(-4) (ekvivalentní úpravy) Motivace: Teorie: Řešené úlohy:

IRACIONÁLNÍ ROVNICE Motivace: V řadě matematických úloh je nutno ovládat práci s odmocninami a rovnicemi, které obsahují neznámou pod odmocninou, mj. při vyjádření neznámé z technických vzorců. Znalosti práce s odmocninami a iracionálními rovnicemi lze využít v mnoha přírodovědných a praktických oborech.

Teorie: Iracionální rovnice je rovnice, v níž se neznámá nachází pod odmocninou. Než se pustíme do samotných matematických úprav iracionální rovnice, nezapomeňme uvést podmínky pro neznámou  určit definiční obor rovnice. Při práci s iracionálními rovnicemi používáme často operaci umocňování. Umocnění obou stran rovnice je důsledková úprava – vystihuje skutečnost, že každé řešení původní rovnice je také řešením rovnice nové, avšak obráceně to platit nemusí. Důsledkovou úpravou se žádné řešení neztratí, ale některá řešení mohou přibýt  nutnou součástí řešení těchto rovnic je ZKOUŠKA! Zkoušku provádíme dosazením vypočteného možného kořene (příp. kořenů) rovnice do původní iracionální rovnice. Porovnáním vypočtených levých a pravých stran rovnice zjistíme, zda případný kořen je skutečným kořenem původní rovnice. Pokud ano, zapíšeme množinu kořenů; pokud ne, uvedeme množinu kořenů rovnice jako prázdnou. Při úpravách rovnice používáme rovněž ekvivalentní úpravy. Ekvivalentními úpravami jsou například: - přičtení (odečtení) stejného čísla k oběma stranám rovnice - přičtení (odečtení) stejného násobku neznámé k oběma stranám rovnice - vynásobení (vydělení) obou stran rovnice stejným nenulovým číslem - „ekvivalentní“ úpravy výrazů na jednotlivých stranách rovnice, atd. (Ekvivalentní úprava vystihuje skutečnost, že každá nově získaná rovnice má naprosto stejné řešení jako výchozí rovnice.) Připomeňme, že početní operace násobení a dělení mají přednost před sčítáním a odčítáním!

Řešené úlohy: Příklad 1. Řešte rovnici

2x  4  3

Řešení: 1) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocnina na levé straně rovnice má smysl, je-li výraz pod odmocninou nezáporný, tj. platí-li: 2x  4  0

2 x  4 x  2  x   2; 



definiční obor rovnice

2) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav:

2x  4  3 ( 2 x  4 ) 2  32 2x  4  9

/()

2

(umocnění obou stran rovnice na druhou) (pro lepší pochopení matematické úpravy)

/(-4)

(ekvivalentní úpravy)

2x  5 5 x 2

/:2 (zjistíme, zda číslo

5 je prvkem definičního oboru 2

rovnice)

5 x    2;  2



(číslo

5 je prvkem definičního oboru rovnice; přesto 2

je NUTNÉ PROVÉST ZKOUŠKU!) 3) Provedení zkoušky: Vypočtený kořen rovnice ( x



5 ) dosadíme postupně do levé a pravé strany původní rovnice. 2

Porovnáme, zda se po dosazení obě strany rovnice sobě rovnají.

5 5 L   2.  4  9  3 2 2 5 P   3 2 5 5 L   P  2 2

(číslo

5 je řešením původní rovnice) 2

4) Zapíšeme množinu kořenů rovnice:

5  K   2

(výsledek)

Příklad 2. Řešte rovnici

15  3 2 x  1  6

Řešení: 1) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocnina na levé straně rovnice má smysl, je-li výraz pod odmocninou nezáporný, tj. platí-li: 2x  1  0

2x  1 1 1  x  ; x 2 2



definiční obor rovnice

2) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav:

15  3 2 x  1  6 9  3. 2 x  1 3  2x  1 32  ( 2 x  1) 2 9  2x  1 10  2 x

(úprava rovnice – osamostatnění odmocniny) /:3 /()

2

(rovnici vydělíme číslem 3) (umocnění obou stran rovnice na druhou) (pro lepší pochopení matematické úpravy)

/:2

x5 x  5

(zjistíme, zda kořen 5 je prvkem definičního oboru rovnice)

1 ; 2



(číslo 5 je prvkem definičního oboru rovnice; přesto je NUTNÉ PROVÉST ZKOUŠKU!)

3) Provedení zkoušky: Vypočtený kořen rovnice ( x  5 ) dosadíme postupně do levé a pravé strany původní rovnice. Porovnáme, zda se po dosazení obě strany rovnice sobě rovnají.

L5  15  3. 2.5  1  15  3. 9  15  3.3  15  9  6 P5  6 (číslo 5 je řešením původní rovnice) L5  P5 4) Zapíšeme množinu kořenů rovnice:

K  5

(výsledek)

Příklad 3.

x2  3  x 1

Řešte rovnici Řešení:

1) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocnina na levé straně rovnice má smysl, je-li výraz pod

x2  3  0 x 2  3  jakékoli reálné číslo umocněné na druhou je číslo nezáporné  x  R definiční obor rovnice

odmocninou nezáporný, tj. platí-li:

2) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav:

x2  3  x 1

( x  3 )  ( x  1) 2

2

/()

2

2

(umocnění obou stran rovnice na druhou) (POZOR! Umocnění na druhou na pravé straně rovnice probíhá podle vzorce; v tomto případě

a  b2  a 2  2ab  b 2 )

x 2  3  x 2  2x  1 2 x  2 x  1 x  1  R

(ekvivalentní úpravy) /:2

(zjistíme, zda případný kořen rovnice ( x  1 ) je prvkem definičního oboru rovnice) (číslo (-1) náleží definičnímu oboru rovnice; přesto je NUTNÉ PROVÉST ZKOUŠKU!)

3) Provedení zkoušky: Vypočtený kořen rovnice ( x  1 ) dosadíme postupně do levé a pravé strany původní rovnice. Porovnáme, zda se po dosazení obě strany rovnice sobě rovnají.

L 1 

 12  3 

P 1  1  1  2 L 1  P 1

1 3  4  2 (pro vypočtený kořen rovnice (-1) zkouška nevyšla

x  1 nevyhovuje zadání původní rovnice rovnice nemá žádný kořen)





4) Zapíšeme množinu kořenů rovnice:

KØ

(prázdná množina - výsledek)

Příklad 4. Řešte rovnici

2  10  x 2  x

Řešení: 1) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocnina na levé straně rovnice má smysl, je-li výraz pod

10  x 2  0 x 2  10

odmocninou nezáporný, tj. platí-li:

x  10  x   10 ; 10

definiční obor rovnice

2) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav:

2  10  x 2  x 10  x 2  x  2

(ekvivalentní úprava) /()

2

( 10  x 2 ) 2  ( x  2) 2

(umocnění obou stran rovnice na druhou) (POZOR! Umocnění na druhou na pravé straně rovnice probíhá podle vzorce; v tomto případě

a  b2  a 2  2ab  b 2 )

10  x 2  x 2  4 x  4 2x 2  4x  6  0 x 2  2x  3  0

(ekvivalentní úpravy) /:2

( x  1).( x  3)  0 x1  1; x2  3

(rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů) (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda vypočtené kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice)

x1  1   10 ; 10

(1. vypočtený kořen (-1) náleží definičnímu oboru rovnice)

x2  3   10 ; 10

(2. vypočtený kořen 3 náleží definičnímu oboru rovnice) (oba kořeny: (-1) i 3, jsou prvky definičního oboru rovnice; nyní pro ně PROVEDEME ZKOUŠKU!)

3) Provedení zkoušky: Zkoušku provádíme pro oba případné kořeny původní iracionální rovnice tj. čísla (-1) a 3.

L 1  2  10  (1) 2  2  10  1  2  9  2  3  5

P 1  1 L 1  P 1

(číslo (-1) není řešením původní rovnice)

L3  2  10  32  2  10  9  2  1  2  1  3 P3  3 (číslo 3 je řešením původní rovnice) L3  P3 4) Zapíšeme množinu kořenů rovnice:

K  3

(výsledek)

Příklad 5. Řešte rovnici

3. x  6  4  x

Řešení: 1) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocnina na levé straně rovnice má smysl, je-li výraz pod odmocninou nezáporný, tj. platí-li: x6  0

x  6  x  6; 



definiční obor rovnice

2) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav:

3. x  6  4  x (3. x  6 ) 2  (4  x) 2

/()

2

(umocnění obou stran rovnice na druhou) (POZOR! Umocnění na druhou na pravé straně rovnice probíhá podle vzorce; v tomto případě

a  b2  a 2  2ab  b 2 )

9.( x  6)  16  8x  x 2 9 x  54  16  8x  x x  17 x  70  0 2

( x  7).( x  10)  0 x1  7 ; x2  10

1 ; ) 2 1 x2  10  ; ) 2

x1  7 

(ekvivalentní úpravy)

2

(rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů) (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda vypočtené kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice) (1. vypočtený kořen 7 náleží definičnímu oboru rovnice) (2. vypočtený kořen 10 náleží definičnímu oboru rovnice) (oba kořeny: 7 i 10, jsou prvky definičního oboru rovnice; nyní pro ně PROVEDEME ZKOUŠKU!)

3) Provedení zkoušky: Zkoušku provádíme pro oba případné kořeny původní iracionální rovnice tj. čísla 7 a 10.

L7  3. 7  6  3. 1  3.1  3 P7  4  7  3 L7  P7

(číslo 7 není řešením původní rovnice)

L10  3. 10  6  3. 4  3.2  6 P10  4  10  6 (číslo 10 není řešením původní rovnice) L10  P10 4) Zapíšeme množinu kořenů rovnice:

KØ

(prázdná množina - výsledek)

Příklad 6. Řešte rovnici

2 x5  x2

Řešení: 1) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocnina na levé straně rovnice má smysl, je-li výraz pod odmocninou nezáporný, tj. platí-li: x5 0

x  5  x   5; ) definiční obor rovnice 2) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav:

2 x5  x2 (2 x  5 )  ( x  2) 2

/() 2

2

(umocnění obou stran rovnice na druhou) (POZOR! Umocnění na druhou na pravé straně rovnice probíhá podle vzorce; v tomto případě

a  b2  a 2  2ab  b 2 )

4( x  5)  x 2  4 x  4 4 x  20  x 2  4 x  4 16  x 2 x 4

(ekvivalentní úpravy rovnice)

(rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda vypočtené kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice)

x1  4   5; )

(1. vypočtený kořen 4 náleží definičnímu oboru rovnice)

x2  4   5; )

(2. vypočtený kořen (-4) náleží definičnímu oboru rovnice) (oba kořeny 4 i (-4) jsou prvky definičního oboru rovnice; nyní pro ně PROVEDEME ZKOUŠKU!)

3) Provedení zkoušky: Zkoušku provádíme pro oba možné kořeny původní iracionální rovnice tj. čísla 4 a (-4).

L4  2. 4  5  2. 9  2.3  6 P4  4  2  6 L4  P4

(číslo 4 je řešením původní rovnice)

L 4  2.  4  5  2. 1  2.1  2 P 4  4  2  2 (číslo (-4) není řešením původní rovnice) L 4  P 4 4) Zapíšeme množinu kořenů rovnice:

K  4

(výsledek)

Příklad 7. Řešte rovnici

x 7  x 5

Řešení: 1) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocnina na levé straně rovnice má smysl, je-li výraz pod odmocninou nezáporný, tj. platí-li: x70

x  7  x   7; ) definiční obor rovnice 2) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav:

x 7  x 5 ( x  7 ) 2  ( x  5) 2

/()

2

(umocnění obou stran rovnice na druhou) (při umocňování pravé strany rovnice použijeme vzorec

a  b2  a 2  2ab  b 2 ) x  7  x 2  10 x  25 x 2  11x  18  0 ( x  2).( x  9)  0 x1  2 ; x2  9

(ekvivalentní úpravy rovnice) (rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů) (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda vypočtené kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice)

x1  2   7; )

(1. vypočtený kořen 2 náleží definičnímu oboru rovnice)

x2  9   7; )

(2. vypočtený kořen 9 náleží definičnímu oboru rovnice) (oba kořeny: 2 i 9, jsou prvky definičního oboru rovnice; nyní pro ně PROVEDEME ZKOUŠKU!)

3) Provedení zkoušky: Zkoušku provádíme pro oba případné kořeny původní iracionální rovnice tj. čísla 2 a 9.

L2  2  7  9  3 P2  2  5  3 L2  P2

(číslo 2 není řešením původní rovnice)

L9  9  7  16  4 P9  9  5  4 L9  P9

(číslo 9 je řešením původní rovnice)

4) Zapíšeme množinu kořenů rovnice:

K  9

(výsledek)

Příklad 8.

4x  6  2x  4

Řešte rovnici Řešení:

1) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocniny na obou stranách rovnice musí mít smysl  výrazy pod odmocninami musí být nezáporná čísla, tj. platí: (uvedené nerovnice musí platit současně; řešíme je 4x  6  0 2x  4  0  ekvivalentními úpravami platnými pro úpravy nerovnic)

4x  6 6 x 4 3 x 2

2x  4 4 x 2 x2



(nalezneme průnik řešení těchto nerovnic a stanovíme rozhodující podmínku pro neznámou x tzv. definiční obor rovnice  využijeme znalostí intervalů)

x  2;  

číselná osa

3 2

definiční obor rovnice

2

2) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav.

4x  6  2x  4 4x  6  2x  4 2x  2 x 1 x  1  2;  

/()

2

/:2

(umocnění obou stran rovnice na druhou) (ekvivalentní úpravy rovnice) (zjistíme, zda vypočtený kořen ( x  1 ) je prvkem definičního oboru rovnice) (číslo 1 není prvkem definičního oboru rovnice tj. některý z výrazů na levé či pravé straně rovnice, po dosazení čísla 1, nemá smysl ( L1   rovnice nemá žádný kořen)

3) Zapíšeme množinu kořenů rovnice:

KØ

(prázdná množina - výsledek)

46  2 )

Příklad 9.

x  2  1 x  3

Řešte rovnici Řešení:

1) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocniny na levé straně rovnice musí mít smysl  výrazy pod odmocninami musí být nezáporná čísla, tj. platí: (uvedené nerovnice musí platit současně; řešíme je x20 1 x  0  ekvivalentními úpravami platnými pro úpravy nerovnic)

x2

 x  1 x 1



(nalezneme průnik řešení těchto nerovnic a stanovíme rozhodující podmínku pro neznámou x tzv. definiční obor rovnice  využijeme znalostí intervalů)

x  Ø  definiční obor rovnice je prázdný   rovnice nemá smysl 1

číselná osa

2

2) Zapíšeme množinu kořenů rovnice:

KØ

(výsledek)

Příklad 10. Řešte rovnici

4 x  5 x  3

Řešení: 1) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocniny na levé straně rovnice musí mít smysl  výrazy pod odmocninami musí být nezáporná čísla, tj. platí: (uvedené nerovnice, které musí platit současně, řešíme 4 x  0 5 x  0  ekvivalentními úpravami platnými pro úpravy nerovnic)

 x  4 x4

x  5



(nalezneme průnik řešení těchto nerovnic a stanovíme rozhodující podmínku pro neznámou x tzv. definiční obor rovnice  využijeme znalostí intervalů)

x   5; 4

-5

4

definiční obor rovnice

číselná osa

2) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav. POZOR! Vyskytují-li se v rovnici dvě odmocniny, je výhodné převést jednu odmocninu na opačnou stranu rovnice tak, aby na každé straně rovnice byla jen jedna odmocnina!

4 x  5 x  3 4  x  3  5  x /()2

(převedení jedné odmocniny na opačnou stranu rovnice) (umocnění obou stran rovnice na druhou)

( 4  x ) 2  (3  5  x ) 2

(při umocňování pravé strany rovnice použijeme vzorec

a  b2  a 2  2ab  b 2 ) 4 x  96 5 x 5 x

6 5 x  95 x 4 x 6 5  x  10  2 x /:2 2 3 5 x  5 x /() (3 5  x ) 2  (5  x) 2 9.(5  x)  25  10 x  x 2 45  9 x  25  10 x  x 2 x 2  x  20  0

( x  5).( x  4)  0 x1  5 ; x2  4

(iracionální rovnice s jednou odmocninou; odmocninu osamostatníme převedením na jednu stranu rovnice, v tomto případě levou stranu; všechny ostatní členy rovnice převedeme ekvivalentními úpravami na opačnou stranu rovnice a rovnici upravíme)

(obě strany rovnice opět umocníme na druhou; dále postupujeme stejně jako při řešení iracionální rovnice s jednou odmocninou)

(rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů) (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda vypočtené kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice)

x1  5   5; 4

(1. vypočtený kořen (-5) náleží definičnímu oboru rovnice)

x2  4   5; 4

(2. vypočtený kořen 4 náleží definičnímu oboru rovnice) (oba kořeny: (-5) i 4, jsou prvky definičního oboru rovnice; nyní pro ně PROVEDEME ZKOUŠKU!)

3) Provedení zkoušky: Zkoušku provádíme pro oba případné kořeny původní iracionální rovnice tj. čísla (-5) a 4.

L 5  4  (5)  5  5  9  0  3 P 5  3 (číslo (-5) je řešením původní rovnice) L 5  P 5 L4  4  4  5  4  0  9  3 P4  3 (číslo 4 je řešením původní rovnice) L4  P4 4) Zapíšeme množinu kořenů rovnice:

K   5;4

(výsledek)

Příklad 11. Řešte rovnici

x  7  13  x  2

Řešení: 1) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocniny na levé straně rovnice musí mít smysl  výrazy pod odmocninami musí být nezáporná čísla, tj. platí: (uvedené nerovnice, které musí platit současně, řešíme x70 13  x  0  ekvivalentními úpravami platnými pro úpravy nerovnic)

x  7

 x  13 (nalezneme průnik řešení těchto nerovnic a stanovíme x  13 rozhodující podmínku pro neznámou x tzv. definiční obor rovnice  využijeme znalostí intervalů)



x   7;13

-7

13

definiční obor rovnice

číselná osa

2) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav. POZOR! Vyskytují-li se v rovnici dvě odmocniny, je výhodné převést jednu odmocninu na opačnou stranu rovnice tak, aby na každé straně rovnice byla jen jedna odmocnina!

x  7  13  x  2 x  7  2  13  x /()2 ( x  7 ) 2  (2  13  x ) 2

(převedení jedné odmocniny na opačnou stranu rovnice) (umocnění obou stran rovnice na druhou) (při umocňování pravé strany rovnice použijeme vzorec

a  b2  a 2  2ab  b 2 ) x  7  4  4 13  x  13  x

x  7  4  13  x  4 13  x 2 x  10  4 13  x

/:2

x  5  2 13  x

/()

2

(iracionální rovnice s jednou odmocninou; odmocninu osamostatníme převedením na jednu stranu rovnice, v tomto případě ji ponecháme na pravé straně; všechny ostatní členy rovnice převedeme ekvivalentními úpravami na opačnou stranu rovnice a rovnici upravíme)

(obě strany rovnice opět umocníme na druhou; dále postupujeme stejně jako při řešení iracionální rovnice s jednou odmocninou)

( x  5) 2  (2. 13  x ) 2

x 2  10 x  25  4.(13  x) x 2  10 x  25  52  4 x x 2  6 x  27  0 ( x  3).( x  9)  0 x1  3 ; x2  9

(rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů) (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda vypočtené kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice)

x1  3   7;13

(1. vypočtený kořen (-3) náleží definičnímu oboru rovnice)

x2  9   7;13

(2. vypočtený kořen 9 náleží definičnímu oboru rovnice) (oba kořeny: (-3) i 9, jsou prvky definičního oboru rovnice; nyní pro ně PROVEDEME ZKOUŠKU!)

3) Provedení zkoušky: Zkoušku provádíme pro oba případné kořeny původní iracionální rovnice tj. čísla (-3) a 9.

L 3   3  7  13  (3)  4  16  2  4  6

P 3  2 L 3  P 3

(číslo (-3) není řešením původní rovnice)

L9  9  7  13  9  16  4  4  2  2 P9  2 (číslo 9 je řešením původní rovnice) L9  P9 4) Zapíšeme množinu kořenů rovnice:

K  9

(výsledek)

Příklad 12. Řešte rovnici

2. x  1  x  3  2

Řešení: 1) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocniny na levé straně rovnice musí mít smysl  výrazy pod odmocninami musí být nezáporná čísla, tj. platí: (uvedené nerovnice, které musí platit současně, řešíme x 1  0 x3 0  ekvivalentními úpravami platnými pro úpravy nerovnic) (nalezneme průnik řešení těchto nerovnic a stanovíme x 1 x  3  rozhodující podmínku pro neznámou x tzv. definiční obor rovnice  využijeme znalostí intervalů)

x  1;   -3

1

definiční obor rovnice

číselná osa

2) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav:

2. x  1  x  3  2 (převedení jedné odmocniny na opačnou stranu rovnice) 2 2. x  1  2  x  3 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) (2. x  1) 2  (2  x  3) 2 (při umocňování pravé strany rovnice použijeme vzorec

a  b2  a 2  2ab  b 2 )

4.( x  1)  4  4 x  3  x  3 (iracionální rovnice s jednou odmocninou; roznásobíme závorku na levé straně rovnice)

4 x  4  4  4 x  3  x  3 (odmocninu osamostatníme převedením na jednu stranu rovnice, v tomto případě na levou stranu; všechny ostatní členy rovnice převedeme ekvivalentními úpravami na opačnou stranu rovnice a rovnici upravíme)

4 x  3  4  x  3  4x  4 4 x  3  11  3x

/()

2

(obě strany opět umocníme na druhou; dále postupujeme stejně jako při řešení iracionální rovnice s jednou odmocninou)

(4 x  3 ) 2  (11  3x) 2

16.( x  3)  121  66 x  9 x 2 16 x  48  121  66 x  9 x 2 9 x 2  82 x  73  0 D  b 2  4.a.c

D  (82)  4.9.(73) D  4096 b D x1, 2  2.a 82  64 x1, 2  18 73 ; x2  1 x1  9

(kvadratická rovnice, kterou řešíme užitím vzorce pro diskriminant a vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice) (a

 9; b  82; c  73 )

2

(rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda oba kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice)

73 x1   1;   9

x2  1  1;  

(1. vypočtený kořen

73 náleží definičnímu oboru 9

rovnice) (2. vypočtený kořen 1 náleží definičnímu oboru rovnice) (oba kořeny:

73 i 1, jsou prvky definičního oboru 9

rovnice; nyní pro ně PROVEDEME ZKOUŠKU!) 3) Provedení zkoušky:

73 a 1. 9 73 73 73  9 73  27 64 100 8 10 16 10 26  73  L   2. 1   3  2.   2.   2.     9 9 9 9 9 9 3 3 3 3 3 9  73  P   2  9 73  73   73  (číslo není řešením původní rovnice) L   P  9  9  9 Zkoušku provádíme pro oba případné kořeny původní iracionální rovnice tj. čísla

L1  2. 1  1  1  3  2. 0  4  2.0  2  0  2  2 P1  2 (číslo 1 je řešením původní rovnice) L1  P1 4) Zapíšeme množinu kořenů rovnice:

K  1

(výsledek)

Příklad 13. Řešte rovnici

x  2  2. x  7  4

Řešení: 1) Stanovíme podmínky pro neznámou:

x20



x  2

x70 x  7



(uvedené nerovnice, které musí platit současně, řešíme ekvivalentními úpravami platnými pro úpravy nerovnic) (nalezneme průnik řešení těchto nerovnic a stanovíme rozhodující podmínku pro neznámou x tzv. definiční obor rovnice  využijeme znalostí intervalů)

x   2;  -7

-2

definiční obor rovnice

číselná osa

2) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav:

x  2  2. x  7  4 x  2  4  2. x  7 /()2 ( x  2  4) 2  (2. x  7 ) 2

(převedení jedné odmocniny na opačnou stranu rovnice) (umocnění obou stran rovnice na druhou) (při umocňování levé strany rovnice použijeme vzorec

a  b2  a 2  2ab  b 2 ) x  2  8. x  2  16  4.( x  7)

(iracionální rovnice s jednou odmocninou; roznásobíme závorku na pravé straně rovnice)

x  2  8. x  2  16  4 x  28

(odmocninu osamostatníme, v tomto případě ji ponecháme na levé straně; všechny ostatní členy rovnice převedeme ekvivalentními úpravami na opačnou stranu rovnice a rovnici upravíme)

8. x  2  4 x  28  x  2  16 2 8. x  2  3x  10 /() (8. x  2 ) 2  (3x  10) 2 64.( x  2)  9 x 2  60 x  100

64 x  128  9 x 2  60 x  100

(obě strany rovnice opět umocníme na druhou; dále postupujeme stejně jako při řešení iracionální rovnice s jednou odmocninou)

9 x 2  4 x  28  0 D  b 2  4.a.c

(kvadratická rovnice, kterou řešíme užitím vzorce pro diskriminant a vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice) (a

D  (4)  4.9.(28) D  1024 b D x1, 2  2.a 4  32 x1, 2  18 14 x1  2 ; x 2   9

 9; b  4; c  28 )

2

x1  2   2;   x2  

14   2;   9

(rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda oba kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice) (1. vypočtený kořen 2 náleží definičnímu oboru rovnice) (2. vypočtený kořen ( 

14 ) náleží definičnímu oboru 9

rovnice) (oba kořeny: 2 i ( 

14 ) jsou prvky definičního oboru 9

rovnice; nyní pro ně PROVEDEME ZKOUŠKU!) 3) Provedení zkoušky: Zkoušku provádíme pro oba případné kořeny původní iracionální rovnice tj. čísla

L2  2  2  2. 2  7  4  2. 9  2  2.3  2  6  4 P2  4 (číslo 2 je řešením původní rovnice) L2  P2  14  14 L     9 3  14  14 P     9 3  14   14  L    P    9  9

(číslo ( 

14 ) je řešením původní rovnice) 9

4) Zapíšeme množinu kořenů rovnice:

 14  K  2;  9 

73 a 1. 9

(výsledek)

Příklad 14***. Řešte rovnici

6  9  5x 3 x

3 x 

Řešení: 1) Stanovíme podmínky pro neznámou: 3 x> 0 9  5x  0 

 x > -3 

x<3

 5x  9 9 x 5

(uvedené nerovnice, které musí platit současně, řešíme ekvivalentními úpravami platnými pro úpravy nerovnic) (nalezneme průnik řešení těchto nerovnic a stanovíme rozhodující podmínku pro neznámou x tzv. definiční obor rovnice  využijeme znalostí intervalů)

 9 x    ; 5 

číselná osa

9 5

definiční obor rovnice

3

2) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav:

3 x 

6  9  5x 3 x

3 x

/.

(odstranění zlomku; celou rovnici násobíme výrazem

3 x )

3  x  6  (9  5x).(3  x) 9  x  27  24 x  5x 2

(úprava rovnice) /()

2

(9  x) 2  ( 27  24 x  5x 2 ) 2

(umocnění obou stran rovnice na druhou) (při umocňování levé strany rovnice použijeme vzorec

a  b2  a 2  2ab  b 2 ) 81  18  x 2  27  24 x  5x 2 /:2 4 x 2  6 x  54  0 2 2 x  3x  27  0 D  b 2  4.a.c

D  (3)  4.2.(27) D  225 b D x1, 2  2.a 3  15 x1, 2  4 9 x1  ; x2  3 2

(ekvivalentní úpravy rovnice) (kvadratická rovnice; řešíme užitím vzorce pro diskriminant a vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice) (a

 2; b  3; c  27 )

2

(rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda oba kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice)

x1 

9  9    ; 5 2 

(1. vypočtený kořen rovnice

 9 x2  3    ; 5 

9 nenáleží definičnímu oboru 2

 neprovádíme s ním zkoušku)

(2. vypočtený kořen (-3) náleží definičnímu oboru rovnice) (pro možný kořen (-3) PROVEDEME ZKOUŠKU!)

3) Provedení zkoušky: Zkoušku provádíme pro případný kořen původní iracionální rovnice tj. číslo (-3).

L 3  3  (3) 

6 6 6  6 12 6 12. 6  6   .   2. 6 6 3  (3) 6 6 6 6

P 3  9  5.(3)  9  15  24  4.6  2. 6

L 3  P 3

(číslo (-3) je řešením původní rovnice) 4) Zapíšeme množinu kořenů rovnice:

K   3

(výsledek)

Příklad 15***. Řešte rovnici

2 x  1  x  3  2. x

Řešení: 1) Stanovíme podmínky pro neznámou:

2x  1  0

1 x 2



x 3 0



x0



x3



x0

(nalezneme průnik řešení těchto nerovnic a stanovíme rozhodující podmínku pro neznámou x , tzv. definiční obor rovnice)

x  3;   1  0 2

definiční obor rovnice

číselná osa

3

2) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav:

2 x  1  x  3  2. x ( 2 x  1  x  3) 2  (2. x ) 2

/()

2

(umocnění obou stran rovnice na druhou) (při umocňování levé strany rovnice použijeme vzorec

a  b2  a 2  2ab  b 2 )

2 x  1  2. (2 x  1).( x  3)  x  3  4 x 2. 2 x 2  5x  3  x  2

(2. 2 x  5x  3 )  ( x  2) 2

2

/() 2

2

(ekvivalentní úpravy rovnice) (umocnění obou stran rovnice na druhou) (při umocňování pravé strany rovnice použijeme vzorec

a  b2  a 2  2ab  b 2 ) 4.(2 x 2  5x  3)  x 2  4 x  4 8x 2  20 x  12  x 2  4 x  4 7 x 2  24 x  16  0 D  b 2  4.a.c

(ekvivalentní úpravy rovnice) (kvadratická rovnice; řešíme užitím vzorce pro diskriminant a vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice) (a

D  (24)  4.7.(16) D  1024 b D x1, 2  2.a 24  32 x1, 2  14 4 x1  4 ; x 2   7

 7; b  24; c  16 )

2

x1  4  3;   x2  

4  3;   7

(rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda oba kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice) (1. vypočtený kořen 4 náleží definičnímu oboru rovnice) (2. vypočtený kořen (  rovnice

4 ) nenáleží definičnímu oboru 7

 neprovádíme pro něj zkoušku)

(pro možný kořen 4 PROVEDEME ZKOUŠKU!) 3) Provedení zkoušky: Zkoušku provádíme pro případný kořen původní iracionální rovnice, tj číslo 4.

L4  2.4  1 4  3  9  1  3  1  4

P4  2. 4  2.2  4 L4  P4

(číslo 4 je řešením původní rovnice)

4) Zapíšeme množinu kořenů rovnice:

K  4

(výsledek)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Vysvětlivky: symbolem *** je označeno rozšiřující učivo (např. pro studenty Technického lycea)

Úlohy k procvičování: 1) Řešte rovnici

4x  1  7

Výsledek: 12 2) Řešte rovnici Výsledek:

3. 2 x  1  4

25 18

3) Řešte rovnici

. 1 x  2

Výsledek: Ø 4) Řešte rovnici

7  x  x 1

Výsledek: 3 5) Řešte rovnici

1  1  5x  x

Výsledek: 0 6) Řešte rovnici

5x  1  x  1

Výsledek: 0; 3 7) Řešte rovnici

x  x2  3  3

Výsledek: 2 8) Řešte rovnici

2. x  5  x  2

Výsledek: 4 9) Řešte rovnici

6  4x  x 2  x  4

Výsledek: -1 10) Řešte rovnici

x3  x 4

Výsledek: Ø 11) Řešte rovnici Výsledek: 20

2x  4  1  x  5

12) Řešte rovnici

2x  3  4x  1  4

Výsledek: 2 13) Řešte rovnici

2x  6  x  1  2

Výsledek: -1; 15 14) Řešte rovnici

1 x  4  x  1

Výsledek: 3 15) Řešte rovnici

3x  5  3  2 x

Výsledek: 2 16) Řešte rovnici

4 x  8  3x  2  2

Výsledek: 2; 34 17) Řešte rovnici

2 x  3  3x  3  1

Výsledek: -1 18) Řešte rovnici

10  x  x  8  2

Výsledek: 9 19) Řešte rovnici

4 x  9 x 1

Výsledek: -5 20) Řešte rovnici

4  4x  x  2  6

Výsledek: Ø 21) Řešte rovnici

3x  7  x  1  2

Výsledek: -1; 3 22) Řešte rovnici

2 x  1  3x  1  4

Výsledek: 1 23) Řešte rovnici Výsledek: 11

3. x  5 

4x 1 x5

x  13  2 7 x  13  4

24) Řešte rovnici Výsledek: 12 25) Řešte rovnici

x  x 1 5  x  x  1 11

Výsledek: 8 26***) Řešte rovnici

2 x  2 x  x

Výsledek: Ø 27***) Řešte rovnici

x  5  2 x  7  2. x

Výsledek: 4 28***) Řešte rovnici Výsledek:

x2  4 x  6 x

12 ;4 5

29***) Řešte rovnici Výsledek: 5;

2x  1  x  4  5  x

1 2

30***) Řešte rovnici

x  4  x 1 

15 x4

Výsledek: 5 31***) Řešte rovnici Výsledek:

2 x  x 

4 2 x

2 3

32***) Řešte rovnici Výsledek: 5

x  4  x 1 

15 x4

33***) Řešte rovnici

1  x3  x6 x 3

Výsledek: Ø 34***) Řešte rovnici

6  x  15  2. x

Výsledek: 9 35***) Řešte rovnici

2 x  1  2. 2 x  3  1

Výsledek: -1 36***) Řešte rovnici Výsledek: -3

 x  1 x  1