07 I. szemeszter

Praktikum II. Dr. Szilágyi Ibolya [email protected] Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger

2006/07 I. szemeszter

Dr. Szilágyi Ibolya (EKF)

Praktikum

2006/007

1 / 125

Outline Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Kúpszeletek Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Hasonlósági transzformációk Síkgeometriai alakzatok. Háromszögek Négyszögek Térbeli alakzatok. Kerület, terület, térfogat, felszín.


Praktikum

2006/007

2 / 125

Alapfogalmak, ponthalmazok.

Axiomatikus felépítés



Praktikum

2006/007

3 / 125



Axiómák

Munka nélkül nincs kenyér sem geometria.


Praktikum

2006/007

4 / 125



Axiómák

Munka nélkül nincs kenyér sem geometria. Euklidész, görög matematikus, I.Ptolemaiosz idejében Alexandriában tanított. Legismertebb muve ˝ a Stoichea (Elemek, csaknem minden nyelvre le van fordítva) 15 könyve. Ez a matematika elemeinek legrégebbi ránk maradt rendszeres összefoglalása. Az Elemek összefoglaló írásmu, ˝ de csak a geometria és az aritmetika elemeit tartalmazza. Az Elemeket a korát meghaladóan kifinomult deduktív módszer, a geometria axiomatikus feldolgozása tette halhatatlanná.


Praktikum

2006/007

4 / 125



Axiómák

Munka nélkül nincs kenyér sem geometria. Euklidész, görög matematikus, I.Ptolemaiosz idejében Alexandriában tanított. Legismertebb muve ˝ a Stoichea (Elemek, csaknem minden nyelvre le van fordítva) 15 könyve. Ez a matematika elemeinek legrégebbi ránk maradt rendszeres összefoglalása. Az Elemek összefoglaló írásmu, ˝ de csak a geometria és az aritmetika elemeit tartalmazza. Az Elemeket a korát meghaladóan kifinomult deduktív módszer, a geometria axiomatikus feldolgozása tette halhatatlanná. alapfogalmak, definíciók, axiómák, tételek


Praktikum

2006/007

4 / 125



Axiómák

Munka nélkül nincs kenyér sem geometria. Euklidész, görög matematikus, I.Ptolemaiosz idejében Alexandriában tanított. Legismertebb muve ˝ a Stoichea (Elemek, csaknem minden nyelvre le van fordítva) 15 könyve. Ez a matematika elemeinek legrégebbi ránk maradt rendszeres összefoglalása. Az Elemek összefoglaló írásmu, ˝ de csak a geometria és az aritmetika elemeit tartalmazza. Az Elemeket a korát meghaladóan kifinomult deduktív módszer, a geometria axiomatikus feldolgozása tette halhatatlanná. alapfogalmak, definíciók, axiómák, tételek axiómák: a valóságot tükrözo˝ egyszeru˝ megállapítások... Tapasztalaton alapulnak, a valóságból absztrakcióval származnak. A teljes geometria felépítheto˝ a kimondott axiómákból logikai úton.


Praktikum

2006/007

4 / 125



Alapveto˝ térelemek

Geometria: A tér pontjaiból álló alakzatokkal(ponthalmaz) foglalkozik.


Praktikum

2006/007

5 / 125




Geometria: A tér pontjaiból álló alakzatokkal(ponthalmaz) foglalkozik. térelemek: pont, egyenes, sík Jelölés: pont A, B, C, . . . , egyenes a, b, c, . . . , sík α, β, γ, . . . .


Praktikum

2006/007

5 / 125




Geometria: A tér pontjaiból álló alakzatokkal(ponthalmaz) foglalkozik. térelemek: pont, egyenes, sík Jelölés: pont A, B, C, . . . , egyenes a, b, c, . . . , sík α, β, γ, . . . . lineáris, síkbeli, térbeli alakzatok


Praktikum

2006/007

5 / 125




Geometria: A tér pontjaiból álló alakzatokkal(ponthalmaz) foglalkozik. térelemek: pont, egyenes, sík Jelölés: pont A, B, C, . . . , egyenes a, b, c, . . . , sík α, β, γ, . . . . lineáris, síkbeli, térbeli alakzatok I I

Két alakzat közös része: a két alakzat közös pontjaiból áll. Két alakzat egyesítése: azon pontok alkotják, melyeket a két alakzat közül legalább az egyik tartalmaz.


Praktikum

2006/007

5 / 125



Illeszkedés Ha két térelem egyike tratalmazza a másikat, akkor a két térelem illeszkedik. ˝ Az egy egyenesre illeszkedo˝ pontok kollineárisak, az egy síkra illeszkedok koplanárisak.


Praktikum

2006/007

6 / 125



Illeszkedés Ha két térelem egyike tratalmazza a másikat, akkor a két térelem illeszkedik. ˝ Az egy egyenesre illeszkedo˝ pontok kollineárisak, az egy síkra illeszkedok koplanárisak. Illeszkedési axiómák: I Két ponthoz egy és csak egy egyenes illeszkedik. II Ha három pont nincs egy egyenesen, akkor egy és csak egy sík illeszkedik hozzájuk. III Ha egy sík tartalmazza egy egyenes két pontját, akkor tartalmazza a teljes egyenest is.


Praktikum

2006/007

6 / 125



Illeszkedés Ha két térelem egyike tratalmazza a másikat, akkor a két térelem illeszkedik. ˝ Az egy egyenesre illeszkedo˝ pontok kollineárisak, az egy síkra illeszkedok koplanárisak. Illeszkedési axiómák: I Két ponthoz egy és csak egy egyenes illeszkedik. II Ha három pont nincs egy egyenesen, akkor egy és csak egy sík illeszkedik hozzájuk. III Ha egy sík tartalmazza egy egyenes két pontját, akkor tartalmazza a teljes egyenest is. I I

Két egyenesnek legfeljebb egy közös pontja van, különben azonosak. Ha egy egyenes nem illeszkedik egy síkhoz, akkor legfeljebb egy közös pontjuk van.


Praktikum

2006/007

6 / 125



Illeszkedés Ha két térelem egyike tratalmazza a másikat, akkor a két térelem illeszkedik. ˝ Az egy egyenesre illeszkedo˝ pontok kollineárisak, az egy síkra illeszkedok koplanárisak. Illeszkedési axiómák: I Két ponthoz egy és csak egy egyenes illeszkedik. II Ha három pont nincs egy egyenesen, akkor egy és csak egy sík illeszkedik hozzájuk. III Ha egy sík tartalmazza egy egyenes két pontját, akkor tartalmazza a teljes egyenest is. I I

Két egyenesnek legfeljebb egy közös pontja van, különben azonosak. Ha egy egyenes nem illeszkedik egy síkhoz, akkor legfeljebb egy közös pontjuk van.

legfeljebb, legalább, egy és csak egy fogalmak... Dr. Szilágyi Ibolya (EKF)

Praktikum

2006/007

6 / 125



Az egyenest egy pont két félegyenesre bontja. A pont a két félegyenes ˝ kezdopontja. Egy egynest két pontja egy szakaszra és két félegyenesre bontja. A két pont a szakasz két végpontja. A síkot egy egyenes két félsíkra bontja. A teret egy sík két féltérre vágja.


Praktikum

2006/007

7 / 125



Az egyenest egy pont két félegyenesre bontja. A pont a két félegyenes ˝ kezdopontja. Egy egynest két pontja egy szakaszra és két félegyenesre bontja. A két pont a szakasz két végpontja. A síkot egy egyenes két félsíkra bontja. A teret egy sík két féltérre vágja. IV Egy pont a rajta áthaladó egyenest két félegyenesre bontja. Az egyenes e ponton áthaladó szakaszának végpontjai más-más félegyeneshez tartoznak. Az egyenes minden más szakaszát az egyik félegyenes tartalmazza. V Egy egyenes a rajta átfektetett síkot két félsíkra bontja. Az egyenest metszo˝ síkbeli szakasznak a végpontjai más-más félsíkhoz tartoznak. A sík minden más szakaszát legalább az egyik félsík tartalmazza. VI Egy sík a teret két féltérre bontja. A síkot metszo˝ szakasz végpontjai más-más fáltérhez tartoznak. Minden más szakaszt legalább az egyik féltér tartalmaz.


Praktikum

2006/007

7 / 125



Mozgás Ha egy A ponttér pontjaihoz egy B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelmuen ˝ rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek nevezzük. Ha a teret önmagára képezzük le, akkor a tér transzformációjáról beszélünk.


Praktikum

2006/007

8 / 125



Mozgás Ha egy A ponttér pontjaihoz egy B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelmuen ˝ rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek nevezzük. Ha a teret önmagára képezzük le, akkor a tér transzformációjáról beszélünk. A transzformációk jellemzésére az szolgál, hogy milyen geometriai ˝ tulajdonságot oríznek meg, azaz mit hagynak invariánsan. Alapveto˝ invariáns tulajdonság az egyenestartás és illeszkedéstartás.


Praktikum

2006/007

8 / 125



Mozgás Ha egy A ponttér pontjaihoz egy B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelmuen ˝ rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek nevezzük. Ha a teret önmagára képezzük le, akkor a tér transzformációjáról beszélünk. A transzformációk jellemzésére az szolgál, hogy milyen geometriai ˝ tulajdonságot oríznek meg, azaz mit hagynak invariánsan. Alapveto˝ invariáns tulajdonság az egyenestartás és illeszkedéstartás. Ha egy alakzat mozog, akkor pontjai új helyzetbe kerülnek, de lehetnek helyben maradó pontjai is. Mozgás közben az alakzat alakja nem változik. Minden mozgáshoz tartozik egy ellentétes mozgás. Ha az elmozgatott alakzatot tovább mozgatjuk, akkor az eredeti alakzatból mozgással származó alakzatokat kapunk. Két mozgás egymásutánja egy mozgást ad.


Praktikum

2006/007

8 / 125



Mozgás Ha egy A ponttér pontjaihoz egy B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelmuen ˝ rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek nevezzük. Ha a teret önmagára képezzük le, akkor a tér transzformációjáról beszélünk. A transzformációk jellemzésére az szolgál, hogy milyen geometriai ˝ tulajdonságot oríznek meg, azaz mit hagynak invariánsan. Alapveto˝ invariáns tulajdonság az egyenestartás és illeszkedéstartás. Ha egy alakzat mozog, akkor pontjai új helyzetbe kerülnek, de lehetnek helyben maradó pontjai is. Mozgás közben az alakzat alakja nem változik. Minden mozgáshoz tartozik egy ellentétes mozgás. Ha az elmozgatott alakzatot tovább mozgatjuk, akkor az eredeti alakzatból mozgással származó alakzatokat kapunk. Két mozgás egymásutánja egy mozgást ad. VII A mozgás két pont összekto˝ szakaszát a két elmozgatott pont összeköto˝ szakaszába, az egyenest egyenesbe, a síkot síkba visz. VIII Egy és csak egy olyan térmozgás van, amely egy adott félsíkot és ennek határán adott félegyenest megadott helyzetbe, egy adott félsíkba és ennek határán adott félegyenesbe visz át. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF)

Praktikum

2006/007

8 / 125



Szakaszmérés

˝ ha van olyan mozgás, mely egyiket a másikba viszi. Ha Két szakasz egyenlo, ˝ akkor az a nagyobb, amely tartalmaz a másikkal két szakasz nem egyenlo, egyenlo˝ szakaszt. Ha egy szakaszt hosszegységnek választunk, akkor a szakaszokat pozitív valós számokkal mérhetjük.


Praktikum

2006/007

9 / 125



Szakaszmérés

˝ ha van olyan mozgás, mely egyiket a másikba viszi. Ha Két szakasz egyenlo, ˝ akkor az a nagyobb, amely tartalmaz a másikkal két szakasz nem egyenlo, egyenlo˝ szakaszt. Ha egy szakaszt hosszegységnek választunk, akkor a szakaszokat pozitív valós számokkal mérhetjük. IX Egy szakaszt bármely belso˝ pontja két olyan szakaszra bont fel, melyek hosszának összege az eredeti szakasz hossza. ˝ X Ha a hosszegység adott, akkor bármely A kezdopontú félegyenesen egy és csak egy olyan B pont található, amelyre nézve az AB távolság egy adott pozitív valós szám.


Praktikum

2006/007

9 / 125



Párhuzamos egyenesek: Definíció Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk. Párhuzamosaknak mondjuk a párhuzamos egyenesek által tartalmazott félegyeneseket és szakaszokat is. A párhuzamosság jele: k, a nem párhuzamosság jele: ∦.


Praktikum

2006/007

10 / 125



Párhuzamos egyenesek: Definíció Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk. Párhuzamosaknak mondjuk a párhuzamos egyenesek által tartalmazott félegyeneseket és szakaszokat is. A párhuzamosság jele: k, a nem párhuzamosság jele: ∦.

Theorem Van olyan egyenes, amely egy megadott ponton áthalad, s egy a ponton át nem haladó, megadott egyenessel párhuzamos. Bizonyítás!!! A tétel a párhuzamos létezését mondja ki, s bizonyítása szerkesztési utasítást is ad. Ha egy egyenest egy rajta kívül feko˝ pontra vonatkozóan tükrözünk, akkor párhuzamos egyenesekhez jutunk.


Praktikum

2006/007

10 / 125



Axióma

Egy egyeneshez bármely külso˝ ponton át lehet párhuzamost húzni. A szemlélet alapján úgy tunik, ˝ csak egy ilyen egyenes van, ezt azonban logikai úton bizonyítani nem lehet.


Praktikum

2006/007

11 / 125



Axióma

Egy egyeneshez bármely külso˝ ponton át lehet párhuzamost húzni. A szemlélet alapján úgy tunik, ˝ csak egy ilyen egyenes van, ezt azonban logikai úton bizonyítani nem lehet. Párhutamossági axióma: Egy ponton át csak egy olyan egyenes halad, amely egy a ponton át nem haladó egyenessel párhuzamos. (A tétel kimondja, hogy legalább egy párhuzamos van, az axióma hangsúlyozza, hogy nincs több.)


Praktikum

2006/007

11 / 125



Axióma

Egy egyeneshez bármely külso˝ ponton át lehet párhuzamost húzni. A szemlélet alapján úgy tunik, ˝ csak egy ilyen egyenes van, ezt azonban logikai úton bizonyítani nem lehet. Párhutamossági axióma: Egy ponton át csak egy olyan egyenes halad, amely egy a ponton át nem haladó egyenessel párhuzamos. (A tétel kimondja, hogy legalább egy párhuzamos van, az axióma hangsúlyozza, hogy nincs több.) A párhuzamossági axióma Euklidesz ötödik posztulátuma. Már Euklidesz is ˝ levezetni . . . megkisérelte a párhuzamossági axiómát a többibol


Praktikum

2006/007

11 / 125



Szög

Egy pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen részt szögnek, vagy szögtartománynak nevezünk. A félegyenesek a szög szárai, a közös pont a szög csúcsa. A szög jele: ^


Praktikum

2006/007

12 / 125



Szög

Egy pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen részt szögnek, vagy szögtartománynak nevezünk. A félegyenesek a szög szárai, a közös pont a szög csúcsa. A szög jele: ^ ˝ ha mozgással fedésbe hozhatók. Két nem egyenlo˝ szög Két szög egyenlo, közül az a nagyobb, amelyik tartalmaz azonos csúcsú, s a másikkal egyenlo˝ szöget.


Praktikum

2006/007

12 / 125



egyenesszög derékszög hegyesszög tompaszög konvex szög konkáv szög nullszög

szárai egy egyenest alkotnak egyenesszög fele derékszögnél kisebb szög derékszögnél nagyobb, egyenesszögnél kisebb szög egyenesszögnél kisebb szög egyenesszögnél nagyobb szög két szára egybeesik, s a szögtartomány szerepét ez a szár játsza teljes szög két szára egybeesik, s a szögtartomány a teljes sík


Praktikum

2006/007

13 / 125



egyenesszög derékszög hegyesszög tompaszög konvex szög konkáv szög nullszög

szárai egy egyenest alkotnak egyenesszög fele derékszögnél kisebb szög derékszögnél nagyobb, egyenesszögnél kisebb szög egyenesszögnél kisebb szög egyenesszögnél nagyobb szög két szára egybeesik, s a szögtartomány szerepét ez a szár játsza teljes szög két szára egybeesik, s a szögtartomány a teljes sík

pótszögek két szög, melyek összege 90 kiegészíto˝ szögek két szög, melyek összege 180 mellékszögek két szögtartomány, melyek együttesen egy félsíkot alkotnak csúcsszögek két konvex szögtartomány, melyek szárai páronként egymás meghosszabbításai


Praktikum

2006/007

13 / 125



Euklideszi szerkesztés ˝ és egyélu˝ vonalzót használva, az alábbi elemi szerkesztések Körzot megengedettek: I két pont összeköto ˝ egyenesének megrajzolása, I két egyenes metszéspontjának meghatározása, I adott távolság körzonyílásba ˝ vétele, I adott pont körül adott körzonyílással ˝ kör rajzolása, I két metszo ˝ kör metszéspontjainak meghatározása, I kör és azt metszo ˝ egyenes metszéspontjainak meghatározása. Ha egy síkbeli alakzat megszerkesztése véges sok lépésben a fenti lépéseket ˝ akkor azt euklideszi értelemben használva elvégezheto, ˝ megszerkeszthetonek nevezzük.


Praktikum

2006/007

14 / 125



Euklideszi szerkesztés ˝ és egyélu˝ vonalzót használva, az alábbi elemi szerkesztések Körzot megengedettek: I két pont összeköto ˝ egyenesének megrajzolása, I két egyenes metszéspontjának meghatározása, I adott távolság körzonyílásba ˝ vétele, I adott pont körül adott körzonyílással ˝ kör rajzolása, I két metszo ˝ kör metszéspontjainak meghatározása, I kör és azt metszo ˝ egyenes metszéspontjainak meghatározása. Ha egy síkbeli alakzat megszerkesztése véges sok lépésben a fenti lépéseket ˝ akkor azt euklideszi értelemben használva elvégezheto, ˝ megszerkeszthetonek nevezzük. Vannak euklideszi szerkesztéssel meg nem oldható feladatok. I kör négyszögesítése (kvadratula) I kocka megkettozése ˝ (déloszi probléma) I szögharmadolás (triszekció) I szabályos hétszög szerkesztése Dr. Szilágyi Ibolya (EKF)

Praktikum

2006/007

14 / 125



Alapszerkesztések: I adott szakasz felezése, I adott szög felezése, I adott egyenesre meroleges ˝ egyenes szerkesztése rajta kívül, illetve rajta levo˝ pontból, I adott egyenessel rá nem illeszkedo ˝ ponton át párhuzamos szerkesztése. Szerkesztési feladat megoldása: 1. vázlat készítése 2. elemzés 3. szerkesztés menete 4. szerkesztés kivitelezése (pontosság, adatok, segédvonalak, eredmény) 5. diszkusszió (megoldások száma)


Praktikum

2006/007

15 / 125



Mértani helyek

A sík (tér) közös tulajdonságú pontjainak halmazát mértani helynek nevezzük. Azok és csak azok a pontok tartoznak a mértani helyhez, melyek a közös tulajdonsággal rendelkeznek.


Praktikum

2006/007

16 / 125



Mértani helyek

A sík (tér) közös tulajdonságú pontjainak halmazát mértani helynek nevezzük. Azok és csak azok a pontok tartoznak a mértani helyhez, melyek a közös tulajdonsággal rendelkeznek. Szerkesztési alapelem: pont, egyenes, kör.


Praktikum

2006/007

16 / 125



Egy elemhez tartozó mértani helyek

˝ adott távolságra levo˝ pontokat keresünk. Egy elemtol


Praktikum

2006/007

17 / 125




˝ adott távolságra levo˝ pontokat keresünk. Egy elemtol Határozzuk meg az adott O ponttól adott r távolságra levo˝ pontok mértani helyét!


Praktikum

2006/007

17 / 125




˝ adott távolságra levo˝ pontokat keresünk. Egy elemtol Határozzuk meg az adott O ponttól adott r távolságra levo˝ pontok mértani helyét! ˝ r nyílású körzovel k vonalat rajzolunk. 1. A k vonal minden pontja r távolságra van O-tól. 2. Más ilyen tulajdonságú pont nincs


Praktikum

2006/007

17 / 125




˝ adott távolságra levo˝ pontokat keresünk. Egy elemtol Határozzuk meg az adott O ponttól adott r távolságra levo˝ pontok mértani helyét! ˝ r nyílású körzovel k vonalat rajzolunk. 1. A k vonal minden pontja r távolságra van O-tól. 2. Más ilyen tulajdonságú pont nincs A sík azon pontjainak mértani helyét, melyek egy adott O ponttól adott r távolságra vannak, körnek nevezzük.


Praktikum

2006/007

17 / 125




˝ adott távolságra levo˝ pontokat keresünk. Egy elemtol Határozzuk meg az adott O ponttól adott r távolságra levo˝ pontok mértani helyét! ˝ r nyílású körzovel k vonalat rajzolunk. 1. A k vonal minden pontja r távolságra van O-tól. 2. Más ilyen tulajdonságú pont nincs A sík azon pontjainak mértani helyét, melyek egy adott O ponttól adott r távolságra vannak, körnek nevezzük. külso˝ pont, belso˝ pont, körlemez


Praktikum

2006/007

17 / 125




˝ Határozzuk meg azon pontok mértani helyét, melyek egy adott e egyenestol adott d távolságra vannak!


Praktikum

2006/007

18 / 125




˝ Határozzuk meg azon pontok mértani helyét, melyek egy adott e egyenestol adott d távolságra vannak! ˝ Az e egyenesre, annak pontjaiban merolegeseket állítunk, s az egyenessel való metszéspontokból mindkét irányba felmérjük a d távolságot.


Praktikum

2006/007

18 / 125




˝ Határozzuk meg azon pontok mértani helyét, melyek egy adott e egyenestol adott d távolságra vannak! ˝ Az e egyenesre, annak pontjaiban merolegeseket állítunk, s az egyenessel való metszéspontokból mindkét irányba felmérjük a d távolságot. ˝ adott távolságra levo˝ pontok mértani helye az adott Adott egyenestol ˝ adott távolságra levo˝ párhuzamos egyenespár. egyenestol


Praktikum

2006/007

18 / 125




Pont és kör távolságán a pontot a kör középpontjával összeköto˝ egyenes körrel alkotott metszéspontjainak a ponttól való távolságai közül a nem nagyobbat értjük.


Praktikum

2006/007

19 / 125




Pont és kör távolságán a pontot a kör középpontjával összeköto˝ egyenes körrel alkotott metszéspontjainak a ponttól való távolságai közül a nem nagyobbat értjük. ˝ adott d távolságra levo˝ pontok mértani helyét! Határozzuk meg adott k körtol


Praktikum

2006/007

19 / 125




Pont és kör távolságán a pontot a kör középpontjával összeköto˝ egyenes körrel alkotott metszéspontjainak a ponttól való távolságai közül a nem nagyobbat értjük. ˝ adott d távolságra levo˝ pontok mértani helyét! Határozzuk meg adott k körtol O-tól r + d és r − d távolságra levo˝ pontok mértani helye, vagyis az r + d, illetve r − d sugarú körök.


Praktikum

2006/007

19 / 125




Pont és kör távolságán a pontot a kör középpontjával összeköto˝ egyenes körrel alkotott metszéspontjainak a ponttól való távolságai közül a nem nagyobbat értjük. ˝ adott d távolságra levo˝ pontok mértani helyét! Határozzuk meg adott k körtol O-tól r + d és r − d távolságra levo˝ pontok mértani helye, vagyis az r + d, illetve r − d sugarú körök. r >d r =d r
r + d és r − d sugarú, O középpontú körök. O pont, valamit az O középpontú 2r sugarú kör. r + d sugarú O középpontú kör.


Praktikum

2006/007

19 / 125



Egy elemhez tartozó mértani helyek - Feladatok 1. Határozzuk meg azon pontok mértani helyét, melyeknek egy adott P ponttól való távolsága egy adott d távolságnál 1.1 1.2 1.3 1.4

kisebb nem nagyobb nem kisebb nagyobb!

2. Határozzuk meg azon pontok mértani helyét, melyeknek egy adott e ˝ való távolsága egy adott d távolságnál egyenestol 2.1 2.2 2.3 2.4

kisebb nem nagyobb nem kisebb nagyobb!

3. Határozzuk meg az adott P ponton átmeno˝ adott r sugarú körök középpontjainak mértani helyét! 4. Határozzuk meg az adott e egyenest érinto˝ adott r sugarú körök középpontjainak mértani helyét! 5. Határozzuk meg adott r sugarú k kört érinto˝ adott d sugarú körök középpontjainak mértani helyét! 6. Határozzuk meg az adott e egyenest adott P pontjában érinto˝ körök középpontjainak mértani helyét! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) 7. Határozzuk meg az adott k körtPraktikum adott P pontjában érinto˝ körök 2006/007

20 / 125



Egy elemhez tartozó mértani helyek - Feladatok

1. Határozzuk meg az adott e egyenest adott P pontjában érinto˝ körök középpontjainak mértani helyét! 2. Határozzuk meg az adott k kört adott P pontjában érinto˝ körök középpontjainak mértani helyét! ˝ adott egyenest érinto˝ adott sugarú 3. Szerkesszünk adott ponton átmeno, kört! 4. Szerkesszünk adott egyenest és adott kört érinto˝ adott sugarú kört! 5. Szerkesszünk két adott kört érinto˝ adott sugarú kört!


Praktikum

2006/007

21 / 125



Két elemhez tartozó mértani helyek

˝ egyenlo˝ távolságra levo˝ pontokat keresünk. Két szerkesztési alapelemtol


Praktikum

2006/007

22 / 125




˝ egyenlo˝ távolságra levo˝ pontokat keresünk. Két szerkesztési alapelemtol I I I I I I

pont - pont pont - egyenes pont - kör egyenes - egyenes egyenes - kör kör - kör


Praktikum

2006/007

22 / 125




Határozzuk meg két adott ponttól egyenlo˝ távolságra levo˝ pontok mértani helyét!


Praktikum

2006/007

23 / 125




Határozzuk meg két adott ponttól egyenlo˝ távolságra levo˝ pontok mértani helyét! ˝ szakaszfelezo˝ meroleges: az az egyenes, mely áthalad egy szakasz ˝ ˝ felezopontján , s arra meroleges.


Praktikum

2006/007

23 / 125




Határozzuk meg két adott ponttól egyenlo˝ távolságra levo˝ pontok mértani helyét! ˝ szakaszfelezo˝ meroleges: az az egyenes, mely áthalad egy szakasz ˝ ˝ felezopontján , s arra meroleges. Azon pontok mértani helye, elyek két adott ponttól egyenlo˝ távolságra vannak, ˝ a két pont által meghatározott szakasz felezo˝ merolegese. ˝ A szakaszfelezo˝ meroleges azon körök középpontjainak mértani helye, melyek átmennek a szakasz két végpontján.


Praktikum

2006/007

23 / 125




˝ egyenlo˝ távolságra levo˝ pontok mértani Határozzuk meg két adott egyenestol helyét!


Praktikum

2006/007

24 / 125




˝ egyenlo˝ távolságra levo˝ pontok mértani Határozzuk meg két adott egyenestol helyét! ˝ 1. az egyenesek metszok 2. az egyenesek párhuzamosak


Praktikum

2006/007

24 / 125




˝ egyenlo˝ távolságra levo˝ pontok mértani Határozzuk meg két adott egyenestol helyét! ˝ 1. az egyenesek metszok 2. az egyenesek párhuzamosak ˝ egy szögtartomány csúcsából kiinduló félegyenes, mely a szöget szögfelezo: két egyenlo˝ szögre vágja. ˝ egyenlo˝ távol levo˝ pontok mértani helye a metszo˝ Két metszo˝ egyenestol ˝ egyenesek szögfelezoi.


Praktikum

2006/007

24 / 125




˝ egyenlo˝ távolságra levo˝ pontok mértani Határozzuk meg két adott egyenestol helyét! ˝ 1. az egyenesek metszok 2. az egyenesek párhuzamosak ˝ egy szögtartomány csúcsából kiinduló félegyenes, mely a szöget szögfelezo: két egyenlo˝ szögre vágja. ˝ egyenlo˝ távol levo˝ pontok mértani helye a metszo˝ Két metszo˝ egyenestol ˝ egyenesek szögfelezoi. ˝ egyenlo˝ távol levo˝ pontok mértani helye a két Két párhuzamos egyenestol párhuzamos egyenes középpárhuzamosa.


Praktikum

2006/007

24 / 125



Két elemhez tartozó mértani helyek ˝ egyenlo˝ távolságra levo˝ Határozzuk meg adott ponttól és adott egyenestol pontok mértani helyét!


Praktikum

2006/007

25 / 125



Két elemhez tartozó mértani helyek ˝ egyenlo˝ távolságra levo˝ Határozzuk meg adott ponttól és adott egyenestol pontok mértani helyét! 1. a pont nem illeszkedik az egyenesre 2. a pont illeszkedik az egyenesre


Praktikum

2006/007

25 / 125



Két elemhez tartozó mértani helyek ˝ egyenlo˝ távolságra levo˝ Határozzuk meg adott ponttól és adott egyenestol pontok mértani helyét! 1. a pont nem illeszkedik az egyenesre 2. a pont illeszkedik az egyenesre ˝ egyenlo˝ távol levo˝ pontok mértani helye (ha Adott ponttól és adott egyenestol a pont nem illeszkedik az egyenesre) parabola. Az adott pont a parabola fókusza, az adott egyenes a direktrixe. ˝ melyek egy (Azon körök középpontjainak mértani helyeként is értelmezhetok, adott ponton átmennek és egy adott egyenest érintenek.)


Praktikum

2006/007

25 / 125



Két elemhez tartozó mértani helyek ˝ egyenlo˝ távolságra levo˝ Határozzuk meg adott ponttól és adott egyenestol pontok mértani helyét! 1. a pont nem illeszkedik az egyenesre 2. a pont illeszkedik az egyenesre ˝ egyenlo˝ távol levo˝ pontok mértani helye (ha Adott ponttól és adott egyenestol a pont nem illeszkedik az egyenesre) parabola. Az adott pont a parabola fókusza, az adott egyenes a direktrixe. ˝ melyek egy (Azon körök középpontjainak mértani helyeként is értelmezhetok, adott ponton átmennek és egy adott egyenest érintenek.) ˝ egyenlo˝ távol levo˝ pontok mértani helye (ha Adott ponttól és adott egyenestol ˝ a pont illeszkedik az egyenesre) a pontban az egyenesre állított meroleges egyenes.


Praktikum

2006/007

25 / 125



Két elemhez tartozó mértani helyek ˝ egyenlo˝ távolságra levo˝ pontok Határozzuk meg adott ponttól és adott körtol mértani helyét!


Praktikum

2006/007

26 / 125



Két elemhez tartozó mértani helyek ˝ egyenlo˝ távolságra levo˝ pontok Határozzuk meg adott ponttól és adott körtol mértani helyét! 1. Az adott pont a kör belso˝ pontja. 2. Az adott pont a körre illeszkedik. 3. Az adott pont a kör külso˝ pontja.


Praktikum

2006/007

26 / 125



Két elemhez tartozó mértani helyek ˝ egyenlo˝ távolságra levo˝ pontok Határozzuk meg adott ponttól és adott körtol mértani helyét! 1. Az adott pont a kör belso˝ pontja. 2. Az adott pont a körre illeszkedik. 3. Az adott pont a kör külso˝ pontja. 1. A mértani hely egy ellipszis. Az O és P pontok az ellipszis fókuszai. Az ellipszis azon körök középpontjainak mértani helye melyek átmennek egy ˝ érintik. adott ponton, s az adott kört belülrol 2. A mértani hely az OP félegyenes. 3. A mértani hely egy hiperbolaág. Az egyik hiperbolaág azon körök középpontjainak mértani helye melyek átmennek egy adott ponton, s az ˝ a másik hiperbolaág azon körök középpontjainak adott kört kivülrol, mértani helye melyek átmennek egy adott ponton, s az adott kört tartalmazva érintik. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF)

Praktikum

2006/007

26 / 125



Két elemhez tartozó mértani helyek ˝ és adott körtol ˝ egyenlo˝ távolságra levo˝ Határozzuk meg adott egyenestol pontok mértani helyét!


Praktikum

2006/007

27 / 125



Két elemhez tartozó mértani helyek ˝ és adott körtol ˝ egyenlo˝ távolságra levo˝ Határozzuk meg adott egyenestol pontok mértani helyét! 1. Az egyenesnek és a körnek nincs közös pontja. 2. Az egyenes érinti a kört. 3. Az egyenes és a kör metszi egymást.


Praktikum

2006/007

27 / 125



Két elemhez tartozó mértani helyek ˝ és adott körtol ˝ egyenlo˝ távolságra levo˝ Határozzuk meg adott egyenestol pontok mértani helyét! 1. Az egyenesnek és a körnek nincs közös pontja. 2. Az egyenes érinti a kört. 3. Az egyenes és a kör metszi egymást. ˝ egyenlo˝ 1. A feladat visszavezetheto˝ adott ponttól és adott egyenestol távolságra levo˝ pontok mértani helyére. Az adott mértani hely egy parabola. A parabola azon körök középpontjainak mértani helye, melyek érintenek egy adott kört és egy adott egyenest. 2. A mértani hely egy parabola és az OE (E az érintési pont) félegyenes pontjai. 3. A mértani hely két parabola.


Praktikum

2006/007

27 / 125




˝ egyenlo˝ távolságra levo˝ pontok mértani Határozzuk meg két adott körtol helyét!


Praktikum

2006/007

28 / 125




˝ egyenlo˝ távolságra levo˝ pontok mértani Határozzuk meg két adott körtol helyét! A két kör NEM egyenlo˝ sugarú.


Praktikum

2006/007

28 / 125




˝ egyenlo˝ távolságra levo˝ pontok mértani Határozzuk meg két adott körtol helyét! A két kör NEM egyenlo˝ sugarú. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

A két kör nem metszik és nem érintik egymást. ˝ érintik egymást. A két kör kívülrol A két kör metszi egymást. ˝ érinti a másikat. Az egyik kör belülrol Az egyik kör tartalmazza a másikat, de nem koncentrikusak. A két kör koncentrikus.


Praktikum

2006/007

28 / 125



Két elemhez tartozó mértani helyek 1. A mértani hely egy hiperbolaág. A két kört érinto˝ körök középpontjainak mértani helye két hiperbola. 2. A mértani hely egy hiperbolaág és az O1 O2 szakasz. A két kört érinto˝ körök középpontjainak mértani helye egy hiperbola és az O1 O2 egyenes, kivéve az O1 , O2 , E pontokat. 3. A mértani hely egy hiperbolaág és egy ellipszis. A két kört érinto˝ körök középpontjainak mértani helye egy hiperbola és az ellipszis. 4. A mértani hely az O2 E félegyenes és egy ellipszis. A két kört érinto˝ körök középpontjainak mértani helye egy ellipszis és az O1 O2 egyenes, kivéve az O1 , O2 , E pontokat. 5. A mértani hely egy ellipszis. A két kört érinto˝ körök középpontjainak mértani helye két ellipszis. 2 6. A mértani hely egy r1 +r sugarú, az adott körökkel koncentrikus kör. A két 2 2 r1 −r2 kört érinto˝ körök középpontjainak mértani helye két kör: r1 +r 2 , 2 .


Praktikum

2006/007

29 / 125



Két elemhez tartozó mértani helyek A két kör egyenlo˝ sugarú.


Praktikum

2006/007

30 / 125



Két elemhez tartozó mértani helyek A két kör egyenlo˝ sugarú. 1. A két körnek nincs közös pontja. 2. A két kör érinti egymást. 3. A két kör metszi egymást.


Praktikum

2006/007

30 / 125



Két elemhez tartozó mértani helyek A két kör egyenlo˝ sugarú. 1. A két körnek nincs közös pontja. 2. A két kör érinti egymást. 3. A két kör metszi egymást. ˝ ˝ 1. A mértani hely az O1 O2 szakasz felezomer olegese. A két kört érinto˝ ˝ ˝ körök középpontjainak mértani helye a felezomer oleges és egy hiperbola. ˝ ˝ 2. A mértani hely az O1 O2 szakasz felezomer olegese és az O1 O2 szakasz. ˝ ˝ A két kört érinto˝ körök középpontjainak mértani helye a felezomer oleges és az O1 O2 egyenes. ˝ ˝ 3. A mértani hely az O1 O2 szakasz felezomer olegese és egy ellipszis. A két ˝ ˝ kört érinto˝ körök középpontjainak mértani helye a felezomer oleges és az ellipszis, kivéve a körök metszéspontjait.


Praktikum

2006/007

30 / 125



Feladatok


Praktikum

2006/007

31 / 125



Térbeli mértani helyek.

Egy térelemhez tartotó mértani helyek.


Praktikum

2006/007

32 / 125




Egy térelemhez tartotó mértani helyek. I

I

I

Adott ponttól adott távolságra levo˝ pontok mértnai helye a térnem egy gömb. ˝ adott távolságra levo˝ pontok halmaza a térben egy Adott egyenestol hengerfelület. Adott síktól adott távolságra levo˝ pontok halmaza a térben a síkkal párhuzamos, s attól adott távolságra levo˝ párhuzamos síkpár.


Praktikum

2006/007

32 / 125




Két térelemhez tartozó mértani helyek.


Praktikum

2006/007

33 / 125




Két térelemhez tartozó mértani helyek. 0.2cm I

I

I

Két adott ponttól egyenlo˝ távolságra levo˝ pontok mértani helye a térben a ˝ ˝ két pontot összeköto˝ szakasz felezomer oleges síkja. ˝ egyenlo˝ távol levo˝ pontok halmaza a térben az Két metszo˝ egyenestol ˝ egyenesek által meghatározott síkra meroleges, az egyenesek ˝ szögfelezoire illeszkedo˝ síkok. Két metszo˝ síktól egyenlo˝ távol levo˝ pontok halmaza a térben a síkok metszésvonalára illeszkedo˝ szögfelezo˝ síkok.


Praktikum

2006/007

33 / 125


Kúpszeletek



Praktikum

2006/007

34 / 125


Kúpszeletek

Kúpszelet: azon P pontok mértani helye, amelyeknek egy rögzített O ponttól ˝ való PK távolságának mért OP távolsága egy rögzített HX egyenestol -szorosa, ahol az pozitív állandó. < 1 ellipszis = 1 parabola > 1 hiperbola O HX

fókusz vezéregyenes, direktrix excentricitás


Praktikum

2006/007

35 / 125


Kúpszeletek

Egy kúpfelületet egy síkkal elmetszve különbözo˝ alakzatokat kaphatunk. A ˝ függoen ˝ ˝ ˝ kúp és a sík helyzetétol többféle lehetoség állhat elo.


Praktikum

2006/007

36 / 125


Kúpszeletek

Egy kúpfelületet egy síkkal elmetszve különbözo˝ alakzatokat kaphatunk. A ˝ függoen ˝ ˝ ˝ kúp és a sík helyzetétol többféle lehetoség állhat elo. I

I I I I I

parabola: a sík párhuzamos egy olyan síkkal, amely a kúpot (egy alkotójában) érinti hiperbola: a sík két alkotóval párhuzamos ˝ ellipszis: minden alkotót metsz, de nem meroleges a tengelyre ˝ kör: a sík meroleges a tengelyre pont metszo˝ egyenespár

(másodfokú egyenlettel való kapcsolat)


Praktikum

2006/007

36 / 125


Kúpszeletek

Kör

Definition Adott ponttól adott távolságra lévo˝ pontok mértani helye a síkban. Az adott pont a kör középpontja. A kör középpontjának és a kör pontjainak távolsága a ˝ ˝ kör sugara (r ). A sugár kétszerese a kör átmérojével egyenlo. ˝ Adott kör középpontját a következoképpen szerkeszthetjük meg:

Definition (körcikk) ˝ Egy kör két sugara és az oket összeköto˝ ív által határolt síkidom.

Definition (körszelet) Egy körív és a hozzátartozó húr által határolt síkidom.


Praktikum

2006/007

37 / 125


Kúpszeletek

Kör

Theorem A síkban egy egyenesnek és egy körnek 0, 1 vagy 2 közös pontja van ˝ való távolsága a kör sugaránál aszerint, hogy a középpontnak az egyenestol ˝ vagy annál kisebb. nagyobb, azzal egyenlo, ˝ húr, átméro, ˝ középponti szög, körcikk, körszelet, körszelet magassága szelo,


Praktikum

2006/007

38 / 125


Kúpszeletek

Érinto˝

Ha egy egyenesnek csak egy közös pontja van a körrel, az egyenest ˝ érintonek, s a pontot érintési pontnak nevezzük. (Ez a definíció nem alkalmazható bármely görbére.)

Theorem ˝ A kör bármely pontjában egyetlen érinto˝ húzható a körhöz, s ez meroleges a ponthoz vezeto˝ sugárra. kör és egyenes, kör és kör által alkotott szög


Praktikum

2006/007

39 / 125


Kúpszeletek

Érinto˝

Ha egy egyenesnek csak egy közös pontja van a körrel, az egyenest ˝ érintonek, s a pontot érintési pontnak nevezzük. (Ez a definíció nem alkalmazható bármely görbére.)

Theorem ˝ A kör bármely pontjában egyetlen érinto˝ húzható a körhöz, s ez meroleges a ponthoz vezeto˝ sugárra. kör és egyenes, kör és kör által alkotott szög

Theorem ˝ e pont az érintési Egy a körön kivül levo˝ pontból a körhöz vont két érinton pontokkal együtt két egyenlo˝ szakaszt határoz meg.


Praktikum

2006/007

39 / 125


Kúpszeletek

Húr

Theorem Ha egy kör két húrját tekintjük, akkor I vagy egyenlok ˝ a húrok, a hozzájuk tartozó középponti szögek és a kör középponttól való távolságaik, I vagy pedig az egyik húr nagyobb, ehez nagyobb középponti szög tartozik és ez a húr van közelebb a kör középpontjához.


Praktikum

2006/007

40 / 125


Kúpszeletek

Húr

Theorem Ha egy kör két húrját tekintjük, akkor I vagy egyenlok ˝ a húrok, a hozzájuk tartozó középponti szögek és a kör középponttól való távolságaik, I vagy pedig az egyik húr nagyobb, ehez nagyobb középponti szög tartozik és ez a húr van közelebb a kör középpontjához.

Theorem ˝ minden rá meroleges ˝ ˝ Egy kör átméroje húr felezopontját tartalmazza, ˝ meghosszabbításai tartalmazzák az ilyen húr végpontjaiban vont érintok ˝ érintési metszéspontját, végpontjai pedig a húrokkal párhuzamos érintok pontjai.


Praktikum

2006/007

40 / 125


Kúpszeletek

Középponti és kerületi szögek

A kör két közös végpontú húrja által alkotott konvex szöget kerületi szögnek nevezzük. Kerületi szögnek mondjuk azt a konvex szöget is, amelyet egy húr és ennek egyik végpontjából induló, a kört érinto˝ félegyenes alkot.

Theorem A kerületi szög kétszerese egyenlo˝ az ugyanazon az íven nyugvó középponti szöggel. ˝ nyugvó kerületi szög derékszög. Minden átméron

Theorem Egy kör egybevágó körívein egyenlo˝ kerületi szögek nyugszanak.


Praktikum

2006/007

41 / 125


Kúpszeletek

Látószög ˝ Ha a P pont az AB szakasznak nem végponja, akkor a konvex APB szögrol mondjuk, hogy az AB szakasz a P pontból ekkora szögben látszik. Ezt a szöget látószögnek mondjuk.

Theorem ˝ egy szakasz megadott A sík azon pontjainak mértani helye, amelybol ˝ a szakaszra szögben (0-180) látható, a szakasz végpontjait összeköto, vonatkozóan szimmetrikusan elhelyezkedo˝ két körív belseje. A két végpont nem tartozik a mértani helyhez.


Praktikum

2006/007

42 / 125


Kúpszeletek

Látószög ˝ Ha a P pont az AB szakasznak nem végponja, akkor a konvex APB szögrol mondjuk, hogy az AB szakasz a P pontból ekkora szögben látszik. Ezt a szöget látószögnek mondjuk.

Theorem ˝ egy szakasz megadott A sík azon pontjainak mértani helye, amelybol ˝ a szakaszra szögben (0-180) látható, a szakasz végpontjait összeköto, vonatkozóan szimmetrikusan elhelyezkedo˝ két körív belseje. A két végpont nem tartozik a mértani helyhez.

Theorem (Thales) ˝ egy megadott szakasz A sík azon pontjainak mértani helye, amelyekbol ˝ derékszögben látható, a szakaszhoz mint átmérohöz tartozó kör, elhagyva ˝ a szakasz végpontjait. belole ˝ o˝ tétel speciális esete) (eloz Dr. Szilágyi Ibolya (EKF)

Praktikum

2006/007

42 / 125

Geometriai transzformációk.

Mozgások, egybevágósági transzformációk



Praktikum

2006/007

43 / 125



0

Transzformáció (leképezés): A sík (tér) pontjai közötti P → P kölcsönösen egyértelmu˝ megfeleltetés.


Praktikum

2006/007

44 / 125



0

Transzformáció (leképezés): A sík (tér) pontjai közötti P → P kölcsönösen egyértelmu˝ megfeleltetés. 0

(Olyan szabály, amely (P, P ) pontpárokat képez úgy, hogy minden párban megkülönbözteti az elso˝ és második tagot, továbbá minden pont pontosan egy párban elso˝ tagként (tárgypont), s pontosan egy párban második pontként (képpont) lép fel.)


Praktikum

2006/007

44 / 125



0


(Olyan szabály, amely (P, P ) pontpárokat képez úgy, hogy minden párban megkülönbözteti az elso˝ és második tagot, továbbá minden pont pontosan egy párban elso˝ tagként (tárgypont), s pontosan egy párban második pontként (képpont) lép fel.) ˝ Invariáns pont (fixpont, kettospont): P és P 0 egybeesik.


Praktikum

2006/007

44 / 125



0


(Olyan szabály, amely (P, P ) pontpárokat képez úgy, hogy minden párban megkülönbözteti az elso˝ és második tagot, továbbá minden pont pontosan egy párban elso˝ tagként (tárgypont), s pontosan egy párban második pontként (képpont) lép fel.) ˝ Invariáns pont (fixpont, kettospont): P és P 0 egybeesik. Mozgás (egybevágósági transzformáció, izometria): Távolságtartó leképezés.


Praktikum

2006/007

44 / 125



0


(Olyan szabály, amely (P, P ) pontpárokat képez úgy, hogy minden párban megkülönbözteti az elso˝ és második tagot, továbbá minden pont pontosan egy párban elso˝ tagként (tárgypont), s pontosan egy párban második pontként (képpont) lép fel.) ˝ Invariáns pont (fixpont, kettospont): P és P 0 egybeesik. Mozgás (egybevágósági transzformáció, izometria): Távolságtartó leképezés. Azonosság (identitás): Olyan transzformáció, mely minden pontot önmagába visz át.


Praktikum

2006/007

44 / 125



Egybevágósági transzformáció

A távolságtartó leképezést egybevágóságnak (kongruencia) nevezzük.


Praktikum

2006/007

45 / 125




A távolságtartó leképezést egybevágóságnak (kongruencia) nevezzük. Két alakzat egybevágó, ha van olyan egybevágóság, ami egyiket a másikba ˝ viszi át. (Egyik alakzat tetszoleges két pontjának távolsága megegyezik a másik alakzat megfelelo˝ két pontjának távolságával.)


Praktikum

2006/007

45 / 125




A távolságtartó leképezést egybevágóságnak (kongruencia) nevezzük. Két alakzat egybevágó, ha van olyan egybevágóság, ami egyiket a másikba ˝ viszi át. (Egyik alakzat tetszoleges két pontjának távolsága megegyezik a másik alakzat megfelelo˝ két pontjának távolságával.) A mozgásokat és türözéseket, illetve ezek egymás utáni elvégzését euklideszi vagy egybevágósági transzformációknak nevezzük.


Praktikum

2006/007

45 / 125



Több transzformáció egymás utáni alkalmazásának eredményét a transzformációk szorzatának nevezzük. Ha két transzformáció szorzata az azonosság, akkor azokat egymás inverzeinek mondjuk.


Praktikum

2006/007

46 / 125



Több transzformáció egymás utáni alkalmazásának eredményét a transzformációk szorzatának nevezzük. Ha két transzformáció szorzata az azonosság, akkor azokat egymás inverzeinek mondjuk. Azt mondjuk, hogy a transzformációk egy halmaza csoportot alkot, ha a halmaz tartalmazza I mindegyik transzformáció inverzét I bármely két transzformáció szorzatát.


Praktikum

2006/007

46 / 125



Tükrözés

Tükrözés: Olyan mozgás, melynek fixpontjai egy egyenesen (síkon) helyezkednek el. A helybenmaradó egyenes (sík) a tükrözés tengelye (síkja).


Praktikum

2006/007

47 / 125



Eltolás

Eltolás (transzláció): Olyan mozgás, mely egy pontot sem hagy fixen.


Praktikum

2006/007

48 / 125



Eltolás

Eltolás (transzláció): Olyan mozgás, mely egy pontot sem hagy fixen.

Theorem Az eltolásra igazak az alábbi állítások: I Két eltolás szorzata eltolás. I Két egymással párhuzamos tengelyre történo ˝ tükrözés szorzata eltolás, ˝ melynek iránya meroleges a tengelyekre, távolsága pedig a tengelyek távolságának kétszerese. I Az eltolások kommutatívak. I Egy félfordulat és egy eltolás szorzata félfordulat.


Praktikum

2006/007

48 / 125



Csúsztatva tükrözés


Praktikum

2006/007

49 / 125



Forgatás


Praktikum

2006/007

50 / 125



Szimmetria

Egy síkbeli alakzat tengelyesen szimmetrikus, ha az alakzatsíkjában létezik olyan tengely, amelyre vonatkozó tükrözésnél az alakzat képe önmaga. Egy alakzat középpontosan szimmetrikus, ha létezik olyan pont, amelyre vonatkozó tükrözésnél az alakzat képe önmaga.


Praktikum

2006/007

51 / 125


Hasonlósági transzformációk



Praktikum

2006/007

52 / 125



Alapfogalmak Középpontos hasonlóságnak nevezünk egy ponttranszformációt, ha bármely két pont képének a távolsága a pontok távolságával osztva mindíg ugyanazt a ˝ λ hányadost adja. (0-tól különbözo)


Praktikum

2006/007

53 / 125



Alapfogalmak Középpontos hasonlóságnak nevezünk egy ponttranszformációt, ha bármely két pont képének a távolsága a pontok távolságával osztva mindíg ugyanazt a ˝ λ hányadost adja. (0-tól különbözo) Legyen O a középpontos hasonlósági transzformáció középpontja. Valamely ponthoz a következo˝ módon rendeljük a képét: I I

Ha P = O, akkor a P pont képe önmaga. 0 Ha Q 6= O, akkor a Q pont képe OQ egyenesnek olyan Q pontja, 0 amelyre OQ = λ · OQ


Praktikum

2006/007

53 / 125



Alapfogalmak Középpontos hasonlóságnak nevezünk egy ponttranszformációt, ha bármely két pont képének a távolsága a pontok távolságával osztva mindíg ugyanazt a ˝ λ hányadost adja. (0-tól különbözo) Legyen O a középpontos hasonlósági transzformáció középpontja. Valamely ponthoz a következo˝ módon rendeljük a képét: I I

I I

Ha P = O, akkor a P pont képe önmaga. 0 Ha Q 6= O, akkor a Q pont képe OQ egyenesnek olyan Q pontja, 0 amelyre OQ = λ · OQ 0

Ha λ > 0, akkor a Q pont az OQ félegyenesen van. 0 Ha λ < 0, akkor a Q pont az OQ egyenes Q-t nem tartalmazó félegyenesén van.

A λ hányadost a középpontos hasonlóság arányának nevezzük. I I I I

λ > 1 nagyítás 0 < λ < 1 kicsinyítés λ = 1 identitás λ = −1 középpontos tükrözés Dr. Szilágyi Ibolya (EKF)

Praktikum

2006/007

53 / 125



Alaptételek ˝ tétele) Theorem (Párhuzamos szelok Ha egy szög szárait párhuzamosokkal metszük, akkor az egyik száron keletkezo˝ szakaszok aránya megegyezik a másik száron keletkezo˝ megfelelo˝ szakaszok arányával.

˝ tételének megfordítása) Theorem (Párhuzamos szelok Ha két egyenes egy szög száraiból olyan szakaszokat vág le, amelyeknek az aránya mind a két száron ugyanaz, akkor a két egyenes párhuzamos.

Theorem (Párhuzamos szelo˝ szakaszok tétele) Egy szög szárait metszo˝ párhuzamosokból a szárak által kimetszett szakaszok aránya megegyezik a párhuzamosok által az egyes szárakból lemetszett szeletek arányával.


Praktikum

2006/007

54 / 125



A középpontos hasonlóság tulajdonságai

I I

I

I I

A középpontos hasonlóságnál megadott középpont fixpont. Az O középpontra illeszkedo˝ egyenes képe önmaga, azaz a középpontra illeszkedo˝ egyenes invariáns alakzat. Egyenesnek a középpontos hasonlósági transzformációval kapott képe az eredeti egyenessel párhuzamos egyenes. A középpontos hasonlóság szögtartó. Középpontos hasonlóságnál bármely szakasz képének és az eredeti szakasznak az aránya állandó.


Praktikum

2006/007

55 / 125



A középpontos hasonlóság tulajdonságai

I I

I

I I

A középpontos hasonlóságnál megadott középpont fixpont. Az O középpontra illeszkedo˝ egyenes képe önmaga, azaz a középpontra illeszkedo˝ egyenes invariáns alakzat. Egyenesnek a középpontos hasonlósági transzformációval kapott képe az eredeti egyenessel párhuzamos egyenes. A középpontos hasonlóság szögtartó. Középpontos hasonlóságnál bármely szakasz képének és az eredeti szakasznak az aránya állandó.

Ha egymás után két középpontos hasonlóságot alkalmazunk, akkor olyan középpontos hasonlósághoz jutunk, melynek aránya a két alkalmazott hasonlóság arányainak szorzata.


Praktikum

2006/007

55 / 125



A hasonlósági transzformáció A középpontos hasonlóság és az egybevágósági transzformáció szorzatát (egymás utáni végrehajtását) hasonlósági transzformációnak nevezzük.


Praktikum

2006/007

56 / 125



A hasonlósági transzformáció A középpontos hasonlóság és az egybevágósági transzformáció szorzatát (egymás utáni végrehajtását) hasonlósági transzformációnak nevezzük. A középpontos hasonlóság arányát a hasonlósági transzformáció arányának nevezzük. A hasonlósági transzformáció megadásánál fontos a középpontos hasonlóság és az egybevágósági transzformáció sorrendje: általában f · g 6= g · f


Praktikum

2006/007

56 / 125



A hasonlósági transzformáció A középpontos hasonlóság és az egybevágósági transzformáció szorzatát (egymás utáni végrehajtását) hasonlósági transzformációnak nevezzük. A középpontos hasonlóság arányát a hasonlósági transzformáció arányának nevezzük. A hasonlósági transzformáció megadásánál fontos a középpontos hasonlóság és az egybevágósági transzformáció sorrendje: általában f · g 6= g · f Tulajdonságok: I I I I

Egyenes képe egyenes. A hasonlósági transzformáció szögtartó. A hasonlósági transzformáció aránytartó. Ha valamely transzformáció minden szakasznak a hosszúságát λszorosára (λ > 0) változtatja, akkor az hasonlósági transzformáció.

Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba viszi át. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF)

Praktikum

2006/007

56 / 125



Bármely két kör hasonló.


Praktikum

2006/007

57 / 125



Bármely két kör hasonló. Bármely két négyzet hasonló.


Praktikum

2006/007

57 / 125



Bármely két kör hasonló. Bármely két négyzet hasonló. Két háromszög hasonló, ha I megfelelo ˝ oldalaik hosszának aránya egyenlo˝ I két-két oldalhosszuk aránya egyenlo ˝ és az ezek által közrefogott szögek ˝ egyenlok I két-két szögük páronként egyenlo ˝ I két-két oldalhosszuk aránya egyenlo ˝ és e két-két oldal közül a ˝ hosszabbikkal szemközt lévo˝ szögek egyenlok


Praktikum

2006/007

57 / 125



Bármely két kör hasonló. Bármely két négyzet hasonló. Két háromszög hasonló, ha I megfelelo ˝ oldalaik hosszának aránya egyenlo˝ I két-két oldalhosszuk aránya egyenlo ˝ és az ezek által közrefogott szögek ˝ egyenlok I két-két szögük páronként egyenlo ˝ I két-két oldalhosszuk aránya egyenlo ˝ és e két-két oldal közül a ˝ hosszabbikkal szemközt lévo˝ szögek egyenlok Két sokszög hasonló, ha a következo˝ feltételek egyike teljesül: I I

˝ megfelelo˝ oldalaik és megfelelo˝ átlóik hosszának aránya egyenlo, megfelelo˝ oldalaik aránya egyenlo˝ és megfelelo˝ szögeik páronként ˝ egyenlok.


Praktikum

2006/007

57 / 125



Vetítés

Adott a t egyenes. A sík minden P pontja egyértelmuen ˝ meghatározza a ˝ t-re bocsátott meroleges ˝ P-bol egyenest. Ennek t-vel alkotott T ˝ ˝ metszéspontja a meroleges talppontja, P meroleges vetülete. ˝ A PT szakasz hossza a P távolsága A PT egyenes a P pont vetítoegyenese. ˝ a t egyenestol.


Praktikum

2006/007

58 / 125



Vetítés

Adott a t egyenes. A sík minden P pontja egyértelmuen ˝ meghatározza a ˝ t-re bocsátott meroleges ˝ P-bol egyenest. Ennek t-vel alkotott T ˝ ˝ metszéspontja a meroleges talppontja, P meroleges vetülete. ˝ A PT szakasz hossza a P távolsága A PT egyenes a P pont vetítoegyenese. ˝ a t egyenestol. ˝ Egyenesre való meroleges vetítés: az a ponttranszformáció, amelyik minden ˝ P ponthoz az egyenesre vetett meroleges vetületét rendeli. Egy alakzat ˝ áll. vetülete az alakzat pontjainak vetületébol


Praktikum

2006/007

58 / 125

Síkgeometriai alakzatok.

Háromszögek



Praktikum

2006/007

59 / 125


Háromszögek

A háromszögek tipusai. derékszögu˝ az a háromszög, amelyben egy derékszög van. (befogók, átfogó) egyenlo˝ szárú olyan háromszög, melynek két egyenlo˝ oldala van. (szárak, alap, alapszög, szárszög) ˝ egyenlo˝ oldalú olyan háromszög, melynek mindhárom oldala egyenlo.


Praktikum

2006/007

60 / 125


Háromszögek


Theorem I I

Egy háromszögnek legfeljebb egy derékszöge lehet. Egy háromszög akkor és csak akkor egyenlo˝ szárú, ha két szöge ˝ s akkor és csak akkor egyenlo˝ oldalú, ha mind a három szöge egyenlo, ˝ egyenlo.


Praktikum

2006/007

60 / 125


Háromszögek


Theorem I I

Egy háromszögnek legfeljebb egy derékszöge lehet. Egy háromszög akkor és csak akkor egyenlo˝ szárú, ha két szöge ˝ s akkor és csak akkor egyenlo˝ oldalú, ha mind a három szöge egyenlo, ˝ egyenlo.

Következmény: I Az egyenlo ˝ szárú háromszög tengelyesen szimmetrikus háromszög (és fordítva). I Az egyenlo ˝ oldalú háromszög szabályos háromszög. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF)

Praktikum

2006/007

60 / 125


Háromszögek

Nevezetes vonalak. I

I

I I

Egy háromszög bármelyik csúcsából a szemközti oldalra bocsátott ˝ meroleges egyenest a háromszög magasságvonalának, a magasságvonalnak a csúcs és az oldalegyenes közé eso˝ szakaszát pedig magasságnak nevezzük. (ma , mb , mc ) ˝ Egy háromszög bármelyik csúcsát a szemközti oldal felezopontjával összeköto˝ szakaszt a háromszög súlyvonalának nevezzük. (sa , sb , sc ) ˝ oldalfelezo˝ meroleges szögfelezo˝

Theorem I

I

Az egyenlo˝ szárú háromszögben az alaphoz tartozó magasságvonal, ˝ ˝ ˝ egybeesik. súlyvonal, az alap felezomer olegese és a szárszög felezoje Ha egy háromszögben valamelyik oldalhoz tartozó magasságvonal, ˝ súlyvonal, oldalfelezo˝ meroleges és az oldallal szemben fekvo˝ szög ˝ közül ketto˝ egybeesik, akkor a háromszög egyenlo˝ szárú, és szögfelezoje az illeto˝ oldal ennek az egyenlo˝ szárú háromszögnek az alapja. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF)

Praktikum

2006/007

61 / 125


Háromszögek

Összefüggés az oldalak és szögek között.

I

I

I I

A háromszög bármely külso˝ szöge nagyobb, mint a nem mellette fekvo˝ belso˝ szög. Egy háromszög bármely két belso˝ szögének összege kisebb, mint két derékszög. Egy háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög fekszik. Egy háromszögben bármely két oldal összege nagyobb a harmadiknál. ˝ (háromszög-egyenlotlenség)


Praktikum

2006/007

62 / 125


Háromszögek

Háromszögek egybevágósága Theorem ˝ Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként egyenlok.


Praktikum

2006/007

63 / 125


Háromszögek


Theorem Két háromszög egybevágó, ha I két oldal, s az általuk közrefogott szög, vagy I egy oldal s a rajta nyugvó két szög ˝ a két háromszögben páronként egyenlo.

Theorem Két háromszög egybevágó, ha bennük egy oldal, a szemközti szög és egy az ˝ oldalon nyugvó szög páronként egyenlo.


Praktikum

2006/007

63 / 125


Háromszögek


Theorem Két háromszög egybevágó, ha I két oldal, s az általuk közrefogott szög, vagy I egy oldal s a rajta nyugvó két szög ˝ a két háromszögben páronként egyenlo.

Theorem Két háromszög egybevágó, ha bennük egy oldal, a szemközti szög és egy az ˝ oldalon nyugvó szög páronként egyenlo.

Theorem Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk, s ezek közül a nagyobbikkal ˝ szemben fekvo˝ szögük páronként egyenlo. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF)

Praktikum

2006/007

63 / 125


Háromszögek

Háromszögek egybevágósága

Három oldal és három szög a háromszög hat adata. Két háromszög egybevágósága következik abból, hogy három szögük és három oldaluk közül ˝ kivéve két esetet: három-három megfelelo˝ adat egyenlo, 1. két oldal és a kisebbikkel szemközti szög egyenlo˝ ˝ 2. három szög egyenlo. Általánosan egy háromszög ismeretéhez három független adatra van szükségünk. (Adatokat függetleneknek mondunk, ha nincs olyan összefügés, amelyet ezeknek az adatoknak teljesíteni kell.)


Praktikum

2006/007

64 / 125


Háromszögek

Háromszögek hasonlósága

Theorem Két háromszög hasonló, ha I oldalaik aránya egyenlo, ˝ I I I

˝ két-két oldaluk aránya, s az ezek által közrezárt szög egyenlo, ˝ két-két oldaluk aránya, s a nagyobbikkal szemközti szög egyenlo, ˝ két-két szögük páronként egyenlo.


Praktikum

2006/007

65 / 125


Háromszögek

Arányossági tételek. Theorem (magasságtétel) ˝ Derékszögu˝ háromszögben a befogók átfogóra eso˝ meroleges vetületeinek a magasság a mértani közepe. Bizonyítás!


Praktikum

2006/007

66 / 125


Háromszögek


Theorem (befogó tétel) Derékszögu˝ háromszögben a befogó mértani közepe az átfogónak és az ˝ átfogón levo˝ meroleges vetületének. Bizonyítás!


Praktikum

2006/007

66 / 125


Háromszögek


Theorem (befogó tétel) Derékszögu˝ háromszögben a befogó mértani közepe az átfogónak és az ˝ átfogón levo˝ meroleges vetületének. Bizonyítás!

Theorem (Pitagorasz tétel) Derékszögu˝ háromszögben az átfogó négyzete egyenlo˝ a befogók négyzetösszegével. Bizonyítás! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF)

Praktikum

2006/007

66 / 125


Háromszögek

Arányossági tételek.

Theorem ˝ a szemközti oldalt olyan Egy háromszög belso˝ és külso˝ szögfelezoje arányban osztja, mint a másik két oldal aránya.


Praktikum

2006/007

67 / 125


Háromszögek

Arányossági tételek.

Theorem ˝ a szemközti oldalt olyan Egy háromszög belso˝ és külso˝ szögfelezoje arányban osztja, mint a másik két oldal aránya.

Theorem ˝ merolegesek ˝ Egy háromszög belso˝ és külso˝ szögfelezoi egymásra.


Praktikum

2006/007

67 / 125


Háromszögek

Nevezetes pontok, vonalak. Theorem ˝ A háromszög oldalfelezo˝ merolegesei egy pontban metszik egymást. Bizonyítás!


Praktikum

2006/007

68 / 125


Háromszögek

Nevezetes pontok, vonalak. Theorem ˝ A háromszög oldalfelezo˝ merolegesei egy pontban metszik egymást. Bizonyítás! A háromszög csúcsain átmeno˝ kört a háromszög körülírt körének nevezzük.

Theorem (Wallace-egyenes) ˝ A háromszög köré írt kör tetszoleges pontjából az oldalegyenesekre bocsátott ˝ merolegesek talppontjai egy egyenesre illeszkednek.


Praktikum

2006/007

68 / 125


Háromszögek



Theorem A háromszög magasságvonalai egy pontra illeszkednek. Bizonyítás!


Praktikum

2006/007

68 / 125


Háromszögek



Theorem A háromszög magasságvonalai egy pontra illeszkednek. Bizonyítás! A háromszög magasságvonalainak metszéspontját magasságpontnak, az oldalakon levo˝ metszéspontjaikat pedig talppontoknak nevezzük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF)

Praktikum

2006/007

68 / 125


Háromszögek

Nevezetes pontok, vonalak. Theorem A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást, ez a pont a súlypont. A súlypont 1:2 arányban osztja a súlyvonalakat. A csúcshoz közelebb eso˝ rész kétszerese a távolabbiknak.


Praktikum

2006/007

69 / 125


Háromszögek


Theorem (Feuerbach-féle kör) A háromszög magasságainak talppontjai, oldalfelezo˝ pontjai és a magasságpontot a csúcsokkal összeköto˝ szakaszok felezési pontjai egy körre illeszkednek. Ezt a kört Feuerbach-féle körnek vagy kilenc pont körének nevezzük.


Praktikum

2006/007

69 / 125


Háromszögek


Theorem (Feuerbach-féle kör) A háromszög magasságainak talppontjai, oldalfelezo˝ pontjai és a magasságpontot a csúcsokkal összeköto˝ szakaszok felezési pontjai egy körre illeszkednek. Ezt a kört Feuerbach-féle körnek vagy kilenc pont körének nevezzük.

Theorem (Euler-féle egyenes) A háromszög magasságpontja, súlypontja és körülírható körének középpontja egy egyenesre illeszkedik. Ezt az egyenest Euler-féle egyenesnek nevezzük.


Praktikum

2006/007

69 / 125


Háromszögek

Nevezetes pontok, vonalak.

Theorem ˝ egy pontban metszik egymást. A háromszög belso˝ szögfelezoi ˝ metszéspontjából olyan kör rajzolható a háromszöghöz, A belso˝ szögfelezok ˝ metszéspontját a amely érinti az oldalakat. A háromszög belso˝ szögfelezok beírható kör középpontjának nevezzük. Azt a kört, amely a háromszög egyik ˝ érinto˝ körnek, oldalát, s a két másik oldal meghosszabbítását érinti, kívülrol háromszöghöz hozzáírt körnek nevezzük.

Theorem ˝ s a harmadik csúcsból húzott belso˝ A háromszög két külso˝ szögfelezoje, ˝ szögfelezo˝ egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszöget kivülrol érinto˝ egyik körnek a középpontja.


Praktikum

2006/007

70 / 125


Háromszögek

A háromszög-geometria elemei

I I I I I I I

háromszög köréírt köre, s annak sugara súlyvonal, súlypont háromszögbe írt kör, s annak sugara háromszöghöz írt kör, s annak sugara magasságvonal, magasságpont magasságvonal, magasságtétel befogótétel, Pythagoras tétele


Praktikum

2006/007

71 / 125


Négyszögek



Praktikum

2006/007

72 / 125


Négyszögek

Definíciók Ha egy négyszög két-két szemközti oldala párhuzamos, parallelogrammának nevezzük. ˝ téglalapnak nevezzük. Mivel a Ha egy négyszög szögei mind egyenlok, szögösszeg 360◦ , a téglalap minden szöge derékszög, tehát a szemközti oldalak párhuzamosak. A téglalap is parallelogramma. ˝ rombusznak nevezzük. A rombusz is Ha egy négyszög oldalai mind egyenlok, parallelogramma. ˝ négyzetnek nevezzük. A Ha egy négyszögnek oldalai és szögei is egyenlok, négyzet is parallelogramma, olyan, ami téglalap is és rombusz is. Ha egy négyszögnek van két párhuzamos oldala, trapéznak nevezzük. A két párhuzamos oldala a trapéz két alapja, a másik ketto˝ a két szára. Ha egy ˝ négyszög egy oldalon levo˝ szögei egyenloek, szimmetrikus trapéznak (húrtrapéz) nevezzük. ˝ deltoidnak mondjuk. Ha egy négyszögnek két-két szomszédos oldala egyenlo,


Praktikum

2006/007

73 / 125


Négyszögek

Parallelogramma

Theorem Egy négyszög akkor és csak akkor parallelogramma, ha: I két-két szembenfekvo ˝ oldala párhuzamos, I két-két szembenfekvo ˝ oldala egyenlo, ˝ I két-két szembenfekvo ˝ szöge egyenlo, ˝ I két szembenfekvo ˝ oldala párhuzamos és egyenlo, ˝ I I

két átlója felezi egymást, a négyszög egy pontra nézve szimmetrikus.

Ha egy négyszög e feltételek valamelyikét kielégíti, akkor kielégíti a többit is. Egy parallelogramma alakját két csatlakozó oldala, s az általuk bezárt szög egyértelmuen ˝ meghatározza.


Praktikum

2006/007

74 / 125


Négyszögek

Parallelogramma

Theorem ˝ Két párhuzamos egyenest összeköto˝ szakaszok felezopontjai a középpárhuzamusokon vannak. ˝ A parallelogramma szemközti oldalainak felezopontját összeköto˝ szakasz a parallelogramma középvonala.

Theorem A parallelogramma középvonala I párhuzamos és egyenlo ˝ két prallelogramma oldallal, I áthalad a parallelogramma középpontján, és ez a felezopontja. ˝


Praktikum

2006/007

75 / 125


Négyszögek

Téglalap

Ha egy négyszög három szöge derékszög, akkor az téglalap. Ha egy parallelogramma egyik szöge derékszög, akkor az téglalap. Egy téglalap nemcsak középpontjára, hanem középvonalaira vonatkozóan is szimmetrikus. Egy téglalapot egy étlója két egybevágó derékszögu˝ háromszögre bontja.

Theorem ˝ Egy parallelogramma akkor és csak akkor téglalap, ha átlói egyenlok.


Praktikum

2006/007

76 / 125


Négyszögek

Rombusz ˝ akkor az rombusz. Ha egy parallelogramma két szomszédos oldala egyenlo, A rombusz alakját egy oldalhossza és egy szöge egyértelmuen ˝ meghatározza. A rombusz átlói a szögeit felezik. A rombusz nemcsak középpontjára, hanem átlóira vonatkozóan is szimmetrikus.

Theorem Egy parallelogramma akkor és csak akkor rombusz, ha átlói egymásra ˝ merolegesek. ˝ o˝ megállapítások mind Mivel a négyzet téglalap és rombusz is, ezért az eloz teljesülnek rá. A négyzet alakját oldalhossza egyértelmuen ˝ meghatározza. A négyzet középpontjára, középvonalaira és átlóira is szimmetrikus. A négyzetet egy átló két, két átló négy, két átló és két középvonal nyolc egybevágó egyenlo˝ száru derékszögu˝ háromszögre bontja.


Praktikum

2006/007

77 / 125


Négyszögek

Trapéz A parallelogramm is trapéz. ˝ Egy-egy száron kiegészíto˝ szögek nyugszanak. A szárak felezopontját összeköto˝ szakaszt a trapéz középvonalának nevezzük.

Theorem A trapéz középvonala párhuzamos a trapéz alapjaival. és hossza azokénak számtani közepe. Ha egy trapéz egyik alapján két egyenlo˝ szög nyugszik, akkor a másik két szög is egyenlo˝ (kiegészíto˝ szögek). Ilyenkor szimmetrikus trapézról besélünk.

Theorem Egy szimmetrikus trapéz valóban szimmetrikus idom, szárai és átlói ˝ egymással egyenloek, szimmetriatengelye I merolegesen ˝ felezi a párhuzamos oldalakat, I áthalad az átlók metszéspontján, I áthalad a szárak metszéspontján. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF)

Praktikum

2006/007

78 / 125


Négyszögek

Deltoid

Nem minden deltoid konvex, minden rombusz is deltoid. Az az átló, amelyiknek a végpontjaiban egyenlo˝ oldalak találkoznak, a deltoidot két egybevágó háromszögre bontja fel. Ez az átló felezi az egyenlo˝ oldalak által bezárt szögeket, s a deltoid szimmetrikus erre az átlóra nézve.

Theorem ˝ Egy négyszög akkor és csak akkor deltoid, ha egyik átlója merolegesen felezi a másikat.


Praktikum

2006/007

79 / 125


Négyszögek

˝ Húr-és érintonégyszögek ˝ Érintosokszög: azok a sokszögek, amelyeknek minden oldala egy kört érint. Az ilyen sokszögeknek van beírt körük. ˝ Minden érintosokszög konvex.


Praktikum

2006/007

80 / 125


Négyszögek


Theorem ˝ ˝ Egy érintonégyszög két-két szemközti oldalának összege egyenlo.

Theorem ˝ akkor Ha egy konvex négyszög két-két szemközti oldalának összege egyenlo, ˝ az érintonégyszög.


Praktikum

2006/007

80 / 125


Négyszögek



Theorem ˝ akkor Ha egy konvex négyszög két-két szemközti oldalának összege egyenlo, ˝ az érintonégyszög. Húrsokszög: azok a sokszögek, melyek minden csúcsa egy körön van, tehát minden oldala egy kör húrja. Az ilyen sokszögeknek van körülírt körük. Minden húrsokszög konvex.


Praktikum

2006/007

80 / 125


Négyszögek



Theorem ˝ akkor Ha egy konvex négyszög két-két szemközti oldalának összege egyenlo, ˝ az érintonégyszög. Húrsokszög: azok a sokszögek, melyek minden csúcsa egy körön van, tehát minden oldala egy kör húrja. Az ilyen sokszögeknek van körülírt körük. Minden húrsokszög konvex.

Theorem Egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha két szemközti szöge kiegészíto˝ szög. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF)

Praktikum

2006/007

80 / 125


Négyszögek

A háromszög szögeinek összege

Theorem A háromszög szögeinek összege 180◦ .


Praktikum

2006/007

81 / 125


Négyszögek

A háromszög szögeinek összege

Theorem A háromszög szögeinek összege 180◦ . Derékszögu˝ háromszög hegyesszögei pótszögek.

Theorem A háromszögnek egy külso˝ szöge a nem mellette fekvo˝ belso˝ szögek ˝ összegével egyenlo.


Praktikum

2006/007

81 / 125


Négyszögek

Sokszögek

Theorem Konvex n-szög szögeinek összege (n − 2)π.

Theorem Konvek sokszög külso˝ szögeinek összege 360◦ .

Theorem n-szög szögeinek összege (n − 2)π.


Praktikum

2006/007

82 / 125

Térbeli alakzatok.

Poliéder

Konvex poliéder: Véges sok sík által határolt véges térbeli tartomány. Mindegyik síkból a többi sík egy sokszöget vág ki, ez a sokszög a poliéder egy lapja. Bármely két lap közös oldalát élnek nevezzük.


Praktikum

2006/007

83 / 125

Térbeli alakzatok.

Poliéder

Konvex poliéder: Véges sok sík által határolt véges térbeli tartomány. Mindegyik síkból a többi sík egy sokszöget vág ki, ez a sokszög a poliéder egy lapja. Bármely két lap közös oldalát élnek nevezzük. Szabályos poléder: lapjai egybevágók, lapjai minden csúcsot ugyanolyan módon vesznek körül.


Praktikum

2006/007

83 / 125

Térbeli alakzatok.

Poliéder

Konvex poliéder: Véges sok sík által határolt véges térbeli tartomány. Mindegyik síkból a többi sík egy sokszöget vág ki, ez a sokszög a poliéder egy lapja. Bármely két lap közös oldalát élnek nevezzük. Szabályos poléder: lapjai egybevágók, lapjai minden csúcsot ugyanolyan módon vesznek körül. Félszabályos poliéder: minden lapja szabályos sokszög, lapjai minden csúcsot ugyanolyan módon veszik körül.


Praktikum

2006/007

83 / 125

Térbeli alakzatok.

Poliéder Theorem I

I

I

Az egyszeru˝ poliéder minden éle pontosan két laphoz tartozik. Egy csúcsból annyi él indul ki ahány lap alkotja a testszögletet. Az egyszeru˝ poliéder két lapjának egy-egy A, B pontja mindíg összekötheto˝ a felületen haladó töröttvonallal, amely nem megy át a csúcsokon. ˝ álló Az egyszeru˝ poliéder két csúcsa mindíg összekötheto˝ élekbol töröttvonallal.

Theorem (Euler poliédertétele) ˝ Az egyszeru˝ poliéder éleinek száma kettovel kevesebb, mint a lapok és csúcsok számának összege. Azaz c − e + l = 2, ahol c a csúcsok, e az élek, l a lapok száma. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF)

Praktikum

2006/007

84 / 125

Térbeli alakzatok.

Hasáb

Hasábfelület: ha egy sokszögvonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a sokszög síkjával, hasábfelületet kapunk. A párhuzamos egyenesek a felület alkotói, a sokszög a hasáb vezérsokszöge.


Praktikum

2006/007

85 / 125

Térbeli alakzatok.

Hasáb

Hasábfelület: ha egy sokszögvonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a sokszög síkjával, hasábfelületet kapunk. A párhuzamos egyenesek a felület alkotói, a sokszög a hasáb vezérsokszöge. Hasáb: Ha a hasábfelületet két olyan párhuzamos síkkal elmetsszük, amelyek nem párhuzamosak az alkotókkal, akkor a kapott poliédert hasábnak nevezzük. A párhuzamosok síkmetszeteként kapott sokszögek az alapok, a többi sokszög az oldallapok. Az oldallapok összessége a palást. A hasáb két alapjának távolsága a hasáb magassága.


Praktikum

2006/007

85 / 125

Térbeli alakzatok.

Hasáb

Hasábfelület: ha egy sokszögvonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a sokszög síkjával, hasábfelületet kapunk. A párhuzamos egyenesek a felület alkotói, a sokszög a hasáb vezérsokszöge. Hasáb: Ha a hasábfelületet két olyan párhuzamos síkkal elmetsszük, amelyek nem párhuzamosak az alkotókkal, akkor a kapott poliédert hasábnak nevezzük. A párhuzamosok síkmetszeteként kapott sokszögek az alapok, a többi sokszög az oldallapok. Az oldallapok összessége a palást. A hasáb két alapjának távolsága a hasáb magassága. ˝ Ha az alkotók merolegesek az alapokra egyenes hasábról, egyébként pedig ferde hasábról beszélünk. Ha az egyenes hasáb alapja szabályos sokszög, akkor szabályos hasábról beszélhetünk.


Praktikum

2006/007

85 / 125

Térbeli alakzatok.

Hasáb

Hasábfelület: ha egy sokszögvonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a sokszög síkjával, hasábfelületet kapunk. A párhuzamos egyenesek a felület alkotói, a sokszög a hasáb vezérsokszöge. Hasáb: Ha a hasábfelületet két olyan párhuzamos síkkal elmetsszük, amelyek nem párhuzamosak az alkotókkal, akkor a kapott poliédert hasábnak nevezzük. A párhuzamosok síkmetszeteként kapott sokszögek az alapok, a többi sokszög az oldallapok. Az oldallapok összessége a palást. A hasáb két alapjának távolsága a hasáb magassága. ˝ Ha az alkotók merolegesek az alapokra egyenes hasábról, egyébként pedig ferde hasábról beszélünk. Ha az egyenes hasáb alapja szabályos sokszög, akkor szabályos hasábról beszélhetünk.


Praktikum

2006/007

85 / 125

Térbeli alakzatok.

Hasáb Theorem I I I

A hasáb oldallapjai paralelogrammák. A hasáb alajai egybevágó sokszögek. Ha a hasáb alapja konvex, akkor a hasáb is konvex alakzat.


Praktikum

2006/007

86 / 125

Térbeli alakzatok.



Paralelepipedon: Paralelogramma alapú hasáb. Téglatest: téglalap alapú egyenes hasáb. Kocka: téglatest, melynek minden lapja négyzet.


Praktikum

2006/007

86 / 125

Térbeli alakzatok.



Paralelepipedon: Paralelogramma alapú hasáb. Téglatest: téglalap alapú egyenes hasáb. Kocka: téglatest, melynek minden lapja négyzet.

Theorem A paralelepipedon centrálszimmetrikus.

Theorem Az egyenes hasáb palástjának kifejtése téglalap, amelynek alapja az ˝ alapsokszög kerületével, magassága a hasáb magasságával egyenlo. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF)

Praktikum

2006/007

86 / 125

Térbeli alakzatok.

Gúla

Gúlafelület: egy sokszögvonal minden pontján át a sokszög síkján kívül fekvo˝ pontból félegyeneseket húzunk. A félegyenesek a gúlafelület alkotói. Ha a gúlafelületet egy olyan síkkal metszünk, amely minden alkotót metsz, akkor a sík, a gúlafelület és a csúcs által határolt térrészt gúlának nevezzük.


Praktikum

2006/007

87 / 125

Térbeli alakzatok.

Gúla

Theorem I I

Ha a gúla alapja konvex, akkor a gúla is konvex alakzat. A szabályos gúla oldallapjai egybevágó egyenlo˝ szárú háromszögek.


Praktikum

2006/007

88 / 125

Térbeli alakzatok.

Szabályos testek

Szabályos testszöglet: testszöglet, amelynek lapjai és lapszögei egybevágók Szabályos test: konvex poliéder, melynek élei, élszögei és lapszögei ˝ egyenlok. A szabályos test lapjai egybevágó szabályos sokszögek, testszögletei egybevágó szabályos testszögletek.


Praktikum

2006/007

89 / 125

Térbeli alakzatok.

Öt szabályos test Schlegel diagramm: Pálcikamodellt egyik lapja középpontjánál valamivel ˝ nézve egy nagy sokszöget látunk, melyet a többi lap kitölt. kijjebrol A Schlegel diagrammból leolvasható, hogy melyik csúcs melyik élhez és laphoz tartozik.


Praktikum

2006/007

90 / 125

Térbeli alakzatok.

Öt szabályos test Schlegel diagramm: Pálcikamodellt egyik lapja középpontjánál valamivel ˝ nézve egy nagy sokszöget látunk, melyet a többi lap kitölt. kijjebrol A Schlegel diagrammból leolvasható, hogy melyik csúcs melyik élhez és laphoz tartozik. Egyszeresen összefüggo˝ poliéder (Euler-poliéder): minden Schlegel diagrammal ábrázolható poliéder. Numerikus tulajdonságai kielégítik az Euler-féle összefüggést c − e + l = 2, ahol c a csúcsok, e az élek, l a lapok száma.


Praktikum

2006/007

90 / 125

Térbeli alakzatok.

Öt szabályos test Schlegel diagramm: Pálcikamodellt egyik lapja középpontjánál valamivel ˝ nézve egy nagy sokszöget látunk, melyet a többi lap kitölt. kijjebrol A Schlegel diagrammból leolvasható, hogy melyik csúcs melyik élhez és laphoz tartozik. Egyszeresen összefüggo˝ poliéder (Euler-poliéder): minden Schlegel diagrammal ábrázolható poliéder. Numerikus tulajdonságai kielégítik az Euler-féle összefüggést c − e + l = 2, ahol c a csúcsok, e az élek, l a lapok száma. Jelölés: {p, q} q: egy csúcsba befutó élek száma p: egy lap oldalainak száma Dr. Szilágyi Ibolya (EKF)

Praktikum

2006/007

90 / 125

Térbeli alakzatok.

Öt szabályos test Theorem Csak ötféle szabályos poliéder létezik, mégpedig {3, 3}, {4, 3}, {3, 4}, {5, 3}, {3, 5}.


Praktikum

2006/007

91 / 125

Térbeli alakzatok.

Öt szabályos test Theorem Csak ötféle szabályos poliéder létezik, mégpedig {3, 3}, {4, 3}, {3, 4}, {5, 3}, {3, 5}. Minden csúcsban q darab p-szög találkozik, s mindegyiknek (1 −

2 )π p

nagyságú szöge van.


Praktikum

2006/007

91 / 125

Térbeli alakzatok.

Öt szabályos test Theorem Csak ötféle szabályos poliéder létezik, mégpedig {3, 3}, {4, 3}, {3, 4}, {5, 3}, {3, 5}. Minden csúcsban q darab p-szög találkozik, s mindegyiknek (1 −

2 )π p

nagyságú szöge van. Egy csúcsnál levo˝ összes sokszög szögeinek összege 2π-nél kissebb kell, hogy legyen. q(1 −

2 )π < 2π, p

˝ következik ebbol (p − 2)(q − 2) < 4. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF)

Praktikum

2006/007

91 / 125

Térbeli alakzatok.

Öt szabályos test {4, 3} {3, 3} {3, 4} {3, 5} {5, 3}

kocka szabályos tetraéder oktaéder ikozaéder dodekaéder


Praktikum

2006/007

92 / 125

Térbeli alakzatok.



tetraéder oktaéder ikozaéder hexaéder dodekaéder


p 3 3 3 4 5

q 3 4 5 3 3

Praktikum

c 4 6 12 8 20

e 6 12 30 12 30

l 4 8 20 6 12

2006/007

92 / 125

Térbeli alakzatok.



tetraéder oktaéder ikozaéder hexaéder dodekaéder

p 3 3 3 4 5

q 3 4 5 3 3

c 4 6 12 8 20

e 6 12 30 12 30

l 4 8 20 6 12

˝ világegyetem burka. Platon: föld, tuz, ˝ víz, levego, Modellek: hálózati rajz


Praktikum

2006/007

92 / 125

Térbeli alakzatok.

Két szabályos test egymásnak duálisa, ha az egyik csúcsainak száma megegyezik a másik lapjainak számával.


Praktikum

2006/007

93 / 125

Térbeli alakzatok.

Két szabályos test egymásnak duálisa, ha az egyik csúcsainak száma megegyezik a másik lapjainak számával. A tetraéder duálisa tetraéder, oktaéderé hexaéder, ikozaéderés dodekaéder. A szabályos testek duálisai a lapközéppontok összekötéseivel származtathatók.


Praktikum

2006/007

93 / 125

Térbeli alakzatok.

Két szabályos test egymásnak duálisa, ha az egyik csúcsainak száma megegyezik a másik lapjainak számával. A tetraéder duálisa tetraéder, oktaéderé hexaéder, ikozaéderés dodekaéder. A szabályos testek duálisai a lapközéppontok összekötéseivel származtathatók.

Theorem Minden szabályos testhez egyetlen olyan pont található, amely a test csúcsaitól és lapjaitól egyenlo˝ távolságra van. A fent említett pontot a szabályos test középpontjának nevezzük.

Theorem A szabályos test élfelezo˝ normálisai egy pontban metszik egymát.


Praktikum

2006/007

93 / 125

Térbeli alakzatok.

Henger Ha egy síkbeli vonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a vonal síkjával, hengerfelületet kapunk. A síkbeli vonal a hengerfelület vezérvonala, a párhuzamos egyenesek az ˝ beszélünk. alkotók. Ha a vezérvonal kör, körhengerfelületrol


Praktikum

2006/007

94 / 125

Térbeli alakzatok.

Henger Ha egy síkbeli vonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a vonal síkjával, hengerfelületet kapunk. A síkbeli vonal a hengerfelület vezérvonala, a párhuzamos egyenesek az ˝ beszélünk. alkotók. Ha a vezérvonal kör, körhengerfelületrol Ha a hengerfelületet két párhuzamos síkkal elmetszük, amelyek nem párhutamosak az alkotókkal, a kapott véges térrészt hengernek nevezzük.


Praktikum

2006/007

94 / 125

Térbeli alakzatok.

Henger Ha egy síkbeli vonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a vonal síkjával, hengerfelületet kapunk. A síkbeli vonal a hengerfelület vezérvonala, a párhuzamos egyenesek az ˝ beszélünk. alkotók. Ha a vezérvonal kör, körhengerfelületrol Ha a hengerfelületet két párhuzamos síkkal elmetszük, amelyek nem párhutamosak az alkotókkal, a kapott véges térrészt hengernek nevezzük. Alap, palást, magasság, tengely.


Praktikum

2006/007

94 / 125

Térbeli alakzatok.

Henger Ha egy síkbeli vonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a vonal síkjával, hengerfelületet kapunk. A síkbeli vonal a hengerfelület vezérvonala, a párhuzamos egyenesek az ˝ beszélünk. alkotók. Ha a vezérvonal kör, körhengerfelületrol Ha a hengerfelületet két párhuzamos síkkal elmetszük, amelyek nem párhutamosak az alkotókkal, a kapott véges térrészt hengernek nevezzük. Alap, palást, magasság, tengely. ˝ Egyenes henger: az alkotók merolegesek az alapra. ˝ Ferde henger: az alkotók nem merolegesek az alapra. Körhenger: az alap kör.


Praktikum

2006/007

94 / 125

Térbeli alakzatok.

Henger Ha egy síkbeli vonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a vonal síkjával, hengerfelületet kapunk. A síkbeli vonal a hengerfelület vezérvonala, a párhuzamos egyenesek az ˝ beszélünk. alkotók. Ha a vezérvonal kör, körhengerfelületrol Ha a hengerfelületet két párhuzamos síkkal elmetszük, amelyek nem párhutamosak az alkotókkal, a kapott véges térrészt hengernek nevezzük. Alap, palást, magasság, tengely. ˝ Egyenes henger: az alkotók merolegesek az alapra. ˝ Ferde henger: az alkotók nem merolegesek az alapra. Körhenger: az alap kör.

Theorem A henger alapjai egybevágó síkidomok.


Praktikum

2006/007

94 / 125

Térbeli alakzatok.

Kúp

Ha egy síkbeli vonal minden pontján egy a vonal síkján kívül fekvo˝ pontból félegyeneseket húzunk, kúpfelületet kapunk. A síkbeli vonal a kúpfelület vezérvonala, a vezérvonal síkján kívüli pont a kúpfelület csúcsa, a félegyenesek az alkotók.


Praktikum

2006/007

95 / 125

Térbeli alakzatok.

Kúp

Ha egy síkbeli vonal minden pontján egy a vonal síkján kívül fekvo˝ pontból félegyeneseket húzunk, kúpfelületet kapunk. A síkbeli vonal a kúpfelület vezérvonala, a vezérvonal síkján kívüli pont a kúpfelület csúcsa, a félegyenesek az alkotók. Ha a kúpfelületet meghatározó félegyenesek helyett egyeneseket tekintünk, ˝ kúpfelületrol ˝ beszélünk. akkor kettos


Praktikum

2006/007

95 / 125

Térbeli alakzatok.

Kúp

Ha egy síkbeli vonal minden pontján egy a vonal síkján kívül fekvo˝ pontból félegyeneseket húzunk, kúpfelületet kapunk. A síkbeli vonal a kúpfelület vezérvonala, a vezérvonal síkján kívüli pont a kúpfelület csúcsa, a félegyenesek az alkotók. Ha a kúpfelületet meghatározó félegyenesek helyett egyeneseket tekintünk, ˝ kúpfelületrol ˝ beszélünk. akkor kettos Ha a kúpfelületet olyan síkkal metszük, amely minden alkotót metsz, s nem illeszkedik a csúcsra, akkor a sík, a kúpfelület és a csúcs által meghatározott térrészt kúpnak nevezzük. alkotó, palást, alap, magasság.


Praktikum

2006/007

95 / 125

Térbeli alakzatok.

Kúp

Ha egy síkbeli vonal minden pontján egy a vonal síkján kívül fekvo˝ pontból félegyeneseket húzunk, kúpfelületet kapunk. A síkbeli vonal a kúpfelület vezérvonala, a vezérvonal síkján kívüli pont a kúpfelület csúcsa, a félegyenesek az alkotók. Ha a kúpfelületet meghatározó félegyenesek helyett egyeneseket tekintünk, ˝ kúpfelületrol ˝ beszélünk. akkor kettos Ha a kúpfelületet olyan síkkal metszük, amely minden alkotót metsz, s nem illeszkedik a csúcsra, akkor a sík, a kúpfelület és a csúcs által meghatározott térrészt kúpnak nevezzük. alkotó, palást, alap, magasság. Körkúp: a kúp alapja kör. ˝ Egyenes körkúp: a körkúp tengelye meroleges az alapra.


Praktikum

2006/007

95 / 125

Térbeli alakzatok.

Theorem A körhenger és körkúp tengelyeire illeszkedo˝ síkok két alkotóban metszik ˝ s a kúp tengelyével ugyanakkora azokat. Az egyenes körkúp alkotói egyenlok, szöget zárnak be. Az egyenes körkúp alkotóit oldalmagasságnak, az alkotók és a tengely szögét a kúp félnyílásszögének nevezzük.

Theorem Ha az egyenlo˝ szárú háromszöget az alaphoz tartozó magassága körül megforgatjuk, egyenes körkúpot kapunk.

Theorem Ha kúpot az alappal párhuzaos síkkal metszük, az alaphoz hasonló síkidomot kapunk.


Praktikum

2006/007

96 / 125

Térbeli alakzatok.

Csonkakúp

Ha a kúpot az alappal párhuzamos síkkal metszük, akkor a két párhuzamos sík közötti kúprészt csonka kúpnak nevezzük. A párhuzamos lapok az alapok, az alapok közötti felületrész a palást. A két alap síkjának távolsága a csonkakúp magassága. Az egyenes körkúpból származtatott csonkakúp az egyenes csnkakúp.

Theorem ˝ Az egyenes csonkakúp tengelye meroleges az alapokra.

Theorem Csonka körkúp mindkét alapja kör.


Praktikum

2006/007

97 / 125

Térbeli alakzatok.

Gömb A tér azon pontjainak halmazát, melyek adott ponttól adott távolságra vannak, ˝ s azon belüli pontok gömbfelületnek nevezzük. A gömbfelületen levo, összességét gömbtestnek nevezzük.

Theorem A gömb konvex alakzat. A gömbfelület két pontját összeköto˝ szakasz a gömb húrja. A középpontra ˝ illeszkedo˝ húrt átméronek mondjuk.


Praktikum

2006/007

98 / 125

Térbeli alakzatok.

Gömb A tér azon pontjainak halmazát, melyek adott ponttól adott távolságra vannak, ˝ s azon belüli pontok gömbfelületnek nevezzük. A gömbfelületen levo, összességét gömbtestnek nevezzük.

Theorem A gömb konvex alakzat. A gömbfelület két pontját összeköto˝ szakasz a gömb húrja. A középpontra ˝ illeszkedo˝ húrt átméronek mondjuk.

Theorem Gömb és sík kölcsönös helyzete a következo˝ lehet: nincs közös pontjuk, egy közös pontjuk van, egy körben metszik egymást.

Theorem A gömb minden síkmetszete kör. ˝ Gömbi fokör, gömbi kiskör. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF)

Praktikum

2006/007

98 / 125

Térbeli alakzatok.

Gömb

Theorem ˝ ˝ körül megforgatjuk, gömböt kapunk. Ha a fokört egyik átméroje

Theorem A gömbfelület valamelyik pontját tartalmazó sík a gömböt akkor és csak akkor ˝ ériti, ha meroleges a pontot tartalmazó sugárra.


Praktikum

2006/007

99 / 125

Térbeli alakzatok.

Theorem Egy egyenesnek és egy gömbnek 0, 1 vagy 2 közös pontjuk van. Ha az egyenesnek és a gömbnek egy közös pontja van, akkor az egyenest a ˝ gömb érintojének nevezzük.

Theorem ˝ az érintési pontban meroleges ˝ A gömb érintoje a sugárra.

Theorem ˝ ˝ érinti a gömböt is. A gömb fokörének érintoje

Theorem ˝ az érintosíkban ˝ A gömbfelület egy adott pontjához tartozó érintoi vannak. ˝ az érintési ponthoz húzott sugár körül elforgatjuk, az Ha a gömb érintojét ˝ érinto˝ az érintosíkot írja le. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF)

Praktikum

2006/007

100 / 125

Térbeli alakzatok.

Theorem ˝ ˝ az érintési pontok Külso˝ pontból a gömbhöz húzott érintoszakaszok egyenlok, egy síkban vannak, és az érinto˝ félegyenesek egy egyenes körkúpfelületet határoznak meg.

Theorem ˝ egy egyenes A gömbhöz egy egyenessel párhuzamosan húzott érintok ˝ körhengerfelületen vannak, az érintési pontok pedig a gömb egy fokörén.


Praktikum

2006/007

101 / 125

Térbeli alakzatok.

Gömb részei

˝ egy sík két gömbsüveget metsz ki, a gömbtestbol ˝ pedig két A gömbfelületbol gömbszeletet. A gömbi kört a süveg alapkörének, illetve a szelet alapjának ˝ ˝ nevezzük. A síkra meroleges gömbátméronek a süveghez tartozó része a ˝ ˝ beszélünk. magasság. ha a gömbi kör fokör, akkor félgömbrol


Praktikum

2006/007

102 / 125

Térbeli alakzatok.

Gömb részei

˝ egy sík két gömbsüveget metsz ki, a gömbtestbol ˝ pedig két A gömbfelületbol gömbszeletet. A gömbi kört a süveg alapkörének, illetve a szelet alapjának ˝ ˝ nevezzük. A síkra meroleges gömbátméronek a süveghez tartozó része a ˝ ˝ beszélünk. magasság. ha a gömbi kör fokör, akkor félgömbrol ˝ két párhuzamos sík gömbövet metsz ki, a gömbtestbol ˝ A gömbfelületbol pedig gömbréteget.


Praktikum

2006/007

102 / 125

Térbeli alakzatok.

Gömb részei

˝ egy sík két gömbsüveget metsz ki, a gömbtestbol ˝ pedig két A gömbfelületbol gömbszeletet. A gömbi kört a süveg alapkörének, illetve a szelet alapjának ˝ ˝ nevezzük. A síkra meroleges gömbátméronek a süveghez tartozó része a ˝ ˝ beszélünk. magasság. ha a gömbi kör fokör, akkor félgömbrol ˝ két párhuzamos sík gömbövet metsz ki, a gömbtestbol ˝ A gömbfelületbol pedig gömbréteget. Ha a gömbszelet alapkörének pontjait összekötjük a gömb középpontjával, akkor gömbcikkeket kapunk.


Praktikum

2006/007

102 / 125

Térbeli alakzatok.

Gömb részei

˝ egy sík két gömbsüveget metsz ki, a gömbtestbol ˝ pedig két A gömbfelületbol gömbszeletet. A gömbi kört a süveg alapkörének, illetve a szelet alapjának ˝ ˝ nevezzük. A síkra meroleges gömbátméronek a süveghez tartozó része a ˝ ˝ beszélünk. magasság. ha a gömbi kör fokör, akkor félgömbrol ˝ két párhuzamos sík gömbövet metsz ki, a gömbtestbol ˝ A gömbfelületbol pedig gömbréteget. Ha a gömbszelet alapkörének pontjait összekötjük a gömb középpontjával, akkor gömbcikkeket kapunk. Ha a gömböt két olyan félsíkkal metsszük, amelyeknek közös határegyenese ˝ akkor gömbkétszögeket kapunk. A gömbtestbol ˝ kimetszett részt átméro, gömbgerezdnek mondjuk.


Praktikum

2006/007

102 / 125

Térbeli alakzatok.

Egyenes körhenger és körkúp síkmetszetei

Az egyenes körhenger és körkúp tengelyeire illeszkedo˝ síkok metszeteit tengelymetszeteknek nevezzük.

Theorem ˝ párhuzamos egyenest, Az alkotókkal párhuzamos sík a körhengerfelületbol illetve egyenespárt metsz ki, vagy nem metzi a felületet. I I I I

Egyenes körhenger tengelymetszete téglalap. ˝ Az egyenes körhenger tengelyre meroleges síkmetszete kör. Egyenes körkúl tengelymetszete egyenlo˝ szárú háromszög. ˝ Az egyenes körkúp tengelyre meroleges síkmetszete kör.


Praktikum

2006/007

103 / 125

Térbeli alakzatok.

Theorem ˝ Az egyenes körhenger tengelyével nem párhuzamos és arra nem meroleges sík a hengerfelületet ellipszisben metszi.

Theorem A körkúpfelület csúcspontjára illeszkedo˝ sík 0, 1 vagy 2 alkotót metsz ki a kúpból.


Praktikum

2006/007

104 / 125

Térbeli alakzatok.

Theorem ˝ Az egyenes körhenger tengelyével nem párhuzamos és arra nem meroleges sík a hengerfelületet ellipszisben metszi.

Theorem A körkúpfelület csúcspontjára illeszkedo˝ sík 0, 1 vagy 2 alkotót metsz ki a kúpból.

Theorem Ha egy sík nem illeszkedik az egyenes körkúp csúcspontjára, és minden alkotót metsz, akkor a kúpfelületet ellipszisben metszi.


Praktikum

2006/007

104 / 125

Térbeli alakzatok.

Theorem Ha egy sík nem illeszkedik az egyenes körkúp csúcspontjára, és egyetlen alkotóval párhuzamos, a többit pedig metszi, akkor a kúpfelületet parabolában metszi.

Theorem Ha egy sík nem illeszkedik az egyenes körkúp csúcspontjára, és két alkotóval ˝ kúpfelületet hiperbolában párhuzamos, a többi alkotót metszi, akkor a kettos metszi.


Praktikum

2006/007

105 / 125

Kerület, terület, térfogat, felszín.

Sokszögek kerülete

A sokszögek oldalai hosszának összege a sokszög kerülete. Egy sokszög által tartalmazott sokszöget belso˝ sokszögnek nevezzük. A belso˝ sokszögnek a másik külso˝ sokszöge. Ha a sokszög csúcsai egy másik ˝ beszélünk. sokszög oldalaira illeszkednek, akkor beírt sokszögrol


Praktikum

2006/007

106 / 125


Sokszögek kerülete

A sokszögek oldalai hosszának összege a sokszög kerülete. Egy sokszög által tartalmazott sokszöget belso˝ sokszögnek nevezzük. A belso˝ sokszögnek a másik külso˝ sokszöge. Ha a sokszög csúcsai egy másik ˝ beszélünk. sokszög oldalaira illeszkednek, akkor beírt sokszögrol I

I

Ha egy konvex sokszög egy másik konvex sokszöget tartalmaz, akkor a belso˝ sokszög kerülete kisebb a külso˝ sokszög kerületénél. ˝ Hasonló sokszögek kerületének aránya a hasonlóság arányával egyenlo.


Praktikum

2006/007

106 / 125


Terület

Minden sokszöghöz hozzárendelheto˝ egy pozitív valós szám, amelyet a ˝ sokszög területének nevezünk, s amelyre érvényesek a következok. 1. Az egységnyi oldalhosszúságú négyzet területe 1. ˝ 2. Egybevágó sokszögek területe egyenlo. 3. Ha egy sokszöget két sokszögre bontunk, akkor a részek területeinek ˝ összege az eredeti sokszög területével egyenlo.


Praktikum

2006/007

107 / 125


Terület

Minden sokszöghöz hozzárendelheto˝ egy pozitív valós szám, amelyet a ˝ sokszög területének nevezünk, s amelyre érvényesek a következok. 1. Az egységnyi oldalhosszúságú négyzet területe 1. ˝ 2. Egybevágó sokszögek területe egyenlo. 3. Ha egy sokszöget két sokszögre bontunk, akkor a részek területeinek ˝ összege az eredeti sokszög területével egyenlo. Minden sokszög területe a konvex sokszögekre való felbontással adódó ˝ részek területeinek öszegével egyenlo.


Praktikum

2006/007

107 / 125


I I I I I

I

I

I

I

I

I

˝ A téglalap területe két szomszédos oldalának szorzatával egyenlo. ˝ A trapéz területe a középvonal és a magasság szorzatával egyenlo. A paralelogramma területe az oldal és a magasság szorzata. ˝ A deltoid területe az átlóinak szorzatának felével egyenlo. ˝ Az érintosokszög területe fele akkora, mint a sokszög kerületének és a beírt kör sugarának szorzata. A háromszög területe egy oldal és a hozzá tartozó magasság szorzatának a fele. A háromszög területe a háromszög középvonalának és a hozzá tartozó ˝ magasságnak a szorzatával egyenlo. Ha a háromszög oldalai a, b, c, körülírt körének sugara r , akkor területe t = abc 4r . Ha a háromszög kerületét 2s-el, a beírt kör sugarát ρ-val jelöljük, akkor a háromszög területe t = ρ · s. ˝ érinto˝ kör sugarát ρa -val jelöljük, Ha a háromszöget az a oldalán kivülrol akkor a háromszög területe t = ρa · (s − a). p Az a, b, c oldalú háromszög területe t = s(s − a)(s − b)(s − c) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF)

Praktikum

2006/007

108 / 125


Kör

I I I

I I

A kör kerülete 2r π. Ugyanazon a körön fekvo˝ ívek hossza a középponti szögekkel arányos. Ha az r sugarú kör középponti zöge ívmértékkel mérve α, akkor az ív hossza r α. A körnek van területe, s ez r 2 π. A körcikknek van területe, mégpedig feleakkora, mint a körcikk sugarának és a határoló körív hosszának szorzata.


Praktikum

2006/007

109 / 125


Térfogat

Minden poliéderhez hozzárendelheto˝ egy pozitív valós szám, amelyet a ˝ poliéder térfogatának nevezünk, s amelyre érvényesek a következok. 1. Az egységkocka térfogata 1. ˝ 2. Egybevágó poléderek térfogata egyenlo. 3. Ha egy poliédert két poliéderre bontunk, akkor a részek térfogatainak ˝ összege az eredeti poliéder térfogatával egyenlo.


Praktikum

2006/007

110 / 125


Térfogat

Minden poliéderhez hozzárendelheto˝ egy pozitív valós szám, amelyet a ˝ poliéder térfogatának nevezünk, s amelyre érvényesek a következok. 1. Az egységkocka térfogata 1. ˝ 2. Egybevágó poléderek térfogata egyenlo. 3. Ha egy poliédert két poliéderre bontunk, akkor a részek térfogatainak ˝ összege az eredeti poliéder térfogatával egyenlo. Következmény: ˝ Ha egy poliéder tartalmaz egy másikat, akkor az elobbi térfogata nagyobb az utóbbiénál. Ha egy poliédert véges sok poliéderre bontunk, akkor a részpoliéderek ˝ térfogatainak összege az eredeti poliéder térfogatával egyenlo.


Praktikum

2006/007

110 / 125


Térfogat I

I

I

I

I I

I

I

Ha két téglatest alapja egybevágó, akkor térfogatuk aránya magasságaik ˝ arányával egyenlo. A téglatest térfogata az egy csúcsba futó három él hosszának ˝ szorzatával egyenlo. A paralelepipedon térfogata az alap területének és a hozzá tartozó ˝ magasságnak a szorzatával egyenlo. A paralelepipedon bármely lapjának és a hozzá tartozó magasságnak a ˝ szorzata egyenlo. ˝ A hasáb térfogata az alapterület és a magasság szorzatával egyenlo. ˝ akkor a térfogatuk Ha két tetraéder alapterülete és magassága egyenlo, ˝ is egyenlo. A tetraéder térfogata: alapterület szorozva a hozzá tartozó magassággal, osztva 3-mal. Gúla térfogata az alapterület és a magasság szorzatának harmadrésze.


Praktikum

2006/007

111 / 125


Térfogat

I

Ha a henger alapjának van területe, akkor a hengernek van térfogata, és ez az alaplap területének és a henger magassságának a szorzatával ˝ egyenlo.

I

Ha a kúl alapjának van területe, akkor a kúpnak van térfogata, és ez az alaplap területének és a magassság szorzatának harmadrészével ˝ egyenlo.

I

Az r sugarú gömb térfogata


4r 3 π 3 .

Praktikum

2006/007

112 / 125


Felszín

Poliéder felszínén a határoló sokszögek területeinek összegét értjük. Korlátos konvex test felszínén a beírt konvex poliéderek felszínének felso˝ határát értjük. I I I

Egyenes körhenger felszíne: 2r 2 π + 2r πm. Az egyenes körkúp felszíne r 2 π + r πo, ahol o a kúp alkotója. Az r sugarú gömb felszíne 4r 2 π.


Praktikum

2006/007

113 / 125

07 I. szemeszter

Recommend Documents