1. Az ábrán a pontok a szabályos háromszögrács 10 pontját jelentik (tehát az ABC háromszög egyenlőoldalú, a BDE háromszög egyenlőoldalú, a CEF háromszög egyenlőoldalú, stb…). A 10 pont közül ki kell választani négyet úgy, hogy a négy kiválasztott pont által meghatározott négyszög téglalap legyen. Hányféleképpen teljesíthető a fenti utasítás? (A négy pont kiválasztásának sorrendjére nem vagyunk tekintettel, tehát az XYZV négyszög ugyanaz, mint a ZVXY négyszög.) K F C A
I E
B
H D G
2. Bergengóciában a most záruló színházi évad statisztikai adatai: A színházak összesen 20000 előadást tartottak, az eladott színházjegyek száma 10 millió. A bergengóc lakosság színházjegy vásárlás szerint három kategóriába tartozik: A: soha nem vesz színházjegyet (és soha nem megy színházba) B: minden évadban 1 színházjegyet vesz (és minden évadban 1 színházi előadást néz meg) C: minden évadban 10 színházjegyet vesz (és minden évadban 10 színházi előadást néz meg). Bergengócia lakossága 10 millió fő, tehát A+B+C=10 millió. Ebben az évadban nagy statisztikai felmérést végeztek: minden színházi előadáson véletlenszerűen kiválasztották a nézők 10%-át, és megkérdezték tőlük, hogy hány színházjegyet szoktak venni egy évadban. Minden megkérdezett válaszolt (és igazat mondott). A megkérdezettek 50%-a egy évadban 1 színházjegyet vesz (tehát a B kategóriába tartozik), a megkérdezettek 50%-a egy évadban 10 színházjegyet vesz (tehát a C kategóriába tartozik). (Miután a felmérést a színházi előadások nézői körében végezték, értelemszerűen nem lehetett olyan megkérdezett, aki az A kategóriába tartozik.) A statisztikai felmérés alapján meg tudjuk-e becsülni, hány ember van bergengóciában, aki egy évadban legalább 1 színházjegyet vesz, tehát B+C=?
3. A mellékelt táblázatnak 5 sora van, az első sorban 1 oszlop, a második sorban két oszlop, …, az ötödik sorban öt oszlop van, összesen 1+2+3+4+5=15 cella. A táblázat szabályos kitöltése az alábbi feltételek teljesítését jelenti: - öt (5) cellába kell x –et írni, a többi tíz (10) cella üresen marad - minden sorban pontosan egy x van - legfeljebb egy olyan oszlop van, amelyben nincs x. Hány különböző szabályos kitöltés létezik?
4.
Egy négyzet alakú fehér papírlap mérete 30cm x 30cm. Két játékos játszik, Első Elemér és Második Miklós. Első Elemér: kijelöl a papírlapon bárhol három (3) darab egyenként 6 cm átmérőjű kört, és ezt a három kört befesti feketére. Ezekután Második Miklós feladata az, hogy rajzoljon a papírlapra egy négyzetet, melynek mérete12cm x 12cm, és teljes egészében a papír fehéren maradt részén fekszik (de a papírt nem fordíthatja meg). Igaz-e, hogy akárhova rajzolja Első Elemér a köröket, Második Miklós mindig teljesíteni tudja a feladatát?
5. Öt (5) vízszintes és hét (7) függőleges egyenest rajzolunk, metszéspontjaik száma = 5x7=35. Ezen 35 pont közül ki kell választani négyet úgy, hogy a négy kiválasztott pont által meghatározott négyszög olyan téglalap legyen, amelynek két oldala vízszintes, két oldala függőleges. Hányféleképpen teljesíthető a fenti utasítás? (A négy pont kiválasztásának sorrendjére nem vagyunk tekintettel, tehát az XYZV négyszög ugyanaz, mint a ZVXY négyszög.)
6. Az ábrán a pontok a szabályos háromszögrács 15 pontját jelentik (tehát az ABC háromszög egyenlőoldalú, a BDE háromszög egyenlőoldalú, a CEF háromszög egyenlőoldalú, stb…). A 10 pont közül ki kell választani négyet úgy, hogy a négy kiválasztott pont által meghatározott négyszög négyzet legyen. Hányféleképpen teljesíthető a fenti utasítás? (A négy pont kiválasztásának sorrendjére nem vagyunk tekintettel, tehát az XYZV négyszög ugyanaz, mint a ZVXY négyszög.) Q K F C A
P I
E B
N H
D
M G L
7. Hét (7) ember egy kör alakú asztal körül áll. Nevezzük őket így: A,B,C,D,E,F,G és ebben a sorrendben állnak a kör mentén. Egyszerre két kézfogás jön közöttük létre, de az a feltétel, hogy a két kézfogás nem keresztezheti egymást. Tehát a két kézfogás lehet: A-D és E-F. De nem lehet B-E és C-G, mert ezek keresztezik egymást. Hányféleképpen jöhet létre a két kézfogás? (a kézfogásokon belüli sorrend nem számít, tehát (A-D és E-F) = (E-F és D-A) = (F-E és A-D)
8. Ebben a feladatban az 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 számok közül kell ötöt kiválasztani (a sorrend nem számít). (10•9•8•7•6)/(1•2•3•4•5) = 252 lehetőség van a kiválasztásra. Ezek között hány olyan lehetőség van, ahol van 4 egymás utáni szám a kiválasztottak között? Fontos figyelmeztetés! A feladat megoldásához az indokolás is hozzátartozik. Indokolás nélküli megoldás értékelhetetlen.
9. Az ábrán a pontok a szabályos háromszögrács 10 pontját jelentik (tehát az ABC háromszög egyenlőoldalú, a BDE háromszög egyenlőoldalú, a CEF háromszög egyenlőoldalú, stb…). A 10 pont közül ki kell választani hármat úgy, hogy a három kiválasztott pont által meghatározott háromszög egyenlőszárú legyen, de nem egyenlőoldalú. Hányféleképpen teljesíthető a fenti utasítás (a három pont kiválasztásának sorrendjére nem vagyunk tekintettel, tehát az XYZ háromszög ugyanaz, mint a ZXY háromszög). K F C A
I E
B
H D G
10. A mi iskolánba 100 tanuló jár, közöttük 50 fiú és 50 lány, ebben a feladatban róluk lesz szó. A fiúk testmagasságának átlaga 179 cm, a lányok testmagasságának átlaga 175 cm. A tanulókat hajuk színe szerint két csoportba osztjuk: szőkék és barnák (feltételezzük, hogy a 100 tanuló mindegyike egyértelműen vagy a szőkék vagy a barnák csoportjába tartozik). A barnák testmagasságának átlaga 180 cm, a szőkék testmagasságának átlaga 175 cm. Melyik igaz az alábbi állítások közül: A: a fenti adatokból kiszámítható, hogy a 100 tanulóból hány szőke és hány barna B: a fenti adatokban önellentmondás van C: a fenti adatokban nincs semmi önellentmondás, de az nem állapítható meg belőlük, hogy a 100 tanulóból hány szőke és hány barna.
11. Az ábrán a pontok a szabályos háromszögrács 10 pontját jelentik (tehát az ABC háromszög egyenlőoldalú, a BDE háromszög egyenlőoldalú, a CEF háromszög egyenlőoldalú, stb…). Az AB szakasz hossza 1 egység, az ábrán 9 darab olyan háromszög van, melynek 1 egység hosszú minden oldala, ezeket a továbbiakban "elemi háromszög"-nek nevezzük Azt a játékot játszom, hogy a 10 pont közül néhányat elfoglalok. Egy elemi háromszöget akkor foglaltam el, ha legalább egy csúcspontját elfoglaltam. Igaz-e, hogy kiválaszthatok a 10 pont közül két pontot úgy, hogy mind a 9 elemi háromszöget elfoglaltam, ha ezt a két pontot elfoglaltam? Igaz-e, hogy kiválaszthatok a 10 pont közül három pontot úgy, hogy mind a 9 elemi háromszöget elfoglaltam, ha ezt a három pontot elfoglaltam? K F C A
I E
B
H D G
12. Hányféleképpen lehet húsz (20) forintot kifizetni az alábbi címletű pénzérmékkel: 1 Ft, 2 Ft, 5 Ft, 10 Ft, ha a kifizetéshez pontosan 10 darab pénzérmét használunk? (Két kifizetést azonosnak tekintünk, ha az egyes címletekből ugyanannyi darab pénzérmét használ. Minden címletből megfelelő mennyiségű pénzérme áll rendelkezésre. A kifizetett összeg pontosan 20 Ft legyen, visszajáró nem lehetséges.)
13. Az ábrán a pontok a szabályos háromszögrács 15 pontját jelentik (tehát az ABC háromszög egyenlőoldalú, a BDE háromszög egyenlőoldalú, a CEF háromszög egyenlőoldalú, stb…). Az AB szakasz hossza 1 egység. A pontokat "kiszínezzük", azaz a15 pont mindegyikéhez hozzárendelünk pontosan egy színt azzal a feltétellel, hogy ne legyen két olyan pont, melyek távolsága 1 egység és a színük azonos. A következő színeket lehet használni: zöld, sárga, rózsaszín. Az alábbi példa azt mutatja, hogy lehetséges a pontokat a feltételnek megfelelően kiszínezni: A,G,E,K,N : zöld C,D,I,M,Q: sárga B,F,H,L,P: rózsaszín Hány különböző színezés van? (Csak a megadott három szín használható, egy színezésen belül be kell tartani a feltételt, hogy ne legyen két olyan pont, melyek távolsága 1 egység és a színük azonos). Q K F C A
P I
E B
N H
D
M G L
14. Én a gyárban minden pénteken kapok fizetést, minden pénteken pontosan annyi ezer forintot, ahányadika van aznap (tehát ha elsején kapok fizetést, akkor az 1 ezerFt, ha 31-én, akkor 31ezerFt). Mennyi lehet egy hónapban a fizetésem maximuma, és mennyi a minimuma?
15. Ebben a feladatban a kocka oldallapjait kell megszámozni az 1,2,3,4,5,6 számokkal (a hat oldallap mindegyike pontosan 1 számot kap). Egy ilyen megszámozásnak tekinthető a szabályos dobókocka is, ez a megszámozás azonban nem teljesíti a következő feltételt: -kiválasztom a kocka egy csúcsát, veszem az erre a csúcsra illeszkedő három oldallapot, az ezen a három lapon levő három szám összegét leírom egy papírra. - a fenti műveletet elvégzem a kocka mind a nyolc csúcsára, ezáltal a papírra összesen nyolc számot írok - a feltétel az, hogy a papírra írt nyolc szám mindegyike vagy 10 vagy 11. Lehetséges-e a kocka oldallapjait úgy megszámozni, hogy a fenti feltétel teljesüljön?
16. Hány egész szám van 1000 és 9999 között, melynek számjegyei számtani sorozatot alkotnak (a feltételnek megfelelő számok pl 1234, 6666, 8642. A számjegyek sorrendjét is figyelembe kell venni, tehát 6543 megfelelő, de 6534 nem megfelelő).
17. Ebben a feladatban egy kocka oldallapjait kell kiszínezni, minden oldallap pontosan 1 színt kap, vagy pirosat vagy kéket vagy zöldet. Két oldallapot szomszédosnak mondunk, ha van közös élük. A színezés során be kell tartani azt a szabályt, hogy két szomszédos lap nem kaphatja ugyanazt a színt. Hány különböző színezés lehetséges (nem tekintünk különbözően színezettnek két kockát, ha elmozgatással olyan helyzetbe hozhatók, hogy a két kockán az azonos helyzetű oldallapok színe azonos).
18. Mennyi a maximuma az egy naptári évben előforduló "péntek 13" napoknak? (Azt nevezzük "péntek 13" napnak, amikor valamelyik hónapban 13-a péntekre esik. Naptári év: január 1. és (ugyanezen év) december 31. közötti időszak. Ebben a feladatban nem kell megmondani, hogy ténylegesen melyik naptári évben fordult elő a maximum, csak azt, hogy a "péntek 13" napokból egy naptári évben mennyi a lehetséges legtöbb.) Emlékeztetőül a hónapok neve, és az, hogy hány napból állnak: Január 31 nap Július Február 28 (szökőévben 29) nap Augusztus Március 31 nap Szeptember Április 30 nap Október Május 31 nap November Június 30 nap December
31 nap 31 nap 30 nap 31 nap 30 nap 31 nap
19. Az alábbi 3x3-as négyzet alakú táblán két játékos (Első Elemér és Második Miklós) játszanak.
A játék azzal kezdődik, hogy Első Elemér a kilenc mezőből egyet kiválaszt és azt befesti feketére. Második Miklós feladata az, hogy négy darab 1x2-es dominóval az összes fehéren maradt mezőt lefedje. Lehet a dominókat vízszintesen (a mellékelt ábra szerinti helyzetben) vagy függőlegesen elhelyezni, minden dominó pontosan két mezőt kell hogy lefedjen. A dominók nem fedhetik sem egymást, sem az Első Elemér által feketére festett mezőt.
Második Miklós nyer, ha sikerül elhelyeznie a négy dominót a fenti szabályok szerint, ellenkező esetben Első Elemér nyer. Barátjuk Harmadik Henrik nézi a játékot, majd így szól: Ez a játék igazságtalan, Második Miklós számára igazságtalanul előnyös, mert akárhogyan is választja ki Első Elemér a feketére festendő mezőt, mindig el lehet helyezni a négy dominót a fenti szabályoknak megfelelően. Igaz-e, Harmadik Henrik fenti állítása?
20. A nyelviskola nyári intenzív (napi 16 órás) angol kurzust hirdetett, amelyre 30 tanuló jelentkezett, így három (egyenként tízfős) csoport indul, a csoportok jele A,B,C. Ebben a feladatban a 30 tanulót csoportokba kell sorolni (minden tanuló az A,B,C csoportok közül pontosan 1 csoportba fog tartozni). Az A csoport tanára nem dohányzik, és nem is tűrné, hogy a csoportban bárki dohányozzon, a B csoport tanára nem dohányzik, de őt nem zavarja, ha valaki más dohányzik, a C csoport tanára szenvedélyes dohányos. A tanulókat megkérdezték dohányzási szokásaikról, és az alábbi eredményt kapták: 10 tanuló nem dohányzik, és nem is tűrné, hogy a csoportban bárki dohányozzon, 10 tanuló nem dohányzik, de nem zavarná, ha a csoportban mások dohányoznának, 10 tanuló szenvedélyes dohányos. Hányféleképpen lehet a 30 tanulót a három csoportba besorolni úgy, hogy senkinek se kelljen megváltoztatnia dohányzási szokásait? (Az egyes csoportokon belüli sorrend nem számít, csak az, ki kerül az A, vagy a B vagy a C csoportba.)
21. Egy háromjegyű számról azt mondjuk “jó”, ha egymás után növekvő sorrendben szerepel benne három (nem feltétlenül egymást követő) számjegy. Tehát 133 nem jó 134 jó 869 nem jó 986 nem jó 689 jó Hány “jó” háromjegyű szám van 100 és 999 között?
22. A 111-es villamos az A és B végállomás között közlekedik, mindkét végállomásról 10 percenként indul egy szerelvény. Az A végállomásról a kocsi 45 perc alatt ér a B végállomásra, itt 15 percet áll, majd ugyanazon az útvonalon 45 perc alatt ér vissza az A végállomásra, ahol 15 percet áll, majd indul újra a B végállomás felé. Amíg a 111-es villamos A-ból B-be ér, elhalad mellette néhány, vele szembe jövő 111es villamos, melyek B-ből A-ba tartanak. Hány szembejövő villamossal találkozik egy villamos az A-ból B-be tartó 45 perces útja során?
23. Egy négyjegyű számról azt mondjuk “jó”, ha egymás után növekvő sorrendben szerepel benne három egymást követő számjegy. Tehát 3245 nem jó 3788 nem jó 3789 jó 5432 nem jó 3456 jó Hány “jó” négyjegyű szám van 1000 és 9999 között?
24. Mama főzött 10 (egyforma) túrógombócot. Az aztalnál három gyerek ül: András, Bea, Csaba. A gombócok kiosztásánál Mama ezt a szabályt követi: 2 gyerek együttvéve több gombócot kap, mint 1 gyerek egyedül (ezt a szabályt úgy kell érteni, hogy bárhogyan választunk ki két gyereket a három közül, ők ketten együtt több gombócot kell hogy kapjanak, mint amennyit a harmadik gyerek kap). Hányféleképp lehet a három gyerek között kiosztani a 10 gombócot a fenti szabály betartása mellett?
25. A következő feladatban egy kocka 8 csúcsát, mint egy-egy várost kell elképzelni. A kocka élei mentén a városok között repülőjáratok közlekednek. A kocka minden csúcsából 3 él indul ki, ennek megfelelően minden városból 3 másik városba van közvetlen járat. Minden repülőgép délben indul (minden délben 3x8=24 gép) és este érkezik a megfelelő városba. Az egyik városban van 1 rabló, amíg szabadlábon van, minden délben eldöntheti, melyik gépre száll fel (dönthet úgy is, hogy egyikre sem, és a városban marad). A rablót üldözi 2 rendőr. A rabló mindig tudja, hogy a rendőrök melyik városban vannak. A rendőr mindig tudja, hogy a rabló melyik városban van, és hogy a másik rendőr melyik városban van. Mindhárman kizárólag az említett repülőjáratokon közlekednek. A rendőrök még azt is tudják, hogy aznap délben a rabló melyik repülőre fog felszállni, és ennek ismeretében választhatják ki saját repülőjárataikat. A rabló minden estéjét a város legsötétebb kocsmájában tölti (mindig annak a városnak a legsötétebb kocsmájában, ahol éppen van). Ha legalább az egyik a 2 rendőrből ugyanebben a városban van, este a kocsmában elfogja a rablót. Hétfő reggel van, a rendőrök most kezdik a rabló üldözését. A kocka testátlójának egyik végpontjában van a rabló, a testátló másik végpontjában a 2 rendőr (a későbbiekben a 2 rendőr nem köteles ugyanabban a városban tartózkodni). Igaz-e, hogy a rabló bármit is tesz (a fenti szabályok betartása mellett), a rendőrök legkésőbb szerdán el tudják fogni.
26. A mi metróállomásunkon a mozgólépcső adatai az alábbiak - hossza 60 lépcsőfok (ez az jelenti, hogy ha a lépcső áll, akkor 60 lépcsőfokot kell menni a legalsó foktól a lépcső tetejéig) - menetideje 30 mp (ez azt jelenti, hogy ha a lépcső felfelé megy, és én felállok a legalsó fokra, akkor 30 másodperc alatt, anélkül, hogy egyetlen lépést is tennék, elérek a lépcső tetejéig). Kati azonban másodpercenként 1 lépcsőfokot lép felfelé (ez azt jelenti, hogy ha a mozgólépcső áll, akkor Kati 60 mp alatt ér el a legalsó foktól a lépcső tetejéig). Ha a lépcső felfelé megy, és közben Kati másodpercenként 1 lépcsőfokot lép felfelé, akkor mennyi idő alatt ér el a legalsó foktól a lépcső tetejéig?
27. A digitális óra kijelzője 24-órás üzemmódban működik, tehát a reggel háromnegyed nyolc 7:45 alakban jelenik meg, a két perc múlva este kilenc pedig 20:58 alakban jelenik meg. Egy nap alatt összesen 24x60= 1440 különböző kijelzés jelenik meg, az első érték 0:00, az utolsó érték 23:59. Hány olyan kijelzés van az 1440 között, amelyben nem szerepel a “3” számjegy
28. Dobozos narancslevet veszünk, 4 (négy) dobozzal, mind HEJDEJÓ márkájú. Az első dobozban 1,5 (másfél) liter narancslé van, 20%-os a gyümölcshányaddal, a második dobozban 1 liter narancslé van, 30%-os gyümölcshányaddal, a harmadik dobozban 1 liter narancslé van, 60%-os gyümölcshányaddal, a negyedik dobozban 0,2 liter (=2 deciliter) narancslé van, 100%-os gyümölcshányaddal. A négy doboz tartalmát összeöntjük, így kapunk összesen 3,7 liter HEJDEJÓ narancslevet. Mennyi lesz az így összeöntött narancslé gyümölcshányada?
29. Húsz gyerek körtáncot jár (tehát mindenkinek van egy bal oldali szomszédja és egy jobb oldali szomszédja). Lehetséges-e, hogy az alábbi mindhárom állítás teljesül: - a körtáncban 10 fiú és 10 lány vesz részt - a 10 fiú között pontosan 1 van, akinek nincs lány szomszédja (tehát mindkét szomszédja fiú) a 10 lány között pontosan 4 van, akinek nincs fiú szomszédja (tehát mindkét szomszédja lány).
30. A Csalók És Gazemberek szövetsége (a továbbiakban: a CÉG) elnöksége öttagú. Az alapszabály úgy rendelkezik, hogy a CÉG páncélszekrénye három elnökségi tag egyetértése esetén nyitható. A CÉG páncélszekrényén 10 (tíz) darab zár van. A páncélszekrény akkor nyílik, ha a tíz zárból legalább kilenc (bármelyik kilenc) nyitva van. A páncélszekrény minden kulcsa 10 példányban áll rendelkezésre (ez tehát összesen 10x10=100 darab kulcs), a kulcsok másolhatatlanok. Ebből a 100 kulcsból néhányat a Dunába dobnak, a többit szétosztják a CÉG elnökségi tagjai között. Hogyan kell ezt a szétosztást elvégezni, ha azt akarják, hogy bármely három elnökségi tag együtt, a rendelkezésére álló kulcsokkal nyitni tudja a páncélszekrényt. (A szétosztásnak olyannak kell lenni, hogy semelyik két elnökségi tag ne rendelkezzen annyi kulccsal, hogy együttesen nyitni tudják a páncélszekrényt.)
31. Leírjuk az egész számokat 1 től 1999-ig a követekezőképpen: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,…,98,99,100,101,102,103,…,998,999,1000,1001,…,1998,1999 Hány alkalommal írtuk le ezenközben a “2” számjegyet?
32. Az alábbiakban a szabályos négyzetrácsnak az 5x5-ös négyzet alsó háromszögében levő pontjait ábrázoltuk: o o o o o
o o o o o o o o o o
Ebből a 15 pontból úgy kell kiválasztani négyet úgy, hogy a kiválasztott négy pont, mint csúcspont egy négyzetet határozzon meg. Hányféleképpen választható ki a 15 pontból négy a fenti szabály betartásával? (a pontok kiválasztásának sorrendje nem számít)
33. Beleírjuk a számítógépünk szövegszerkesztőjébe az egész számokat 1 től 999-ig a követekezőképpen: egy kettő három … tíz tizenegy tizenkettő … kilencvenkilenc száz százegy százkettő … kilencszázkilencvennyolc kilencszázkilencvenkilenc A szövegszerkesztő megszámolja, hogy a számok listája hány karaktert (=betűhelyet) tartalmaz (tehát a fenti szövegben szóköz nincs, soremelést a szövegszerkesztő nem számol, viszont pl. az “ny” hangot két karakternek számolja). Hány karaktert tartalmaz a számok fenti listája?
V A A K K K A A D A B B B B B L L L L L L A A A A A A A K K K K K K K K 34. A fenti ábrában olyan utakat keresünk, amely mentén a VAKABLAK szó olvasható. A szabály az, hogy a felső V betűtől kell indulni, és az út során minden lépésben vagy jobbra le, vagy balra kell haladni. Hány különböző út van az ábrában, amelynek mentén a VAKABLAK szó olvasható? (Figyelem, a negyedik sor: A A D A)
35. Összeadjuk az egész számokat 1 től 1999-ig a követekezőképpen: 1+2+..+11+12+…+99+100+101+102+103+…+999+1000+1001+…+1998+1999= ? Azt nem kell megmondani, hogy mennyi ez az összeg, csak azt, hogy mi az utolsó számjegye.
36.
K. úr ruhatára az alábbi darabokból áll: két pár cipõ, az egyik pár világos, a másik pár sötét színû két pár zokni, az egyik pár világos, a másik pár sötét színû két nadrág, az egyik világos, a másik sötét színû két mellény, az egyik világos, a másik sötét színû két zakó, az egyik világos, a másik sötét színû két kalap, az egyik világos, a másik sötét színû. Az ízléses öltözködés szabályait K. úr felesége az alábbiak szerint határozta meg: nem ízléses világos cipõhöz sötét zoknit, világos zoknihoz sötét nadrágot, világos nadrághoz sötét mellényt, világos mellényhez sötét zakót, világos zakóhoz sötét kalapot felvenni, minden más összeállítás ízléses (a felemás zokni vagy felemás cipõ kizárva). Ma reggel K. úr a ruhatárából kiválaszt egy pár cipõt, egy pár zoknit, egy nadrágot, egy mellényt, egy zakót és egy kalapot. Hányféleképpen választhat, ha azt akarja, hogy öltözködése a felesége szabályai szerint ízlésesnek minõsüljön.
37.
A Bergengóc Parlamentben 300 képviselõ van, 200 kormánypárti (közülük 20 nõ) 100 ellenzéki (közülük 10 nõ). A Bergengóc Parlament úgy határozott, hogy háromtagú bizottságot hoz létre úgy, hogy a bizottságba megválasztott képviselõk között - legyen kormánypárti is és ellenzéki is - legyen férfi is és nõ is - de ne legyen kormánypárti férfi. Hány különbözõ bizottságot lehet a fenti szabály betartásával választani? (Akkor különbözõ két bizottság, ha legalább egy tagja különbözõ, de az nem számít, hogy a tagokat milyen sorrendben választották)
38.
Az elõadóteremben 25 szék van, 5 sorban, 5 oszlopban, minden széken ül egy hallgató. A 25 hallgató testmagassága (centiméterben): 171, 172, 173, 174, ... ,194, 195 A következõkben leírjuk az X és az Y eljárást, melyek mindegyikével kiválasztunk egy hallgatót: X: minden sorból kiválasztjuk a legmagasabbat, és közülük a legalacsonyabbat Y: minden oszlopból kiválasztjuk a legalacsonyabbat, és közülük a legmagasabbat Rendezzük el a 25 hallgatót 5 sorba, 5 oszlopba úgy, hogy az X eljárással kiválasztott hallgató ugyanaz legyen, mint az Y eljárással kiválasztott.
39.
Az elõadóteremben 25 szék van, 5 sorban, 5 oszlopban, minden széken ül egy hallgató. A 25 hallgató testmagassága (centiméterben): 171, 172, 173, 174, ... ,194, 195 A következõ 3 példa csak arra szolgál, hogy szemléltessük, mit értünk hallgatók egy csoportjára nézve a 'középsõ magasságú' kifejezésen: - az (171,190,191) magasságú három hallgató közül 190 cm a középsõ magasságú - az (171,172,173,190,191) magasságú öt hallgató közül 173 cm a középsõ magasságú - az (171,172,...,194,195) azaz mind a 25 hallgató közül 183 cm a középsõ magasságú Most leírunk egy eljárást, amely kiválasztja az X hallgatót: - minden sorból kiválasztjuk a középsõ magasságút - ezen 5 kiválasztott hallgató közül kiválasztjuk a középsõ magasságút, õ az X hallgató Lehetséges-e, hogy az X hallgató A. 180 cm magas B. 190 cm magas
40.
Az elõadóteremben 25 szék van, 5 sorban, 5 oszlopban, minden széken ül egy hallgató. A 25 hallgató testmagassága (centiméterben): 171, 172, 173, 174, ... ,194, 195 Most leírunk egy eljárást, amely kiválasztja az X hallgatót: - az elsõ sor álljon fel (állnak öten) - az állók közül üljön le a legmagasabb és a legalacsonyabb (állva marad három) - az állók közül üljön le a legmagasabb és a legalacsonyabb (állva marad egy) - az állva maradt hallgató menjen át a másik szobába - a második sor álljon fel (állnak öten) - az állók közül üljön le a legmagasabb és a legalacsonyabb (állva marad három) - az állók közül üljön le a legmagasabb és a legalacsonyabb (állva marad egy) - az állva maradt hallgató menjen át a másik szobába ... ugyanez ismétlõdik a harmadik, negyedik, ötödik sorra - a másik szobában összegyûlt hallgatók álljanak fel (állnak öten) - az állók közül üljön le a legmagasabb és a legalacsonyabb (állva marad három) - az állók közül üljön le a legmagasabb és a legalacsonyabb (állva marad egy) - az X hallgató az, aki most állva maradt Lehetséges-e, hogy az X hallgató A. 180 cm magas B. 190 cm magas
41.
Leírjuk a természetes számokat 'egy'-tõl 'egymillió'-ig a következõképpen: egy kettõ három ... kétszázhetvenkettõ ... négyszázhuszonhétezerötszáztizenhét ... kilencszázkilencvenkilencezerkilencszázkilencvennyolc kilencszázkilencvenkilencezerkilencszázkilencvenkilenc egymillió Tehát minden számot külön sorba írunk, így keletkezik egymillió sor. Hány olyan sor van ezen egymillió között, amelyben nem szerepel az 'r' betû?
42
A Mogyoróscsoki Mûvek gyermekrajzversenyén 10 pályázót értékeltek, 5 darab harmadik díjat, 3 darab második díjat és 2 darab elsõ díjat adnak ki. A díjalap 25 egyforma tábla mogyoróscsoki, melynek elosztására nézve a zsûri az alábbi szabályokat tekinti irányadónak: - minden díjazott kap mogyoróscsokit, mind a 25 táblát szétosztják, de tábla csokit eltörni nem szabad, tehát mindenki (valahány) egész tábla csokit kap - azonos helyezésért azonos számú tábla mogyoróscsoki jár - jobb helyezésért több tábla mogyoróscsoki jár. Ezen szabályok betartása mellett hányféleképpen lehet a 25 tábla csokit a 10 díjazott között szétosztani?
43.
Bergengócfalva határában van egy (méterben számolva) 800x800 -as terület, melyet (8 sorban és 8 oszlopban) 64 darab 100x100 -as parcellára osztottak. A területet a helybeliek így nevezik: 'sakktábla', a terület 64 parcelláját pedig így nevezik: 'a sakktábla 64 mezõje'. Egy mezõnek általában 8 szomszédja van (2 jobbra-balra, 2 elõre-hátra és 4 átlósan), de persze csak azoknak a mezõknek van 8 szomszédjuk, melyek nem a sakktábla szélén vagy a sarkában vannak. A sakktábla szélén levõ mezõnek 5 szomszédja van, a sakktábla sarkában levõ mezõnek 3 szomszédja van. A Bergengócfalvi Önkormányzatnak ma lehetõsége van, hogy bármely mezõt vagy mezõket védetté nyilvánítson. Holnaptól ez a lehetõsége megszûnik. Holnap nyilvános árverés lesz, amelyen bárki megveheti a 64 mezõ bármelyikét. Közismert, hogy a Bergengóc Bûzkibocsátó Mûvek meg akarja venni az egyik mezõt hogy ott bûzkibocsátó telepet létesítsen. Az érvényes szabályok: - tilos bûzkibocsátó telepet létesíteni olyan mezõn, amely a sakktábla szélén vagy a sarkában van - tilos bûzkibocsátó telepet létesíteni olyan mezõn, amely védett, vagy van védett szomszédja. Az Önkormányzat néhány mezõt ma védetté nyilvánít és ezzel megakadályozza a Bûzkibocsátó Mûvek tervét, bármi történjék is a holnapi árverésen. Legalább hány mezõt kell ehhez védetté nyilvánítani?
44.
A Bergengóc Kenó szerencsejáték egy szelvényén 1,2,..,80 számok közül 10-et kell választani (egy szelvény Bergengóciában csak akkor érvényes, ha a 80 közül pontosan 10 szám van beikszelve). A nagymama azt mondta nekem: - Vegyél 9 szelvényt és töltsd ki õket érvényesen. Egyetlen kérésem van, hogy minden szelvényen más számokat jelölj meg. - Sajnos ez lehetetlen, mert 9 szelvényen összesen 90 darab számot kell választani a 80-ból, ezért ezek nem lehetnek mind különbözõk válaszoltam én.
- Hát ez igaz, - mondta a nagymama. Akkor az elõzõ kérést visszavonom, és azt kérem, hogy úgy töltsd ki a szelvényeket, hogy mind a 9 érvényes legyen, és ha én ebbõl a 9-bõl akárhogy kiveszek 2 szelvényt, akkor e kettõ között legfeljebb 1 szám ismétlődjék. (A nagymama természetesen nem azt kéri, hogy ugyanaz az 1 szám ismétlõdjék a szelvények között, hanem azt, hogy bármelyik 2 szelvényen összesen vagy 20 különbözõ szám legyen beikszelve, vagy 19 darab különbözõ szám, és ilyenkor persze az egyik szám mindkét szelvényen szerepel). Teljesíthetõ-e a nagymama kérése, vagy megint lehetetlent kíván?
45.
Bergengóciában a következõ címletû pénzek vannak forgalomban: 50 picula (papír és fém) 100 picula (papír és fém) 200 picula (fém) 300 picula összeget kell kifizetni. Az azonos címletû papír és fém pénzeket megkülönböztetjük, de egy kifizetésen belül a pénzek sorrendjét nem, tehát az A. 300 = 2x50 fém + 2x50 papír + 1x100 papír B. 300 = 2x50 papír + 2x50 fém + 1x100 papír C. 300 = 3x50 papír + 1x50 fém + 1x100 papír kifizetések közül az A. és B. különbözõ kifizetés de B. és C. két különbözõ kifizetés Hány különbözõ módon lehet ezekkel a pénzekkel 300 picula összeget kifizetni?
46.
A Bergengóciában az egyetemi hallgatók száma 30000. Minden hallgató vagy fehér vagy fekete. A fehér hallgatók 10 százaléka tagja az egyetemi sport- klubnak, a fekete hallgatók 80 százaléka tagja az egyetemi sportklubnak, az egyetemi sportklub tagjainak 80 százaléka fekete (az egyetemi sportklubnak Bergengóciában csak az egyetem hallgatója lehet tagja). Megállapítható-e a fenti adatokból, hogy hány tagja van Bergengóciában az egyetemi sportklubnak? (ha igen, akkor meg kell mondani, mennyi)
47.
A bergengóc választási kampány alatt a következõ kijelentések hangzottak el: - az A párt csak akkor vesz részt a kormányban, ha a B párt is részt vesz, de a C párt nem - X csak akkor vállalja a miniszterelnökséget, ha a C és a D pártok közül legalább az egyik részt vesz a kormányban - a D párt csak akkor vesz részt a kormányban, ha kikiáltják a királyságot Bergengóciában a választások után megalakult a kormány. Az A párt bekerült a kormányba és a királyságot nem kiáltották ki. Lehet-e ebben a kormányban X miniszterelnök? (Bergengóciában mindenki tartja magát a választási kampány során elhangzott kijelentéseihez)
48.
Pistike tegnap 1-est kapott számtanból. Ha a nagymama ezt tudja, nem ad Pistikének rétest ma estére. Pistike azt az 1-est tegnap aláíratta, vagy a papával, vagy a mamával. Ha a mamával íratta alá, akkor a mama tegnap elmondta a dolgot a nagymamának. Ha a papával íratta alá, akkor a papa tegnap felhívta a nagymamát telefonon, és elmondta neki a dolgot, feltéve, hogy tegnap mûködött a telefon. A mama és a papa nem beszélnek egymással. Pistike ma este a nagymamánál volt, és kapott rétest estére. Következik-e ebbõl, hogy tegnap nem mûködött a telefon?
