11

ˇ funkce Kapitola 4: Prub ˚ eh

1/11

Funkce monotonní ˇ Veta: Necht’ je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f 0 (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f 0 (x) ≥ 0 na I, je f neklesající na I. (iii) Je-li f 0 (x) < 0 na I, je f klesající na I. (iv) Je-li f 0 (x) ≤ 0 na I, je f nerostoucí na I. (v) Je-li f 0 (x) = 0 na I, je f konstantní na I. Pozor: Platí jen pro interval! Napˇr. pro f (x) = x1 , f 0 (x) = − x12 < 0 na (−∞, 0) ∪ (0, ∞), ale f není klesající na (−∞, 0) ∪ (0, ∞). Dusledek: ˚ Urˇcujeme intervaly, kde f roste, resp. klesá (tzv. intervaly monotonie).

2/11

Lokální extrémy funkce

Definice: Funkce f má v bodeˇ x0 lokální maximum, jestliže ∃ O(x0 ) takové, že ∀ x ∈ O(x0 ) platí f (x) ≤ f (x0 ). Analogicky: Funkce f má v bodeˇ x0 lokální minimum, jestliže ∃ O(x0 ) takové, že ∀ x ∈ O(x0 ) platí f (x) ≥ f (x0 ). Poznámka: Platí-li ostré nerovnosti, mluvíme o ostrém lokálním maximu (resp. minimu). Lokální extrémy . . . spoleˇcný název pro lok. maxima i minima

3/11

Urˇcování lokálních extrému˚

ˇ Veta: Necht’ je funkce f spojitá na (a, b) a x0 ∈ (a, b). (i) Jestliže f 0 (x) > 0 na (a, x0 ) a f 0 (x) < 0 na (x0 , b), pak má f v bodeˇ x0 ostré lokální maximum. (ii) Jestliže f 0 (x) < 0 na (a, x0 ) a f 0 (x) > 0 na (x0 , b), pak má f v bodeˇ x0 ostré lokální minimum. (iii) Je-li f 0 (x0 ) 6= 0, pak f nemá v bodeˇ x0 lokální extrém. ( body podezˇrelé z extrému

f 0 (x0 ) = 0 . . . stacionární body f 0 (x0 ) neexistuje

4/11

Globální extrémy funkce Definice: Funkce f má v bodeˇ x0 ∈ D(f ) globální maximum, jestliže ∀ x ∈ D(f ) je f (x) ≤ f (x0 ) . Analogicky: Funkce f má v bodeˇ x0 ∈ D(f ) globální minimum, jestliže ∀ x ∈ D(f ) je f (x) ≥ f (x0 ) . ˇ Císlo f (x0 ) pak nazýváme maximální (resp. minimální) hodnotou funkce f . Pozn. Ne každá funkce má maximální a minimální hodnotu. ˇ Veta: Necht’ je funkce f spojitá na ha, bi, potom funkce nabývá své maximální a minimální hodnoty na ha, bi. Pozn. Maximální a minimální hodnotu nabývá spojitá funkce bud’ v lokálních extrémech nebo v krajních bodech.

5/11

Funkce konvexní a konkávní Definice: Necht’ je funkce f spojitá na I. 1

Jestliže pro libovolné x1 < x2 < x3 , x1 , x2 , x3 ∈ I, leží bod P2 = [x2 , f (x2 )] pod pˇrímkou nebo na pˇrímce spojující body P1 = [x1 , f (x1 )] a P3 = [x3 , f (x3 )], ˇríkáme, že funkce je konvexní na I.

2

Jestliže bod P2 leží nad pˇrímkou nebo na pˇrímce, ˇríkáme, že funkce je konkávní na I.

ˇ Veta: Necht’ funkce f má na intervalu I druhou derivaci. Potom platí: (i) Je-li f 00 (x) ≥ 0 na I, je f konvexní na I. (ii) Je-li f 00 (x) ≤ 0 na I, je f konkávní na I. ˇ Veta: Necht’ je funkce f definovaná na (a, b) a x0 ∈ (a, b). Je-li f 0 (x0 ) = 0 a f 00 (x0 ) > 0 má f v bodeˇ x0 lokální minimum. Je-li f 0 (x0 ) = 0 a f 00 (x0 ) < 0 má f v bodeˇ x0 lokální maximum.

6/11

Inflexní body Definice: Necht’ je funkce f spojitá na (a, b), x0 ∈ (a, b). Necht’ f 0 (x0 ) existuje (i nevlastní). Je-li f na (a, x0 ) konvexní a na (x0 , b) konkávní (nebo obrᡠˇríkáme, že f má v bodeˇ x0 inflexi nebo graf funkce f cene), má v bodeˇ [x0 , f (x0 )] inflexní bod. ˇ e: ˇ Inflexní bod je bod na grafu f , kde se spojitá funkce Strucn ˇ z konvexní na konkávní cˇ i naopak. mení ˇ Veta: Necht’ funkce f má na intervalu (a, b) druhou derivaci. Jeˇ li f 00 (x) > 0 na (a, x0 ) a f 00 (x) < 0 na (x0 , b) (nebo obrácene) má funkce f v bodeˇ x0 inflexi.

7/11

Asymptoty grafu funkce Asymptota = pˇrímka, která se "pˇrimyká" ke grafu funkce Definice: Jestliže lim f (x) = ±∞ nebo

x→a+

nazýváme pˇrímku grafu f .

x = a

lim f (x) = ±∞

x→a−

vertikální (svislou) asymptotou

Definice: Jestliže lim f (x) = b ∈ R nebo

x→∞

lim f (x) = b ∈ R

x→−∞

nazýváme pˇrímku y = b horizontální (vodorovnou) asymptotou grafu f v ∞ (resp. v −∞).

8/11

ˇ Vyšetˇrování prub ˚ ehu funkce

1

Urˇcení D(f ), sudost, lichost, periodicita.

2

Spojitost, (jednostranné) limity v krajních bodech D(f ) a v bodech nespojitosti ⇒ svislé a vodorovné asymptoty

3

f 0 (x) ⇒ monotonnost, lokální extrémy.

4

f 00 (x) ⇒ konvexnost, konkávnost, inflexe.

5

Nakreslení grafu funkce f a urˇcení H(f ).

9/11

Newtonova metoda - metoda teˇcen Numerická metoda pro pˇribližné urˇcení koˇrene algebraické rovnice f (x) = 0 . Pˇripomenutí ze SŠ: Koˇren rovnice = takové cˇ íslo α, pro které ˇ je rovnice splnena. (zde f (α) = 0). Pˇredpokládáme, že f je spojitá a má první a druhou derivaci na intervalu ha, bi. ˇ Veta: Necht’ f je spojitá na ha, bi a necht’ f (a) · f (b) < 0, potom ∃ c ∈ (a, b) takové, že f (c) = 0. Definice: Jestliže se v intervalu ha, bi nachází práveˇ jeden koˇren rovnice nazýváme interval ha, bi separaˇcní interval.

10/11

Newtonova metoda - metoda teˇcen (2) Necht’ α je koˇren rovnice f (x) = 0 nacházející se v intervalu ha, bi.

Newtonova metoda: Zvolme x0 ∈ {a, b} takové, že f (x0 ) · f 00 (x0 ) > 0. Sestrojme posloupnost {xn }∞ n=0 :

f (xn ) . f 0 (xn ) ∞ Posloupnost {xn }n=0 nazýváme posloupnost postupných ˇ aproximací koˇrene α. Císlo xn je n−tá aproximace koˇrene α. xn+1 = xn −

ˇ pˇredpoklady ˇ Veta: Jsou-li splneny (i) f (a) · f (b) < 0 (ii) f 0 (x) 6= 0 pro ∀ x ∈ ha, bi (iii) f 00 (x) 6= 0 pro ∀ x ∈ ha, bi (iv) x0 ∈ {a, b}, f (x0 ) · f 00 (x0 ) > 0, potom pro posloupnost {xn }∞ n=0 platí

lim xn = α.

n→∞

11/11