%0% ' * '

!

"

# $

%& '

'

(

)

*

' +

# $

#, %( '

(

%

%

. / %0%

*

' +

#,

-

%

%

Obsah

1,

1

ÚVOD.................................................................................................... 3

2

KARTOGRAFICKÉ ZÁKLADY NA ÚZEMÍ ČSR A ČR ........................ 4

2.1

Historický vývoj užitých kartografických zobrazení ............................................................4

2.2 Systém Stabilního katastru (S-SK) .........................................................................................5 2.2.1 Cassini-Soldnerovo zobrazení ..........................................................................................5 2.3 Systém Jednotné Trigonometrické Sítě Katastrální (S-JTSK).............................................6 2.3.1 Křovákovo zobrazení ........................................................................................................7 2.3.2 Převod zeměpisných souřadnic [ ; ] na Besselově elipsoidu do roviny S-JTSK [Y; X] 7

3

PLOCHY ZKRESLENÍ SYSTÉMŮ SK A JTSK .................................. 10

3.1

Transformační vztahy mezi souřadnými systémy ...............................................................10

3.2

Plocha zkreslení S-JTSK........................................................................................................11

3.3

Plocha zkreslení S-SK ............................................................................................................12

3.4

Plocha poměru zkreslení........................................................................................................13

4

PŘESNOST PLOCHY POMĚRU ZKRESLENÍ .................................. 15

4.1

Výpočet poměru zkreslení přesnými vzorci .........................................................................15

4.2

Výpočet poměru zkreslení aproximovanou plochou ...........................................................15

4.3

Posouzení přesnosti výsledné plochy poměrů zkreslení ......................................................15

5

ZÁVĚR................................................................................................ 17

LITERATURA............................................................................................. 18 PŘÍLOHY.................................................................................................... 18

1Úvod

2 3

'

Na území naší republiky byla prováděna různá mapování, která se lišila především použitými kartografickými základy. V dobách Rakousko-Uherské monarchie byl založen Stabilní katastr1 (S-SK). Tyto katastrální mapy pokrývají cca 70% území naší republiky a v některých oblastech jsou jediným mapovým podkladem pro nová mapování. Ve vojenské sféře byly od r.1953 používány kartografické základy společné všem zemím Varšavské smlouvy (systém S-42). Paralelně s mapováním vojenským probíhalo mapování pro civilní účely (Pozemkový katastr2, Evidence nemovitostí3, Katastr nemovitostí4) opět na jiných kartografických základech. V současné době je řešen problém transformace map dřívějších pozemkových evidencí (mapy S-SK) do systému Jednotné trigonometrické sítě katastrální (S-JTSK). Při převodu těchto map do S-JTSK musíme zohlednit několik důležitých rozdílů mezi systémy, uvedených např. v [4]. Tato práce se zabývá nalezení exaktního vztahu pro výpočet poměru měřítek (poměru zkreslení) systémů SK a JTSK, který musíme při transformaci zohlednit.

1

Patent císaře Františka I. z roku 1817 jako souhrn pravidel pro budování Stabilního katastru zákon č.177/1927 Sb. z. a n. o pozemkovém katastru a jeho vedení (katastrální zákon) 3 Zákon č.22/1964 Sb. o evidenci nemovitostí 4 zákon č.344/1992 Sb. ze dne 7.května o katastru nemovitostí ČR (katastrální zákon) 2

3

2 Zobrazení užitá na území ČSR a ČR

4 4%2 8

) 9 :

'

5

6 7

67 ,

Na území naší republiky se od konce 19.století vystřídalo použití několika souřadnicových systémů a s nimi spojených kartografických zobrazení. Jako první bylo používáno zobrazení Cassini-Soldnerovo, navržené původně francouzským kartografem Cassini pro mapování Francie. Kartograf Soldner je později použil pro mapování Bavor. Zobrazení bylo prvně užito pro II.vojenské mapování (1806 1869) a později tvořilo základ souřadnicového systému Stabilního katastru na území Rakouska-Uherska. Stabilní katastr byl založen na základě patentu z r.1817, vydaného císařem Františkem I. Ten obsahoval souhrn pravidel pro založení Stabilního katastru a vycházel z katastru milánského (Censimento Milanese), který byl veden v italské Lombardii a byl vzorem pro budování nejen našeho, ale i např. katastru bavorského či francouzského. Pro souřadnicový systém stabilního katastru se vžilo označení S-SK. Druhým zobrazením, ve kterém se začaly tvořit nejprve mapy v době III. vojenského mapování (1870 - 1883) a později vojenské topografické mapy (od r.1953), bylo zobrazení Gauss-Krügerovo. Souřadnicový systém vojenských topografických map je označován S-42 (systém z r.1942), jeho předchůdci byl souřadnicový systém S-52 a S-52 po vyrovnání, souřadnice S-42 byly oproti předchozímu S-52 již mezinárodně vyrovnány. Nejdůležitějším zobrazením na našem území však zůstává zobrazení Křovákovo, které bylo navrženo Ing. Josefem Křovákem speciálně pro území tehdejší Československé republiky. Nehodí se však pro území za hranicemi naší republiky a je proto zcela nevhodné například pro napojování map na okolní státy. Na našem území však dosahuje malých deformací a jako zobrazení katastrálních map je tudíž velmi vhodné. Křovákovo zobrazení je základem Systému Jednotné trigonometrické sítě katastrální (S-JTSK). Aby byl výčet zobrazení užitých na našem území úplný, nesmíme opomenout ani zobrazení Sanson-Flamsteedovo (polyedrické zobrazení sférických lichoběžníků), používané pro III. vojenské mapování (1870 – 1883). Referenčním elipsoidem byl zvolen Besselův elipsoid a rovinné souřadnice byly udávány ve dvou souřadnicových soustavách – pro Čechy soustava gusterberská, pro Moravu a Slezsko soustava svatoštěpánská. Dalším zobrazením bylo Benešovo zobrazení, které bylo používáno při prozatímním vojenském mapování v letech 1923 – 1933. Jednalo se o kuželové zobrazení v normální poloze a referenčním elipsoidem byl opět zvolen elipsoid Besselův. Mapové dílo však zůstalo nedokončeným torzem (zmapováno bylo pouze 3% území). Dále se detailněji zaměříme na zobrazení Cassini-Soldnerovo a Křovákovo a na vzájemné porovnání jejich kartografických vlastností. Řešení provádíme na území Čech. 4

2 Zobrazení užitá na území ČSR a ČR

4%4

,

+

!

Pro celé území bývalé monarchie bylo zvoleno celkem 11 souřadnicových soustav. Pro České země se jednalo o tzv. Gusterberský systém s počátkem v trigonometrickém bodě Gusterberg v Horních Rakousích, pro Moravu a Slezsko to byl tzv. Vídeňský (svatoštěpánský) systém s počátkem v bodě věže dómu Sv. Štěpán ve Vídni, území Slovenska spadalo do tzv. Budapešť ského systému s počátkem v kopuly hvězdárny Gellérthegy v Budapešti. Katastrální mapy byly vyhotovovány v měřítku 1:2880, ve větších městech se volilo měřítko 1:1440, někdy i 1:720. Měřítko bylo takto zvoleno z podmínky, aby se výměra jednoho jitra (čtverec o straně 40 sáhů) zobrazila čtvercem o straně jednoho palce (40⋅6⋅12 = 2880, 1 sáh = 1,896483843 m). Po přechodu na dekadickou soustavu to pak byla měřítka 1:2500, 1:2000, 1:1250, 1:1000.

Obr. 1 Počátky SS na našem území [3]

Pro jednotlivá mapování byly ovšem voleny rozdílné referenční elipsoidy. Pro mapy z II. Vojenského mapování v žádné dostupné literatuře výchozí elipsoid uveden není, pro katastrální mapy SK se jednalo o elipsoid Zachův5. V dalším textu se omezíme na použití zobrazení pro katastrální mapy SK.

4%4%2 ;

+

'

,

Cassini-Soldnerovo zobrazení je transverzální válcové zobrazení ekvidistantní v kartografických polednících. Toto zobrazení v normální poloze je známo pod názvem Marinovo zobrazení (tzv. čtvercová mapa). V tomto zobrazení byly zavedeny Soldnerovy pravoúhlé sférické souřadnice. Zobrazovací rovnice jsou: X =x Y=y Bod Q [UQ; VQ] je zvolený počátek souřadné soustavy. Severní větev poledníku procházející tímto Obr. 2 Ekvideformáty bodem je zvolena za kladnou větev osy x, hlavní kružnice Cassini-Soldnerova zobrazení [3] kolmá na základní poledník procházející bodem P [UP; VP]

5

parametry Zachova elipsoidu: a = 6 376 045,000 m, e = 0,080 257 131.

5

2 Zobrazení užitá na území ČSR a ČR tvoří osu y. Délkové zkreslení vypočteme ze vztahu: 1 m( y ) = y cos R Ekvideformátami (křivkami konstantního zkreslení) jsou kartografické rovnoběžky, které se v mapě zobrazí jako přímky rovnoběžné s osou x (Obr. 2). Problém ovšem nastává při přesném určení zeměpisných souřadnic počátku souřadných soustav. Tyto hodnoty se v různých literaturách liší, viz Tab. 1. < %

! "# $

=

)>?

@

=

)'

A

%

Tab. 1 Přehled zeměpisných souřadnic trig. bodu Gusterberg a sv.Štěpán podle různých zdrojů

4%B

' +

)

!

Po vzniku Československé republiky v r.1918 bylo zapotřebí vytvoření nového geodetického systému, který by byl vhodnější pro nově vzniklé území. Použití CassiniSoldnerova zobrazení se jevilo značně nevhodné vzhledem ke 3 souřadnicovým systémům na našem území s nepřesnou starou triangulací. V roce 1919 byla založena Triangulační kancelář, jejímž přednostou se stal Ing. Josef Křovák. Byla pověřena nejen vybudováním nových geodetických základů na celém našem území, ale i navržením nového kartografického zobrazení (Křovákovo zobrazení, odst. 2.3.1). Roku 1920 započaly měřické práce na trigonometrické síti I.řádu, od roku 1928 začalo zhušť ování sítě body II. až V.řádu. Jednotná trigonometrická síť katastrální I. až V. řádu pokrývá celé území naší republiky a obsahuje přes 47 000 bodů. Pro některé práce jsou vyhotovovány lokální sítě.

6

2 Zobrazení užitá na území ČSR a ČR

4%B%2 ?

)

,

Zobrazení bylo navrženo Ing. Josefem Křovákem, tehdejším předsedou Triangulační kanceláře, roku 1922 jako prozatímní, od r. 1932 jako závazné zobrazení Československa. Tvoří základ Systému JTSK (S-JTSK). Jedná se o dvojité konformní kuželové zobrazení v obecné tečné poloze. Obecnou polohu zvolil Křovák z důvodu snížení délkového zkreslení (z původních 42 cm/km v normální poloze bude 21 cm/km v obecné poloze). Touto polohou také dosáhl zúžení rovnoběžkového pásu, který nejtěsněji zahrnoval celou ČSR z 3°20’ (pás zeměpisných rovnoběžek) na 2°30’ (pás kartografických rovnoběžek). Kartografický pól K hledal Křovák empiricky kružítkem na glóbu. Zeměpisné souřadnice tohoto bodu jsou: UK = 59°42´42,69690" VK = 42°31´31,41725" Výchozí referenční plochou byl zvolen Besselův elipsoid6, který byl zobrazen na kouli Gaussovým konformním zobrazením. Dále bylo zapotřebí transformovat (z důvodu obecné polohy kužele) zeměpisné souřadnice na kouli na souřadnice kartografické. Tyto pak byly zobrazeny do roviny Lambertovým konformním Obr. 3 Poloha kužele Křovákova zobrazení kuželovým zobrazením. Polární rovinné souřadnice byly následně transformovány na výsledné pravoúhlé rovinné souřadnice v S-JTSK [Y; X].

4%B%4 /? '

$% H

? ' +

C@D AE

(

'

CFD GE

,

tg

6

'

1 1 − e ⋅ sin ϕ U π ϕ π + = ⋅ tg + ⋅ 2 4 2 4 1 + e ⋅ sin ϕ k

'

C@DAE

CID JE

e α 2

V =α ⋅λ

parametry Besselova elipsoidu: a = 6 377 397,155 m, e = 0,081 696 831.

7

2 Zobrazení užitá na území ČSR a ČR Pro dourčení konstant α, k, R Gauss volil požadavek, aby se základní rovnoběžka 0 = 49°30’ (resp. U0) nezkreslovala a aby bylo délkové zkreslení co nejmenší (volil nulovou první a druhou derivaci). Vztahy pro výpočet konstant jsou uvedeny např. v [7]. α = 1,000 597 498 372 k = 0,996 659 248 690 R = 6 380 703,610 500 m $

%$? '

CID JE → CKD 0E

Vzhledem k tomu, že je kuželové zobrazení použito v obecné poloze, musíme transformovat zeměpisné souřadnice na kulové ploše [U; V] na souřadnice kartografické [Š; D]: sin Š = sin U K ⋅ sin U + cos U K ⋅ cosU ⋅ cos ∆V sin ∆V ⋅ cos U cos Š kde ∆V = VK – V. sin D =

$$$% <

,

:

tg

ρ = ρ0 ⋅

Š0 π + 2 4

,

CKD 0E

CLD ME

n

ε = n⋅D

Š π tg + 2 4

Volba konstant ρ0, n vycházela z požadavku jedné nezkreslené rovnoběžky Š0:

ρ 0 = R ⋅ cotg Š0

n = sin Š0

Š0 = 78°30’ 0 = 1298168,8214973300 m n = 0,979 924 704 620 830 Z výše uvedených rovnic je zřejmé, že se jedná o kužel v tečné poloze s jednou nezkreslenou rovnoběžkou a všude mimo tuto rovnoběžku bude platit m > 1. Na okrajích pásu bylo zkreslení až m = 1,0002, proto bylo redukováno zavedením multiplikační konstanty k = 0,9999, kterou byl přenásoben poloměr základní rovnoběžky ρ0:

ρ 0 = 0,9999 ⋅ R ⋅ cotg Š0 = 1 298 039,0046 m 0

= 1 298 039,004 615 180 m

Délkové zkreslení v základní rovnoběžce tak bude:

mr0 =

sin Š0 ⋅ 0,9999 ⋅ R ⋅ cotg Š0 = 0,9999 R ⋅ cos Š0

8

2 Zobrazení užitá na území ČSR a ČR Na okrajích pásů tak dojde ke snížení zkreslení na m = 1,0001 a jde o obdobný postup, jako bychom pro dané území volili kužel sečný. Dostáváme tak dvě nezkreslené rovnoběžky Š1 a Š2. Vliv délkového zkreslení pak bude m - 1 ∈ - 10; + 14 cm/km . Délkové zkreslení pak vypočteme ze vzorce společného pro všechna kuželová zobrazení, do jmenovatele výrazu však Obr. 4 Ekvideformáty Křovákova zobrazení dosazujeme původní (nezmenšený) poloměr Země: n⋅ ρ m= R ⋅ cos Š Ekvideformátami jsou i v tomto případě kartografické rovnoběžky, které se do mapy zobrazí jako soustředné kružnice (se středem v obrazu kartografického pólu, Obr. 4). $J%

)

Y = ρ ⋅ sin ε

5

X = ρ ⋅ cos ε

? '

CLD ME → CFD GE

Pro celé území ČSR a nyní i ČR platí Y < X.

Obr. 5 Souřadnicový systém JTSK

9

3 Plochy zkreslení systémů SK a JTSK

N

B / B%2

? ' x = ∆X ⋅ cos α + ∆Y ⋅ sin α

Sp

y = − ∆X ⋅ sin α + ∆Y ⋅ cos α

YS-JTSK

kde α je úhel stočení systémů, ∆X a ∆Y jsou souřadnicové rozdíly souřadnic počátku S-SK a hledaného bodu. Úhel je jednou ze zobrazovacích rovnic (polární souřadnice bodu v rovině), je úhel, který svírá zeměpisný a kartografický poledník, procházející počátkem S-SK.

0 S-JTSK

e

x y S-SK YS-JTSK

0 S-SK

V případě této transformace je úhlem stočení α hodnota meridiánové konvergence v daném bodě, tzn. v počátku S-SK.

X S-JTSK

a x S-SK

X S-JTSK

Obr. 6 Vztah mezi S-SK a S-JTSK Úhel stočení α vypočteme buď pomocí vztahu pro výpočet meridiánové konvergence C (přesnost ±1´, souřadnice Y,X (v S-JTSK) dosazujeme v km, hodnotu C pak dostaneme ve stupních) nebo pomocí vztahů odvozených ze sférického trojúhelníka Sp0S-JTSK0S-SK: Y α = C = 0,008257 ⋅ Y + 2,373 ⋅ nebo α = C = ε −ξ X

cos ξ =

sin U K − sin U G ⋅ sin Š G cos U G ⋅ cos Š G

kde UK je zeměpisná šířka na kouli kartografického pólu K (počátek S-JTSK) a UG je zeměpisná šířka na kouli bodu Gusterberg (počátek S-SK). Kartografická šířka ŠG bodu Gusterberg byla vypočtena převodem viz odst. 2.3.2. Hodnoty úhlu stočení a souřadnice bodu Gusterberg v systému JTSK se liší podle použitých souřadnic počátku S-SK (viz Tab. 1) a jsou uvedeny v následující tabulce: =

< %

) >?

@

=

) '

A

3 α

FH C E

% %%

GH C E % %

%

%

Tab. 2 Hodnoty úhlu stočení α systémů a souřadnice počátku S-SK v systému JTSK. 7

Řešení bylo provedeno v programu Mathematica v5.

10

3 Plochy zkreslení systémů SK a JTSK

B%4 /

+

Plochou zkreslení je v případě Křovákova zobrazení rotační plocha s osou rotace totožnou s osou kužele v obecné poloze. Její řídící křivkou je obecná křivka. Parametrické rovnice plochy zkreslení: X = ρ (Š ) ⋅ sin ε

Y = ρ (Š ) ⋅ cos ε Z = m(Š )

kde funkce ρ(Š) a m(Š) vychází ze zobrazovacích rovnic Křovákova zobrazení (odst. 2.3.2). Š 0 = 78°30' ; R = 6 380 703,610 519 70 m; ρ 0 = 0,9999 ⋅ R ⋅ cotg Š 0 ; n = sin Š 0

Na území naší republiky se hodnoty jednotlivých proměnných pohybují v následujících intervalech: Š ∈ 77°; 80° ; D ∈ 20°; 40° ; ρ ∈ 1130 000 m; 1 465 000 m ; ε ∈ 19°; 40° X ∈ 930 000 m; 1 235 000 m ; Y ∈ 550 000 m; 906 000 m m ∈ 0,9999; 1,0002 , tj. − 10; + 14 cm/km Jak vidíme z parametrického vyjádření této plochy, její řídící křivkou je obecná křivka. Pro další práci s touto plochou je zapotřebí vyjádřit tuto plochu implicitními rovnicemi, které jsou však v tomto případě velmi složité. Pro snadnější vyjádření plochy jsme volili aproximaci řídící křivky parabolou. Jak vidíme již z Obr. 7, aproximace parabolou není zcela přesná. Proto jsme zvolili ještě přesnější aproximaci křivkou 4.stupně (Obr. 8).

Obr. 7 Aproximace parabolou (S-JTSK)

Obr. 8 Aproximace křivkou 4.stupně (S-JTSK)

11

3 Plochy zkreslení systémů SK a JTSK Implicitní rovnice plochy zkreslení po aproximaci řídící křivky parabolou: %

%

%

%

%%

%

%

%

⋅

%

+

% % %

%

%

%

%

%

%

⋅

'

+

% % %

%

%

%

%

%

%

⋅

&

)

%

%

%

%

%

% %

%

% ⋅

%%% %

()

%

%

%

%

%

%

%

%%

%

⋅

' ()

%

%

%

%

%

%

%

%%

%

⋅

& (+

%

% ⋅'

+

⋅' &

% +

⋅&

%

%

%%

%

%

%

⋅

%

+

(

= 0

Implicitní rovnice plochy zkreslení po aproximaci řídící křivky křivkou 4.stupně: % %

% %

% %

%

%

%

%

%

% %

%%

%

% %

%

%

% %

%

%

%

%

%

% %%

% %

%% % %

+

%%

⋅' &

B%B /

+

% % %

% %

%

%

% +

⋅&

⋅

% %

%

% %

%%

% %

& ⋅

%

%

%

%

%

%

%

%

%

⋅' &

%

⋅

%

%

%

% %

% %

%

%

%

%

+ + ) +

&

)

' &

)

%

)

() ⋅

' ()

% ⋅

' ()

⋅

& ()

⋅

' & ()

% ⋅

%

=

' &

⋅

%%

'

' &

%

%

+

&

⋅

%

+

'

%

⋅ %

% % %

⋅

%

%

%

'

%% %

%%

% %

%

%% % +%⋅' &

% %

%

% ⋅'

%%

%

%

%

%

% %%

%% %

%

%

%

⋅

%%

%

% %

⋅

%

%

%

% %

%

% %

⋅

% %

% % %

%

% % %

%

%%

%

%

%

%

%

%

% %

%

⋅

%

%

%

% % %

%

%

% % %

%

⋅

& (+ (

+

=

+

Plochou zkreslení je válcová plocha, posun řídící křivky probíhá ve směru osy x. Řídící křivkou je opět obecná křivka. I v tomto případě parametrizace plochy zkreslení systému SK nastává obdobný problém jako u plochy zkreslení S-JSTK. Opět jsme přistoupili k aproximaci řídící křivky parabolou. Parametrické rovnice plochy zkreslení: x=x y=y z = m( y )

12

3 Plochy zkreslení systémů SK a JTSK kde funkce pro výpočet zkreslení m(y) vyplývá ze zobrazovacích rovnic CassiniSoldnerova zobrazení (odst. 2.2.1). Na území naší republiky se hodnoty proměnných pohybují v intervalech:

y ∈ − 200; 200 km ; m ∈ 1,0000; 1,0005 Přesný vztah pro převod elipsoidu na kouli není v žádné studované literatuře uveden, tudíž nastává problém určení poloměru R náhradní koule. V tomto případě jsme volili výpočet poloměru jako v případě Křovákova zobrazení, a to geometrickým

(

průměrem poloměrů křivosti v počátku systému souřadnic

)

M ⋅ N . Tato hodnota je pro

různé hodnoty zeměpisných souřadnic následující: < %

=

) >?

=

@

) '

7C E

A % %

%

Tab. 3 Poloměr R vypočtený pro různé hodnoty zeměpisných souřadnic počátku

Parametrické rovnice plochy zkreslení po aproximaci řídící křivky parabolou: %

%

%

%

%

%

%

%%%% %

%

% %

%

% %

%

%

% %

% %

% %

%

%% %%

%

%

%%

%

% %

% %

% % %%

%

%

⋅

' − &)

⋅'& +

%

⋅&

% %

+ %

⋅

% %

%

⋅

%

%

%

⋅

) (+

⋅'

= 0

Obr. 9 Aproximace parabolou (S-SK)

B%O / Vzájemná poloha (posunutí a natočení) ploch zkreslení S-SK a S-JTSK je schematicky zakreslena na Obr. 10.

13

3 Plochy zkreslení systémů SK a JTSK Implicitní rovnice výsledné plochy poměru zkreslení jsme získali tak, že jsme za souřadnici z (ta představuje hodnotu zkreslení v daném bodě dané plochy) dosadili pro plochu zkreslení S-JTSK proměnnou k a pro plochu zkreslení S-SK jsme dosadili násobek proměnné k (d⋅k). Následnou eliminací proměnné k pak dostáváme implicitní rovnice plochy zkreslení již v závislosti na souřadnicích x, y a hodnotě d, která představuje námi hledaný poměr zkreslení. Souřadnice x,y představují pravoúhlé rovinné souřadnice bodu v systému JTSK (x = X, y = Y). Dosadíme-li souřadnice bodu, ve kterém potřebujeme vypočítat hodnotu poměru Obr. 10 Vzájemná poloha ploch zkreslení zkreslení systémů, do implicitních rovnic výsledné plochy, řešíme kvadratickou rovnici pro proměnnou d. Implicitní rovnice plochy poměru zkreslení na tomto místě uvádět nebudu vzhledem k jejich velkému rozsahu (pro výslednou plochu s aproximací řídící křivky S-JTSK parabolou se v ní vyskytuje 36 koeficientů - Obr. 11, pro plochu s aproximací křivkou 4.stupně 58 koeficientů - Obr. 12). Tyto rovnice jsou uvedeny v příloze 1 a 2. Izočáry plochy poměru zkreslení znázorňují následující obrázky (také Příloha 3):

Obr. 11

Obr. 12

14

4 Přesnost plochy poměru zkreslení

O /? Vzhledem k aproximacím řídících křivek obou ploch je nutné posoudit přesnost námi navržených aproximovaných ploch. Toto porovnání jsme provedli výpočtem přesné hodnoty poměru délkového zkreslení v odpovídajících si bodech obou systémů a výpočtem hodnoty poměru zkreslení získané z implicitních rovnic výsledné plochy poměru zkreslení. Výpočet byl proveden v programu Mathematica. Pro posouzení přesnosti vyjádření výsledné plochy poměru zkreslení bylo vybráno 100 bodů z intervalu X ∈ 930 000 m; 1 235 000 m , Y ∈ 550 000 m; 906 000 m . Tyto body byly vybrány pravidelnou obdélníkovou mřížkou 10 x 10 bodů.

O%2 J

?

Vybraných 100 bodů určených souřadnicemi v S-JTSK [Y; X] bylo pomocí transformačních vztahů mezi oběma systémy (odst. 3.1) transformováno do systému SK. Získali jsme tak souřadnice bodů v S-SK [x; y]. Dále bylo potřeba vypočítat polární souřadnice bodů v S-JTSK [ ; ] a kartografickou šírku Š, kterých je třeba při výpočtu délkového zkreslení mS-JTSK. Postup výpočtu těchto souřadnic je uveden v odst. 2.3.2, pouze je třeba použít inverzní převodních vztahů. Hodnoty délkového zkreslení v jednotlivých bodech a jejich poměr byly vypočítány vztahy (více viz odst. 2.2.1 a 2.3.1): m S − JTSK =

n⋅ ρ R ⋅ cos Š

m S − SK =

1 cos y

O%4 J

d= R

m S − JTSK m S − SK

P

Výsledná plocha (s parametrizací plochy zkreslení S-JTSK aproximací řídící křivky parabolou a křivkou 4.stupně) má implicitní rovnici ve složitém tvaru (odst. 3.4). Dosazením souřadnic bodů v S-JTSK [Y; X] do těchto rovnic dostaneme kvadratickou rovnici pro výpočet poměru zkreslení d = mS-JTSK / mS-SK.

O%B /

?

'

Posouzení bylo provedeno porovnáním s hodnotami poměru zkreslení vypočtených přesnými vzorci pro výpočet zkreslení jednotlivých zobrazení (viz odst. 2.2.1 a 2.3.1). Přesnost plochy poměru zkreslení (aproximace řídící křivky plochy zkreslení SJTSK parabolou): B.24BQBQ⋅2R+S 15

4 Přesnost plochy poměru zkreslení Přesnost plochy poměru zkreslení (aproximace řídící křivky plochy zkreslení SJTSK křivkou 4.stupně): B.4QQ4T2⋅2R+T Hodnoty délkového zkreslení se nejčastěji uvádí s přesností 10-4, tudíž podle dosažených přesností zcela vystačíme s výsledky dosaženými při aproximaci řídící křivky plochy zkreslení S-JTSK parabolou.

16

5 Závěr

Q =) Závěrem můžeme konstatovat, že se nám podařilo vyjádřit plochu poměru zkreslení dostatečně přesně. Vzhledem k přesnosti, s jakou jsou v geodetické praxi hodnoty zkreslení uváděny (10-4), vidíme z výsledků uvedených v odst. 4.3, že dostáváme uspokojivých výsledků již při méně přesné aproximaci řídící křivky plochy zkreslení S-JTSK parabolou (10-6), při aproximaci křivkou 4.stupně pak přesnost o dva řády vyšší (10-8). V dalších výstupech jsme pracovali právě s touto plochou z důvodu vyšší přesnosti výsledných hodnot poměru zkreslení jednotlivých systémů. Důležitým výstupem této práce jsou rastrové mapy závislosti délkového, resp. plošného, zkreslení na měřené délce, resp. ploše (Příloha 5 a 6). Tabulka hodnot, pro které byly tyto mapy vyhotoveny, je uvedena v příloze 4. Tyto mapy mohou posloužit jako pomůcka při měření v oblastech, kde jsou k dispozici jako jediný mapový podklad právě mapy stabilního katastru.

17

< [1] Vývoj mapového zobrazení území Československé socialistické republiky, III.díl: Mapování a měření Českých zemí od pol.18. stol. do počátku 20.století. ÚSGK 1961. [2] BUCHAR, P.: Matematická kartografie 10. 2. přeprac. vyd., ČVUT Praha 2002. [3] CÍSAŘ, J., BOHUSZAK, F., JANEČEK J.: Mapování. Kartografie Praha, 1966 [4] ČADA, V.: Robustní metody tvorby a vedení digitálních katastrálních map v lokalitách sáhových map. Habilitační práce. České vysoké učení technické v Praze, 2003. [5] Český úřad zeměměřický a katastrální [online]. URL: http://www.cuzk.cz. [6] Šíma, P.: Křovákovo zobrazení [online]. c2001, poslední revize 24.10.2004 [cit. 2005-05-15]. URL: http://krovak.webpark.cz/index.htm. [7] BARANOVÁ, M.: Multimediální texty Matematické kartografie [online], c2004, poslední revize 9.6.2005. [cit. 2005-05-05]. URL: http://www.gis.zcu.cz/studium/mk2/multimedialni_texty/index.html.

/? 1 Zdrojový kód výpočtu plochy poměru zkreslení v programu Mathematica (aproximace řídící křivky plochy zkreslení S-JTSK parabolou) 2 Zdrojový kód výpočtu plochy poměru zkreslení v programu Mathematica (aproximace řídící křivky plochy zkreslení S-JTSK křivkou 4.stupně) 3 Průběh zkreslení a ekvideformáty výsledné plochy poměru zkreslení 4 Tabulka hodnot vlivu zkreslení v závislosti na měřené délce a ploše 5 Rastrové mapy závislosti délkového zkreslení na měřené délce (zkreslení 1, 2, 5 a 10 cm/ 100, 500 a 1000 m) 6 Rastrové mapy závislosti plošného zkreslení na měřené ploše (zkreslení 10, 20, 50, 100, 200, 500 a 1000 m2/ 300 a 800 ha, zkreslení 100, 200, 1200 a 1500 ha)

18

/UV<18F