II Polynomy S polynomy (mnohoč leny) se setkáváme již na střední š kole a pozdě ji pak v kurzu matematické analýzy, kde se polynom chápe jako reálná funkce.
1.
Zá kladnívlastnosti
II.1.1 Definice. Nechť a0, a1, … , an jsou libovolná reálná, resp. komplexní č ísla, n je nezáporné celé č íslo a nechť x je libovolné komplexní č íslo, pak výraz f = a0 + a1x + … … . + an xn nazýváme polynomem promě nné x (s reálnými, resp. komplexními koeficienty), výrazy akxk jeho č leny, a0 absolutním č lenem, č ísla ak koeficienty, přič emž koeficient an nazýváme vedoucím koeficientem polynomu f. Je-li vedoucí koeficient an = 1, říkáme, že polynom f je normovaný. Je-li an ≠ 0 nazýváme č íslo n stupně m polynomu f. Přitom připouš tíme i n = 0, takže vš echna nenulová reálná, popř. komplexní č ísla považujeme za polynomy stupně nula. Polynom, pro jehožvš echny koeficienty platí a0 = a1 = … = an = 0, se nazývá nulový. Tomuto polynomu stupeň nepřiřazujeme. Je-li an ≠ 0 a n přirozené č íslo, pak se rovnice a0 + a1x + … … . + anxn = 0 nazývá algebraická rovnice stupně n. Je nutné si uvě domit rozdíl mezi pojmy „nulový polynom“ (vš echny koeficienty jsou nula) a „polynom stupně nula (f = a0, kde a0 ≠ 0). Pro nulový polynom a polynomy stupně nula budeme používat společ ný název konstantní polynomy, polynomy stupně 1 budeme nazývat lineární polynomy, polynomy stupně 2 kvadratické polynomy a polynomy stupně 3 kubické polynomy. Polynom lze definovat téžjako uspořádanou n-tici f = (a0, a1, … , an). Z této definice přímo plyne, že dva polynomy f = (a0, a1, … , an) a g = (b0, b1, … , bn) si jsou rovny, právě tehdy, kdyžse rovnají vš echny odpovídající si koeficienty, tj.: f=g ⇔ ai = bi pro i = 0, 1, … , n II.1.2 Definice. Nechť f = a0 + a1x + … … . + anxn a g = b0 + b1x + … … . + bm xm jsou polynomy, an ≠ 0, bm ≠ 0, m ≤ n. Pak definujeme: souč et polynomů f + g takto: f + g = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + … . + (am + bm)xm + am+1 xm+1 + … . + anxn a souč in polynomů f . g takto: f . g = c0 + c1x + … … . + cn+m xn+m kde ci = ai . b0 + ai-1 . b1 + … . + a0 . bi , i = 0, 1, … , n+m (c0 = a0 . b0 , c1 = a1 . b0 + a0 . b1 , c2 = a2 . b0 + a1 . b1 + a0 . b2, atd. až cn+m = an . bm) Z definice souč tu a souč inu dvou polynomů je hned patrné, že souč et i souč in jsou operace, pro ně ž platí asociativní a komutativní zákon a že platí distributivní zákon mezi sč ítáním a násobením. Platnost vš ech tří zmíně ných zákonů je bezprostředním důsledkem jejich platnosti pro komplexní č ísla. II.1.3 Vě ta. Nechť f, g a h jsou polynomy, h ≠ 0. 14
Pak z rovnice plyne
f.h = g.h f = g.
Dů kaz: f.h = g.h f.h – g.h = 0 (f – g).h = 0 h ≠ 0 a tedy f – g = 0 f=g
II.1.4 Vě ta. Nechť f je polynom stupně n a g polynom stupně m. Pak existují právě jeden polynom d a právě jeden polynom z takové, že ∀x ∈ C platí: f = g.d + z , kde z je buď nulový polynom, nebo polynom stupně k < m. Polynom d se nazývá podíl a polynom z zbytek dě lení polynomu f polynomem g. Dů kaz: 1. Je-li n < m, výš e uvedený vztah platí pro d = 0 a pro z = f, ∀x ∈ C. 2. Nechť je n ≥ m. Vedoucí č len anxn polynomu f dě líme vedoucím č lenem bm xm polynomu g. Dostaneme (an/bm) xn-m = cn-mxn-m. Nyní urč íme z1 = f – cn-mxn-m. g ∀x ∈ C, kde z1 je buď nulový polynom nebo polynom stupně l < n. a) Je-li z1 nulový polynom, popř. je-li stupně l < m, je vě ta dokázána, neboť stač í položit z1 = z a d = cn-mxn-m. b) Je-li vš ak z1 stupně l ≥ m, opakujeme postup uvedený na zač átku bodu 2, přič emž místo polynomu f vezmeme v úvahu polynom z1. Tím dostaneme polynom z2 = z1 – cl-mxl-m. g , takže platí f = (cn-mxn-m + cl-mxl-m)g + z2 . c) Takto postupujeme dále a uvedený postup ukonč íme ažkdyžpolynom zr je buď nulový nebo stupně < m (≤ n). Pak stač ípoložit zr = z a d = cn-mxn-m + cl-mxl-m + c0. 3. Nakonec zbývá dokázat, že polynomy z a d jsou urč eny jednoznač ně . Předpokládejme, že tomu tak není, tj. že existují ješ tě dalš í polynomy z’ a d’, které splňují dokazovaný vztah, tj. že platízároveň f = g.d + z , f = g.d’ + z’ . Odeč tením obou tě chto rovnic dostaneme (d – d’) . g = z’ – z. Kdyby d ≠ d’, mě li bychom na levé straně rovnice polynom stupně k ≥ m a na pravé straně polynom stupně j < m. To vš ak je spor (jsou-li si polynomy rovné, musí mít stejný stupeň) a tedy d = d’ . Potom g.d + z = g.d + z’ a tedy z = z’.
Příklad II.1 Polynom f = 3x4 + 2x2 + 2x – 1 dě lte polynomem g = x2 – 2x + 3.
15
Řešení. Použitím algoritmu dě lení se zbytkem dostáváme: (3x4 + 2x2 + 2x – 1) : (x2 – 2x + 3) 4 3 –(3x – 6x + 9x2 ) 6x3 – 7x2 + 2x – 6x3 – 12x2 + 2x 5x2 – 16x – 1 – 5x2 – 10x + 15 – 6x – 16 = z Je tedy 3x4 + 2x2 + 2x – 1 6x + 16 = 3x2 + 6x + 5 – 2 x2 – 2x + 3 x – 2x + 3
2.
= 3x2 + 6x + 5 = d
Dělitel. Největš íspoleč ný dělitel.
II.2.1 Definice. Ř íkáme, že polynom g ≠ 0 dě lí polynom f právě tehdy když zbytek po dě lení polynomu f polynomem g je roven nule. Polynom g pak nazýváme dě litelem polynomu f a znač íme g | f. II.2.2 Vě ta. Polynom g je dě litelem polynomu f právě tehdy, kdyžexistuje polynom d s vlastností f = g d. Dů kaz. Jestliže g | f, pak za d lze vzít podíl po dě lení f polynomem g. Naopak, existuje-li polynom d s vlastností f = g d, pak d je jednoznač ně urč ený podíl po dě lenípolynomu f polynomem g a nula je přísluš ný zbytek. Tedy g | f. II.2.3 Pomocná tvrzení. Z definice dě litelnosti bezprostředně vyplývají následující jednoduchá, ale č asto užívaná pomocná tvrzení. 1. Polynom nultého stupně je dě litelem každého polynomu. Je-li g rovno nenulové konstantě a, pak stač í zvolit d = a-1 f. 2. Jestliže g | f, f ≠ 0, pak st g ≤ st f. st f = st g + st d, 0 ≤ st g a 0 ≤ st d st g ≤ st f. 3. Jestliže g | f a h | g, pak h | f. f = g d, g = h e, f = h [e d]. 4. Jestliže g | f, pak c.g | f, kde c je libovolné nenulové č íslo. f = g d, f = [c.g] [c-1d].
16
II.2.4 Definice. Polynom, který dě lí dva dané polynomy se nazývá jejich společ ným dě litelem. Podle pomocného tvrzení 1. je polynom nultého stupně společ ným dě litelem libovolných dvou polynomů. Polynomy, které jižnemají žádného dalš ího společ ného dě litele, se nazývají nesoudě lné. Z definice vyplývá, že každé dva polynomy mají společ ného dě litele. II.2.5 Definice. Společ ný dě litel d polynomů g a f se nazývá jejich nejvě tš ím společ ným dě litelem právě tehdy kdyžje dě litelný libovolným společ ným dě litelem polynomů g a f. Symbolicky lze vlastnosti nejvě tš ího společ ného dě litele d polynomů g a f vyjádřit takto: 1. d | f a d | g, 2. e | f a e | g ⇒ e | d. Jestliže d je nejvě tš í společ ný dě litel polynomů g a f, pak každý polynom c.d, kde c ≠ 0, je rovně ž nejvě tš í společ ný dě litel tě chto polynomů. Neprá zdná množina vš ech nejvě tš ích společ ných dě litelů polynomů g a f je tedy množina vš ech nenulových konstantních násobků jednoho (libovolného) nejvě tš ího společ ného dě litele daných dvou polynomů. Ten, jehož nejvyš š íkoeficient je roven 1, budeme znač it (g, f). Existuje jednoduchá metoda, která nám umožňuje po koneč ném poč tu mechanických kroků nejvě tš í společ ný dě litel dvou polynomů nalézt. Tato metoda pochází od Euklida (původně byla formulována pro přirozená č ísla) a nazývá se Euklidů v algoritmus. Euklidův algoritmus spoč ívá v opakovaném použití „dě lení se zbytkem“ (viz vě tu II.1.4.). Nechť f a g jsou nenulové polynomy. Pak existují polynomy di a zi tak, že f = g. d1 + z1 kde st z1 < st g g = z1 . d2 + z2 kde st z2 < st z1 z1 = z2 . d3 + z3 kde st z3 < st z2 . . zk-3 = zk-2 . dk-1 + zk-1 kde st zk-1 < st zk-2 zk-2 = zk-1 . dk + zk kde st zk < st zk-1 zk-1 = zk . dk+1 kde tedy zk označ uje poslední nenulový zbytek. Vzhledem k tomu, že st g je celé nezáporné č íslo a že st g > st z1 > st z2 > … . , musíme skuteč ně po koneč ném poč tu kroků dojít ke zbytku, jehožstupeň je roven nule. II.2.6 Vě ta. Nechť f a g jsou nenulové polynomy. Pak poslední nenulový zbytek v Euklidově algoritmu je nejvě tš ím společ ným dě litelem polynomů f a g. Dů kaz: Ově říme, že prvek zk splňuje definici nejvě tš ího společ ného dě litele polynomů f a g. 1. Z poslední rovnosti v Euklidově algoritmu plyne, že zkzk-1. Z předposlední rovnosti plyne, že zkzk-2 (neboť zkzk-1 a zkzk). Z předpředposlední rovnosti plyne zkzk-3 (neboť zkzk-1 a zkzk-2). Takto postupujeme „nahoru“ aždostaneme zkg a nakonec zkf. 2. Nechť pro polynom e platí e | f a e | g. Z první rovnosti v Euklidově algoritmu je z1 = f – g. d1, a tedy platí e | z1 . Z druhé rovnosti je z2 = g – z1 . d2, a tedy platí e | z2 . Postupujeme-li takto „dolů“, dostaneme nakonec, že e | zk. Používáme-li Euklidův algoritmus pouze k výpoč tu nejvě tš ího společ ného dě litele dvou polynomů, pak pracujeme jenom se zbytky provádě ných dě lení, přič emž je zřejmě jedno, zda k výpoč tu použijeme daný zbytek nebo libovolný jeho nenulový konstantní 17
násobek. Z důkazu vě ty II.1.4. plyne, že pak můžeme v kterémkoli kroku kteréhokoliv dě lení v Euklidově algoritmu násobit kterýkoliv z polynomů libovolným nenulovým č íslem. Tímto se můžeme při praktických výpoč tech č asto vyhnout zlomkům, které by komplikovaly výpoč et. Příklad II.2 Nalezně te nejvě tš íspoleč ný dě litel polynomů f = x4 + 3x3 – x2 – 4x – 3 a g = 3x3 + 10x2 + 2x – 3. Řešení: (x4 + 3x3 3x4 + 9x3 –(3x4 +10x3 –x3 3x3 –(3x3
(3x3 –(3x3
– x2 – 4x – 3) : (3x3 + 10x2 + 2x – 3) – 3x2 – 12x –9 2 + 2x – 3x ) – 5x2 – 9x –9 2 +15x + 27x +27 +10x2 + 2x – 3) 5x2 +25x + 30 x2 + 5x + 6
+10x2 +15x2 – 5x2 –(–5x2
(x2 + 5x –(x2 + 3x) 2x –(2x
x, 1
+ 2x – 3) : (x2 + 5x + 6) 3x , –5 +18x) – 16x –3 – 25 x – 30) 9x + 27 x +3 + 6) : (x + 3)
x, 2
+6 + 6) 0
Tedy: polynom x + 3 je nejvě tš ím společ ným dě litelem polynomů f a g.
3.
Kořeny polynomu
II.3.1 Definice. Reálné, popř. komplexní č íslo c nazveme kořen polynomu f, právě tehdy kdyžf(c) = 0. Kořen polynomu f je také kořenem algebraické rovnice f = 0. Znamená to, že č íslo c vyhovuje algebraické rovnici a0 + a1x + … … . + anxn = 0, tj. že platía0 + a1c + … … . + ancn = 0. V nejjednoduš š ích případech z předchozí definice vyplývá, že: − kořenem nulového polynomu je každé reálné, resp. komplexní č íslo − polynom stupně 0 nemá žádný kořen − polynom stupně 1 (f = a1x + a0) má právě jeden kořen Polynomy, resp. algebraické rovnice, vyš š ích stupňů obecně kořen mít mohou, ale nemusí. Záleží na tom, zda kořeny hledáme v oboru komplexních nebo reálných č ísel. Hledání kořenů daného polynomu, resp. hledání kořenů algebraické rovnice, je jedním ze
18
základních problémů celé algebry. Obecně vš ak neexistuje žádný algoritmus, který by umožňoval přesně urč it vš echny kořeny daného polynomu, resp. algebraické rovnice. Dále se budeme zabývat vlastnostmi kořenů polynomu f, obdobná tvrzení platí i pro kořeny algebraické rovnice f = 0. Vyplývá to z definice II.3.1. II.3.2 Bé zoutova vě ta. Číslo c je kořenem polynomu f stupně n ≥ ∀x ∈ C platí f = (x– c) . g, kde g je polynom stupně n–1 s vedoucím koeficientem bn-1 = an.
1
právě
tehdy
když
Dů kaz. 1. Je-li f = (x–c) . g, dostaneme pro x = c vztah f(c) = 0 . g(c) = 0, cožznamená, že c je kořenem polynomu f. 2. Nechť x = c je kořenem polynomu f, takže f(c) = 0. Pak f = f – f(c) = a0 + a1x + … … . + an xn – (a0 + a1c + … … . + an cn) = = a1(x–c) + a2(x2–c2) + … … + an (xn – cn) = (x–c) . g, kde g je polynom stupně n–1 s vedoucím koeficientem bn-1 = an ≠ 0. II.3.3 Definice Je-li č íslo c kořenem polynomu, potom lineární polynom x-c nazýváme kořenovým č initelem polynomu f. Číslo c se nazývá k-násobným kořenem polynomu f, jestliže (x-c)k dě lí polynom f a k+1 (x-c) nedě lí polynom f. Je-li k = 1, říkáme, že kořen c je jednoduchý. II.3.4 Vě ta. Číslo c je k-násobným kořenem polynomu f právě tehdy když existuje polynom h tak, že f = (x-c)k. h a h(c) ≠ 0. Dů kaz. 1. ⇒ plyne přímo z definice II.3.3. 2. ⇐ : nechť f = (x-c)k. h a h(c) ≠ 0. Pak (x-c)k dě lí f. Jestliže (x-c)k+1 dě lí f, potom f = (x-c)k+1. g po dosazení(x-c)k. h = (x-c)k+1. g po vykrácení h = (x-c) . g a tedy h(c) = 0, což je spor. Proto (x-c)k+1 nedě lí f, tzn. c je k-násobným kořenem polynomu f. V celé řadě praktických úloh potřebujeme velmi č asto daný polynom dě lit polynomem x-c. Například: − při výpoč tu hodnoty f(c) − při ově řování, zda c je kořen polynomu f − při zjiš ťování násobnosti kořene c. Využíváme toho, že hodnota f(c) je rovna zbytku po dě lení polynomu f polynomem x-c. Dě lení polynomu f polynomem x-c lze prakticky okamžitě provést pomocí algoritmu nazývaného Hornerovo sché ma, který si nyní odvodíme. Nechť f = a0 + a1x + … … . + an xn je polynom stupně n ≥ 1 a c je libovolné č íslo. Pak f = (x-c) . g + r, kde r je konstantní polynom, r = f(c). Stupeň g je n-1, tzn. g je polynom tvaru g = b0 + b1x + … … . + bn-1 xn-1. Po dosazení: a0 + a1x + … … . + an xn = (x-c) . (b0 + b1x + … … . + bn-1 xn-1) + r. Porovnáním koeficientů u stejných mocnin dostáváme: 19
an = bn-1 an-1 = bn-2 – c. bn-1 . . a1 = b0 - c. b1 a0 = r - c. b0
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
bn-1 = an bn-2 = c. bn-1 + an-1
b0 = c. b1 + a1 f(c) = r = c. b0 + a0
Vidíme tedy, že koeficienty podílu g i zbytek r = f(c) lze velmi jednoduš e vypoč ítat. V praxi budeme používat přehlednou tabulku (schéma): c
an an bn-1
an-1 c. bn-1 + an-1 bn-2
… . … .
a2 c. b2 + a2 b1
a1 c. b1 + a1 b0
a0 c. b0 + a0 r = f(c)
V horním řádku tabulky jsou vepsány vš echny koeficienty polynomu f vč etně případných nul! Ve spodním řádku postupně vypoč ítáváme koeficienty podílu g a zbytek r = f(c). Příklad II.3 Je dán polynom f = x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x2 + 16. Dokažte, že c = 2 je kořenem polynomu f a urč ete násobnost tohoto kořene Řešení: Opakovaně provádíme dě lení polynomem x–2 tolikrát, až dojdeme k nenulovému zbytku. Potom celkový poč et nulových zbytků v provedených dě leních nám udává hledanou násobnost kořene c = 2. Prakticky postupujeme tak, že opakovaně používáme Hornerovo schéma pro c = 2 na právě získaný řádek. 1 –6 9 8 2 1 –4 1 10 2 1 –2 –3 4 2 1 0 –3 –2 2 1 2 1 0 2 1 4 9 Vidíme, že č íslo 2 je 4-násobným kořenem polynomu f.
–24 –4 4 0
0 –8 0
16 0
II.3.5 Základní vě ta algebry. Každý polynom f stupně n ≥ 1 má alespoň jeden komplexní kořen (tj. buď reálný, nebo imaginární). Dů kaz přesahuje možnosti tohoto úvodního kurzu algebry. Poznamenejme pouze, že vě tu poprvé dokázal v r. 1799 Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), a to š esti různými způsoby, třebaže se o její důkaz marně pokouš eli mnozí matematici před ním. II.3.6 D´ Alembertova vě ta. Poč ítáme-li každý k-násobný kořen za k kořenů, má polynom f stupně n ≥ 1 právě n komplexních kořenů. Označ íme-li tyto kořeny c1, c2, … , cn, je možné polynom f rozložit na tvar f = an(x – c1)(x – c2) … (x – cn).
20
Dů kaz. Tato vě ta je důsledkem základní vě ty algebry a Bézoutovy vě ty. Podle základní vě ty algebry má polynom f alespoň jeden kořen. Označ íme jej c1. Podle Bézoutovy vě ty je f = (x – c1) f1, kde f1 je polynom stupně n-1 (s vedoucím koeficientem bn-1 = an). Podobně polynom f1 (pokud je jeho stupeň n-1 ≥ 1) má alespoň jeden kořen. Označ íme jej c2 a podle Bézoutovy vě ty platí f1 = (x – c2) f2 neboli f = (x – c1) (x – c2) f2, kde f2 je polynom stupně n-2 (s vedoucím koeficientem bn-2 = an). Je-li n-2 ≥ 1 a postupujemeli takto dále, dostaneme nakonec vztah f = (x – c1)(x – c2) … (x – cn) fn, kde fn je polynom stupně n-n = 0 s vedoucím koeficientem b0 = an ≠ 0. II.3.7 Definice. Ř ekneme, že polynom f (st f ≥ 1) je reducibilní (rozložitelný) právě tehdy když existují polynomy g, h (st g ≥ 1, st h ≥ 1) takové, že f = g.h. Jinak je polynom f ireducibilní (nerozložitelný). Polynomy g a h nazýváme faktory. II.3.8 Poznámka. Zřejmě platí: Lineární polynom f = a1x + a0 = a1(x-c) (kde c je kořen) je ireducibilní. Polynom f = a2x2 + a1x + a0 = a2(x-c1)(x-c2) je reducibilní, stejně jako je reducibilní každý polynom vyš š ího stupně než 2. Takový polynom lze podle D´ Alembertovy vě ty rozložit na tvar f = an(x – c1)(x – c2) … (x – cn).
4. a)
Hledá níkořenů polynomů stupněnižš ího než 5 Polynomy stupně1 a 2:
Hledání kořenů polynomů stupně 1 je triviální záležitost. Žáci se je uč í najít jižna základní š kole. Na střední š kole se hledají kořeny polynomu stupně 2 (řeš ení kvadratické rovnice). Pomocí diskriminantu se urč uje, zda má daná rovnice 0, 1 nebo 2 reálné kořeny. Pozdě ji se poč ítají i kořeny imaginární. Proto se výpoč tem kořenů polynomů stupně 1 a 2 nebudeme zabývat a budeme tuto problematiku považovat za známou.
b)
Polynomy stupně3:
Rovně ž pro polynomy stupně 3 existují vzorce pro přímý výpoč et kořenů. Tyto vzorce se nazývají Cardanovy vzorce a jsou samozřejmě podstatně složitě jš í než vzorce pro výpoč et kořenů kvadratického polynomu. Obecnou kubickou rovnici ay3 + by2 + cy + d = 0 s reálnými koeficienty a ≠ 0, b, c, d převedeme na tzv. redukovanou normovanou kubickou rovnici x3 + px + q = 0 s reálnými koeficienty b a dě lením koeficientem a. substitucíy = x – 3a Na první pohled by se mohlo zdát, že Cardanovy vzorce jsou stejně efektivním nástrojem pro výpoč et kořenů kubické rovnice, jako byly vzorce pro výpoč et kořenů kvadratické rovnice. Při bližš ím zkoumání vš ak brzy zjistíme, že význam Cardanových vzorců je předevš ím teoretický a jejich užiteč nost při praktických výpoč tech je č asto velmi problematická. Často i racionálníkořen bývá vyjádřen ve složitém iracionálním tvaru. Tak např. rovnice x3 – 3x – 18 = 0 má zřejmě kořen c1 = 3. Cardanovy vzorce jej vyjadřujíve složitém tvaru c1 =
3
9 + 80 + 3 9 − 80 . 21
Z praktického hlediska bývá užiteč ně jš í (má-li kubická rovnice celoč íselné koeficienty) použít vě ty II.7.1 o racionálních kořenech.
c)
Polynomy stupně4:
Také pro polynomy stupně 4 existují vzorce pro přímý výpoč et kořenů z jeho koeficientů. Vš echny tyto vzorce byly známy už v 16. století. Dlouhou dobu se potom matematikové snažili nalézt podobné vzorce pro kořeny polynomů stupně 5. Teprve v první polovině 19. století bylo dokázáno, že takové vzorce (využívající sč ítání, odč ítání, násobení, dě lení a odmocňování) pro polynomy stupně vě tš ího nežč tyři neexistují.
5.
Vztahy mezi kořeny a koeficienty
II.4.1. Vě ta. Nechť f = anxn + an-1xn-1 + … … . + a2x2 + a1x + a0 je polynom, který má kořeny c1, … , cn. Pak platí: an-1/an = – (c1+ c2+ … + cn) an-2/an = c1c2 + c1 c3 + … + cn-1cn an-3/an = – (c1c2c3 + c1c2c4 + … + cn-2cn-1cn) . . a0/an = (–1)n (c1c2 … cn) Dů kaz: Polynom f = anxn + an-1xn-1 + … … . + a2x2 + a1x + a0, který má kořeny c1, … , cn lze rozložit na tvar f = an(x – c1)(x – c2) … (x – cn). Tedy: anxn + an-1xn-1 + … … . + a2x2 + a1x + a0 = an(x – c1)(x – c2) … (x – cn). Jestliže na pravé straně vynásobíme kořenové faktory a porovnáme koeficienty u stejných mocnin xk na obou stranách této rovnice, dostáváme ihned tvrzení vě ty. Vztahy mezi kořeny a koeficienty mají nejvě tš í využití při řeš ení kvadratické rovnice a2x2 + a1x + a0 = 0, resp. x2 + px + q = 0. V tomto případě platí: –(c1 + c2) = a1/a2 = p a c1.c2 = a0/a2 = q. II.5.1 Poznámka: Tyto vztahy odvodil okolo r. 1600 francouzský matematik François Viète. Proto se vztahy mezi kořeny a koeficienty č asto nazývají Viètovy vzorce. Přísluš né dílo vš ak bylo uveřejně no ažpo smrti autora.
6. a)
Jednoduché typy algebraický ch rovnic Rozklad na kořenové faktory pomocívytý ká ní:
Příklad II.4 Najdě te kořeny polynomu x3 + 3x2 + 2x + 6. Řešení: x3 + 3x2 + 2x + 6 = x2(x + 3) + 2(x + 3) = (x + 3)( x2 + 2) = = (x + 3)(x + i 2 )(x – i 2 ) Polynom má kořeny c1 = –3, c2 = i 2 a c3 = – i 2 .
22
b)
Metoda neurč itý ch souč initelů:
Příklad II.5 Najdě te kořeny polynomu x3 + 4x2 – 24. Řešení: Polynom s reálnými koeficienty lichého stupně musí mít alespoň jeden reálný kořen c. Tedy: x3 + 4x2 – 24 = (x – c)(x2 + px + q), po roznásobení: x3 + 4x2 – 24 = x3 + (p – c)x2 + (q – cp)x – cq. Porovnáme-li koeficienty u stejných mocnin x dostaneme soustavu rovnic: p –c = 4 ⇒ p=c+4 q – cp = 0 ⇒ q = cp cq = 24 . 2 2 24 = cq = c p = c (c + 4) ⇒ c=2 p = 6, q = 12 A tedy platíx3 + 4x2 – 24 = (x – 2)(x2 + 6x + 12). Polynom má kořeny c1 = 2, c2 = –3 + i 3 a c3 = –3 – i 3 .
c)
Binomické rovnice:
Binomická rovnice má tvar xn – a = 0, kde a je nenulové komplexní č íslo. Ř eš it ji lze dvě ma metodami: algebraicky (rozkladem na kořenové faktory) a goniometricky (převedením na výpoč et n-té odmocniny z komplexního č ísla). První způsob lze provést v jednoduš š ích případech, kdy se nám podařírozklad provést, druhý způsob je možný vždy. Při práci s binomickou rovnicí je výhodné vyjádřit komplexní č íslo a = (a1, a2) v goniometrickém tvaru: a = a .(cosα + i sinα), kde a =
a12 + a 22 a pro amplitudu α
a1 a , sinα = 2 , 0 ≤ α < 2π. a a n Binomická rovnice x – a = 0 má právě n různých komplexních kořenů tvaru: α + 2kπ α + 2kπ a . cos + i sin pro k = 0, 1, … , n – 1 n n
platívztahy: cosα =
ck = n
kde symbol
n
a znač íkladnou reálnou odmocninu z č ísla a , která je jednoznač ně urč ená.
Příklad II.6 Najdě te kořeny binomické rovnice x6 + 1 = 0. Řešení: Zde je a = 1 = 1 a α = π = 180°. Tedy: c0 = (cos 30° + i sin 30°)
=
c1 = (cos 90° + i sin 90°)
=i
c 2 = (cos150° + i sin 150°)
=–
c3 = (cos 210° + i sin 210° ) c 4 = (cos 270° + i sin 270°)
3 1 +i 2 2
3 1 +i 2 2 3 1 =– −i 2 2 = –i 23
c5 = (cos 330° + i sin 330° )
3 1 −i 2 2 1 1 Daná binomická rovnice má kořeny ±i, 3±i , − 3 ±i . 2 2 =
(
d)
) (
)
Trinomické rovnice:
Ř eš ení trinomických rovnic tvaru ax2n + bxn + c = 0 provádíme pomocí substituce xn = y, č ímž dostaneme kvadratickou rovnici ay2 + by + c = 0. Označ íme-li její kořeny y1 = A a y2 = B, přejde daná trinomická rovnice ve dvě binomické rovnice tvaru xn – A = 0, xn – B = 0. Příklad II.7 Najdě te kořeny trinomické rovnice x6 – 5x3 + 6 = 0. Řešení: Položme x3 = y. Tím přejde daná rovnice na kvadratickou rovnici y2 – 5y + 6 = 0. Jejíkořeny jsou y1 = 2 a y2 = 3. Zbývá proto ješ tě vyřeš it binomické rovnice x3 = 2 a x3 = 3. a) Rovnice x3 = 2 má kořeny 1 1 x1 = 3 2 , x2 = − 1 − i 3 3 2 , x3 = − 1 + i 3 3 2 2 2 b) Rovnice x3 = 3 má kořeny 1 1 x4 = 3 3 , x5 = − 1 − i 3 3 3 , x6 = − 1 + i 3 3 3 2 2 Daná trinomická rovnice má tedy š est kořenů x1, x2, x3, x4, x5, x6.
e)
(
)
(
)
(
)
(
)
Reciproké rovnice:
Algebraická rovnice anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = 0, kde an ≠ 0, se nazývá: reciproká rovnice 1. druhu, jestliže an-i = ai pro i = 0, 1, … , n reciproká rovnice 2. druhu, jestliže an-i = – ai pro i = 0, 1, … , n Např.: –x4 + (1 + i)x3 – 21x2 + (1 + i)x – 1 = 0 je reciproká rovnice 1. druhu √5 x4 – 3x3 + 3x – √5 = 0 je reciproká rovnice 2. druhu (prostřední koeficient u reciprokých rovnic 2. druhu sudého stupně je vždy 0) Nula není nikdy kořenem žádné reciproké rovnice. Dále má-li reciproká rovnice kořen c, pak 1 musímít také kořen . c Reciproká rovnice 1. druhu, lichého stupně má vždy kořen c = –1. Po jejím vydě lení polynomem x+1 obdržíme reciprokou rovnici 1. druhu, sudého stupně Reciproká rovnice 2. druhu má vždy kořen c = 1. Po jejím vydě lení polynomem x–1 obdržíme reciprokou rovnici 1. druhu. Při studiu reciprokých rovnic se tedy můžeme omezit na řeš ení reciprokých rovnic 1. druhu, sudého stupně . Příklad II.8 Ř eš me rovnici 6x6 + 5x5 – 44x4 + 44x2 – 5x – 6 = 0.
24
Řešení: Jedná se o reciprokou rovnici 2. druhu. Proto má kořen c1 = 1. Po vydě lení kořenovým č initelem x–1 dostaneme rovnici 6x5 + 11x4 – 33x3 – 33x2 + 11x + 6 = 0, což je reciproká rovnice 1. druhu, lichého stupně . Ta má kořen c2 = –1. Po vydě lení kořenovým č initelem x+1 dostaneme rovnici 6x4 + 5x3 – 38x2 + 5x + 6 = 0. Toto dě lení lze provést pomoci Hornerova schématu: 6 5 –44 0 44 –5 –6 1 6 11 –33 –33 11 6 0 –1 6 5 –38 5 6 0 Rovnici vydě líme x2 a upravíme na tvar: 6(x2 + x-2) + 5(x + x-1) – 38 = 0 Nynípoužijeme substituci y = x + x-1, y2 = x2 + x-2 + 2. 6(y2 – 2) + 5y – 38 = 0 6y2 + 5y – 50 = 0 5 10 Kořeny této rovnice jsou y1 = a y2 = − . 2 3 Zbývá tedy vyřeš it dvě rovnice: 1 5 1 x+ = neboli 2x2 – 5x + 2 = 0 , která má kořeny x1 = 2 a x2 = x 2 2 1 10 1 x+ =− neboli 3x2 + 10x + 3 = 0 , která má kořeny x3 = –3 a x4 = − x 3 3 1 1 Daná reciproká rovnice má tedy kořeny x1 = 2 , x2 = , x3 = –3 a x4 = − . 2 3
7.
Polynomy s racioná lními a celý mi koeficienty
Nyní budeme hledat kořeny polynomů, s nimižse v praxi nejč astě ji setkáme, tzn. polynomů s racionálními a celými koeficienty. Podívejme se nyní opě t na vě tu II.1.4 (dě lení polynomů se zbytkem). Budou-li f a g polynomy s racionálními koeficienty, g ≠ 0, budou i podíl d a zbytek z polynomy s racionálními koeficienty. Podobně jestliže polynomy f a g jsou polynomy s celoč íselnými koeficienty, g ≠ 0 a vedoucí koeficient g je roven ±1, jsou podíl d a zbytek z téžpolynomy s celoč íselnými koeficienty. Ke každému polynomu f s racionálními koeficienty zřejmě existuje celé č íslo z a polynom s celoč íselnými koeficienty tak, že f* = z. f (za č íslo z stač í vzít např. nejmenš í společ ný násobek jmenovatelů vš ech koeficientů polynomu f). Polynomy f* a f mají stejné racionální kořeny. Vidíme tedy, že při hledání racionálních kořenů polynomů s racionálními koeficienty se můžeme omezit pouze na polynomy s celoč íselnými koeficienty. Zabývejme se tedy hledáním racionálních kořenů polynomů s celoč íselnými koeficienty. Jestliže nula je k-násobným kořenem polynomu g s celoč íselnými koeficienty, pak se polynom g dá napsat ve tvaru g = xk.(an xn + an-1xn-1 + … … . + a2x2 + a1x + a0) , kde a0 ≠ 0 přič emž polynom v závorce má zřejmě stejné nenulové racionální koeficienty jako původní polynom g. Stač í nám tedy, abychom se zabývali hledáním nenulových racionálních kořenů polynomů s celoč íselnými koeficienty, jejichžabsolutní č len je různý od nuly.
25
II.7.1 Vě ta. Nechť racionální č íslo r s (kde r, s jsou nesoudě lná) je kořenem polynomu f, f = an xn + an-1xn-1 + … … . + a2x2 + a1x + a0 , kde ai∈ Z a a0 ≠ 0. Pak platí: ra0 a san.
Dů kaz: Po dosazeníkořene n
r
s
do algebraické rovnice dostáváme:
n −1
r r r + an-1 n −1 + … … . + a1 + a0 = 0 n s s s Odtud po vynásobení č íslem sn dostáváme: an
an rn + an-1.rn-1.s + … … . + a1.r.sn-1 + a0.sn = 0 Tuto rovnici nyní upravíme dvojím způsobem: 1. a0.sn = r.(–an rn-1 – an-1.rn-2.s – … … . – a1.sn-1 ) Cožznamená, že ra0.sn . Podle předpokladu jsou r, s jsou nesoudě lná a musí tedy platit ra0. 2. an rn = s.(–an-1.rn-1 – … … . – a1.r.sn-2 – a0.sn-1 ) Tudížsan rn. Ale r, s jsou nesoudě lná, a tedy san. II.7.2 Dů sledek. Nechť celé č íslo z je kořenem polynomu z vě ty II.7.1. Pak platí za0. Dů kaz: Tvrzeníplyne z předchozí vě ty, neboť z =
z . 1
Praktický výpoč et racionálních kořenů polynomu f z vě ty II.7.1 spoč ívá v tom, že vypíš eme vš echna možná racionální č ísla r s (kde r, s jsou nesoudě lná), splňující podmínky ra0 a san a vybereme z nich (nejlépe pomocí Hornerova schématu) ta č ísla, která jsou kořenem daného polynomu. Čísel r s je koneč ně mnoho, přesto vš ak může být uvedená metoda velmi pracná. Následující vě ta nám umožní snížit poč et vyš etřovaných č ísel r s . II.7.3 Vě ta. Nechť racionální č íslo r s (kde r, s jsou nesoudě lná) je kořenem polynomu f s celoč íselnými koeficienty. Potom pro libovolné celé č íslo m platí: (r – ms)f(m). Speciálně tedy: (r – s)f(1) , resp. (r + s)f(–1). Dů kaz: Vydě lme daný polynom f = an xn + an-1xn-1 + … … . + a1x + a0 (kde ai∈ Z) polynomem (x – m). Dostaneme f = (x – m). g + f(m), kde g = bn-1xn-1 + … … . + b1x + b0 má celoč íselné koeficienty.
26
Potom: r n −1 r r r f = 0 = − m . (bn-1 n −1 + … … . + b1 + b0) + f(m) s s s s n odkud po vynásobení č íslem s a úpravě dostáváme: sn.f(m) = (r – ms).(– bn-1rn-1 – … … . – b1.r.sn-2 + b0.sn-1) Obě závorky jsou celá č ísla, tzn. (r – ms)snf(m). Ale (r – ms) a sn jsou nesoudě lná (neboť jinak existuje prvoč íslo p tak, že p(r – ms) a psn ⇒ ps ⇒ p(r – ms) + ms = r. Pak ale r, s nejsou nesoudě lná – spor). A tedy (r – ms)f(m). Příklad II.9 Nalezně te vš echny racionální kořeny polynomu g = x5 +
3 4 x + 3x3 – 2x2. 2
Řešení: Nejprve vytkneme x2 a vynásobíme č íslem 2: 2.g = x2(2x3 + 3x2 + 6x – 4) Vidíme, že nula je dvojnásobným kořenem polynomu g. Zbývající (nenulové) kořeny získáme vyš etřováním racionálních kořenů polynomu f = 2x3 + 3x2 + 6x – 4 Je-li r s (kde r, s jsou nesoudě lná) kořenem polynomu f (a tedy i polynomu g), pak podle vě ty II.7.1: r–4 ⇒ r = 1, –1, 2, –2, 4, –4 s2 ⇒ s = 1, 2 (u jednoho z č ísel r, s stač í uvažovat pouze kladné dě litele!). Dále vypíš eme vš echny možné hodnoty r s , kde r, s jsou nesoudě lná a pod ně hodnoty r+s a r–s. Podle vě ty II.8.2. musí platit: (r–s)f(1) = 7 , resp. (r+s)f(–1) = –9. Vyš krtáme tedy vš echny zlomky r s pro ně ž(r+s) nedě lí –9 a (r–s) nedě lí 7. Dostaneme: r 1 1 –1 –1 2 –2 4 –4 = s 1 2 1 2 1 1 1 1 r+s=
2
r –s =
0
3 – 1
0
1
3
–1
5
–3
dě lí –9?
–2
–3
1
–3
3
–5
dě lí 7?
1 a 2. 2 Ově ření, zda se jedná o kořeny polynomu f provedeme Hornerovým schématem, pomocí 1 ně hožzjistíme, že je kořen a 2 není. 2 1 Dohromady tedy dostáváme, že racionální kořeny polynomu g jsou č ísla 0 a . 2
Vidíme, že z původních osmi hodnot
8.
r
s
nám zbývají k ově ření pouze dvě , a to
Derivace polynomu. Taylorův rozvoj.
II.5.1. Definice. Nechť f = an xn + an-1xn-1 + … … . + a2x2 + a1x + a0 je polynom. Derivací polynomu f pak nazýváme polynom f´, definovaný: je-li st f ≥ 1 pak f´ = n an xn-1 + (n– 1)an-1xn-2 + … … . + 2.a2x + a1 jinak f´ = 0.
27
II.8.1 Poznámka: Pojem derivace známe z matematické analýzy, kde je zaveden pomocí pojmu limity. V naš em případě nemůžeme tímto způsobem postupovat (nemáme v algebře zavedený pojem limita), a proto definujeme derivaci polynomu formálně , pomocí č istě algebraických prostředků. Nicméně je vidě t, že obě pojetí splývají a lze dokázat, že i základní vlastnosti derivace budou zde stejné jako v matematické analýze. Např. je-li polynom f stupně n ≥ 1, pak jeho derivace f´ je polynom stupně n–1. II.8.2 Definice. Nechť c je libovolné č íslo. Polynom f = c0 + c1(x-c) + c2(x-c)2 + … + cn(x-c)n nazýváme Taylorovým rozvojem polynomu f o středu c. II.8.3 Vě ta. Ke každému polynomu f n-tého stupně a k libovolnému č íslu c existuje právě jeden Taylorův rozvoj polynomu f o středu c, a to x –c (x – c)2 (x – c)n (n) f = f(c) + f´ (c) + f´ ´ (c) + … + f (c). 1! 2! n! Dů kaz: 1. Dokážeme jednoznač nost rozvoje a vzorec z vě ty II.8.3. Předpokládejme, že polynom f má Taylorův rozvoj f = c0 + c1(x-c) + c2(x-c)2 + … + cn(x-c)n . Potom f(c) = c0 f´= c1 + 2c2(x-c) + … + ncn(x-c)n-1, f´ (c) = c1 f´ ´= 2c2 + 3.2c3(x-c) + … + n(n-1)cn(x-c)n-2, f´ ´ (c) = 2c2 . . f(n) = n! , f(n)(c) = cn . 2. Dokážeme existenci rozvoje. V rovnicích f = (x-c) q1 + c0 q1 = (x-c) q2 + c1 q2 = (x-c) q3 + c2 . . qn-2 = (x-c) qn-1 + cn-2 qn-1 = (x-c) qn + cn-1 vyjadřujících dě lení polynomem x-c se zbytkem, jsou c0, … cn-1 konstanty a polynomy q1, q2, … , qn-1 mají stupně n-1, n-2, … ,0. Polynom nultého stupně qn označ íme cn. Rovnice postupně násobíme 1, x – c, (x – c)2, … , (x – c)n-1. Po seč tení vš ech rovnic dostaneme f = c0 + c1(x-c) + c2(x-c)2 + … + cn(x-c)n. Příklad II.10 Najdě te Taylorův rozvoj o středu c = –1 polynomu f = 3x5 + 4x3 + 5x2 + x – 1. Řešení: Pomocí Hornerova schématu vypoč ítáme nejprve koeficienty polynomu q1 a f(–1). Číslo f(–1) je koeficient c0 Taylorova rozvoje polynomu f. Analogicky vypoč ítáme koeficienty polynomu q2 a č íslo q1(–1), cožje koeficient c1 Taylorova rozvoje polynomu f. Analogicky pokrač ujeme dále.
28
–1 –1 –1 –1 –1 –1
0 3 3 –3 3 –6 3 –9 3 –12 3 – 15 = c4 3 = c5
4 5 7 –2 13 –15 22 – 37 = c2 34 = c3
1 3 18 = c1
–1 – 4 = c0
f = –4 + 18(x + 1) – 37(x + 1)2 + 34(x + 1)3 – 15 (x + 1)4 + 3(x + 1)5
9.
Oddělová nívícená sobný ch kořenů
II.9.1 Vě ta. Nechť c je k-násobný kořen polynomu f. Je-li k = 1, pak c není kořenem polynomu f´. Je-li k > 1, pak c je (k–1)-násobným kořenem polynomu f´. Dů kaz: c je k-násobný kořen polynomu f. Proto podle vě ty II.3.4. existuje polynom h tak, že f = (x – c)k. h kde h(c) ≠ 0. f´ = k.(x – c)k-1. h + (x – c)k. h´ = derivace souč inu k-1 = (x – c) .(k. h + (x – c). h´) Je-li k = 1, pak f´(c) = h(c) ≠ 0, tzn. c není kořenem polynomu f´. Je-li k > 1, pak označ me g = k. h + (x – c). h´. Takže f´ = (x – c)k–1.g, kde g(c) ≠ 0 a tedy c je (k–1)-násobným kořenem polynomu f´. II.9.2 Vě ta. Nechť f je nekonstantní polynom a nechť d je nejvě tš í společ ný dě litel polynomů f a f´ a nechť f = d. g. Potom má polynom g stejné kořeny jako polynom f, ale každý pouze jednoduchý. Dů kaz: Vzhledem k tomu, že polynom d je dě litelem polynomu f, musí existovat polynom g, a to právě jeden. 1. Každý kořen polynomu g je zřejmě kořenem polynomu f. 2. Naopak: nechť c je k-násobný kořen polynomu f. Je-li k = 1, pak c není kořenem polynomu f´, tzn. c není ani kořenem polynomu d. Proto musíbýt c jednoduchým kořenem g. Je-li k > 1, pak (x – c)kf, (x – c)k+1nedě lí f, (x – c)k-1f´, (x – c)knedě lí f´. Potom vš ak (x – c)k-1d a (x – c)k nedě lí d [kdyby totiž (x – c)kd, pak z toho, že df´ dostáváme (x - c)kf´ – spor]. Proto c je (k–1)-násobným kořenem polynomu d a tedy musí být jednoduchým kořenem g. Pomocí předchozí vě ty můžeme oddě lit vícenásobné kořeny polynomu f. Místo hledání kořenů původního polynomu f pak stač í hledat kořeny polynomu g, který v případě , že f má kořeny vysokých násobností, je podstatně nižš ího stupně . Je jasné, že předchozí vě ta nám nepomůže v případě , kdy polynom f nemá vícenásobné kořeny. Příklad II.11 Pomocíoddě lování vícenásobných kořenů nalezně te kořeny polynomu f = x6 – 6x4 – 4x3 + 9x2 + 12x + 4. Řešení: f´ = 6x5 – 24x3 – 12x2 + 18x + 12. 29
Pomocí Euklidova algoritmu (podrobný výpoč et si proveďte sami!) zjistíme, že nejvě tš íspoleč ný dě litel polynomů f a f´ je polynom d = x4 + x3 – 3x2 – 5x – 2. Polynom g získáme tak, že polynom f dě líme polynomem d (výpoč et si opě t proveďte sami: g = x2 – x – 2). g = x2 – x – 2 = (x + 1).(x – 2), cožznamená, že původní polynom f má dva kořeny: c1 = –1, c2 = 2.
10. Polynomy s reá lný mi koeficienty II.10.1 Vě ta o imaginárních koř enech. Nechť f je polynom s reálnými koeficienty, který má kořen c = u + iv (u,v ∈ R). Polynom f má potom také komplexně sdružený kořen c = u – iv. Je-li kořen c k-násobný, je i kořen c k-násobný. Dů kaz. Protože c je kořenem polynomu f, platí f(c) = an cn + an-1cn-1 + … + a1c + a0 = 0. Utvoříme k č íslu f(c) č íslo komplexně sdružené 0 = f (c ) = a n .c + a n −1 .c n
n −1
+ L + a1 .c + a 0 = an c n + an-1 c n-1 + …
+ a1 c + a0 =
f( c ), neboť a k = ak (jde o reálná č ísla). Protože f( c ) = 0, znamená to, že c je kořenem polynomu f. II.10.2 Dů sledek: Polynom s reálnými koeficienty lichého stupně má alespoň jeden reálný kořen. II.10.3 Poznámka: Vě ta II.10.1 platí jen pro polynomy s reálnými koeficienty, nikoli pro polynomy s imaginárními koeficienty. Tak např. polynom 2x – 4i má kořen c = 2i, ale nemá kořen c = –2i. II.10.4 Vě ta. Polynom s reálnými koeficienty f je ireducibilní v R právě tehdy když f je lineární nebo kvadratický se záporným diskriminantem. Dů kaz: ⇐ Zřejmé: lineární polynom je ireducibilní a kvadratický polynom se záporným diskriminantem nemá žádný reálný kořen a je tedy téžv R ireducibilní. ⇒ Nechť f je ireducibilní v R a není lineární (st f ≥ 2). Pak ale f nemá žádný reálný kořen (jinak z Bézoutovy vě ty plyne, že f je reducibilní, cožje spor) a podle základní vě ty algebry musí mít imaginární kořen c ∈ C\R. Podle předchozí vě ty je téžč íslo c kořenem polynomu f a polynom g je polynom s reálnými koeficienty. g = (x-c)(x- c ) = x2 – (c + c )x + c c Polynom g dě lí polynom f, to znamená, že existuje polynom h tak, že f = g.h. Potom vš ak musíbýt st h = 0 (jinak spor s tím, že f je ireducibilní v R). Odtud: st f = st g + st h = 2. Tedy f je kvadratický polynom s reálnými koeficienty, který nemá žádný reálný kořen, tzn. f musí mít záporný diskriminant.
30
II.10.5 Dů sledek: Každý polynom s reálnými koeficienty je souč inem koneč ného poč tu polynomů s reálnými koeficienty stupně nejvýš 2. Faktor nultého stupně je nejvyš š í koeficient tohoto polynomu, lineární faktory tvaru x – c odpovídají reálným kořenům a kvadratické faktory tvaru x2 – (c+ c )x + c c odpovídají kořenům nereálným. Rozklad daného polynomu na souč in faktorů je jednoznač ný (až na pořadífaktorů).
11. Racioná lnífunkce II.11.1 Definice: Racionální funkcí P(x) rozumíme podíl dvou reálných polynomů f a g, kde polynom g je nenulový. Definič ním oborem racionální funkce P(x) je množina vš ech reálných č ísel x, pro ně žplatí, že nejsou kořeny polynomu g. Racionálnífunkce P(x) se nazývá ryze lomená, jestliže stupeň polynomu f je menš í nežstupeň polynomu g. II.11.2 Poznámka: Každý polynom je téžracionální funkce. Není vš ak ryze lomená funkce. II.11.3 Vě ta: Každou racionální funkci lze jednoznač ně rozložit na souč et polynomu a ryze lomené racionálnífunkce. Dů kaz: Podle vě ty II.1.4 platí: f = g.d + z, kde stupeň polynomu z je menš í nežstupeň polynomu g. f z =d+ . Protože polynom g je nenulový, můžeme jím celou rovnost vydě lit: g g z d je hledaný polynom a je ryze lomená racionální funkce. g Příklad II.12 6x 4 − 5x 3 + 2x − 7 − 6 x 2 + 19 x − 17 = 6 x − 5 + x3 + x − 2 x3 + x − 2 (Použili jsme algoritmus popsaný v příkladu II.1.) II.11.4 Definice:
A Ax + B , n (x − c ) x 2 + px + q kde A, B, c, p, q ∈ R, n ∈ N a polynom x2 + px + q nemá reálné kořeny, tj. p2 – 4q < 0. Parciální (jednoduché) zlomky jsou racionální lomené funkce tvaru
(
II.11.5 Vě ta: Nechť P(x) =
f je racionální ryze lomená funkce. g
(
)
(
Nechť polynom g = a n ( x − c1 ) 1 .L.(x − c k ) k . x 2 + px + q 1 .L. x 2 + px + q r
r
31
s
)
sl
,
)
n
,
přič emž r1 + L + rk + 2(s1 + L + s l ) = m (tj. polynom g je stupně m), pi2 − 4qi < 0 , i = 1, 2, … , l. Pak ryze lomenou racionální funkci můžeme psát jako souč et parciálních zlomků, přič emž ri-násobnému reálnému kořenu ci odpovídá souč et ri zlomků Ari A1 A2 + +L+ 2 x − ci (x − ci ) (x − ci )ri
(
a páru komplexně sdružených si-násobných kořenů polynomu x 2 + p i x + q i B si x + C si B x + C1 B2 x + C 2 souč et si zlomků 2 1 + +L+ . 2 s x + pi x + qi x 2 + pi x + q i x 2 + pi x + qi i
(
)
(
)
si
odpovídá
)
Příklad II.13 Racionální lomenou funkci P(x) =
(x
4
x2 +1
)
(
+ 4 ( x + 2 )( x − 2 ) x 2 + 9 2
)
2
rozložte na souč et
parciálních zlomků. Řešení: Jmenovatele nejprve rozložíme na souč in kořenových č initelů: x2 +1 x2 +1 = P(x) = 2 2 x 2 + 4 ( x + 2 )( x − 2 )( x + 2 )( x − 2 ) x 2 + 9 (x + 2)2 (x − 2)3 x 2 + 4 x 2 + 9
(
)
(
)
(
)(
)
2
Rozklad na parciální zlomky bude mít tvar: B3 A1 A2 B1 B2 C x + D1 E1 x + F1 E 2 x + F2 P(x) = + + 2 + + + + + 12 2 2 3 2 x + 2 (x + 2 ) x − 2 (x − 2) x +4 x +9 (x − 2) x2 + 9
(
)
II.11.6 Výpočet konstant: 1. Metoda neurč itých koeficientů: Rovnost vzniklou po rozkladu na parciální zlomky vynásobíme polynomem ve jmenovateli. Dostaneme rovnost dvou polynomů. Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin dostaneme soustavu lineárních algebraických rovnic pro hledané koeficienty, která má vždy právě jedno řeš ení.
2. Metoda dosazovací: Rovnost vzniklou po rozkladu na parciální zlomky vynásobíme polynomem ve jmenovateli. Dostaneme rovnost dvou polynomů. Do této rovnosti dosadíme za x tolik hodnot, kolik se v dané rovnosti vyskytuje neznámých konstant. Dostaneme soustavu lineárních rovnic pro neznámé konstanty. Metoda dosazovací je výhodná, jestliže má polynom ve jmenovateli reálné kořeny. Jejich hodnoty pak dosazujeme za x. Příklad II.14 Rozložte na parciální zlomky
5 x 2 − 3x + 1 . (x + 2)(x − 1)2 32
Řešení: Rozklad na parciální zlomky bude mít následující tvar: 5 x 2 − 3x + 1 A B C = + + 2 (x + 2)(x − 1) x + 2 x − 1 (x − 1)2
Tuto rovnost vynásobíme polynomem ve jmenovateli ( x + 2 )( x − 1) a dostaneme: 5x2 – 3x + 1 = A(x – 1)2 + B(x – 1)(x + 2) + C(x + 2) (*) Koeficienty A, B, C můžeme vypoč ítat obě ma metodami. 2
1. Metoda neurč itých koeficientů: 5x2 – 3x + 1 = A(x2 – 2x + 1) + B(x2 + x – 2) + C(x + 2) 5x2 – 3x + 1 = x2(A + B) + x(–2A + B + C) + (A – 2B +2C) Porovnáme koeficienty u jednotlivých mocnin x: x2: 5 = A+B x1: –3 = –2A + B + C x0: 1 = A – 2B +2C Ř eš enísoustavy: A = 3, B = 2, C = 1 2. Metoda dosazovací: x = –2 dosadíme do (*): x = 1 dosadíme do (*): x = 0 dosadíme do (*):
20 + 6 + 1 = 9A 5 – 3 + 1 = 3C 1 = 3 – 2B + 2
A=3 C=1 B=2
5 x 2 − 3x + 1 3 2 1 = + + Závě r: 2 (x + 2)(x − 1) x + 2 x − 1 (x − 1)2
33
