Fyzikální praktikum IV. – Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček - verze 01
Úloha č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lavice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojka, tenká rozptylka, zdroj světla.
2) Teorie: Pod pojmem tenká čočka rozumíme takovou čočku, jejíž tloušťka d je malá v porovnání s poloměrem křivosti. Předmětová a obrazová hlavní rovina splývají v jednu rovinu, procházející středem S čočky, od něhož měříme jak předmětovou a obrazovou vzdálenost a, a' tak i ohniskovou vzdálenost f. U spojky vzniká obraz na opačné straně čočky než je umístěn předmět a můžeme ho pozorovat stínítkem.
Obr. 1 Je-li f ohnisková vzdálenost, a vzdálenost předmětu a a' vzdálenost obrazu, pak platí zobrazovací rovnice: 1 1 1 + = , a a′ f (1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah a ⋅ a′ . f = a + a′ (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem y ′ a′ Z= = , y a (3) opět uvažujeme absolutní hodnoty, přitom y je velikost předmětu a y' velikost obrazu. U rozptylky je předmětové ohnisko na straně obrazu a obrazové opačně na straně předmětu. Obraz, který je neskutečný, vzniká na stejné straně čočky jako je předmět. Zobrazovací rovnice má tvar 1 1 1 − = . a a′ f (4)
-1-
Fyzikální praktikum IV. – Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček - verze 01
Z ní plyne
f =
a ⋅ a′ a′ − a (5)
Ohnisková vzdálenost f tenkých čoček se dá měřit mnoha různými způsoby. Ukážeme si některé z nich:
a) Měření ohniskové vzdálenosti tenké spojky metodou přímou: Přímá metoda spočívá v tom, že měříme pomocí předmětu a jeho zaostřeného obrazu na matnici vzdálenost a, a', a dosazením do vztahu (2) vypočítáme ohniskovou vzdálenost f. Z hodnot a, a' však můžeme určit f i graficky. Napíšeme-li rovnici (2) ve tvaru
a ⋅ f + a′ ⋅ f = a ⋅ a′ , bude
takže
a ⋅ f = a′ ⋅ (a − f ) , a a− f = , a′ f
(6) nebo
a′ ⋅ f = a ⋅ (a′ − f ) ,
tedy a f = . a′ a′ − f
(6a) Vyneseme-li do grafu na jednu osu všechny naměřené hodnoty a', na druhou hodnoty a a příslušné hodnoty a, a' spojíme, protnou se všechny přímky v bodě F, který má souřadnice [f, f] v souhlase se vztahy (6) a (6a). Z obrázku i matematickou cestou se dá dokázat, že nejkratší úsečka je při a = a', takže a + a′ = 4 f . Ve všech ostatních případech je a + a′ > 4 f . Z toho vyplývá, že obraz na stínítku dostaneme pouze při splnění podmínky a + a′ ≥ 4 f . Přímá metoda není dostatečně přesná, neboť čočky mívají objímky, takže můžeme jejich střed pouze odhadnout a naměřené hodnoty a, a' nejsou dostatečně přesné. Proto se používají ke stanovení ohniskové vzdálenosti i jiné metody. -2-
Fyzikální praktikum IV. – Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček - verze 01
b)Měření ohniskové vzdálenosti tenké spojky Besselovou metodou Tato metoda se zakládá na poznatku, že při určité vzdálenosti předmětu a stínítka, existují dvě různé polohy čočky, při nichž vznikne ostrý obraz. Označíme-li vzdálenost předmětu při prvním postavení čočky a1 a a'2 vzdálenost obrazu při druhém postavení čočky, viz obr. 4 platí a1 = a2′ = a .
V poloze I vznikne na stínítku obraz zvětšený, v poloze II obraz zmenšený. Podle obrázku je d = a2 − a = a2 − a′2 , e = a2 + a′2 . Odtud vypočítáme e+d e−d a2 = , a2′ = 2 2 Dosadíme-li tyto výrazy do rovnice (2) obdržíme e2 − d 2 f = 4e (7) kde e je vzdálenost předmětu od stínítka a d je vzdálenost mezi I. a II. polohou čočky. c) Měření ohniskové vzdálenosti tenké čočky pomocí zvětšení Upravíme-li vztah (2) na tvar a′ a ⋅ a′ a , f = , resp. f = a′ a′ 1+ 1+ a a a′ a dosadíme z (3) = Z , obdržíme a a′ f = , 1+ Z
a⋅Z resp. f = 1+ Z
(8)
(9) Změříme-li zvětšení Z můžeme z naměřené hodnoty a' resp. a vypočítat ohniskovou vzdálenost f podle vztahu (8) resp. (9). Při realizaci této metody použijeme jako předmět osvětlené průhledné milimetrové měřítko, které zobrazujeme na matnici, opatřenou též
-3-
Fyzikální praktikum IV. – Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček - verze 01
milimetrovým měřítkem. Kryje-li se n dílků předmětu (zvětšených) s n' dílky obrazu, je zvětšení n′ Z= n (10) d) Měření ohniskové vzdálenosti tenké rozptylky Vzhledem k tomu, že u rozptylky vzniká obraz na stejné straně jako je předmět, nemůžeme použít stínítko, na kterém by se obraz promítal. Abychom dostali skutečný obraz, použijeme spojnou čočku takové ohniskové vzdálenosti, aby spolu s rozptylkou vznikla optická soustava s kladnou optickou mohutností.
Obr. 5. I Spojná čočka vytvoří skutečný obraz y' , který můžeme zachytit na stínítku. Jestliže vložíme paprsku vytvářejícímu reálný obraz y' do cesty rozptylku ve vzdálenosti a' od obrazu y' bude pro ni obraz y' neskutečným předmětem a rozptylka vytvoří ve vzdálenosti a' skutečný obraz y'', který již můžeme zobrazit na stínítku (viz obr. 5.). Změříme-li hodnoty a, a' můžeme použitím rovnice (5) vypočítat ohniskovou vzdálenost f rozptylky. Je však třeba si uvědomit, že označení obrazových a předmětových vzdálenosti v obrázcích 2 a 5 je opačné. Má proto v tomto případě rovnice (5) tvar a ⋅ a′ f = a − a′ (11)
3) Úkol: a) Určete ohniskovou vzdálenost tenké spojky přímou metodou: 1) početně ze vztahu (2) 2) graficky podle obr. 3 a vztahů (5) a (6) 3) pokusem ověřte podmínku a + a′ ≥ 4 ⋅ f b) Určete ohniskovou vzdálenost tenké spojky metodou Besselovou c) Určete ohniskovou vzdálenost tenké spojky pomocí zvětšení d) Určete ohniskovou vzdálenost tenké rozptylky
4) Postup: a) Předmět a stínítko postavíme na opačné straně optické lavice a mezi ně postavíme čočku. Světelným zdrojem osvětlíme předmět a čočkou posouváme tak dlouho, až na stínítku vznikne ostrý obraz předmětu. Odečteme polohu předmětu p čočky č a stínítka s. Z těchto údajů vypočítáme hodnoty a = č − p , a′ = s − č a zapíšeme do tabulky. Měření opakujeme při různých vzdálenostech předmětu a stínítka alespoň pro 10 hodnot.
-4-
Fyzikální praktikum IV. – Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček - verze 01
Vypočítáme ohniskovou vzdálenost f čočky podle vztahu (2), určíme absolutní a relativní chybu σf, δf pro f . Z naměřených hodnot a, a´ určíme graficky ohniskovou vzdálenost f a porovnáme s hodnotou vypočítanou.
p [m]
č [m]
s [m]
a [m]
a’ [m]
f [m]
∆f [m]
∆2f [m2]
f
∑ ∆f
∑∆
2
f
Dalším zkracováním vzdálenosti předmětu od stínítka najdeme pokusně polohu, při níž ještě lze vytvořit na stínítku obraz. Pro ni by mělo platit a + a′ = 4 ⋅ f a y = y′ . Ověřte si, že pro menší vzdálenost stínítka od předmětu již nelze obraz vytvořit. b) Předmět i stínítko umístíme na opačných koncích optické lavice a odečteme polohy p, s. Umístíme čočku poblíž předmětu a najdeme takovou její polohu, aby byl obraz předmětu na stínítku ostrý a zvětšený. Odečteme polohu čočky č1. Umístíme čočku poblíž stínítka a opět zaostříme. Získáme zmenšený obraz. Odečteme polohu čočky č2. Z naměřených hodnot vypočítáme e = s − p , d = č 2 − č1 , dosadíme do (7) a vypočítáme ohniskovou vzdálenost f. Měření provedeme pro 10 různých vzdáleností předmětu od stínítka (e ≥ 4 ⋅ f ) , vypočítáme střední hodnotu f a absolutní i relativní chybu. p [m]
č1 [m]
s [m]
č2 [m]
e [m]
d [m]
f [m]
∆f [m]
∆2f [m2]
f
∑ ∆f
∑∆
2
f
c) Jako předmět použijeme průhledné měřítko velikosti n mm. Zaostříme obraz předmětu na stínítku, odečteme jeho velikost n´ mm a vypočítáme zvětšení Z podle (10). Odměříme polohu předmětu p, čočky č a stínítka s a vypočítáme hodnoty a, a´. Měření provedeme 10x pro různé polohy. Podle (8) vypočítáme hodnotu f1 a podle (9) hodnotu f2. Určíme absolutní a relativní chybu pro f určené oběma způsoby a porovnáme, který postup je přesnější. p [m]
č [m]
s [m]
n [mm]
f1 [m]
∆f1[m]
∆2f1[m2]
f
∑ ∆f
∑∆
1
2
1
n’ [mm]
a [m]
f1
-5-
a’ [m]
Z
f1 [m]
f2 [m]
f
f
1
f2 [m]
∆f2[m]
∆2f2[m2]
f
∑ ∆f
∑∆
2
2
2
f2
2
Fyzikální praktikum IV. – Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček - verze 01
d) Mezi předmět a stínítko vložíme spojnou čočku S a rozptylku R podle obr. 5. Spojkou, či rozptylkou zaostříme obraz a odečteme polohu stínítka s1 a rozptylky r. Potom rozptylku odstraníme a beze změny polohy spojky znovu zaostříme stínítkem. Novou polohu stínítka označíme s2. Vypočítáme a′ = s1 − r , a = s2 − r a dosazením do (11) ohniskovou vzdálenost f. Měření provedeme 10x pro různé polohy spojné čočky. Vypočítáme absolutní a relativní chybu. r [m]
s1 [m]
s2 [m]
a’ [m]
a [m]
f [m]
∆f [m]
∆2f [m2]
f
∑ ∆f
∑∆ f
5) Závěr: Z výsledků měření posuďte přesnost jednotlivých metod měření ohniskové vzdálenosti.
-6-
2
