Szolnoki Tudományos Közlemények XIV. Szolnok, 2010.
Prof. Dr. Pokorádi László1—Molnár Boglárka2
A MONTE-CARLO SZIMULÁCIÓ SZEMLÉLTETÉSE A technikai rendszerek, műszaki folyamatok vizsgálatának első fontos lépése az elemek, és az állapotuk közötti ― sok esetben bonyolult kölcsönhatásokat is jelenthető ― kapcsolatok feltárása, illetve annak elemzése, egyszóval modellezése. A modellezés tudományában rendkívül fontos a bizonytalanság elemzése, amely információt ad a kapott válaszok hibahatárairól, illetve a modell eredményei megfelelősségének, elfogadhatóságának szintjéről. A Szerzők célja a Monte-Carlo szimuláció — mint rendszerelemzési módszer — alkalmazása szemléltetésének kidolgozása, és jelen tanulmányban való bemutatása. DEMONSTRATION OF MONTE-CARLO SIMULATION The first important step of investigation of technical a system or a process is to depict and relationships between elements, and their analyzing — in one word to model it. In the system engineering it is very important to investigate model uncertainties, which inform me about margins of error of solutions and acceptability of model results. The main aim of the Authors is to develop a demonstration example of the Monte-Carlo simulation, as a system-analysis method, and to show it.
1. BEVETEZÉS Ha egy folyamat vagy rendszer vizsgálatánál egy azokat helyettesítő modellt alkalmazunk, akkor szimulációról beszélünk. Monte-Carlo szimulációnak azt az elemzési folyamatot nevezzük, amikor a szimuláció során véletlenül választott értékeket használunk kiinduló (bemenő) adatokként. A Monte Carlo-módszer igen széles körben (a pénzügyi élettől a bonyolult rendszerek kockázatanalízisén át az alaptudományokig) alkalmazott numerikus eljárás, amely véletlen számok generálásán alapul. Ezen széles alkalmazási területet szemléltetik a [2]; [6]; [7]; [9]; [12]; [13] és [14] irodalmak. A módszer elnevezése — Monte Carlo a szerencsejátéko(so)k városa — a statisztikus szimuláció és a szerencsejátékok közti hasonlóságra utal. Egy fizikai (matematikai) rendszer gyakran jellemezhető valószínűség- eloszlásokkal. Ha ismerjük 1
Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Menedzsment és Vállalkozási Tanszék, egyetemi tanár,
[email protected] 2 Debreceni Egyetem,
[email protected] A cikket lektorálta: Dr. Ludányi Lajos ZMNE főiskolai tanár, PhD.
ezeket, az eloszlásokat, a Monte Carlo-szimuláció azonnal elvégezhető véletlen mintavételezéssel. A Monte-Carlo módszer legnagyobb előnye, hogy nincs szükség a sokszor igen bonyolult analitikus vagy numerikus módszerekkel történő modellmegoldásra, hanem „csupán” véletlen számok gyors és hatékony generálásával válaszolhatók meg a feltett kérdések. A mintavételezést sokszor elvégezve a kapott eredményeket meghatározhatjuk, megbecsülhetjük a várható rendszerválaszok valószínűségi eloszlásait. Tanulmányunkban a módszer szemléltetésére egy egyszerű példát ragadtunk ki a hétköznapokból, amellyel a gépjárművek fogyasztását lehet meghatározni. Röviden csak „tele tank” módszernek nevezzük, melynek lényege az, hogy minden egyes üzemanyag feltöltésnél teletankoljuk az autót, majd a „napi” kilométeróra nullázásával le tudjuk mérni a megtett kilométereket, és meghatározhatjuk az aktuális fogyasztást. Ezen elemzési módszert és annak sajátosságait már korábbi tanulmányaikban értelmezték és elemezték a Szerzők [3]; [4]; [5]; [8]; [9]; [10] és [11]. A Szerzők jelen dolgozatban a Monte-Carlo szimulációs elemzés módszerét mutatják be. A szemléltetésre szolgáló feladat során azt próbálják megválaszolni, hogy mekkora távolságot tudunk megtenni egyetlen tankolással? A tanulmány az alábbi részekből áll: A 2. fejezet a Monte-Carlo szimulációt és annak alkalmazási lehetőségeit mutatja be. A 3. fejezet egy egyszerű, hétköznapi példán keresztül szemlélteti a Monte-Carlo szimuláció módszerét. Végül a 4. fejezetben összegzik a tanulmány elkészítésekor szerzett tapasztalatokat és megfogalmazzák a Szerzők jövőbeli célkitűzéseit.
2. A MONTE-CARLO SZIMULÁCIÓ Szimulációról akkor beszélünk, amikor egy folyamat vagy rendszer vizsgálata egy azokat helyettesítő modell segítségével történik. A vizsgálat során olyan numerikusan megoldható matematikai modelleket alkalmazhatunk, melyek az elemzett folyamatot vagy rendszert a vizsgálat szempontjából kellő pontossággal írják le. Ha a szimuláció során véletlenül választott pontokat vagy mennyiségeket használunk, akkor Monte-Carlo (vagy véletlen) szimulációról beszélünk. Ezt szemlélteti az 1. ábra.
1. ábra. Monte Carlo szimuláció
A Monte-Carlo szimulációs módszert NEUMANN JÁNOS dolgozta ki 1945-ben. Lényege, hogy az egyes bizonytalan tényezőkhöz rendelt valószínűség-eloszlások alapján véletlenszerűen választjuk ki azok értékeit. Az így kiválasztott kiinduló adatokat a 2
szimulációs vizsgálat egy-egy kísérletében (a modell gerjesztéseként) használjuk fel. MonteCarlo módszereknek nevezzük a matematikai feladatok megoldásának véletlen mennyiségek modellezését felhasználó numerikus módszereit és azok jellemzőinek statisztikus értékelését. A Monte-Carlo egy olyan matematikai eszköz, mely alkalmas arra, hogy véletlen események sorozatával oldjunk meg determinisztikus problémákat [1]. A szimuláció során a gerjesztések meghatározásához az úgynevezett kiszorításos módszert alkalmazhatjuk. Az eljárás lényege az alábbiak szerint írható le: Az egyenletes eloszlású véletlen szám generátor (ezzel minden programnyelv rendelkezik) felhasználásával kiválasztunk a gerjesztési tartományon belül egy x értéket, majd ehhez hozzárendelünk egy yx véletlen értéket. Az előre meghatározott sűrűség függvény alapján döntünk a generált x számról: ha y x f (x) , „elvetjük” az adott x értéket (lásd A pont a 3. ábrán);
ha y x f (x) , „megtartjuk” és a szimuláció során, mint input érték alkalmazzuk az adott x értéket (lásd B pont a 2. ábrán).
2. ábra. Kiszorításos véletlen szám generálás szemléltetése
A módszert széles körben alkalmazzák különböző események lehetséges kimeneteleinek és azok valószínűségeinek szimulációjára, amikor a bemenő paraméterek bizonytalanok. Nézzünk röviden egy-két példát a Monte-Carlo szimuláció alkalmazására: Kísérleti eredmények kiértékelésére OROSZ [6] egy olyan Monte-Carlo modellt dolgozott ki, mely alapján számítógépes, szimulációs programot készített. Célja egy egyszerű, hatékony eljárás kidolgozása, mellyel kísérleti elektron-spektroszkópiai eredményeket lehet kiértékelni. A módszer alkalmazásával olyan fizikai paramétereket származtatott, melyeket más módszerekkel különösen nehezen határozhatók meg (például a rugalmas visszaszórási tényező). Pásztor szerint a részecskefizikában használt berendezések, mérések tervezésekor, illetve később, az összegyűjtött adatok feldolgozásakor az egyik legfontosabb eszköz a Monte-Carlo szimuláció [7]. Póserné [12] tanulmányában leírja, hogy a kockázatkezelést nagyban segítik a különböző komplex kockázatbecslési, kockázatkezelési és szimulációs stratégiák, mint például a MonteCarlo szimuláció, melyek megkönnyítik az optimális informatikai védelmi tervek kidolgozását. Véleménye szerint sok esetben a statisztikai módszerekkel történő szimuláció is kiváló eredményekre vezet. Ezek közül a Monte-Carlo szimuláció a kockázatelemzés egyik alternatív módszere, amikor is a rendszer megfelelő modellezése után számítógépes
3
szimulációk futtathatók a rendszernek megfelelő véletlen értékekkel. Ez a módszer megfelelő nagyságú minta alkalmazásával rendkívül előnyös a felmerülő kockázatok vizsgálatára, azonban hátránya is van, mégpedig az aránylag nagy számítási kapacitásigény, mely viszonylag költségessé teheti a módszer alkalmazását. De mivel a szimuláció nem csak egyszerű véletlen értékgenerálást tartalmaz, hanem a különböző hatékonyságnövelő eljárásokkal pontosítja a becslést, így viszonylag kisebb minta alkalmazásával is megközelítő pontosságú becslés érhető el vele. ROHÁCS [13] tanulmányában az európai kisrepülőgép és a személygépkocsik teljes üzemeltetési költségét elemezte. Mivel az egyes költségelemek alakulása nem határozható meg előre, a jövőbeli teljes üzemeltetési költségbecslése során bizonytalansággal kellett szembe nézni. A Monte-Carlo szimulációs eredményei azt mutatták, hogy az európai kisrepülőgép teljes üzemi költsége átlagosan 26 ~ 27 %-kal csökken a teljes szimulációs időtartam alatt. Az eredmény alapján kijelenthette, hogy pár évtized múlva a kisrepülőgépeknek mainál jelentősebb szerep fog jutni Európa közlekedésében. A [2] cikkben GOLDSWORTHY szerzőtársaival a radioaktívhulladék-tárolók lezárást követő fázisára vonatkozó biztonsági értékelésének a hátterét és az értékelési folyamatot mutatta be, a modellezéshez és számításokhoz szükséges két módszerrel együtt. E két megközelítés közül az egyik a Monte-Carlo szimuláció felhasználása. A számított eredményeket fel lehet használni a további vizsgálatok és a tervezési lehetőségek meghatározására, vagyis azok optimálására. TAKÁCS a megtérülési kockázatot vizsgálta egy közepes magyarországi település környezetében a nettó jelenérték számításával a gazdálkodáshoz szükséges eszközök beruházási igényének, illetve a gazdálkodásba vont terület termelési szerkezetének függvényében [14].
3. EGY EGYSZERŰ SZEMLÉLTETŐ PÉLDA Manapság kevés embernek ismeretlen az a tankolási, gépkocsi tüzelőanyag fogyasztás meghatározási módszer, melynek lényeg az, hogy minden egyes üzemanyag feltöltésnél teletankoljuk az autót, majd a „napi” kilométeróra nullázásával le tudjuk mérni a megtett kilométereket, és meghatározhatjuk az aktuális fogyasztást. Ezt a módszert nevezzük röviden „tele tank” módszernek. Felmerült bennünk a kérdés, amivel a módszer megbízhatóságát és pontosságát vontuk kérdőre: Mennyire adhat ez pontos értéket? Az evidens, hogy a fogyasztás mértéke több befolyásoló tényezőtől függ, de megvizsgálva a helyzetet műszaki szempontból, más keltette fel a figyelmünket. A kérdésben felmerült problémát elemezve méréseket végeztünk, aminek a lényege az volt, hogy egy általános helyzetet felállítva, minden mérési adat pontos felvételével és feldolgozásával megvizsgáltuk ezt a szituációt. Ez a következőképpen történt: egy újonnan, szalonból kihozott autón végeztük a méréseket, melyek abból álltak, hogy minden egyes üzemanyag feltöltés előtt felvettük az adatokat, majd teletankoltuk az autót, a napi kilométer-számlálót nulláztuk. A töltés és a napi futott kilométer alapján határoztuk meg gépkocsi aktuális fogyasztását, és újraindult a mérés. Az aktuális fogyasztások eredményeinek felhasználásával — a töltött üzemanyag és a futott aktuális kilométerek összegei alapján — határoztuk meg az átlagos fogyasztást. A mérési eredményeket — a fenti módon meghatározott aktuális és azok összegzésével számított átlagfogyasztásokat — mutatja be a 3. ábra. 4
3. ábra. Fogyasztások változása a futott kilométerek függvényében
A Monte-Carlo szimulációs elemzés szemléltetése érdekében válaszoljunk a következő kérdésre: Mekkora távolságot tudunk megtenni egyetlen tankolással? A válasz érdekében először a 3. ábra eredményei alapján meghatározzuk a gépkocsi f fogyasztásának háromparaméteres
2,6 2 5 0 x f f ( x ) x 1 e
ha x (1)
ha x
Weibull valószínűségi eloszlását, melynek várható értéke (átlaga): 6,74 liter/100 km, s mely eloszlást a 4. ábra szemléltet. 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0 Fogyasztás
7,5
8,0
8,5
9,0
4. ábra. A fogyasztás háromparaméteres Weibull-eloszlása
Következő lépésként meg kell vizsgálnunk a tüzelőanyag tartály V kapacitását. A
5
gyakorlatban azt tapasztalhatjuk, hogy ugyanabba a gépkocsi tartályba úgy mond legalább „plusz–mínusz” egy liter eltéréssel lehet tankolni, a gépkocsi térbeli helyzete (Merre lejt a töltőállomás? Van-e kisebb bucka vagy gödör a kerekek alatt? Mennyire terhelt a gépkocsi? stb.), valamint a kútkezelő „stílusa” alapján. Ezt figyelembe véve a gépkocsi tartály 45 literes névleges kapacitásával és a fenti pontatlansággal számolva vettük fel a töltött tüzelőanyag mennyiség m V 45 V 0,333 1 f V (x) e 2
x m 2
(2)
2 2
sűrűség függvényű normális eloszlását (5. ábra).
1,00
0,75
0,50
0,25
0,00 44,00
44,25
44,50
44,75
45,00 Tartály
45,25
45,50
45,75
5. ábra. A tartály töltöttségének normál-eloszlása
Ezt követően a vizsgált rendszer matematikai modelljét kell felállítanunk, ami esetünkben nagyon egyszerű:
T
V f
,
(3)
ahol: T — a megtehető távolság, kilométerben megadva (lásd 5. ábrát). A Monte-Carlo szimuláció lényege, hogy a modell bemenő jellemzőit a tapasztalati úton felvett eloszlások alapján, mint véletlen számokat generáljunk, majd azokat felhasználva meghatározzuk a kimenő jellemzők várható eloszlását. Esetünkben — (1) és (2) egyenletek alapján — generáljuk a tüzelőanyag fogyasztásának, valamint a tartály töltöttségének értékét és a (3) egyenlettel számoljuk ki az abban az esetben megtehető távolságot. Ezt követően a megtehető távolságok hisztogramját és eloszlásukat határozzuk meg.
6
6. ábra. A mintapélda sémája
A Monte-Carlo szimulációs program — mely Turbo Basic v. 1.1. programnyelven íródott — futási eredményeit szemléltetik a 7. – 11. ábrák — 1; 10; 100; 1.000; valamint 10.000 gerjesztés szám esetén. (A hisztogramok elkészítéséhez és a későbbi statisztikai elemzésekhez MINITAB® Release 14.12.0 szoftvert alkalmaztunk, melyek illeszkedésvizsgálati eredményeinek ismertetésétől itt eltekintünk.) Fogyasztás [l/100 km]
Töltés [liter]
Távolság [km]
Válaszpont
7. ábra. A Monte-Carlo szimuláció futási eredményei (Gerjesztés szám: 1)
7
Fogyasztás [l/100 km]
Töltés [liter] 4
2
3
2
1
1
0 5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
0 44,0
9,0
Távolság [km]
44,5
45,0
45,5
46,0
Válaszpont halmaz
3
2
1
0 450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
8. ábra. A Monte-Carlo szimuláció futási eredményei (Gerjesztések száma: 10)
Fogyasztás [l/100 km]
Töltés [liter]
18
30
16 25
14 12
20
10 15
8 10
6 4
5
2 0 5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
0 44,0
8,5
Távolság [km]
44,5
45,0
45,5
Válaszpont halmaz
30
25
20
15
10
5
0 450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
9. ábra. A Monte-Carlo szimuláció futási eredményei (Gerjesztések száma: 100)
8
46,0
Fogyasztás [l/100 km]
Töltés [liter]
140
300
120
250
100
200
80 150 60 100
40
50
20 0 5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
0 44,0
9,0
Távolság [km]
44,5
45,0
45,5
46,0
Válaszpont halmaz
250
200
150
100
50
0
500
550
600
650
700
750
800
850
900
10. ábra. A Monte-Carlo szimuláció futási eredményei (Gerjesztések száma: 1.000)
Fogyasztás [l/100 km]
Töltés [liter]
1400
3000
1200
2500
1000
2000
800 1500 600 1000
400
500
200 0 5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
0 44,0
9,0
Távolság [km]
44,5
45,0
45,5
46,0
Válaszpont halmaz
3000
2500
2000
1500
1000
500
0 450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
11. ábra. A Monte-Carlo szimuláció futási eredményei (Gerjesztések száma: 10.000)
A 10.000 gerjesztés eredménye alapján statisztikai elemzéssel a megtehető távolságok eloszlását az alábbi háromparaméteres Weibull függvénnyel vettük fel:
9
2,69293 208,531682 490,34375 0 x f T ( x ) x 1 e x FT ( x ) 1 e
ha x ha x
.
(4)
ha x
A szimulációs vizsgálat eredménye alapján tudunk választ adni az elemzés elején feltett kérdésre. Ezek szerint a 10.000 gerjesztéssel elvégzett Monte-Carlo szimuláció alapján az egy tank tüzelőanyaggal megtehető távolság a (4) egyenlettel jellemezhető, és a 12. ábrán szemléltetett háromparaméteres Weibull eloszlással írható le. 1 P
F
0,8
0,6
0,4
0,2
0 450
550
650
750
850
950
Távolság [km]
12. ábra. A megtehető távolság eloszlás függvénye a Monte-Carlo szimuláció alapján.
Ez a fenti kérdésre adható válasz rendszermodellezési szempontból. Gyakorlati jelentése pedig a következő lehet: Ha F( x ) (12. ábra szaggatott görbe) annak a valószínűsége, hogy adott távolság megtételekor kifogy a tüzelőanyag a tartályból, akkor P(x) 1 F(x)
(5)
valószínűséggel el tudunk a jutni az adott távolságra egy teljes tank tüzelőanyaggal. Más szóval, meg tudjuk mondani, hogy mekkora az esélyünk, hogy a célállomásra eljutunk tankolás nélkül. T [km] P [%]
500 99,97
550 96,62
600 83,77
650 61,44
700 36,26
750 16,45
800 5,50
1. táblázat A távolságok megtételének valószínűségei
A fenti kijelentés szemléltetésére szolgál az 1. Táblázat, mely számszerűen megmutatja, hogy adott távolságokat milyen valószínűséggel tudunk megtenni egy tele tank tüzelőanyag tartállyal.
10
Az eredmények értelmezése után térjünk még vissza a szimulációs folyamat részeredményeire. A 13. ábra a fogyasztás, a 14. ábra a töltés, még a 15. ábra a távolság minimum, maximum, és átlagértékeit ábrázolja gerjesztések különböző számai esetén. A grafikonokból leolvasható, hogy a gerjesztési intervallumok méretei az 1000-es gerjesztési számtól jelentős mértékben nem változnak. Ekkor a gerjesztés szám növelése már a vizsgálathoz felvett eloszlásokhoz való jobb közelítést biztosítja. 9 Fogyasztás [l/100 km]
8
7
6
5 1
10
100
1000
10000 Gerjesztések száma
13. ábra. A Fogyasztás minimum, maximum, és átlagértékeinek változása a gerjesztés szám függvényében
46 Töltés [liter]
45
44 1
10
100
1000
10000 Gerjesztések száma
14. ábra. A Töltés minimum, maximum, és átlagértékeinek változása a gerjesztés szám függvényében
11
1000 Távolság [km] 900
800
700
600
500
400 1
10
100
1000 10000 Gerjesztések száma
15. ábra. A Távolság minimum, maximum, és átlagértékeinek változása a gerjesztés szám függvényében
16. ábra. A szimuláció teljes válaszfelülete
A 16. ábra az alkalmazott modell — a (3) egyenlet — teljes válaszfelületét szemlélteti a vizsgálat során alkalmazott gerjesztési intervallumokra. Az itt ábrázolt felületen helyezkednek el a 7. – 11. ábrákon megadott válaszpontok. A válaszpontok függőleges tengely menti eloszlása adja meg az egy tele tankkal megtehető távolság valószínűségi eloszlását, azaz az elemzés kezdetén feltett kérdésünkre a választ.
12
4. ÖSSZEGZÉS A tanulmány röviden ismertette a Monte-Carlo szimulációt és bemutatott egy egyszerű modell Monte-Carlo szimulációs elemzését. Összegzésként elmondható, hogy ez az eljárás rendszermodellezési szempontból alkalmas arra, hogy megoldjuk egy matematikai modell determinisztikus problémáit. Az utóbbi években a Debreceni Egyetem Műszaki Karán oktatott Rendszertechnika tantárgy keretein belül intenzív kutatómunka folyik annak feltárása céljából, hogy a széles értelemben vett modellezési bizonytalanság kezelés milyen módon oldható meg a leghatékonyabb formában. A Szerzők munkájuk során olyan tanulmányok elkészítését tűzték ki céljukként, amelyek leírják a modellezési bizonytalanságokat, értelmezik, vizsgálják és szemléltetik a matematikai modellek bizonytalanságainak elemzési módszereit, mint például a Monte-Carlo szimuláció. FELHASZNÁLT IRODALOM [1] [2] [3] [4] [5]
[6] [7] [8] [9]
[10]
[11]
[12] [13] [14]
BRONSTEJN, I. N., ET AL.: Matematikai kézikönyv, Typotex, Budapest, 2006, pp. 1209. GOLDSWORTHY M., ET AL.: Probabilistic and fuzzy approach to safety assessment for the Bátaapáti (Üveghuta) Site, Annual Report of the Geological Institute of Hungary, 2003 (2004), 503-518. MOLNÁR BOGLÁRKA.: Gépjármű fogyasztás meghatározásának bizonytalansága — A futott kilométerek kérdése, Műszaki Tudomány az Észak-Alföldi Régióban 2009., p. 179–184. (ISBN 978-963-7064-21-0) MOLNÁR BOGLÁRKA: Parametrikus bizonytalanságok leírási módjai, TDK dolgozat DE MK 2009. (konzulens: Pokorádi László). MOLNÁR BOGLÁRKA: A parametrikus modellbizonytalanságok leírási módszerei, Műszaki Tudományos Füzetek, XV. Fiatal Műszakiak Tudományos Ülésszaka, (ISSN 2067–6808) Kolozsvár, 2010. március 25–26., pp. 217–220. OROSZ G. T.: keV-os Elektronok visszaszórt energiaspektrumának Monte-Carlo szimulációja, Doktori (Ph.D.) értekezés, Veszprémi Egyetem, 2003., pp. 92. PÁSZTOR GABRIELLA: Hol van a szuperszimmetria?, http://www.sulinet.hu/termeszetvilaga/archiv/2000/0015/08.html POKORÁDI LÁSZLÓ: Rendszerek és folyamatok modellezése, Campus Kiadó, Debrecen, pp.242. (ISBN 978-963-9822-06-1). POKORÁDI, LÁSZLÓ - MOLNÁR BOGLÁRKA: Monte-Carlo szimulációs valószínűségi bizonytalanságelemzés szemléltetése, Repüléstudományi Közlemények 2010. április 16. (HU ISSN 1789770X) pp.12, http://www.szrfk.hu/rtk/kulonszamok/2010_cikkek/Pokoradi_L-Molnar_B.pdf. POKORÁDI, LÁSZLÓ: Uncertainties of mathematical modeling, Proceedings of the 12th Symposium of Mathematics and its Applications, "Politehnica" University of Timisoara November, 5-7, 2009., (ISSN 1224-6069) p. 471-476. POKORÁDI, LÁSZLÓ Uncertainties of Engineering Simulation, Proceedings of International Conference on Innovative Technologies IN-TECH 2010, Prague, Czech Republic, 14.09.2010. – 16.09.2010. (ISBN 97880-904502-2-6), p. 121–124. PÓSERNÉ OLÁH VALÉRIA, IT kockázatok, elemzésük, kezelésük, Hadmérnök, II. Évfolyam 3. szám 2007. szeptember, p. 206–214., http://www.hadmernok.hu/archivum/2007/3/2007_3_poserne.pdf ROHÁCS DÁNIEL: Kisrepülőgépek elérhetőségének hosszútávú előrejelzése, Repüléstudományi Közlemények, 2007, Különszám, pp. 8 TAKÁCS I, ET AL.: A veresenyképes virtuális (nagy)üzem, BULLETIN of the Szent István University, Gödöllő, 2008. p. 237-339.
13
