6.2.2
Goniometrický tvar komplexních čísel I
Předpoklady: 4207, 4209, 6201 Pedagogická poznámka: Goniometrický tvar komplexních čísel není pro studenti nijak obtížný. Velmi obtížné je pro studenty si po roce vzpomenout na hodnoty goniometrických funkcí. Varuji je dopředu a případnou neznalost trestám. Bez připomenutí hodnot goniometrických funkcí ztrácí následující hodiny smysl, protože studenti nebudou řešit problémy komplexních čísel, ale pouze hodnoty goniometrických funkcí. Př. 1:
Nakresli do Gaussovy roviny obraz čísla z = −2 + 2i . y 2i i
-2
-1
1
2
x
-i -2i
Obraz bodu z = −2 + 2i je určen pomocí dvou čísel [ −2; 2] , kartézských souřadnic. Jak kartézské souřadnice určují polohu bodu? [ −2; 2] = posuň se ve vodorovném směru (ve směru osy x) o dva zpátky (o –2) a pak se posuň
ve svislém směru (ve směru osy y) od dva nahoru (o +2) a dostaneš se do bodu [ −2; 2] .
y 2i i
2
-2 -2
-1
1
2
x
-i -2i Je možné se do stejného místa dostat i jiným způsobem (předpokládáme, že stojíme v počátku a díváme se v kladném směru osy x? Způsobů je nekonečně mnoho. Jiným jednoduchým je:
1
Otoč se o úhel 135° , pak ujdi přímým směrem vzdálenost
( −2 )
2
+ 22 = 8 = 2 2 .
y 2i 2 i 135°
-2 -2
-1
1
2
x
-i -2i
⇒ polohu obrazu čísla z = −2 + 2i jde určit více způsoby: • pomocí čísel [ −2; 2] - kartézské souřadnice •
pomocí čísel 2 2;135° - polární souřadnice
Jak se říká polárním souřadnicím? • 2 2 - vzdálenost od počátku = absolutní hodnota komplexního čísla z (značí se i r) • 135° - úhel otočení od kladného směru osy x = argument, značí se ϕ Jaký je vztah mezi [ a; b] a [ r ; ϕ ] ? Srovnáme s jednotkovou kružnicí.
y
1 r sin(x)
1
bi
a x
-1
cos(x) S
1
-1 souřadnice zakresleného bodu mají hodnoty: [ cos ϕ ;sin ϕ ]
stejný obrázek jako vlevo, ale vzdálenost bodu od počátku je r místo 1 ⇒ souřadnice zakresleného bodu mají hodnoty: [ r cos ϕ ; r sin ϕ ] . Dosud jsme je označovali
[ a; b]
⇒ platí:
a = r cos ϕ , b = r sin ϕ
2
zapíšeme algebraický tvar komplexního čísla pomocí [ r ; ϕ ] :
z = a + bi = ( r cos ϕ ) + ( r sin ϕ ) i = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) = goniometrický tvar komplexního čísla
Goniometrický tvar není jednoznačný, obě goniometrické funkce se opakují po 2π , proto platí: z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) = r cos (ϕ + k ⋅ 2π ) + i sin (ϕ + k ⋅ 2π )
Goniometrickým tvarem čísla rozumíme jeho vyjádření ve tvaru z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) , kde ϕ je argument komplexního čísla z a r je jeho absolutní hodnota. Př. 2:
Zapiš komplexní číslo z = −2 + 2i v goniometrickém tvaru.
goniometrický tvar ⇒ potřebujeme znát ϕ a r, obojí už známe z obrázků r= z =2 2
3 4
ϕ = 135° = π 3 3 z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) = 2 2 cos π + i sin π 4 4 Argument komplexních čísel se téměř výhradně udává v radiánech. Jak převedeme číslo z goniometrického tvaru do algebraického? z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) = a + bi ⇒ stačí zapsat hodnoty goniometrických funkcí a roznásobit závorku 3 3 2 2 2 2 z = 2 2 cos π + i sin π = 2 2 − +i = −2 + 2i = 2 2 − + i 2 2 4 4 2 2 2 2
Př. 3:
Zapiš komplexní čísla v algebraickém tvaru: 7 7 π π a) z1 = 2 cos + i sin b) z2 = cos π + i sin π 6 6 4 4 3 3 70 70 c) z3 = 2 cos π + i sin π d) z4 = 4 cos π + i sin π 2 2 3 3 e) z5 = 5 ( cos 40° + i sin 40° )
2 π π 2 a) z1 = 2 cos + i sin = 2 +i = 1+ i 4 4 2 2 7 7 3 1 b) z2 = cos π + i sin π = − − i 6 6 2 2 3 3 c) z3 = 2 cos π + i sin π = z3 = 2 0 + i ( −1) = −2i 2 2
3
70 70 d) z4 = 4 cos π + i sin π 3 3 70 66 4 4 4 π = π + π = 22π + π = π 3 3 3 3 3 1 70 70 4 4 3 z4 = 4 cos π + i sin π = 4 cos π + i sin π = 4 − + i − = −2 − i 2 3 3 3 3 3 2 2 e) z5 = 5 ( cos 40° + i sin 40° ) musíme najít základní hodnotu úhlu
pro úhel 40° neznám tabulkové hodnoty goniometrických funkcí ⇒ s kalkulačkou jen přibližný výsledek z5 = 5 ( cos 40° + i sin 40° ) ≐ 5 ( 0, 77 + i ⋅ 0, 64 ) = 3,85 + 3, 2i
Př. 4:
Petáková: strana 137/cvičení 32 z4 strana 137/cvičení 33
Na druhou stranu to bude horší. Chceme převést do goniometrického tvaru z = 1 − i ⇒ musíme najít r a ϕ . Najít r není problém: r = z = a 2 + b2 = 12 + ( −1) = 2 . 2
Jak najít ϕ ? 1. pomocí obrázku
y i 3 2
Stačí určit úhel α a máme i úhel ϕ .
-1
r
1
x
-i
4
y i 1 π Zelený trojúhelník: tg α = = 1 ⇒ α = 1 4 3 π 7 ϕ= π+ = π 2 4 4
3 2 -1
r
1
x
1 -i
1
7 7 z = 1 − i = 2 cos π + i sin π 4 4
2. pomocí rovnic Vezmeme algebraický tvar a budeme ho upravovat na goniometrický: a b a b z = a + bi = z + i = r + i z r r z srovnáme s algebraickým tvarem: z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) ⇒ platí:
a a b b = sin ϕ = = r z r z ⇒ můžeme určit hodnoty sin a cos pro hledaný argument a z nich argument určit z = 1 − i , r = 2 (už jsem spočítali) a 1 2 b −1 2 cos ϕ = = = sin ϕ = = =− r 2 r 2 2 2 cos ϕ =
⇒ hledáme úhel pro který platí: cos ϕ =
2 2 7 , sin ϕ = − ⇒ ϕ= π 2 2 4
7 7 z = 1 − i = 2 cos π + i sin π 4 4
Př. 5:
Převeď do goniometrického tvaru čísla: a) z1 = 1 + i 3 b) z2 = 2i d) z4 = −2
c) z3 = −2 3 − 2i
e) z5 = π
a) z1 = 1 + i 3 ⇒ r = z = a 2 + b 2 = 12 +
f) z6 = 2 − i 2 3
( 3)
1. pomocí obrázku
2
=2
2. pomocí rovnic a 1 cos ϕ = = r 2 b 3 sin ϕ = = r 2
5
⇒ hledáme úhel pro který platí: cos ϕ =
y
1 , 2
3 π ⇒ ϕ= 2 3 π π z = 1 + i 3 = 2 cos + i sin 3 3
sin ϕ =
i
r=2 3
1
1
x
3 π ⇒ϕ = 2 3 π π z = 1 + i 3 = 2 cos + i sin 3 3
Zelený trojúhelník: sin ϕ =
b) z2 = 2i ⇒ r = z = a 2 + b2 = 0 + 22 = 2 1. pomocí obrázku 2. pomocí rovnic a 0 y cos ϕ = = = 0 r 2 b 2 r=2 sin ϕ = = = 1 r 2 i ⇒ hledáme úhel pro který platí: cos ϕ = 0 ,
1
ϕ=
sin ϕ = 1 ⇒ ϕ =
x
π
2
π π z = 2i = 2 cos + i sin 2 2
π 2
π π z = 2i = 2 cos + i sin 2 2 c) z3 = −2 3 − 2i ⇒ r = z = a 2 + b 2 =
( −2 3 )
1. pomocí obrázku
i -1 1 2
r=4
+ ( −2 ) = 4 ⋅ 3 + 4 = 4 2
2. pomocí rovnic a −2 3 3 cos ϕ = = =− r 4 2 b −2 1 sin ϕ = = =− r 4 2 ⇒ hledáme úhel pro který platí: 3 1 7 cos ϕ = − , sin ϕ = − ⇒ ϕ = π 2 2 6 7 7 z = −2 3 − 2i = 4 cos π + i sin π 6 6
y
2 3
2
x
-i
6
2 1 π = ⇒α = 4 2 6
Zelený trojúhelník: sin α =
π
7 = π 6 6 7 7 z = −2 3 − 2i = 4 cos π + i sin π 6 6
ϕ = π +α = π +
d) z4 = −2 ⇒ r = z = a 2 + b 2 =
( −2 )
2
+ 02 = 2
1. pomocí obrázku y
2. pomocí rovnic a −2 cos ϕ = = = −1 r 2 b 0 sin ϕ = = = 0 r 2 ⇒ hledáme úhel pro který platí: cos ϕ = −1 , sin ϕ = 0 ⇒ ϕ = π
i r=2
x
1
z = −2 = 2 ( cos π + i sin π )
ϕ =π
z = −2 = 2 ( cos π + i sin π )
e) z5 = π ⇒ r = z = a 2 + b 2 = π 2 + 02 = π
1. pomocí obrázku y
2. pomocí rovnic a π cos ϕ = = = 1 r π b 0 sin ϕ = = = 0 r π ⇒ hledáme úhel pro který platí: cos ϕ = 1 , sin ϕ = 0 ⇒ ϕ = 0
i x 1
r=
z = π = π ( cos 0 + i sin 0 )
ϕ =0 z = π = π ( cos 0 + i sin 0 )
(
f) z6 = 2 − i 2 3 ⇒ r = z = a 2 + b 2 = 22 + −2 3
1. pomocí obrázku y 3 i 2 1
-1 -i
)
2
= 4 + 4⋅3 = 4
2. pomocí rovnic a 2 1 cos ϕ = = = r 4 2 b −2 3 3 sin ϕ = = =− r 4 2
x
⇒ hledáme úhel pro který platí: cos ϕ =
r=4
2 3
3 5 ⇒ ϕ= π 2 3 5 5 z = 2 − i 2 3 = 4 cos π + i sin π 3 3
sin ϕ = −
2 Zelený trojúhelník: sin α =
2 1 π = ⇒α = 4 2 6
7
1 , 2
3 2
3 2
π
10 5 π= π 6 6 3 5 5 z = 2 − i 2 3 = 4 cos π + i sin π 3 3
ϕ = π +α = π +
=
Pedagogická poznámka: Předchozí příklad je jednou z výjimek, kdy nechávám studenty, kteří ho nestihnou ve škole dopočítat zbytek doma. Jeho úspěšné zvládnutí je podmínkou příští hodiny. Př. 6:
Petáková: strana 137/cvičení 30 z4 , z6 , z7
Shrnutí:
8