11.1 Kansberekeningen [1]

11.1 Kansberekeningen [1] Kansdefinitie van Laplace: P(gebeurtenis) = Aantal gunstige uitkomsten/Aantal mogelijke uitkomsten Voorbeeld 1: Wat is de kans om minstens 16 te gooien, als je met 3 dobbelstenen tegelijk gooit? • Het aantal mogelijk uitkomsten = 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 216 • De volgende uitkomsten zijn gunstig: 18 -> 666 17 -> 566, 656, 665 16 -> 664, 646, 466 16 -> 655, 565, 556 • Het aantal gunstige uitkomsten = 10 • P(som ogen is minstens 16 bij 3 dobbelstenen) = 10/216 = 5/108

Willem-Jan van der Zanden

1

11.1 Kansberekeningen [1] Somregel: Voor elkaar uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2 geldt: P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2) Voorbeeld 2: Wat is de kans dat als je met 2 dobbelstenen gooit, de som van de ogen 2 of 3 is? Som is 2 bij 11 Som is 3 bij 12 en 21 P(som is 2 of 3) = P(som is 2) + P(som is 3) = 1/36 + 2/36 = 3/36 = 1/12 Let op: Je mag de somregel gebruiken omdat de gebeurtenissen “som ogen is 2” En “som ogen is 3” elkaar uitsluiten.


2

11.1 Kansberekeningen [1] Complementregel: P(gebeurtenis) = 1 – P(complement gebeurtenis) Voorbeeld 3: Wat is de kans dat als je met 3 dobbelstenen gooit, de som van de ogen minder dan 17 is? P(som is minder dan 17) = 1 – P(som is 17) – P(som is 18) = 1 – 3/216 – 1/216 = 212/216 = 53/54

Let op: Gebruik de complementregel als je hierdoor een kans sneller kunt uitrekenen.


3

11.1 Kansberekeningen [1] Het vaasmodel: Het aantal manieren om r dingen uit n dingen te pakken zonder op de volgorde te letten, dus het aantal combinaties van r uit n, is

n   r 

Voorbeeld 4: Een groep van 25 personen bestaat uit 10 mannen en 15 vrouwen. Uit deze groep Worden 5 personen gekozen. Bereken de kans dat er 3 vrouwen gekozen worden [Vergelijk dit met een vaas met 25 knikkers (10 rood en 15 groen). Je pakt 5 knikkers Uit de vaas en wilt de kans berekenen dat er 3 groene knikkers bijzitten.]  15  10     3 2 P(3 vrouwen) =     0,3854  25    5


4

11.1 Kansberekeningen [2] Samengesteld kansexperiment : Hetzelfde kansexperiment wordt een aantal keer herhaald. Productregel voor onafhankelijke gebeurtenissen: Voor de gebeurtenis G1 bij het ene kansexperiment en de gebeurtenis G2 bij het Andere kansexperiment geldt P(G1 en G2) = P(G1) ⋅ P(G2) Voorbeeld 1: Bereken de kans dat je 6 van de 6 keer kop gooit met een muntstuk: 6

1 P(6 keer kop) = P(KKKKKK) = ½ ⋅ ½ ⋅ ½ ⋅ ½ ⋅ ½ ⋅ ½ =   ≈ 0,0156 2


5

11.1 Kansberekeningen [2] Voorbeeld 2: Bereken de kans dat je 4 van de 6 keer kop gooit met een muntstuk: 4

2

 6  1   1  P(4 keer kop) = P(KKKKMM) =       ≈ 0,234  4 2   2  Let op: Er zijn 6 boven 4 manieren om bij 6 keer gooien met een muntstuk 4 keer kop te krijgen. Voorbeeld 3: Er is een rad met 5 sectoren: 1 wit, 2 rood en 2 blauw. Bereken de kans op drie gelijke kleuren P(3 gelijke kleuren)

= P(WWW) + P(RRR) + P(BBB)

=

1 1 1 2 2 2 2 2 2 17          5 5 5 5 5 5 5 5 5 125 Willem-Jan van der Zanden

6

11.1 Kansberekeningen [2] Let op: Als je een kleine steekproef neemt uit een grote populatie mag je trekken zonder teruglegging opvatten als trekken met teruglegging. Voorbeeld 4: Van de Nederlanders woont 31% in een grote stad en 15% in een middelgrote stad. Bereken de kans dat van twaalf willekeurig ondervraagde Nederlanders er 2 in een grote stad wonen en 3 in een middelgrote stad. P(2 groot, 3 middelgroot en 7 overig) =

 12  10  2 3 7   (0,31) (0,15) (0,54)  0,034  2  3 


7

11.2 Formules in de kansrekening [1] Berekeningen met breuken: 1. Gelijknamige breuken mag je optellen:

4 5 9 A C AC      a a a B B B 2. Niet-gelijknamige breuken maak je gelijknamig en tel je dan op:

6 2 6b 2a 6b  2a A C AD  BC        a b ab ab ab B D BD 3. Bij het vermenigvuldigen van breuken vermenigvuldig je de tellers met elkaar en de noemers met elkaar.

4 5 20 A C AC      a b ab B D BD Willem-Jan van der Zanden

8

11.2 Formules in de kansrekening [1] Berekeningen met breuken: 4. Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde:

5 2 3 15 1 A C AC  5:  5    7   A  3 2 2 2 B B 2 B 3 C     

5. Haakjes wegwerken (1): 5(a + 3b) = 5a + 15b

=> A(B + C) = AB + AC

6. Haakjes wegwerken (2): (a + 5)(a – 6) = a2 + 5a – 6a – 30 = a2 – a – 30 => (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD


9

11.2 Formules in de kansrekening [2] Voorbeeld 1: Vaas 1 heeft 8 knikkers (a rood, rest zwart) Vaas 2 heeft 10 knikkers (a rood, rest zwart) Uit elke vaas wordt één knikker gehaald. Bereken de kans op het pakken van twee rode knikkers:

P(2 rood) = P(RR) =

a a a2   8 10 80

Voorbeeld 2: Bereken de kans op het pakken van één rode en één zwarte knikker: P(rood en zwart) = P(RZ) + P(ZR) =

a 10  a 8  a a a(10  a) (8  a)a       8 10 8 10 80 80 10a  a2  8a  a2 18a  2a2 9a  a2   80 80 40 Willem-Jan van der Zanden

10

11.2 Formules in de kansrekening [2] Voorbeeld 3: Vaas 1 heeft 8 knikkers (a rood, rest zwart) Vaas 2 heeft 10 knikkers (a rood, rest zwart) Uit elke vaas wordt één knikker gehaald. Is het mogelijk om het aantal rode knikkers in de vaas zo te kiezen, Dat de kans op één rode en één zwarte knikker gelijk is aan 0,55

9a  a2 P(rood en zwart) = 40 Invullen op de GR:

9x  x 2 y1 = 40

en y2 = 0,55

Stel bij TBLSET in TblStart = 0 en ∆Tbl = 1 Aflezen geeft dat dit voor geen enkele a het geval is. Let op: a mag enkel een geheel getal zijn!!! Willem-Jan van der Zanden

11

11.2 Formules in de kansrekening [3] Voorbeeld 1: Een vaas heeft 10 knikkers, waarvan 5 rood, 3 wit en 2 zwart. Er worden twee knikkers uit deze vaas gehaald. Bereken de kans op 2 witte knikkers. Mogelijkheid 1:

3   P(2 wit) =  2   0,067  10    2 Mogelijkheid 2: P(2 wit) =

3 2   0,0667 10 9

Let op: Bij trekken zonder teruglegging kun je combinaties of de productregel gebruiken. Willem-Jan van der Zanden

12

11.2 Formules in de kansrekening [3] Voorbeeld 2: Een vaas heeft 25 knikkers, waarvan a rood en de rest zwart. Iemand haalt 2 knikkers uit deze vaas. Bereken de kans op 2 rode knikkers. 2 a a  1 a ( a  1) a a P(2 rood) = P(RR) =    25 24 600 600

Voorbeeld 3: Bereken de kans op één rode en één zwarte knikker

a 25  1 2a(25  a) 2    25 24 600 P(rood en zwart) = P(RZ) + P(ZR) = 2∙ P(RZ) = a(25  a) 25a  a2  300 300


13

11.2 Formules in de kansrekening [3] Voorbeeld 4: Een vaas heeft 25 knikkers, waarvan a rood en de rest zwart. Iemand haalt 2 knikkers uit deze vaas. Bereken hoeveel rode knikkers er in de vaas moeten zitten wanneer geldt: P(rood en zwart) = 0,52 Invullen op de GR: 2 25 x  x y1 = 300

en y2 = 0,52

Stel bij TBLSET in TblStart = 0 en ∆Tbl = 1 Aflezen uit de tabel geeft: X = 12 geeft Y1 = 0,52 X = 13 geeft Y1 = 0,52 Dus er zitten 12 of 13 rode knikkers in de vaas.


14

11.3 De binomiale verdeling [1] Bernoulli-experiment = een kansexperiment met slechts twee mogelijke uitkomsten. De kans op succes is p. Voorbeelden: • Gooien met een muntstuk (Kop of munt) • Beantwoorden meerkeuze vragen (Goed of fout) • Examen doen (Slagen of zakken) Voorbeeld : In een loterij met 40 loten zijn 5 prijzen te winnen. Iemand koopt vier loten. Het winnen van twee prijzen is voor deze persoon een succes. Bereken p  5  35     P = P(2 prijzen) =  2  2   0,0651  40    4 Willem-Jan van der Zanden

15

11.3 De binomiale verdeling [2] Binomiaal kansexperiment = Het een aantal keer (n) achter elkaar uitvoeren van hetzelfde Bernoulli experiment. Voorbeelden: • 10 keer gooien met een muntstuk (X = aantal keer munt, n = 10, p = 0,5) • 20 vierkeuze vragen gokken (X = aantal vragen goed, n = 20, p = 0,25) • 12 keer elke maand met loterij het vorige voorbeeld meedoen (X = aantal keer 2 prijs, n = 12, p = 0,0651)


16

11.3 De binomiale verdeling [2] Voorbeeld: Iemand beantwoord 20 vierkeuzevragen. Bereken de kans op 15 goede antwoorden: X = aantal juiste antwoorden, n = 20, p = 0,25 Stap 1: De kans op 15 keer succes en 5 keer een mislukking is: (0,25)15(0,75)5 Stap 2: Je kunt op een aantal manieren 15 keer succes en 5 keer een mislukking hebben: • SSSSSSSSSSSSSSSMMMMM, SSSSSMMMMMSSSSSSSSSS, enz….  20  5   20 

In totaal zijn er       mogelijkheden  15  5   15  Stap 3:  20  P(X = 15) =   (0,25)15(0,75)5  15 


17

11.3 De binomiale verdeling [2] Voorbeeld: Iemand beantwoord n vierkeuzevragen. Bereken de kans op k goede antwoorden: X = aantal juiste antwoorden, n = n, p = 0,25 Stap 1: De kans op k keer succes en n-k keer een mislukking is: (0,25)k(0,75)n-k Stap 2: Je kunt op een aantal manieren n keer succes en n-k keer een mislukking hebben.  n  n  k   n 

In totaal zijn er       mogelijkheden k n  k    k Stap 3: n Dus: P(X = k) =   (0,25)k(0,75)n-k k 


18

11.3 De binomiale verdeling [3] Voorbeeld 1: X = binomiaal verdeeld n=3 p = 0,2 x

0

1

2

3

P(X = x)

0,512

0,384

0,096

0,008

P(X ≤ x)

0,512

0,896

0,992

1

De tweede rij van de tabel is de binomiale verdeling van X De derde rij van de tabel is de cumulatieve binomiale verdeling van X Er geldt bij de GR: Binomiale verdeling: P(X = k) = binompdf(n,p,k) Cumulatieve binomiale verdeling: P(X ≤ k) = binomcdf(n,p,k)


19

11.3 De binomiale verdeling [3] Voorbeeld 2: Een schijf heeft vijf sectoren (2 appel, 2 kers en 1 banaan) Bereken de kans op twee keer banaan in acht beurten: X = aantal keer banaan, n = 8, p = 0,2 P(X = 2) = binompdf(8, 0.2, 2) ≈ 0,294 Op de GR: 2ND | VARS | A: binompdf( | ENTER | 8, 0.2, 2) | ENTER Voorbeeld 3: Bereken de kans op hoogstens drie kers in twaalf beurten: X = aantal keer kers, n = 12, p = 0,4 P(X ≤ 3) = binomcdf(12,0.4,3) = 0,225 Op de GR: 2ND | VARS | B: binomcdf( | ENTER | 12,0.4,3) | ENTER


20

11.4 Binomiale kansen gebruiken [1] Let op: Cumulatieve binomiale verdeling: P(X ≤ k) = binomcdf(n,p,k)

Wanneer je met binomcdf werkt, werk je dus altijd met een kans van de vorm P(X ≤ k) Voorbeeld 1: Binomiaal kansexperiment met n = 25 en p = 0,20 en X = aantal keer succes P(X ≤ 7) = binomcdf(25, 0.20, 7) = 0.891 Voorbeeld 2: P(X ≥ 8) = 1 – P(X ≤ 7) = 1 – binomcdf(25, 0.20, 7) = 1 – 0.891 = 0.109 Voorbeeld 3: P(X < 8) = P(X ≤ 7) = binomcdf(25, 0.20, 7) = 0.891


21

11.4 Binomiale kansen gebruiken [1] Voorbeeld 4: Binomiaal kansexperiment met n = 25 en p = 0,20 en X = aantal keer succes

P(tussen 5 en 10 keer succes) = P(5 < X < 10) = P(6, 7, 8 of 9 keer succes) = = P(X ≤ 9) – P(X ≤ 5) = binomcdf(25, 0.20, 9) – binomcdf(25, 0.20, 5) = 0.983 – 0.617 = 0.366 Voorbeeld 5: P(7 of 8 keer succes) = binompdf(20, 0.20, 7) + binompdf(20, 0.20, 8) = 0.055 + 0.022 = 0.077


22

11.4 Binomiale kansen gebruiken [2] Let op: Tot nu toe was n (aantal keren dat je experiment doet) bekend.

Voorbeeld: Gooien met muntstuk. Bereken hoeveel keer je moet gooien zodat de kans op minstens drie keer munt groter dan 98% is. X = aantal keer munt, p = 0.5, n = onbekend Dus bij welke n geldt: P(X ≥ 3) = 1 – P(X ≤ 2) is groter dan 0.98 Invullen in de GR: Y1 = 1 – binomcdf(X, 0.5, 2) Y2 = 0.98 Aflezen uit TABLE geeft n = 11 => 1 – P(X ≤ 2) ≈ 0.967 n = 12 => 1 – P(X ≤ 2) ≈ 0.981 Dus je moet minstens 12 keer gooien. Willem-Jan van der Zanden

23

11.4 Binomiale kansen gebruiken [3] Voorbeeld: Een machine vult pakken koffie met een gemiddelde van 510 gram en een standaardafwijking van 5 gram. Bereken de kans dat in een steekproef van 20 pakken minstens drie pakken minder dan 505 gram bevatten. X = aantal pakken koffie dat minder dan 505 gram bevat n = 20 p = kans dat één pak koffie minder dan 505 gram bevat p = normalcdf(-10^99, 505, 510, 5) = 0.159

P(X ≥ 3) = 1 – P(X ≤ 2) = 1 – binomcdf(20, 0.159, 2) ≈ 0.637


24

11.5 De verwachtingswaarde [1] Voorbeeld: Een loterij heeft 1000 loten. Er is één hoofdprijs van 100 euro. Er zijn 100 troostprijzen van 5 euro. Elk lot kost één euro. Wat is de verwachte winst van iemand die meedoet aan deze loterij? Stap 1: Maak een tabel met alle mogelijke winsten en hun kans. w

99

4

-1

P(W = w)

0,001

0,1

0,899

• Als je de hoofdprijs wint (Kans is 1/1000 = 0,001), krijg je 100 euro. Het lot wat je gekocht hebt, kostte 1 euro. Dus de winst is 100 – 1 = 99 euro; • Als je de troostprijs wint (Kans is 100/1000 = 0,1) krijg je 5 euro. Het lot wat je gekocht hebt, kostte 1 euro. Dus de winst is 5 – 1 = 4 euro. • Als je niets wint (Kans is 899/1000 = 0,899) krijg je 0 euro. Het lot wat je gekocht hebt, kostte 1 euro. Dus de winst is 0 – 1 = -1 euro. Willem-Jan van der Zanden

25

11.5 De verwachtingswaarde [1] Voorbeeld: Een loterij heeft 1000 loten. Er is één hoofdprijs van 100 euro. Er zijn 100 troostprijzen van 5 euro. Elk lot kost één euro. Wat is de verwachte winst van iemand die meedoet aan deze loterij? Stap 2: Vermenigvuldig elke mogelijke waarde van W met zijn kans en tel de uitkomsten op. Je berekent nu de verwachtingswaarde: E(W) = 99 ⋅ 0,001 + 4 ⋅ 0,1 – 1 ⋅ 0,899 = -0,4 Conclusie: De verwachtingswaarde van -0,4 betekent dat een deelnemer per lot gemiddeld 0,4 euro verliest. (De organisator van de loterij maakt per lot dus gemiddeld 0,4 euro winst)


26

11.5 De verwachtingswaarde [1] Voorbeeld: Een loterij heeft 1000 loten. Er is één hoofdprijs van 100 euro. Er zijn 100 troostprijzen van 5 euro. Elk lot kost één euro. Bereken de standaardafwijking van deze kansverdeling. Bij de keuze uit verschillende loterijen is niet alleen de verwachtingswaarde van belang, maar ook de spreiding van de uitkomsten. Bij twee loterijen met een gelijke verwachte winst zul je kiezen voor de loterij waar de spreiding van de uitkomsten het kleinste is. De spreiding kun je uitdrukken met de standaardafwijking. Stap 1: Maak een tabel met alle mogelijke winsten en hun kans w

99

4

-1

P(W = w)

0,001

0,1

0,899


27

11.5 De verwachtingswaarde [1] Voorbeeld: Een loterij heeft 1000 loten. Er is één hoofdprijs van 100 euro. Er zijn 100 troostprijzen van 5 euro. Elk lot kost één euro. Bereken de standaardafwijking van deze kansverdeling. Stap 2: Bereken de standaardafwijking met de grafische rekenmachine.

STAT | EDIT 1:EDIT | ENTER L1 = {99, 4, -1} L2 = {0,001; 0,1; 0,899}

STAT | CALC | 1-Var Stats | 2ND 1 | , | 2ND 2 geeft σx ≈ 3,48. Let op: Bij twee onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt:

Standaardafwijking van X + Y is  x  y

  x2   2y


28

11 Samenvatting Kansdefinitie van Laplace: P(gebeurtenis) = Aantal gunstige uitkomsten/Aantal mogelijke uitkomsten

Somregel: Voor elkaar uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2 geldt: P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2) Complementregel: P(gebeurtenis) = 1 – P(complement gebeurtenis)

Het vaasmodel: Het aantal manieren om r dingen uit n dingen te pakken zonder op de volgorde te letten, dus het aantal combinaties van r uit n, is

n   r 

Samengesteld kansexperiment : Hetzelfde kansexperiment wordt een aantal keer herhaald. Productregel voor onafhankelijke gebeurtenissen: Voor de gebeurtenis G1 bij het ene kansexperiment en de gebeurtenis G2 bij het Andere kansexperiment geldt P(G1 en G2) = P(G1) ⋅ P(G2) Willem-Jan van der Zanden

29

11 Samenvatting Als je een kleine steekproef neemt uit een grote populatie mag je trekken zonder teruglegging opvatten als trekken met teruglegging.

Berekeningen met breuken: 1. Gelijknamige breuken mag je optellen; 2. Niet-gelijknamige breuken maak je gelijknamig en tel je dan op; 3. Bij het vermenigvuldigen van breuken vermenigvuldig je de tellers met elkaar en de noemers met elkaar; 4. Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde. Bernoulli-experiment = een kansexperiment met slechts twee mogelijke uitkomsten. De kans op succes is p. Binomiaal kansexperiment = Het een aantal keer (n) achter elkaar uitvoeren van hetzelfde Bernoulli experiment. X = aantal keer succes en p = kans op succes Binomiale verdeling: P(X = k) = binompdf(n,p,k) Cumulatieve binomiale verdeling: P(X ≤ k) = binomcdf(n,p,k)


30

11 Samenvatting De verwachtingswaarde van -0,4 bij een loterij betekent dat een deelnemer per lot gemiddeld 0,4 euro verliest. (De organisator van de loterij maakt per lot dus gemiddeld 0,4 euro winst) Bij twee onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt: Standaardafwijking van X + Y is

 x  y   x2   2y


31

11.1 Kansberekeningen [1]

Recommend Documents