TIME SERIES
Data Deret Waktu
Materi dalam bab ini adalah suatu pendekatan Statistika dalam memecahkan persoalan perubahan/pertumbuhan variabel atau faktor tertentu. Seperti diketahui Statistika membantu proses pengambilan keputusan secara efisien dan efektif . Dalam Ekonomi misalnya terdapat begitu berfluktuasi dan beragam pola pertumbuhan variabel-nya, baik tingkat inflasi, depaluasi, nilai Kurs Rp/US-dollar, suku bunga bank, eksport tekstil, import beras, produksi Migas, dan lain-lain.umumnya dan variabel. . Dalam bidang Akuntansi, terbiasa kita menganalisis perubahan-perubahan harga, volume produksi, ataupun aktiva perusahaan dari waktu ke waktu. Penilaian perubahan, pertumbuhan atau kecenderungan dapat digunakan Analisis Data deret waktu (Time Series Analysis). Bidang pemasaran ; orang akan berbicara pada jangkauan potensi penjualan produknya dimasa yang akan datang. Karena berbicara waktu, maka akan lebih yakin dicoba dilakukan analisis penjualan data deret waktu 1). Pengertian Data deret waktu adalah sekumpulan data hasil pengamatan/pencatatan historis dan berkala yang menggambarkan secara kronologis suatu karakteristik populasi. Jelas bagi kita mencirikan jenis data ini, karena informasi yang diberikan didasari oleh urutan waktu tertentu. Selain istilah diatas, data ini disebut pula data berkala, atau Data Time Series. Seperti Data jumlah Pengunjung atau konsumen per minggu di suatu Supermarket, Rata-rata jumlah pemanfaatan jasa perbankan dalam sebulan, Jumlah produksi setiap tahun merupakan salah satu contoh data deret waktu. Menurut Lukas Setia Atmaja (Memahami Statistika Bisnis, 1997) bahwa data deret berkala adalah suatu rangkaian atau seri dari nilai-nilai suatu variabel yang dicatat dalam jangka waktu yang berurutan. Analisis yang dimaksud dari data deret waktu (Time Series Analysis) adalah dalam rangka menentukan ukuran-ukuran yang dapat digunakan untuk membuat keputusan, meramal, dan merencanakan operasi di waktu mendatang, sehingga secara singkat dapat dinyatakan, suatu analisis dalam membuat : * Model kecenderungan data deret waktu. *
Menetapkan model peramalan dimasa yang akan datang, baik ramal-an jangka pendek maupun jangka panjang.
Berikut ini akan diberikan satu analisis data deret waktu, yaitu analisis klasik atau analisis dekomposisi. Analisis dalam kajian ini memperhatikan 4 faktor yang melekat dalam mempengaruhi model yang akan dibentuk, yaitu : * Pengaruh Tren : gerakan jangka panjang yang memiliki kecenderungan menuju suatu arah, yaitu arah naik atau turun * Pengaruh Musiman: gerakan jangka pendek, kurang dari 1 tahun, yang ber-ulang secara teratur dari beberapa tahun pengamatan, seperti penjualan daging sapi, akan terlihat jumlah pesanan yang cukup meledak biasanya menghadapi lebaran, atau tahun baru. Demikian pula tentang Jumlah permintaan buku tulis, tampak sangat berbeda terjadi pada bulan-bulan memasuku ajaran baru, seperti bulan
Juli, dibandingkan bulan-bulan lainnya. Maka dalam hal akan ada pengaruh musiman bulanan. * Pengaruh Siklis :
gerakan jangka panjang yang memiliki unsure per-luasan (expansian), puncak (peak), kemun-duran (contraction) dan depresi (trough).
* Pengaruh Residu : atau disebut juga pengaruh randon, yaitu gerakan yang bersifat acak atau tidak ber-aturan, sehingga tidak dapat diprediksi sebelumnya. Seperti, terjadi pengeboman gedung BEJ Jakarta, mengakibatkan turun-nya transaksi saham pada saat itu dan beberapa hari setelahnya. Sehingga dalam hubungan ini suatu pemodelan data akan dapat dibentuk dalam suatu fungsi yang berbentuk : Y = f (T, M, S, R) Sehubungan dengan kebutuhannya, maka dalam pasal kajian kita ini hanya dibahas pengaruh Tren dan Pengaruh musiman saja, dalam rangka menaksir bentuk model data. 2).
ANALISIS TREN
Tren diambil dari istilah kecenderungan (trendi), yang merupakan gerakan kekontinuan data jangka waktu tertentu dan stabil. Dimana gerakan nya memiliki kecenderungan menuju suatu arah, yaitu arah naik atau turun Berdasarkan pencaran data kita dapat menetapkan apakah gerakannya cende-rung berbentuk garis lurus, atau garis lengkung. Jika tren data membentuk garis lurus dikatakan model data membentuk Tren Linier, sebaliknya jika kecenderungannya membentuk garis lengkung dikatakan Tren Non-Linier. (i). Tren Linier : gerak data membentuk garis lurus atau mendekatinya. Model Umum : Yt = + ti + i Model Estimasi :
Y t = a + b ti
...
(1)
...
(2)
Dimana :
Yt = unit data var-Y untuk periode ke-t, = kontanta model tren yang ditaksir oleh a. = koefisien model tren (slope), yang ditaksir oleh b. = deviasi atau sisaan, atau kekeliruan Kurva Tren Linier : Yt
Yt
0
t
0
Gambar Kurva Tren-Linier
t
(ii). Tren Non-Linier : gerak data membentuk garis lengkung yang beraturan. Jenis Trend ini diantaranya : ... Tren Parabola : Yt = ao + a1 ti + a2 ti2 Tren Logistik
:
Yt = (a.bt ) –1
Tren Eksponen
:
Yt = a.(b)
Tren Geometrik
:
Tren Kubik
:
(3)
...
(4)
...
(5)
Yt = a.( ti )b
...
(6)
Yt = a + b ti + c ti2 + d ti3,
...
ti
(7)
Kurva Tren : Yt
Tren Parabola
0
Yt
t
Yt
0
Tren Eksponensial
0 Yt
0
Yt
t Tren Logistik
Tren Parabola
t
Tren Kubik
0 Yt
0 Kurva Non-Linier t Bentuk Gambar 5.2. Beberapa
t Tren Kubik
t
3). ANALISIS TREN LINIER Metoda analisis Tren, yaitu untuk menaksir model tren data deret waktu, dapat digunakan beberapa teknik estimasi statistik, diantaranya dengan metode kuadrat terkecil (Least square methods), metode kemungkinan maksimum (Maximum likelihood methods), tetapi pada umumnya dan untuk lebih mudah penggunaannya digunakan metoda kuadrat terkecil (MKT), yaitu menentukan model tren dengan menaksir koefisien model sedemikian rupa sehingga jumlah kuadrat kekeliruan nilai tren atau deviasi kuadratnya terhadap nilai yang sesungguhnya seminimum mungkin, atau : 2 = ( Y Y )2 minimum. Seperti diketahui model umum trend linier adalah Yt = + ti + i dengan ; Yt adalah data pengamatan pada waktu ke-t ti adalah waktu ke-i adalah konstanta model dan adalah koefisien arah model adalah kekeliruan nilai trend Nilai Konstanta dan koefisien dapat ditaksir oleh a dan b melalui MKT, yaitu : > Buatkan persamaan normal dari model linier, minimal 2 buah persamaan, yaitu : (i). Yi = n. a + b ti (ii). ti Yi = a ti + b ti 2 > Lakukan peng-Kodingan untuk data waktu (t), dibuatkan sedemikian rupa sehingga jumlah ti atau t = 0 , sehingga : * Jika data ganjil memiliki nilai koding : . . . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . . * Jika data genap memiliki nilai koding : . . . . ., -5, -3, -1, 1, 3, 5, . . . . . > Karena ti = 0, maka persamaan diatas menjadi : (i). Yi = n.a (ii). ti Yi = b ti 2 > Dengan demikian taksiran nilai koefisien model adalah :
... ...
=========================================== ... a = Yi / n dan b = ( ti Yi ) / ti 2 =========================================== n = jumlah periode waktu dari data pengamatan.
(8) (9)
(10)
Contoh 1 : Rekapitulasi penerimaan Koperasi "ANU" dari beberapa sumber penerimaan sejak tahun 1990 s.d 1996 tercatat sbb : (Y = jumlah penerimaan dalam jutaan rupiah ) Jika diasumsikan trend data penerimaan adalah linier, tentukan model trendnya. Jawab: Untuk menaksir model trend, maka perlu dibentuk tabel perhitungan berikut :
Tahun Y
‘90 5,5
‘91 6,2
‘92 7,0
‘93 7,6
‘94 8,3
‘95 8,8
‘96 9,5
Jika diasumsikan trend data penerimaan adalah linier, tentukan model trendnya. Jawab : Untuk menaksir model trend, maka perlu dibentuk tabel perhitungan berikut ; Tahun 5,5 6,2 7,0 7,6 8,3 8,8 9,5 Jumlah
Yi 5,5 6,2 7,0 7,6 8,3 8,8 9,5 52,9
ti -3 -2 -1 0 1 2 3 0
ti2 9 4 1 0 1 4 9 28
ti.Yi -16,5 -12,4 -7,0 0 8,3 17,6 28,5 18,5
Maka : taksiran koefisien a = 52.9/7 = 7,557 b = 18,5/28 = 0,66 Maka Model Tren data diperoleh : Yt = 7,557 + 0,66 ti 4).
ANALISIS TREN NON-LINIER
Trend non-linier dapat dipastikan jika pencaran data berdasarkan urutan waktu membentuk garis lengkung pada sumbu koordinat t atas Y. Untuk menaksir koefisien model trend data dilakukan dengan MKT yang dimodifikasi sesuai bentuk modelnya dengan pendekatan kepada kelinieran. a. Menaksir Tren Parabola Bentuk umum model trend parabola Yt = ao + a1 ti + a2 ti 2 , untuk memperoleh bentuk model peramalannya maka harus mampu mencari besarnya masing-masing koefisien model (ao , a1 , dan a2 ) , caranya sbb : > Bentuk 3 buah persamaan normalnya, yaitu : Yi = n.ao + a1 ti + a2 ti 2 (ii). ti Yi = ao ti + a1 ti 2 + a2 ti 3 (iii). ti2 Yi = ao ti2 + a1 ti 3 + a2 ti 4 (i).
> Lakukan peng-Kodingan, sehingga diusahakan : ti = ti 3 = ti 5 = 0 > Berdasarkan nilai koding tsb, maka persamaan normal diatas dapat ditulis : Yi
+ a2 ti 2
...
(11)
(ii). ti Yi = a1 ti 2
...
(12)
(iii). ti 2Yi
...
(i).
= n. ao
= ao ti2 + a2 ti 4
(13)
> Taksiran nilai koefisien model akan diperoleh dari subsitusi ketiga persamaan normal hasil koding diatas. Contoh 2 : Pertumbuhan angka kelahiran per-1000 penduduk di kodya Bandung mengikuti distribusi Parabola, hal ini dapat diperhatikan pada tahun 1970 s.d 1978
bentuk
Y = Jumlah kelahiran per-1000 penduduk Tahun 1993 1994 1995 1996 Y 25 23 21 18 a. Taksirlah bentuk model trend data tersebut. b. Berapa ramalan kelahiran tahun 1980 ? Penyelesaian :
1997 16
1998 17
1999 19
2000 23
2001 24
Bentuk dahulu tabel perhitungan yang dibutuhkan dalam persamaan normalnya, yaitu : Thn 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
Y
ti -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
ti2 16 9 4 1 0 1 4 9 16
ti4 256 81 16 1 0 1 16 81 256
ti.Yi -100 -69 -42 -18 0 17 38 69 96
ti2 .Yi 400 207 84 18 0 17 76 207 384
186
0
60
708
-9
1393
25 23 21 18 16 17 19 23 24
Jml
Dari hasil tersebut akan membentuk persamaan berikut : (i). 186 = 9 ao + 60 a2 (ii). -9 = 60 a1 (iii). 1393 = 60 ao + 708 a2 Dengan langkah subsitusi atau eliminasi, diperoleh hasilnya sbb : ao = 17,355
a1 = -0,15
a2 = 0,497
a. Sehingga Taksiran Model Tren-nya adalah : ======== Yt = 17,355 - 0,15 ti + 0,497 ti 2 ========= b. Ramalan angka kelahiran tahun 1002 adalah : 2002 => nilai koding : t 2002 = 5 ==> Y2002 = 17,355 - 0,15 (5) + 0,497 (5)2 = 29
b. Menaksir Tren Eksponensial Bentuk umum trend Eksponensial : Yt = a. b ti Bentuk ini akan lebih mudah jika dilakukan penyederhanaan : dibuatkan bentuk logaritmanya yaitu : log Yt = log a + ti log b , jika :
log Yt = Zi log a = A
log b = B
maka : Zi = A + B ti Bentuk terakhir disamping adalah bentuk linier, dengan mengikuti langkah pada penyelesaian Tren Linier kita akan dapatkan taksiran untuk koefisien a maupun b, yaitu a = antilog [ ( log Yi ) / n ]
...
(14)
b = antilog [ ( ti log Yi ) / ti 2 ]
...
(15)
(Buktikan ! )
c. Taksiran Tren Logistik Bentuk umum Tren logistik : Yt = (a. b ti )-1 Dengan cara yang sama seperti taksiran dalam bentuk tren eksponensial, maka taksiran koefisien model trennya adalah sbb : a = antilog [ ( - log Yi ) / n ]
...
(16)
b = antilog [ ( ti {-log Yi }) / ti 2 ]
...
(17)
(Buktikan ! )
5).
ANALISIS FAKTOR MUSIMAN
Dalam analisis Time Series, jika kita berhadapan dengan data mingguan, kuartal, atau data bulanan akan besar kemungkinannya dipengaruhi oleh faktor musiman. Ambil contoh ; hasil penjualan daging sapi, akan terasa lonjakan jumlah permintaan pada bulan-bulan menghadapi tahun baru dan Lebaran Idul Fitri. Permintaan akan buku tulis, nampaknya dalam setahun, akan terlihat jumlah permintaan buku tulis sangat signifikans pada bulan-bulan menghadapi tahun ajaran baru, biasanya pada bulan Juni atau Juli. Untuk meninjau seberapa besar faktor musiman berpengaruh pada data deret waktu, dilakukan dengan menentukan indeks musimannya (IM). Cara perhitungan : Perhitungan Indeks Musiman dalam hal ini lebih mudah dilakukan dengan cara persentase rata-rata, yaitu mengikuti langkah /prosedur berikut : (untuk kasus data bulanan) ; 1. Tentukan rata-rata data periode untuk setiap tahun. Misalkan diperoleh untuk tahun ke-I adalah : X i , i = 1, 2, . . (beberapa tahun pengamatan) 2. Tentukan prosentase setiap data yang bersesuaian dengan periodenya. Yaitu : (Xij / X i ) x 100 % 3.
Hitung rata-rata untuk waktu pengamatan yang sama dari beberapa tahun yang diselidiki, nilai hasil hitungan disebut Indeks Musiman Sementara (IMS).
4. Periksa nilai IMS, jika waktu yang diamati data bulanan haruslah berjumlah 1200 untuk setiap tahun penyelidikan. Jika tidak, perlu disesuaikan dengan mengalikan oleh faktor penentu (p), dimana ; p = 1200/IMS 5. Dari langkah ke-4 tersebut akan diperoleh Indeks Musiman (IM) Contoh : Frekuensi pemanfaatan jasa tabanas di bank Epsilon selama 3 tahun terakhir, berdasarkan pengamatan perbulan diketahui sbb : Periode Januari Pebruari Maret April MeI Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Rata-rata
2010 178 183 204 201 196 185 192 188 197 202 205 213 195.33
Tahun Pengamatan Data 2011 180 186 209 221 243 234 210 194 207 215 228 208 211.25
2012 206 189 200 211 232 285 292 280 247 252 255 253 241.83
Untuk memperhitungkan besarnya pengaruh musiman dapat diperhatikan tabel berikut : = Kita tentukan Rata-rata Prosentase : Periode Januari Pebruari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember
2010 91.13 93.69 104.44 102.90 100.34 94.71 98.29 96.25 100.85 103.41 104.95 109.04
Tahun Pengamatan Data 2011 85.21 88.05 98.93 104.62 115.03 110.77 99.41 91.83 97.99 101.78 107.93 98.46
2012 85.18 78.15 82.70 87.25 95.93 117.85 120.74 115.78 102.14 104.20 105.44 104.62
= Tentukan rata-rata untuk setiap waktu yang sama : Yaitu Periode Januari s/d Desember, sehingga diperoleh IMS, yaitu : IMS
Periode Januari Pebruari Maret April MeI Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Jumlah
87.17 86.63 95.36 98.26 103.77 107.78 106.15 101.29 100.33 103.13 106.11 104.04 1200.00
Karena Total IMS atau : IMS = 1200, maka nilai IMS berlaku otomatis sebagai nilai IM atau besar pengaruh musiman setiap periodenya. Dari Tabel Faktor Musiman diatas, kolom IM diartikan : IM(Januari) = 87,17 % artinya terdapat pengaruh musiman sebesar 12,83 % dibawah rata-rata IM(Januari) = 86,63 % artinya terdapat pengaruh musiman sebesar 13,57 % dibawah rata-rata -
IM(Agustus)= 100,33 artinya hampir dapat dikatakan tidak ada atau tidak terdapat pengaruh musiman. IM(Desemb)= 104,04 artinya terdapat pengaruh musiman sebesar 4,04% diatas rata-rata. Terlihat bahwa : Pengaruh musiman sangat besar atau tinggi terjadi pada bulan : Januari dan Pebruari.
SOAL-SOAL LATIHAN Kasus-1 : Data Berikut menyatakan tinjauan tentang perkembangan usaha dagang “CV. Angin Ribut “ untuk beberapa komiditi yang dijalankan selama tahun 2000-2001
Periode Triwulan-1 Triwulan-2 Triwulan-3 Triwulan-4
Jumlah Komoditi & Tahun Pengamatan Beras (dalam Ton) Gula ( dalam Ton) 2000 2001 2000 2001 25,5 42,6 25,42 19,50 28,2 44,7 22,23 20,01 34,5 50,0 20,06 20,73 38,8 52,1 19,76 21,22
a.
Buatkan gambar plot perkembangan data kedua komoditi dagang perusahaan tersebut.
b.
Bagiamana kecenderungan perkembangan datanya ?
c.
Lakukan Taksiran Model Tren data kedua komoditi tersebut.
d.
Hitunglah pengaruh musiman yang terjadi pada perkembangan dagang komoditi Beras maupun Gula.
e.
Simpulkan semua hasil yang anda peroleh.
Kasus-2 : Setiap perusahaan memerlukan sumber dana yang berasal dari luar perusahaan. Namun terkadang perusahaan tersebut tidak mampu untuk membayar kewajiban-kewajibannya. Untuk mengukur apakah perusahaan tersebut dapat membayar kewajiban-kewajibannya, maka dapat dilihat dari likuiditasnya. Sementara itu Setiap perusahaan menginginkan laba yang maksimal, karena laba ini dapat digunakan perusahaan untuk kegiatan di dalam pencapaian nilai perusahaan. Profitabilitas dapat mengukur kemampuan perusahaan di dalam menghasilkan laba dengan total assetnya. Dan kebijakan pendanaan ini menetapkan apakah perusahaan akan menggunakan modal sendiri, utang jangka pendek ataupun utang jangka panjang di dalam membiayai setiap investasinya. Sedangkan keuangan perusahaan (Financing) diukur dari total hutang perusahaan dibandingkan dengan modal perusahaan. Berikut disajikan data ketiga faktor diatas pada perusahaan BAT Indonesia selama periode 1994-2003.
Tabel Perkembangan Likuiditas (X1), Profitabilitas (X2) dan Financing (X4) Perusahaan BAT Indonesia Periode 1994-2003 Tahun
Likuiditas
Profitabilitas
Financing
BAT Ind- 1994
1,105
0,220
0,70
BAT Ind- 1995
0,332
0,309
1,23
BAT Ind- 1996
0,238
0,257
3,07
BAT Ind- 1997
0,273
0,066
3,85
BAT Ind- 1998
0,162
0,045
4,32
BAT Ind- 1999
0,180
0,054
7,50
BAT Ind- 2000
0,194
0,066
1,13
BAT Ind- 2001
0,375
0,140
0,81
BAT Ind- 2002
0,342
0,162
0,72
BAT Ind- 2003
0,457
0,071
0,55
Lakukan analisis perkembangan factor-faktor diatas.
