GONIOMETRIE Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednotka … 1° (stupe ň)
1° = 60′ = 3600′′ Př. 25,4° = 25°24′
jeden stupeň = 60 minut = 3600 vteřin
0,4° = 0,4 ⋅ 60 = 24′
Oblouková míra: Jednotka …1 radián 1 radián je velikost takového středového úhlu, kterému na jednotkové kružnici odpovídá oblouk délky 1. Poznámka: Jednotková kružnice je kružnice s poloměrem o velikosti jedna.
180° = π rad 360° = 2π rad 360° ……. 2π rad α ° ……. 1 rad ----------------------------------
1 ⋅ 360 180 = 2π π 1 rad ≈ 57,29578° = 57°17´45´´
α° =
Převodové vzorce:
α … úhel ve stupních β … úhel v radiánech …
α=
převod ze stupňů na radiány …
β=
převod z radiánů na stupně
stupně radiány
30°
π
6
45°
π
4
60°
π
3
90°
π
2
120°
2π 3
β ⋅ 180 π α ⋅π 180
150°
5π 6
180°
π
210°
7π 6
240°
4π 3
270°
3π 2
300°
5π 3
330° 360°
11π 6
2π
Znaménka goniometrických funkcí v jednotlivých kvadrantech Jednotková kružnice: sin x 1
II. 0
-1
1. kvadrant ...
(0°,90°)
2. kvadrant ...
(90°,180°)
3. kvadrant ...
(180°,270°)
4. kvadrant ...
(270°,360°)
I. cos x
1 IV.
III.
-1
I.
II.
III.
IV.
sin x
+
+
-
-
cos x
+
-
-
+
tg x
+
-
+
-
cotg x
+
-
+
-
Tabulka hodnot goniometrických funkcí
sin x cos x tg x cotg x
30° 1 2 3 2 3 3
3
45° 2 2 2 2
60° 3 2 1 2
1
3
1
3 3
Vlastnosti goniometrických funkcí
Funkce y = sin x Graf:
Zdroj obr.: www.vysokeskoly.cz/.../GeometrickeFunkce.htm
Vlastnosti funkce: • •
periodická s periodou 2π (360°)
•
D( f ) = R H ( f ) = 〈−1,1〉
•
rostoucí:
〈−
2
+ 2kπ ,
π 2
+ 2kπ 〉 , k ∈ Z
•
3π + 2kπ 〉 , k ∈ Z 2 2 lichá funkce: sin (− x ) = − sin ( x ) , graf funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic
• •
omezená shora i zdola má maximum i minimum
•
klesající:
〈
π
π
+ 2kπ ,
Funkce y = cos x Graf:
Zdroj obr.: www.vysokeskoly.cz/.../GeometrickeFunkce.htm
Vlastnosti funkce: •
periodická s periodou 2π (360°)
•
D( f ) = R H ( f ) = 〈−1,1〉 rostoucí: 〈π + 2kπ ,2π + 2kπ 〉 , k ∈ Z klesající: 〈 0 + 2kπ , π + 2kπ 〉 , k ∈ Z sudá funkce: cos(− x ) = cos( x ) , graf funkce je souměrný podle osy y
• •
omezená shora i zdola má maximum i minimum
• • • •
Funkce y = tg x
Graf:
Zdroj obr.: www.vysokeskoly.cz/.../GeometrickeFunkce.htm
Vlastnosti funkce: • • •
periodická s periodou
π
(180°)
π D( f ) = R − + kπ , k ∈ Z 2 H(f ) = R
•
π π − + kπ , + kπ , k ∈ Z 2 2 lichá funkce: tg (− x ) = −tg ( x ) , graf funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic
• •
není omezená nemá maximum, ani minimum
•
rostoucí:
Funkce y = cotg x Graf:
Zdroj obr.: www.vysokeskoly.cz/.../GeometrickeFunkce.htm
Vlastnosti funkce: •
periodická s periodou
π
(180°)
•
D( f ) = R − {kπ } , k ∈ Z H(f ) = R klesající: (kπ , π + kπ ) , k ∈ Z lichá funkce: cot g (− x ) = − cot g ( x ) , graf funkce je souměrný podle počátku soustavy
• •
souřadnic není omezená nemá maximum, ani minimum
• • •
Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi:
π sin x = cos − x 2
π cos x = sin − x 2
sin 2 x + cos 2 x = 1
cot gx =
π tgx = cot g − x 2
cos x sin x
tgx =
π cot gx = tg − x 2
sin x cos x
tgx ⋅ cot gx = 1
Vzorce pro dvojnásobný argument:
sin 2 x = 2 ⋅ sin x ⋅ cos x
cos 2 x = cos x − sin x 2
2
cot g 2 x − 1 cot g 2 x = 2 cot gx
tg 2 x =
2tgx 1 − tg 2 x
Vzorce pro poloviční argument:
sin
x 1 − cos x = 2 2
cos
x 1 + cos x = 2 2
tg
x 1 − cos x = 2 1 + cos x
cot g
x 1 + cos x = 2 1 − cos x
Součtové vzorce:
sin ( x ± y ) = sin x ⋅ cos y ± cos x ⋅ sin y cos( x ± y ) = cos x ⋅ cos y m sin x ⋅ sin y
tgx ± tgy 1 m tgx ⋅ tgy cot gx ⋅ cot gy m 1 cot g ( x ± y ) = cot gx ± cot gy tg ( x ± y ) =
Vzorce pro součet a rozdíl goniometrických funkcí:
x+ y x− y ⋅ cos 2 2 x+ y x− y cos x + cos y = 2 ⋅ cos ⋅ cos 2 2
sin x + sin y = 2 ⋅ sin
tgx ± tgy =
sin (x ± y ) cos x ⋅ cos y
x+ y x− y ⋅ sin 2 2 x+ y x− y cos x − cos y = −2 ⋅ sin ⋅ sin 2 2 sin x − sin y = 2 ⋅ cos
cot gx ± cot gy = ±
sin ( x ± y ) sin x ⋅ sin y
Goniometrické rovnice
Jsou rovnice, v nichž se vyskytují goniometrické funkce neznámého úhlu. Každý úhel x, který vyhovuje rovnici, je řešením rovnice.
1. Základní goniometrické rovnice: Řešené úlohy: Příklad 1: Řešte v množině R rovnici
cos x =
cos x =
Řešení:
1 2
1 2
podle hodnoty určíme ´ pomocný úhel x
podle znaménka před číslem určíme kvadranty
Do 4. kvadrantu se dostaneme tak že, pomocný úhel odečteme od 360°
x ´= 60°
z tabulky zjistíme pomocný úhel
I. kvadrant:
funkce kosinus je kladná v 1. a 4. kvadrantu
x1 = 60° + k ⋅ 360° IV. kvadrant: x 2 = 300° + k ⋅ 360° k ∈ Z
Příklad 2: Řešte v množině R rovnici
sin x = −
sin x = −
Řešení:
perioda funkce kosinus je 360°
2 2
2 2
podle znaménka před číslem určíme kvadranty
Do 3. kvadrantu se dostaneme tak že, pomocný úhel přičteme k 180° podle hodnoty určíme pomocný úhel
Do 4. kvadrantu se dostaneme tak že, pomocný úhel odečteme od 360°
x ´= 45°
z tabulky zjistíme pomocný úhel
III. kvadrant:
funkce sinus je záporná ve 3. a 4. kvadrantu
x1 = 225° + k ⋅ 360° IV. kvadrant: x 2 = 315° + k ⋅ 360° k ∈ Z
perioda funkce sinus je 360°
Příklad 3: Řešte v množině R rovnici
tgx = − 3
tgx = − 3
Řešení:
podle znaménka před číslem určíme kvadranty
Do 2. kvadrantu se dostaneme tak že, pomocný úhel odečteme od 180°
podle hodnoty určíme pomocný úhel
Do 4. kvadrantu se dostaneme tak že, pomocný úhel odečteme od 360°
x ´= 30°
z tabulky zjistíme pomocný úhel
II. kvadrant:
funkce tangens je záporná ve 2. a 4. kvadrantu
x1 = 150° + k ⋅ 180° IV. kvadrant: x 2 = 330° + k ⋅ 180° x = 150° + k ⋅ 180°
perioda funkce tangens je 180° Obě řešení „ leží “ na přímce ⇒ můžeme je nahradit jedním řešením
k∈ Z
2. Goniometrické rovnice řešené substitucí: Řešené úlohy: Příklad 1: Řešte v množině R rovnici cos 2 x
Řešení:
=−
3 2 zavedeme substituci (nahrazení)
2x = t
cos t = −
3 2
přepíšeme rovnici pomocí substituce
Do 2. kvadrantu se dostaneme tak že, pomocný úhel odečteme od 180° podle znaménka před číslem určíme kvadranty
x ´= 30° II. kvadrant:
podle hodnoty určíme pomocný úhel
Do 3. kvadrantu se dostaneme tak že, pomocný úhel přičteme k 180°
z tabulky zjistíme pomocný úhel
t1 = 150° + k ⋅ 360°
funkce kosinus je záporná ve 2. a 3. kvadrantu
III. kvadrant:
t 2 = 210° + k ⋅ 360°
perioda funkce kosinus je 360°
t 2 t x1 = 1 ⇒ x1 = 75° + k ⋅ 180° 2 t x 2 = 2 ⇒ x 2 = 105° + k ⋅ 180° k ∈ Z 2
2x = t ⇒ x =
Příklad 2: Řešte v množině R rovnici
Řešení:
2x −
π 3
2x −
π 3
ze substituce vyjádříme x do substituce dosadíme zpět za t
π sin 2 x − = −1 3 zavedeme substituci (nahrazení)
=t
sin t = −1
přepíšeme rovnici pomocí substituce
t = 270° + k ⋅ 360°
úhel zjistíme z jednotkové kružnice perioda funkce sinus je 360°
= t ⇒ 2x = t +
π 3
⇒
x=
t π + 2 6
do substituce dosadíme zpět za t
x = 135° + k ⋅ 60°
3. Další typy goniometrických rovnic: Příklad 1: Řešte v množině R rovnici Řešení:
sin x = sin 2 x
sin x = 2 sin x cos x sin x − 2 sin x cos x = 0 sin x ⋅ (1 − 2 cos x ) = 0
sin x = 0 sin x = 0 x1 = 0° + k ⋅ 180°
1 − 2 cos x = 0
Použijeme vzorec
sin 2 x = 2 sin x ⋅ cos x levou stranu rovnice vyjádříme ve tvaru součinu
dostaneme 2 goniometrické rovnice úhel zjistíme z jednotkové kružnice obě řešení (úhly 0°a 180°) leží na p římce ⇒ můžeme je nahradit jedním řešením
1 − 2 cos x = 0 ⇒ cos x =
podle znaménka před číslem určíme kvadranty
1 2
Do 4. kvadrantu se dostaneme tak že, pomocný úhel odečteme od 360°
podle hodnoty určíme pomocný úhel
x ´= 60°
z tabulky zjistíme pomocný úhel
I. kvadrant:
funkce kosinus je kladná v 1. a 4. kvadrantu
x 2 = 60° + k ⋅ 360° IV. kvadrant: x3 = 300° + k ⋅ 360° k ∈ Z
Rovnice má 3 řešení:
x1 = 0° + k ⋅ 180° x 2 = 60° + k ⋅ 360° x3 = 300° + k ⋅ 360°
Příklad 2: Řešte v množině R rovnici Řešení:
perioda funkce kosinus je 360°
tg 2 x − 7tgx + 10 = 0
tgx = t
zavedeme substituci (nahrazení)
t − 7t + 10 = 0 (t − 2) ⋅ (t − 5) = 0 2
přepíšeme rovnici pomocí substituce kvadratickou rovnici řešíme rozkladem na
součin
t1 = 2
t2 = 5
tgx = 2
tgx = 5 tgx = 2
podle znaménka před číslem určíme kvadranty
I. kvadrant:
do substituce dosadíme zpět za t
dostaneme 2 goniometrické rovnice funkce tangens je kladná v 1. a 3. kvadrantu
podle hodnoty určíme pomocný úhel
x = 63°27 ´ + k ⋅ 180°
obě řešení leží na přímce ⇒ stačí napsat řešení v 1. kvadrantu
pomocný úhel zjistíme pomocí kalkulačky
tgx = 5
funkce tangens je kladná v 1. a 3. kvadrantu
podle znaménka před číslem určíme kvadranty
I. kvadrant:
podle hodnoty určíme pomocný úhel
x = 78°41´ + k ⋅ 180°
Zadaná rovnice má 2 řešení:
pomocný úhel zjistíme pomocí kalkulačky obě řešení leží na přímce ⇒ stačí napsat řešení v 1. kvadrantu
x1 = 63°27 ´ + k ⋅ 180° x 2 = 78°41´ + k ⋅ 180°
Příklad 3: Řešte v množině R rovnici Řešení:
(
2 sin 2 x − cos 2 x − 4 sin x + 2 = 0
)
2 sin 2 x − 1 − sin 2 x − 4 sin x + 2 = 0 2 sin x − 1 + sin x − 4 sin x + 2 = 0 2
2
Upravíme rovnici tak, aby obsahovala jen 1 funkci
Použijeme vzorec
cos 2 x = 1 − sin 2 x
3 sin 2 x − 4 sin x + 1 = 0 zavedeme substituci
sinx = t
přepíšeme rovnici pomocí substituce
3t − 4t + 1 = 0 2
D = b2 − 4 ⋅ a ⋅ c D = 16 − 4 ⋅ 3 ⋅ 1 = 4 −b± D t1, 2 = 2a 4± 4 t1, 2 = 6
vyřešíme kvadratickou rovnici
t1 =
4+2 =1 6
t2 =
4−2 1 = 6 3 do substituce dosadíme zpět za t
sin x = 1
x1 = 90° + k ⋅ 360°
sin x =
1 3
dostaneme 2 goniometrické rovnice řešení zjistíme na jednotkové kružnici perioda funkce sinus je 360°
sin x =
podle znaménka před číslem určíme kvadranty
1 3 Do 2. kvadrantu se dostaneme tak že, pomocný úhel odečteme od 180°
podle hodnoty určíme pomocný úhel
x ´= 19°28´
pomocný úhel zjistíme pomocí kalkulačky
I. kvadrant:
x 2 = 19°28 + k ⋅ 360°
funkce sinus je kladná v 1. a 2. kvadrantu
II. kvadrant:
x3 = 160°32 + k ⋅ 360°
perioda funkce sinus je 360°
´
´
Zadaná rovnice má 3 řešení:
x1 = 90° + k ⋅ 360° x 2 = 19°28´ + k ⋅ 360° x3 = 160°32´ + k ⋅ 360°
ŘEŠENÍ OBECNÉHO TROJÚHELNÍKU SINOVÁ VĚTA: Poměr délek stran v trojúhelníku ABC je roven poměru sinu úhlů, které leží proti těmto stranám.
a sin α = b sin β
b sin β = c sin γ
a sin α = c sin γ
Jiný zápis:
a b = sin α sin β
b c = sin β sin γ
a c = sin α sin γ
Poznámka: Při použití věty musíme vzít v úvahu možnost dvou řešení (například sin x = 1/2 ⇒ x1 = 30°, x 2 = 150°) a na základě trojúhelníkové nerovnosti a věty o součtu vnitřních úhlů v trojúhelníku rozhodnout o počtu řešení.
KOSINOVÁ VĚTA: V trojúhelníku ABC se stranami a, b c a jeho vnitřními úhly
a = b + c − 2bc cos α 2
2
2
b = a + c − 2ac cos β 2
2
2
α , β ,γ
platí:
c = a 2 + b 2 − 2ab cos γ 2
Větu většinou používáme v případě, kdy jsou dány dvě strany trojúhelníku a úhel, který svírají, a chceme zjistit délku zbývající strany.
OBSAH TROJÚHELNÍKU ABC:
S=
1 1 1 ab sin γ , S = bc sin α , S = ac sin β 2 2 2
PRO POLOMÉR KRUŽNICE OPSANÉ ∆ ABC PLATÍ: r =
a b c = = 2 sin α 2 sin β 2 sin γ
UŽITÍ TRIGONOMETRIE Trigonometrie je oblast goniometrie zabývající se užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.
Řešené úlohy: Příklad 1: V jakém zorném úhlu se jeví předmět 70 m dlouhý pozorovateli, který je od jednoho jeho konce vzdálen 50 m a od druhého konce 80 m? Řešení: 80 m 70 m
α 50 m
70 2 = 80 2 + 50 2 − 2 ⋅ 80 ⋅ 50 ⋅ cos α 2 ⋅ 80 ⋅ 50 ⋅ cos α = 80 2 + 50 2 − 70 2 8000 ⋅ cos α = 6400 + 2500 − 4900 8000 ⋅ cos α = 4000 1 cos α = 2 α = 60°
úhel zjistíme pomocí kosinové věty
Pozorovatel vidí předmět v zorném úhlu 60°.
Příklad 2: Cíl C je pozorován ze dvou dělostřeleckých pozorovatelen A, B, které jsou od sebe vzdáleny 975 m, přitom je velikost úhlu α = 63° a velikost úhlu β = 48° . Vypočítejte vzdálenost AC. C
Řešení:
γ
x 63° A
975 m
x sin 48° = 975 sin 69° sin 48° x= ⋅ 975 sin 69° x = 776m Vzdálenost AC měří přibližně 776 metrů.
Vypočítáme úhel γ : = 180°- (63°+48°)= 69°
48° B Vzdálenost x zjistíme pomocí sinové věty. Poměr délek stran je roven poměru sinu úhlů, které leží proti těmto stranám
Příklad 3: Na vrcholu kopce stojí rozhledna 35m vysoká. Patu i vrchol vidíme z určitého místa v údolí pod výškovými úhly o velikosti 28° a 31°. Jak vysoko je vrchol kopce nad rovinou pozo rovacího místa?
V Řešení:
59° P ... pata rozhledny V ... vrchol rozhledny L ... pozorovací místo
35 m P
3°
y x
31° 28°
K
180° − (90° + 31°) = 59° y sin 59° = 35 sin 3° sin 59° y= ⋅ 35 sin 3° sin 59° y= ⋅ 35 sin 3° y = 573,2 m
L
Z trojúhelníku KLV vypočítáme úhel u vrcholu V Z trojúhelníku PLV pomocí sinové věty zjistíme y
x 573,2 x = 573,2 ⋅ sin 28° x = 269,1 m
sin 28° =
x + 35 = 269,1 + 35 = 304,1 m Vrchol kopce je 304,1 metrů nad rovinou pozorovacího místa.
Poměr délek stran je roven poměru sinu úhlů, které leží proti těmto stranám
PRACOVNÍ LIST 1 1. Následující úhly uveďte v obloukové míře: 0° =
120° =
210° =
360° =
30° =
135° =
240° =
45° =
60° =
150° =
270° =
15° =
90° =
180° =
330° =
720° =
2. Velikosti úhlů dané v míře stupňové vyjádřete v míře obloukové: 32° = 56° = 128° = 35°12´ = 21°54´ = 327°36´ = 15°05´=
3. Velikosti úhlů dané v míře obloukové vyjádřete v míře stupňové:
4π = 3
14π = 9
12π = 5
0,16 =
7π = 10
π 15
0,64 =
1,27 = 3,58 =
=
2,43 =
PRACOVNÍ LIST 2 – první část 1. Vypočtěte bez pomocí kalkulačky: a) sin 330° = b) c) d) e) f) g) h) i)
cos(−180°) = tg 240° = cot g (− 300°) = tg135° = sin 210° = cos 240° = 5 sin π = 6 3 cos π = 4
5 tg π = 4 2 k) cot g π = 3 4 l) cos − π = 3 7 m) sin − π = 4 π n) cot g − π = 2 j)
2. Pomocí kalkulačky zjistěte: a) sin 143° 15´ = b) cos 137°42´ = c) sin (-12°6´) = d) sin 1 =
3. Vypočtěte bez použití kalkulaček: a)
tg 30° ⋅ cot g 30° − sin 30° ⋅ tg 60° =
b)
3 ⋅ cos
c)
a 2 ⋅ sin
d)
3 2 ⋅ cos π + 6 ⋅ cot g π − 5 ⋅ sin 2π = 2
π
3 − 4 ⋅ sin π + 8 ⋅ tgπ = 2 2
π 2
+ b 2 ⋅ cos 0 + 2ab ⋅ cos π =
e) sin 4,2 = f) tg 53°16´ = g) tg(- 60°) = h) tg 1475° =
PRACOVNÍ LIST 2 – druhá část
e)
f)
3 π 2 ⋅ tg 0 + sin π − cos π − cot g = 2 2
cot g
12 19 π ⋅ tg11π ⋅ cot g π ⋅ tg (− 7π ) = 8 3
π π tg − ⋅ cot g − 4 4 = g) 3 sin − π ⋅ cos(− 4π ) 2
π
− cot g
π
=
h)
2tg
i)
π π π sin − cos ⋅ cos = 6 3 3
sin j)
sin
3
π 3
π 4
− cos ⋅ cos
4
π 3 =
π
4
π π k) tg − cot g = 6 4 2
PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ I. 1. Načrtněte grafy funkcí: a)
y = sin x + 1
π y = sin 2 x + 3 π i) y = 2 sin x − + 1 4 * j) y = sin x h)
π y = sin x + 3 c) y = 2 sin x b)
y = sin x
d)
y = − sin x
* k)
e)
y = sin 2 x
* l)
y = sin x +
* m)
y = cos x
* n)
y = cos x +1
π y = cos x − 4 g) y = cos x − 2
f)
π 6
2. Zjednodušte následující výrazy a uveďte podmínky, za kterých jsou definovány:
cos 2 x a) 1 + sin x b) (1 + cos x )(1 + cos x ) c)
1 + tg 2 x 1 + cot g 2 x
sin x − sin 3 x cos x − cos 3 x 2 2 2 e) 1 − sin x + cot g x ⋅ sin x tgx f) 1 + tg 2 x
h) i)
(sin x + cos x )
2
− 2 sin x ⋅ cos x
sin x ⋅ cos x + sin 3 x (cos x − sin x )2 + (cos x + sin x )2 2
sin 2 x − sin 4 x cos 2 x − cos 4 x 2 2 2 k) sin x ⋅ cot g x + sin x − 1 j)
l)
n) o)
d)
g)
m)
cos 2 x ⋅ tg 2 x + cos 2 x
p) q) r)
cos x ⋅ (tgx + cot gx ) cos x cos x + 1 − sin x 1 + sin x 1 cot gx − 1 + tgx 1 + cot gx sin x 1 + cos x + 1 + cos x sin x 1 tgx − 1 + cot gx 1 + tgx
(sin x + cos x )2 − sin 2 x
cos 2 x + 2 sin 2 x 1 + sin 2 x t) cos 2 x sin 2 x u) cos 2 x − cos 2 x cos 2 x + sin 2 x v) 1 + cos 2 x s)
PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ II. 1. Uveďte podmínky, za kterých jsou následující rovnosti definovány, a pak je dokažte:
a)
(sin x + cos x )2 − 1 = 2
sin x ⋅ cos x tg x − sin 2 x = tg 2 x sin 2 x 1 = 1 + tg 2 x 2 cos x 1 = 1 + cot g 2 x 2 sin x tg 2 x − sin 2 x = tg 2 x 2 sin x cot g 2 x − 1 1 − 2 sin 2 x = cot g 2 x + 1 1 1 + =1 2 tg x + 1 cot g 2 x + 1 2
b) c) d) e) f) g)
h)
tgx − cot gx =
1 − 2 cos 2 x sin x ⋅ cos x
2
1 − tgx 1 + tg 2 x = i) 1 + cot g 2 x 1 − cot gx sin x cos x j) sin x + cos x = + tgx cot gx 1 k) − sin x ⋅ tgx = cos x cos x 2 l) sin x ⋅ cot gx = 1 − sin x m) n) o) p) q)
1 + sin 2 x = (sin x + cos x ) 1 + cos 2 x = cot gx sin 2 x sin x + sin 2 x = tgx 1 + cos x + cos 2 x sin 2 x − cos x = cot gx 1 − cos 2 x − sin x 1 − tg 2 x = cos 2 x 1 + tg 2 x
2
2. Určete hodnoty zbývajících goniometrických funkcí, aniž byste zjišťovali velikost úhlu: a)
1 3 sin x = − , x ∈ π , π 5 2
b)
π tgx = 2 2 , x ∈ 0, 2
4 π , x ∈ 0, 5 2 7 3 d) cot gx = − , x ∈ π ,2π 24 2
c)
cos x =
3. Zjednodušte (použitím součtových vzorců a vzorců pro součet a rozdíl goniometrických funkcí):
π sin x + 2 π b) cos − x 2
a)
π π cos − x − cos + x 6 6 π π d) sin + x − sin − x 4 4 c)
4. Vypočtěte (použitím součtových vzorců a vzorců pro součet a rozdíl goniometrických funkcí):
sin 65° + sin 25° cos 80° + cos 40° cos 50° − cos 70° b) sin 70° − sin 50°
a)
c) d) e) f)
− cos 76° cos 164° + sin 76° sin 164° − sin 828° cos 603° + cos 828° sin 603° cos 254° cos 134° + sin 254° sin 134° − cos154° − cos 746°
PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ III.
1. Řešte rovnice: a) 2 sin x = −1 b) c) d) e) f)
i)
2 cos x = − 2 2 sin (3x + π ) = −1 cos 2 x = 0 cos 2 x − cos x = 0 tg 2 x + 2tgx − 3 = 0
j) k) l) m) n) o) p)
π 3 g) tg x − = 3 3 h) sin x ⋅ cos x = 0
q)
* 2. Řešte rovnice: a) b)
sin 2 x = (cos x − sin x )
(sin x + cos x )2
2
=1
1 2 2 d) (1 + cos 2 x ) sin x = 4 cos x
c)
sin x cos x =
e) f) g)
cos x = − 3 sin x sin x = cos x 1 = cos 2 x − sin x
* 3. Řešte nerovnice:
a)
sin x ≥
b)
sin x < 0
3 2
tgx ≤ −1 d) cot gx > − 1 c)
π 2 sin 2 x − = 4 2 2 2 sin x + 3 cos x = 0 tgx + cot gx − 2 = 0 2tg 2 x + 4 cos 2 x = 7 2 sin 2 x − sin x = 0 4 cos 3 x = cos x sin x + sin 2 x = 0 cos 2 x + sin x cos x = 1 sin 2 x − cos 2 x + 3 sin x − 2 = 0
PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ IV. 1. Určete délky všech stran a velikosti všech vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a) c = 20cm ,
α = 45° , β = 105°
b)
a = 11,6dm , c = 9dm , α = 65°30´
c)
a = 5cm , b = 6cm , c = 7cm
d)
b = 64mm , c = 29mm , α = 47°
e)
a = 38cm , b = 48cm , α = 37°
f)
b = 25cm , c = 2 ⋅ 25cm , γ = 45°
g)
a = 12,4cm , b = 16,8cm , γ = 60°
2. Vypočítejte obvod trojúhelníku, který je vepsán do kružnice o poloměru 5 cm a jehož vnitřní úhly mají velikosti 45° a 60°. 3. Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, je-li
a = 25,1cm , α = 63° , β = 38° .
4. Vypočítejte poloměr kružnice opsané trojúhelníku ABC, je-li
a = 26,5cm a α : β : γ = 2 : 3 : 4 .
5. Z pozorovatelny 15 m vysoké a vzdálené 30 m od břehu řeky se jeví šířka řeky v zorném úhlu 15°. Vypočtěte šířku řeky. 6. Letadlo letí ve výšce 2500 m k pozorovatelně. V okamžiku prvního měření bylo vidět pod výškovým úhlem α = 28° , při druhém měření pod výškovým úhlem β = 50° . Určete vzdálenost, kterou letadlo proletělo mezi oběma měřeními. 7. Sílu o velikosti F = 465 N rozložte na dvě složky tak, aby s ní svíraly úhly o velikostech a β = 74°10´ . Vypočítejte velikosti složek.
α = 69°30´
8. Ze dvou míst K, L na vodorovné rovině vzdálených od sebe 3,1 km byl pozorován mrak nad spojnicí obou míst ve svislé rovině ve výškových úhlech α = 78°40´ a β = 63°50´ . Jak vysoko byl mrak? 9. Vrchol věže stojící na rovině vidíme z určitého místa A ve výškovém úhlu α = 39° . Přijdeme-li směrem k jeho patě o 50 m blíž na místo B, vidíme z něho vrchol věže ve výškovém úhlu β = 58°42´ . Jak vysoká je věž?
