I
/3TROJNICK~ SBORN íK
NfoNt lUCKO. V1tDKC ~:e PBÁCB VY80K: Q SK?LY ZELEZ
v
P~UZE
I
531.6
prožius o uceleno u theorii volnéh o kyvadla. přesných hodin, opatřeného ny první Msti se probírá. vliv závěsné pružiny na kyvadl o a. jsou sestave je části další :q Qbsaher ji. vystihu hově rovnice , které pohyb kyvadl a zám pružný ~ o kyvadl se jimiž osti, skutečn se u točení kyvadl a. Zjišťují QQ. kyvadl a s břitovým závěsem. Závěiem práce ěetfeirl skutečného kYvadl a přesných hodin. Je zde čín vliv závěsné pružiny na zrycIi}ování chodu hodin .ebd ;:ychloá't a zrychle ní a konečně je zde také výpočetproI ~u ,otáčení kyvadl o ěho tělesa,")
1.0. ÚVOD " /
I
\
.
ť
,
'9
,
-
J
r
I
'" ,
'
°l
o Obr. 2.
Obr. 3.
,
Tento závěs poskytuje kyvadlu jako tělesu stejnou pohyblivost, jakou má. volné těleso" ovšem s jistými omezeními. Takto upravené kyvadlo má tedy tři stupně volnosti. U skuteč ného kyvadla můžeme při malých rozkyvech předpokládat (jak se .dále potvrdí), 'Že dráhy bodů na ose kyvadla-jsou stále kolmé na tutoosu. Tím vlastně nedbáme jednoho stupně pohyblivosti. pude tedy mít naše volné kyvadlo dva stupně volnosti. Tyto dva stupně volnosti na kyvá.dle snadno zjistíme (obr. 2). Postavení kyvadla při pohybu určíme totiž , jednoznáčně dvěma souřadnicemi, 'na př. vychýlením těžiště 8 a natočením tělesa. Kolem ' těžiště. Bude tedy .poloha dána určitou délkou a určitým úhlemr..Jak uv.idime dále při ře šení, nemůžeme u takto provedeného kyvadla, přísně ~ato, dost dobře hovořít o amplitu, dě, protože jednoznačně určitému postavení těžiště neodpovídá. určité úhlové l1a~ osy kyvadla. ,', U přesných vteřinových kyvadel bývá maximální úhlová. výchylka asi 50'-:-- LO. v. d,a.Wm řešení budeme proto běžně používat, zná.mých aproximaci . sintp"':"'P,oos'P...:.. 1• Dopustíme se tím maximální chyby pro sin 'P .•.. 0,()()()()()068, t. j. přibližně 0,04 ,pro cos.tp .... 0,000128, t. j. 0,128 °/00
10
,
°/00•
U = Q cos
ti + O".
Abychom si učinili aspoň přibližnou představu o změnách sily U, určeme číselné hodnoty pro vteřinové kyvadlo. Pro takové -kyvadlo je rozkyv r asi, 15 mm; úhlová rychlost harmonického pohybu
(JJ
'
;
. :
1t <
Největší odstředivá
»:
.
~
síla" ,
(t. j. největší,dostřeilivé zrychlení) bude ve středaí poloze. . MŮŽ«}me tu velmi zhruba předpokládat, že se kyvadfo otáčí kolem horníhobodu vetknuté prulíny. Pak je "délka" kyvadla, měřená od tohoto bodu k těžišti, rovn}l = 92,9 cm [1~ a dostředivé aychlení . ' r ..
! 5
o .
_ O24 1,5 • 1t , cmIs 3 . 92 ,9 3
,
3
N
zldooem ke gravitačnímu zrychlení g = emIsI. je tato hodnota rovna 0,24 °/00' X / j ém poměru vzroste ve střední poloze aírotože zde je velmi -přibližně 1jJ = O. Pro .V·O mlohu kyvadlafjerjeho rychlost nulová, Obr. 4. to i O = O. Zde pak je sila U menší než Q telem na. C081jJ, tedy pro zmíněnou výchyl. I '511 00,128 °/00' Vidíme tedy, že střední síla U v ose kyvadla bude s velkou přesností vna jeho váze Q. Po těchto předběžných úvahách můžeme přistoupit ke stanovení vlivu_, ," užiny:na kyvadlo. 2.0. Působení pružiny zá.věsu na kyvadlo •. výpoětu budeme předpokládat,že pružina je přesně rovná,'Zasazená.svisle do pevného u a že její 'fIŮtřní odpor je tak malý, že ho není třeba dbát. Rovněž rám považujeme za ionlle tuhý. Předpokládáme-dále, že ma~riál pružiny sleduje pro malé rozkyvy ky-
I
II
,
\
Z předešlé kapitoly' víme, že m~eme s velkou přesností kláSt '(J ~
M8=N~+~ +M . .
.
ds
e=-d rp ' ", I
kde 8 je délka oblouku křivky a rp úhel její tečny s osou ě. Po dosazení do rovnice (1) a po úpravě nám, vyjde, že .P
~
'"
drp ' 1, .' lis = EJ (N~.+ Qrj +M) . \
j
,
Pak se rovnice ohybové "
.
čáry pružiny změní na
.
drp 1 • ds = EJ
Další transformační rovnicí dostaneme, že
~?Iiečný
12
tvar rovnice je proto
8
,
•
tJ =
....
"
Í\
,'
(!! + QTJ + M) .
\
.'
tvar
"
.
j'
fsin rp • ds . ' oJ rp • ds • o
(2)
:' '"1
.
N
tp.=--. Q
tp=O
&
I
I
/
\
dtp M. M -=-=ds EJ EJ· I
.
N 0.=.Q.
.
.'
13
• Kompletní
řešení tedy
I
je toto: .
Pro další řešení potřebujeme úhel 'Ip, který svírá osa kyvadla - tedy také 083.e svislicí. Podle obrázku 4 je zřejmo, že 'Ip je rovno úhlu fP pro 8 = z, kde z je délka pružiDY~ , Je proto '
V
J
V.
V~; sinh E~ z + .~ (COSh E~ z -
'Ip =
.
,
I) .
.
Celé toto řešení provádíme, abychom zjistili vztah mezi účinky N a 'M a souřadJÍiceml fYvadla 'Ip a x (obr. 4). Pro výchylku x platí transformačnírovnice . I
x = z. sin 'Ip -TJo : C08'1p, což je podle zavedených
přibližností rovno
'.
x . ZIp -TJo'
Je vidět, že musíme ještě určit průhyb TJo pružinyvzhledem k ose' e.·Průhyb "1]0 je rovnice
. . TJo "
.
,
J fP • ds : určen Vztahem . o •
.z:
TJo=
J[V:~J8inh V%J ;,+ ~{COSh VJJ
o
•
S
-
',.
1)]d8,
,
/
,
•
f
~,~ ~['O'hV%J'-ll+~(V~ ~inhV%J;~'l Dosazením ,za 'I(J a 110 do rovnice (5) .dost anem!l:
'x:
[~eoshV%J'Z~,~V~Sin~V%Jzr~'+
.+ [z VQEJ . VQ EJ z. .- Q S illh'
I (
eosh
VQEJz-1')]. ..
Pro zkrácení další~h výpočtů zavedeme nové konstanty:
M ..
/
rovnioe (4) a. (6) změní ve.: vztahy 'P....:. ..A.N+ B,.M, F.N+ G.M. x a 'P' Pro napsán í jsme zlskaJf již vztahy mezi silou N, momen tem M a souřadnicemi t, j. N a M jako , vztahy í inversn ovat potřeb však e budem bo:vých rovnic knadl a : • ' . . ee x a tJ'' Výpočtem získá.me I T . (7) N = tj) . x E -, 'P ' } .M = Ll . :f A .VJ , '
8e
x=
I
+ +
Ironsta nty tj) .$'_Ll, A . jsou t tj)
B GA - FB' A ~FB' GA
= -
Ll =
Dosa.zenim
vyjádřeny jako
,
G -. ~ = GA - FB " F . GA -FB A ~-
původních hodnot-pružin y dostává me konečně:
, .
I
,. '
Q
-l cOSh V!Lz . EJ
2
VS
EJ
J
2 z .
V
Q
EJ ,
(8)
/
1
2-
zV~sinh V1J· z
oosh
V-z-1
.' EJ
\
. EJ
·
.
Q
. cosh
.
V~ z .
VQ ' ·Q· "Z2..Q-' , z V EJ smh EJz 2
V!Lz-1 colI~ EJ -
•
--::;-;:= =---:::- ;::=-- -
zVQ'EJl m'hVQEJ
z '
'
1 ':
.,
' :
Obr. 5. . I
Q a. = - Qv1- (~ + Etp), g
,
,
I
J.e = - (<1.% + Atp)
+ h(~ + Etp) •
Všimněme si, že pravě stra.ny rovnic o~uji mim x, kte~ urěui~ vý konce kyvadla.. Zrychlení a/l je však dáno ddriva.ci souřadnice y; mtlsfiDe odstranit. Podle obr. 5 platí, že
16
a; = -
Q g
(Q
+E -
MP) 'fl -
(/Jy •
.
~
Z
W .,'. (L1 -:- k(/J) y .
Y
J sB = -
~----'-------..
(A -
kE"'--- hL1
+ k2(/»
'fl -
rovnice přejdou zavedením nových konstant v jednoduché vztahy
Q
- aB = g
Z'fJ -
J sB = -
Y'fl -
Z=
(/Jy • Wy .
W,
d2y m -'df-l = -ZtlJ-(/Jy T ,
(ll)
Jsou to dvě lineární simultánní diferenciální rovnice dsuhěho řádu s konstantními koeficienty. F ' . / ftešení těchto rovnicprovedeme takto: vložíme do nich partikulární řešení ve tvaru
y = e'u,
VJ = S'. e M
,
d~ dZy _ ~2At dl 2 -Jl..e , dl 2= S'~2 Jl.. e AI .
m1!e AI = - Zffe AI J IJAZcAI
' m1 1
J:fi).!
(/Je At
=-
YB . e AI -
= -
Z . S -(/J }
=~Y
,
Ze'V,
.S-Z
I
, I
'(12)
.
mA! + (/J Z Z - J).! + Y' mJB • A'
+ «(/JJ.;+ mY) 1..2 + (lPY -
Zl) = O.
17
To je kvadratické rovnice pro A,lt. Řešením plyne, že A,I
_ -(f/JJ.
+ my) '±'V(f/JJ. + mY)I-4mJ.(f/JY - Z ~ 2mJ.
1,1 -
-iw , - iw , iQ,-íD. Přitom
ro a D vyplynou z upravené rovnice (13): ro)=
f/Jm+~± Y Y(f/Jm-~Y)I
Y
D
2
2
ZS.
+ -a,
-
-
Dosazením těchto výsledků :vyplynou z rovnic (12) hodnoty konstanty S. Platí, že ' \ -mA,2-
S= zřetelem
se
Z
f/J ,mu ' X:l:
na dvě hodnoty A,2
\
SI ,=
mw2_f/J Z "
Sn=
mD2 Z
f/J
Obecná. řešení pohybových rovnic' jsou pak tato:
+ 02e-~"" + 0 3 eiD! + O, e-ilH , + O;fil e-i"" + 03SU e i D I + O,Sn e-i D I ,
Y = Ol e~""
I
tp= O}SI ei""
I
-
' .
což použitím EuIeroyých iden~it přejde ve tvar
Zaveďme nové
Ol
konstanty podle
+O = T " 2
. Tím obdržíme obecná
vztahů
i(Ol, -
řešení
Olt)
= L ',.
03
+ O, = V ,
rovnic ve tvaru
+ L sin rot + V cos Dt + &sin Dt , tp.= SIT cos rot + SIL sin rot + Sn V cos Dt + Sne sin !lt . Čtyři integrační konstanty T -;- e vyplynou z kinematických podmínek na. za~ •
y = T cos rot
hybu. Tyto podminky mohou být velmi rozmanité; tím dostáváme také libovo pohybů. Zde již po prvé vidíme diametrální rozdíl proti kyvadlu s břitorlm v me na příklad takové podminky, že na začátku byl~ kyvadlo vychýleno II P..ř..i to "::;~'i~~;1W
18
+ V, VJo= SlT + Su V•
. 110= T I
}
(14) I
ohli
vyhovět
dalším
dvěma.
podmínkám, musíme nejprve ' určit derivace
}
(15)
. ,
.; /
.
(16)
(17)
(18)
(19)
19
\
, 4.0.
Určení středu otáčeni
kyva.dla.
VÝřešení této otázky/je pro pružinový závěs kyvadla nejvýš důležité. Jé tu také zřejmý diametrální rozdíl proti kyvadlu s. břitovým závěsem, kde je střed otáčení neproměrínj; jak. co do své polohy'na pevném rámu, tak i co dopolohy na. tělese kyvadla. Kyvadlo s pružinovým závěsem má v~k mnohem obecnější možnost pohybu, jeho střed otáčení se bude v průběhu pohybu měnit, bude tedy pouze ok!l'mžitým středem točení. Pamatujme, že těleso se při .svém pohybu v rovině pohybuje tak, že se pevnou křivkou s ním spojenou odvaluje po nehybné křivce zákla.dnfh9 rámu. J'sou to z kinematiky známé polome (obr. 6). Bod P, ve kterém se obě polodie dotýkají, nazývá se pólem pohybu nebo okamžitý.m středem otáčení tělesa. Kyvadlo se pohybuje tedy tak, že se zatím neznámá pevná. křivka s nim spojená. odvaluje po nehybné křivce, spojené s pevným rámem. Náě hledaný atňid otáčení kyvadla. je tedy totožný s jeho pólem pohybu P. Při jeho stanoveni musíme , oházet z jisté podmínky, které mUBÍ střed otáčení vyhovovat. Z kinematiky víme, že ryo okamžitého středu otáčeni je .v daném okamžiku nulová. Určujeme proto bod ky;\) který má pro daný okamžik nulovou rychlost. Musíme tu rozlišovat polohu tohoto tělese kyvadla a jeho polohu na rámu. Budeme určo~at polohu okamžitého střed na. kyvadle. Jeho poloha. na. rámu se dá mimochodem velmi snadno zjistit, určíme-li pólo bodu na. kyvadle. • . . Abychom určili na kyvadle bod, který má v jeho dané poloze nulovou ryohlost rozložtfí pohyb kyvadla v posuvný pohyb jeho středj.ska S a druhotnou rotaci kolem osy, kter'& stfediskem prochází. Rychlost střediska tJ. je s velkou přesností kolmá na osu kyyadla. Tento předpoklad jsme uvedli již v první kapitole a na konci tohoto pojednáni zjistíme v číselném zhodnocení, že vyhovuje s největší přesností.1) Rychlost libovolného bodu kyvádla. jé dána vektorovou rovnicí I
v
v=v. + VI,' kde druhotná rychlost VI je způsobena. druhotnou rotací kolem S. I / : _ Pro okamžitý střed točení muáí levá strana rovnice zmizet. Je zřejmo, že unášivá rychkolmá na. lost se .musí ~ruěit rychlostí druhotnou. Protože je tJ. kolmá na. osu kyvadla a spojnici neznámého středu točeni P s těžištěm S, musí okamžitý střed otáčení nutně ležet na. ose kyvadla (obr. 7). Protože rychlost tJ" je na osu kyvadla. neustále kolmá, bude pól P ležet vf.dy na. ose kyvadla. Hybná polodie je tedy přímka ležící v ose kyvadla. Podmínka pro nulovou rych'Iost pólu dává rovnici
v.
p. -:- ~ . w , ~
kde ~ je míra určující vzdálenost pólu od těžiště a w je úhlová rychlost kyvadla. Analyticky vyjádřeno bude J ' . j dy . dy = 1= dtp dl c; a odtud ~ = d.n . dt dt T
dl 1) Se zřetelem na tuto přibli!n08t bude skutečný stfed otáCSeJú le!et velmi ~Uzko osy.~
, 20
&k je
Y vidět,.m118Íme , určit. rychlosti ddt a
ddV" Pro
t
dešlé kapitole, použijeme rovnic (16) a (17). Rornice (16) a. (17) derivujeme jednou podle dy dt
tlJ
-=-w
-
TO
81 -
8-tl
11.70
počá.teč~í
podmínky, vyslovené v
pře-
Č&8U
sin wt - D
Su
,8I!/0- '1J0 T
SI - ~n
sin Dt ,
d'P 8 xro V'o --;- 8~0 smw. t 8 n~4 A 8I!/0 - V'o sin ~4 At . ~-~-~ ~-~
/.,,,I ,!I/0' ,"
"t/· I jl! I
,IJ
, ,i/ 'Ii
.~
'I I I
J.
".-L
/
,'1-/ I) " Ob r . 6.
tl
dosázení do rovnice (21) dostaneme ~=
Obr. 7. pro.~
vztah
w(V'o - 8 nyo) sin wt + D(8I!/0 - 'Po) sin Dt , 8xro(V'0 - .8nY~~ sin wt + 8 n!J(SI!/0 - V'o) sin Dl
(22)
jsme zfaka.lí cenný vztah, který nám udává polohu okamžitého středu otáčení kyvadla. tVlml je zřejmo, že se vskutku jeho poloha mění s pohybem kyvadla. náS bude zajímat vzdálenost ~o pólu P na začátku pohybu, vychýlíme-li kyvadlo Witúíie·li je z klidu (v .souhlase s .podmínkami předešlé kapitoly). Položením t = O Cl
(22) dostaneme však neurčitý výraz ~. 'Aby chom stanovili jeho hodnotu, deriry.21
jeme zvJ.á.štčitatele a jmenovatele a.: znovú ,dosadíme t = 0, Tím do~
~ _ .....
0-
o}·('Po.- 8nYo) +Q2(SxYO- 'PO> Srn 2('Po - SnYo) SuQ2(S.,yo - 'Po)
+
5,0. Určení vztahu mezi Yo"a 'Po pro speciá.lní" poČá.teční Z dosavadních-úvah a výsledků řešení jsme poznali, že pohyb kyvacÍlá je tak rozmanitý, že obecné výsledky výpočtu nedávají nám ani m aspoň přibližné závěry, o působení pružiny. V kapitole 3.0 jsme si jíž určité počáteční podmínky (vypouštíme vychýlené kyvadlo z klidu). PrO má dva stupně volnosti, musíme pro počátek znát nejen výchylku yo, ale i kyvadla 'Po' Při vychýlení kyvadla záleží však na tom, kde je podepřeme;;Po, museli z podmínek rovnováhy určit k výchylce' Yo příslušnou výchylku "Po' Z možných případů vybereme jediný, pro který také v dalšípl rlklad'l1 pro výpočet. Předpokládejme totiž, že kyvadlo ' yychýlíme tak; že je uchepe . vedeme ze svislé, střední polohy (obr. 8). . V počáteční poloze je kyvadlo v rovnováze, t. j. musí být splněna. také m mínka rovnováhy k těžišti S. Početním vyjádřením dostáváme, že •. věsem
hl{o~Mo=
•
O.
\
Srovnáním této rovnice s rovnicí (10) zjistíme, že jsou stejné s výjimkou to strana: je rovna nule. Použitím druhé z rovnic (ll) můžeme hořejší vztah přep
0= \
Y1jIo-;-Zyo.
.
kde Y a Z jsou stejl}é konstanty jako v rovnicích Cll)..Úpravou do~eme, že
22
./
Tyto výsledky jsou velmi poučné. Z první rovnice zjistíme na. př., ze že pro přibližné porovnání Z druhé rovnice je zřejir1ó, že dráha těžiště je kolmá na osu kyvadla, je splněn s velkou přesností. Nyní již můžeme přibližně určit, 'jak se projeví pružina při ~W rovnávacího břitového kyvadla jsme zjistili, že w' = 3,168503 lIs, PQ kyvů za jeden den. U kyvadla s pružinovým závěsem vycházi 87 21 Způsobí tedy pružinázrychlení kyvadla o 75,7 kyvů za jěden den Vypočtěme si polohu "náhradního" závěsného bodu, který udejme kyvadlo s frekvencí rovnou o». Císelně dostaneme 1,72 mm pod ho ~U8íme ovšem pamatovat, že toto srovnání je pouze přibližné. Vš' . rychlosti (postačí rychlost těžiště): . kmitočtů je 310000 ; 1. Vidíme tedy, úplně přihlédnout jen k prvnímu členu.
Zde je poměr amplitud obou složek v potněru 2500 : L To je 'iž zj" se jako velmi jemné chvění kyvadla.. Pro průběh zrychlení dostaneme vztah
.24
n
a
E'I
=
1 8
=
92,753 cm. V
bodě
I
= 93,287 cm. V
~
3 čas ta = 2Q a. ~3 = 77,5 cm. V mis.
bodě /j konečně t~=
1t rl ;:,~
'
'
a
~ó
L
= -8 = -4,83 cm. II
\
-
-
vidět, že ~ se pohybuje v nejširších mezích, takže o nějakém "stá~
se nedá vůbec hovořit. Zvláště v krajních polohách kyvadla je na. opačné straně od těžiště, než na které je závěsný
Střed otáčení
Obr. 10.
I
I
7.0.
Závěr
25
