0,269 of binompdf(8, 7, 4) 0,269

G&R vwo A deel 4 C. von Schwartzenberg

13 Mathematische statistiek 1/12

1a

4 + 1 = 5 . P (som = 6) = P (24) + P (33) =  21  ⋅ P (24) + P (33) = 2 ⋅ 24 ⋅ 41 + 41 ⋅ 41 = 16 16 16  

1b

24 + 12 = 36 = 1 . P (som = 10) = P (334) + P (244) =  23  ⋅ P (334) +  31  ⋅ P (244) = 3 ⋅ 26 ⋅ 26 ⋅ 26 + 3 ⋅ 61 ⋅ 26 ⋅ 26 = 216 216 216 6    

1c

T = het aantal keer 2 ⇒ P (T ≥ 3) = 1 − P (T ≤ 2) = 1 − binomcdf(12, 24 ,2) ≈ 0, 981.

1d

4 + 1 = 5 . P (24) = P (24) + P (42) = 24 ⋅ 26 + 41 ⋅ 61 = 24 24 24

1e

E = het aantal keer 1 ⇒ P (E ≥ 3) = 1 − P (E ≤ 2) = 1 − binomcdf(n , 61 ,2) > 0, 85. n = 26 (TABLE) ⇒ P (E ≥ 3) ≈ 0, 832 en n = 27 (TABLE) ⇒ P (E ≥ 3) ≈ 0,851. Je moet dus minstens 27 keer draaien.

1f 1g

3 2 3 2 P (222334) =  63  ⋅  23  ⋅ 24 ⋅ 41 ⋅ 41 ≈ 0,117 of 6! ⋅ 24 ⋅ 41 ⋅ 41 ≈ 0,117. 3! ⋅ 2!    

( ) ( ) ( ) ( ) 3 P (** 4 444) = 1 ⋅ 1 ⋅ 46 ⋅ ( 26 ) ≈ 0, 025. (waarbij * staat voor "alles mag" en 4 voor "geen 4") 7  ⋅ 8    

2a

3 2 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ 7 ≈ 0,326. P (rr r r r) =     ≈ 0,326 of  53  ⋅ 15 14 13 12 11  15      5

2b 2c

2d

7 4 ⋅ 8 4 ≈ 0,269 of binompdf(8, 7 , 4) ≈ 0,269. P (rr rr r r r r) =  84  ⋅ 15 15 15  

( ) ( )

 7  ⋅  5  ⋅  3  3  2   1  7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ≈ 0,210. P (r rrw w z) =       ≈ 0,210 of  36  ⋅  23  ⋅ 15 14 13 12 11 10  15      6   7 3 ⋅ 5 2 ⋅ 3 ≈ 0,136. P (rr rw w z) =  36  ⋅  23  ⋅ 15 15 15    

( ) ( )

8  

2e

8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 7 ≈ 0, 033 of P (r r r r r) = P (r r r r) ⋅ P (r) =  4  ⋅ 7 ≈ 0, 033. P (r r r r r) = 15 14 13 12 11  15  11 4  

2f

7 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 5 ≈ 0,163 of P (rr r r r r r) =  26  ⋅ 15 14 13 12 11 10 9  

3a

2 3 ≈ 0,079 of 6 ⋅ 5 = 3 ≈ 0,079. P (zz) =   = 38 20 19 38  20 

7 ⋅ 8 2 4 P (r r r r r r r) = P (r r r r r r) ⋅ P (r) =     ⋅ 59 ≈ 0,163.  15  6  

6  

2  

X = het aantal keer "2 zwart" ⇒ P (X = 3) = binompdf(10, Ans,3) ≈ 0, 033. 3b

3c

5 6 9 2   2   2  P (twee met dezelfde kleur) = P (w w) + P (zz) + P (bb) = + +   ≈ 0,321 of  20   20   20  2 2 2       5 ⋅ 4 + 6 ⋅ 5 + 9 ⋅ 8 = 61 ≈ 0,321. P (twee met dezelfde kleur) = P (w w) + P (zz) + P (bb) = 20 19 20 19 20 19 190 Y = het aantal keer "2 met dezelfde kleur" ⇒ P (Y > 4) = 1 − P (Y ≤ 4) = 1 − binomcdf(10,Ans, 4) ≈ 0,189. 9 2 9 ⋅ 8 = 77 ≈ 0,811. P (hoogstens 1 blauwe) = 1 − P (bb) = 1 −   ≈ 0,811 of 1 − 20 19 95  20  2   B = het aantal keer "hoogstens één blauwe" ⇒ P (B ≥ 5) = 1 − P (B ≤ 4) = 1 − binomcdf(10,Ans, 4) ≈ 0, 995. 5

3d

2 3 5 ⋅ 4 = 1 ≈ 0,053. P (s s s s) = 18 ⋅ 1 ≈ 0, 045. P (s) = P (w w) =   ≈ 0,053 of 20 19 19 19 19  20 

( )

2  

3e

3 P (meer dan 3 keer pakken) = P (s s s) = 18 ≈ 0, 850. 19

4a

P (R ≥ 2) = 1 − P (T ≤ 1) = 1 − binomcdf(5, 0.80,1) ≈ 0, 993.

4b

P (afwisselend raak en mis) = P (rmr mr) + P (m rmr m) = 0,83 ⋅ 0,22 + 0,23 ⋅ 0,82 ≈ 0, 026.

4c

P (twee keer achter elkaar raak en drie keer mis) = P ( rr mm m) =  41  ⋅ 0, 82 ⋅ 0,23 ≈ 0, 020.

( )

 


13 Mathematische statistiek 2/12  3 2 2 rm) =   ⋅ 0,8 ⋅ 0,2 ⋅   ⋅ 0, 8 ⋅ 0,2 ≈ 0, 031. 1 1

4d

P (twee keer achter elkaar raak en drie keer mis) = P (r mm

4e

M = het aantal keer mis ⇒ P (M

5a

3 3 P (Amerikanen in de middelste drie banen) =   ≈ 0, 029. 7 3  

5c

2 P (tenminste één niet-Amerikaan in een buitenbaan) = 1 − P (geen niet-Amerikaan in een buitenbaan) = 1 −   ≈ 0, 857.

6

1 ⋅1 ⋅1 = 1 . P (1 2 3) = 10 9 8 720

7a

P (baantje) = P (B) = 0, 60 ⇒ P (geen baantje) = P (B) = 0, 40; P (baantje van meer dan 12 uur/week) = P (M) = 34 × 0, 60 = 0, 45 ⇒ P (kleinere baan) = P (K) = 41 × 0, 60 = 0,15

≤ 2) = binomcdf(10, 0.15,2) ≈ 0,820.

5b

2 ⋅ 5  1 1 P (één Duitser in een buitenbaan) =     ≈ 0, 476. 7 2   3  

7 2  

  17  ⋅ ⋅ 0, 403 ⋅ 0, 4512 ⋅ 0,155 ≈ 0, 002. P (B B B M MMMMM MMMM MMKKKKK) =  20 3   12  

 



7b

P (minstens vijf keer bellen) = P (eerste vier keer geen succes) = P (K K K K) = 0,85 4 ≈ 0,522.

7c

28 leerlingen, waarvan 16 een baantje. 5 van deze 16 werken meer dan 12 uur ⇒ 11 hebben een kleinere baan  17   

3 P (vier keer bellen) = P (K K K K) =   ⋅ 11 ≈ 0, 091 of P (K K K K) = 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 11 ≈ 0, 091.  28  25 3  

8a 8b

28 27 26 25

  12   8  1 16 P (1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4) =  16 ⋅ ⋅ ⋅ ≈ 0, 015 of 4   4  4 4

( )       10 6   10  1 2 P (2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 a a a a a a) =  16  ⋅  4  ⋅ ( 4 ) ⋅ ( 4 ) ≈ 0, 025 6    

16 16! ⋅ 1 ≈ 0, 015. 4 ! ⋅ 4! ⋅ 4! ⋅ 4! 4

( ) 10 6 16! of ⋅ 1 ⋅ ( 2 ) ≈ 0, 025. 4 6! ⋅ 4! ⋅ 6! ( 4 )

(a staat voor iets anders dan een 2 of een 3)

8c

P (bij de tiende worp evenveel als bij de derde worp) = 41 = 0,25.

9a

4 = 1 (zie de tabel hiernaast). P (som is 5) = P (5) = 16 4

5 4 3 2 + 1 4 3 2 1

2 2 27 of binompdf(4, 1 ,2) = 27 . P (55 5 5) =  24  ⋅ 41 ⋅ 34 = 128 128 4  

( ) ( )

9b

10b 10c 10d

7 6 5 4 3

8 7 6 5 4

4 = 1 (zie de tabel hiernaast). A = aantal keer "verschil is 2". P (verschil is 2) = P (2) = 16 4

P (A ≥ 1) = 1 − P (A

10a

6 5 4 3 2

4 3 2 1 3 2 1 0 2 1 0 1 1 0 1 2 − 1 2 3

4 = 175 of 1 − binompdf(4, 1 , 0) = 175 . = 0) = 1 − 3 4 256 4 256

( )

a = 6a = 1 . P (rr) = a6 ⋅ 24 4 24 a

a = 144 − 6a + a 2 − 6a = a 2 − 12a + 144 . P (rz) = P (rz) + P (zr) = a6 ⋅ 2424− a + a a− 6 ⋅ 24 24a 24a 24a 2 ⋅ 6 ⋅ (a − 6) 12a − 72 2  a 6 − 6 P (rz) =  1  ⋅ P (rz) = 2 ⋅ a ⋅ a − 1 = = 2 . a ⋅ (a − 1)   a −a

vaas

I

rood

6

a

zwart

a −6

24 − a

totaal

a

24

II

P (rz) = 12a2 − 72 > 0, 4 (bladeren door TABLE geeft) a −a

8, 9, 10, 11, ... , 20, 21, 22 of 23 knikkers. 11a 11b 11c

E = het aantal dat met een 1 begint. (20% van 125 is 125 = 25) 5 P (E < 25) = P (E ≤ 24) = binomcdf(125, 0.301,24) ≈ 0, 004. N = het aantal dat met een 9 begint. (10% van 80 is 80 = 8) 10 P (N ≥ 8) = 1 − P (N ≤ 7) = 1 − binomcdf(80, 0.046, 7) ≈ 0, 031. Je verwacht dat (30,1% dus) 0,301 ⋅ 750 ≈ 226 aantallen met een 1 begint.

P (E ≤ 189) = binomcdf(750, 0.301,189) ≈ 0, 002. Er is aanleiding om aan fraude te denken, want de kans dat er 189 of minder met een 1 beginnen is heel erg klein. 11d

 8 P (1 1 1 1 2 2 2 a a a a a) =  12 ⋅ ⋅ 0,301 4 ⋅ 0,1763 ⋅ 0, 5235 ≈ 0, 049 of 4   3     (a staat voor een 3, 4, 5, 6, 7, 8 of 9)

12! ⋅ 0,301 4 ⋅ 0,1763 ⋅ 0,5235 ≈ 0, 049. 4! ⋅ 3! ⋅ 5!

0 1 2 3 4

G&R vwo A deel 4 C. von Schwartzenberg 12a


Op de bovenste stippeltjes P (Sander pakt rood) = P (rS ) = 2 = 1 . Dus 1 . 4

2

2

Op de middelste stippeltjes P (Rob pakt wit) = P (wR ) = 2 . Dus 2 . 5

5

Op de onderste stippeltjes P (Sander pakt rood) = P (rS ) = 1 . Dus 1 . 4

12b

4

1 = 0, 05. P (Sander wint in 3 beurten) = P (rS wR rS ) = 24 ⋅ 25 ⋅ 41 = 20

12c

Het schema staat in figuur 13.3.

13a

P (Anouk wint in eerste beurt) = P (Anouk pakt 3 keer rood) = P (rA rA rA ) = 58 ⋅ 74 ⋅ 36 ≈ 0,179.

13b

P (Hinke wint bij het pakken van de vierde knikker) = P (wA rH rH rH ) = 38 ⋅ 75 ⋅ 64 ⋅ 53 ≈ 0,107. P (Anouk wint bij het pakken van de vijfde knikker) = P (wA wH rA rA rA ) + P (rA wA wH rA rA ) + P (rA rA wA wH rA )

13c

= 3 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 ≈ 0,161. 8 7 6 5 4

8 7 6 5 4

8 7 6 5 4

14a

7 ⋅ 9 ≈ 0,328. P (r rr) = 58 ⋅ 10 12

14b

5 ⋅ 5 + 3 ⋅ 5 ⋅ 5 + 5 ⋅ 3 ⋅ 5 ≈ 0,234. P (w w r) = P (w w r) + P (w r w) + P (rw w) = 38 ⋅ 10 12 8 10 12 8 10 12

15a

P (EEEEE) = 0, 65 ≈ 0, 078.

15b

P (EEBBBB B) =  26  ⋅ 0, 62 ⋅ 0, 4 4 ⋅ 0, 4 ≈ 0, 055.

15c

Dit betekent dat Eline de volgende drie rondes moet winnen met P (Eline wint alsnog) = P (EEE) = 0, 63 = 0,216.

15d

P (Eline wint alsnog) = P (EEE) + P (BEE E) = 0, 63 +  31  ⋅ 0, 4 ⋅ 0, 62 ⋅ 0, 6 ≈ 0, 475.

16a

Zie de kansboom (met de kansen) hiernaast.

16b 16c

 

 

1 2

P (Anton pakt zwart) = P (mz) = 21 ⋅ 52 = 0,2.

1 2

16d

P (Anton pakt twee keer wit) = P (k w k w) = 21 ⋅ 73 ⋅ 21 ⋅ 26 ≈ 0, 036.

16e

P (Anton pakt twee keer rood) = P (kr kr) + P (kr mr) + P (m rmr) + P (mrk r)

r

3 7

w

3 5

r

2 5

z

k

start

P (Anton pakt rood) = P (k r) + P (mr) = 21 ⋅ 74 + 21 ⋅ 53 ≈ 0,586.

4 7

m

= 1 ⋅ 4 ⋅ 1 ⋅ 3 + 1 ⋅ 4 ⋅ 1 ⋅ 3 + 1 ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ 4 ≈ 0,318. 2 7 2 6

2 7 2 5

2 5 2 4

2 5 2 7

17a

P (Evelien pakt de eerste keer rood) = P (Ir) + P (IIr) = 26 ⋅ 74 + 64 ⋅ 53 ≈ 0, 590.

17b

3 P (Evelien pakt drie keer rood) = P (rr r) = 26 ⋅ 74 + 64 ⋅ 53 ≈ 0,206.

17c

P (Evelien pakt twee keer zwart) = P (IIzIIz) = 46 ⋅ 52 ⋅ 64 ⋅ 52 ≈ 0, 071.

18a 18b

Zie de kansboom hiernaast.

P (Nederlander heeft spierpijnklachten) = P (ps) + P (p s) = 0, 01 ⋅ 0, 7 + 0, 99 ⋅ 0,2 = 0,205.

18c

Aantal = 10 000 ⋅ 0, 01 ⋅ 0, 7 = 70.

18d

Aantal = 10 000 ⋅ 0,205 = 2 050.

18e

70 ≈ 0, 034. P (persoon met spierpijnklachten heeft Parkinson) = 2050

18f

Van de personen die spierpijnklachten hebben, heeft maar een klein deel de ziekte van Parkinson. (zie 18e)

19a

P (testresultaat negatief) = P (geen malaria en negatief) + P (malaria en negatief) = 0, 94 ⋅ 0, 95 + 0, 06 ⋅ 0,20 = 0, 905.

19b

⋅ 0,80 P (testresultaat positief) = 1 − 0, 905 = 0, 095. Dus P (Marc is besmet) = 0,06 ≈ 0, 505. 0,095

19c

⋅ 0,95 P (Sabine is niet besmet) = 0,94 ≈ 0, 987. 0,905

20a

8 = 2 . P (Schut is aan het kopiëren) = 60 15

20b

52 10 ≈ 0, 761. P (minstens één keer aan het kopiëren) = 1 − P (geen enkele keer aan het kopiëren) = 1 − 60

(

)

0, 01 start

0,99

( )

0, 7

s

0, 3

s

0, 2

s

0, 8

s

p

p



21

-----

De verondertelling dat voor elke persoon de kans dat hij een kopieerapparaat nodig heeft gelijk is. De verondertelling dat op elk moment evenveel behoefte is om te kopiëren.

22

4 . K , het aantal klanten dat op dat moment geholpen moet worden, is binomiaal verdeeld met n = 120 en p = 180 4 P (K > 3) = P (K ≥ 4) = 1 − P (K ≤ 3) = 1 − binomcdf(120, 180 ,3) ≈ 0,278.

23a

1 . F , het aantal drukfouten dat op een willekeurige bladzijde staat, is binomiaal verdeeld met n = 48 en p = 280 1 ,1) ≈ 0, 013. P (F ≥ 2) = 1 − P (F ≤ 1) = 1 − binomcdf(48, 280

23b

1 ,2) ≈ 0, 012. P (F = 2) = binompdf(48, 280

Dus je verwacht Ans ⋅ 280 ≈ 3 bladzijden met twee drukfouten. 24

1 . J , het aantal jarige docenten op deze dag, is binomiaal verdeeld met n = 120 en p = 365 1 ,1) ≈ 0, 043. P (J ≥ 2) = 1 − P (J ≤ 1) = 1 − binomcdf(120, 365

25a

normalcdf(100,10 99,80,12) ≈ 0, 048.

25b

normalcdf( −10 99, a , 80,12) = 0,35 (intersect of) a = invNorm(0.35,80,12) ≈ 75,38.

25c

normalcdf(b ,10 99,80,12) = 0, 08 (intersect of) b = invNorm(0.92,80,12) ≈ 96, 86.

26a

normalcdf(1000,1099,1005, 6) ≈ 0, 798. Dus 79,8%.

26b

1 − normalcdf(1001,1009,1005, 6) ≈ 0,505. Dus 50,5%.

26c

normalcdf( −10 99,1000, µ, 8) = 0, 02 (intersect) ⇒ µ ≈ 1 016, 4 (gram).

27a

normalcdf(60, 70, 65.8, 9.2) ≈ 0, 412. Dus 41,2%.

27b

normalcdf( −1099, b , 65.8, 9.2) = 0,15 (intersect of) b = invNorm(0.15, 65.8, 9.2) ≈ 56,3. Dus tot de score 56,3 val je af.

27c

normalcdf( −10 99, c , 65.8, 9.2) = 0, 40 (intersect of) c = invNorm(0.40, 65.8, 9.2) ≈ 63,5. Dus bij de scores van 56,3 tot 63,5 mag je herkansen.

28a

µ = 28 +2 40 = 68 = 34 (kg). (een normale verdeling is symmetrisch t.o.v. µ ) 2 99 normalcdf( −10 ,28,34, σ ) = 0,20 (intersect) ⇒ σ ≈ 7,13 (kg).

28b

normalcdf(42.8,10 99,34, 7.13) ≈ 0,109. Dus 10,9%.

25d

normalcdf( −10 99 ,2.1,1.8, σ ) = 0.7 intersect geeft σ ≈ 0,57.

(als σ ≈ 7, 13 niet gevonden is, neem dan σ = 7, 1)

28c

normalcdf( −1099, c ,34, 7.13) = 0, 05 (intersect of) c = invNorm(0.05,34, 7.13) ≈ 22,3. Dus tot 22,3 kg word je opgeroepen.

28d

normalcdf( −10 99, d ,34, 7.13) = 0, 95 (intersect of) d = invNorm(0.95,34, 7.13) ≈ 45, 7. Dus P95 = 45, 7 kg.

29a

P (kind zwaarder dan 42 kg) = normalcdf(42,1099,34, 7.13) ≈ 0,131.

29b

P (minstens één zwaarder dan 42 kg) = 1 − P (niemand zwaarder dan 42 kg) = 1 − (1 − Ans)10 ≈ 0, 754.

29c

P (kind lichter dan 32 kg) = normalcdf( −10 99,32,34, 7.13) ≈ 0,389... C , het aantal kinderen lichter dan 32 kg, is binomiaal verdeeld met n = 10 en p = 0,389... P (C ≥ 6) = 1 − P (C ≤ 5) = 1 − binomcdf(10, 0.389..., 5) ≈ 0,149.

30a

A is het aantal instellingen dat langer dan 180 seconden ( = 3 minuten) duurt. p = normalcdf(180,1099,160,15) = 0, 091... (2 minuten en 40 seconden = 160 seconden) P (A ≥ 10) = 1 − P (A ≤ 9) = 1 − binomcdf(80, p , 9) ≈ 0,192.

G&R vwo A deel 4 C. von Schwartzenberg 30b


B is het aantal instellingen dat minder dan 150 seconden ( = 2 21 minuut) duurt.

p = normalcdf( −10 99,150,160,15) = 0,252... Dus naar verwachting duren p ⋅ 180 ≈ 45 handelingen minder dan 2 1 minuut. 2 30c

C is het aantal instellingen dat meer dan 165 seconden ( = 2 minuten en 45 seconden) duurt. p = normalcdf(165,10 99,160,15) = 0,369... P (C ≥ 5) = 1 − P (C ≤ 4) = 1 − binomcdf(n , p , 4) > 0, 99 (n geheel ⇒ TABLE) ⇒ n ≥ 28. De werknemer moet minstens 28 remmen instellen.

31a

Vuistregel I: 68% van de waarnemingsgetallen ligt binnen één standaardafwijking van µ ⇒ a = 68. Vuistregel II: 95% van de waarnemingsgetallen ligt binnen twee standaardafwijkingen van µ ⇒ b = 95.

31b

µ = 58 2+ 67 = 125 = 62, 5. (een normale verdeling is symmetrisch t.o.v. µ ) 2 Tussen P 2,5 en P 97,5 ligt 95% ⇒ µ − 2σ = P 2,5 ⇒ 62,5 − 2σ = 58 ⇒ −2σ = −4,5 ⇒ σ = 2,25.

32a

Y

•

•

•

X •

•

• •

----σY = 11---

µX = 74

µX + σ X = 93

P 10 = 50 en P 80 = 90 ⇒ de lijn van de toevalsvariabel X gaat door (50, 10) en (90, 80) (zie hierboven). Lees nu af: bij 50% hoort µ X = 74 en bij 84% hoort µ X + σ X = 93 ⇒ µ X = 74 en σ X = 93 − 74 = 19. 32b

µ Y = 68 (niet 60 zoals in de eerste boeken) en σY = 11 (niet 20 zoals in de eerste boeken). Dus de lijn van de toevalsvariabel Y gaat door (68, 50) en (79, 84) (zie de figuur bij 32a hierboven).

32c

Het snijpunt (59, 21) betekent dat van beide toevalsvariabelen 21% van de waarnemingen onder de 59 ligt.

33a

Ja, zie figuur 13.9. (de gemiddeldes van beide klokken zijn elkaars tegengestelden ⇒ µ −X = − µ X )

33b

Nee, zie figuur 13.9. (de standaardafwijkingen van beide klokken zijn gelijk ⇒ σ − X = σ X )

34

De totale afhandelingstijd T = X + Y van de twee fasen is normaal verdeeld met: 2 µ T = µ X + µ Y = 170 + 110 = 280 (seconden) en σ T = σ X + σY2 = 122 + 82 = 208 (seconden). P (T > 5 ⋅ 60) = normalcdf(300,10 99,280, 208) ≈ 0, 083. Dus in 8,3% van de gevallen.

35

De brutogewicht B = X + Y is normaal verdeeld met: 2 µB = µ X + µ Y = 5 + 248 = 253 (gram) en σ B = σ X + σY2 = 0,32 + 122 = 144, 09 (gram). P (B > 250) = normalcdf(250,10 99,253, 144.09) ≈ 0, 599. Dus in 59,9% van de gevallen.

36

De totale afstand d = d 1 + d 2 is normaal verdeeld met: µd = µd + µd = 45 + 130 = 175 (m) en σ d = σ 2 + σ 2 = 122 + 102 = 244 (m). 1

2

P (T > 200) = normalcdf(200,10

99

d1

d2

,175, 244) ≈ 0, 055.

G&R vwo A deel 4 C. von Schwartzenberg 37a


De bout is te dik voor de moer als X > Y ⇒V = X − Y > 0. V is ook normaal verdeeld met: 2 µ V = µ X − µ Y = 13,2 − 13, 5 = −0,3 (mm) en σ V = σ X + σY2 = 0,12 + 0,22 = 0, 05 (mm).

P (V > 0) = normalcdf(0,1099, −0.3, 0.05) ≈ 0, 090. Dus in 9,0% van de gevallen. 37b

µ V = µ X − µ Y = 13,2 − µ Y (mm) en σ V = 0, 05 (mm). P (V > 0) = normalcdf(0,10 99,13.2 − µ Y , 0.05) = 0, 03 (intersect) ⇒ µ Y ≈ 13, 62.

Dus met een gemiddelde diameter van de moeren van 13,62 mm. 38a

38b 38c

A = de speelsterkte van Van der Avoird en T = de speelsterkte van Thijssen. Van de Avoird wint van Thijssen als A >T ⇒V = A −T > 0. V is ook normaal verdeeld met: 2 µ V = µ A − µ T = 2170 − 1 920 = 250 en σ V = σ A + σT2 = 2002 + 2002 = 80 000. P (V > 0) = normalcdf(0,1099,250, 80 000) ≈ 0,812. De Elo-rating van Van de Avoird: Rnieuw = Roud + 10(w − v ) = 2170 + 10(0,5 − 0,81) ≈ 2167. De Elo-rating van Thijssen: Rnieuw = Roud + 10(w − v ) = 1 920 + 10(0,5 − 0,19) ≈ 1 923.

K = de speelsterkte van De Keizer en M = de speelsterkte van Mol. De Keizer wint van Mol als K > M ⇒V = K − M > 0. V is ook normaal verdeeld met: 2 = 2002 + 2002 = 80 000. µ V = µ K − µ M = 2 060 − 1 870 = 190 en σ V = σ K2 + σ M P (K wint) = P (V > 0) = normalcdf(0,10 99,190, 80 000) ≈ 0, 749.

De Elo-rating van De Keizer wordt 2 060 + 10(1 − 0, 749) ≈ 2 063. De Elo-rating van Mol wordt 1 870 + 10(0 − 0,251) ≈ 1 867. 39a

Limonade verloren als X < Y ⇒V = X − Y < 0. V is ook normaal verdeeld met: 2 µ V = µ X − µ Y = 1 015 − 1 005 = 10 (ml) en σ V = σ X + σY2 = 42 + 82 = 80 (ml).

P (V < 0) = normalcdf( −1099, 0,10, 80) ≈ 0,132. Dus in 13,2% van de gevallen. 39b

µ V = µ X − µ Y = 1 015 − µ Y (ml) en σ V = 80 (ml). P (V < 0) = normalcdf( −1099, 0,1 015 − µ Y , 80) = 0, 002 (intersect) ⇒ µ Y ≈ 989,3.

Dus de machine afstellen op een gemiddelde van 989,3 ml.

V

40a

X = de lengte van man 1 in cm en Y = de lengte van man 2 in cm. Het verschil is meer dan 15 betekent: V = X − Y < −15 (dus Y − X > 15) of V = X − Y > 15. −15

µ=0 σ = 72 opp. = ... 15 2

V is normaal verdeeld met: µ V = µ X − µ Y = 178 − 178 = 0 (cm) en σV = σ X + σY2 = 62 + 62 = 72 (cm). opp. = 2 ⋅ normalcdf( −10 99, −15, 0, 72) ≈ 0, 077 (de gevraagde kans).

40b

T , het aantal tweetallen dat meer dan 15 cm verschilt, is binomiaal verdeeld (n = 12 en p = Ans). P (T ≥ 2) = 1 − P (T ≤ 1) = 1 − binomcdf(12,Ans,1) ≈ 0,235.

41

De totale afhandelingstijd T is normaal verdeeld met:

µ T = 12 + 8 + 20 + 18 = 58 (sec.) en σ T = 0,52 + 0,32 + 0,82 + 1, 62 = 3,54 (sec.). P (T > 60) = normalcdf(60,10 99, 58, 3.54) ≈ 0,144. Dus in 14,4% van de gevallen. 42a

De totale fietstijd T is normaal verdeeld met:

µ T = 18 + 7 + 15 = 40 (min.) en σ T = 2, 52 + 1,252 + 22 = 11,8125 (min.). P (T > 45) = normalcdf(45,1099, 40, 11.8125) ≈ 0, 073. 42b

Van 7:25 tot 8:15 zijn 35 + 15 = 50 minuten.

T , het aantal keer te laat, is binomiaal verdeeld met n = 35 en p = normalcdf(50,1099, 40, 11.8125) ≈ 0,0018.... P (T ≥ 1) = 1 − P (T ≤ 0) = 1 − binomcdf(35, p , 0) ≈ 0, 061. 42c

c = invNorm(0.98, 40, 11.8125) ≈ 47, 06 (min.). OF...normalcdf( −10 99, c , 40, 11.8125) = 0, 98 (intersect) ⇒ c ≈ 47, 06 (min.). Dus minstens 47( = 15 + 32) minuten vóór 8:15 ⇒ vóór 7:28.

42d

µ T = µ I + 22 (min.) en σ T = 11,8125 (min.). normalcdf( −10 99, 40, µ I + 22, 11.8125) = 0, 90 (intersect) ⇒ µ I ≈ 13, 60 (min.). Dus de gemiddelde fietstijd op I is (ongeveer) 13 minuten en 36 seconden.



43

µ som = µ X + µ X + µ X + µ X + µ X + µ X + µ X + µ X = 8 ⋅ µ X . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + σX + σX + σX + σX + σX + σX + σX = 8 ⋅σX = σX ⋅ 8 = 8 ⋅σX ≠ 8 ⋅σX . σ som = σ X

44

P (X som ≥ 2 ⋅ 60 + 1 ⋅ 15) = P (X som ≥ 135) = P (X som > 135) = normalcdf(135,1099, 40 ⋅ 3, 8 ⋅ 3) ≈ 0,140.

45a

P (X stapel > 105) = normalcdf(105,10 99, 5 ⋅ 20, 0,5 ⋅ 20) ≈ 0, 013.

45b

B , het aantal stapels dat niet in de krat past, is binomiaal verdeeld met n = 12 en p = Ans. P (B ≥ 2) = 1 − P (B ≤ 1) = 1 − binomcdf(12, Ans,1) ≈ 0, 010.

46a

P (X < 20) = normalcdf( −10 99,20,25,3) ≈ 0, 048.

46b 46c

P (B < 140) = normalcdf( −1099,140,25 ⋅ 6,3 ⋅ 6) ≈ 0, 087. C , het aantal pakken dat minder dan 140 gram bevat, is binomiaal verdeeld met n = 20 en p = Ans. P (C > 2) = P (C ≥ 3) = 1 − P (C ≤ 2) = 1 − binomcdf(20, Ans,2) ≈ 0,249.

47

T , het gewicht van een krat met 12 flessen, is normaal verdeeld met: µ T = 1,5 ⋅ 12 + 2 = 20 (kg) en σ T = 0, 052 ⋅ 12 + 0,32 = 0,12 (kg). P (T > 20, 5) = normalcdf(20.5,1099,20, 0.12) ≈ 0, 074.

48a

Q , de duur van de quiz, is normaal verdeeld met µ Q = 4 ⋅ 6 = 24 (min.) en σQ = 0, 752 ⋅ 6 = 0, 75 6 (min.). P (Q > 25) = normalcdf(25,10 99,24, 0.75 6) ≈ 0,293... Dus naar verwachting Ans ⋅ 50 ≈ 15 keer.

48b

De verwachting P (Q > 25) ⋅ 50 ≤ 1 ⇒ P (Q > 25) ≤ 1 . 50

P (Q > 25) = normalcdf(25,1099, 6 ⋅ µronde , 0.75 6) = 0, 02 (intersect) ⇒ µ ronde ≈ 3, 54 (min).

Dat is 3 minuten en 32 seconden. 49a

P (X < 25 ∨ X > 35) = 1 − P (25 ≤ X ≤ 35) = 1 − P (25 < X < 35) = 1 − normalcdf(25,35,30, 4) ≈ 0,211.

49b

P (X < 25 ∨ X > 35) = 1 − P (25 < X < 35) = 1 − normalcdf(25,35,30, 4 ) ≈ 0, 000.

49c

P (30 − a < X < 30 + a ) = normalcdf(30 − a ,30 + a ,30, 4 ) = 0, 95 (intersect) ⇒ a ≈ 1, 75.

49d

P (X < 29 ∨ X > 31) = 1 − P (29 < X < 31) = 1 − normalcdf(29,31,30, 4 ) = 0, 001 (intersect) ⇒ n ≈ 173,2.

20

20

n

P (X < 29 ∨ X > 31) < 0, 001 (zie een plot/TABLE) ⇒ n > 173 (of n ≥ 174). 50a

P (A < 250) = normalcdf( −1099,250,250.4, 0.6) ≈ 0,252. Dus 25,2% van de pakjes.

50b

P (B < 250) = P (A < 250) = normalcdf( −1099,250,250.4, 0.6 ) ≈ 0, 018. Dus 1,8% van de dozen.

50c

P (C < 2500) = normalcdf( −10 99,2500,250.4 ⋅ 10, 0.6 10) ≈ 0, 018. Dus 1,8% van de dozen.

50d

Bij een gemiddeld gewicht van 250 gram per pakje, weegt een doos 10 ⋅ 250 = 2500 gram.

51

P (X > 100) = normalcdf(100,1099,104.5, 10 ) ≈ 0, 964. Dus 96,4% van de pakjes.

52a

P (A < 100) = normalcdf( −1099,100,102, σ ) = 0,15 (intersect) ⇒ σ ≈ 1, 93 (cl).

52b

P (B < 100) = P (A < 100) = normalcdf( −1099,100,102, 1.93 ) ≈ 0, 0002.

52c

P (C ≥ 1) = 1 − P (C = 0) = 1 − binompdf(25, Ans, 0) ≈ 0, 004.

53

normalcdf(35,1099 ,37, 5 ) = 0, 98 (intersect) ⇒ n ≈ 26, 4.

10

16

12

n

P (X ≥ 35) ≥ 0, 98 (zie een plot/TABLE) ⇒ n > 26 (of n ≥ 27).



54a

P (Z < 5) = normalcdf( −1099, 5,5.3, 0.5) ≈ 0,274.

54b

P (B < 100) = normalcdf( −1099,100, 5.3 ⋅ 20, 0.5 20) ≈ 0, 004.

54c

P (Z < 5, 2 ∨ Z > 5, 4) = 1 − P (5, 2 ≤ Z ≤ 5, 4) = 1 − P (5, 2 < Z < 5, 4 = 1 − normalcdf(5.2,5.4,5.3, 0.5 ) ≈ 0,371. 20

Dus van 37,1% van de pakjes. 54d

P (Z < 5) = normalcdf( −10 99,5,5.3, 0.5 ) = 0, 02 (intersect) ⇒ n ≈ 11, 7. n

P (Z < 5) < 0, 02 (zie een plot/TABLE) ⇒ n ≥ 12 (dus minstens 12 zakjes in een pakje). 55a

Niet juist, want bij aantallen X is X een geheel getal ⇒ P (X < 4) = P (X ≤ 3).

55b

Wel juist, want bij gewichten Y is Y ≤ 4 hetzelfde als Y < 4.

56a 56b

continu. discreet.

57a

57i

P (X ≤ 10) = P (Y ≤ 10, 5). P (X < 12) = P (X ≤ 11) = P (Y ≤ 11, 5). P (X > 18) = P (X ≥ 19) = 1 − P (X ≤ 18) = 1 − P (Y ≤ 18, 5). P (X ≥ 8) = 1 − P (X ≤ 7) = 1 − P (Y ≤ 7, 5). P (6 ≤ X ≤ 10) = P (X ≤ 10) − P (X ≤ 5) = P (Y ≤ 10, 5) − P (Y ≤ 5, 5). P (8 < X < 20) = P (X ≤ 19) − P (X ≤ 8) = P (Y ≤ 19, 5) − P (Y ≤ 8, 5). P (X ≤ 6 ∨ X ≥ 8) = P (X ≤ 6) + P (X ≥ 8) = P (X ≤ 6) + 1 − P (X ≤ 7) = P (Y ≤ 6, 5) + 1 − P (Y ≤ 7, 5). P (X = 10) = P (X ≤ 10) − P (X ≤ 9) = P (Y ≤ 10, 5) − P (Y ≤ 9, 5). P (9 < X ≤ 15) = P (X ≤ 15) − P (X ≤ 9) = P (Y ≤ 15, 5) − P (Y ≤ 9, 5).

58a

P (X ≤ 28) = P (Y ≤ 28, 5) = normalcdf( −1099,28.5,35.2, 6.9) ≈ 0,166.

58b 58d

P (X ≥ 38) = P (Y ≥ 37, 5) = normalcdf(37.5,10 99,35.2, 6.9) ≈ 0,369. P (X = 33) = P (32, 5 ≤ Y ≤ 33, 5) = normalcdf(32.5,33.5,35.2, 6.9) ≈ 0, 055. P (30 ≤ X ≤ 40) = P (29, 5 ≤ Y ≤ 40, 5) = normalcdf(29.5, 40.5,35.2, 6.9) ≈ 0,574.

58e

P (X < 45) = P (Y ≤ 44, 5) = normalcdf( −10 99, 44.5,35.2, 6.9) ≈ 0, 911.

58f

P (X > 40) = P (Y ≥ 40, 5) = normalcdf(40.5,10 99,35.2, 6.9) ≈ 0,221.

59a 59b

P (X < 20) = P (Y ≤ 19, 5) = normalcdf( −10 99,19.5,28.2, 4.3) ≈ 0, 022. Dus 2,2%. P (X = 30) = P (29, 5 ≤ Y ≤ 30, 5) = normalcdf(29.5,30.5,28.2, 4.3) ≈ 0, 085.

59c

P (X > 25) = P (Y ≥ 25, 5) = normalcdf(25.5,10 99,28.2, 4.3) ≈ 0, 735.

60a 60c

P (X > 12) = P (Y ≥ 12, 5) = normalcdf(12.5,10 99, 9.8,3.6) ≈ 0,227. P (X = 10) = P (9, 5 ≤ Y ≤ 10, 5) = normalcdf(9.5,10.5, 9.8,3.6) ≈ 0,110. P (C ≥ 2) = 1 − P (C ≤ 1) = 1 − binomcdf(16, 0.2266...,1) ≈ 0, 907.

61a

P (X ≤ 100) = binomcdf(300, 0.37,100) ≈ 0,104.

61b

P (X

62a

X = het aantal personen dat komt opdagen ⇒ P (X ≤ 1300) = binomcdf(1430, 0.9,1300) ≈ 0, 884.

62b

Stel hij accepteert maximaal n reserveringen. P (X ≤ 1300) = binomcdf(n , 0.9,1300) > 0, 99. TABLE geeft n ≤ 1416. Dus hij noteert maximaal 1416 reserveringen.

57b 57c 57d 57e 57f 57g 57h

58c

60b

56c 56d

continu. discreet.

≤ 100) = P (Y ≤ 100, 5) = normalcdf( −10

56e 56f

99

discreet. discreet.

56g 56h

discreet. continu.

56i 56j

,100.5,300 ⋅ 0.37, 300 ⋅ 0.37 ⋅ (1 − 0.37)) ≈ 0,105.

discreet. discreet.

G&R vwo A deel 4 C. von Schwartzenberg 63


• n = 50 en p = 0, 7 ⇒ np = 50 ⋅ 0, 7 = 35 > 5 en n (1 − p ) = 50 ⋅ 0,3 = 15 > 5. (dus X normaal te benaderen met toevalsvariabele Y waarvan) µ Y = np = 35 en

σY = np (1 − p ) = 35 ⋅ 0,3 = 10, 5.

P (35 − 10,5 < Y < 35 + 10,5) = normalcdf(35 − 10.5,35 + 10.5,35, 10.5) ≈ 0, 683. • n = 400 en p = 0, 7 ⇒ µ Y = np = 280 en σY = np (1 − p ) = 280 ⋅ 0,3 = 84.

P (280 − 84 < Y < 280 + 84) = normalcdf(280 − 84,280 + 84,280, 84) ≈ 0, 683. • n = 900 en p = 0, 7 ⇒ µ Y = np = 630 en σY = np (1 − p ) = 630 ⋅ 0,3 = 189. P (630 − 189 < Y < 630 + 189) = normalcdf(630 − 189, 630 + 189, 630, 189) ≈ 0, 683. De vuistregel klopt ook bij de binomiaal verdeelde toevalsvariabele X . 64

E (X ) = 1 440 ⇒ np = 1 440   in ⇒ σ X = 10 ⇒ np (1 − p ) = 30 

1 440(1 − p ) = 30 (kwadrateren) 1 440(1 − p ) = 900 1 − p = 900

1440

1 − 900 = p = 0,375 in ⇒ n ⋅ 0,375 = 1 440 ⇒ n = 1440 = 3840. 0,375

1440

65

E (X ) = 12 ⇒ np = 12   σ X = 3 ⇒ np (1 − p ) = 3  in ⇒

12(1 − p ) = 3 (kwadrateren) 12(1 − p ) = 9 1−p = 9 = 3 12

4

1 − 3 = p = 1 in ⇒ n ⋅ 1 = 12 ⇒ n = 12 ⋅ 4 = 48. 4

4

4

P (X ≥ 16) = 1 − P (X ≤ 15) = 1 − binomcdf(48, 41 ,15) ≈ 0,1232.

Diagnostische toets   10   8   6   4  1 12 P (1 12233445566) =  12 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ 0, 003 of 2   2  2 2   2  6

12

D1c

12! ⋅ 1 ≈ 0, 003. ( ) 2! ⋅ 2! ⋅ 2! ⋅ 2! ⋅ 2! ⋅ 2! ( 6 ) 8 4 4  8 1 4 1 4 4 4 12! 1 P (1 111 6666aaa a) =  12  ⋅   ⋅ ( ) ⋅ ( 6 ) ⋅ ( 6 ) ≈ 0, 004 of 4! ⋅ 4! ⋅ 4 ! ⋅ ( 6 ) ⋅ ( 6 ) ≈ 0, 004.  4  4 6 2 2 P (66*** *** ** 6 6) = ( 61 ) ⋅ 18 ⋅ ( 56 ) ≈ 0, 019. (* mag elk aantal zijn)

D1d

P (vier of vijf keer gooien) = P (vier keer gooien) + P (vijf keer gooien) = P (* 6 66) + P (6 6 6 66) + P (6 6 6 66) + P (6 6 6 66)

D1a D1b



 

      

2 2 2 2 = 1 ⋅ 5 ⋅ 1 + 1 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 1 + 5 ⋅ 1 ⋅ 5 ⋅ 1 + 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 1 ≈ 0, 046. 6

D2a

(6)

6 6 6

(6)

6 6 6

(6)

6 6 6

A, het aantal keer even, is binomiaal verdeeld met n = 16 en p = 36 = 21 . P (A > 10) = P (A ≥ 11) = 1 − P (A ≤ 10) = 1 − binomcdf(16, 21 ,10) ≈ 0,105.

D2b B , het aantal keer 5 of 6 ogen, is binomiaal verdeeld met n = 16 en p = 2 = 1 .

P (B = 5) = binompdf(16, 31 ,5) ≈ 0,208.

6

3

D2c C , het aantal keer 1 of 2 ogen, is binomiaal verdeeld met n = 16 en p = 2 = 1 . 6

P (5 < C < 10) = P (6 ≤ C ≤ 9) = binomcdf(16, 31 , 9) − binomcdf(16, 31 , 5) ≈ 0, 437.

3

(6)

G&R vwo A deel 4 C. von Schwartzenberg D3a


a = 240 − 8a + a 2 − 8a = a 2 − 16a + 240 . P (rw) = P (rw) + P (w r) = a8 ⋅ 3030− a + a a− 8 ⋅ 30 30a 30a 30a

vaas

2

D3b P (rw) = a − 16a + 240 = 0, 6 (bladeren door TABLE geeft) 30a a = 10 of a = 24. (a is het aantal knikkers in vaas I) D3c

I

II

rood

8

a

wit

a −8

30 − a

totaal

a

30

16(a − 8) 16a − 128 P (rw) =  21  ⋅ P (r w) = 2 ⋅ a8 ⋅ aa −− 81 = = . a (a − 1)   a2−a

2a (30 − a ) 60a − 2a 2 D3d P (rw) =  21  ⋅ P (r w) = 2 ⋅ a ⋅ 30 − a = = .

30 29 870 870   2a (30 − a ) > 0,5 (bladeren door TABLE) ⇒ a = 13 ∨ a = 14 ∨ a = 15 ∨ a = 16 ∨ a = 17. (rode knikkers in vaas II) 870

D4a

6 ⋅ 8 + 8 ⋅ 6 ≈ 0, 509. P (na 2 keer pakken 7 blauwe over) = P (rb) = P (rb) + P (br) = 14 14 14 13

D4b P (na 3 keer pakken 6 blauwe over) = P (rbb) = P (r bb) + P (br b) + P (bbr) = 6 ⋅ 8 ⋅ 7 + 8 ⋅ 6 ⋅ 7 + + 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ≈ 0, 428. 14 14 13

D5a

14 13 13

14 13 12

P (Klaas wint in 7 beurten) = P (Klaas moet na 6 beurten nog 1 punt) 5 6 = P (KKKKKL K) = P (KKKKKL) ⋅ P (K) =  61  ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 2 = 6 ⋅ 2 ⋅ 4 ≈ 0, 005.  

(6)

6 6

(6)

6

4 3 D5b P (Leo wint in 7 beurten) = P (LLLL) + P (KLLL L) = P (LLLL) + P (KLLL) ⋅ P (L) = 4 +  41  ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 4 ≈ 0, 461. 6 6 6 6  

( )

( )

D6

5 . K , het aantal klanten dat op dat moment de helpdesk belt, is binomiaal verdeeld met n = 500 en p = 9 ⋅560 = 540 5 , 6) ≈ 0,185. P (K > 6) = P (K ≥ 7) = 1 − P (K ≤ 6) = 1 − binomcdf(500, 540

D7

B , het aantal bouten langer dan 7 mm, is binomiaal verdeeld met n = 5 en p = normalcdf(7,10 99,8,1.3) ≈ 0,7791...

P (B = 5) = p 5 ≈ 0,287 (of binompdf(5, p , 5) ≈ 0, 287). D8

De totale productietijd T is normaal verdeeld met:

µ T = 19,3 + 12, 5 + 10, 7 = 42,5 (minc.) en σ T = 2, 52 + 1,52 + 1,22 = 9, 94 (min.). P (T > 45) = normalcdf(45,1099, 42.5, 9.94) ≈ 0,214. Dus in 21,4% van de gevallen. D9a V , de dikte van de plank na schaven, is normaal verdeeld met:

µ V = 3,10 − 0,35 = 2, 75 (cm) en σ V = 0,142 + 0, 092 = 0, 0277 (cm). P (V < 2, 70) = normalcdf( −1099,2.70,2.75, 0.0277 ) ≈ 0,382. Dus 38,2%. D9b

µ V = 3,10 − µ D (cm) en σ V = 0, 0277 (cm). P (V < 2, 70) = normalcdf( −1099,2.70,3.10 − µ D , 0.0277 ) = 0, 02 (intersect) ⇒ µ D ≈ 0, 06 (cm). Dus afstellen op een dikte van 0,06 cm (of minder).

D10a P (A > 11600) = normalcdf(11600,10 99, 720 ⋅ 16,14 16) ≈ 0, 077. D10b P (B < 710) = normalcdf( −10 99, 710, 720, 14 ) ≈ 0, 002. Dus 0,2%.

16 D10c P (719 < B < 721) = normalcdf(719, 721, 720, 14 ) = 0, 999 (intersect) ⇒ n ≈ 2122,2.

n

P (719 < B < 721) > 0, 999 (zie een plot/TABLE) ⇒ n ≥ 2123 (of n > 2122). D11a P (X = 42 ∨ X = 43) = P (41, 5 ≤ Y ≤ 43, 5) = normalcdf(41.5, 43.5, 42.5,8.3) ≈ 0, 096. D11b P (X ≥ 50) = P (Y ≥ 49, 5) = normalcdf(49.5,10 99, 42.5,8.3) ≈ 0,200. D12a E (X ) = 500 ⇒ np = 500   in ⇒ σ X = 20 ⇒ np (1 − p ) = 20 

500(1 − p ) = 20 (kwadrateren) 500(1 − p ) = 400 1 − p = 400 = 4 500

5

1 − 4 = p = 1 in ⇒ n ⋅ 1 = 500 ⇒ n = 500 ⋅ 5 = 2 500. 5

5

D12b P (X ≥ 525) = 1 − P (X ≤ 524) = 1 − binomcdf(2500, 1 ,524) ≈ 0,111. 5

5


G1a


Gemengde opgaven 13. Mathematische statistiek A is het aantal keer 6 ogen bij het werpen met één dobbelsteen.

P (A > 2) = P (A ≥ 3) = 1 − P (A ≤ 2) = 1 − binomcdf(10, 61 ,2) ≈ 0,225. G1b G1c

B is het aantal keer meer dan 9 ogen bij het werpen met twee dobbelstenen. 6 ,3) ≈ 0,125. P (B ≥ 4) = 1 − P (X ≤ 3) = 1 − binomcdf(12, 36

6

7

8

9

10

11

5

6

7

8

9

10

12 11

4

5

6

7

8

9

10

3

4

5

6

7

8

9

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

+

1

2

3

4

5

6

p = P (som ≤ 5) = P (som = 3) + P (som = 4) + P (som = 5) 3 3 3 = P (11 1) + P (1 12) + P (113) + P (122) = P (1 11) +  2  ⋅ P (1 12) +  2  ⋅ P (113) +  1  ⋅ P (122)  

 

 

= 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 + 3 + 3 + 3 = 10 . 6 6 6

6 6 6

6 6 6

6 6 6

216

216

216

216

C is het aantal keer hoogstens 5 ogen bij het werpen met drie dobbelstenen. 10 ,2) ≈ 0, 937. P (C ≤ 2) = binomcdf(20, 216 G1d

D is het aantal keer 1 oog bij het werpen met één dobbelsteen. P (D ≥ 3) = 1 − P (D ≤ 2) = 1 − binomcdf(n , 61 ,2) > 0, 95 (TABLE) ⇒ n ≥ 36 (of n > 35).

G2a

A is het aantal keer 6 ogen bij het werpen met één dobbelsteen. 18

( 56 ) ≈ 0, 038. (of binompdf(18,   15  1 3 1 3 4 12 P (1 11666aa ...a) =  18  ⋅   ⋅ ( ) ⋅ ( 6 ) ⋅ ( 6 ) ≈ 0, 061. 3 3 6

P (geen enkele keer 6) = P (A = 0) = G2b

216

1 6 , 0))

(a staat voor "iets anders dan een 1 of een 6")

G2c

 1 3 5 15 P ( 666 6 6 6 6 6 ... 6) =  16 ≈ 0, 005. ⋅ 6 ⋅ 6 1  

( ) ( )

(1 keer "drie 6 naast elkaar" en verder 15 keer "geen 6")   15   12   9   6  1 18 G2d P (1 11222333444555666) =  18 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ 0, 001. 3   3   3  3 3 

G3

 

 

    

(6)

X , het gemiddelde gewicht van de koeken in een trommel, is normaal verdeeld met µ X = 33,2 en σ X = 2,1 (gram). P (X > 32, 0) = normalcdf(32.0,1099,33.2, 2.1 ) = 0, 95 ⇒ n ≈ 8,3. n

P (X > 32, 0) ≥ 0, 95 (zie een plot/TABLE) ⇒ n ≥ 9 (of n > 8). Hij doet minstens 9 (of meer dan 8) koeken in de blikken trommel G4

Dsom, de totale dikte van de 20 tabletten, is normaal verdeeld met: µ D = 0, 81 ⋅ 20 = 16,2 (cm) en σ D = 0, 05 ⋅ 20 (cm). som

som

De tabletten passen niet in het buisje als Dsom > L ⇒V = Dsom − L > 0. V is normaal verdeeld met: µ V = µ D − µ L = 16,2 − 17,50 = −1,3 (cm) som

en σ V = σ 2 + σ L2 = 0, 0025 ⋅ 20 + 0, 482 = 0,2804 (cm). Dsom

P (V > 0) = normalcdf(0,1099, −1.3, 0.2804) ≈ 0, 007.

A = het aantal reizen dat niet wordt geannuleerd. P (A ≤ 1250) = binomcdf(1350, 0.92,1250) ≈ 0,802 (de gevraagde kans). G5b P (A > 1250) = P (A ≥ 1251) = 1 − P (A ≤ 1250) = 1 − binomcdf(n , 0.92,1250) ≤ 0, 05 (TABLE) ⇒ n ≤ 1341. G5a

Dus men zal maximaal 1341 reizen verkopen. G6a

P (A < 82, 5) = normalcdf( −1099, 82.5,85, σ ) = 0, 08 (intersect) ⇒ σ ≈ 1, 78 (gram).

G6b P (A < 84) = normalcdf( −10 99,84, 85, 1.78 ) ≈ 0, 038. 10

G6c

C , het totale vulgewicht van een doos, is normaal verdeeld met: µ C = 85 ⋅ 30 (gram) en σ C = 1, 78 ⋅ 30 (gram). V , het verschil in vulgewicht tussen twee dozen, is normaal verdeeld met: µ V = µ C − µ C = 0 (gram) en σ V = σ C2 + σ C2 = 2 ⋅ σ C2 = σ C ⋅ 2 = 1, 78 ⋅ 30 ⋅ 2 (gram). P (verschil minstens 20) = P (V < −20 ∨ V > 20) = 1 − normalcdf( −20,20, 0,1, 78 ⋅ 30 ⋅ 2) ≈ 0,147.

n


G7a


P (tegoedbon) = P (k k) + P (l l) + P (n n) + P (vv) = 0,32 + 0,32 + 0,32 + 0,12 = 0,28.

G7b P (tegoedbon) = P (vv) + P (kk) + P (ll) + P (nn) = k 2 + 3 ⋅ ( 1 − 1 k )2 = k 2 + 3 ⋅ ( 1 − 1 k ) ⋅ ( 1 − 1 k ) 3

3

3

3

3

3

= k 2 + 3 ⋅ ( 1 − 1 k − 1 k + 1 k 2) = k 2 + 1 − 1 k − 1 k + 1 k 2 = 1 1 k 2 − 2 k + 1 . 9

G7c

9

9

9

3

3

3

3

3

3

3

P (tegoedbon) = 1 31 k 2 − 23 k + 31 ⇒ dP = 2 32 k − 32 . dk dP = 0 ⇒ 8 k − 2 = 0 ( × 3) ⇒ 8k − 2 = 0 ⇒ 8k = 2 ⇒ k = 2 = 1 . 3 3 8 4 dk Dus de kans op een tegoedbon is minimaal (volgt uit de vraagstelling of uit een schets) voor

k = 41 .

3 3 1 2 3 ⋅ + 1 ≈ 0,156. G7d P (tegoedbon) = P (vv v) + P (vvv) =  2 ⋅

 

G8a

(4)

4

(4)

Tom verwacht 20 ⋅ 1 = 5 juiste antwoorden ⇒ 5 ⋅ 1 = 5 punten. 4

G8b De verwachtingswaarde van de score per vraag is 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ −0, 5 = 1 − 3 = 2 − 3 = − 1 (punt). 4

G8c

G8d • pA = 1, • pA = 0, • pA = 0, G8e

4

4

8

8

8

8

score = 1 − ( pA 2 + (1 − pB )2 + pC 2 + pD 2 ) = 1 − (0,22 + 0,32 + 02 + 0,12 ) = 0, 86. pB = 0, pB = 1, pB = 0,

pC = 0 en pC = 0 en pC = 0 en

pD = 0. pD = 0. pD = 1.

Mogelijkheid II 2 2 ) is de score 1 − (( 1 ) + ( 1 ) ) = 1 . 2 2 2 Als het juiste antwoord er niet bij zit (met kans van 24 ) is de score 1 − (( 1 )2 + ( 1 )2 + 12 ) = − 1 . 2 2 2 De verwachte score is dus 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ − 1 = 1 − 1 = 0. 2 2 2 2 4 4

Als het juiste antwoord er bij zit (met een kans van

2 4

Mogelijkheid III

2 2 2 ) is de score 1 − (( 1 ) + ( 1 ) + ( 2 ) ) = 1 . 3 3 3 3 Als het juiste antwoord er niet bij zit (met kans van 41 ) is de score 1 − (( 1 )2 + ( 1 )2 + ( 1 )2 + 12 ) = − 1 . 3 3 3 3 De verwachte score is dus 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ − 1 = 3 − 1 = 2 = 1 . 3 12 12 12 6 4 3 4 Conclusie: Mogelijkheid IV met een verwachte score van 0,25 (gegeven) is de meest verstandige strategie.

Als het juiste antwoord er bij zit (met kans van

3 4

G9a

P (een stuk zeep weegt minder dan 90 gram) = normalcdf( −1099, 90, 93,1.4) ≈ 0, 016. P (alle drie stukken zeep wegen minder dan 90 gram) = Ans3 ≈ 0, 000.

G9b

P(T < 460) = normalcdf( −10 99 , 460, 93 ⋅ 5,1.4 5) ≈ 0, 055.

G9c

P (een stuk zeep wijkt minder dan 3σ van µ af) = normalcdf(93 − 3 ⋅ 1.4, 93 + 3 ⋅ 1.4, 93,1.4) ≈ 0, 997. P (machine opnieuw instellen) = 1 − P (alle 10 gewichten wijken minder dan 3σ van µ af) = 1 − Ans10 ≈ 0, 027.

G9d P (een stuk zeep wijkt meer dan 2σ van µ af) = 1 − normalcdf(93 − 2 ⋅ 1.4, 93 + 2 ⋅ 1.4, 93,1.4) ≈ 0, 0455. (of volgens de tweede vuisteregel een kans van 100% − 95% = 5%)

P (machine opnieuw instellen) = 0, 04552 + 0, 9545 ⋅ 0, 04552 ≈ 0, 004. 2

2

(of met gebruik van de tweede vuisteregel 0, 05 + 0, 95 ⋅ 0, 05 ≈ 0, 005)

G10a X = de levensduur in uur van de linker koplamp.

P (X < 2100) = normalcdf( −10 99,2100,2 500, 450) ≈ 0,187... P (beide koplampen binnen 2100 branduren stuk) = Ans2 ≈ 0, 035. G10b Y = de levensduur in uur van de rechter koplamp. V = X − Y is normaal verdeeld met µ V = µ X − µ Y = 2 500 − 2 500 = 0 (branduren) 2 2 en σ V = σ X + σY2 = 2 ⋅ σ X = σ X ⋅ 2 = 450 2 (branduren). P (verschil kleiner dan 20 branduren) = P ( −20 < V < 20) = normalcdf( −20,20, 0, 450 2) ≈ 0, 025.

0,269 of binompdf(8, 7, 4) 0,269

Recommend Documents