11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)
11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y ∈ H dengan x < y berlaku f (x) ≤ f (y). Jika ketaksamaan < berlaku, maka kita katakan bahwa f naik sejati pada H. Definisi serupa dapat dirumuskan untuk fungsi turun dan turun sejati pada H. Fungsi naik atau turun disebut fungsi monoton. Fungsi yang naik dan turun sekaligus pada H mestilah konstan pada H. Contoh 1. (i) Fungsi f : R → R yang didefinisikan sebagai f (x) = x3 merupakan fungsi naik sejati pada R. (ii) Fungsi g : (0, ∞) → R yang didefinisikan sebagai g(x) = turun sejati pada (0, ∞).
1 x
merupakan fungsi
Proposisi 2. Jika f naik pada [a, b], maka f mencapai nilai minimum di a dan nilai maksimum di b. Bukti. Misalkan a < x < b. Maka menurut definisi kita mempunyai f (a) ≤ f (x) ≤ f (b). Jadi f mencapai nilai minimum di a dan nilai maksimum di b. Sekarang kita akan membahas limit fungsi monoton. Untuk itu, kita perkenalkan notasi f (c−) = lim f (x) x→c−
69
70
Hendra Gunawan
Gambar 11.1(i) Grafik fungsi f (x) = x3
Gambar 11.1(ii) Grafik fungsi g(x) =
1 x
dan f (c+) = lim+ f (x), x→c
asalkan kedua limit ini ada. Contoh 3. Misalkan f : R → R didefinisikan sebagai x, x ≤ 1; f (x) = 3 2, x > 1
71
Pengantar Analisis Real
Maka, f (1−) = 1 = f (1), sedangkan f (1+) = 32 . Teorema 4. (i) Jika f naik dan terbatas di atas pada (a, b), maka f (b−) = sup f (x). x∈(a,b)
(ii) Jika f naik dan terbatas di bawah pada (a, b), maka f (a+) = inf f (x). x∈(a,b)
Bukti. (i) Misalkan M = sup f (x). Diberikan > 0 sembarang, kita harus mencari x∈(a,b)
suatu δ > 0 sedemikian sehingga jika b − δ < x < b, maka |f (x) − M | < atau M − < f (x) < M + . Ketaksamaan f (x) < M + selalu terpenuhi karena M merupakan batas atas untuk f pada (a, b). Selanjutnya, karena M − bukan merupakan batas atas untuk f pada (a, b), maka terdapat suatu y ∈ (a, b) sedemikian sehingga M − < f (y). Namun f naik pada (a, b), sehingga untuk setiap x yang memenuhi y < x < b berlaku M − < f (y) ≤ f (x). Jadi, pilihlah δ = b − y. (ii) Serupa dengan (i). Akibat 5. Misalkan f naik pada (a, b). Jika c ∈ (a, b), maka f (c−) dan f (c+) ada, dan f (x) ≤ f (c−) ≤ f (c) ≤ f (c+) ≤ f (y) untuk a < x < c < y < b. Soal Latihan 1. Buktikan Teorema 4 bagian (ii). Mulai dengan memisalkan m = inf f (x). x∈(a,b)
2. Buktikan jika f turun dan terbatas di bawah pada (a, b), maka f (b−) = inf f (x). x∈(a,b)
72
Hendra Gunawan
Gambar 11.2 Kasus f (c−) < f (c) < f (c+) 3. Buktikan jika f dan g naik (sejati) pada H, maka f + g naik (sejati) pada H. 4. Diketahui f (x) > 0 untuk setiap x ∈ H, dan g := (sejati) pada H, maka g turun (sejati) pada H.
1 f.
Buktikan jika f naik
5. Diketahui f naik sejati pada A. Buktikan bahwa f merupakan korespondensi 1-1 antara A dan B := f (A), sehingga f −1 ada. Buktikan bahwa f −1 naik sejati pada B.
11.2 Fungsi Monoton yang Mempunyai Turunan Pada bagian ini kita akan membahas bagaimana kita dapat menyelidiki kemonotonan suatu fungsi melalui turunannya, bila fungsi tersebut mempunyai turunan. Persisnya, kita mempunyai teorema berikut. Teorema 6. Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). (i) Jika f 0 (x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ (a, b), maka f naik pada [a, b]. Jika f 0 (x) > 0 untuk tiap x ∈ (a, b), maka f naik sejati pada [a, b]. (ii) Jika f 0 (x) ≤ 0 untuk tiap x ∈ (a, b), maka f turun pada [a, b]. Jika f 0 (x) < 0 untuk tiap x ∈ (a, b), maka f turun sejati pada [a, b].
73
Pengantar Analisis Real
Bukti. (i) Misalkan x dan y bilangan sembarang di [a, b] dengan x < y. Maka f memenuhi hipotesis Teorema Nilai Rata-rata pada [x, y] dan karenanya f 0 (c) =
f (y) − f (x) y−x
untuk suatu c ∈ (x, y). Jika f 0 (t) ≥ 0 untuk tiap t ∈ (a, b), maka f 0 (c) ≥ 0 dan karenanya f (x) ≤ f (y). Jadi f naik pada [a, b]. Jika f 0 (t) > 0 untuk tiap t ∈ (a, b), maka f 0 (c) > 0 dan karenanya f (x) < f (y). Jadi f naik sejati pada [a, b]. (ii) Serupa dengan (i). Contoh 7. Misalkan f : R → R didefinisikan sebagai f (x) = x(1 − x). Turunannya adalah f 0 (x) = 1 − 2x. Jadi f 0 (x) ≥ 0 untuk x ≤ 21 dan f 0 (x) ≤ 0 untuk x ≥ pada (−∞, 12 ] dan turun pada [ 12 , ∞).
1 2.
Dengan demikian f naik
Soal Latihan 1. Misalkan n ∈ N. Buktikan bahwa fungsi f : [0, ∞) → R yang didefinisikan sebagai f (x) = (x + 1)1/n − x1/n merupakan fungsi turun pada [0, ∞). 2. Misalkan f mempunyai turunan dan naik pada suatu interval terbuka I. Buktikan bahwa f 0 (x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ I. Jika f naik sejati pada I, apakah dapat disimpulkan bahwa f 0 (x) > 0 untuk tiap x ∈ I? Jelaskan.
11.3 Invers Fungsi Monoton Menurut Soal 11.1 No. 5, fungsi f yang naik sejati pada A mendefinisikan suatu korespondensi 1-1 antara A dan B := f (A). Dalam hal ini f akan mempunyai invers f −1 . Lebih jauh, f −1 naik sejati pada B.
74
Hendra Gunawan
Dalam kasus di mana f kontinu dan daerah asal f merupakan interval, sebutlah I, maka daerah nilainya juga merupakan suatu interval, sebutlah J = f (I) (Teorema 10 pada Bab 8). Lebih jauh, kita mempunyai teorema berikut. Teorema 8. Misalkan f : I → J dengan I interval dan J = f (I). Jika f naik sejati dan kontinu pada I, maka f −1 : J → I kontinu pada J. Bukti. Andaikan f −1 tidak kontinu di suatu titik d ∈ J. Asumsikan bahwa d bukan titik ujung J. Maka, mengingat f −1 naik sejati pada J, f −1 (d−) dan f −1 (d+) ada, dan f −1 (d−) < f −1 (d+). Sekarang misalkan c ∈ I sedemikian sehingga f −1 (d−) < c < f −1 (d+) dan c 6= f −1 (d). Karena itu f (c) tidak terdefinisi (buatlah ilustrasinya!), dan ini bertentangan dengan hipotesis bahwa f terdefinisi pada I. Teorema 9. Misalkan I dan J interval, I ◦ dan J ◦ interval terbuka yang mempunyai titik ujung sama dengan titik ujung I dan J. Misalkan f : I → J kontinu dan J = f (I). Jika f mempunyai turunan pada I ◦ dan f 0 (x) > 0 untuk tiap x ∈ I ◦ , maka f −1 : J → I ada dan kontinu pada J. Lebih jauh, f −1 mempunyai turunan pada J ◦ dan 1 (f −1 )0 (y) = 0 f (x) untuk tiap y ∈ J ◦ dan x = f −1 (y). Catatan. Bukti Teorema 9 dapat dilihat di [2]. Soal Latihan 1. Misalkan f : R → R didefinisikan sebagai f (x) = 1 + x + x3 . Tunjukkan bahwa f mempunyai invers dan hitunglah nilai (f −1 )0 (−1). 2. Berikan sebuah contoh fungsi f : A → R yang naik sejati dan kontinu pada A, tetapi f −1 tidak kontinu pada B = f (A). (Petunjuk. Himpunan A tentunya bukan suatu interval.)
Pengantar Analisis Real
75
11.4 Fungsi Konveks* Misalkan I ⊆ R suatu interval. Fungsi f : I → R dikatakan konveks pada I apabila untuk setiap t ∈ [0, 1] dan x1 , x2 ∈ I berlaku f ((1 − t)x1 + tx2 ) ≤ (1 − t)f (x1 ) + tf (x2 ). Catat bahwa untuk x1 < x − 2, titik (1 − t)x1 + tx2 bergerak dari x1 ke x2 ketika t bergerak dari 0 ke 1. Jadi jika f konveks pada I dan x1 , x2 ∈ I, maka ruas garis yang menghubungkan titik (x1 , f (x1 )) dan (x2 , f (x2 )) berada di atas grafik fungsi f (lihat Gambar 11.3).
Gambar 11.3 Grafik fungsi konveks Sebuah fungsi konveks tidak harus mempunyai turunan di setiap titik. Sebagai contoh, f (x) = |x| merupakan fungsi konveks pada R tetapi tidak mempunyai turunan di 0. Namun, dapat ditunjukkan jika f konveks pada interval terbuka I, maka f mempunyai ‘turunan kiri’ dan ‘turunan kanan’ di setiap titik dalam I. Sebagai akibatnya, setiap fungsi konveks pada interval terbuka merupakan fungsi kontinu. Teorema berikut memperlihatkan kaitan antara fungsi konveks dan turunan keduanya, bila fungsi tersebut mempunyai turunan kedua. Istilah konveks dalam hal ini setara dengan istilah ‘cekung ke atas’ yang telah kita bahas pada Bab 9. Teorema 10. Misalkan I interval terbuka dan f : I → R mempunyai turunan kedua pada I. Maka, f konveks pada I jika dan hanya jika f 00 (x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ I.
76
Hendra Gunawan
Bukti. Misalkan f konveks pada I. Untuk tiap c ∈ I, kita mempunyai f (c + h) − 2f (c) + f (c − h) . h→0 h2
f 00 (c) = lim
Kita pilih h cukup kecil sedemikian sehingga c − h dan c + h ada di I. Maka, c = 1 2 [(c + h) + (c − h)], sehingga f (c) = f
1 1 1 1 (c + h) + (c − h) ≤ f (c + h) + f (c − h). 2 2 2 2
Akibatnya, f (c + h) − 2f (c) + f (c − h) ≥ 0. Karena h2 > 0 untuk tiap h 6= 0, kita simpulkan bahwa f 00 (c) ≥ 0. Sebaliknya, misalkan f 00 (x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ I. Untuk membuktikan bahwa f konveks pada I, ambil x1 , x2 ∈ I dan 0 < t < 1, dan misalkan x0 = (1 − t)x1 + tx2 . Berdasarkan Teorema Taylor, terdapat ξ1 di antara x0 dan x1 sedemikian sehingga f (x1 ) = f (x0 ) + (x1 − x0 )f 0 (x0 ) +
(x1 − x0 )2 00 f (ξ1 ) 2
dan juga terdapat ξ2 di antara x0 dan x2 sedemikian sehingga f (x2 ) = f (x0 ) + (x2 − x0 )f 0 (x0 ) +
(x2 − x0 )2 00 f (ξ2 ). 2
Perhatikan bahwa (1 − t)(x1 − x0 ) + t(x2 − x0 ) = (1 − t)x1 + tx2 − x0 = 0 dan 2 2 0) 0) E := (1 − t) (x1 −x f 00 (ξ1 ) + t (x2 −x f 00 (ξ2 ) ≥ 0. Akibatnya, 2 2 (1 − t)f (x1 ) + tf (x2 ) = f (x0 ) + E ≥ f (x0 ) = f ((1 − t)x1 + tx2 ), sebagaimana yang kita harapkan. Soal Latihan 1. Buktikan f konveks pada interval I jika dan hanya jika untuk setiap x1 , x2 , x3 ∈ I dengan x1 < x2 < x3 berlaku f (x2 ) − f (x1 ) f (x3 ) − f (x2 ) ≤ . x2 − x1 x3 − x2 Berikan interpretasi geometrisnya beserta ilustrasinya.
77
Pengantar Analisis Real
2. Buktikan f konveks pada interval I jika dan hanya jika untuk setiap x1 , x2 , x3 ∈ I dengan x1 < x2 < x3 berlaku f (x3 ) − f (x1 ) f (x2 ) − f (x1 ) ≤ . x2 − x1 x3 − x1 Berikan interpretasi geometrisnya beserta ilustrasinya. 3. Buktikan jika f konveks pada interval terbuka I, maka lim
h→0−
f (c + h) − f (c) dan h
lim
h→0+
f (c + h) − f (c) h
ada untuk setiap c ∈ I, dan sebagai akibatnya f kontinu pada I. 4. Misalkan f mempunyai turunan pada interval terbuka I. Buktikan f konveks jika dan hanya jika f 0 naik pada I. 5. Misalkan I interval terbuka, f : I → R naik sejati, konveks, dan mempunyai turunan pada I. Misalkan c ∈ I sedemikian sehingga f (c) = 0. Konstruksi barisan hxn i dengan x1 > c dan xn+1 = xn −
f (xn ) , f 0 (xn )
n = 1, 2, 3, . . . .
Buktikan bahwa xn → c untuk n → ∞. (Metode penghampiran ‘akar’ f ini dikenal sebagai Metode Newton-Raphson. Untuk f (x) = x2 − a, metode ini menghasilkan barisan hxn i yang dibahas pada Bab 3, Contoh 13.)
