Laboratorní úloha č. 3 Spřažená kyvadla
Max Šauer
17. prosince 2003
Obsah 1 Úkol měření
2
2 Seznam použitých přístrojů a pomůcek
2
3 Výsledky měření
2
3.1
Stanovení tuhosti vazbové pružiny . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3.2
Vlastní kruhová frekvence kyvadel . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3.3
Kruhové frekvence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.3.1
Počáteční podmínky (a) . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.3.2
Počáteční podmínky (b) . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.3.3
Počáteční podmínky (c) . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.4
Koeficient vazby κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.5
Výpočet tuhosti vazbové pružiny k . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.6
Výpočet kruhových freckvencí ω1 , ω2 , ω3 . . . . . . . . . . . .
8
3.7
Výpočet momentu setrvačnosti J . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4 Závěr
9
1
1
Úkol měření 1. Změřte tuhost vazbové pružiny. 2. Změřte vlastní kruhovou frekvenci kyvadel. 3. Změřte kruhové frekvence kyvadel, koeficient vazby pro různé počáteční podmínky a různou polohu vazbové pružiny. 4. Proveďte porovnání mezi naměřenými a vypočtenými výsledky, viz postup měření. 5. Vypočtěte moment setrvačnosti kyvadel. 6. U všech naměřených a vypočtených veličin určete chybu měření.
2
Seznam použitých přístrojů a pomůcek
Fyzická kyvadla, závěsy se snímačem, vazbová pružina, dva čítače kyvů se stopkami, stopky, pravítko, ocelové měřítko, přípravek k měření protažení pružiny se dvěma závažími, laboratorní váhy se sadou závaží.
3 3.1
Výsledky měření Stanovení tuhosti vazbové pružiny
Na přípravku změříme prodloužení pružiny nejdříve s jedním a pak se dvěma 30g závažími, a poté podle vztahu (1) podle [1] vypočteme tuhost k. k=
(2M − M )g ∆y
Výsledná tuhost:
(1)
0.03 · g = 11.77 N · m−1 0.025 kde g = 9.80665 ms−2 je tíhové zrychlení. Dále stanovíme chybu. Při použití pásového měřidla uvažujeme chybu 0.5 mm, pro zjišťování hmotnosti k=
2
Obrázek 1: Schema kyvadel
na laboratorních vahách chybu 0.5 g. Chybu tuhosti stanovíme podle vztahu (2). s 2 2 ∂k ∂k 2 ∆k = ∆y + ∆M 2 (2) ∂y ∂M ∆k = 0.31 N · m−1 k = (11.77 ± 0.31) N · m−1
Hmotnost jednoho závaží[g] 30.0 ± 0.5 Prodloužení ∆y [mm] 25.0 ± 0.5 −1 Tuhost pružiny k[N · m ] 11.77 ± 0.31
3.2
Vlastní kruhová frekvence kyvadel
Změříme dobu 100 kyvů obou kyvadel, abychom ověřili jejich identitu. Chyba zařízení měřícího kmity je 0.005 s Charakteristiky kyvadel: • Vzdálenost těžiště od osy otáčení L = (490.0 ± 0.5) mm 3
• Hmotnost m = (1.2310 ± 0.0005) kg
kyvadlo 1 2 100 τ0 [s] 77.30 77.27 τ¯0 = (0.773 ± 0.005) s τ¯ jsme stanovili pomocí aritmetického průměru. Vlastní kruhovou frekvenci spočteme ze vztahu π 2π = . (3) ω0 = 2πf = T τ0 Stanovíme chybu: s 2 π ∆ω0 = ∆τ02 (4) τ02 ω0 =
3.3 3.3.1
π = (4.064 ± 0.026) rad · s−1 0.773
Kruhové frekvence Počáteční podmínky (a)
Při tomto měření vychýlýme kyvadla na stejnou stranu, takže ϕ1 = ϕ2 = ϕmax . Kruhovou frekvenci spočítáme opět ze vztahu (3), její chybu z (4). Pro délku l1 = 303.0 ± 0.5 mm . kyvadlo 1 2 100 τ0 [s] 76.78 76.76 τ¯ = (0.768 ± 0.005) s ω0 = (4.091 ± 0.027) rad · s−1 Pro délku l2 = 418.0 ± 0.5 mm . 4
kyvadlo 1 2 100 τ0 [s] 76.78 76.83 τ¯ = (0.768 ± 0.005) s ω0 = (4.091 ± 0.027) rad · s−1
3.3.2
Počáteční podmínky (b)
Obě kyvadla vychýlíme o stejnou výchylku ϕm na opačné strany. Kruhovou frakvenci opět pomocí vztahů (3), (4). Pro délku l1 = 303.0 ± 0.5 mm . kyvadlo 1 2 100 τ1 [s] 66.13 66.13 τ¯ = (0.661 ± 0.005) s ω1 = (4.753 ± 0.036) rad · s−1 Pro délku l2 = 418.0 ± 0.5 mm . kyvadlo 1 2 100 τ1 [s] 59.37 59.36 τ¯ = (0.594 ± 0.005) s ω1 = (5.289 ± 0.045) rad · s−1
3.3.3
Počáteční podmínky (c)
Nyní kyvadlo č.2 vychýlíme o úhel ϕm a kyvadlo č.1 podržíme v rovnovážné poloze. Dobu kyvu změříme pomocí čítače rázů u kyvadla č.2 (pomocí které ze vztahu (3) určíme ω3 ), na prvním kyvadle změříme periodu rázů. Budeme měřit dobu po puštění kyvadel, za kterou kyvadlo dosáhne 6. maxima. Pro výpočet odpovídající kruhové frekvence upravíme proto vztah (3) takto: ω2 =
6 · 2π 6π = T6r τ6r 5
(5)
Chybu ∆ω2 stanovíme ze vztahu s ∆ω2 =
6π 2 τ6r
2 2 ∆τ6r
(6)
Pro délku l1 = 303.0 ± 0.5 mm . • Naměřené T6r = (56, 8 ± 0.5) s. kyvadlo 1 kyvadlo 2 tr [s] τ0 [s] 9.5 ± 0.5 0.739 ± 0.005 ω2 = (0.331 ± 0.012) rad · s−1 Nyní doplníme ω3 a její chybu podle (3), (4). ω3 = (4.251 ± 0.029) rad · s−1 Pro délku l2 = 418.0 ± 0.5 mm . • Naměřené T6r = (31, 1 ± 0.5) s. kyvadlo 1 kyvadlo 2 tr [s] τ0 [s] 5.18 ± 0.5 0.709 ± 0.005 ω2 = (0.606 ± 0.039) rad · s−1 ω3 = (4.431 ± 0.031) rad · s−1
3.4
Koeficient vazby κ
Koeficient vazby κ stanovíme pomocí [1] (vztahy 3.39, 3.40). Chybu ∆κ1 , ∆κ2 pomocí [1],(2.27) takto:
6
s ∆κ1 = s ∆κ2 =
4ω1 ω02 (ω12 + ω02 )2
2
2ω3 (ω32 − ω22 ) (ω22 + ω32 )2
2
∆ω12
+
∆ω22
+
−4ω12 ω0 (ω12 + ω02 )2
2
2ω2 (ω22 − ω32 ) (ω22 + ω32 )2
∆ω02
(7)
2 ∆ω32
(8)
Pro délku l1 = 303.0 ± 0.5 mm . κ1 = (0.149 ± 0.010) rad · s−1 κ2 = (0.155 ± 0.009) rad · s−1 Pro délku l2 = 418.0 ± 0.5 mm . κ1 = (0.251 ± 0.012) rad · s−1 κ2 = (0.269 ± 0.011) rad · s−1
3.5
Výpočet tuhosti vazbové pružiny k
Ze vztahu (3.39) z [1] si vyjádříme tuhost k: k=
κmgL − κ)
l2 (1
(9)
Pro výpočet použijeme vypočtené κ pro ω0 a ω1 , protože odečet rázů není přesný. Charakteristiky kyvadla (viz obrázek): • L = (490 ± 0.5) mm • m = (1231.0 ± 0.5) g
Pro délku l1 = 303.0 ± 0.5 mm . k = (11.28 ± 0.05) N · m−1 7
Pro délku l2 = 418.0 ± 0.5 mm . k = (11.34 ± 0.05) N · m−1
Průměrnou tuhost stanovíme z aritemtického průměru: k¯ = (11.31 ± 0.05) N · m−1
3.6
Výpočet kruhových freckvencí ω1 , ω2 , ω3
Na základě (3.42) z [1] ověříme kruhové frekvence výpočtem. s 2kω02 l2 ω1 = + ω02 mgL ω2 = ω3 =
kω0 l2 2mgL
kω0 l2 + ω0 2mgL
Pro délku l1 = 303.0 ± 0.5 mm . ω1 = 4.749 rad · s−1 ω2 = 0.371 rad · s−1 ω3 = 4.435 rad · s−1 Pro délku l2 = 418.0 ± 0.5 mm . ω1 = 5.292 rad · s−1 ω2 = 0.706 rad · s−1 ω3 = 4.770 rad · s−1
8
3.7
Výpočet momentu setrvačnosti J
Na základě (3.13) z [1] stanvíme vztah pro moment setrvačnosti J: J=
mgL ω02
2
(10)
Chyba ∆J: s ∆J =
gL ω02
2 ∆m +
gm ω02
∆L +
−2gLm ω03
2 ∆ω02
(11)
J = (0.358 ± 0.026) kg · m2
4
Závěr
Vypočtená tuhost pružiny k se od naměřené liší o 3.908%. Hodnoty kruhových frekvencí změřené z doby kyvu a hodnoty vypočtené z naměřené vzdálenosti těžiště L a vzdálenosti vazebné pružiny l se výrazněji liší v případě ω2 , protože zde je měření nejvíce ovlivněno nepřesností při odečtu periody rázů, kdy se nedá přesně určit, kdy k rázu přesně došlo. Touto nepřesností je ovlivněno i měření tuhosti pružiny. Ověřili jsme, že pokud jsou kyvadla rozkývána se stejnou fází, nepřenáší se žádná enrgie a kruhová frekvence není nijak ovlivněna připojenou pružinou a je tedy stejná jako ω samotného kyvadla. Pokud rozkýváme kyvadla s opačnou fází, má kruhová frekvence ω1 větší hodnotu než ω0 a je úměrná vzdálenosti vazebné pružiny od osy otáčení.
9
Literatura [1] Bednařík, Koníček, Jiříček: FYZIKA I A II Fyzikální praktikum, ČVUT 1999
10
