II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan definisi-definisi yang akan digunakan di dalam pembahasan. 2.1 Ruang Contoh, Peubah Acak, dan Proses Stokastik Definisi 2.1 (Ruang Contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak dan dinotasikan dengan Ω . (Grimmett and Stirzaker 1992) Definisi 2.2 (Peubah Acak) Misalkan S adalah ruang contoh suatu percobaan. Suatu fungsi real X : S R disebut peubah acak dari percobaan tersebut, jika untuk setiap interval
adalah suatu kejadian dalam percobaan tersebut. (Ghahramani 2005) Definisi 2.3 (Proses stokastik) Proses stokastik
X = { X (t ), t ∈ T } adalah
suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S . (Ross 2007) Jadi, untuk setiap t pada himpunan indeks T , X (t ) adalah suatu peubah acak, t menyatakan waktu dan X (t ) menyatakan state dari proses pada waktu t . Salah satu proses stokastik yang penting adalah Geometric Brownian Motion (GBM). Definisi 2.4 (GBM) GBM adalah suatu proses stokastik yang dinotasikan dengan
{B ( t ) | t ≥ 0} ,
yang
bersifat: 1.
B ( 0) = 0 .
2. Untuk
0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ ... ≤ tn , peubah acak
B ( ti ) − B ( ti −1 ) adalah saling bebas.
berdistribusi normal 3. Untuk dengan rataan 0 dan ragam (Ross, 1993)
Definisi 5 (Proses stokastik waktu diskret) Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu diskret jika himpunan indeks T adalah himpunan tercacah, dengan T menyatakan waktu. (Ross 2007) 2.2 Definisi dan Notasi Opsi Definisi 6.2 Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak dimana pemegang opsi memiliki hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu, pada atau sebelum waktu yang telah ditentukan. Menurut jenisnya opsi terbagi dua, yaitu opsi call dan opsi put. (Hull 1997) Opsi call adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli aset yang mendasari, misalkan opsi berjangka dan opsi saham pada harga tertentu dan jangka waktu tertentu. menyatakan harga saham Misalkan pada waktu T dan K menyatakan harga eksekusi. Pada waktu opsi call jatuh tempo, apabila ST > K maka pemegang kontrak opsi akan mengeksekusi kontraknya karena investor memperoleh keuntungan sebesar . Sebaliknya apabila pada saat jatuh tempo, maka pemegang kontak opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena investor akan memperoleh kerugian sebesar . Untuk kondisi ini, opsi tidak memiliki nilai pada saat jatuh tempo. Jadi nilai opsi call dapat dituliskan sebagai berikut:
Opsi put adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual aset yang mendasari pada harga tertentu dan jangka waktu tertentu. Pada waktu opsi put jatuh tempo, apabila ST < K maka pemegang kontrak opsi akan mengeksekusi kontraknya karena investor memperoleh keuntungan sebesar . Sebaliknya apabila pada saat jatuh tempo, maka pemegang kontak opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena investor akan memperoleh kerugian sebesar . Untuk kondisi ini, opsi tidak
3
memiliki nilai pada saat jatuh tempo. Jadi nilai opsi put dapat dituliskan sebagai berikut:
Menurut waktu eksekusinya, opsi dibedakan atas opsi tipe Eropa dan opsi tipe Amerika. Opsi tipe Eropa adalah opsi yang hanya dapat dieksekusi pada saat kontrak jatuh tempo. Sedangkan opsi tipe Amerika adalah opsi yang dapat dieksekusi sebelum kontrak jatuh tempo. Definisi 7 Nilai opsi adalah besarnya biaya yang dikeluarkan oleh seorang investor untuk mendapatkan kontrak opsi dan pembayarannya dilakukan pada saat kontrak dibuat. (Wilmott et al. 1996) Ada beberapa hal yang mempengaruhi nilai opsi, yaitu: 1. Harga saham saat ini (S0). 2. Harga eksekusi (K), yang merupakan harga jual atau beli saham yang tercantum dalam kontrak opsi (harga exercise atau harga strike). 3. Waktu jatuh tempo (T). 4. Volatilitas dari harga saham ( ), yang merupakan sebuah ukuran tingkat ketidakpastian mengenai pergerakan saham di masa yang akan datang. 5. Tingkat suku bunga (r). 6. Dividen yang dibayarkan atas saham. 2.3 Persamaan Present Value Present value (PV) suatu cash flow merupakan jumlah cash flow yang besarnya akan bertambah menjadi sama dengan cash flow di masa mendatang jika cash flow tersebut diinvestasikan pada saat ini dengan persen per tahun selama ! tahun.
PV = FVn ×
1 (1 + r ) n
dengan FV menyatakan cash flow di masa mendatang, r menyatakan suku bunga, dan n menyatakan waktu (dalam tahun). (Lee & Lee 2006)
2.4 Persamaan Net Present Value (NPV) Net present value didefinisikan sebagai selisih dari Present value pada cash flow yang diharapkan dengan biaya proyeknya. Secara umum, %&' ()* '
"#$
+
%&, ()* ,
/0( 1#$ 0 +/0 1#$ 0 +/05 1#$ 0
+ -+
2 3
%&. ()* .
4 3+" 3
dengan CFt menyatakan cash flow tahunan yang dihasilkan oleh proyek pada periode- t
(t = 1, 2,..., N ) , PVIF ( r , t ) menyatakan present value pada r persen dalam periode- t , I menyatakan biaya proyek, dan r menyatakan suku bunga. (Lee & Lee 2006) 2.5 Pendekatan Analisis Keputusan untuk Penilaian Proyek Misalkan nilai proyek sebesar V tidak diketahui, replikasi portofolio dari saham pasar yang diperdagangkan sebesar A dengan harga sekarang sebesar S dan investasi sebesar B dolar dalam suatu aset bebas risiko dengan tingkat bunga sebesar r . Asumsikan untuk model satu periode dengan peluang sebesar q , harga saham akan naik sebesar
Su pada akhir periode dan dengan peluang 1 − q akan turun sebesar Sd , dengan u > 1 menyatakan peningkatan dalam nilai saham dan d = 1/ u menyatakan penurunan nilai saham. Nilai proyek dalam keadaan naik sebesar Vu dan dalam keadaan turun sebesar Vd . Nilai proyek tersebut diperoleh dari
Vu = ASu + B (1 + r )
(1)
Vd = ASd + B (1 + r ) .
(2)
Dengan menggantikan nilai proyek di atas, diperoleh nilai A dan B , yaitu
A=
Vu − Vd (u − d ) S
(3)
4
uVd − dVu . (u − d )(1 + r )
(4)
Bukti: lihat Lampiran 2. p menyatakan peluang risk-neutral dalam
Dengan menggantikan nilai A dan B ke V = AS + B , diperoleh nilai proyek sebagai
keadaan naik. Nilai p dan 1 − p selalu konstan di setiap periode. Jika nilai proyek mengikuti Geometric Brownian Motion (GBM) maka perkiraan nilai proyek memiliki distribusi lognormal dan
B=
Bukti: lihat Lampiran 1
berikut:
(1 + r − d ) (u − (1 + r )) Vu + Vd (u − d ) (u − d ) V= (1 + r )
menghasilkan
atau
pVu + (1 − p)Vd 1+ r 1 + r ∆t − d dengan p = . u−d
V=
(5)
2.6 Model Binomial Model penentu harga opsi binomial atau dikenal dengan model binomial dapat digunakan untuk mengestimasi nilai suatu opsi put atau opsi call. Model binomial memperhitungkan naik atau turunnya harga saham dalam periode tertentu.
u = eσ
∆t
.
Penentuan nilai proyek dapat menggunakan pohon keputusan binomial pada nilai saham seperti pada gambar 1. Pada waktu 0, nilai proyek diketahui, dan pada waktu ∆t , terdapat dua kemungkinan nilai proyek, yaitu nilai proyek dalam keadaan naik dan nilai proyek dalam keadaan turun. Untuk waktu 2∆t , terdapat tiga kemungkinan nilai proyek, dan seterusnya.
2.6.1 Model Binomial Satu periode Misalkan harga saham dalam sebuah opsi yang tersedia adalah S. Misalkan pula opsi call memiliki satu periode eksekusi sebelum jatuh tempo. Periode investasi dimulai pada saat . Ketika opsi call jatuh tempo, harga saham akan mengambil satu di antara dua nilai: meningkat dengan faktor u atau menurun dengan faktor d. Jika meningkat maka harga saham akan menjadi Su dan jika menurun menjadi Sd.
5
Misalkan suku bunga bebas risiko dinyatakan dengan r, merupakan suku bunga yang dihasilkan dari investasi selama periode opsi. Suku bunga ini berada di antara tingkat imbal hasil jika harga saham naik atau turun. Sehingga 6 7 2+ 78 (6) Misalnya sebuah portofolio terdiri dari h bagian saham dan satu opsi call. Nilai portofolio tersebut sama dengan nilai beli h bagian saham dikurangi nilai jual satu opsi call. Nilai portofolio saat ini dimisalkan sebagai dan h sebagai rasio V, dengan $ 9
hedge (penghindar). Pada akhir periode, nilai portofolio akan menjadi $: jika harga saham naik dan $; jika harga saham turun. Sehingga nilai V menjadi $: 9 : 9 ; : atau $; ;. Posisi bebas risiko diperoleh jika $: $; , sehingga dapat ditentukan nilai h dengan menyelesaikan persamaan berikut 9 ; 9 : : ; Nilai h menjadi 9
<= >@?
(7)
Nilai portofolio V setelah satu periode dimisalkan menjadi $: sehingga $ 2+ $: (8) A 9 2+ 9 8 :. Substitusikan persamaan di atas ke dalam persamaan sehingga diperoleh B<= ) (>B
dengan
periode kedua mungkin berada pada salah satu di antara dua keadaan, yaitu naik atau turun menjadi Su2 atau Sud. Jika pada periode pertama harga saham turun menjadi Sd, pada periode kedua akan berada pada posisi naik menjadi Sdu atau turun lagi menjadi Sd2, sehingga 8 :, 86 6 Dengan menggunakan model satu periode, harga cu dan cd menjadi: :;
;,
B<=, ) (>B <=?
:
B<=? ) (>B
;
;
B, <=, ) B (>B <=? ) (>B ,
(12)
2.6.3 Model Binomial n Periode Dengan cara yang sama dapat diturunkan nilai opsi call Eropa model binomial 3 periode dan n periode. Pada kedua model binomial, nilai opsi call tersebut adalah c3 dan cn dan dinyatakan sebagai berikut: BD <=D )CB, (>B <=, ?
C
()* D
+
()* >; . :>;
Misalkan harga saham dalam sebuah opsi yang tersedia adalah S. Misalkan pula opsi call memiliki dua periode eksekusi sebelum jatuh tempo. Periode investasi dimulai pada saat . Ketika opsi call jatuh tempo, harga saham akan mengambil satu di antara dua nilai: meningkat dengan faktor u atau menurun dengan faktor d. Jika meningkat maka harga saham menjadi Su dan jika menurun menjadi Sd. Misalkan pada akhir periode harga saham meningkat menjadi Su. Selama
(11)
Substitusikan ke persamaan : + 2 2+ Sehingga diperoleh
(9)
2.6.2 Model Binomial Dua Periode
(10)
()*
CB (>B , <=?, ) (>B D
! F G !
E
+
F
E
:H
+F
!
!
G 2 2+
E>(
2
E
E GBHI, (>B , <=HI,?, E> ()* H
(13) :HI' ;
+-
E E F GB (>B HI' <=?HI' )F G (>B H
Atau secara sederhana model binomial n periode dapat ditulis sebagai berikut: E
E M HIM < KH MNOF L GB (>B =M ?HIM H ()*
6
E M HIM 1@:M ;HIM >P3Q KH MNOF L GB (>B ()* H
dengan 1R3)
:M ; HIM
R
1 8 L 6 E>L
(14)
Setelah diselesaikan sistem persamaan linear pada persamaan (15) dan (16) di atas diperoleh:
3) dan
S
2.7 Model Binomial dengan Suku Bunga Diskret Penghitungan nilai opsi call tipe Eropa menggunakan metode binomial dengan suku bunga diskret, menggunakan langkah-langkah berikut: Definisikan proses harga saham, yaitu diberikan harga saham sekarang saat T-1 maka harga saham pada saat T akan bergerak naik dengan faktor u atau akan bergerak turun dengan faktor d dengan 2 + 6 7 2 7 2 + 8 6 7 dan 8 .
(): ();
T
S
>(
>(
+T
:>; @UI'
ST-1
+
ST,d=(1+d)ST-1
(1+u) ST-1+(1+r)B ST-1+B
2+6 6 2+
;
:
(19)
:>; ()*
Dengan menggantikan :>* :>;
2
>(
CT,d = max{0, (1+d)ST-1-K} Pada waktu T-1 dapat dibentuk portofolio yang terdiri atas saham dan obligasi sebesar B yang akan memberikan payoff yang sama seperti payoff opsi call pada waktu T.
2+8 8
>(
*>; *
Jika cT menyatakan opsi call pada waktu T, maka:
C(T-1)
(18)
:>; ()*
dengan S menyatakan rasio lindung nilai, artinya untuk membentuk portofolio yang bebas risiko maka diperlukan perbandingan, yaitu sejumlah S saham dan satu opsi call. Langkah selanjutnya, jika pada waktu T, opsi call dan portofolio memberikan payoff yang sama, maka pada T-1 harus memiliki nilai yang sama pula. Maka substitusikan persamaan (17) dan (18) dalam persamaan berikut diperoleh
ST,u=(1+u)ST-1
CT,u = max{0, (1+u)ST-1-K}
(17)
:>; @UI'
6 8 6
dan
diperoleh BB
(20)
Dengan cara yang sama dapat diturunkan nilai opsi call tipe Eropa dengan metode binomial 2 periode, 3 periode dan n period, yaitu
>
B, B B ,
(21)
1+u) ST-1+(1+r)B Dengan menyamakan payoff dari opsi call dan portofolio pada waktu T diperoleh:
2+8 S
>(
+ 2+
T
:
(15)
2+6 S
>(
+ 2+
T
;
(16)
>C
BD B
CB (>B , B D
>E
E M HIM @ >P Q KH U MNOF L GB (>B ()* H
22)
(23)
7
2.8 Opsi Amerika Menggunakan Metode Binomial Metode binomial cocok untuk menentukan harga opsi tipe Amerika karena opsi ini mudah untuk diperiksa pada tiap node apakah eksekusi awal lebih optimal. Jika nilai opsi tidak dieksekusi, diberikan oleh nilai mempertahankannya untuk periode lain. Nilai
opsi dieksekusi adalah max(0,S-K) jika opsinya adalah opsi call. Sehingga untuk opsi call Amerika, nilai opsi pada suatu node adalah V >*SW 1 8 +S X+ X 3 6 +S 2 dengan X
Y ZS[ >; . :>;
