´ tvar 1. Jordan˚ uv kanonicky Obecnˇe nelze pro zadan´ y line´arn´ı oper´ator ϕ : U → U naj´ıt b´azi α takovou, ˇze (ϕ) α,α by byla diagon´aln´ı. Obecnˇe vˇsak plat´ı, ˇze pro kaˇzd´ y line´arn´ı oper´ator ϕ : U → U nad komplexn´ımi ˇc´ısly lze naj´ıt b´azi α takovou, ˇze (ϕ)α,α m´a tzv. Jordan˚ uv kanonick´y tvar. Co to je? Jordanova buˇ nka dimenze k × k tvaru λ1 1 λ1 1 .. Jk (λ) = . λ1
1 λ1
·
Jestliˇze ϕ : U → U m´a v nˇejak´e b´azi α = (v1 , v2 , . . . , vk ) matici (ϕ)α.α = Jk (λ), pak plat´ı: ϕ(v1 ) = λ1 v1 ϕ(v2 ) =
v 1 + λ 1 v2
ϕ(v3 ) = .. .
v 2 + λ 1 v3
ϕ(vk ) =
vk−1 + λ1 vk
To lze pˇrepsat tak´e takto: (ϕ − λ id)v1 (ϕ − λ id)v2 (ϕ − λ id)v3 .. . (ϕ − λ id)vk
= 0 = v1 = v2 = vk−1
Posloupnosti v1 , v2 , . . . vn ˇr´ık´ame ˇretˇezec pro vlastn´ı ˇc´ıslo λ oper´atoru ϕ, nebot’ ϕ−λ id
ϕ−λ id
ϕ−λ id
ϕ−λ id
0 ←−−−− v1 ←−−−− v2 ←−−−− v3 · · · vk−1 ←−−−− vk . Obr´acenˇe, najdeme-li ˇretˇezec pro vlastn´ı ˇc´ıslo λ a oper´ator ϕ : U → U d´elky dim U , pak vektory ˇretˇezce jsou line´arnˇe nez´avisl´e a v b´azi jimi tvoˇren´e je (ϕ)α,α = Jk (λ). 1
2
D˚ ukaz line´ arn´ı nez´ avislosti indukc´ı: ’ Necht 0 ← v1 ← v2 ← · · · ← vj jsou line´arnˇe nez´avisl´e. Necht’ j+1 X
/(ϕ − λ id)
a i vi = 0
i=1
j+1
X i=1
P
ai (ϕ − λ id)vi = 0 j+1 X
ai vi−1 = 0
i=2
⇒
a2 = a3 = · · · = aj+1 = 0.
Z ai vi = 0 plyne a1 = 0. Charakteristick´ y polynom Jordanovy buˇ nky Jk (λ0 ) je k (λ0 − λ) . Jordan˚ uv kanonick´ y tvar Matice je v Jordanovˇe kanonick´em tvaru, jestliˇze je blokovˇe diagon´aln´ı s bloky, kter´e jsou Jordanov´ ymi buˇ nkami Jk1 (λ1 ) Jk2 (λ2 ) Jk3 (λ3 ) J = . .. Jkl (λl )
Vˇ eta o Jordanovˇ e kanonick´ em tvaru. Necht’ U je vektorov´y prostor nad K dimenze ’ n a necht ϕ : U → U je line´ arn´ı oper´ ator, jehoˇz charakteristick´y polynom m´ a n koˇren˚ u vˇcetnˇe n´ asobnosti. Potom existuje b´ aze α v U takov´ a, ˇze (ϕ)α,α je matice v Jordanovˇe kanonick´em tvaru. Tento Jordan˚ uv kanonick´y tvar je urˇcen jednoznaˇcnˇe aˇz na poˇrad´ı bunˇek. Vˇ eta o Jordanovˇ e kanonick´ em tvaru pro komplexn´ı prostory. Necht’ U je komplexn´ı vektorov´y prostor a ϕ : U → U line´ arn´ı oper´ ator. Potom v U existuje b´ aze α takov´ a, ˇze matice (ϕ)α,α je v Jordanovˇe kanonick´em tvaru. Maticov´ a verze Jordanovy vˇ ety. Kaˇzd´ a komplexn´ı matice je podobn´ a matici v Jordanovˇe kanonick´em tvaru. Tato matice je urˇcena jednoznaˇcnˇe aˇz na poˇrad´ı Jordanov´ych blok˚ u. ´ ˇ ´ VYPO CET JORDANOVA KANONICKEHO TVARU (1) Na u ´hlopˇ r´ıˇ cce Jordanova kanonick´ eho tvaru jsou vlastn´ı ˇ c´ısla line´ arn´ıho oper´ atoru - kaˇ zd´ e tolikr´ at, kolik ˇ cin´ı jeho algebraick´ e n´ asobnost.
Jordan˚ uv kanonick´ y tvar
Pˇ r´ıklad 1a.
3 5 3 A = −4 −9 −6 6 15 10
3
|A − λE| = (2 − λ)(1 − λ)2
pro vlastn´ı ˇc´ıslo λ = 2 je vlastn´ı vektor v1 = (1, −2, 3)T pro vlastn´ı ˇc´ıslo λ = 1 je vlastn´ı vektor v2 = (3, 6, −8)T pro vlastn´ı ˇc´ıslo λ = 1 je vlastn´ı vektor v3 = (1, −1, 1)T 2 0 0 [ϕ]α,α = 0 1 0 α = (v1 , v2 , v3 ) 0 0 1 Pˇ r´ıklad 1b.
2 1 −1 2 A= 0 1 0 0 1
|A − λE| = (2 − λ)(1 − λ)2
pro vlastn´ı ˇc´ıslo λ = 2 je vlastn´ı vektor v1 = (1, 0, 0)T pro vlastn´ı ˇc´ıslo λ = 1 je vlastn´ı vektor v2 = (1, −1, 0)T
(2) Jordan˚ uv kanonick´ y tvar m´ a tolik bunˇ ek, kolik existuje line´ arnˇ e nez´ avisl´ ych vlastn´ıch vektor˚ u.
Jordan˚ uv kanonick´ y tvar m´a dvˇe buˇ nky, mus´ı tedy b´ yt: 2 0 0 J = 0 1 1 · 0 0 1
Hled´ame vektor v3 tak, aby v b´azi α = (v1 , v2 , v3 ) bylo [ϕ]α,α = J . Av1 = 2v1
Av2 = v2
(A − 2E)v1 = 0 (A − E)v2 = 0
Mus´ı platit Av3 = v2 + v3 ,
tedy (A − E)v3 = v2 .
ˇ s´ıme tuto rovnici: Reˇ
A−E
A−E
ˇ ezec v3 −−→ v2 −−→ 0.) (Retˇ
1 0 0 1 0 0 1 v3 = −1 · 0 0 0 0
Dost´av´ame v3 = (1, p, −1). Matice A m´a Jordan˚ uv kanonick´ y tvar J v b´azi (v1 , v2 , v3 ).
4
Pˇ r´ıklad 2.
13 −28 3 A = 4 −8 1 −1 4 1
|A − λE| = (2 − λ)3
pro vlastn´ı ˇc´ıslo λ = 2 je vlastn´ı vektor u1 = (2, 1, 2)T Jordan˚ uv kanonick´ y tvar m´a tedy jedinou buˇ nku 2 1 0 J = 0 2 1 · 0 0 2 Najdeme u2 , u3 pˇr´ısluˇsn´e b´aze
Au2 = u1 + 2u2
Au3 = u2 + 2u3
ˇ sen´ım tˇechto rovnic dostaneme Reˇ
u2 = (5, 2, 1)T
(A − 2E)u2 = u1
(A − 2E)u3 = u2 u3 = (3, 1, 0)T
H´ad´an´ım“: Zvol´ıme u3 a spoˇc´ıt´ame u2 = (A − 2E)u3 , pokud u2 = 0, zmˇen´ıme u3 . ” Pokud u2 6= 0, spoˇc´ıt´ame u1 = (A − 2E)u2 . Pokud u1 = 0, zmˇen´ıme u3 , pokud u1 6= 0, jsme hotovi. 1 11 6 A−2E A−2E u3 = 0 −−−→ 4 −−−→ 3 0 −1 6 Hledan´a b´aze nen´ı urˇcena jednoznaˇcnˇe: zde jsou dvˇe moˇzn´e 2 5 3 1 11 6 1 2 1 0 4 3 2 1 0 0 −1 6
Pˇ r´ıklad 3.
4 4 0 0 0 A = −1 −2 −4 2
|A − λE| = (2 − λ)3
pro vlastn´ı ˇc´ıslo λ = 2 jsou vlastn´ı vektory u = (2, −1, 0)T , v = (0, 0, 1)T . Najdeme w (A − 2E)w = au + bv 2 4 0 2a 2 4 0 2a A = −1 −2 0 −a ∼ −1 −2 0 −a −2 −4 0 b 0 0 0 2a + b
Soustava m´a ˇreˇsen´ı ⇔ 2a + b = 0. Necht’ a = 1, b = −2. Potom w = (−1, 1, 1)T ,
0 ←− u − 2v ←− w 0 ←− v
u − 2v, w, v b´aze R3 . ˇretˇezce pro λ = 2
Jordan˚ uv kanonick´ y tvar
Jordan˚ uv kanonick´ y tvar 2 1 0 2 J = 0 0
5
je
0 2 −1 0 0 −1 1 0 · v b´azi 2 −2 1 1 1 0 , spoˇc´ıtejme H´ad´an´ım“: Zvolme u2 = ” 0 2 0 u1 = (A − 2E) u2 = −1 u3 = 0 −2 1 Pˇ r´ıklad 4.
−13 5 4 2 0 −1 0 0 A= −30 12 9 5 −12 6 4 1
−12 5 4 2 0 0 0 0 A+E = −30 12 10 5 −12 6 4 2
|A − λE| = (1 + λ)4
r4 = 6r1 − 2r3 ,
h=2
pro vlastn´ı ˇc´ıslo λ = −1 jsou vlastn´ı vektory u = (1, 0, 3, 0)T , v = (0, 0, 1, −2)T ˇ sen´ı Najdeme w (A + E) = au + bv. Soustava m´a ˇreˇsen´ı pro libovoln´a a ,b. Reˇ (A + E)u1 = u
(A + E)v1 = v
u1 = (0, −1, 0, 3)T , v1 = (0, −2, 0, 5)T . −1 1 0 0 0 −1 0 0 , pˇr´ısluˇsn´a b´aze A≈ 0 0 −1 1 0 0 0 −1 H´ad´an´ım:“ ”
0 0 1 −1 0 0 3 0 1 −2 3 0
1 −12 0 0 u1 = 0 −→ u2 = −30 0 −12 5 0 0 1 v1 = 0 −→ v2 = 12 6 0
−→ 0
−→ 0
0 −2 0 5
6
Pˇ r´ıklad 5.
4 3 2 −3 6 9 4 −8 A= −3 −4 −1 4 9 9 6 −8
|A − λE| = (1 − λ)4
pro vlastn´ı ˇc´ıslo λ = 1 jsou vlastn´ı vektory u = (0, 1, 0, 1)T , v = (−2, 0, 3, 0)T . Najdeme w (A − E)w = au + bv. Soustava m´a ˇreˇsen´ı ⇔ a + 6b = 0 3 3 2 −3 −2b 3 3 2 −3 −2b 6 8 4 −8 a 2 −2 10 a + 6b ∼ 0 −3 −4 −2 4 3b 0 −1 0 1 b 9 9 6 −9 a 0 0 0 0 a + 6b
ˇ sen´ım soustavy (A − Zvolme a = −6, b = 1. Potom −6u + v = (−2, −6, 3, −6)T . Reˇ 1 T T E)w = (−2, −6, 3, −6) dostaneme w = ( 3 , −1, 0, 0) + a1 u + b1 v. Soustava (A − E)z = w m´a ˇreˇsen´ı ⇔ a1 + 6b1 = 1 1 − 2b1 3 3 2 −3 3 3 2 −3 13 − 2b1 3 6 8 4 −8 −1 + a1 8 4 −8 −1 + a1 ∼ 6 −3 −4 −2 −3 −4 −2 4 3b1 4 3b1 9 9 6 −9 a1 0 0 0 0 −1 + a1 + 6b1 T Zvolme a1 = 1, b1 = 0. Potom w = 31 , 0, 0, 1 T 2 1 [−6u + v, v] = [u, v]. z = 0, 0, , 3 3 Tedy
1 0 A≈ 0 0
H´ad´an´ım:“ ”
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 0 1
v b´azi
1 3 0 6 u3 = 0 −→ u2 = −3 0 9
1 −2 3 −6 0 3 0 1 −6
0 0 0 1 2 0 3 1 1 3
−6 −→ u1 = −18 −→ 0 9 −18 0 1 u4 vlastn´ı vektor naz´avisl´ y na u1 : u4 = 0 · 1
Metodu h´ ad´ an´ı“ nelze pouˇ z´ıt, pokud m´ a matice aspoˇ n dvˇ e r˚ uzn´ a vlastn´ı ” ˇ c´ısla.
Jordan˚ uv kanonick´ y tvar
7
(3) Velikost nejvˇ etˇ s´ı buˇ nky pro vlastn´ı ˇ c´ıslo λ je nejmenˇ s´ı k takov´ e, ˇ ze hodnost (A − λE)k = n − algebraick´ a n´ asobnost λ.
