[1]
Ba´ze • Kazˇdy´ linea´rnı´ (pod)prostor ma´ svou ba´zi • Vzhledem ke zvolene´ ba´zi urcˇujeme sourˇadnice vektoru˚. . .
a) base, 4, b) P. Olsˇa´k, FEL CˇVUT, c) P. Olsˇa´k 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)
L
. Viz p. d. 4/2010
BI-LIN, base, 4, P. Olsˇa´k
[2]
Definice ba´ze Definice: Mnozˇina vektoru˚ B je ba´ze linea´rnı´ho prostoru L, pokud (1) (2)
B je linea´rneˇ neza´visla´, 〈B〉 = L.
Podobneˇ definujeme ba´zi linea´rnı´ho podprostoru P ⊆ L.
BI-LIN, base, 4, P. Olsˇa´k
[3]
Prˇı´klady ba´zı´ • {(1, 2, 3), (4, 7, 8), (3, 4, 2)} je ba´ze R3. • {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} je take´ ba´ze R3. • {(1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1)} je ba´ze Rn. • libovolne´ trˇi linea´rneˇ neza´visle´ orientovane´ u´secˇky tvorˇi ba´zi linea´rnı´ho prostoru vsˇech orientovany´ch u´secˇek. • libovolne´ dveˇ linea´rneˇ neza´visle´ orientovane´ u´secˇky v rovineˇ tvorˇ´ı ba´zi linea´rnı´ho podprostoru orientovany´ch u´secˇek lezˇ´ıcı´ch v te´to rovineˇ. • Mnozˇina {1, x, x2, x3, . . .} tvorˇ´ı ba´zi lin. prostoru vsˇech polynomu˚. Pozorova´nı´: Jeden linea´rnı´ (pod)prostor ma´ vı´ce ba´zı´, vsˇechny majı´ spolecˇnou vlastnost: majı´ stejny´ pocˇet prvku˚. (To doka´zˇeme za chvı´li.)
BI-LIN, base, 4, P. Olsˇa´k
[4]
Existence ba´ze Veˇta: • Kazˇdy´ netrivia´lnı´ linea´rnı´ prostor ma´ ba´zi. • Kazˇda´ linea´rneˇ neza´visla´ mnozˇina se da´ doplnit na ba´zi. • V kazˇde´ mnozˇineˇ, pro kterou 〈M〉 = L, se da´ najı´t podmnozˇina, ktera´ tvorˇ´ı ba´zi L. Du˚kaz: opı´ra´ se o axiom vy´beˇru. Du˚kaz najdete ve druhe´m vyda´nı´ linal2.pdf, ale nebudu jej pozˇadovat ke zkousˇce. Pozorova´nı´: Je-li ba´ze konecˇna´, pak se da´ lin. neza´visla´ mnozˇina doplnit na ba´zi postupny´m prˇida´va´nı´m vektoru˚ z vneˇjsˇku linea´rnı´ho obalu (pouzˇije se veˇta ze slı´du [16]).
BI-LIN, base, 4, P. Olsˇa´k
[5]
Stejny´ pocˇet prvku ˚ v ba´zi Veˇta 1: Dveˇ ba´ze stejne´ho linea´rnı´ho prostoru majı´ stejny´ pocˇet prvku˚. Du˚kaz: pomocı´ tzv. Steinitzovy veˇty o vy´meˇneˇ: Veˇta (Steinitz): Necht’ M je libovolna´ mnozˇina, N je konecˇna´ linea´rneˇ neza´visla´ mnozˇina vektoru˚ tak, zˇe N ⊆ 〈M〉. Pak lze z mnozˇiny M odebrat tolik vektoru˚, kolik jich je v N, a prˇidat tam vsˇechny vektory z N. Noveˇ vznikla´ mnozˇina ma´ stejny´ linea´rnı´ obal jako 〈M〉. (Du˚kaz Steintzovy veˇty: viz linal.pdf.) Du˚kaz veˇty 1: Necht’ B1 a B2 jsou dveˇ ba´ze. Protozˇe B1 je lin. neza´visla´ a B1 ⊆ 〈B2〉, ma´ podle Steinitzovy veˇty B1 nejvy´sˇe tolik vektoru˚ jako B2. Je take´ B2 lin. neza´visla´ a B2 ⊆ 〈B1〉, takzˇe pocˇet vektoru˚ je stejny´.
BI-LIN, base, 4, P. Olsˇa´k
[6]
Dimenze Definice: Pocˇet prvku˚ ba´ze linea´rnı´ho prostoru L je dimenze L, znacˇ´ıme dim L. Pozorova´nı´: Prˇedchozı´ veˇta na´m zarucˇuje, zˇe definice ma´ smysl. Prˇı´klady: • dim Rn = n, • dimenze prostoru polynomu˚ je ∞, • dimenze prostoru orientovany´ch u´secˇek je 3, • dim. podprostoru orientovany´ch u´secˇek ve spolecˇne´ rovineˇ je 2, • dim. podprostoru orientovany´ch u´secˇek ve spolecˇne´ prˇ´ımce je 1,
BI-LIN, base, 4, P. Olsˇa´k
[7]
Dimenze podprostoru Dimenze podprostoru je mensˇ´ı nebo rovna dimenzi prostoru. (Du˚kaz: Ba´zi podprostoru lze doplnit na ba´zi prostoru.) V prˇ´ıpadeˇ konecˇne´ dimenze a vlastnı´ho podporostoru je dimenze podprostoru mensˇ´ı. (Du˚kaz: K ba´zi podprostoru prˇida´me vektor z vneˇjsˇku podprostoru. Tı´m zu˚stane mnozˇina lin. neza´visla´. Prˇ´ıpadneˇ ji doplnı´me na ba´zi prostoru.) Podmı´nka konecˇnosti dimenze je nutna´: Naprˇ´ıklad prostor polynomu˚, i podprostor 〈1, x2, x4, . . .〉 majı´ stejnou dimenzi ∞.
BI-LIN, base, 4, P. Olsˇa´k
[8]
Rovnost obalu ˚ − − − − − − Dva obaly 〈U〉 = 〈→ u 1, → u 2, . . . , → u n〉 a 〈V〉 = 〈→ v 1, → v 2, . . . , → v n〉 se rovnajı´, pra´veˇ kdyzˇ − − − − − − dim〈→ u 1, → u 2, . . . , → u n, → v 1, → v 2, . . . , → v n〉 = dim〈U〉 = dim〈V〉. Du˚kaz*: Necht’ 〈U〉 = 〈V〉, Pak U ⊆ 〈U〉, V ⊆ 〈V〉 = 〈U〉, takzˇe U ∪ V ⊆ 〈U ∪ V〉 = 〈V〉 = 〈U〉, tj. dim〈U ∪ V〉 = dim〈V〉 = dim〈U〉. Necht’ nynı´ dim〈U ∪ V〉 = dim〈V〉 = dim〈U〉. Protozˇe 〈U〉 ⊆ 〈U ∪ V〉, ale majı´ stejne´ dimenze, musı´ se podprostor 〈U〉 rovnat linea´rnı´mu prostoru 〈U ∪ V〉.
BI-LIN, base, 4, P. Olsˇa´k
Pocˇet prvku ˚ linea´rneˇ neza´visle´ mnozˇiny Necht’ dim L = n, M ⊆ L, pocˇet prvku˚ M je m. Potom: • Je-li M lin. neza´visla´, pak m ≤ n. • Je-li m > n, pak je M linea´rneˇ za´visla´. • Je-li m = n a M je neza´visla´, pak 〈M〉 = L. • Je-li m = n a 〈M〉 = L, pak M je neza´visla´. • Je-li M je neza´visla´ a 〈M〉 = L, pak m = n.
[9]
BI-LIN, base, 4, P. Olsˇa´k
[10]
Sourˇadnice vektoru vzhledem k ba´zi Na co ma´me ba´zi? Abychom vzhledem k nı´ mohli prˇideˇlit kazˇde´mu vektoru usporˇa´danou n-tici cˇ´ısel, tzv. sourˇadnice vektoru. − Definice: Sourˇadnice vektoru → x vzhledem k usporˇa´dane´ ba´zi → − → − → − b 1, b 2, . . . , b n jsou usporˇa´dana´ n-tice rea´lny´ch cˇ´ısel α1, α2, . . . , αn takova´, zˇe → − → − → − → − x = α1 b 1 + α2 b 2 + · · · + αn b n. − Existence sourˇadnic pro kazˇdy´ → x ∈ L? Protozˇe 〈B〉 = L. Jednoznacˇnost sourˇadnic? Protozˇe B je linea´rneˇ neza´visla´.
BI-LIN, base, 4, P. Olsˇa´k
[11]
Prˇı´klady − Vzhledem k ba´zi ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) ma´ vektor → x = (a, b, c) sourˇadnice (a, b, c). Vzhledem k ba´zi (1, x, x2) ma´ vektor ax2 + bx + c sourˇadnice (c, b, a). Vzhledem k ba´zi x2 + 2, 2x, x − 1 ma´ vektor ax2 + bx + c sourˇadnice: −2a + b + c a, , 2a − c . 2 Sourˇadnice vektoru˚ vzhledem k ba´zi v prostoru orientovany´ch u´secˇek zjistı´me geometricky.
BI-LIN, base, 4, P. Olsˇa´k
[12]
Standardnı´ ba´ze v Rn je ba´ze ((1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1)). Ma´ zajı´mavou vlastnost: vzhledem k nı´ ma´ vektor → − x = (x1, x2, . . . , xn) sourˇadnice (x1, x2, . . . , xn). Protozˇe (x1, x2, . . . , xn) = x1(1, 0, . . . , 0) + x2(0, 1, . . . , 0) + · · · + xn(0, 0, . . . , 1).
