ; b) x 4 − y 4 ; c) y 6 + 64 ; d) 9 x 3 + 18 x 2 − x − 2 .
Příklad 3. Proveďte písemně naznačené dělení polynomů:
a) ( 8 x 3 − 10 x 2 − 13x + 19 ) : ( 2 x − 3) ; b) ( 4 x 3 − 5 x 2 + 9 x − 11) : ( x 2 + 2 ) ; c) ( 6m 2 + 5m − 6 ) : ( 2m + 3) ; d) ( x5 + 1) : ( x + 1) .
Řešení příkladů: 1a) a − 2, a ≠ −2 ; 1b)
2a + 1 1 4a , a ≠ ; 1c) , a ≠ 1, −1 ; 2a − 1 2 ( a − 1) ⋅ ( a + 1)
1d) −1, m ≠ 0, −2, 2 ; 1e) ( p − q ) , p ≠ ± q ; 1f) 3
x+ y , x ≠ 0, y ≠ 0, x ≠ y ; x− y
b6 d 16 a+x , a, b, c, d ≠ 0 ; 1h) , a > 0, x > 0 ; 19 17 a c x 1 1+ x 1− x 1+ x 1− x 1i) , x ≠ 0, ±1, ≥ 0, ≥ 0, ≠ ; 1j) x 1− x 1+ x 1− x 1+ x 1g)
1 a 2 − b2
, a> b .
2a) ax 2 ( 2a + x ) ; 2b) ( x 2 + y 2 ) ⋅ ( x + y ) ⋅ ( x − y ) ; 2c) ( y 2 + 4 ) ⋅ ( y 4 − 4 y 2 + 16 ) ; 2d) ( x + 2 ) ⋅ ( 3x + 1) ⋅ ( 3x − 1) . 3a) 4 x 2 + x − 5 +
4 x −1 ; 3b) 4 x − 5 + 2 ; 3c) 3m − 2 ; 3d) x 4 − x3 + x 2 − x + 1 . 2x − 3 x +2
Další zdroje: 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1997. 2. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 3. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 4. REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 1995.
ZÁVĚR: [Tady klepněte a pište]
