Západočeská univerzita v Plzni fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Univerzitní 8 306 14 Plzeň
Semestrální práce předmětu Matematické modelování
Vyšetřování pohybu kyvadla
V Chomutově dne 30.01.2007 V Plzni dne 08.02.2007
Ludvík Vlček
[email protected]
Internally blank
Obsah 1.Anotace..............................................................................................................................................4 2.Definice úlohy...................................................................................................................................4 2.1.Matematické kyvadlo.................................................................................................................4 2.2.Reálné kyvadlo..........................................................................................................................4 2.3.Ostatní fyzikální veličiny...........................................................................................................4 3.Matematický model...........................................................................................................................5 3.1.Formulace úlohy........................................................................................................................5 3.1.1.Nulový odpor prostředí......................................................................................................6 3.1.1.1.Analytické řešení........................................................................................................6 3.1.1.2.Numerické řešení........................................................................................................8 3.1.1.3.Naměřená data............................................................................................................9 3.1.2.Nenulový odpor prostředí................................................................................................11 3.1.2.1.Analytické řešení......................................................................................................11 3.1.2.2.Řešení matematického modelu.................................................................................12 3.1.2.3.Numerický výpočet..................................................................................................14 Plocha grafu není jednolitá barva, jsou to opravdu sinusoidy. Vzhledem k měřítku jsou „jen natlačeny“ těšně u sebe.................................................................................................14 3.2.Nelineární úloha.......................................................................................................................17 3.2.1.Výpočet............................................................................................................................17 3.2.2.Experimentální data.........................................................................................................17 4.Diskuze výsledků.............................................................................................................................23 4.1.Lineární, matematický model bez tlumení..............................................................................23 4.2.Lineární, matematický model s tlumením...............................................................................23 4.3.Nelineární matematický model................................................................................................24 5.Závěr................................................................................................................................................24 6.Literatura.........................................................................................................................................25
1. Anotace V předložené práci se pokusím o matematické modelování poměrně jednoduché úlohy, vyšetřování pohybu matematického kyvadla. Matematický model se pokusím řešit jak standardními dostupnými numerickými (výpočetními) prostředky (Matlab), tak i nastíním obecně používané postupy anylytické. Součástí práce bude i praktické ověření reálného kyvadla. Veškeré zjištěné výsledky budou postupně diskutované. A to jak výsledky empirické, získané měřením reálného kyvadla, tak výsledky získané „numerickou cestou“ tak i výsledky získané analytickým řešením.
2. Definice úlohy 2.1. Matematické kyvadlo Pro účely řešení předkládané semestrální práce budeme předpokládat, že pod pojmem „matematické kyvalo“ budeme rozumět následující: ● Hmotný bod o hmotnosti m je zavěšen na elastickém závěsu konstatní délky l . ● Nechť má závěs nulový elastický odpor. ● Nechť je kývající se nehmotný bod limitně nekonečně malých rozměrů. ● Nechť je nenulový odpor prostředí při kývání (odpor vzduchu) c 1 a je konstatní. ● Nechť je gravitační zrychlení g v místě měření konstatní
2.2. Reálné kyvadlo Pro účely předkládané semestrální práce jsem zvolil uspořádaní reálného kyvadla následující: ● Jako dostatečně „hmotný bod“ byla zvolena ocelová příruba o hmotnosti m = 2 876 g od úvazu závěsu až po těžiště „hmotného bodu“. ● Elastický závěs byl realizován pletenou nylonovou konzolovou šňůrou. Pletená šňůra byla po několika experimentech zvolena pro svoji relativní torzní stabilitu. ● Délka závěsu je l = 2,308 m . ● Časová měření byla prováděna digitálními stopkami s možností postupného odečítání časových intervalů (až 30). ● Odměřovací stupnice je namalovaná na zdi
2.3. Ostatní fyzikální veličiny Pro účely oveřovacího měření jsou proto ostatní související fyzikální veličiny považovány za konstatntní. Zejména: ● gravitační zrychlení, které je podle matematicko-fyzikálních tabulek pro „střední evropu“ stanoveno na hodntou: g = 9,80665 m s−2 ● tlumení (odpor vzduch) není stanoven tabulkově, bude jako součást úlohy vypočeno. Předpokládáme, že je v průběhu měření (výpočtu) konstantní. ● Předokládáme také, že použitý „hmotný bod“ má svoji hmotnost konstantní.
3. Matematický model Při tvorbě matematického modelu vycházíme z následující (fyzikální) představy idealizovaného matematického kyvadla, viz schematický obrázek.
3.1. Formulace úlohy Protože se snažíme formulovat matematický popis jistého fyzikálního jevu, vyycházíme proto ze základních fyzikálních zákonů. Konkrétně aplikací Newtonova pohybového zákona. Rozborem úlohy zjistíme, že ● působící síla je vyvolaná gravitací (gravitačním zrychlením) působící na hmotný bod. ● hmotný pod uvádí do pohybu pouze tečná složka síly ● hmotný bod se pohybuje po výseku kruhové dráhy proměnnou rychlostí, vždy v krajních úvratích je rychlost nulová. ● hmotný bod je ve svém pohybu tlumen, zpomalován odporem prostředí.
3.1.1. Nulový odpor prostředí Nejprve budeme vyšetřovat zjednodušnou úlohu, kdypředpokládáme nulový odpor prostředí, kyvadlo nebude tlumené.
3.1.1.1. Analytické řešení je zřejmé, že základní rovnice popisující toto chování bude ve tvaru d2 s m mg sin = 0 dt 2 V uvedené rovnici se vyskytují dvě proměnné, je praktické se pokusit jednu z nich vyjádřit pomocí druhé. K tomu využijeme vlastnost s=l Rovnici pak převedeme na tvar d2 m 2 m 2 sin = 0 dt kde g 2 = l Je patrné, že jde o nelineární diferenciální rovnici. Analytické řešení takovýchto rovnic patří mezi značně obtížné úlohy. Abychom se vyhnuli tomuto problému, provedene operaci zvanou „linearizace“. Vyjdeme přitom ze skutečnosti, že s dostatečnou (praktickou) přesností lze položit sin ~ Tím nelineární diferenciální rovnice přejde na tvar d2 2 m m =0 2 dt což je obyčejná diferenciální rovnice druhého řádu s konstatními koeficienty. Tuto rovnice lze již poměrně snadno řešit analytickými prostředky. Protože jsou známy poměry stavu kyvadla na počátku procesu, doplníme o rovnici ještě o počáteční podmínky. 0 = 0 ' 0 = '0 Vyjdeme-li z obecného tvaru obyčejné diferenciální rovnice s konstantními koeficienty a y' ' b y' c y = 0 a její charakteristické rovnice a 2 b c = 0
Je zřejmé, že kořeny charakteristické rovnice budou 1,2 = −
b b2−4ac ± 2a 4a 2
Porovnáním (případně dosazením) pak pro naši rovnici dostaneme 1,2 = ±i Takže řešením naší rovnice je lineární kombinace harmonických (bázových) funkcí ve tvaru t = C 1 cos t C 2 sin t Zbývá stanovit koeficienty C 1 a C 2 . Protože proces kývání kyvadla probíhá tak, že vychýlíme kyvadlo z rovnovážné polohy o předem zvolený úhel 0 , a v této poloze kyvadlo fixujeme. Poté v čase t = t 0 = 0 uvolníme fixování a kyvadlo začíná vykonávat svůj pohyb. Je proto zřejmé, ze kyvadlo se v okamžiku uvolnění fixace nepohybuje, tudíž '0 = 0 . Takže platí o = C 1 cos t 0 C 2 sin t 0 = 0 1
0
'
0 = C 1 sin t 0 C 2 cos t 0 = 0 0
proto C 1 = 0 a C 2 = 0 a partikulární řešení naší rovnice je t = 0 cos t což je výsledek, který jsme očekávali.
1
3.1.1.2. Numerické řešení Pro řešení zadané úlohy numerickou cestou, pomocí výpočetních prostředků použijeme matematický balík Matlab. Tento nabízí poměrně rozmanité prostředky pro řešení této třídy úloh. Protože modelujeme poměrně jednoduchou úlohu, u je poměrně dobře známé její „chování“, volíme metodu ODE45. Což metoda typu Runge-Kuta, v terminologii systému matlab označovaná jako metoda střední třídy. Poznamenejme jen, že použité numerické výpočetní postupy lze aplikovat i na nelineární diferenciální rovnici zmíněnou výše. Její použití bude popsáno později. Nyní uveďme několik (převážně grafických) výsledků. Jejich rozbor a následná diskuse bude v samostatném odstavci.
Časový průběh netlumeného kyvadla.
Kyvadlo ve fázové rovině.
3.1.1.3. Naměřená data Provnejme nyní výsledky získané analytickou cestou, „ze vzorečku“ a výsledky získané numerickou cestou s daty, která jsem získal „experimentem“. Jak jsem již zmínil dříve, veškerá naměřená data jsem získal subjektivním měřením v „domácích podmínkách“. Jediný rozumně dostupný měřicí nástroj (přístroj), který jsem měl k dispozici byly digitální stopky. Proto všechny měření času jsou zatíženy chybou reakční doby lidského organismu (mého) v řádu cca 0.15 až 0.25 sec. S tímto vědomím je nutné veškeré maněřené výsledky posuzovat. Budeme-li podrobněji „pracovat“ s analytickým výsledkem, obdržíme několik, poměrně praktických, závěrů. ● Je zřejmé, že délka periody kývání kyvadla není závislá na jeho hmotnosti, ale jen a pouze l na poměru gravitačního zrychlení a délky závěsu T 0 = 2 g ● Dosazením příslušných hodnot do vzorce dostaneme 2.308 T0 = 2 = 3,04815770583 sec perioda vypočtená numericky 9.80665
●
Delka intervalu jednotlivych kmitu (kyvů) t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0:
● ●
+0.00000000000000000e+00 +7.62039426455684565e-01 +2.28611827937017997e+00 +3.81019713228193568e+00 +5.33427598519595492e+00 +6.85835483810926583e+00 +8.38243369102138303e+00 +9.90651254393378977e+00 +1.14305913968470669e+01 +1.29546702497612802e+01 +1.44787491026746196e+01 +1.60028279555871613e+01 +1.75269068084993158e+01
sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec
-1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1
(+7.62039426455684565e-01 (+1.52407885291449530e+00 (+1.52407885291175571e+00 (+1.52407885291401923e+00 (+1.52407885291331091e+00 (+1.52407885291211720e+00 (+1.52407885291240675e+00 (+1.52407885291327716e+00 (+1.52407885291421330e+00 (+1.52407885291333933e+00 (+1.52407885291254175e+00 (+1.52407885291215450e+00 (+1.52407885291245293e+00
sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec
) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
Je patrné, že délka kmitu je ve velmi přesné shodě s analytickým výsledkem: 3,0481577058 sec. Experimentálně naměřená data Byl průběžně měřen čas vždy po 20 periodách kyvadla. Útlum byl zanedbán, protože se ve výsledcích neprojevil. Mnohem více se projevil subjektivní vliv experimentátora. 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10.
měření měření měření měření měření měření měření měření měření měření
celkový čas: doba kmitu:
60,86 60,94 60,72 60,96 60,76 60,74 60,74 60,80 60,72 60,82
sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec
608.06 3,0403
Což představuje relativní chybu
sec sec
3.0481577058 − 3.0403 ∗100 ~ 0,2578 % 3.0481577058
Vzhledem k uvedeným okolnostem měření lze považovat experimentálně získaná data za velmi dobrá. Byla dosažena shoda s jak numerickými tak i analytickými daty na cca 3-4 platné cifry.
3.1.2. Nenulový odpor prostředí Budeme-li nyní uvažovat nenulový odpor prostředí, mnohem více se přiblížíme se realitě. Kyvadlo bude vykonávat tlumené kmity. Protože tabulkové stanovení tlumícího koeficientu považujeme za nedostupné, provedeme doplňkové měření ke stanovení tohoto koeficientu. Využijeme k tomu již získané výsledky.
3.1.2.1. Analytické řešení Navážeme nyní na linearizační proces provedený v bodě 3.1.1.1 a budeme nyní uvažovat vliv tlumení (odpor vzduchu). Diferenciální rovnice přejde na tvar d2 d m m 1 m 2 = 0 2 dt dt což je obyčejná diferenciální rovnice druhého řádu s konstatními koeficienty. Tuto rovnice lze již poměrně snadno řešit analytickými prostředky. Poznamenejme jen, že koeficient 1 je zatím bez bližšího určení a budeme ho považovat za „souhrnný“ koeficient pro ● tlumicí vliv okolí ● elastické vlastnosti (elastický odpor) závěsu ● „nemulové“ vlivy hmotného, konečně velkého bodu Platí stejné závěry o znalostech poměrů stavu kyvadla na počátku procesu, doplníme o rovnici ještě o počáteční podmínky. 0 = 0 ' 0 = '0 Vyjdeme-li z obecného tvaru obyčejné diferenciální rovnice s konstantními koeficienty a y' ' b y' c y = 0 a její charakteristické rovnice a 2 b c = 0 Je zřejmé, že kořeny charakteristické rovnice budou 1,2 = −
b b2−4ac ± 2a 4a 2
Jelikož (zatím) neznáme všechny koeficienty diferenciální rovnice, označme řešení 1,2 = ±i Takže řešením naší rovnice je nyní funkce t = e t [C 1 cos t C 2 sin t]
Ovšem nyní musíme stanovit jak koeficienty C 1 a C 2 , tak i a . Protože jsme si „zvolili“ označení tlumícího koeficientu (zatím) zcela libovolně, nic nám nebrání tohoto „triku“ použít ještě jednou. Označme proto 1 = 2 k A po dosazení do charakteristické rovnice dostaneme = −k a = k 2 − 2 Koeficienty C 1 a C 2 určíme „standardním“ postupem, podobně jako v bodě 3.1.1.1, takže obdržíme partikulární řešení ve tvaru k t = e−k t 0 [cos t sin t] Všimněme si, že bude-li k = 0 ,dostaneme stejné řešení, jako v bodě 3.1.1.1. Bohužel, v této chvíli již nemůžeme určit zbývající koeficienty čistě matematickými úpravami. Musíme použít jiné „techniky“. Využijeme možnosti „proměřit“ sledovanou fyzikální soustavu a z naměřených hodnot se pokusíme chybějící koeficienty stanovit. Nabízí se použít následující postup ● zaznamemáme „stav“ systému v jistém časovém okamžiku ( 1 a t 1 ) ● zaznamenáme „stav“ systému v jiném časovém okamžiku ( 2 a t 2 ) ● z rozdílu naměřených hodnot se pokusíme stanovit hodnoty koeficientů a Vidíme, že v této chvíli přestává mít smysl dělení této části úlohy na analytické řešení, numerické řešení a experimentální ověření.
3.1.2.2. Řešení matematického modelu Abychom dokázali určit hledané koeficienty, provedeme experimentální proměření našeho systému (kyvadla). Očekáváme, že naměříme (přibližné) hodnoty, které budou (přibližně) vyhovovat rovnicím k 0 t 0 = e−k t 0 [cos t 0 sin t 0 ] k 1 t 1 = e−k t 0 [cos t 1 sin t 1 ] ..... k −k t n t n = e 0 [cos t n sin t n ] 0
1
n
Řešit takovouto soustavu rovnic, zvláště, když uvážíme, že = k 2 − 2 , patří mezi velmi obtížné úlohy. Abychom se vyhnuli tomuto kroku, provedeme následující zjednodušení.
Je patrné, že amplitudu kmitající tlumené funkce určuje člen e−k t . Můžeme proto pro účely stanovení hodnoty koeficientu k uvažovat zjednodušenou soustavu ve tvaru −k t 0
0 t 0 = e
1 t 1 = e−k t ..... n t n = e−k t
1
n
bez ztráty přesnosti. Je zřejmé, že výše uvedená soustava nameřených dat vyhovuje rovnici t = 0 e−k t −t 0
takže koeficient
k získáme prostou algebraickou úpravou ln 0 k= t −t 0
Naměřené hodnoty jsouuvedeny v příloze 1 Podrobnějším rozborem naměřených a následně vypočtených hodnot zjistíme ● sada1 vypočtených hodnot se relativně značně odlišuje od sady 2 ● rozptyl hodnot sady 1 je menší, než sady 2 Tyto odchylky jsou způsobeny podmínkami měření. Je velmi těžké pouhým okem (subjektivně) odhadnout, kdy kyvadlo dosáhlo „hranice“, při které se odečítal příslušný čas. Proto byla provedena ještě jedna kontrolní sada měření, která měla ověřit (určit) „platná data“. Je patrné, že kontrolní měření „určilo“ jako platné měření sadu 1.
3.1.2.3. Numerický výpočet Nyní můžeme přikročit k numerickému výpočtu matematického modelu soustavy tlumených kmitů kyvadla. Grafické znázornění tlumených kmitů.
Plocha grafu není jednolitá barva, jsou to opravdu sinusoidy. Vzhledem k měřítku jsou „jen natlačeny“ těšně u sebe.
Grafické znázornění tůumených kmitů ve fázovém prostoru. Opět to není „tlustá čára“, ale velice hustě kreslená spirála.
Poznámka Porovnáním koeficientu = k 2 − 2 získaného právě popsanou cestou, který určuje frekvenci kmitů kyvadla a koeficientu zjednodušené úlohy (netlumené) = zjistíme ● při „započtení“ tlumení je vypočítaná frekvence soutavy „o něco málo“ menší. ● porovnáním keficientů k = −6.13070465190439619e−04 a = 2,06130584883 zjistíme, že „vliv“ tlumení na frekvenci kmitů je velmi malý
Porovnání vypočtené doby periody tlumených a netlumených kmitů Delka intervalu jednotlivych kmitu – netlumene kmity ==================================================== t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0:
+0.00000000000000e+00 +7.62039426455684e-01 +2.28611827937017e+00 +3.81019713228193e+00 +5.33427598519595e+00 +6.85835483810926e+00 +8.38243369102138e+00 +9.90651254393378e+00 +1.14305913968470e+01 +1.29546702497612e+01 +1.44787491026746e+01 +1.60028279555871e+01 +1.75269068084993e+01
sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec
-1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1
(+7.62039426455684e-01 (+1.52407885291449e+00 (+1.52407885291175e+00 (+1.52407885291401e+00 (+1.52407885291331e+00 (+1.52407885291211e+00 (+1.52407885291240e+00 (+1.52407885291327e+00 (+1.52407885291421e+00 (+1.52407885291333e+00 (+1.52407885291254e+00 (+1.52407885291215e+00 (+1.52407885291245e+00
sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec
) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
Delka intervalu jednotlivych kmitu – tlumene kmity ================================================== t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0:
+0.00000000000000e+00 +7.62183746637452e-01 +2.28626266693446e+00 +3.81034158728482e+00 +5.33442050761510e+00 +6.85849942793698e+00 +8.38257834825834e+00 +9.90665726857901e+00 +1.14307361888908e+01 +1.29548151091841e+01 +1.44788940295297e+01 +1.60029729498641e+01 +1.75270518701544e+01
sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec
-1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1
(+7.62183746637452e-01 (+1.52407892029701e+00 (+1.52407892035037e+00 (+1.52407892033027e+00 (+1.52407892032188e+00 (+1.52407892032136e+00 (+1.52407892032067e+00 (+1.52407892031179e+00 (+1.52407892029334e+00 (+1.52407892034552e+00 (+1.52407892033442e+00 (+1.52407892029030e+00 (+1.52407892035336e+00
sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec)
Porovnání experimantálně zjištěných a vypočtených hodnot Experimentalní data =================== fi[mm] = 80, (fi[rad] fi[mm] = 75, (fi[rad] fi[mm] = 70, (fi[rad] fi[mm] = 65, (fi[rad] fi[mm] = 60, (fi[rad] fi[mm] = 55, (fi[rad]
= = = = = =
+3.46620450606586e-02), +3.24956672443674e-02), +3.03292894280763e-02), +2.81629116117851e-02), +2.59965337954939e-02), +2.38301559792028e-02),
t[sec] t[sec] t[sec] t[sec] t[sec] t[sec]
= = = = = =
+0.00000000000000e+00 +1.07160000000000e+02 +2.13090000000000e+02 +3.34890000000000e+02 +4.73110000000000e+02 +6.15910000000000e+02
Vypočtená data ============== t: +0.00000000000000e+00 sec
+3.46620450606586e-02
(+0.00000000000000e+00)
t: +1.06685724800729e+02 sec t: +1.09733811658249e+02 sec
+3.24674957025219e-02 +3.24068808066060e-02
(-2.76429368650841e-05) (-1.78172203582152e-05)
t: +2.10322716231725e+02 sec t: +2.13371102578527e+02 sec
+3.04687774312594e-02 +3.04118942988294e-02
(+2.26262906552852e-05) (-6.94342547651478e-06)
t: +3.32249046826572e+02 sec t: +3.35297567255508e+02 sec
+2.82742941709204e-02 +2.82215053096534e-02
(+1.89580333038720e-05) (-2.45562903447879e-05)
t: +4.72464264397092e+02 sec t: +4.75512481285206e+02 sec
+2.59453185528935e-02 +2.58968800019377e-02
(+2.21477370451262e-05) (+1.56090758688681e-05)
t: +6.15727675569342e+02 sec t: +6.18775852060859e+02 sec
+2.37637334466112e-02 +2.37193671548228e-02
(+2.10263930435884e-05) (+1.91074425742674e-05)
3.2. Nelineární úloha V této fázi výpočtů a modelování lze prohlásit, že vytvořený lineární (zjednodušený) model koresponduje s realitou. Nyní se pokusíme řešit původní matematický model pohybu kyvadla. Model, který je popsán nelineární diferenciální rovnicí. Krátce zopakujme, pohyb kyvadla je popsán nelineární diferenciální rovnicí d2 d m m 1 m g sin = 0 2 dt dt Platí stejné závěry oznalostech poměrů stavu kyvadla na počátku procesu, doplníme o rovnici ještě o počáteční podmínky. 0 = 0 ' 0 = '0 Stejně tak i ostatní, již vyslovené předpoklady o hodnotách různých fyzikálních, či jiných konstatnt,zůstávají v platnosti a budeme se na ně odvolávat. Protože analytické úřešení dané (nelineární) úlohy značně přesahuje rámec zaměření předkládané práce, budeme se nyní věnovat pouze řešení numerickému. Využijeme přitom většinu již získaných poznatků, zejména informaci o velikosti tlumícího koeficientu. Vypočtená dat se opět pokusíme ověřit experimentálním měřením ,zda došlo ke „zpřesnění modelu“.
3.2.1. Výpočet Pro výpočet opět využijeme výpočetní prostředí Matlab. „Pouze“ budeme modifikovat již hotové rutiny. Pro získání relevantních výsledků použijeme i stejné výpočetní metody (ode45).
3.2.2. Experimentální data Pro porovnání výsledků získaných výpočtem jsem provedl jejich experimentální ověřeření. Měření jsem provedl vždy pro různé počáteční výchylky kyvadla. Opět se projevil dominantní vliv subjektivního odečítaní dat. Diskuze k výsledkům bude v samostatné kapitole. Změřené časy jednotlivých kmitů pro různé počáteční výchylky (délky obouku) Poř.č.
400 mm
450 mm
500 mm
1
2.93
2.99
3.10
2
3.13
3.11
3.01
3
2.99
3.08
3.17
4
3.01
3.12
3.07
5
3.14
2.98
2.97
6
3.14
3.12
3.10
7
3.09
2.99
3.04
8
3.16
3.07
3.06
9
3.00
3.07
3.10
Poř.č.
400 mm
450 mm
500 mm
10
2.87
3.11
3.11
11
3.28
3.00
3.01
12
2.98
3.12
3.16
13
2.13
3.08
3.04
14
3.08
2.93
3.02
15
2.99
3.12
3.24
16
3.17
3.09
2.96
17
3.03
3.08
2.98
18
3.08
3.05
2.98
19
3.00
3.18
3.15
20
3.04
3.14
2.99
21
3.56
3.06
3.08
22
2.56
2.99
3.15
23
3.24
3.09
3.12
24
3.00
3.11
2.87
---
cca 380 mm
cca 430 mm
cca 475 mm
Po dosažení 24. kmitu byla odečtena délka oblouku kmitu. Je uvedená v posledním řádce tabulky Nalezeni maxima jednotlivych kmitu (400 mm) =========================================== t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t:
+0.00000000000000e+00 +3.05380638747551e+00 +6.10775220527679e+00 +9.16168801955768e+00 +1.22153034388946e+01 +1.52692248623623e+01 +1.83228234175695e+01 +2.13767342038958e+01 +2.44303162089336e+01 +2.74842101464529e+01 +3.05377848820897e+01 +3.35916617137416e+01 +3.66452201075815e+01 +3.96987787033603e+01 +4.27523210256313e+01 +4.58058582740151e+01 +4.88593978569827e+01 +5.19129298532408e+01 +5.49667623095505e+01 +5.80199612531119e+01 +6.10734808851404e+01 +6.41269951933957e+01 +6.71804921797894e+01 +7.02339856761955e+01 +7.32874793848657e+01 +7.63406588614469e+01
sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec
+1.73310225303293e-01 +1.72985541040051e-01 +1.72661473007421e-01 +1.72338009672433e-01 +1.72015163301751e-01 +1.71692925634312e-01 +1.71371288130246e-01 +1.71050268802158e-01 +1.70729843857402e-01 +1.70410032043349e-01 +1.70090819919042e-01 +1.69772201294698e-01 +1.69454198582360e-01 +1.69136789915100e-01 +1.68819976551881e-01 +1.68503758883168e-01 +1.68188138116840e-01 +1.67873113316304e-01 +1.67558683659277e-01 +1.67244847075914e-01 +1.66931605134746e-01 +1.66618953571022e-01 +1.66306889641696e-01 +1.65995411513730e-01 +1.65684515384396e-01 +1.65374216307679e-01
(+4.00000000000000e+02 (+3.99250628720437e+02 (+3.98502679701128e+02 (+3.97756126323974e+02 (+3.97010996900441e+02 (+3.96267272363991e+02 (+3.95524933004607e+02 (+3.94784020395380e+02 (+3.94044479622884e+02 (+3.93306353956050e+02 (+3.92569612373150e+02 (+3.91834240588162e+02 (+3.91100290328086e+02 (+3.90367711124051e+02 (+3.89636505881741e+02 (+3.88906675502352e+02 (+3.88178222773667e+02 (+3.87451145534031e+02 (+3.86725441885611e+02 (+3.86001107051209e+02 (+3.85278144650995e+02 (+3.84556544841919e+02 (+3.83836301293034e+02 (+3.83117409773689e+02 (+3.82399861507187e+02 (+3.81683691238124e+02
mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm)
Nalezeni maxima jednotlivych kmitu (450 mm) =========================================== t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t:
+0.00000000000000e+00 +3.05545493469724e+00 +6.11085328273106e+00 +9.16623206037623e+00 +1.22215927716064e+01 +1.52766289569095e+01 +1.83319567924074e+01 +2.13872667367726e+01 +2.44425580416063e+01 +2.74975212813683e+01 +3.05527737051980e+01 +3.36080073773683e+01 +3.66629183974457e+01 +3.97181243494671e+01 +4.27733147818998e+01 +4.58281754410386e+01 +4.88833247237409e+01 +5.19381510542330e+01 +5.49932725623842e+01 +5.80480691825796e+01 +6.11028509538623e+01 +6.41579267382125e+01 +6.72126769939276e+01 +7.02674087328981e+01 +7.33224366502279e+01 +7.63771444813137e+01
sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec
+1.94974003466204e-01 +1.94608400640910e-01 +1.94243489235945e-01 +1.93879266921335e-01 +1.93515731627834e-01 +1.93152891683003e-01 +1.92790738151656e-01 +1.92429266347588e-01 +1.92068473540916e-01 +1.91708363618602e-01 +1.91348943542002e-01 +1.90990195892496e-01 +1.90632121639988e-01 +1.90274737450236e-01 +1.89918015622600e-01 +1.89561979015031e-01 +1.89206607562080e-01 +1.88851913017624e-01 +1.88497882712975e-01 +1.88144529977352e-01 +1.87791832533830e-01 +1.87439815784357e-01 +1.87088458280848e-01 +1.86737757253530e-01 +1.86387730395001e-01 +1.86038363063661e-01
(+4.50000000000000e+02 (+4.49156188679220e+02 (+4.48313973156562e+02 (+4.47473348054441e+02 (+4.46634308597041e+02 (+4.45796874004371e+02 (+4.44961023654023e+02 (+4.44126746730233e+02 (+4.43294036932434e+02 (+4.42462903231734e+02 (+4.41633361694940e+02 (+4.40805372119880e+02 (+4.39978936745093e+02 (+4.39154094035145e+02 (+4.38330780056961e+02 (+4.37509047566692e+02 (+4.36688850253281e+02 (+4.35870215244676e+02 (+4.35053113301547e+02 (+4.34237575187728e+02 (+4.33423549488081e+02 (+4.32611094830296e+02 (+4.31800161712198e+02 (+4.30990743741148e+02 (+4.30182881751663e+02 (+4.29376541950929e+02
mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm)
(+5.00000000000000e+02 (+4.99061471894670e+02 (+4.98124728649408e+02 (+4.97189763154819e+02 (+4.96256570991373e+02 (+4.95325149061500e+02 (+4.94395493225539e+02 (+4.93467599659951e+02 (+4.92541464453020e+02 (+4.91617083744294e+02 (+4.90694452109692e+02 (+4.89773569106587e+02 (+4.88854451782307e+02 (+4.87937073115090e+02 (+4.87021430472622e+02 (+4.86107517310004e+02 (+4.85195328984232e+02 (+4.84284875405145e+02 (+4.83376164546586e+02 (+4.82469167202808e+02 (+4.81563876126882e+02 (+4.80660302988857e+02 (+4.79758462634206e+02 (+4.78858315136648e+02 (+4.77959855296695e+02 (+4.77063138562115e+02 (+4.76168097287630e+02
mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm) mm)
Nalezeni maxima jednotlivych kmitu (500 mm) =========================================== t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t:
+0.00000000000000e+00 +3.05704582793901e+00 +6.11412205429384e+00 +9.17117152230373e+00 +1.22281870926710e+01 +1.52851760413059e+01 +1.83421347627830e+01 +2.13990636772418e+01 +2.44559630284952e+01 +2.75128322404891e+01 +3.05696779901753e+01 +3.36261896911927e+01 +3.66829754000661e+01 +3.97397275661265e+01 +4.27964590118007e+01 +4.58531645758752e+01 +4.89098402744303e+01 +5.19661843993200e+01 +5.50228005474403e+01 +5.80793946914763e+01 +6.11359648342601e+01 +6.41922049179952e+01 +6.72487182909654e+01 +7.03052045240970e+01 +7.33613601042985e+01 +7.64177977876856e+01 +7.94742146427182e+01
sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec
+2.16637781629116e-01 +2.16231140335645e-01 +2.15825272378426e-01 +2.15420174677131e-01 +2.15015845316886e-01 +2.14612282955589e-01 +2.14209485799627e-01 +2.13807452192353e-01 +2.13406180438917e-01 +2.13005668866679e-01 +2.12605915125516e-01 +2.12206919023651e-01 +2.11808687947274e-01 +2.11411210188514e-01 +2.11014484606855e-01 +2.10618508366553e-01 +2.10223279455906e-01 +2.09828802168607e-01 +2.09435079959526e-01 +2.09042100174527e-01 +2.08649859673692e-01 +2.08258363513369e-01 +2.07867618125739e-01 +2.07477606211719e-01 +2.07088325518498e-01 +2.06699800070240e-01 +2.06312000557898e-01
Delka intervalu jednotlivych kmitu (oblouk 400 mm) ================================================== t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0:
+0.00000000000000e+00 +7.63617188502078e-01 +2.29055678210113e+00 +3.81749100727378e+00 +5.34441987414372e+00 +6.87134339281689e+00 +8.39826157338364e+00 +9.92517442593339e+00 +1.14520819604970e+01 +1.29789841871006e+01 +1.45058811157518e+01 +1.60327727564398e+01 +1.75596591191710e+01 +1.90865402138779e+01 +2.06134160504851e+01 +2.21402866389012e+01 +2.36671519890644e+01 +2.51940121108300e+01 +2.67208670140434e+01 +2.82477167085510e+01 +2.97745612042063e+01 +3.13014005107747e+01 +3.28282346380404e+01 +3.43550635958128e+01 +3.58818873937947e+01 +3.74087060417218e+01 +3.89355195493358e+01 +4.04623279262771e+01 +4.19891311822742e+01 +4.35159293269479e+01 +4.50427223699292e+01 +4.65695103208734e+01 +4.80962931893266e+01 +4.96230709849355e+01 +5.11498437171921e+01 +5.26766113957170e+01 +5.42033740299611e+01 +5.57301316295077e+01 +5.72568842037728e+01 +5.87836317623078e+01 +6.03103743144901e+01 +6.18371118698255e+01 +6.33638444376758e+01 +6.48905720274788e+01 +6.64172946486054e+01 +6.79440123104004e+01 +6.94707250222691e+01 +7.09974327934730e+01 +7.25241356333663e+01 +7.40508335512372e+01 +7.55775265563366e+01 +7.71042146579562e+01 +7.86308978653316e+01 +8.01575761876614e+01 +8.16842496341625e+01 +8.32109182140616e+01 +8.47375819364793e+01
sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec
-1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1
(+7.63617188502078e-01 (+1.52693959359905e+00 (+1.52693422517265e+00 (+1.52692886686994e+00 (+1.52692351867318e+00 (+1.52691818056674e+00 (+1.52691285254976e+00 (+1.52690753456365e+00 (+1.52690222660352e+00 (+1.52689692865127e+00 (+1.52689164068792e+00 (+1.52688636273126e+00 (+1.52688109470684e+00 (+1.52687583660719e+00 (+1.52687058841611e+00 (+1.52686535016319e+00 (+1.52686012176565e+00 (+1.52685490321341e+00 (+1.52684969450755e+00 (+1.52684449565537e+00 (+1.52683930656839e+00 (+1.52683412726562e+00 (+1.52682895777244e+00 (+1.52682379798189e+00 (+1.52681864792716e+00 (+1.52681350761397e+00 (+1.52680837694125e+00 (+1.52680325599712e+00 (+1.52679814467369e+00 (+1.52679304298135e+00 (+1.52678795094415e+00 (+1.52678286845322e+00 (+1.52677779560888e+00 (+1.52677273225662e+00 (+1.52676767852486e+00 (+1.52676263424411e+00 (+1.52675759954658e+00 (+1.52675257426519e+00 (+1.52674755853491e+00 (+1.52674255218233e+00 (+1.52673755533539e+00 (+1.52673256785032e+00 (+1.52672758980297e+00 (+1.52672262112667e+00 (+1.52671766179490e+00 (+1.52671271186871e+00 (+1.52670777120389e+00 (+1.52670283989339e+00 (+1.52669791787082e+00 (+1.52669300509940e+00 (+1.52668810161961e+00 (+1.52668320737546e+00 (+1.52667832232979e+00 (+1.52667344650105e+00 (+1.52666857989911e+00 (+1.52666372241777e+00 (+1.52665887409809e+00
sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec)
Delka intervalu jednotlivych kmitu (oblouk 450 mm) ================================================== t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0:
+0.00000000000000e+00 +7.63998778082787e-01 +2.29169988814843e+00 +3.81939419138609e+00 +5.34708170066869e+00 +6.87476242884736e+00 +8.40243638874633e+00 +9.93010359316657e+00 +1.14577640548842e+01 +1.29854177866496e+01 +1.45130648011912e+01 +1.60407051112088e+01 +1.75683387293888e+01 +1.90959656683908e+01 +2.06235859408355e+01 +2.21511995593289e+01 +2.36788065364517e+01 +2.52064068847606e+01 +2.67340006167878e+01 +2.82615877450425e+01 +2.97891682820179e+01 +3.13167422401839e+01 +3.28443096319682e+01 +3.43718704697801e+01 +3.58994247660091e+01 +3.74269725330196e+01 +3.89545137831677e+01 +4.04820485287789e+01 +4.20095767821340e+01 +4.35370985555001e+01 +4.50646138611225e+01 +4.65921227112602e+01 +4.81196251180935e+01 +4.96471210937942e+01 +5.11746106505108e+01 +5.27020938004050e+01 +5.42295705555749e+01 +5.57570409280901e+01 +5.72845049300116e+01 +5.88119625734174e+01 +6.03394138702908e+01 +6.18668588326136e+01 +6.33942974723964e+01 +6.49217298015660e+01 +6.64491558320256e+01 +6.79765755757192e+01 +6.95039890445052e+01 +7.10313962502141e+01 +7.25587972047407e+01 +7.40861919198493e+01 +7.56135804073258e+01 +7.71409626789771e+01 +7.86683387464965e+01 +8.01957086216475e+01 +8.17230723161091e+01 +8.32504298415455e+01 +8.47777812096482e+01 +8.63051264319953e+01
sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec
-1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1
(+7.63998778082787e-01 (+1.52770111006564e+00 (+1.52769430323766e+00 (+1.52768750928260e+00 (+1.52768072817867e+00 (+1.52767395989896e+00 (+1.52766720442025e+00 (+1.52766046171762e+00 (+1.52765373176540e+00 (+1.52764701454158e+00 (+1.52764031001763e+00 (+1.52763361817997e+00 (+1.52762693900199e+00 (+1.52762027244471e+00 (+1.52761361849343e+00 (+1.52760697712281e+00 (+1.52760034830888e+00 (+1.52759373202720e+00 (+1.52758712825468e+00 (+1.52758053697547e+00 (+1.52757395816597e+00 (+1.52756739178430e+00 (+1.52756083781186e+00 (+1.52755429622907e+00 (+1.52754776701043e+00 (+1.52754125014814e+00 (+1.52753474561121e+00 (+1.52752825335507e+00 (+1.52752177336613e+00 (+1.52751530562239e+00 (+1.52750885013774e+00 (+1.52750240683324e+00 (+1.52749597570068e+00 (+1.52748955671667e+00 (+1.52748314989417e+00 (+1.52747675516989e+00 (+1.52747037251520e+00 (+1.52746400192147e+00 (+1.52745764340585e+00 (+1.52745129687340e+00 (+1.52744496232277e+00 (+1.52743863978282e+00 (+1.52743232916956e+00 (+1.52742603045968e+00 (+1.52741974369360e+00 (+1.52741346878592e+00 (+1.52740720570895e+00 (+1.52740095452657e+00 (+1.52739471510858e+00 (+1.52738848747651e+00 (+1.52738227165136e+00 (+1.52737606751938e+00 (+1.52736987515092e+00 (+1.52736369446164e+00 (+1.52735752543640e+00 (+1.52735136810266e+00 (+1.52734522234717e+00 (+1.52733908826765e+00
sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec)
Delka intervalu jednotlivych kmitu (oblouk 500 mmm) =================================================== t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0: t0:
+0.00000000000000e+00 +7.64425674900476e-01 +2.29297871378567e+00 +3.82152333200229e+00 +5.35005954552479e+00 +6.87858737029754e+00 +8.40710682223896e+00 +9.93561791722305e+00 +1.14641206711181e+01 +1.29926150997240e+01 +1.45211012188626e+01 +1.60495790442554e+01 +1.75780485916860e+01 +1.91065098767943e+01 +2.06349629153160e+01 +2.21634077228267e+01 +2.36918443149953e+01 +2.52202727073510e+01 +2.67486929154846e+01 +2.82771049548888e+01 +2.98055088410652e+01 +3.13339045894812e+01 +3.28622922155388e+01 +3.43906717346922e+01 +3.59190431622500e+01 +3.74474065136103e+01 +3.89757618040413e+01 +4.05041090488497e+01 +4.20324482632887e+01 +4.35607794625555e+01 +4.50891026618997e+01 +4.66174178764267e+01 +4.81457251213125e+01 +4.96740244116499e+01 +5.12023157624998e+01 +5.27305991889628e+01 +5.42588747060011e+01 +5.57871423286373e+01 +5.73154020718358e+01 +5.88436539505012e+01 +6.03718979795829e+01 +6.19001341739216e+01 +6.34283625483620e+01 +6.49565831177703e+01 +6.64847958968816e+01 +6.80130009004767e+01 +6.95411981433182e+01 +7.10693876400648e+01 +7.25975694054157e+01 +7.41257434540410e+01 +7.56539098005192e+01 +7.71820684594632e+01 +7.87102194454619e+01 +8.02383627730085e+01 +8.17664984566235e+01 +8.32946265108260e+01 +8.48227469500212e+01 +8.63508597886413e+01
sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec sec
-1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1
(+7.64425674900476e-01 (+1.52855303888519e+00 (+1.52854461821663e+00 (+1.52853621352250e+00 (+1.52852782477275e+00 (+1.52851945194142e+00 (+1.52851109498409e+00 (+1.52850275389507e+00 (+1.52849442860590e+00 (+1.52848611913861e+00 (+1.52847782539282e+00 (+1.52846954743055e+00 (+1.52846128510826e+00 (+1.52845303852174e+00 (+1.52844480751073e+00 (+1.52843659216858e+00 (+1.52842839235572e+00 (+1.52842020813354e+00 (+1.52841203940419e+00 (+1.52840388617648e+00 (+1.52839574841601e+00 (+1.52838762605753e+00 (+1.52837951915343e+00 (+1.52837142755780e+00 (+1.52836335136028e+00 (+1.52835529043099e+00 (+1.52834724480839e+00 (+1.52833921443900e+00 (+1.52833119926682e+00 (+1.52832319934421e+00 (+1.52831521452698e+00 (+1.52830724488581e+00 (+1.52829929033742e+00 (+1.52829135084990e+00 (+1.52828342646303e+00 (+1.52827551703822e+00 (+1.52826762263627e+00 (+1.52825974319845e+00 (+1.52825187866544e+00 (+1.52824402908172e+00 (+1.52823619433863e+00 (+1.52822837444039e+00 (+1.52822056940830e+00 (+1.52821277911133e+00 (+1.52820500359512e+00 (+1.52819724284144e+00 (+1.52818949674666e+00 (+1.52818176535092e+00 (+1.52817404862530e+00 (+1.52816634647819e+00 (+1.52815865894394e+00 (+1.52815098599871e+00 (+1.52814332754666e+00 (+1.52813568361492e+00 (+1.52812805420251e+00 (+1.52812043919526e+00 (+1.52811283862006e+00 (+1.52810525247402e+00
sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec) sec)
4. Diskuze výsledků Nyní budeme podrobněji diskutovat dosažené výsledky pro jednotlivé, postupně „zpřesňované“ fáze matematického modelu vyšetřované úlohy, pohybu kyvadla.
4.1. Lineární, matematický model bez tlumení S tímto typem matematických modelů se v technické praxi pracuje pměrně často. Má výhodu v jednoduchosti, relativní nenáročnosti na potřebné výpočetní kapacity. Relativně snadno (ne vždy) se nechá ověřit numerický výpočet i analytickými prostředky. Obvykle slouží spíše „k uvedení do problematiky“, jako východisko k následnému zpřesňování modelu. Má ale také nevýhody. Jeho „shoda“ s původním reálným stavem je dosti často omezená na velmi úzký obor hodnot. V našem případě dokonce nejenom na poměrně omezený rozkmit kyvadla, ale i na velmi úzký časový interval, ve kterém lze přibližně pokládat kmity kyvadla za netlumené. Takže „obdržet“ nesmyslné výsledky je velmi snadné. Porovnáním těch naměřených a vypočtených hodnot, které má rozumný smysl porovnávat lze konstatovat, že byla dosažena dosti značná shoda mezi experimentálními daty a daty vypočtenými.Konkrétně, změřená a vypočtená doba periody kmitu (kyvu) kyvadla. Přesto je zřejmé, že použití tohoto modelu je velmi silně limitováno uvednými omezeními. Jeho „praktická“ použitelnost je proto sporná.
4.2. Lineární, matematický model s tlumením Patrně nečastěji používaný typ modelů. Tento model již respektuje mnohem více svoji fyzikální předlohu. Je zřejmé, že díky „vyšší složitosti“ matematického popisu je komplikovanější i případná analytická kontrola. Také (obvykle) „má“ vyšší nároky na výpočetní výkon při numerickém řešení. Složitější matematický popis obvykle lépe vystihuje podstatu reálné předlohy. Proto bývá použitelnost takového modelu pro širší obor hodnot. V našem případě kyvadla se toto (do určité míry) projevilo v „odstranění omezení“ kladené na časový interval. Dosažená shoda s naměřenými výsledky bývá v těchto případech mnohem vyšší. Bohužel, v naší úloze tomu jsme dosáhli jen omezené shody. Hlavní důvody bylyjiž částečně uvedeny dříve, nyní je proto jen stručně shrňme ● nevyhovující podmínky něření (odečítání hodnot), nepřesná „měřící technika“ ● subjektivní vlivy, lidské oko a odhad. ● ostatní „nezměřitelné“ parametry (konečná elastičnost závěsu, nepřesné uložení hmotného bodu, …) Přesto lze konstatovat, že dosažená shoda experimentu (měření) a výpočtu i s respektováním výše uvedných výhrad je poměrně dobrá. Lepší, než v předchozím případě. Minimálze lze mít za prokázené, že „trendy“ naměřených dat jsou v souladu s matematickým modelem. Lze proto považovat tento model za ověřený.
4.3. Nelineární matematický model V poslední době lze pozorovat tendence ke stále většímu použití matematických modelů této třídy. Je to umožněno jednak pokrokem v příslušných teoretických matematických disciplínách, větší dostupností potřebného výpočetního výkonu a pokrokem v souvisejících „aplikovaných“ (numerická matemetika, algoritmizace, …) vědách. Modely této třídy dokáži již velmi věrně odrážet svoji reálnou fyzikální předlohu. Předpoklad, že tento „nejvěrnější“ matematický model potvrdíme měřením se nenaplnil. Alespoň ne bezezbytku, průkazně. Důvody již byly zmíněny výše. V získaných datech lze vysledovat jisté tendence, které by bylo možné považovat za potvzení vlastností navrženého modelu, stejně jako v předochozím případě. Vzhledem k dané chybě měření je ale musíme považovat na neprůkazné. Je pravděpodobné, že s dokonalejším laboratorním vybavením bychom byli schopni toto prokázat. U dat získaných výpočtem lze pozorovat několik poměrně zajímavých jevů ● doba periody není konstatní, nepatrně se zkracuje v čase ● doba periody obecně závisí na počáteční velikosti výchylky, čím vetší počáteční výchylka, tím delší prioda. Změnyjsou opět velmi malé (nepatrné). ● teoreticky se kyvadlo nikdy nezastaví. Ovšem od jisté velmi malé odchylky již nelze detekovat jeho pohyb. Zjistil jsem poměrně značný rozdíl mezi vypočtenou výchylkou kyvadla v době t max = 2000 s , což je 33 minut a 20 vteřin a změřenou výchylkou. vypočtený oblouk
změřený oblouk
400 mm
117,4333 mm
cca 85 mm
450 mm
132,0573 mm
cca 90-95 mm
500 mm
146,6618 mm
cca 105 mm
Spolehlivé vysvětlení pro tento jev nemám, domnívám se však, že se jedná o souhrn vlivů, které byly buďto zanedbány, nebo vzhledem k použité měřící technice byly některé hodnoty změřeny s příliš velkou chybou.
5. Závěr Předpokládám, že semestrální práce tohoto typu mají za (hlavní) úkol průkazným způsobem demostrovat pochopení problematiky matematického modelování a jeho „úskalí“ ze strany studenta. Proto jsem se snažil v předložené semestrální práci demonstrovat vývoj a použití matematického modelování, právě na jednoduché, skoro triviální úloze. Snažil jsem se postupovat od tvorby modelu nejprve jednoduchého, kdy nejprve zjednodušujeme a zandbáváme značné množství „vlivů“, přes postupné zpřesňování matematického modelu, až po tvorbu co možná jeho nejvěrnější podoby. Během těchto kroků jsem se pokusil upozornit na některá úskalí, která nás mohou ta takovéto cestě potkat. Experimentální měření nemělo za úkol opravdu „změřit gravitační zrychlení“, spíše jsem se pomocí tohoto nástroje pokusil demostrovat možná úskalí, která jsou spojena s tvorbou matematických modelů a ověřováním jejich platnosti. Proto jsem uváděl i výsledky měření, která neodpovídala očekávaným výsledků a snažil se o vysvětlení proč tomu tak je. Doufám, že se mi to alespoň částečně povedlo a „cestou“ jsem neudělal příliš mnoho chyb.
6. Literatura [Rektorys] [Míka-01] [Mika-Kufner] [KompMat] [MatVz] [Matlab-01] [Matlab-02] [Kufner] [Míka-Drábek-01] [Míka-Drábek-02] [Přikryl-Brandner] [Fučík-Kufner] [Internet]
Karel Rektorys – přehled užité matematiky, díl I. a I ISBN 80-71-96-179-5, Nakladelství Prometeus, Praha 2000 Přednášky z matematického modelování, ZČU Plzeň, 2006-2007 S.Míka, A.Kufner, Okrajvé úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice, SNTP Praha 1981 K.M.Delventhal, A.Kissner, M.Kulick, Kompendium matematiky, Nakladelství Universum (Compact Verlag), ISBN 80-242-1227-7 Hans-Jochen Bartsch, Matematické vzorce, Nakladalství Carl Hansen vErlag, Munchen, 1994, ISBN 80-200-1448-9 Karel Zaplatílek, Bohuslav Doňar, Matlab pro začátečníky, nakladatelství Ben 2005, ISBN 80-7300-175-6 Karel Zaplatílek, Bohuslav Doňar, Matlab, tvorba uživatelských aplikací, nakladatelství Ben 2004, ISBN 80-7300-133-0 A. Kufner, Obyčejné diferenciální rovnice, Plzeň 1982, Škoda Plzeň, text přednášek pro VVZ k.p.Škoda S.Míka, P.Drábek, Matematická analýza I, ZČU Plzeň 2003, učební texty, ISBN 80-7082-978-8 S.Míka, P.Drábek, Matematická analýza II, ZČU Plzeň 2003, učební texty, ISBN 80-7082-977-X P.Přikryl, M.Brandner, Numerické metody II, ZČU Plzeň 2000, učební texty, ISBN 80-7082-699-1 S.Fučík, A.Kufner, Nelineární diferenciální rovnice, SNTL Praha, 1978 Internet
Příloha 1 – výpočet koeficinetu tlumení Vypocet koeficietu tlumeni - sada 1 =================================== fi[mm] = 80, (fi[rad] = +3.46620450606586e-02), fi[mm] = 75, (fi[rad] = +3.24956672443674e-02), fi[mm] = 70, (fi[rad] = +3.03292894280763e-02), fi[mm] = 65, (fi[rad] = +2.81629116117851e-02), fi[mm] = 60, (fi[rad] = +2.59965337954939e-02), fi[mm] = 55, (fi[rad] = +2.38301559792028e-02),
t[sec] t[sec] t[sec] t[sec] t[sec] t[sec]
= = = = = =
+0.00000000000000e+00, +1.06600000000000e+02, +2.10590000000000e+02, +3.38590000000000e+02, +4.75960000000000e+02, +6.19410000000000e+02,
k k k k k k
= = = = = =
+Inf -6.05427027556951e-04 -6.34082305069199e-04 -6.13247186208230e-04 -6.04424893797338e-04 -6.04919922896645e-04
t[sec] t[sec] t[sec] t[sec] t[sec] t[sec]
= = = = = =
+0.00000000000000e+00, +1.06770000000000e+02, +2.25880000000000e+02, +3.66160000000000e+02, +5.03590000000000e+02, +6.74240000000000e+02,
k k k k k k
= = = = = =
+Inf -6.04463062073344e-04 -5.91160760689404e-04 -5.67072768129355e-04 -5.71262480295043e-04 -5.55727114145424e-04
t[sec] t[sec] t[sec] t[sec] t[sec] t[sec]
= = = = = =
+0.00000000000000e+00, +1.07160000000000e+02, +2.13090000000000e+02, +3.34890000000000e+02, +4.73110000000000e+02, +6.15910000000000e+02,
k k k k k k
= = = = = =
+Inf -6.02263168510367e-04 -6.26643167790711e-04 -6.20022588844828e-04 -6.08065930654141e-04 -6.08357470152150e-04
prumerna hodnota k = -6.12420267105672346e-04 Vypocet koeficietu tlumeni - sada 2 =================================== fi[mm] = 80, (fi[rad] = +3.46620450606586e-02), fi[mm] = 75, (fi[rad] = +3.24956672443674e-02), fi[mm] = 70, (fi[rad] = +3.03292894280763e-02), fi[mm] = 65, (fi[rad] = +2.81629116117851e-02), fi[mm] = 60, (fi[rad] = +2.59965337954939e-02), fi[mm] = 55, (fi[rad] = +2.38301559792028e-02), prumerna hodnota k = -5.77937237066514036e-04 Vypocet koeficietu tlumeni - kontrolni sada =========================================== fi[mm] = 80, (fi[rad] = +3.46620450606586e-02), fi[mm] = 75, (fi[rad] = +3.24956672443674e-02), fi[mm] = 70, (fi[rad] = +3.03292894280763e-02), fi[mm] = 65, (fi[rad] = +2.81629116117851e-02), fi[mm] = 60, (fi[rad] = +2.59965337954939e-02), fi[mm] = 55, (fi[rad] = +2.38301559792028e-02), prumerna hodnota k = -6.13070465190439619e-04
