Leadva az Építés- és Építészettudomány számára, 2008.12.20. A NYOMOTT ZÓNÁBAN NEMLINEÁRIS ANYAGTÖRVÉNYŰ, VASBETON KERESZTMETSZET SEMLEGES TENGELYÉNEK SZÁMÍTÁSA Calculation of the neutral axis of reinforced concrete cross section with nonlinear material law in the compressed zone
Rechnung die Null-Linie von Stahlbeton Querschnitt mit nonlinear SpannungsDehnungslinie in der gedrückten Zone
SIPOS ANDRÁS ÁRPÁD*
Rövidített cím: Vasbeton keresztmetszet semleges tengelyének számítása
* PhD, okl. építészmérnök, tudományos munkatárs, BME Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszék. Tel.: 463-2316; e-mail:
[email protected]
1. BEVEZETÉS A lineárisan rugalmas rúd alakváltozásainak számításával számtalan publikáció foglakozik, mind elméleti, mind gyakorlati oldalról [1-4]. A húzószilárdság nélküli, vagy korlátozott húzószilárdságú, például vasbeton rudak számítása lényegesen ritkábban kerül elő a szakirodalomban [5-6]. A javasolt eljárások vagy csak erős megszorítások esetén működnek (pl.: téglalap alakú keresztmetszet), vagy pedig nem robusztus eljárások. Ez utóbbi a numerikus eljárásban fellépő divergens, esetenként kaotikus viselkedést jelent, ami aligha engedhető meg egy mérnöki probléma megoldása során. A probléma nehézsége abból adódik, hogy a húzott zónában megjelenő repedések miatt a rúd merevsége függ a rúd alakjától, a geometriai és anyagi nemlinearitás együtt határozza meg az egyensúlyi rúdalakot. A megbízható megoldást a legegyszerűbb, térbeli alakok leírására alkalmas modell, a Kirchhoff-féle rúdmodell megfelelő módosításával keressük, a nyírásból és összenyomódásból származó deformációkat egyelőre nem vesszük figyelembe. Ahhoz, hogy a rúd alakját számítani lehessen, szükséges a rúd egy keresztmetszeténél a görbület és elcsavarodás meghatározása. Tetszőleges alakú keresztmetszetre, húzószilárdság nélküli anyag esetén ezen részfeladat megoldása is numerikus eljárást kíván. Egy korábbi, ezen folyóiratban megjelent dolgozatunkban [7] részletesen tárgyaltuk a kétdimenziós Pelikán-iteráció tulajdonságait. Ez az eljárás tetszőleges alakú keresztmetszet számítására alkalmas, globálisan konvergens algoritmus, azonban a kiindulási feltételek szerint a nyomott zónában a feszültségek egyenesen arányosak a megnyúlással. A kísérleti eredmények alapján a beton úgynevezett fellágyuló anyagtörvényű anyag. Így merül fel a kérdés, hogy lehetséges-e konvergens eljárással egyértelműen meghatározni egy külpontosan nyomott, húzószilárdsággal nem rendelkező és a nyomott zónában nemlineáris függvénnyel adott anyagtörvényű keresztmetszet semleges tengelyét és következésképpen a görbületet. Jelen dolgozatunk egy ilyen eljárást mutat be, kizárólag a keresztmetszet megoldásával foglalkozik, azonban a választott rúdmodell meghatároz egyes kiindulási feltételeket. A cikk második fejezete a kiindulási feltételeket tartalmazza, a harmadik fejezet a probléma egy igen korlátozott megoldását mutatja be. Ez a fejezet rávilágít arra, hogy a Pelikán-iterációval analóg, az egyensúlyi egyenletekből levezetett rekurzió csak igen erős megszorítások esetén adható meg zárt formában. A negyedik fejezet mutatja be az általános esetben alkalmazható eljárást, amely ugyan lényegesen bonyolultabb a Pelikán-iterációnál, de numerikus szimulációk alapján kiválóan működik. Az ötödik fejezet az algoritmus megvalósítását mutatja be, majd a cikket összefoglalás és köszönetnyilvánítás zárja.
2
2. A FELADAT LEÍRÁSA 2.1. FELTEVÉSEK Munkánk során a Kirchhoff-féle rúdmodellből indulunk ki, ezért a nyírásból és összenyomódásból származó deformációt figyelmen kívül hagyjuk. A Kirchhoff-féle rúdmodelltől eltérően az anyagtörvény nemlineáris. A húzószilárdság zérus, a rúd húzott tartományait berepedtnek tekintjük, a repedések diszkrét kialakulása még nem része modellünknek (1. ábra). A rúdmodellel összhangban a sík keresztmetszetek a deformált állapotban is síkok, és a rúdtengelyre merőlegesek maradnak (Bernoulli-Navier hipotézis). Az anyagtörvényre vonatkozóan két esetet különböztetünk meg: a nyomott zónában az anyagtörvény lehet lineáris (erre az esetre vonatkozik a Pelikániteráció), vagy nemlineáris. Eltérően a megszokott terminológiától, a továbbiakban az anyagtörvényt a nyomott zóna alapján fogjuk lineárisnak, vagy nemlineárisnak nevezni, a húzószilárdság mindkét esetben zérus. A rúd egy keresztmetszete általános terhelés mellett tipikusan külpontosan nyomott, egyidejű csavarás mellett. A csavarást jelen dolgozat nem tárgyalja. A gyakorlati alkalmazás (vasbeton oszlopok és gerendák) miatt a keresztmetszet a húzószilárdság nélküli tartományokon (=beton) kívül tartalmazhat húzószilárdsággal rendelkező tartományokat (=vasbetét) is. A húzószilárdság nélküli rész keresztmetszeti jellemzőire a c, a húzószilárdsággal rendelkező terület jellemzőire pedig az s indexek utalnak.
a.) A teljes, tetszőleges alakú beton keresztmetszet a tetszőleges helyzetű vasbetétekkel
b.) A dolgozó keresztmetszetet a repedésmentes beton és a vasbetétek alkotják
1. ábra. A keresztmetszet
3
A későbbiekben a 2. ábra jelöléseit használjuk, a keresztmetszetet P nyomóerő terheli a D döféspontban. Mivel egy fizikailag objektív mennyiséget, a semleges tengely helyét keressük, az eljárás független a választott koordináta-rendszertől, az algebrai egyszerűsítések lehetőségének kihasználására egyenleteinket a D origójú, egyébként tetszőleges irányú [xy] koordináta-rendszerben írjuk fel. A ε (x,y) megnyúlások a következő képlettel írhatók le: ε (x, y ) = −κ ( x cos ω + y sin ω − t ) , (1) ahol ω a semleges tengely és az y koordináta tengely által bezárt szög, t a semleges tengely és az origó (D pont) közötti távolság és κ a görbület.
2. ábra. Jelölések A könnyebb implementáció miatt a későbbiekben a semleges tengelyt a (xn,yn) tengelymetszeteivel fogjuk jellemezni. A tengelymetszetek és az ω szög továbbá a t távolság közötti összefüggések: xn yn
ω = arctan
t=
xn y n xn2 + y n2
,
(2)
.
(3)
Az előző két egyenlet bármelyikében a nevező formálisan lehet zérus, azonban ez akkor áll elő, ha a semleges tengely átmegy a döfésponton. Könnyű megmutatni, hogy eljárásunk folyamán ez az eset nem fordulhat elő, kivéve, ha mi magunk szándékosan így vesszük fel az első becslést. Rekurzív eljárásokat fogunk vizsgálni, az iterációs lépés hangsúlyozására az aktuális lépést i felső index fogja jelölni. A vasbetét Es és a beton Ec rugalmassági modulusának arányát jelölje n, azaz n=
Es Ec
.
(4)
Dolgozatunkban a nyomást jelöljük pozitív előjellel, a beton anyagtörvénye σc(ε), a vasalás anyagtörvénye pedig σs(ε). A fellágyuló anyagtörvény leírására 4
számtalan képletet találunk a szakirodalomban, jelen dolgozatban az anyagtörvényeket polinom formájában adjuk meg, ami tekinthető úgy is, hogy az anyagtörvényt az ε=0 helyen vett Taylor-sorával közelítjük. Így q ε + q 2 ε 2 + K + q k ε k ha ε ≥ 0 σ c (ε ) = 1 , ha ε < 0 0 σ s (ε ) = r1ε + r2ε 2 + K + rl ε l ,
(5)
(6) ahol q1>0, r1>0 és q2,…,qk, valamint r2,…,rl tetszőleges valós számok. A képletekben lineáris tag együtthatóját tekintjük a rugalmassági modulusnak, azaz q1=Ec és r1=Es. Az ilyen módon felirt anyagtörvény megengedi, hogy nagy összenyomódásra húzófeszültség ébredjen, a szabványokban szereplő, maximálisan megengedhető összenyomódást vizsgálatát az itt bemutatott eljárástól függetlenül el kell végezni. A számítás során minden iterációs lépésben a betonnak húzószilárdságot is fogunk tulajdonítani, ezen elképzelt esethez tartozó anyagtörvény: σ c ' (ε ) = q1ε + q2ε 2 + K + qk ε k . (7) A P nyomóerővel külpontosan terhelt keresztmetszet egyensúlyát kifejező egyenletek: (8) ∫ σ c (ε )dA + ∫ σ s (ε )dA − P = 0 , Ac
∫ ∫
Ac
Ac
As
xσ c (ε )dA + yσ c
∫ (ε )dA + ∫
As As
xσ s (ε )dA = 0 ,
(9)
yσ s (ε )dA = 0 ,
(10)
ahol Ac a dolgozó beton, As pedig a vasbetétek területe. Megjegyezzük, hogy az eljárás általános jellege miatt, a mérnöki gyakorlattól eltérő módon a beton keresztmetszet a vasbetétek területét nem tartalmazza, azaz a beton síkidom területéből a vasak keresztmetszeti területét levonva kapjuk meg Ac-t. Az egyenletrendszer nemlineáris jellege abból fakad, hogy az Ac beton keresztmetszetet az ismeretlen semleges tengely határolja. Az egyenletrendszer megoldására használt iteráció egyes lépéseiben az aktuális semleges tengely a keresztmetszetet általában két részre vágja, a D döféspontot tartalmazó területen ébrednek nyomófeszültségek, mindig ezen darabot tekintjük a dolgozó keresztmetszet részének. Az iteráció minden lépésében a betonnak húzószilárdságot tulajdonítunk, azaz a semleges tengelyre vonatkozó következő becslést a σ’(ε) anyagtörvény felhasználásával állítjuk elő. Ezen semleges tengely által meghatározott dolgozó keresztmetszet-rész az iteráció következő lépésének bemenő adata. Amennyiben a rekurzió konvergens, ez a helyettesítés éppen a (8)-(10) egyenletrendszer megoldásához vezet. Az iteráció i. lépésében a következő egyenletrendszert oldjuk meg i +1 i +1 (11) ∫A σ c ' (ε )dA + ∫A σ s (ε )dA − P = 0 , i c
∫ ∫
Aci
Aci
s
( )dA + ∫ ' (ε )dA + ∫
xσ c ' ε
i +1
yσ c
i +1
As As
( ) yσ (ε )dA = 0 .
xσ s ε i +1 dA = 0 , i +1
s
(12) (13)
5
Az egyenletrendszer ismeretlenjei az (1) egyenlet behelyettesítésével ωi+1, ti+1 és κi+1, vagyis az (i+1)-edik lépés semleges tengelye és a hozzá tartozó görbület. A leképzést röviden a következő formában írhatjuk le: ω i +1 ω i i +1 ) i t = F t . κ i +1 κ i
(14)
Az egyszerűbb implementáció miatt a kifejlesztett algoritmus – felhasználva a (2), (3) egyenleteket és azok inverzeit, a következő leképzést valósítja meg: x ni +1 xni i +1 i yn = F yn . κ i +1 κ i
(15)
A rekurzió mindaddig folytatódik, amíg x ni +1 − xni < δ ,
és
y ni +1 − y ni < δ
,
(16)
ahol δ egy rögzített, tetszőlegesen kicsiny szám. A következő fejezetben a (15) egyenletnek megfelelő rekurziót mutatunk be a nyomott zónában nemlineáris anyagtörvény esetén.
3. A PROBLÉMA KORLÁTOZOTT MEGOLDÁSA 3.1. A REKURZIÓ SZÁRMAZTATÁSA Ebben a fejezetben szimmetrikus, vasalatlan, külpontosan nyomott keresztmetszetet vizsgálunk. A beton anyagtörvényét másodfokú függvénnyel közelítjük, azaz az (5) egyenletben k=2: q ε + q 2 ε 2 ha ε ≥ 0 σ c (ε ) = 1 . ha ε < 0 0
(17)
Amennyiben magasabb fokú polinomból indulnánk ki, nem lehetne zárt megoldást levezetni.
3. ábra. A beton fellágyuló anyagtörvényének közelítésére használt másodfokú függvény, a határ-összenyomódást a számítás folyamán figyelmen kívül hagyjuk. 6
4. ábra. Szimmetrikus keresztmetszet a szimmetriatengelyen működő nyomóerővel. Az ábra a számítás nehézségét hangsúlyozza: az anyagtörvény alapján két olyan egyenes is létezik, ahol a feszültségek értéke zérus. Gyakorlati problémákban természetesen az egyik egyenes a keresztmetszet szélétől távol esik. A anyagtörvényben szereplő polinom egyik gyöke az ε=0 helyen van, feltesszük, hogy a q1 és q2 konstansok olyanok, hogy a polinom másik gyöke ε>0 értéknél található. Ez a q1>0 feltétel miatt azt jelenti, hogy q2<0. Amennyiben a semleges tengelyt a zérófeszültségű pontok meghatározásával keressük, ez két megoldásra vezet. Ezzel függ össze, hogy a számítás egyszerűsítésére a feszültségi testet ebben az eljárásban a semleges tengely helyett annak maximum vonalával jellemezzük. A maximum vonal azon pontokat összekötő egyenes, ahol maximális nyomófeszültség ébred. A maximum vonal ismeretében lehet a semleges tengely helyét kiszámítani. A 3. ábra alapján a (17) egyenlet első sorában szereplő kifejezést átírjuk: − f cm σ c ' (ε ) = q2ε (ε − 2ε1 ) = q2ε ε − 2 q2
,
(18)
ahol ε1 a maximális nyomófeszültséghez (fcm) tartozó összenyomódás. A (18) összefüggés jól mutatja, hogy ez az eljárás q2=0 (lineáris) esetet nem tudja kezelni. A (18) egyenletből származtatott rekurzió esetén két másodfokú egyenletet kell egymást követően megoldani, a (17) egyenletből származtatott rekurzió egy negyedfokú egyenlet megoldására vezet. Megjegyezzük, hogy q2 alkalmas választásával a beton szabványokban szereplő fellágyuló anyagtörvénye jól közelíthető. Szimmetrikus keresztmetszet és a szimmetriatengelyre eső döféspont esetén a maximum vonal egydimenziós leképzéssel számítható. A leképzést az egyensúlyi egyenletekből származtatjuk. A Pelikán-iterációval szemben, ahol elég volt a nyomatéki egyenletet figyelembe venni, itt a vetületi egyenletre is szükségünk van. A maximum vonal keresése miatt az összenyomódás 7
ε (x ) = −κ (x − tm ) + ε1
(19) alakban írható, ahol tm a D döféspont és a maximum vonal közötti távolság (4. ábra). Ez utóbbi kifejezést a (18) egyenletbe helyettesítve 2 2 σ c ' (ε ) = q2κ 2 (x − t m ) − q2ε12 = q2κ 2 ( x − tm ) + f cm . (20) A szimmetrikus elrendezés miatt az egyik nyomatéki egyenlet minden lépésben teljesül, feltéve, hogy a semleges tengelyre (maximum vonalra) vonatkozó első becslésünk merőleges a szimmetriatengelyre. A másik két egyensúlyi egyenletben az iteráció lépésére utaló i indexet csak a kifejezések legelején jelezzük:
( ) ∫ (q κ (x − t ) + f )dA − P = , = q κ (I − 2t S + t A ) + f A − P = 0 ∫ σ ' x(ε )dA = ∫ (q κ (x − t ) x + f x )dA = , = q κ (J − 2t I + t S ) + f S = 0 ∫
Aci
σ c ' ε i +1 dA − P = 2
2
y ,c
m
2 m
y ,c
m
c
i +1
c
Aci
2
y ,c
cm
m y ,c
cm
2
c
m
2 m
(21)
2
2
Ac
2
2
2
2
Ac
y ,c
cm
cm
(22)
y ,c
ahol a felületi integrálokat a szokott módon értelmezzük ( Ac = ∫ dA ,
S y ,c =
∫ x dA ), azonban megjelenik egy magasabb fokú integrál is:
∫ x dA .
Ac
I y ,c =
2
Ac
J y ,c =
∫ xdA ,
Ac 3
Ac
A (21) egyenletből κ kifejezve kapjuk, hogy 2
κ2 = −
(
q2 I y.c
f cm Ac − P − 2tm S y ,c + tm2 Ac
),
(23)
amit a (22) egyenletbe helyettesítünk, majd a P erőt tm függvényében fejezzük ki: P(tm ) =
(
f cm J y ,c Ac − 2t m I y ,c Ac − I y ,c S y ,c + 2tm S y2,c J y ,c −
2t m I y ,c+tm2 S y ,c
).
(24)
A (24) összefüggés részletes vizsgálata [8] publikációban megtalálható, itt csak a vizsgálat végeredményét közöljük. Meg lehet mutatni, hogy mindig létezik az elméleti maximális erő, Pmax. Ha P
Pmax akkor nem létezik olyan feszültségi test, amellyel egyensúlyt lehetne találni. A megoldások unicitása ezek szerint csak a P=Pmax esetben teljesül, a P
8
kizárjuk, mint lehetséges megoldást. Ha az iterációs lépésben P>Pmax eset állna elő, az eljárás leáll. 2. Az (24) összefüggés első és második deriváltjainak előállításával Pmax értékét minden iterációs lépésben kiszámítjuk és a feszültségi testet ezen teherszinten határozzuk meg. Ezen megközelítés előnye, hogy a megoldások unicitása teljesül, azonban a P külső teher helyett minden lépéshez egy különböző értékű Pmax erő tartozik. Ez a gyakorlati feladatokban az adott keresztmetszetnél fellépő görbület egy biztonságos, felső becsléséhez vezet, ha P0 helyen található. Ha xni>h, akkor xni=h (a semleges tengelyre vonatkozó becslés a keresztmetszeten kívül esik, a teljes keresztmetszet dolgozik, azaz repedésmentes, az állítás részletes indoklása [9]-ben megtalálható).
5. ábra. A minta számításpéldában használt jelölések Ha xni
(
)
(
)
3 2 1 − κ 2b xni − g 3 − xni − g 2 tm + xni − g tm2 + f cmb xni − g − P = 0 , (25) 3 4 3 2 2 2 1 1 1 − κ 2b xni − g 4 − xni − g 3 tm + xni − g 2 t m2 + f cm b xni − g 2 = 0 .(26) 3 2 2 4
9
A (25) egyenletből κ2 kifejezve és azt a (26) egyenletbe helyettesítve tm-re egy másodfokú kifejezés adódik. Ha ez valós számokra vezet, az azt jelenti, hogy P≤Pmax. Ha két eltérő, valós gyököt kapunk eredményül, akkor a kisebb κ görbületet eredményezőt fogadjuk el megoldásnak. A κ görbületet és a tm távolságot az anyagtörvény kifejezésbe helyettesítve a semleges tengely helye a következő összefüggéssel számítható: x ni +1 = t =
(
6
(
1 f g − xi cm n + g
)
x ni
(
)
)
3
2
− Z + 4 g 2 P + 4 gx ni P + 4 Px ni + ,
(
) (
)
3 3 2 + 2 f cm g − xni f cm g − xni + g − xni P − Z ,
ahol
(
(27)
)
2 2 4 2 i 2 i2 Z 2 = g − xni f cm g + 2 g 3 Pf cm − 4 g 3 f cm xn + 6 g 2 f cm xn − 6 g 2 Pf cm xni − 2 g 2 P 2 − , 2 3 2 2 i3 2 i4 − 8 gP 2 xni + 6 gPf cm xni − 4 gf cm xn − 2 Pf cm xni − 2 P 2 xni + f cm xn . (28)
A (27). egyenlet az egydimenziós iterációt meghatározó függvény, az i-edik lépés semleges tengelyéhez az (i+1)-edik lépés semleges tengelyét rendeli hozzá konstans P erő esetén. Amennyiben az iterációt P=Pmax feltételezés mellett kívánjuk futtatni, az (24) függvény és deriváltjai segítségével meg kell határoznunk az i. lépéshez tartozó Pmax értéket. A téglalap példáján az említett egyenlet a következő alakban írható: P(tm ) = −
3
2
3
g 4 − 2 g 3tm − 2 g 3 xni + 6 g 2 xni tm + 2 gxni − 6 gxni tm + 2 xni tm − xni 2
2
4
3g 3 − 8tm g 2 + 3 g 2 xni + 6tm2 g − 8 gxni tm + 3 gxni + 6tm2 xni − 8tm xni + 3xni
3
bf cm .(29)
A P(tm) függvény maximumát a szélsőértékek vizsgálatával határozzuk meg. A dP(t m ) =0 dt m
egyenletnek két gyöke van tm-re:
(30)
t0 ,1 =
(
)
(
),
(31)
t0 ,2
(
)
(
).
(32)
1 1 g + xni − 3 xni − g 2 6 1 1 = g + xni + 3 xni − g 2 6
A (29) kifejezésben szereplő függvény második deriváltjának t0,1 és t0,2 helyen vett előjelei alapján a t0,1 helyen a függvénynek maximuma, t0,2 helyen minimuma van, bármely, fizikailag értelmes g és xni esetén. Ezek alapján a (31) kifejezést a (29) kifejezésbe kell helyettesíteni: Pmax = −
(x
)
2
−g bf cm . − 3g + g − 3 xni − xni i n
(33)
Pmax és t0,1 értékek egyértelműen meghatározzák a feszültségi testet, a κ görbületet (25) egyenletből lehet kifejezni. Az i-edik és (i+1)-edik lépés semleges tengelye közötti kapcsolatra pedig a következő összefüggést kapjuk: x ni +1 = t =
(
3 g + x ni
)
2
(
)
(
2 2 − 3 x ni − g 2 + 2 3 g + x ni 2 + 3 x ni − g 2 − x ni + g i 6 xn + g
(
)
)
2
.(34)
10
Ez az iteráció nem csak az unicitás miatt hasonlít a Pelikán-iterációra, hanem azért is, mert a (34) kifejezés csak g és xni geometriai mennyiségeket tartalmazza, az anyagi konstans fcm értékét azonban nem [10]. Numerikus számításhoz a következő téglalapot vettük fel: g=-20 cm és h=60 cm, b=10 cm, az anyagtörvényben fcm=48 MPa és g2=-1 GPa. A 6. ábrán az iteráló eljárás függvényét tüntettük fel, nem csak a P=Pmax feltételezéssel (34), hanem különböző, konstans értéken tartott P esetén is (29). Összehasonlításként feltüntettük a nyomott zónában lineáris anyagtörvényű esetet is, ezen függvény vizsgálatával foglakozik [9,11].
6. ábra. Az iteráló eljárás függvénye különböző esetekben A függvényekkel kapcsolatban érdemes megemlíteni, hogy a lineáris esetben az iteráló eljárás függvényének minimuma az xni+1=xni egyenesre esik, azaz a fixpont és a minimum egybeesik. [9] alapján ez biztosítja azt, hogy ha az első becslésünk a semleges tengelyre a x1n > xn∞ feltételt kielégíti, akkor az eljárás monoton módon a fixpontba konvergál [11], ciklus nem alakulhat ki. Az előző mondatban az xn∞ jelölés az iteráció tetszőlegesen sokadik lépésére utal, azaz nem más, mint a fixpont helye. A nemlineáris esetben, ha az iterációt konstans P értékkel valósítjuk meg, a fixpont és a lokális minimum egybeesik, a konvergencia biztosított. A P=Pmax feltétel mellett végzett rekurzió esetén azonban más a helyzet, a lokális minimum a fixponttól eltér. Itt elméletileg kialakulhatna ciklus, azonban numerikus szimulációkban ezt nem tapasztaltuk. Ezzel együtt nem kizárt olyan konstansok meghatározása, ahol a ciklikus viselkedés valóban megmutatkozik. Ez azt is jelenti, hogy ámbár a P=Pmax feltételű eljárás esetén a megoldások unicitása teljesül ugyan, azonban a globális konvergencia nem garantálható. 11
4. AZ ÁLTALÁNOS ALGORITMUS 4.1. AZ ELJÁRÁS Az előző részben ismertetett módszer legnagyobb hátránya, hogy csak nagyon korlátozott esetben alkalmazható, ráadásul határértékben nem adja vissza a lineáris eljárást, hiszen a q2=0 esetet nullával való osztás miatt nem tudja kezelni. Bármely irányban történő általánosítás lehetetlenné teszi, hogy a rekurziót zárt formában fel tudjuk írni. Ez ugyan nem zárja ki valamely numerikus algoritmus beépítését, de a módszer már jelen formájában is túlontúl bonyolult. Felmerül a gyanú, hogy az általános esetet az egyensúlyi egyenletekből való direkt levezetés helyett valamely más megközelítéssel könnyebben lehet kezelni. Ez a rész egy ilyen eljárást mutat be.
7. ábra. Jelölések az általános algoritmushoz A (5) és (6) összefüggésekkel adott anyagtörvényre a q1>0 és r1>0 feltételeken kívül más megkötést nem tesszük, azaz q2,q3,…,qk és r2,r3,…,rl tetszőleges valós számok. A levezetés egyszerűsítésére még feltesszük, hogy k≥l. A (11)-(13) egyensúlyi egyenleteket ω, t és κ ismeretlenekre csak trigonometrikus függvények felületi integráljainak számításával lehetne megoldani. Ráadásul lehetetlennek tűnik stratégiát adni a rengeteg gyök közül a megfelelő kiválasztására. Ezért a direkt megoldás helyett az úgynevezett egyenértékű lineáris feladatot fogjuk meghatározni. Ez nem más, mint ugyanazon külpontosan nyomott keresztmetszet lineáris anyagtörvénnyel a nyomott beton zónában, a nemlineáris feladattal azonos semleges tengellyel, de eltérő döfésponttal. Ebben az esetben a semleges tengelyen (xni, yni), és a görbületen (κi) túl az egyenértékű lineáris feladat döféspontja (xDi, yDi) is ismeretlen. Ez azt is jelenti, hogy az [xy] koordináta-rendszer origója az iteráció folyamán 12
vándorol, mindig az (xDi, yDi) ponttal esik egybe (7. ábra). A feladat megoldására szolgáló szemi-implicit leképzést a következő alakú:
( (
) ) ) . ) )
xni+1 Gˆ xni , xni , κ i , xDi , x Di i+1 ˆ i i i i i xn H xn , xn , κ , x D , xD κ i +1 = I x i +1 , x i+1 , κ i , x i , x i n n D D i+1 i +1 i +1 i +1 i i x D J xn , xn , κ , x D , xD y i +1 K x i +1 , x i+1 , κ i +1 , x i , x i D n n D D
( ( (
(35)
Ámbár a felírt, ötdimenziós leképzés jóval bonyolultabb, mint a lineáris esetben alkalmazott kétdimenziós Pelikán-iteráció, meglepő módon eredményre vezetett. Az aktuális semleges tengelyt lineáris anyagtörvény feltételezésével, azaz a Pelikán-iterációval határozzuk meg. A Gˆ és Hˆ függvények csak annyiban különböznek a Pelikán-iterációt meghatározó G és H függvényektől, hogy formálisan xni és yni távolságokon kívül κi, xD és yDi mennyiségektől is függenek. A G és H függvények származtatása és vizsgálata a [7] cikkben részletesen szerepel. A semleges tengely ismeretében az anyagtörvény nemlineáris tagjait is figyelembe vesszük. A semleges tengely xni+1 és yni+1 tengelymetszeteit a (2) és (3) egyenletekbe helyettesítve megkapjuk ωi+1 és ti+1 értékét, majd ezek és a (11) vetületi egyenlet felhasználásával egy κ-ra k-ad fokú egyenletre jutunk. Ez az egyenlet a dolgozó keresztmetszet magasabb rendű nyomatékait is tartalmazza, k-ad fokú egyenlet esetén a (k+1)-edik nyomaték kiszámítására van szükség. Erre a célra a [9] publikációban szereplő eljárás tetszőleges fokszámig kiterjeszthető. Hasonlóan a 3. fejezetben szereplő korlátozott megoldáshoz, itt is a legkisebb valós κ értéket tekintjük a keresztmetszet görbületének. Amennyiben k>2, szükséges valamely, nemlineáris egyenletet megoldó algoritmus felhasználása. Megbízhatósága miatt erre kiválóan alkalmas az ún. Laguerre-eljárás [12]. Ez adja a (35) kifejezésben szereplő I függvényt. Végezetül meg kell határoznunk ez egyenértékű lineáris feladat döféspontjának helyét. Mivel az i. lépésben az eredeti D0 döféspont helyett a Di pontba feltételezzük az egyenértékű lineáris feladathoz tartozó Pli erőt, ezért az egyensúly vizsgálatakor a két pont különbözőségéből adódó nyomatékot figyelembe kell vennünk. ωi+1, ti+1 és κi+1 ismeretében a nyomatéki egyenletek segítségével ki tudjuk fejezni az ún. kiegyensúlyozatlan nyomatékokat: ∆M iy+1 = − ∫ xσ c ' (ε i +1 )dA − ∫ xσ s (ε i +1 )dA + Px Di , (36) A A i c
∆M xi +1
=−
∫
Aci
( )dA − ∫
yσ c ' ε
s
i +1
As
( )
yσ s ε i +1 dA + Py Di .
(37)
A kiegyensúlyozatlan nyomatékok kifejezései tartalmazzák az anyagtörvény nem lineáris tagjait, hiszen az aktuális semleges tengely az egyenértékű lineáris feladat Pli ereje és az anyagtörvény lineáris tagja miatt ébredő nyomaték közötti egyensúlyt jelenti. A Pli+1, azaz az (i+1)-edik lépés egyenértékű lineáris feladatában figyelembe vett erőt a következő kifejezéssel határozhatjuk meg: Pli +1 = + q1 ∫ (ε i +1 )dA + r1 ∫ σ s (ε i +1 )dA . (38) A A i +1 c
s
13
A kiegyensúlyozatlan nyomaték és az egyenértékű feladathoz tartozó erő hányadosa adja a következő lépésben az egyenértékű lineáris feladat döféspontját: ∆M yi +1 i i +1 + x D i +1 i +1 i +1 i i i +1 x D J xn , x n ,κ , x D , x D P . l = i +1 = i +1 i +1 i +1 i i i +1 y D K x n , xn ,κ , x D , x D ∆M x + y i D i +1 Pl
( (
) )
(39)
Numerikus szimulációk alapján az eljárás globálisan konvergens. 4.2. SZÁMÍTÁSI PÉLDA Az egyszerűség kedvéért a számítási példában a beton σc anyagtörvényét a nyomott zónában másodfokú polinommal, a vasalás σs anyagtörvényét pedig lineáris függvénnyel írjuk le. Ez esetben alkalmazható az idealizált keresztmetszet, amikor is a vasalást n-szeres területű betonként vesszük figyelembe.1 Miután az (i+1)-edik semleges tengelyt meghatároztuk a Pelikániteráció segítségével, a κi+1 görbületet a következő kifejezéssel tudjuk számítani: κ i +1 = min
ahol
− b0 ± b02 − 4a0 c0 2a0
(
,
(40)
a0 = q2 I iy ,c cos 2 ω (i +1) + I xi ,c sin 2 ω (i +1) + t (i +1) Aci + 2
i (i +1) + 2 Dxy sin ω (i+1) − 2t i+1 S iy ,c cos ω (i +1) − 2t (i +1) S xi ,c sin ω (i +1) ,c cos ω
(
b0 = −q1 S iy cos ω ( i +1 ) + S xi sin ω ( i+1 ) − t ( i +1 ) Ai
),
)
,
(41)
(42) c0 = − P . (43) Az előző egyenletekben a c indexű mennyiségek a dolgozó beton keresztmetszetre vonatkozó felületi integrálokat, az index nélküliek az idealizált keresztmetszet felett integrált mennyiségeket jelentenek, például Ac a beton-, A az idealizált keresztmetszet területe. A kiegyensúlyozatlan nyomatékok és az egyenértékű feladatban szereplő erőt a következő kifejezésekkel tudjuk kiszámítani, rövidítés miatt a κ, az ω és t mennyiségek mellől az (i+1) felső index elmarad:
(
∆M iy+1 = − q2κ 2 J y ,c cos 2 ω + J xy ,c sin 2 ω + t 2 S y ,c + 2 J yx ,c cos ω sin ω −
)
− 2tI y ,c cos ω − 2tDxy ,c sin ω + Px Di
(
∆M xi +1 = − q2κ 2 J yx ,c cos 2 ω + J x ,c sin 2 ω + t 2 S x ,c + 2 J xy ,c cos ω sin ω −
)
− 2tDxy ,c cos ω − 2tI x ,c sin ω + Py Di
,
(44)
,
(45)
1
A vasalás magasabb fokú anyagtörvénye esetén ez már csak a lineáris tagra tehető meg, a magasabb tagokra az integrálást külön el kell végezni a beton területre, és külön a betonacélokra. A betonterület definíciója miatt azonban a lineáris tag esetén az egyszerűsítés mind a húzott, mind a nyomott zónában az említett módon végezhető el.
14
(
Pli +1 = − q1κ S y cos ω + S x sin ω − At
),
(46) ahol az eddig nem definiált mennyiségek a következő felületi integrálokat jelentik: J xy ,c = ∫ xy 2 dA , J yx,c = ∫ x 2 ydA , J x,c = ∫ y 3dA és Dxy,c = ∫ xydA . Ac
Ac
Ac
Ac
Végezetül, egy külpontosan nyomott, „T” alakú keresztmetszeten mutatjuk be a számítás végeredményét. A keresztmetszet 6 darab, Φ20 betonacélt tartalmaz, n=6,36, q1=20 GPa, q2=-1 GPa. A 7.a) ábra mutatja a lineáris anyagtörvénnyel kapott megoldást. A b) és c) ábrán a konstans értéken tartott P erőhöz tartozó megoldások láthatók, a b) esetben P=17500 kN, a c) esetben pedig P=35000 kN. A d) ábra a P=Pmax feltételezéssel kapott eredményt mutatja. A nemlineáris esetekhez az egyenértékű lineáris feladat döféspontjának elmozdulása is feltüntetésre került.
a.) Lineáris anyagtörvény a nyomott beton zónában, ekkor P tetszőleges.
b.) Másodfokú anyagtörvény a nyomott beton zónában, P=17500 kN.
c.) Másodfokú anyagtörvény a nyomott beton zónában, P=35000 kN
d.) Másodfokú anyagtörvény a nyomott beton zónában, P=Pmax.
8. ábra. A numerikus számítás eredményei, az egyenértékű lineáris feladat döféspontjának vándorlása jól nyomon követhető
15
5. AZ ALGORITMUS MEGVALÓSÍTÁSA Az előző rész végén közölt példák számításhoz az algoritmus megvalósítására volt szükség. Ezzel kapcsolatban érdemes megjegyezni, hogy numerikus szempontból ez nem jelent mást, mint a Pelikán-iteráció nem túl bonyolult kiterjesztését. A Pelikán-iteráció programozásáról [9] számol be részletesen, itt csak a nemlineáris algoritmus leírásához nélkülözhetetlen információkat ismételjük meg. 5.1. LINEÁRIS ANYAGTÖRVÉNY (PELIKÁN-ITERÁCIÓ) A Pelikán-iterációt (Fl) három, egymásba ágyazott eljárás segítségével lehet megvalósítani: Fl = Fl , 3 o Fl , 2 o Fl ,1 . (47) i i Az i. lépés bemenő adatai az i. semleges tengely (xn , yn ), a 2∙N0 méretű K0 mátrix, ami a teljes betonkeresztmetszet N0 darab csúcspontját (xj, yj, j=1,2,…,N0) tartalmazza és a V0 mátrix, ami a vasak helyét, keresztmetszeti területét és típusát írja le. A típus arra utal, hogy a vasbetét lágyvasalás, avagy feszített betét. Az iteráció kimenő adata a semleges tengely (i+1). helyzete (xn(i+1), yn(i+1)). A semleges tengely tipikusan metszi a betonkeresztmetszetet, a két keresztmetszet darab a Weiler-Atherton-algoritmussal különíthető el [13]. A döféspontot tartalmazó rész a dolgozó beton keresztmetszet, ezen darab csúcspontjait a Ki mátrixban tároljuk, amely 2∙Ni méretű, ahol Ni a dolgozó keresztmetszet csúcsainak száma az i. lépésben. Így az Fl,1 eljárás xi K i = Fl ,1 ni , K 0 , V0 y n
(48)
alakú. Mivel K0 és V0 minden lépésben azonos, a továbbiakban nem tüntetjük fel őket. A Ki mátrix a bemenő adata a keresztmetszeti jellemzőket számító eljárásnak. Az eljárás [14] alapján határozza meg a beton, vagy az idealizált keresztmetszet területét, statikai- és inercianyomatékait. Az eredményeket a ci vektorban tároljuk el: xi c i = Fl , 2 K i = Fl , 2 Fl ,1 ni . yn
( )
(49)
Ezután a betonnak húzószilárdságot is tételezünk fel, és az egyensúlyi egyenletek megoldásával határozzuk meg a semleges tengely helyét: i xni +1 i F F x n . = F c = F i +1 l ,3 l ,3 l ,2 l ,1 y ni yn
( )
(50)
Az eljárás folyamatát a 9. ábra bal oldala mutatja be.
16
9. ábra. A Pelikán-iteráció és a 4. fejezetben ismertetett általános algoritmus folyamatábrája, a szürkített mezők azonos eljárásokat jeleznek
17
5.2. NEMLINEÁRIS ANYAGTÖRVÉNY A nyomott zónában nemlineáris anyagtörvényű, általános algoritmus (Fnl) felépítését a 4. fejezetben mutattuk be. Az implementáció 6, egymásba ágyazott eljárással valósítható meg: Fnl = Fnl , 5 o Fnl , 4 o Fnl ,3 o Fnl , 2 o Fnl ,1 o Fnl ,0 . (51) A semleges tengely meghatározását a Pelikán-iterációval végezzük, következésképpen: Fnl ,1 = Fl ,1 , (52) Fnl , 2 = Fl , 2 , (53) Fnl ,3 = Fl ,3 . (54) Az egyetlen különbség, hogy Fnl,2 függvényben a másodfokúnál magasabb keresztmetszeti nyomatékok számítására is szükség van, ezért a ci vektor hatnál több elemű. Az Fnl,0 eljárás a koordináta-transzformációt tartalmazza, hiszen az egyenértékű lineáris feladat döféspontjának helye (xDi,yDi) lépésről lépésre változik, az [xy] koordináta-rendszer origója minden lépésben ezzel a ponttal azonos. Ez azt is jelenti, hogy ebben az eljárásban K0 és V0 mátrix elemei is minden lépésben megváltoznak. Az Fnl,4 függvény a kiszámított semleges tengely (xni+1, yni+1) ismeretében a κi+1 görbületet határozza meg. Itt egy k-adfokú egyenlet legkisebb pozitív gyökét számítjuk: x i +1 κ i +1 = Fnl ,4 ni +1 . y n
(55)
Az utolsó függvény a döféspont új helyét számítja a kiegyensúlyozatlan nyomatékok és a lineáris erő segítségével (lásd: a (36)-(39) összefüggéseket): x Di +1 i i +1 i +1 = Fnl ,5 c ,κ yD
(
).
(56)
Az eljárás folyamatát a 9. ábra jobb oldala mutatja be.
6. ÖSSZEFOGLALÁS Dolgozatunkban külpontosan nyomott vasbeton keresztmetszet semleges tengelyének meghatározására szolgáló eljárást mutatunk be, amely a nyomott beton fellágyuló anyagtörvénye esetén is megbízhatóan működik. Az eljárás a nyomott zónában lineáris anyagtörvényre kidolgozott Pelikán-iterációra építve, annak kiterjesztésével képes a nemlináris anyagtörvény kezelésére. Az eljárás numerikus szimulációk alapján konvergens.
18
KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS A kutatást az OTKA TS49885 témája, a Pázmány Péter program RET-06/2005ös témája valamint a BVM-Épelem Kft. támogatta.
HIVATKOZÁSOK [1] Antman S.S.: Nonlinear problems of elasticity. Springer Verlag, New York, 1995. [2] Coleman B.D., Tobias I., Swigon D.: Theory of the influence of the endconditions on the self-contact in DNA loops. J. Chem. Phys., 103 1995. 91019109. [3] Goriely A., Tabor M.: The mechanics and dynamics of tendril perversion in climbing plants. Phys. Lett., A250 1998. 311-318. [4] Heijden G.H.M., Neukirch S., Goss V.G.A, Thomson J.M.T.: Instability and self-contact phenomena in the writhing of clamped rods. International Journal of Mechanical Sciences, 45 2003. 161-196. [5] Kim J., Lee S.: The behavior of reinforced concrete columns subjected to axial force and biaxial bending. Engineering Structures, 23 2000. 1518-1528. [6] Magnetto M., Pinto P.E.: Slender RC compressed members in biaxial bending. Journal of the Structural Division. 103 1977. 587-606. [7] Sipos A.Á., Domokos G., Gáspár Zs.: A kétdimenziós Pelikán-iteráció konvergencia-tulajdonságai. Építés- Építészettudomány 33 (1-2) 2005. 205-217. [8] Sipos A.Á.: Calculation of the Spatial Deformations of Rods without Tensile Strength. PhD Thesis. BME Budapest 2007. [9] Juhász K.P., Sipos A.Á., Domokos G.: Ferde külpontos nyomásra igénybevett beton és vasbeton keresztmetszetek semleges tengelyének meghatározása rugalmas, berepedt állapotban. Építés- Építészettudomány, 31 (12) 2003. 19-41. [10] Pelikán J.: Szilárdságtan. Tankönyvkiadó, Budapest, 1972. [11] Domokos G.: Axiálisan terhelt vasbeton keresztmetszet semleges tengelyének számítása konvergens iterációval a II. feszültségi állapotban. Építés- Építészettudomány, 19 (3-4) 1987. 395-405. [12] Acton F.S.: Numerical methods that work. Harper Row, New York, 1970. [13] Weiler K., Atherton P.: Hidden Surface Removal Using Polygon Area Sorting. Computer Graphics, 11, 1977. 214-222. [14] Petersen C.: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen, Friedr. Vieweg & Sohn, Wiesbaden/Braunschweig, 1982.
19
ÖSSZEFOGLALÓ: Dolgozatunkban a nyomott zónában nem lineáris (azaz fellágyuló) anyagtörvényű, külpontosan nyomott, tetszőleges alakú vasbeton keresztmetszet semleges tengelyének számítására szolgáló eljárást mutatunk be. A módszer alapja, hogy egy nemlineáris anyagtörvényű feladat semleges tengelye egy tipikusan eltérő döféspontú, de lineáris anyagtörvényű feladatnak is semleges tengelye. A módszer az egyensúlyi egyenletekből levezetett eljárás helyett a semleges tengelyt és az említett lineáris megoldáshoz tartozó döféspontot egyidejűleg határozza meg. Az eljárás egy szemi-implicit, ötdimenziós leképzés. Numerikus vizsgálatok alapján globálisan konvergens és igen gyorsan eredményre vezet. Kulcsszavak: külpontosan nyomott vasbeton keresztmetszet, semleges tengely, fellágyuló anyagtörvény, konvergens iteráció, robosztus algoritmus Abstract In our paper we introduce a new method for determining the neutral axis of an arbitrary reinforced concrete cross section under biaxial bending and compression with a nonlinear stress-strain relation in the compressed zone. The method is based on the fact, that the neutral axis of the non-linear problem is a solution of a linear problem with a typically different location of the compressive load. Instead of a direct recursion derived from the equations of equilibrium the method determines the neutral axis and the location of the load belonging to the linear problem simultaneously. The method can be associated with a semi-implicit, five dimensional map. According to numerical simulations, the method is globally convergent, and computes the solution rapidly.
Keywords: reinforced concrete cross section under biaxial bending and compression, neutral axis, non-linear constitutive law, convergent recursion, robust algorithm
20
