0$; 628ý(7 0$;

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího (aby ètenáø vidìl, jakým zpùsobem je titul zpracován a mohl se také podle tohoto, jako jednoho z parametrù, rozhodnout, zda titul koupí èi ne). Z toho vyplývá, že není dovoleno tuto ukázku jakýmkoliv zpùsobem dále šíøit, veøejnì èi neveøejnì napø. umisováním na datová média, na jiné internetové stránky (ani prostøednictvím odkazù) apod. redakce nakladatelství BEN – technická literatura

[email protected]

3.

KMITOÈTOVÌ ZÁVISLÉ OBVODY

Pøísnì vzato nelze žádný prvek považovat za dokonale lineární a kmitoètovì nezávislý pro teoreticky nekoneèný rozsah napìtí a kmitoètu. Nadále však budeme považovat za kmitoètovì závislé obvody pouze zapojení, ve kterých se vyskytují reaktance.1) Tyto obvody s kondenzátory a cívkami mají v elektronice velmi široké použití, napø. jako filtry.

3.1

Fázorový poèet v elektronice

Pro matematický popis tìchto obvodù se s výhodou používá komplexní poèet. Základní rozdíl proti pøedchozím výpoètùm spoèívá ve vektorovém charakteru velièin. Napìtí, proud, ale i zdánlivý odpor - impedance mají nejen velikost, ale i smìr (poèáteèní fázový posuv), takže je nelze jednoduše sèítat. Tento vektorový (fázorový) poèet do elektroniky zavedl anglický vìdec OLIVER HEAVISIDE (*1850, †1925) a tím znaènì zjednodušil elektrotechnické výpoèty. Mimo jiné je i autorem myšlenky pupinace, telegrafních rovnic a operátorového poètu. Jeho operátorový poèet umožnil velmi elegantní a rychlé øešení složitých diferenciálních rovnic popisujících pøechodné dìje. Jako zajímavost lze uvést, že matematici tuto metodu pøijali a teoreticky vysvìtlili až pomìrnì dlouho po jeho smrti.

80$;

w

; $0

8w

j j 

X = 80$;Àj

w

X = 80$; VLQ(wW + j)

; $0



80$; j

8 j

X  = 80$;Àj 

Obr. 3.1 1)

w

8

0$ ;

7 ( ý 8 w 2 6 52='Ë/



X  = 80$; VLQ(wW + j  )

7( ý 8 2 6

8

0$ ;

 $;

80

 $; 0 8

52='Ë/

52='Ë/

w 

628ý(7

Vektorový souèet a rozdíl dvou harmonických napìtí

Viz také rozdìlení prvkù na kmitoètovì závislé a nezávislé v první kapitole.

A

ROBERT LÁNÍÈEK: ELEKTRONIKA

143

Na obr. 3.1 je znázornìna známá grafická metoda odvození sinusového (harmonického) prùbìhu signálu u = UMAX sin(wt + j) pomocí prùvodièe rotujícího konstantní úhlovou rychlostí w = a/t.1) Celou kružnici (otoèení o úhel 2p) vektor opíše za dobu periody T, takže musí platit w = 2p/T nebo po dosazení za kmitoèet (f = 1/T) w = 2pf. Pøedstava rotujícího vektoru umožòuje snadné sèítání nebo odèítání harmonických signálù se stejným kmitoètem a s rozdílnými poèáteèními fázovými posuvy j. Vektory samozøejmì není nutné sèítat graficky, ale je možné je rozložit na pravoúhlé složky a sèítat nebo odeèítat podle pravidel pro poèítání s vektory. Protože je zažité poèítání s efektivními hodnotami harmonického prùbìhu U = UMAX/  , kreslí se i fázorové diagramy pro efektivní hodnoty. I když je možné vystaèit pro praktické výpoèty s pøedstavou rotujících èasových vektorù (fázorù), dává se pøi praktických výpoètech pøednost tzv. symbolickému poètu v komplexní rovinì. Oproti matematice se pro imaginární svislou složku vektoru nepoužívá písmenko i, protože by se pletlo s okamžitou hodnotou proudu, ale písmenko j = -  . Každý bod v komplexní rovinì má reálnou (vodorovnou) a imaginární (svislou) souøadnici. Komplexní velièina bude pro rozlišení znaèena tuèným písmem, napø. Z = R + jX. Kromì složkového tvaru lze komplexní èíslo zapsat v trigonometrickém tvaru: Z = |Z| . (cosj + jsinj). Závorku také lze nahradit praktiètìjším exponenciálním tvarem: Z = |Z|ejj. Tento tvar odpovídá vyjádøení vektoru velikost/úhel: Z = Z Ð j a používá se pøi násobení a dìlení komplexních èísel. Složkový tvar je naopak výhodnìjší pro operace sèítání a odeèítání. Vzájemné pøevody bývají k dispozici na kalkulátorech.

%2'.203/(;1Ë 529,1< = = 5 + ;

,03('$1&(

X

M

$ 6 2 Ë 1 5 È 1 ,

1$.$/.8/$ý&( 3 (92'5Ž 3 = = = = 5 + ;  j = DUFWJ( ; 5 )

=

; M

3 (92'3Ž 5

* $ 0 ,



j

5 = = FRV j

5

; = = VLQ j

,

=

L

=

X

X

=

,

L

8,

8

±M;& 5

8

L

=

8

M;/

,

5(È/1È26$

Obr. 3.2

Vektorový charakter impedance základních prvkù

3.2

Reaktance v obvodu støídavého proudu

Podobnì jako se ve fyzice rozlišuje prùmìrná rychlost a okamžitá rychlost, je možné definovat prùmìrný proud I = Q/t a okamžitý proud jako zmìnu náboje i = dQ/dt. Pro náboj na kondenzátoru platí: Q = C . u. Po dosazení získáme vztah: L

1)

=&

GX GW

V elektrotechnice je úhlová rychlost nazýván úhlový kmitoèet a má stejnou jednotku rad/s.

144

ROBERT LÁNÍÈEK: ELEKTRONIKA

A

nebo po úpravì: X

=

 &

ÏG. L W

To, že proud kondenzátorem je derivací napìtí na kondenzátoru, mùžeme využít pro odvození impedance kondenzátoru. Bude-li podle pøedchozího obrázku mít vstupní napìtí sinusový prùbìh (u = UMAXsin2pft), získáme po derivaci: i = CUMAX2pfcos2pft. Protože èlen pøed kosinovou funkcí má význam amplitudy proudu, vyplývá z toho, že

8 0$; 8    = ;& = = , 0$; ,   pI& má rozmìr ohmu. Velièina se nazývá kapacitní reaktance a je nepøímo úmìrná kmitoètu. Protože funkce kosinus pøedbíhá funkci sinus o devadesát stupòù, øíkáme, že u kondenzátoru proud pøedbíhá napìtí. Fázory jsou vùèi sobì posunuty o 90° takže

= = 8À = =À - p   . ,À p  

Výsledná impedance má tedy fázový posuv –90°, a je proto zápornì imaginární Z = –jXC. U operátorového poètu bývá zvykem sdružovat imaginární èlen s kmitoètem, takže po úpravì rozšíøením (j2 = –1) je: Z

=

M M



» ± ªª - M  ²² =  . ½ pI& Õ Mw &

Stejným zpùsobem lze z indukèního zákona X

=/

GL GW

odvodit indukèní reaktanci cívky Z = jwL, která je pøímo úmìrná kmitoètu. Napìtí na cívce pøedbíhá proud o 90°. Obì reaktance jsou èistì imaginární a z dùvodu posuvu mezi napìtím a proudem je vždy po ètvrtinu periody souèin napìtí a proudu kladný a po ètvrtinu záporný. To znamená, že elektrostatické nebo elektromagnetické pole vzniká a odebírá energii ze zdroje a pak zaniká a dodává energii zpìt do zdroje. Na rozdíl od rezistoru, který má napìtí i proud ve fázi, nevzniká tedy v ideálním kondenzátoru nebo cívce žádné teplo, pouze dochází k cyklické výmìnì energie mezi reaktancí a zdrojem. Tohoto poznatku se nìkdy využívá k návrhu bezeztrátových pøedøadníkù. Pokud pomineme školácké vysvìtlení, že støídavý proud protéká kondenzátorem, protože vlnovka støídavého proudu obejde pøekážku a rovný stejnosmìrný proud narazí, mùžeme vysvìtlit vlastnosti kondenzátoru i jednoduchou úvahou. V obvodu stejnosmìrného proudu (nejnižší možný kmitoèet) proud kromì krátkého pøechodového dìje neprotéká (izolované desky). Kdežto v obvodu støídavého proudu se kondenzátor neustále nabíjí, vybíjí a pøebíjí na opaènou polaritu. S

A

ROBERT LÁNÍÈEK: ELEKTRONIKA

145

rostoucím kmitoètem se poèet elektronù protékajících pøívodními vodièi za jednotku èasu zvyšuje, takže narùstá i proud, a proto i klesá zdánlivý odpor kondenzátoru. Je nutné zdùraznit, že se poøád jedná o proud nabíjející a vybíjející kondenzátor a pøes nevodivé dielektrikum proud ve skuteènosti neprochází. Pro zapamatování posloupnosti napìtí a proudu mùže pomoci pøedstava, že kondenzátor je nádoba, do které nejdøíve musí být napouštìn náboj, aby vzápìtí zaèala narùstat výška hladiny (napìtí). U cívky je posloupnost velièin opaèná, tj. napìtí pøedbíhá proud o 90°. Toto zpoždìní proudu vyplývá z indukèního zákona. Pro zapamatování chování cívky v závislosti na kmitoètu je vhodné si uvìdomit, že cívka je vlastnì smotaný kus drátu. Z toho vyplývá, že po odeznìní pøechodného dìje po pøipojení zdroje by cívka ve stejnosmìrném obvodu mìla mít prakticky zanedbatelný odpor. S rostoucím kmitoètem musí vznikat a zanikat magnetické pole v okolí cívky a cívka se zdánlivì brání zmìnì protékajícího proudu. To se projevuje jako nárùst zdánlivého odporu, který se proto s rostoucím kmitoètem zvìtšuje.

Pøíklad 3.1

Reaktance jako pøedøadník

Budeme uvažovat pøipojení žárovky 7 V/300 mA na napìtí 230 V/50 Hz. Problém lze øešit buï transformátorem, což je drahé, ale nejlepší øešení, anebo pøedøadníkem. Pøi použití klasického srážecího odporu by na nìm bylo témìø celé síové napìtí a protékal by jím celý jmenovitý proud žárovky. Ztrátový tepelný výkon by proto byl mnohokrát vìtší než výkon žárovky (P = 223 . 0,3 » 67 W). Pøedøadná tlumivka by se cenou i rozmìry blížila transformátoru, takže jako poslední øešení budeme uvažovat kondenzátor. Napìtí na kondenzátoru se urèí z fázorového diagramu pomocí PYTHAGOROVY vìty:

8& =  -  =  9 . Z OHMOVA zákona se zjistí potøebná reaktance XC = 229,98/0,3 = 766,3 W a z reaktance se urèí kapacita: C = 1/(2p50 . 766,3) = 4,15 mF. Kondenzátor musí vydržet minimálnì dvojnásobek amplitudy síového napìtí (650 V).

&

9

$

À -

9

, 5

8&

Obr. 3.3

Bezeztrátový pøedøadník

3.3

Použití symbolického poètu

9

85 8

9   

  9

Pøi úpravách komplexních rovnic se lze ještì setkat se sdruženým komplexním èíslem, které je vzhledem k reálné ose umístìno symetricky. Pro sdružená komplexní èísla platí: Z = a + jb a Z* = a – jb, popøípadì: Z = Zejj a Z* = Ze–jj. Pøi výpoètech lze nìkdy využít snadno odvoditelná pravidla: Z . Z* = a2 + b2 = Z2, Z/Z* = ej2j, Z + Z* = 2a, Z – Z* = j2b. V elektronice

146

ROBERT LÁNÍÈEK: ELEKTRONIKA

A

se kromì sdruženého èísla používá velmi èasto inverzní èíslo, které v pøípadì impedance pøedstavuje zdánlivou vodivost neboli admitanci Y = 1/Z. S admitancí se snadnìji poèítá pøi paralelním øazení prvkù. Poslední zajímavou vlastností komplexních èísel je snadnost derivování a integrování v exponenciálním tvaru: G=H MwW GW

a

M

= Mw =H w = w =H M

wW

Ï =H GW =

W

=H MwW Mw

=

=

w

H

wW + p )

M(

M

wW -

p 



.

Pøi derivování se tedy vektor vynásobí a pootoèí doleva o 90° a pøi integraci se podìlí a otoèí se opaèným smìrem (1/j = –j = 1e–jp/2). M

M

G= '( G 5, W 9 M $&(   H

M

M

M

=

M

= H

±MW

±M ±M

Obr. 3.4

M   

= 

 M

W

± ± ± ±  ,19(5=1Ëý ±M

[. 4

W

M

M 

9(.72529È ýÈ5$

M    



 H 









6' ,1 58 7( ä( *5 1e ý È/ ±MH

  ±    ,1 M = 9

±M

=

( 5 = 1 Ë ý 



 4 + M. [

M

MW



$  5 È ý È 9 2 5 2 7. (9

Operace v komplexní rovinì a vektorové køivky

Konec (šipka) vektoru mùže v závislosti na èase, kmitoètu nebo jiném parametru opisovat v komplexní rovinì libovolnou køivku - vektorovou èáru. U harmonického prùbìhu rotovala šipka po kružnici. Pokud nebude amplituda signálu konstantní, mùže kružnice pøejít napø. ve šroubovici. Na obrázku je znázornìn další, pomìrnì èastý pøípad pøímky. Pokud se pro každý bod na pøímce sestrojí inverzní vektor, získáme kružnici procházející poèátkem jako vektorovou èáru inverzní k pøímce. Transformace platí i opaènì, tj. kružnice procházející poèátkem se inverznì zobrazí jako pøímka.

Pøíklad 3.2

Odvození reaktancí pomocí symbolického poètu

Pro okamžité napìtí na cívce platí: X

A

=/

GL . GW ROBERT LÁNÍÈEK: ELEKTRONIKA

147

Rovnici vyjádøíme v symbolickém tvaru: 8H

M

wW

=/

G,H Mw W

= Mw /,H w M

GW

W

.

Po zkrácení bude: U = jwL . I. Stejnì rychle lze odvodit i reaktanci kondenzátoru, pro zmìnu z integrální rovnice: X



=

&

ÏG. L W

Opìt se dosadí: wW

8H

M

=

w  w ,H GW = H . Ï Mw& & 

M

W

M

W

A po zkrácení ejwt bude:

=

8

,

M

w&

.

Protože reaktance jsou imaginární a nemají reálnou složku, není k urèení jejich velikosti nutná PYTHAGOROVA vìta. Pro kondenzátor je: XC = 1/wC (XC = 1/jwC) a pro cívku: XL = wL.

Pøíklad 3.3

Náhradní schéma cívky a kondenzátoru

Stejnì rychle a jednoduše lze øešit i složitìjší obvody. Jako pøíklad si uvedeme odvození impedance jednoduchého náhradního schématu cívky tvoøeného sériovým spojením odporu vinutí s vlastní indukèností cívky. Podle II. KIRCHHOFFOVA zákona platí: u = Ri + Ldi/dt. Po úpravì do symbolického tvaru je: Uejwt = RIejwt + jwLIejwt. Po stejné úpravì jako v pøedchozím pøíkladu je: U = (R + jwL) . I. Závorka má rozmìr ohmu a nazývá se impedance Z = R + jwL. Ve shodì s posledním obrázkem by vektorovou èarou pro promìnný kmitoèet byla v komplexní rovinì pøímka. Kmitoèet ovšem nemùže být záporný, takže vektorovou èarou bude polopøímka v prvním kvadrantu a vektorovou èarou pøevrácené hodnoty (admitance) bude polokružnice ve ètvrtém kvadrantu. U náhradního schématu kondenzátoru pøedpokládáme paralelní øazení ideálního kondenzátoru

8

5

5

8

,

,

8

8

/

8

5

,

8

&

,

8

/

,

5

,

,

8 ,

5

8 ,

8

&

,

8

/

8 ,

&

,

8

5

,

Obr. 3.5

148

Prùbìhy napìtí a proudu v sériovém RL a paralelním RC obvodu ROBERT LÁNÍÈEK: ELEKTRONIKA

A

s jeho svodem. Podle I. KIRCHHOFFOVA zákona je: i = Gu + Cdu/dt a v symbolickém tvaru: Iejwt = GUejwt + jwCUejwt. Po úpravì pokrácením a vytknutím je: I = (G + jwC) U. Závorka má rozmìr siemense a nazývá se admitance Y = 1/Z = G + jwC. Vektorovou èarou je opìt polopøímka a pro impedanci paralelního spojení opìt polokružnice ve ètvrtém kvadrantu.

3.4

Impedanèní a výkonové diagramy

Ke zjednodušení øešení støídavých obvodù lze využít i podobnosti trojúhelníkù. Pokud se pøi kreslení fázorových diagramù budeme držet zásady, že spoleèná velièina se kreslí do kladné reálné poloosy (volba poèátku), mùžeme tuto zvolenou velièinu považovat za reálné èíslo. Násobení nebo dìlení touto velièinou pak pøedstavuje násobení nebo dìlení konstantou. Podle provedené

, 8

Obr. 3.6

85 8 8&

85 5,

85 , ,

8&

, 8&

85 8

,

j

j

, 8 4 8 = 6 ,  , 8& 



85 3,

,& ; &

8

5 ;&

= 6

4

3

j

Trojúhelník výkonù a impedancí

operace získáme výkonové, impedanèní anebo admitanèní (vodivostní) diagramy. Pro èinný výkon P = Scosj, jalový výkon Q = Ssinj a zdánlivý výkon S = UI jsou pro rozlišení používány i jiné jednotky (W, VAr a VA), i když rozmìr jednotky je u všech velièin shodný. V prakticky shodném pøípadì odporu R = Zcosj, reaktance X = Zsinj a impedance Z = U/I se vektorový charakter velièiny v názvu jednotky neodrazí. Diagramy lze využít nejen pro pøehledné urèení velikostí, napø.:

= = 5 + ;  a fáze j = arctg (X/R), ale i k výpoètùm v komplexní rovinì, protože vektorový charakter velièin zùstává zachován, napø. pro nᚠobvod je: Z = R – jXC. Pro paralelní spojení prvkù lze stejným zpùsobem odvodit diagram výkonù a diagram vodivostí. Oproti fázorovému diagramu napìtí a proudu se diagram impedancí neotáèí úhlovou rychlostí w. To lze opìt nejsnadnìji dokázat pomocí symbolického poètu: Z = Uej(wt – j)/Iejwt = Zejj. Zato diagram výkonù se otáèí dvojnásobnou rychlostí: S = Uej(wt – j) Iejwt = Sej(2wt – j). Dùkaz toho, že napø. èinný výkon na spotøebièi má dvojnásobný kmitoèet oproti kmitoètu zdroje, lze udìlat snadno i bez znalosti symbolického poètu. Pro okamžitý výkon na odporu platí:   p = Ri2 = 5, 0$; . sin2(wt) = 5, 0$; . [1 – cos(2wt)]/2. O okamžitém tepelném výkonu se proto øíká, že má tepavý charakter. Výkon klesá k nule, ale poøád má harmonický prùbìh (funkce kosinus).

Pøíklad 3.4

A

Mìøení indukènosti metodou tøí ampérmetrù ROBERT LÁNÍÈEK: ELEKTRONIKA

149