1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

Opakování středoškolské matematiky

Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky nebo mají větší časový odstup od maturity. Proto při řešení jednotlivých příkladů uvedeme všechny potřebné kroky včetně těch zcela samozřejmých a přitom připomeneme některé středoškolské znalosti. Nejde o sbírku příkladů, ale chceme studenty motivovat k seznámení se základními metodami a obecnými postupy řešení na těch co nejjednodušších příkladech. Tyto postupy by si měl student osvojit a procvičit samostatným řešením příkladů obsažených např. ve skriptu Budínský, P., Havlíček, I.: „Sbírka příkladů z matematiky pro vysoké školy ekonomického a technického zaměření“. 1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Čísla přirozená: N=
, , , … , … 

Čísla celá: Z=
… , , , , , , , … 

Čísla racionální (zlomky): P=  ,  ,  čí á  ř 

!

Každé racionální číslo lze vyjádřit jako desetinný zlomek o konečném počtu desetinných 

míst(např. =0,75), nebo jako periodický desetinný zlomek s nekonečně se opakující "

skupinou desetinných míst (např.



=1,181818…).



Čísla iracionální: Neperiodické desetinné zlomky s nekonečným počtem desetinných míst. (Příklady: √2=1,41421356…, nebo číslo % =3,141592654…, Eulerovo číslo & ' , ())) *). Čísla reálná: Sjednocením množiny čísel racionálních s množinou čísel iracionálních vznikne množina R , jejíž prvky nazýváme reálná čísla, která znázorňujeme pomocí bodů na číselné ose: |



|



|



|

|

|

|

|,

Obr.1 Pro reálná čísla jsou definovány běžně známé aritmetické operace součtu, součinu a podílu, jejichž výsledkem jsou opět reálná čísla. Připomeňme, že pro libovolná reálná čísla a, b, c platí: a+(-b)=a-b, a-(-b)=a+b, a.(-b)=-a.b, (-a).(-b)=a.b -. /

'

.

-/

.

' , /

..1 /.1

'

.

/

234567 8& 9. 

:

(např. 3+(-5)=3-5=-2, 3-(-5)=3+5=8, 3.(-5)=-15, (-3).(-5)=15, Dále platí:

 9



> ' 

.?9. 9.

, 34567 8& 9. 

2-;:.< =.<

'

2@ ě !:.

1

;.<

2-=:.<

;

' ) =

;

Příklad:

-=

>

-< D

'

;.D?2-=:.2-<: 2-=:.D

E
'

-
'

<<
'

<.EE <.EF

EE

'

.

EF

Množinu reálných čísel rozšiřujeme o dva symboly >∞ a ∞,( které ovšem nejsou reálnými čísly!) definované touto vlastností: ∞ H I H >∞ pro každé reálné číslo I. K Pro tyto dva symboly definujeme: J∞ > I ' J∞ , ' 0 pro každé reálné číslo x , a JL

dále také I. 2J∞: ' J∞ 3N4 5Ož7é N&áRSé číTR4 I U 0 (např. –5+2>∞: ' >∞ , (-

5).2 ∞: ' 5. 2>∞: ' >∞,

=

-L

-=

'

?L

F

' 0,

JL

' 0).

Pozor! Výrazy typu >∞ > 2 ∞: , ∞ > 2>∞:, . 2J∞:, definovány! (nemají žádný smysl).

JL JL

,



nejsou

Mocnina a odmocnina reálného čísla: Pro každé reálné číslo W (základ) a přirozené číslo n (exponent) definujeme n-tou mocninu: W ' W. W. * . W (n-krát vynásobené W). Příklady: 5E ' 5, 5< ' 5.5 ' 25, 2 3:; ' 27, 2 2:D ' 16.

Dále zde připomeneme důležité vzorce: 2 > 9: '  > 9 > 9

(1) Druhá mocninu dvojčlenu: (2) Rozdíl druhých mocnin:

 9 ' 2 9:. 2 > 9:

(3) Binomická věta:

2 > 9: ' [

kde symbol \bc] '

\ ]

b2b-E:2b-<:*2b-c?E: E.<.;.*.c

' ).

'

b!

c!2b-c:!



a

\]^_-` 9 ,

je tzv. kombinační číslo. (např. \"] '

". .

' d,

Výraz S! ' 1.2.3. * . S čteme n-faktoriál (např. 3!=1.2.3=6, 1!=1, také definujeme: 0!=1).

Pro každé reálné číslo W e 0 a přirozené číslo n definujeme n-tou odmocninu: √W jako 



nezáporné reálné číslo √W takové, že pro něj platí: \ √W] ' W. 



V případě, že S je číslo liché, definujeme také n-tou odmocninu pro W H 0 následovně:  √W ' √ W (neboť (neboť pak W U 0). Příklady:



√4 ' √4 ' 2, √8 ' 2, √16 ' 2, √2 ' 1,414 *, √ 27 ' k 2 27: ' √27 ' 3 . i

g

i

j

i

i

Mocnina se záporným exponentem je definována takto: Pro přirozené číslo S a reálné číslo W W- '



W

. Příklady: 2-; '

E


E

< -<

' , m n l

0 definujeme:

;

; <

'm n ' <

;g
'

-2 -

o

D

,

E


E

= q ' 2; ' 8. gi

Mocnina s lomeným exponentem: r

Pro nezáporný základ x a lomený exponent

j

definujeme

s

D

q

W ' √W . Příklady: 8i ' √8D ' \ √8] ' 2D ' 16, 2-g '

i

i

E

q
'

E

√<

' 0,707 … q

i

q i

u

Součin mocnin: W . W ' W? . Příklady: 3-< . 3D ' 3D-< ' 3< ' 9, 2i . 2j ' 2i?j ' 2j ' i

2g ' √2; ' √2< . 2 ' 2. √2,

=

√=

q

q

q

' 5E . 5-g ' 5E-g ' 5g ' √5.

Složená mocnina (mocnina mocniny): 2W : ' W. . E

g

;

Příklady: 22; :< ' 2v ' 64, m2 :-i n ' 2 D

g i

2-<:.m- n.;

' 2D =16.

Poznámka 1.: Pro kladné reálné číslo W lze definovat, jak ukážeme později, (viz odstavec o exponenciále a logaritmu) také mocninu W s libovolným reálným exponentem a. Výše uvedená pravidla platí i v tomto případě: W- '



W

, W . W9 ' W?9 , 2W :9 ' W.9 .

Řešení lineárních rovnic a nerovnic Základní pravidlo pro řešení rovnic: Řešení rovnice se nezmění, přičteme-li k oběma stranám stejné číslo nebo vynásobíme-li obě strany stejným nenulovým číslem. a) lineární rovnice s neznámou x má obecně tvar:

. W ' 9 kde  



, 9 jsou daná reálná čísla. Vynásobíme-li její obě strany číslem 

E

.

dostaneme

9

. W ' . W ' . 9 ,takže její řešení je W ' . 



Příklady: 1) Rovnici 2x+5=9 řešíme tak, že nejprve přičteme k oběma stranám číslo 5: 2x+5+(-5)=9+(-5) , tím dostaneme 2x=4 , a po vynásobení číslem

 

máme řešení x=2 .

w

2) Rovnice 2x+5 = 0 má řešení W ' , zatím co rovnice 0.x+5=9 nemá žádné řešení. 

3) Rovnice 3x+2=6x+2-3x po přičtení 3x dává identitu 6x+2= 6x+2, takže řešením je libovolné reálné číslo (rovnice má nekonečně mnoho řešení). -3-

b) lineární nerovnice s neznámou x má obecně tvar: . W H x 2yá yz:, y . . W { 9 2yá yz: nebo . W U x 2yá yz:, y . . W e 9 2yá yz:

Základní pravidlo pro řešení nerovnic: Řešení nerovnice se nezmění, přičteme-li k oběma stranám stejné číslo nebo vynásobíme-li obě strany stejným kladným číslem.(Po vynásobení záporným číslem změní se znaménko nerovnosti na opačné.) Poznámka 2.: Řešení nerovnic tvoří často množiny reálných čísel, které nazýváme intervaly: Jsou-li a, b daná reálná čísla taková,že  H x, potom množina | všech čísel x pro něž platí  H I H x , 2y .  { W { 9: se nazývá otevřený (resp. uzavřený) interval s počátečním bodem a a koncovým bodem b. Intervaly značíme symboly 2, 9: (N&T3. H , 9 U) a znázorňujeme je úsečkami na reálné ose. Pro  ' ∞ nebo 9 ' >∞ označujeme symboly 2 ∞, 9: \y . 2, >∞:] množiny těch reálných čísel I pro něž platí W H x , 2N&T3. I U O :. Poznámka 3.:Pro stručné vyjádření faktu, že nějaký prvek (číslo, nebo jiný objekt) W patří do dané množiny } často používáme symbol „W ~ }“ ,(I patří do množiny }, W je elementem množiny }). Množinu  určenou nějakými vlastnostmi €E , €< , *, zapisujeme takto  ' W ~ ‚: „ , „, * , …. Např., množinu } všech reálných čísel, která jsou kladná (vlastnost „ ) a současně menší nebo rovna pěti (vlastnost „< : zapíšeme } '
W ~ ‚: W U 0, I { 5.

Příklady: 1) Nerovnici W  H W >  řešíme takto: K oběma stranám nerovnice přičteme číslo 3 a současně odečteme I. Tím dostaneme W  >  W H > >  W, neboli W H4. Řešením jsou tedy všechna reálná čísla ležící v otevřeném intervalu od ∞ do 4, což symbolicky zapisujeme W ~ 2 ∞, ":. 2) V případě „dvojité“ nerovnice  { . W w H . W > 4 jde vlastně o soustavu dvou nerovnic  { . W w a . W w H . W > 4, které musí platit současně. Řešením budou proto ta W , která vyhovují oběma nerovnicím. Přičteme-li k první nerovnici číslo w, máme nerovnost d { . W, kterou vynásobíme kladným číslem

 

a tím dostaneme  { W . Řešením první

nerovnosti je tedy interval † 'H , >∞:. Podobně přičteme k oběma stranám druhé nerovnosti . W w H . W > " číslo 5, takže máme . W H . W > ‡ a přičtením W nakonec dostaneme . W . W H9, neboli W H ‡. Řešením druhé nerovnosti je tedy interval † ' 2 ∞, ‡:. Řešením původní nerovnice je pak společná část obou intervalů † a † , neboli jejich průnik, který značíme symbolem † ˆ † . V našem případě je to průnik † ˆ † 'H 2, >∞: ˆ 2 ∞, ‡: ' ‰, Š‡:Š. -4-

Oba intervaly i jejich průnik můžeme snadno znázornit na reálné ose: ∞

|0

| _

Œ

_

| 9___________>∞

Obr.2

3) Nerovnice s absolutní hodnotou tvaru

|W | H N, kde c a r jsou daná čísla, řešíme takto: Podle definice absolutní hodnoty reálného čísla platí: Pro W  e je |W | ' W  a pro W  H 0 je |W | ' 2W :.

Řešeními nerovnice |W | H N jsou tedy ta reálná čísla W, která vyhovují buďto nerovnici:

{ W  H y, tedy W ~ †E 'H ,  > y: , nebo nerovnici: 2W : H N, která po vynásobení záporným číslem  přejde na opačnou nerovnici 2W : U y , odkud přičtením čísla  dostaneme její řešení W U  y , neboli W ~ †< ' 2 y, :. Množina těch čísel W , která vyhovují původní nerovnici |W | H N jsou body buďto z intervalu † nebo z † . Tuto množinu nazýváme sjednocením intervalů † a †< a značíme ji symbolem † Ž † . Poznámka 4 : Jelikož intervaly † a † mají společný bod W '  , můžeme zapsat řešení nerovnice |W | H N jako symetrický interval 2 y,  > y:, (což se snadno pamatuje).

Příklad: Nerovnici |W > d| H4 řešíme takto: Nejprve ji zjednodušíme vydělením dvěma na tvar |W > | H2 , pak určíme střed symetrického intervalu řešením rovnice W >  ' , odkud nalezneme W ' , takže konečným řešením nerovnice je interval 2  ,  > : ' 2 w, :.

Kvadratické rovnice a nerovnice a) kvadratická rovnice pro neznámou W s koeficienty 

, 9,  má obecný tvar

W > 9W >  ' . Například, W dW " ' je kvadratická rovnice, kde  ' , 9 ' d,  ' ). Dále ukážeme obecný postup pro řešení kvadratické rovnice: Rovnici W > 9W >  ' nejprve upravíme vydělením koeficientem  na rovnici 9



W > W > ' . Dále označíme 





9



' ,





' a dostaneme jednodušší tvar :

W > W > ' , neboli W >  W > ' . 

-5-



Nyní přičteme k oběma stranám rovnice výraz m n , takže dostaneme 







W >  W > > m n ' m n . 









Výraz na levé straně rovnice: W >  W > m n vyjádříme (pomocí vzorce pro druhou 







<

mocninu dvojčlenu, viz vzorec (1)) takto: W >  W > m n ' mW > n . 





Tímto obratem jsme převedli původní rovnici na tvar: 



mW > n ' m n . 





Pokud je výraz m n nezáporný, můžeme obě strany rovnice odmocnit: 

<



mW > n ' W >  ' m n . 





Podle definice absolutní hodnoty pak platí:







Je-li W > e , potom W >  ' W > ' m n , odkud snadno vypočteme jedno řešení





W ' > m n . 















r

Je-li W > H 0, potom je W >  ' mI > n ' m n 





<



a druhé řešení je



W '  m n . 



Zpětným dosazením za konstanty a po úpravě zjistíme, že rovnice W > 9W >  '

1) má dvě různá řešení tvaru W, '

-9Jk9 -" 

2) má jediné (dvojnásobné) řešení W, '

9



, je-li diskriminant ‘ ' 9 " U 0,

,

3) nemá žádné řešení v oboru reálných čísel,

je-li diskriminant ‘ ' 9 " ' , je-li diskriminant ‘ ' 9 " H 0.

Poznámka 5.: Řešením kvadratické rovnice říkáme kořeny. Příklad: Rovnici W dW " ' řešíme tak, že ji nejprve vydělíme číslem 3 a dostaneme rovnici



W W ) ' . Pak ' , ' ), takže m n ' 2 : > ) ' ‡ 

a podle vzorce (1) rovnici upravíme na tvar 2W : ' ‡ . Po odmocnění dostaneme -6-

W,  ' J , takže rovnice má dva reálné kořeny: W ' ", W ' . Stejný výsledek dostaneme také přímo užitím vzorce podle 1), neboť diskriminant ‘ ' 2 d: ". . 2 ": ' " U 0 , takže W, '

-2-d:J√" .

'

dJ) d

'  J . 



Poznámka 6.: Úpravě kvadratického trojčlenu: W > W > ' mW n m n > 



říkáme úprava „doplněním na úplný čtverec“ a má uplatnění také při řešení některých neurčitých integrálů. Příklad: Upravíme-li trojčlen W > W >  ' 2W > :  >  ' 2W > : +1, vidíme, že kvadratická rovnice W > W >  ' 0 nemůže mít reálné kořeny, protože 2W > : +1U 0 pro každé reálné číslo W. (Její diskriminant ‘ '  ".  ' " ) ' " H je záporný.) Příklad: Kvadratickou rovnici W > dW > ‡ ' upravíme podle poznámky 6. na tvar 2W > : ‡ > ‡ ' 2W > : ' . Je tedy W >  ' , takže rovnice má jediný (dvojnásobný) kořen W ' . b) Řešení kvadratické nerovnice: W > 9W >  U 0 1) V případě reálných kořenů W, rovnice W > 9W >  ' převedeme nerovnici na tvar 2W W :2W W : U 0 a řešíme následující alternativy :

2W W : U 0 a současně 2I I< : U 0, nebo 2W W : H 0 a současně 2W W : H 0. Příklad: Řešme nerovnici W W ) U 0. Protože rovnice W W ) ' má reálné kořeny W ' ", W '  (viz příklad v poznámce 5), můžeme nerovnici přepsat na tvar 2W ":2W > : U 0 a řešíme alternativy: 2W ": U 0 a současně 2W > : U 0, nebo 2W ": H 0 a současně 2W > : U 0.

První alternativa dává průnik intervalů 2", >∞: ˆ 2 , >∞: ' 2", >∞: , druhá dává průnik intervalů 2 ∞, ": ˆ 2 ∞, : ' 2 ∞, :, takže řešením kvadratické nerovnice je sjednocení intervalů 2 ∞, : Ž 2", >∞:. 2) V obecném případě lze pro řešení nerovnice W > 9W >  U 0 využít grafu kvadratické

funkce ’ ' W > 9W > , jímž je parabola, (např. “ ' W W ):. Řešením je pak

množina těch W ~ ‚, pro něž graf leží nad osou Ox. Podobně je řešením opačné nerovnice

W > 9W >  H 0 množina těch W ~ ‚, pro něž graf leží pod osou Ox, (viz následující Obr.3). -7-

Obr. 3 Z obrázku je ihned vidět, že řešením nerovnice W W ) U 0 je sjednocení intervalů 2 ∞, : a 2", >∞:. Obecně platí pro řešení nerovnice W > 9W >  U 0: 1) Je-li  U 0, ” ' 9 " U 0, pak řešením je sjednocení 2 ∞, W : Ž 2W , >∞:. 2) Je-li  H 0, ” ' 9 " U 0, pak řešením je interval \W, W ]. 3) Je-li  U 0, ” ' 9 " H 0, pak řešením je •E ' 2 ∞, >∞:. 4) Je-li  H 0, ” ' 9 " H 0, pak nerovnice nemá řešení. Poznámka 7.: Nerovnici W > 9W >  H 0 převedeme na předchozí případ vynásobením obou stran nerovnice číslem -1. Při řešení neostré nerovnice W > 9W >  e 0 snadno zjistíme, že v případě 1) je řešením 2 ∞, W UŽH W , +∞: a případě 2) H W , W U. Rozhodněte dále sami, jak vypadá řešení v případě ” ' 9 " ' . -8-

Příklad: Řešme nerovnici W wW > d { .

Po vynásobení nerovnice číslem -1 dostaneme W > wW d e , takže  '  H 0, ” ' 9 " ' w 2 :. w. 2 d: '  U 0 , takže kořeny jsou W ' , W '  a řešením je uzavřený interval H 2, 3 U.

Poznámka 8.: Použitá metoda užití grafu kvadratické funkce pro řešení nerovnice lze zobecnit na řešení nerovnice –2W: U 0, kde –2W: je spojitá funkce tak, že nalezneme

všechny kořeny rovnice –2W: ' , označme je W , W , … , W ~ ‚, jež rozdělí definiční obor

funkce na n+1 intervalů † , † , … , †? . Nyní zvolíme v každém z těchto intervalů libovolný bod  ~ † , — ' 1, 2, … . S > 1 a vybereme ty intervaly, u nichž platí –2 : U 0. Sjednocení těchto intervalů dává pak řešení naší nerovnice.

Příklad: Řešme nerovnici Funkce –2W: '

W -W

W -W

?W

U 0.

má tři kořeny W , W , W , které dostaneme řešením rovnice W W ' ,

?W

neboli rovnice W2W : ' . Je tedy buďto x=0, nebo 2W : ' , takže kořeny rovnice

jsou W '  , W ' , W ' >. Potom je

† ' 2 ∞, :, † ' 2 , :, † ' 2 , :, †" ' 2, >∞:. 



Zvolíme-li např.  '  ~ † ,  ' ~ † ,  ' > ~ † , " '  ~ †" a vypočteme d



hodnoty –2 : ' H 0, –2 ) = w











U 0, – m n ' 







H 0, –2>: '  U 0, vidíme, že

řešením naší nerovnice je sjednocení intervalů † Ž †" ' 2 , : Ž 2, >∞).

-9-

Obr. 4

Na Obr. 4 vidíte graf dané funkce –2W: '

W -W

?W

, na kterém se můžete přesvědčit o

správnosti řešení nerovnice. Řešením jsou ty intervaly na ose x, kde příslušné části grafu leží nad osou x (tj. v horní polorovině). Pro vyřešení samotné nerovnice však tento graf není nutný, jak je zřejmé z předcházejícího výpočtu . Přesto je velmi důležité znát předem alespoň grafy tzv. základních elementárních funkcí, k nimž patří např. následující funkce: “ ' Ib , “ '

1 i , 3N4 S˜™ 2š4›S—S“:; “ ' √I , “ ' √I 247š4›S—S“:; b I

“ ' log I , “ ' OK ,

“ ' ln I 2R4¡ON—¢š—›5é £6S5›&:; “ ' & K 2&I34S&S›—áRSí £6S5›&:;

“ ' sin I , “ ' cos I , “ ' tg I , “ ' cotg I 2¡4S—4š&¢N—›5é £6S5›&:; “ ' ON›T—SI, “ ' ON››4TI, “ ' ON›¢¡I, “ ' ON››4¢¡I 2›“5R4š&¢N—›5é £6S5›&:

-10-

V následujících obrázcích jsou grafy některých těchto funkcí.

Graf funkce “ ' I ;

Obr.5

Graf funkce “ '

E

K

Obr.6

Graf funkce “ '

E

Kg

Obr.7

q

Graf funkce “ ' I i

Obr.8

Graf funkce “ ' I D

Obr.9

Graf funkce “ ' T—SI Obr.10

Graf funkce “ ' ›4TI Obr.11

Graf funkce “ ' ¢¡I Obr.12

Graf funkce “ ' ›4¢¡I Obr.13

Graf funkce “ ' RSI Obr.14

Graf funkce “ ' & K Obr.15

Graf funkce “ ' & -K Obr.16

Obr.1 Graf funkce “ ' ON›T—SI obr.17

Graf funkce “ ' ON››4TI Obr.18

Graf funkce “ ' ON›¢¡I Obr.19

Graf funkce “ ' ON››4¢¡I Obr.20