100+1 příklad z techniky prostředí
1.1 – Oslunění vnitřního prostoru Úloha 1.1.1
10m
0,6m
Zadání V rodném městě X slavného fyzika Y má být zřízeno muzeum, připomínající jeho dílo. Na určeném místě v galerii bude umístěna deska s jeho obrazem. V den jeho narození, v hodinu H má být deska přesně osvícena slunečními paprsky, procházejícími oknem. Určete rozměr a umístění okna. Rozměr desky je 3 x 2 m, její výška 1 m. Určete orientaci galerie ke světovým stranám tak, aby byly splněny předchozí podmínky. Pokud to bude nutné, je možné okno umístit ve stropě (ploché střeše). Zhotovte nákres půdorysu a řezu budovy. Podle zadaných údajů určete o jaké město (ve které zemi) a jakého fyzika se jedná a čím se proslavil.
V=? D=15m 0,8m
3m
1m
0,8m
7m
15m
AxB=?
Obr. 1 Půdorys a řez muzejní halou Den D = datum narození osobnosti Město X – dány souřadnice GPS Hodina H = 10+0,2n Řešení: Zeměpisná šířka φ = 42°24'2.738" N = 42,4° severní šířky, datum 5.10, 11 hodin Deklinace Slunce
δ = 23,45° sin(29,7°M + 0,98°D − 109°) δ = 23,45° sin(29,7° ⋅ 10 + 0,98° ⋅ 5 − 109°) = −5,2°
6
100+1 příklad z techniky prostředí Výška Slunce nad obzorem (τ je hodinový úhel; τ = 15.H)
h = arcsin[sin ϕ (sin δ − cos δ ⋅ cosϕ ⋅ cosτ )]
h = arcsin[sin 42,4(sin(−5,2) − cos(−5,2) ⋅ cos 42,4 ⋅ cos(11.15)] = 40°
Tab. 1 Zadání místa stavby a doby výpočtu 1
52°54‘47.345“N, 0°38‘30.391“W
4. ledna 1643
15
49°36'12.977"N, 11°0'21.777"E
16. března 1787
2
55°40'18.116"N, 12°34'55.248"E
7. října 1885
16
45°48'37.488"N, 9°5'5.015"E
19. února 1745
3
45°4'4.792"N, 7°43'26.791"E
25. ledna 1736
17
44°29'41.956"N, 11°20'34.795"E
9. září 1737
4
61°21'41.305"N, 15°53'27.004"E
27. listopadu 1701
18
48°12'22.687"N, 16°21'45.899"E
20. února 1844
5
54°20'57.278"N, 18°38'48.621"E
14. května 1686
19
54°19'35.16"N, 10°6'56.211"E
23. dubna 1858
6
48°24'7.925"N, 9°58'40.468"E
14. března 1879
20
52°9'29.898"N, 4°29'9.77"E
23. prosince 1837
22. července 1887
21
55°57'16.876"N, 3°11'59.687"W
3. března 1847
7
53°33'39.601"N, 10°2'11.805"E
8
45°4'4.792"N, 7°43'26.791"E
9. srpna 1776
22
50°5'36.361"N, 16°26'34.14"E
26. března 1698
9
53°29'28.237"N, 2°17'2.905"W
24. prosince 1818
23
47°48'1.734"N, 13°1'25.502"E
29. listopadu 1803
10
54°35'40.871"N, 5°55'48.236"W
26. června 1824
24
47°33'16.337"N, 7°34'36.974"E
15. dubna 1707
11
47°47'47.237"N, 3°34'17.085"E
21. března 1768
25
43°42'30.915"N, 10°23'33.35"E
15. února 1564
12
49°22'40.727"N, 2°25'2.116"E
19. června 1623
26
59°19'58.939"N, 18°3'57.293"E
21. října 1833
13
54°35'40.871"N, 5°55'48.236"W
23. srpna 1842
27
55°57'5.751"N, 4°46'41.434"W
19. ledna 1736
14
48°52'9.438"N, 2°20'51.306"E
14. června 1736
28
54°11'26.31"N, 16°10'48.391"E
2. ledna1822
15
49°36'12.977"N, 11°0'21.777"E
16. března 1787
16
45°48'37.488"N, 9°5'5.015"E
19. února 1745
Azimut Slunce
a = 180 − arcsin
sin (τ ) ⋅ cos(δ ) sin (15.11) ⋅ cos(− 5,2 ) = arcsin = 160° cos h cos 40
7
10m
100+1 příklad z techniky prostředí
V=? h=40°
D=15m
0,8m
15m
3m
1m
0,8m
Výška parapetu okna
tg (h ) =
V → V = D.tg (h ) = 15.tg (40) = 0,85.15 = 12,8m D
požadovaný parapet je vyšší než stěna, tj. okno bude ve střeše D3=7,5
0,6m
10m
V=12,8m
V=15,3m
V2=3,2m
D2=4,5m
V=? h=40°
D=15m
0,8m
15m
3m
1m
0,8m
Obr. 2 Výpočtové schéma stínu Výsledek nutno korigovat dle denní doby na konvenci, že sever = 0° a dále po směru Vodorovná vzdálenost okna od stěny
tg (h ) =
8
V2 V2 3,2 → D2 = = = 4,5m D2 tg (h ) tg (40 )
100+1 příklad z techniky prostředí prostředí Určení délky (výšky) okna
tg (h ) =
V3 → V 3 = D.tg (h ) = 18.tg (40) = 0,85.16 = 15,3m D+3
V3 = 15,3 – 9 = 6,3 m
tg (h ) =
V3 V3 6,3 = → D3 = = 7,5m D3 tg (h ) tg (40 )
L = 7,5 – 4,5 = 3 m Okno je stejně dlouhé jako osvětlovaná deska, což je důsledek toho, že sluneční paprsky jsou považovány za rovnoběžné.
Výsledek Okno je dlouhé (vysoké) 3m, široké 2m, stejně jako osvětlovaná deska, což je důsledek toho, že slusluneční paprsky jsou považovány za rovnoběžné. Je vzdáleno 4,5 m od stěny.
0
90 180 160
Obr. 3 Půdorysné umístění objektu do směru slunečního paprsku Zeměpisná poloha daná souřadnicemi souřadnicemi 49°26'59.299"N, 11°5'5.377"E odpovídá německému městu Nürnberg, Nürnberg, kde se 25.11.1882 narodil průkopník termodytermodynamiky Wilhelm Nusselt, Nusselt, autor kritéria zvaného Nusseltovo číslo, které udáudává podobnost při sdílení tepla přestupem mezi pevným povrchem a tekutinou.
Poznámka: Hodnota azimutu odpovídá skutečnosti, že Slunce vychází přibližně na SVV až V, v poledne prochází kolem J a odpoledne zapadá na Z až ZZS. Výška Slunce nad obzorem je v poledne na 50 °s.š. max. 63°, v zimě 17 °, v 10 h v létě 55 5 °, v zimě 12 °.
9
100+1 příklad z techniky prostředí Úloha 1.1.2 Zadání Určete vyložení vodorovného slunolamu nad oknem podle obrázku, jestliže má být okno mezi 11 a 15 h v období od 5. června do 25. srpna zastíněno z nejméně z poloviny své výšky. Zeměpisnou polohu stavby určete dle příkladu 1. Orientace okna je na jih. Zhotovte nákres.
H= 150 mm e2 c
D= 500 mm
Obr. 4 Řez zadaným oknem Řešení Svislý stín
·
tan cos
c … hloubka slunolamu až ke sklu γ … azimut stěny (úhel mezi normálou stěny směřující ven a severem; pro východní stěnu 90°, pro jižní 180° apod.) h … výška Slunce
Úloha 1.1.3 Zadání Z měření meteorologické stanice jsou známy hodnoty slunečního záření dopadající na vodorovnou plochu. Určete, jaké bude rozdělení sluneční energie na svislé roviny orientované k jednotlivým světovým stranám. Použijte naměřená data uvedená v následujícím grafu, nebo si vyberte aktuální hodnoty z meteorologické stanice FAST-TUBO. Každý vypracuje průběh globálního slunečního záření v kroku 1 h pro jeden den a orientaci ke 4 základním (S, V, J, Z) nebo vedlejším směrům (SV, JV, JZ, SZ). Řešení Azimut slunce pro 50° s.š.
10
sin 15. cos cos
100+1 příklad z techniky prostředí Výška slunce pro 50° s.š.
sin 0,766. sin 0,643. cos . cos 15.
Úhel mezi normálou osluněné roviny a směrem slunečního paprsku se stanoví pro vodorovnou rovinu
#$ % $&'
1000 900
28.VII
800
28.II
700 600 500 400 300 200 100 22:00
23:00
2
28.II
0
10
21:00
0
20:00
18:00
0
10
19:00
17:00
0
9
16:00
28.VII
8
15:00
6
14:00
5
13:00
4
12:00
3
11:00
08:00
2
10:00
07:00
1
09:00
06:00
05:00
04:00
03:00
01:00
02:00
I (W/m2)
00:00
0
13
14
15
16
17
18
111 274 377 497 384 351 154 102 61
20
1
0
0
98 272 462 623 565 588 380 346 449 477 295 396 180 55
4
700 600 500 400 300 200 100 0 7
11
12
0
Obr. 5 Průběh intenzity dopadajícího záření v minutovém kroku (horní graf) a hodinovém kroku (dolní graf) na vodorovnou plochu. Naměřená hodnota odpovídá globálnímu slunečnímu záření, které se skládá z přímého a difúzního záření, jejichž podíl je obtížné stanovit. Čím je obloha jasnější, je přímé záření větší a difúzní menší a naopak při zatažené obloze přímé záření klesá a difúzní záření vlivem odrazu od mraků roste. Přibližně rozdělíme difúzní záření z globálního takto
(),* () () 410. (+,* ,-,- pokud 2 1 pak 1 (+,* (+ (+
Závislost mezi difúzní radiací dopadající na svislou a vodorovnou rovinu popisuje vztah 6,78 (),3 29. (),*
11
100+1 příklad z techniky prostředí Pro další výpočet již uvažujeme přímou složku slunečního záření Ip,H na vodorovnou rovinu
(9,*
(),* .( (+,* +,*
Měrný tepelný tok dopadající na orientovanou rovinu v závislosti na intenzitě ve směru slunečního paprsku popisuje další vztah, z čehož odvodíme intenzitu ve směru slunečního paprsku In
(9,* (: cos %
Z této hodnoty můžeme dopočítat intenzitu radiace dopadající na libovolnou svislou stěnu s azimutem γ, která svírá se slunečním paprskem úhel Θ, který vypočteme pro svislou rovinu
#$ % #$ #$| | (9 (: cos %
Ovšem v případě, že rozdíl azimutů stěny a slunce je větší jak 90°, je stěna ve stínu a přímé záření na ni nedopadá. Pak působí jen složka difúzní. Pokud je stěna osluněná, dopadá na ni jak záření přímé, tak difúzní.
Tab. 2 Příklad řešení pro 21.7, 15 h; poloha Slunce a = 246 °; h = 44 °; θV = 46 ° Globální na vodorovnou rovinu
Difúzní na vodorovnou rovinu
Přímé na vodorovnou rovinu
Přímé ve směru slunečního paprsku
Difúzní na svislé stěny
Přímá na svislou stěnu SEVER
VÝCHOD
JIH
ZÁPAD
560
218
342
492
202
0
0
144
322
250
236
14
20
207
0
0
5
13
Tab. 3 řešení pro 21.5, 11 h; poloha Slunce a = 152 °; h = 58 °; θV = 32 ° Globální na vodorovnou rovinu
Difúzní na vodorovnou rovinu
Přímé na vodorovnou rovinu
Přímé ve směru slunečního paprsku
Difúzní na svislé stěny
800
210
590
696
350
228
122
144
Přímá na svislou stěnu SEVER
VÝCHOD
JIH
ZÁPAD
199
0
173
326
0
205
0
36
67
0
Úloha 1.1.4 Zadání Pan Novák má u svého domu zahrádku a je vyhlášeným pěstitelem citrusů. V jeho sousedství však má být postaven nový bytový dům podle nákresu a on má obavy, že jeho zahrada bude ve stínu. Určete pro každý měsíc (den = pořadové číslo n) dobu, kdy jeho zahrada bude alespoň částečně ve stínu. Objekt je na jižní Moravě. Rozměry zahrady Výška nové budovy
12
X = 10+0,3n Y = 15+0,5n H = 50-n
100+1 příklad z techniky prostředí
Obr. 6 Situace a řez zadaného objektu a přilehlé zahrady Úloha 1.1.5 Zadání Pro zadání z příkladu 1 (místo a datum) určete dobu východu a západu Slunce, azimut pro tuto dobu, výšku Slunce nad obzorem v poledne slunečního času, dobu občanského, nautického a astronomického soumraku a teoretickou dobu slunečního svitu. Vyneste na časovou osu. Řešení Definice soumraků: - Astronomický soumrak - Slunce se nachází 12° až 18° pod obzorem. - Nautický/námořní soumrak - Slunce se nachází 6° až 12° pod horizontem. - Občanský soumrak - je doba mezi západem (východem) Slunce a okamžikem, kdy je Slunce 6° pod obzorem. Výška Slunce nad obzorem je při východu a západu slunce rovna 0. Z následující rovnice můžeme při předpokladu, že sin(h) = 0 vyjádřit τ
$&' $&'<. $&' = #$<. #$ . #$ 0 $&'<. $&' = #$<. #$ . #$ #$
$&' . $&'< #$ . #$<
#$ >? . >? < 13
100+1 příklad z techniky prostředí Vypočítanou hodnotu τ (°), pomocí funkce arccos je nutné vydělit 15, abychom získali čas v hodinách H. Pokud od výsledku odečteme 12 h, získáme čas, kdy vychází Slunce. Přičtením 12 h dostaneme hodinu západu Slunce.
#$ > >? . >? < >? 20,977. >? 49,1 3,745 @ > A 12 ; C 12 = 15 15
Teoretická doba slunečního svitu
DE C A
Při výpočtu azimutu v jiné době než mezi 6 a 18 h je vypočtenou hodnotu upravit přičtením nebo odečtením 180° tak, aby měla fyzikálně smysl.
14
100+1 příklad z techniky prostředí
1.2 – Sluneční hodiny Sluneční hodiny udávají pravý sluneční čas, který se od našeho běžného času liší. Zejména tím, že pohyb Slunce během roku je nepravidelný (to postihuje časová rovnice) a také tím, že náš čas je pásmový, tj. platí pro určité pásmo zeměpisné délky (náš středoevropský čas je středním slunečním časem pro 15. poledník). V pravé sluneční poledne (tj. poledne na slunečních hodinách) je Slunce vždy na jihu a to s větší přesností než kompas.
Obr. 7 Průmět slunečního stínu od polosu (tyč mezi svislou a vodorovnou rovinou) do roviny rovníku a roviny svislé a vodorovné, čímž jsou definovány jednotlivé druhy slunečních hodin Úloha 1.2.1 Zadání Sestrojte přenosné sluneční hodiny ve vodorovné poloze pro místo Vašeho trvalého bydliště. Sestrojte datovou čáru pro den Vašich narozenin. K jejich konstrukci využijte znalosti o zdánlivém pohybu Slunce na obloze. Vypočtěte rozdíl mezi pravým slunečním časem a naším běžným pásmovým časem v den Vašich narozenin. Zeměpisné souřadnice místa bydliště odečtěte z mapy P1.
Obr. 8 Vodorovné sluneční hodiny
15
100+1 příklad z techniky prostředí Za 24 oběhne Slunce Zemi o celý kruh, tedy o 360°. Za jednu hodinu je to 360/24 = 15°, to se nazývá hodinový (časový) úhel. Pro libovolnou hodinu je definován:
> |F 12|. 15
Např. pro 15 hodinu je to (15-12).15 = 45°. V heliotechnice se často využívá symetrie pohybu Slunce kolem 12 h, využijeme ji i při této konstrukci. Výpočet směrníků T hodinových přímek se odvodí sférickou trigonometrií z obrázku 10. Rovina s označením světových stran je rovina horizontu (obzorníku). Hodinová kružnice k je od poledníku odkloněna o hodinový úhel t. Směrník T tedy určíme pro hodinu H, zeměpisnou šířku φ a její hodinový úhel t ze vzorce:
>' >' > . $&' <
Obr. 9 Princip číselníku vodorovných hodin. Polos tvaru trojúhelníku směřuje k severu, jeho přepona svírá s rovinou číselníku úhel místní zeměpisné šířky a je rovnoběžná s osou rotace Země.
Obr. 10 Číselník vodorovných hodin. Směrníky Τ jsou symetrické podle polopřímky pro 12 hodinu (velké písmeno T a řecké τ znamenají to stejné). Hodinová čára pro 12 je ve směru místního poledníku (sever – jih) přesně podle kompasu.
16
100+1 příklad z techniky prostředí
Obr. 11 Pohyb stínu po vodorovných hodinách (ukazují 15:45) Nyní vyrobíme polos – ukazatel tvaru trojúhelníku, jehož vrchol bude umístěn tam, kde se sbíhají hodinové čáry. Sklon šikmé hrany odpovídá zeměpisné šířce.
Obr. 12 Umístění polosu. Svislá stěna je tvarovaná, aby se zabránilo chybám při čtení hodin podle stínu. Nyní zbývá vyznačit datovou čáru pro den narozenin. Jak je vidět na obr. 12, stín z polosu je zpravidla příliš dlouhý, proto se k určení délky stínu používá zářez, označený jako N. Během dne a roku se délka stínu mění podle výšky Slunce nad obzorem a azimutu. Na slunečních hodinách bylo zvykem označovat datové čáry ke 20. dni každého měsíce, tedy vstup Slunce do jednotlivých znamení zvěrokruhu. Nejkratší stín je za letního slunovratu (Slunce vstupuje do znamení Raka – odtud obratník Raka), nejdelší v zimním slunovratu (Kozoroh). Nám však postačí vyznačit jednu křivku. Jsou to vždy hyperboly a pro polovinu hodin (12 až 18 hodin) jsou vyznačeny na obr. 14. Polohu datové čáry určíme v ortogonálních souřadnicích x a y podle geometrie slunečního stínu z obr. 14.
17
100+1 příklad z techniky prostředí
13
14 15
16
17 20.3 (Beran)
18
Obr. 13 Hodinové čáry (13 až 18 h) a datové čáry udávající vstup Slunce do jednotlivých znamení ve tvaru hyperboly (všechny měsíce mimo slunovratných mají vždy po dvou jednu datovou čáru společnou: leden = listopad, květen = červenec).
Obr. 14 Sluneční paprsek vrhá stín definovaný polárními souřadnicemi. Polohu bodu pro každou hodinu zadaného dne (narozenin) určíme z pravoúhlého trojúhelníku NOC. Svislá tyč má výšku s (představuje úsečku u výřezu polosu).
18
