Speelse Wiskunde Probleemoplossend denken in de tweede en de derde graad
Philip Bogaert
Wiskundige puzzels 1. Blikjes frisdrank samenbinden Probleem A Hoe lang moet een touw zijn als men drie blikjes frisdrank met diameter 10 cm op volgende wijze wil samenbinden:
Oplossing De omtrek bestaat uit de omtrek van de cirkel en …………. keer de straal. Omtrek = ………… …… keer de straal = ………… Totale omtrek = ………………
Probleem B Hoe lang moet een touw zijn als men drie blikjes frisdrank met diameter 10 cm op volgende wijze wil samenbinden:
Oplossing De omtrek bestaat uit de omtrek van de cirkel en …………. keer de straal. Omtrek = ………… …… keer de straal = ………… Totale omtrek = ………………
Wiskundige puzzels
p. 1
Probleem C Hoe lang moet een touw zijn als men vier, vijf of zes blikjes frisdrank met diameter 10 cm op volgende wijze wil samenbinden:
Probleem D Bepaal de afmetingen van een rechthoekig dienblad (met minimale oppervlakte) als er 24 blikjes frisdrank met diameter 10 cm op moeten.
Wiskundige puzzels
p. 2
2. Bollen stapelen Hoeveel sinaasappels krijg je in een doos? Of anders gevraagd: wat is de meest efficiënte stapeling van sinaasappels, en bollen in het algemeen? Elke groenteboer weet dat je meer sinaasappels in een doos krijgt als je ze netjes in een regelmatig patroon opstapelt. Bij die ordening hoort een zogeheten pakkingsfractie van 0,7405. Dat betekent dat je de doos dan voor 74% van zijn inhoud met sinaasappels gevuld krijgt. Al in 1611 stelde Johannes Keppler dat je bollen niet efficiënter kunt stapelen dan met die fractie van 0,7405. Pas in 1998 wist de Amerikaan Thomas Hales dit ook echt wiskundig te bewijzen. Meestal echter heeft de groenteboer geen tijd om de sinaasappels netjes een voor een te stapelen. Hij gooit ze in de doos, schudt die en klaar. Er ontstaat dan wat wetenschappers noemen de willekeurig dichtste pakking; die heeft een pakkingsfractie van 0,64. De pakkingsfractie van 0,64 is het maximaal haalbare voor willekeurig dichtste pakking van bollen. Waarom dit maximum die waarde heeft, is overigens nog altijd niet afdoende verklaard.
Probleem A : 4 bollen stapelen Hoe hoog is de driezijdige piramide die ontstaat door 4 bollen met straal 2 dm op elkaar te stapelen (drie bollen onderaan, één erop).
Oplossing Wanneer we de vier middelpunten van de bollen met elkaar verbinden, krijgen we een tetraëder met ribbe = 4 dm. De gevraagde hoogte is dan gelijk aan de hoogte van de tetraëder + ………… keer de straal van de bollen. Omdat ABCT een tetraëder is, valt de loodrechte projectie van T op het vlak ABC samen met het punt Z, het zwaartepunt van de driehoek ABC. De rechte AZ snijdt het lijnstuk [BC] in M, het midden van [BC].
lengte |AB| = ……………… lengte |BM| = ………………
Driehoek ABM is rechthoekig (waarom ?), dus geldt wegens de stelling van Pythagoras: |AB|² = …………………………………………… Waaruit je de lengte |AM| kan berekenen: |AM| = ………………
Wiskundige puzzels
p. 3
Omdat Z het zwaartepunt is geldt :
AZ =
... | AM | = .................. ...
Nu is driehoek TZA rechthoekig, zodat wegens de stelling van Pythagoras geldt: |TA|² = ……………………………………………… Waaruit je de hoogte van de tetraëder kan bereken: |TZ| = ……………… De gevraagde hoogte is dus : ……………………………………………………………. Hoe hoog is de driezijdige piramide die ontstaat door 10 bollen met straal 2 dm op elkaar te stapelen (zes bollen onderaan, drie erop en één bovenaan).
Probleem B : 5 bollen stapelen Hoe hoog is de vierzijdige piramide die ontstaat door 5 bollen met straal 2 dm op elkaar te stapelen (vier bollen onderaan vormen een vierkant, één erop).
Oplossing Wanneer we de vijf middelpunten van de bollen met elkaar verbinden, krijgen we een piramide met als grondvlak een vierkant met zijde 4 dm en schuine zijden eveneens 4 dm. De gevraagde hoogte is dan gelijk aan de hoogte van de piramide + ………… keer de straal van de bollen.
Bepaal eerst de lengte van een diagonaal van het grondvlak: |AC| = …………………… De lengte van de halve diagonaal is dus: |AS| = …………………… Driehoek TSA is rechthoekig, waaruit: |TS| = …………………… Antwoord : ……………………………………………………………… Hoe hoog is de vierzijdige piramide die ontstaat door 14 bollen met straal 2 dm op elkaar te stapelen (negen bollen onderaan, vier erop en één bovenaan).
Wiskundige puzzels
p. 4
Probleem E : bollen tellen Als je bollen stapelt volgens een vierzijdige piramide en deze telt zes lagen, heb je in totaal:
sv _ 6 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 = 91 bollen Als je n lagen hebt, heb je in totaal:
sv _ n = 12 + 22 + ... + n 2 =
1 n ( n + 1)( 2n + 1) 6
Bewijs deze formule !!
Als je bollen stapelt volgens een driezijdige piramide en deze telt zes lagen, heb je in totaal:
sd _ 6 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 = 56 bollen Als je n lagen hebt, heb je in totaal:
1 1 sd _ n = 1 + 3 + ... + n ( n + 1) = n ( n + 1)( n + 2 ) 2 6 Bewijs deze formule !!
Een vierzijdige piramide van zes lagen kan je herstapelen in twee driezijdige piramiden, een driezijdige piramide van zes lagen en een driezijdige piramide van vijf lagen. Ga dit na. Een vierzijdige piramide van zeven lagen kan je herstapelen in twee driezijdige piramiden, een driezijdige piramide van zeven lagen en een driezijdige piramide van zes lagen. Ga dit na. Algemeen kan je een vierzijdige piramide van n lagen, herstapelen in twee driezijdige piramiden, een driezijdige piramide van n lagen en een driezijdige piramide van n-1 lagen. Toon dit aan.
Probleem F : aantal bollen in een doos Hoeveel bollen met straal 2 dm kunnen er in een kubusvormige doos met ribbe 25 dm?
Wiskundige puzzels
p. 5
3. Cirkels stapelen Probleem A Hoeveel cirkels met een diameter van 4 cm kan ik stapelen in een cirkel met diameter 38 cm?
Oplossing Hoeveel cirkels met diameter van 4 cm kunnen er in een cirkelring met stralen 6 cm en 10 cm ? De middelpunten van al deze cirkels liggen op een cirkel met straal ………… cm. De afstand |OQ| = |OP| = ………… cm en de afstand |PQ| = ………… cm.
n berekenen? Kan je nu nog de hoek POQ n = ……………… POQ Hoeveel keer kan je deze hoek nemen zonder de 360° te overschrijden? …………
Hoeveel cirkels met diameter van 4 cm kunnen er in een cirkelring met stralen 7 cm en 11 cm ?
Wiskundige puzzels
p. 6
Voor het berekenen van het aantal cirkels met een diameter van 4 cm in een cirkel met straal 19 cm kan je werken van binnen naar buiten of van buiten naar binnen:
Bereken voor beide gevallen het aantal cirkels. In welk van beide gevallen heb je duidelijk meer cirkels? Hoeveel meer?
Probleem B : super uitdaging !! Als ik 100 cirkels met een diameter van 4 cm zou willen stapelen in een nieuwe grote cirkel, hoe groot moet dan de diameter minstens zijn van deze nieuwe cirkel ?
Wiskundige puzzels
p. 7
4. Parkeren Het parkeren van auto’s is tegenwoordig een groot probleem. Ieder jaar worden er weer meer auto’s verkocht, terwijl de beschikbare ruimte beperkt is. Hoe kun je nu de beschikbare ruimte op een gegeven parkeerterrein zo goed mogelijk benutten? Gegeven een parkeerterrein, verdelen we dit parkeerterrein in vierkante hokjes waarbij we volgende veronderstellingen maken: •
• • •
Een auto stellen we voor door een vierkant roosterhokje. Zo’n vierkante auto kan tussen de roosterlijnen bewegen, naar voren en naar achteren, naar links en naar rechts, telkens via vrije roosterhokjes. Geen moeilijk gedoe met te krappe draaicirkels bij het in- en uitparkeren dus, onze auto’s hoeven niet te draaien. Elk parkeerterrein moet via vrije ruimtes bereikbaar zijn. De auto’s moeten naar de uitgang kunnen rijden langs een aaneengesloten weg van vrije hokjes. Het parkeerterrein heeft één of twee gecombineerde in/uitgangen die van tevoren worden vastgelegd. Er rijdt maar één auto tegelijk. M.a.w. je moet geen rekening houden met het feit dat de auto’s elkaar moeten kunnen kruisen.
Probleem A : 4 bij 4 parkeerterrein In onderstaande figuur zie je een aantal voorbeelden hoe je een 4 bij 4 parkeerterrein met één in/uitgang zou kunnen inrichten. De parkeervakjes zijn in het zwart aangegeven. De drie ontwerpen zijn optimaal in de zin dat er geen parkeervak meer bij kan. Toch is het aantal parkeervakken verschillend: 5, 6 en 8.
in
in
in
Toon aan dat je een 4 bij 4 parkeerterrein met 9 parkeervakken kunt maken door de in/uitgang ergens anders te plaatsen.
Probleem B : 5 bij 5, 6 bij 6 en 7 bij 7 parkeerterrein Ontwerp een 5 bij 5, een 6 bij 6 en een 7 bij 7 parkeerterrein met zoveel mogelijk parkeervakken. Onderzoek wat voor invloed de plaats van de in/uitgang heeft.
Wiskundige puzzels
p. 8
Probleem C : Efficiëntie Hoeveel auto’s kun je maximaal parkeren op een n bij n parkeerterrein en hoe krijg je dat voor elkaar? In de praktijk komt het er vaak niet op aan om de allerbeste verdeling te vinden. Een architect zal eerder willen weten hoe groot een parkeerterrein moet zijn om een bepaald aantal auto’s kwijt te kunnen. Hij (of zij) wil een garantie dat er bijvoorbeeld minstens 40% van een parkeerterrein aan parkeervakken kan worden besteed. Misschien is dit niet de best mogelijke uitspraak, maar het geeft toch al een idee over de benodigde parkeerruimte. Een garantie over een minimaal percentage parkeervakken kun je geven door een constructie te vinden die in alle gevallen klopt en die gegarandeerd dat percentage oplevert. Voorbeeld : 14 bij 14 parkeerterrein
in
Van de 14 x 14 = 196 mogelijk plekken zijn er 7 x 13 = 91 parkeervakken. Het percentage parkeervakken is
91 ≈ 46% . We noemen dit percentage de efficiëntie. 196
Toon aan dat bij een n bij n parkeerterrein waarbij n even is de efficiëntie steeds groter is dan
n −1 . 2n
Maak een soortgelijk ontwerp als n oneven is en vind een formule voor de efficiëntie. Neem de ingang opnieuw rechtsonder. Merk op dat bij n oneven de efficiëntie groter is. Verzin een betere indeling van een n bij n parkeerterrein waarmee je kunt laten zien dat een efficiëntie van minstens 50% steeds mogelijk is. Denk aan spiralen, zigzag of een andere rangschikking met rechte paden. Je constructie moet voor elke waarde van n gelden. Het kan zijn dat je weer verschillende gevallen moet onderscheiden.
Wiskundige puzzels
p. 9
Probleem D Ontwerp een zo efficiënt mogelijk parkeerterrein in volgend geval. Voorzie twee in/uitgangen van waaruit je alle parkeerplaatsen kan bereiken: één aan de oostkant (= rechterkant) en één aan de zuidkant (= onderkant).
Wiskundige puzzels
p. 10
5. Tienkamp De tienkamp of decathlon is een sportwedstrijd waarbij mannelijke atleten in twee dagen tijd tien atletieknummers moeten afleggen. Sinds de Olympische Spelen van 1912 (Stockholm) is de decathlon een Olympische discipline. De regels van de afzonderlijke nummers zijn (op enkele details na) van toepassing. Zo mogen er bij de werpnummers en het verspringen slechts drie pogingen (in plaats van zes) ondernomen worden. Bij elke discipline kunnen de atleten punten verdienen, volgens een systeem dat is vastgelegd door de IAAF (International Association of Athletics Federations). Degene die de beste prestaties neerzet, verdient de meeste punten, en wint dus de tienkamp. Het wereldrecord staat op naam van de Tsjech Roman Sebrle met 9026 punten.
Tienkamp: eerste dag • • • • •
100 m verspringen kogelstoten hoogspringen 400 m
Tienkamp: tweede dag • • • • •
110 m horden discuswerpen poolstok hoogspringen speerwerpen 1500 m
Hoe worden de punten op de tienkamp berekend? Er worden drie formules gebruikt: één voor de loopnummers, één voor de werpnummers en één voor de springnummers.
(
)
Loopnummers:
P = int A * ( B − tijd )
Werpnummers:
P = int A * ( afstand − B )
Springnummers:
P = int A * (100 * ( afstand − B ) )
Wiskundige puzzels
(
(
C
C
) C
)
p. 11
• • • •
P stelt het aantal punten voor. “int” betekent dat het berekende getal naar beneden wordt afgerond naar een geheel getal. M.a.w. int(427,84) = 427. De tijden van de loopnummers worden steeds uitgedrukt in seconden (en fracties daarvan). M.a.w. 3 min 28,43 sec op de 1500 m wordt omgezet naar 208,43 sec. De afstanden voor de werp- en loopnummers worden steeds uitgedrukt in meters (en fracties daarvan).
Tabel met waarden van A, B en C bij de verschillende onderdelen van de tienkamp
onderdeel 100 m verspringen kogelstoten hoogspringen 400 m 110 m horden discuswerpen poolstok hoogspringen speerwerpen 1500 m
A 25,4347 0,14354 51,39 0,8465 1,53775 5,74352 12,91 0,2797 10,14 0,03768
B 18 2,2 1,5 0,75 82 28,5 4 1 7 480
C 1,81 1,4 1,05 1,42 1,81 1,92 1,1 1,35 1,08 1,85
Probleem A •
Bereken de score van volgende atleten op de Olympische Spelen van Athene 2004.
onderdeel 100 m verspringen kogelstoten hoogspringen 400 m 110 m horden discuswerpen poolstok hoogspringen speerwerpen 1500 m •
Roman Sebrle Dmitriy Karpov Vitaliy Smirnov (Tsjechië) (Kazachstan) (Uzbekistan) 10,85 s 10,50 s 10,89 s 7,81 m 7,81 m 7,07 m 16,36 m 15,93 m 13,88 m 2,12 m 2,09 m 1,94 m 48,36 s 46,81 s 49,11 s 14,05 s 13,97 s 14,77 s 48,72 m 51,65 m 42,47 m 5,00 m 4,60 m 4,70 m 70,52 m 55,54 m 60,88 m 4:40,01 4:38,11 4:23,31
Zoek de prestatie op de 10 onderdelen van volgende atleten op de Olympische Spelen van Athene 2004 en bereken hun totaalscore: Bryan Clay (US), Attila Zsivoczky (Hongarije) en Stefan Drews (Duitsland).
Wiskundige puzzels
p. 12
Probleem B •
Teken bij één loopnummer, één werpnummer en één springnummer de grafiek voor het aantal punten dat een tienkampatleet bij dat nummer kan behalen. Zet daarbij op de horizontale as de afstand, hoogte of tijd, en op de verticale as het aantal punten.
•
Beschrijf het verloop van de grafieken (bijvoorbeeld ‘steeds sterker dalen’), en vermeld erbij wat voor gevolgen dit voor een atleet heeft.
•
Een atleet verbetert zijn tijd op de 400 meter met 1% van 50,00 sec naar 49,50 sec. Een andere atleet verbetert zijn hoogtesprong met 1% van 2,00 m naar 2,02 m. Levert dat voor beide atleten evenveel extra punten op?
•
Heeft het zin om je als atleet te specialiseren in bepaalde onderdelen omdat een prestatieverbetering op deze onderdelen naar verhouding veel extra punten oplevert? Zo ja, op welke onderdelen een atleet zich dan het best specialiseren?
Probleem C Ontwerp een Excel-spreadsheet waarin je de resultaten van een atleet ingeeft en waarbij automatisch de punten per onderdeel en de totaalscore worden berekend.
Wiskundige puzzels
p. 13
6. Liften Een architect moet een kantoorgebouw ontwerpen voor een bedrijf met 600 werknemers. Het kantoorgebouw telt 12 verdiepingen: gelijkvloers en verdiepingen 1 tot en met 12. In de centrale hal op het gelijkvloers komen een aantal liften. Alle werknemers werken op de eerste verdieping of hoger en maken gebruik van deze liften.
De technische fiche van de te plaatsen liften omvat volgende praktische gegevens: • •
De capaciteit van elke lift is 14 mensen. Snelheid van de liften: aantal verdiepingen hoger of lager x 3 sec + 4 sec voor het starten en stoppen. bijv. van het 3de naar het 10de duurt (7 x 3 + 4) sec = 25 sec.
•
De tijd dat de lift gemiddeld stilstaat op een verdieping is 10 seconden. bijv. een lift vertrekt vanuit de hal naar het tweede (en stopt), het derde (en stopt) en het zesde (en stopt) en keert nadien terug. tijdsduur :
reistijd (heen en terug) 3 x stilstaan 4 x starten en stoppen totale tijdsduur
2 x 6 x 3 sec = 36 sec 3 x 10 sec = 30 sec 4 x 4 sec = 16 sec (36 + 30 + 16) sec = 82 sec
Vanuit de personeelsdienst krijg je volgende gegevens: • • • •
Naar elke verdieping gaan 50 mensen. Alle werknemers komen tussen 8u40 en 9u05 binnen. Er is een gelijkmatige stroom: je mag er van uit gaan dat er per minuut twee werknemers van iedere verdieping de centrale hal binnenkomt. Omdat gebleken is dat tussen 8u40 en 10u00 de werknemers hun verdieping nagenoeg niet verlaten, mag je aannemen dat de liften alleen gebruikt worden om de aankomende personen naar hun werkplek te vervoeren.
Probleem A Hoeveel liften moet de architect in de centrale hal plaatsen omdat alle werknemers vlot op de gewenste verdieping zouden raken?
Oplossing Een lift die vertrekt vanuit de centrale hal, op elke verdieping (een tot twaalf) stopt en nadien terugkeert naar de hal is hoelang onderweg? ……………………………………………………………………………….
Wiskundige puzzels
p. 14
Er zijn 600 werknemers. In de veronderstelling dat elke lift steeds volzit. Hoeveel liften worden er dan met werknemers gevuld? ………………………………………………………………………………. Per minuut komen er twee werknemers van elke verdieping binnen. Hoeveel werknemers komen er binnen per minuut? ………………………………………………………………………………. Hoeveel werknemers komen er binnen per seconde? ……………………………………………………………………………….
Veronderstel dat alle liften op hetzelfde ogenblik vertrekken, op elke verdieping stoppen en dan terugkeren van de twaalfde verdieping naar de hal. Deze liften zijn dan ………… seconden onderweg. Hoeveel werknemers zijn er ondertussen in de hal toegekomen (= aanvoer van werknemers)? …………………………………………………………………………… (1) Als er x liften zijn en alle liften vol zitten, hoeveel werknemers kun je in diezelfde tijdspanne met de liften vervoeren (= afvoer van werknemers)? …………………………………………………………………………… (2)
De liften kunnen de toestroom van werknemers vlot verwerken als afvoer werknemers > aanvoer werknemers ……………………………………………………….. ………………………………………………………..
Een werknemer van de twaalfde verdieping heeft nu net pech. Hij komt binnen en net op dat ogenblik vertrekken alle liften. Hoelang duurt het vooraleer hij ter plaatse is? reistijd van de liften heen en terug : ………… tijd dat een lift nodig heeft tot het twaalfde (als de lift overal stopt) : ………………………………………………………………………………. tijd dat de werknemer met pech nodig heeft om op de juiste verdieping te geraken: ……………………………………………………………………………….
Wiskundige puzzels
p. 15
Antwoord Als de architect ……………… liften in de centrale hal plaatsen, komen alle werknemers vlot op de gewenste verdieping. De maximale tijd dat een werknemer nodig heeft om op de gewenste verdieping te geraken is ………………
Probleem B Om kosten te besparen worden er slechts 5 liften geplaatst. • Hoelang duurt het om alle werknemers naar hun juiste verdieping te brengen? • Kun je de maximale tijd berekenen tussen het tijdstip dat een werknemer binnenkomt en het tijdstip dat hij op zijn verdieping aankomt?
Probleem C Er worden 6 liften geplaatst. De eerste drie liften gaan maar tot de zesde verdieping (m.a.w. deze liften stoppen slechts op verdieping 1, 2, 3, 4, 5 en 6 en keren nadien terug naar de hal), de andere drie liften gaan van de hal rechtstreeks naar de zevende verdieping en vandaar stapsgewijs naar het twaalfde (m.a.w. deze liften stoppen slechts op verdieping 7, 8, 9, 10, 11 en 12 en keren nadien terug naar de hal). Is dit efficiënt of niet?
Wiskundige puzzels
p. 16
7. Speelschema Een volleybalvereniging organiseert jaarlijks een toernooi voor alle liefhebbers uit de regio. Eenmaal alle teams gekend moet een speelschema worden gemaakt zodat het toernooi zo kort mogelijk duurt en voldoet aan volgende voorwaarden: • • • • • •
Een wedstrijd duurt 20 minuten. Tussen de wedstrijden is 15 minuten nodig om te pauzeren, van veld te wisselen, enzovoort. Een team speelt hooguit twee ronde na elkaar. Daarna moet het minimaal een ronde overslaan om te pauzeren. Ieder team speelt hooguit acht wedstrijden. Aanvang toernooi: 10.00 uur. Prijsuitreiking: 18.00 uur.
Probleem A Er hebben zich vijf meisjesteams voor het toernooi ingeschreven. Er zijn twee velden beschikbaar die niet steeds allebei gebruikt hoeven te worden. De teams spelen een halve competitie, dat wil zeggen: ieder team speelt één keer tegen ieder ander team. Maak een speelschema zodat het toernooi zo kort mogelijk duurt en voldoet aan het toernooireglement.
Probleem B Zes meisjesteams en zeven jongensteams hebben zich ingeschreven voor het toernooi. Het sportcomplex waar het toernooi wordt gehouden, heeft twaalf velden. Kies zelf het aantal velden dat je wilt gebruiken, maar hoe minder velden je gebruikt, hoe minder huur je voor het sportcomplex hoeft te betalen. Maak (minstens) drie verschillende mogelijke speelschema’s voor dit toernooi. Weer zodanig dat het toernooi zo kort mogelijk duurt, op een zo klein mogelijk aantal velden plaatsvindt en voldoet aan het toernooireglement.
Wiskundige puzzels
p. 17
8. Grafen Probleem A : Graafkleuring Een bioloog heeft een kleine verzameling van 8 verschillende soorten padden. We stellen deze soorten (met ingewikkelde Latijnse namen) voor het gemak voor door de letters S, T, U, V, W, X, Y en Z. Om bepaalde reden (temperatuur, vochtigheid, onderlinge agressiviteit, …) kunnen bepaalde soorten niet binnen eenzelfde biotoop overleven. De volgende tabel toont welke padden niet samen kunnen overleven: Paddensoort Kan niet samen met
S
T V-W-YZ
Y-Z
U V-W-Y
V T-U-WX
W
X
T-U-V
V-Y
Y S-T-UX
Z S-T
Wat is nu het kleinste aantal biotopen dat onze bioloog moet aanleggen om deze 8 soorten padden in leven te kunnen houden?
Oplossing Om dit probleem te kunnen oplossen, stellen we het gegeven eerste grafisch voor door een graaf. Dit is een verzameling van punten die onderling verbonden zijn door lijnstukken of pijlen.
S
T
U
V Z Y
X
W
Paddensoorten die via een lijn verbonden zijn mogen niet samen zitten in eenzelfde biotoop. We lossen dit probleem op door de punten met zo weinig mogelijk kleuren te kleuren zodat geen tweemaal dezelfde kleur via een lijn verbonden is. Als je handig bent, merk je algauw dat onze bioloog slechts drie biotopen moet creëren om zijn acht paddensoorten te houden.
Wiskundige puzzels
p. 18
Probleem B : frequenties beperken Gegeven zes zendmasten A, B, C, D, E en F met een zendbereik zoals aangegeven in onderstaand schema:
Graaf:
A B C F E
D
We willen aan elke zender precies één frequentie toewijzen waarop ze zouden kunnen uitzenden. Twee zenders mogen niet dezelfde frequentie gebruiken als ze overlappende bereiken hebben. Je hebt duidelijk meer dan één frequentie nodig omdat er overlappende bereiken zijn. Het kan uiteraard wel met zes frequenties omdat er maar zes zenders zijn. Misschien komen we met minder frequenties toe? Maak een schematische voorstelling van dit probleem via een graaf en bepaal het minimaal aantal frequenties dat we nodig hebben via graafkleuring.
Probeer nogmaals hetzelfde in volgende situatie:
Wiskundige puzzels
p. 19
Probleem C : Netwerken Zeven computers moeten onderling in een netwerk worden verbonden. In volgend schema zie je welke computers onderling kunnen verbonden worden en wat de bijbehorende verbindingskost is. A 9 7
55
7
B 6
F
6 6
3
E
3 5
7
9
6
8
5
8
66
5
7
G
8
D
5
8 7 7 4
4
Probeer de computers zo goedkoop mogelijk onderling te verbinden.
C
Oplossing
A
Zoek de goedkoopste verbindingslijn en teken deze.
B
E verbonden met F
F
Zoek de op een na goedkoopste verbindingslijn en teken deze.
E G
D verbonden met C
D Wat is/zijn nu de goedkoopste lijnen? A – E , F – G en B – C Je mag deze tekenen als er door het tekenen van deze lijn geen lus (gesloten circuit) ontstaat.
C
De volgende lijnen die in aanmerking komen zijn E – G, F – B en A – D. E – G mag je niet tekenen omdat je anders het gesloten circuit EFGE hebt. En zo ga je verder totdat alle computers in het circuit zijn opgenomen.
Wiskundige puzzels
p. 20
Probleem D Zelfde opgave: hoe kan volgende elf computers zo goedkoop mogelijk in één netwerk plaatsen? C
9 2 A
2
6
I 9
7
H
4
J
5
K
4 6
8
8 7
F
5 G
Wiskundige puzzels
D
B
6
7
5
3
4 E
p. 21
9. Verdeel het budget Een pittoreske gemeente, ergens in het Vlaamse land, telt vier zeer actieve jongerenorganisaties : Alphahip, Betahop, Gammahap en Deltahup. • • • •
Alphahip komt wekelijks samen op zaterdag van 2u tot 6u, telt gemiddeld 117 leden voor 22 begeleiders en gaat ’s zomers 10 dagen op bivak. Betahop organiseert om de veertien dagen een bijeenkomst op zondag van 2u tot 5u30, telt gemiddeld 83 leden voor 11 begeleiders en gaat tweemaal per jaar een week op kamp. Gammahap komt slechts éénmaal per maand samen op zaterdag van 10u ’s morgens tot 4u in de namiddag, telt gemiddeld 206 leden voor 24 begeleiders en gaat niet op kamp. Deltahup komt wekelijks samen op vrijdagavond van 6u tot 9u, telt gemiddeld 154 leden voor 16 leiders en gaat vier keer per jaar op 3-daagse.
De gemeenteraad besliste onlangs om voor de jeugdwerking in het dorp een budget van € 32000 vrij te maken, te verdelen onder deze vier organisaties. De vraag was echter hoe dit geld te verdelen?
Mogelijkheid A Gemeenteraadslid Piet Pannenkoek vindt dat men het geld het best verdeeld volgens het gemiddeld aantal leden een verenging telt. Hoe wordt het budget dan verdeeld? Totaal aantal leden over de vier verengingen heen : ………………………………………………………………………………………… Procentueel aandeel van het ledenaantal per vereniging : aandeel van Alphahip :
………………………………………
aandeel van Betahop :
………………………………………
aandeel van Gammahap :
………………………………………
aandeel van Deltahup :
………………………………………
Zodat de verdeling van het budget wordt :
Alphahip :
Betahop :
Gammahap :
Deltahup :
€ ………………
€ ………………
€ ………………
€ ………………
Wiskundige puzzels
p. 22
Mogelijkheid B Gemeenteraadslid Oscar Oliebol is het daar niet mee eens. Volgens hem moet men ook rekening houden met het aantal bijeenkomsten per maand. Zo bereikt Alphahip in totaal 117 leden x 4 bijeenkomsten per maand = 468 leden per maand, hetgeen duidelijk meer is dan de 206 maandelijkse leden van Gammahap. Als Oscar Oliebol gelijk krijgt. Hoe wordt het budget dan verdeeld?
Alphahip :
Betahop :
Gammahap :
Deltahup :
€ ………………
€ ………………
€ ………………
€ ………………
Mogelijkheid C Gemeenteraadslid Nadine Nougatti vindt dat je nog een stap verder moet gaan. Je moet rekening houden met het aantal leden en met het aantal georganiseerde uren per maand. Alphahip komt zo aan een totaal van 117 leden x 4 bijeenkomsten x 4 uur = 1872 contacturen. Bereken de maandelijkse contacturen per vereniging en verdeel op basis hiervan het budget.
Alphahip :
Betahop :
Gammahap :
Deltahup :
€ ………………
€ ………………
€ ………………
€ ………………
Mogelijkheid D Neen zegt Sara Suikerbrood. 0ok de kampen moeten worden verrekend in het geheel. We moeten het aantal contacturen per jaar berekenen. Eén kampdag rekenen we als 10 uur. Alphahip heeft op jaarbasis dus : 12 maanden x 1872 uur + 10 kampdagen x 10 uur = 22564 contacturen. Bereken de jaarlijkse contacturen per vereniging (inclusief de kampdagen) en verdeel op basis hiervan het budget.
Alphahip :
Betahop :
Gammahap :
Deltahup :
€ ………………
€ ………………
€ ………………
€ ………………
Mogelijkheid E Hoho, zegt Peter Picollo. Ik vind dat je bij de verrekening niet alleen de leden moet tellen, maar ook de begeleiding. Hoe ziet in het geval van E-1, E-2, E-3 en E-4 de verdeling er dan uit?
Wiskundige puzzels
p. 23
10.
Speelse functies
Algebraïsche functies In september 2003 won de Keniaan Rono een hardloopwedstrijd over een afstand van 2000 meter. Hij liep deze afstand in 4 minuten en 57,76 seconden. Dat betekent dat Rono die afstand liep met een gemiddelde snelheid van ongeveer 24,18 km/uur. Het is gebruikelijk om tijden als 4 minuten en 57,76 seconden te noteren als 4:57.76. Met deze prestatie behaalde Rono geen wereldrecord. Dat stond op dat moment op naam van de Marokkaan El Guerrouj. Zijn recordtijd op de 2000 meter was 4:44.79. (1) Bereken de gemiddelde snelheid in km/uur waarmee El Guerrouj dit wereldrecord liep. Geef het antwoord in twee decimalen nauwkeurig. In volgende tabel staan de wereldrecords hardlopen bij mannen tot en met september 2003 op een aantal afstanden. Afstand (in meters) 100 200 400 800 1000 1500 2000 3000 5000 10000
Tijd 9.78 19.32 43.18 1:41.11 2:11.96 3:26.00 4:44.79 7:20.67 12:39.36 26:22.75
Gemiddelde snelheid (in km/uur) 36,8 37,3 33,3 28,5 27,3 26,2 25,3 24,5 23,7 22,7
Het verband tussen de afstanden en de gemiddelde snelheden kunnen we benaderen met de formule:
v=
200.a
( 44.a
2
+ 1)
− 0, 07.a + 23
In deze formule is v de gemiddelde snelheid in km/uur en a de afstand in kilometer. De gemiddelde snelheden volgens deze formule komen niet precies overeen met de uitkomsten uit de tabel. (2) Bereken voor de 3000 meter (dus voor a = 3) hoeveel de gemiddelde snelheid volgens de formule afwijkt van de uitkomst uit de tabel. Met de formule kun je bij elke afstand boven de 100 meter de gemiddelde snelheid berekenen die hoort bij het denkbeeldig gelopen wereldrecord. Voor bijvoorbeeld een afstand van 2283 meter zou het wereldrecord met een gemiddelde snelheid van 24,82 km/uur zijn gelopen. (3) Bereken op welke afstand het denkbeeldige wereldrecord een gemiddelde snelheid van precies 30 km/uur op zou leveren.
Wiskundige puzzels
p. 24
In de tabel is de gemiddelde snelheid het hoogst bij de 200 meter. De formule van v is niet maximaal bij de 200 meter, maar bij een afstand tussen de 100 en 200 meter. (4) Bepaal in meters nauwkeurig bij welke afstand de gemiddelde snelheid zo groot mogelijk is volgens de formule van v. De formule van v is gebaseerd op wereldrecords die gelopen zijn op afstanden tot 10 km. Het is maar de vraag of de formule ook een goede benadering geeft van de gemiddelde snelheid op een lange afstand zoals de marathon. Bij de marathon wordt een afstand van 42,195 km gelopen. In 2003 was de Keniaan Tergat wereldrecordhouder op de marathon met een tijd van 2 uur, 4 minuten en 55 seconden. Deze tijd wijkt af van die hij nodig zou hebben wanneer hij de marathon zou lopen met een gemiddelde snelheid volgens de formule van v. (5) Bereken deze afwijking in seconden nauwkeurig.
Wiskundige puzzels
p. 25
Machten Nog regelmatig worden er in oude aardlagen skeletonderdelen en voetsporen aangetroffen van dinosauriërs. Uit de voetsporen kunnen we zelfs achterhalen hoe snel die dinosauriërs daar liepen. Deze snelheid hangt af van de afstand tussen de voetsporen (de paslengte) en van de grootte van de dinosaurus die het voetspoor achterliet. Doordat soms hele skeletten gevonden zijn, weten we hoe groot zo’n dier geweest is. De biomechanicus R. McNeill Alexander heeft van een groot aantal diersoorten de relatie tussen paslengte, snelheid en grootte bepaald. Uit zijn onderzoek is een formule afgeleid die een goede schatting geeft voor de snelheid van dieren:
v = 2,81. s1,67 . h −1,17 Hierin is: • v de snelheid in kilometer per uur; • s de paslengte in meter, de afstand tussen twee opeenvolgende voetafdrukken van dezelfde voet; • h de heuphoogte in meter. De formule geldt voor zowel twee- als viervoeters, zowel groot als klein, dus ook voor katten en honden.
(a) Op een mooie winterdag staan er voetsporen in de sneeuw in de tuin. Deze zijn afkomstig van de kat van de buren, die een heuphoogte heeft van 21 cm. Uit de voetsporen blijkt dat de paslengte 35 cm is. Bereken de snelheid van de kat toen zij die voetsporen achterliet. (b) De buurman, die van het onderzoek gehoord had, werd nieuwsgierig en ging een middagje fietsen met zijn hond. Het beest bleef keurig naast hem rennen, bij elke snelheid die hij fietste. Volgens de buurman had zijn hond een paslengte van ongeveer anderhalve meter, toen de snelheidsmeter 15 km/uur aangaf. De heuphoogte van zijn hond is 40 cm. Bereken de paslengte van de hond in cm nauwkeurig. Neem aan dat de formule van McNeil Alexander ook geldt voor dinosauriërs. Een vuistregel voor dinosauriërs is: de hoogte h van de heup is viermaal de lengte l van de voetafdruk, ofwel h = 4.l , met h en l beide in meter. (c) Van een Brontosaurus zijn voetafdrukken gevonden met een lengte van 91 cm. De bijbehorende paslengte is 3,5 meter. Bereken de snelheid van deze Brontosaurus toen hij deze voetafdrukken achterliet.
Wiskundige puzzels
p. 26
Uit de verbanden v = 2,81. s1,67 . h −1,17 en h = 4.l kan het volgende verband worden afgeleid:
v = c . s1,67 . l −1,17 Hierin is c een constante. (d) Bereken c. Rond je antwoord af op drie decimalen. Meestal komt de snelheid bij dinosauriërs niet boven de 10 km/uur uit. Maar sommige voetsporen van snelrennende vleesetende dinosauriërs, zoals de Tyrannosaurus Rex, laten een hogere snelheid zien. Op dit moment houdt men voor de topsnelheid van de Tyrannosaurus Rex een snelheid van 20 km/uur aan. In de film Jurassic Park achtervolgt een exemplaar van deze soort een hard rijdende jeep, maar dat is dus onmogelijk. (e) Er bestaat een voetspoor van een Tyrannosaurus Rex waarin de paslengte 4,5 meter bedraagt. Volgens de formule liep hij toen met een snelheid van 16,5 km/uur. Bereken de lengte van de voetafdruk van deze dinosauriër. Voor een vaste heuphoogte van 2,5 meter is de formule van McNeil Alexander te herschrijven tot het volgende verband:
v = 0,962. s1,67 De snelheid v is dan slechts afhankelijk van de paslengte s. (f) Bereken de gemiddelde snelheidsverandering
∆v als de paslengte s in een voetspoor ∆s
toeneemt van 2,0 meter tot 2,5 meter.
Wiskundige puzzels
p. 27
Exponentiële functies (1) Een drietanker raakt lek. De tanker verliest hierdoor veel olie die op het water blijft drijven. Elk uur wordt de oppervlakte van de olievlek 9 keer groter. Op het tijdstip dat men begint te meten, heeft de olievlek een oppervlakte van 2 km². Noem dit tijdstip t = 0. (a) Geef het voorschrift waarmee je de oppervlakte s(t) van de olievlek na t uren kan meten. (b) Hoe groot is de oppervlakte van de olievlek na drie en een half uur? (c) Hoe groot is de groeifactor per halfuur? (d) Na hoeveel tijd (uitgedrukt in uren en minuten) zal de olievlek een oppervlakte bereiken van 10000 km ²?
(2) Er komt in de lucht een kleine hoeveelheid koolstofisotoop 14C voor, waarvan de atoomkern onstabiel is. De 14C verdwijnt spontaan, maar het wordt ook voortdurend bijgemaakt door reacties van kosmische stralingen met de atmosfeer. Daardoor blijft in de lucht een zekere (lage) concentratie 14C aanwezig. Dit isotoop wordt door alle levende organismen (planten, dieren, mensen) opgenomen. Zodra het organisme sterft, neemt de concentratie ten gevolge van het radioactief verval geleidelijk af volgens een exponentiële functie: t
⎛ 1 ⎞ 5750 m = m0 . ⎜ ⎟ ⎝2⎠
met t in jaren en m0 het oorspronkelijk aantal 14C atomen.
(a) Bereken de halveringstijd van 14C. (b) Welk percentage van het oorspronkelijk aantal 14C atomen blijft over als een organisme 7000 jaar geleden gestorven is? (c) Op 19 september 1991 ontdekten Duitse wandelaars in de Ötztaler-Alpen op 3210 m hoogte een gletsjermummie, ook wel bekend als “Ötzi”. Uit onderzoek bleek dat de ijsman al duizenden jaren oud was. Hij is nu te bezichtigen in het Zuid-Tirools Archeologiemuseum in Bolzano (Italië) omdat de vindplaats toch net (92 m) in Italië bleek te liggen. Via de 14C methode ontdekte men dat de concentratie 14C in het lichaam van Ötzi ongeveer 52,7% bedroeg van de normale concentratie. Wanneer leefde deze man ongeveer?
Wiskundige puzzels
p. 28
Logaritmische functies (1) De energie die bij een aardbeving vrijkomt, is uit te drukken in kilojoule. Men spreekt bijvoorbeeld over een aardschok waarbij 2,8 . 1014 kilojoule energie vrijkomt. Seismologen werken liever met eenheden op de schaal van Richter:
2 R = .log E − 1, 2 3 Hierbij is R de sterkte op de schaal van Richter en E de energie in kilojoule. (a) Druk E uit in functie van R. (b) Op 26 december 2004 werd Zuidoost Azië door een catastrofale zeebeving getroffen die gevolgd werd door een tsunami, die aan meer dan 300000 mensen het leven kostte. De seismografen registreerden een magnitude van 8,9 op de schaal van Richter. Hoeveel energie kwam er vrij? (c) Op 13 april 1992 schudde een aardbeving met epicentrum nabij Maastricht alle slapers van Limburg tot aan de kust wakker in het midden van de nacht. Hierbij kwam 86000 maal minder energie vrij dan bij de aardbeving in Zuidoost Azië. Geef de sterkte van de beving op de schaal van Richter. Rond daarbij af op 1 decimaal. (d) Toon aan dat bij een toename van 1 magnitude-eenheid op de schaal van Richter, er ongeveer 31 keer zoveel energie vrijkomt.
(2) In de jaren vijftig deed de Amerikaan D.L.Gerlough onderzoek naar de voetgangersveiligheid van wegen. Als er veel verkeer over een weg gaat, is er voor voetgangers weinig gelegenheid om veilig over te steken. Daarom stelde Gerlough de zogenaamde ‘veilige norm’ op. Een weg voldoet aan deze veilige norm wanneer er zich gemiddeld elke minuut een gelegenheid voordoet om veilig over te steken. Dat lukt alleen als het aantal auto’s dat per uur passeert onder een maximum blijft. Dit maximum geven we aan met Nmax en is afhankelijk van de breedte van de weg. Gerlough beperkte zich in zijn onderzoek yot wegen met een breedte tussen 2 meter en 9 meter. Hij kwam tot de volgende formule:
N max =
8289,3 (1, 778 − log B ) B
In deze formule is B de breedte van de weg in meters. Vanzelfsprekend is deze formule een model van de werkelijkheid. Met behulp van dit model kunnen we enig inzicht krijgen in de veiligheid bij de aanleg van wegen. (a) Over een weg passeren in de spits 800 auto’s per uur. Bereken in decimeters nauwkeurig hoe breed deze weg ten hoogste mag zijn zonder dat de veilige norm wordt overschreden. (b) Een weg die voldoet aan de veilige norm, wordt 0,5 meter breder gemaakt. Volgens de formule neemt Nmax daardoor met 126 af. Onderzoek hoe breed de weg oorspronkelijk was. Geef je antwoord in decimeters nauwkeurig.
Wiskundige puzzels
p. 29
Goniometrische functies (1) Langs de kust van Schotland bevindt zich een rotsachtig gebied met heel wat spelonken en grotten. Het zeeniveau wordt er beschreven door de functie:
⎛t⎞ h ( t ) = 20 + 8.sin ⎜ ⎟ ⎝2⎠ h = hoogte in meter, t = tijd in uren Zeerovers hebben er twee grotten gevuld met hun schatten. De ene grot bevindt zich 4 meter onder het gemiddeld zeeniveau. De andere 1 meter boven het gemiddeld zeeniveau. (a) Hoelang kan men in de onderste grot hun schatten bewonderen? (b) Op het ogenblik dat het water de onderste grot bereikt, gaat men meestal naar de tweede grot. Hoelang kan men in de tweede grot vertoeven vooraleer het water daar aankomt?
(2) Golfplaat is een bouwmateriaal dat gebruikt wordt voor het afdekken van eenvoudige bouwwerken. In figuur 1 is een rechthoekig stuk golfplaat getekend. In figuur 2 is het vooraanzicht van dit stuk golfplaat in een assenstelsel getekend. Hierbij is de dikte verwaarloosd. In het assenstelsel zijn x en y uitgedrukt in cm. Bij deze grafiek hoort de formule:
y = 3 + 3sin ( 0, 469 x )
De golfplaat uit figuur 1 wordt als afdakje gebruikt. De plaat wordt horizontaal neergelegd en steunt aan de randen PG en RS op een muur. De ruimtes tussen de bovenrand van de muur en de golfplaat worden afgedicht met houten blokjes. Deze blokjes zijn 3,8 cm hoog en hebben een zo groot mogelijke breedte. In figuur 3 is dit geschetst. (a) Bereken de breedte van zo’n blokje. Geef je antwoord in mm nauwkeurig. Het bovenaanzicht van het stuk golfplaat uit figuur 1 is een rechthoek PQRS. PQ = 67 cm en PS = 55 cm. Dit stuk golfplaat wordt diagonaal doorgezaagd. In het bovenaanzicht is de zaagsnede een rechte lijn van S naar Q. De werkelijke vorm van de doorsnede is een sinusoïde. (b) Stel een formule op van deze sinusoïde als deze op ware grootte in een assenstelsel zoals in figuur 2 wordt weergegeven.
Wiskundige puzzels
p. 30
11.
Pentomino’s
In 1953 introduceerde Solomon W. Golomb, toen student aan de Harvard Universiteit, de term polyomino voor figuren die gevormd worden door eenheidsvierkanten samen te voegen. Omdat een domino bestaat uit twee aaneengesloten vierkanten, stelde Golomb voor figuren met drie vierkanten tromino's te noemen. Die met vier vierkanten tetromino's. En verder pentomino's, hexomino's, heptomino's enz. De eenheidsvierkanten kunnen op verschillende manieren aaneengesmeed worden. Er is één monomino en één domino. Er zijn twee verschillende tromino's, vijf verschillende tetromino's en twaalf verschillende pentomino's.
monomino
domino
tromino
tetromino
Merk op dat:
En dat:
=
=
Dit komt omdat deze figuren gelijk zijn na spiegeling. Bij het populaire spel tetris zijn dit wel degelijk twee verschillende figuren omdat je daar niet kan/mag spiegelen.
Opdracht A : teken de twaalf verschillende pentomino’s
Wiskundige puzzels
p. 31
Opdracht B : pentomino rechthoeken Pentomino’s passen op de meest wonderlijke manieren aan elkaar. Zo is het mogelijk om met deze twaalf stukjes een rechthoek te vullen.Deze rechthoek wordt dan 6 bij 10. Er zijn echter meer dan tweeduizend manieren om zo’n rechthoek te vullen. Leg zo’n rechthoek. Opgelet elk stukje mag je slechts één keer gebruiken. Een stukje mag je wel draaien en/of spiegelen.
Een 5 bij 12 rechthoek is al iets moeilijker (1010 mogelijkheden) en een 4 bij 15 rechthoek nog moeilijker (368 mogelijkheden). Probeer even:
De echte crack’s proberen natuurlijk een 3 bij 20 rechthoek (slechts 2 mogelijkheden):
Opdracht C : pentomino figuren Met pentomino’s kan je tal van figuren maken. Zoek maar eens op het Internet. Probeer alvast zelf eens volgende figuren te maken door enkel pentomino’s te gebruiken.
Wiskundige puzzels
p. 32
12.
WinArc WinArc is een programma uit de peanutreeks. Peanutreeks (math.exeter.edu/rparris): winstat, winplot, wingeom, …
Wiskundige puzzels
p. 33
