( α = 0, 05 ) rumus yang digunakan untuk menentukan jumlah anggota sampel adalah:

BAB 2 LANDASAN TEORI

Peramalan adalah kegiatan umtuk memperkirakan apa yang akan terjadi pada masa yang akan datang berdasarkan pengalaman di masa lalu. Metode peramalan yang sering digunakan dalam ekonomi dan dunia usaha adalah deret waktu (time series).

2.1 Beberapa Uji Yang Digunakan 2.1.1

Uji Kecukupan Sampel Sebelum melakukan analisa terhadap data, langkah awal yang harus dilakukan adalah

pengujian terhadap anggota sampel. Pengujian ini dimaksudkan untuk mengetahui apakah data yang diperoleh dapat diterima sebagai sampel. Dengan tingkat keyakinan 95% ( α = 0,05 ) rumus yang digunakan untuk menentukan jumlah anggota sampel adalah: 2  N N  20 N ∑ Yt 2 −  ∑ Yt   t =1  t =1  N'=  N  Yt ∑  t =1 

      

2

(2-1)

Dengan :

N ' = Ukuran sampel yang dibutuhkan

N = Ukuran sampel percobaan

Yt = Data aktual Apabila N ' < N , maka sampel percobaan dapat diterima sebagai sampel.

2.1.2

Uji Musiman Untuk mengetahui adanya komponen musiman dilakukan uji musiman. Hipotesa

ujinya adalah sebagai berikut :

Universitas Sumatera Utara

Ho

: Data tidak dipengaruhi musiman

H1

: Data dipengaruhi musiman Tabel 2.1 Perhitungan Uji Musiman

Periode

1 2

Musiman 1

2

3

4

...

k

Y11

Y12

Y13

Y14

...

Y1k

Y21

Y22

Y23

Y24

...

Y2 k

Y31

Y32

Y33

Y34

...

Y3k

Y42

Y43

Y44

...

Y4 k

3 4 .

Y41

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

N

Yn1

Yn 2

Yn 3

Yn 4

Ynk

J1

J2

J3

J4

Jk

Jumlah

Untuk perhitungan digunakan notasi :

 k  ∑ Ji  R y =  i =1k  ∑ ni

2

(2-2)

i =1

Dengan :

Ry

= Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) untuk rata-rata

Ji

= Jumlah nilai pengamatan


ni

= Ukuran sampel percobaan

J i2 Ay = ∑ − Ry i =1 ni k

(2-3)

Dengan :

∑Y

2

Ay

= Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) antar kelompok

Ry


Ji

= Jumlah nilai pengamatan

ni

= Ukuran sampel percobaan

= Y112 + Y122 + ... + Ynk2

(2-4)

Dengan :

Y

= Jumlah data aktual

D y = ∑ Y 2 − R y − Ay

(2-5)

Dengan :

Y

= Jumlah data aktual

Dy

= Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) dalam kelompok

Ry


Ay


Sehingga F hitung =

Ay Dy

(2-6)


Dengan :

Ay


Dy

= Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) dalam kelompok

Kemudian akan disusun dalam tabel ANAVA. Tabel 2.2 Perhitungan Anava Uji Musiman Sumber

Derajat

Jumlah

Jumlah Kuadrat

Statistik

Variasi

Bebas

Kuadrat

Rata-rata

Uji

Antar Musim

k −1

Ay

A=

Ay k −1 F=

Dalam Musim

Total

∑n − k

Dy

∑ n -1

∑Y

D=

Dy

A D

n−k

2

Dengan k

= Menyatakan musiman

n

= Periode musiman

Maka kriteria pengujiannya adalah :

H 0 : Diterima jika F hitung > F (k-1, n-k)

H 1 : Ditolak jika F hitung ≤ F (k-1, n-k)


2.1.3

Uji Trend Tujuan dari uji trend adalah untuk melihat apakah ada pengaruh komponen trend

terhadap data. Hipotesis ujinya adalah :

H0

: frekuensi naik dan turun dalam data adalah sama, artinya tidak ada trend

H1

: frekuensi naik lebih besar dari frekuensi turun, artinya trend menaik

Statistik penguji :

Z=

µ=

σ=

(m − µ )

σ n −1 2

n +1 2

(2-7)

(2-8)

(2-9)

Dengan :

m = frekuensi naik n = jumlah data

µ = frekuensi naik yang diharapkan

σ = standar error antara naik dan turun

Kriteria penguji : Dengan taraf signifikan α maka :

H 0 : Diterima jika Z hitung > Z tabel

H 1 : Ditolak jika Z hitung ≤ Z tabel


2.2 Jenis-jenis Peramalan Berdasarkan sifat ramalan yang telah disusun, ramalan dapat dibedakan atas dua macam, yaitu : 1. Peramalan Kualitatif Peramalan kualitatif adalah peramalan yang didasarkan atas data kualitatif pada masa lalu. Hasil peramalan yang dibuat sangat tergantung pada orang yang menyusunnya. Hal ini penting karena hasil peramalan tersebut ditentukan berdasarkan pemikiran yang bersifat intuisi, pendapat, dan pengetahuan serta pengalaman dari penyusunnya. 2. Peramalan Kuantitatif Peramalan kuantitatif adalah peramalan yang didasarkan atas data kuantitatif pada masa lalu. Hasil peramalan yang dibuat sangat tergantung pada metode yang digunakan dalam peramalan tersebut. Dengan metode yang berbeda akan diperoleh hasil peramalan yang berbeda. Metode yang baik adalah metode yang memberikan nila-nilai perbedaan atau penyimpangan yang kecil antara hasil ramalan dengan kenyataan yang terjadi. Peramalan kuantitatif hanya dapat digunakan apabila tiga kondisi sebagai berikut dipenuhi : a. Adanya informasi tentang keadaan yang lalu b. Informasi tersebut dapat dikuantitatifkan dalam bentuk data c. Dapat diasumsikan bahwa pola yang lalu akan berkelanjutan pada masa yang akan datang.

2.3 Metode Peramalan 2.3.1

Pengertian Metode Peramalan Metode peramalan adalah cara memperkirakan secara kuantitatif apa yang akan

terjadi pada masa depan, berdasarkan data yang relevan pada masa lalu. Oleh karena metode peramalan ini didasarkan pada data yang relevan pada masa lalu, maka metode peramalan ini dipergunakan dalam peramalan yang objektif. Disamping itu, metode peramalan juga merupakan cara memperkirakan secara kuantitatif, oleh karena itu metode peramalan termasuk dalam metode peramalan kuantitatif.


2.3.2

Jenis-Jenis Metode Peramalan Peramalan dapat dibedakan atas peramalan kuantitatif dan kualitatif. Pada dasarnya

metode peramalan kuantitatif dapat dibedakan atas : a. Metode Regresi (kausal) Metode peramalan kausal ini didasarkan atas penggunaan analisa pola hubungan antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel lain yang mempengaruhinya, yang bukan waktu. Metode ini mengasumsikan bahwa faktor yang diramalkan menunjukkan suatu hubungan sebab akibat dengan satu atau lebih variabel bebas. Metode regresi ini terdiri dari : 1. Metode regresi dan korelasi 2. Metode ekonometrika 3. Metode input output b. Deret waktu Metode peramalan deret berkala (time series) didasarkan atas penggunaan analisa pola hubungan antar variabel yang diperkirakan dengan variabel waktu, yang merupakan deret waktu (time series). Metode peramalan deret waktu data historis dianalisa untuk mengidentifikasi pola data dan diasumsikan bahwa pola data tersebut akan terus berlanjut pada masa yang akan datang. Pola data yang diperoleh kemudian dianalisa untuk memperoleh nilai peramalan pada masa yang akan datang. Dalam model peramalan deret waktu tidak ada usaha menemukan faktor yang mempengaruhi terhadap data historis yang dianalisa. Metode peramalan deret waktu ini terdiri dari : 1. Metode Smoothing 2. Metode Box-Jenkins 3. Metode Proyeksi Trend dengan Regresi

2.4 Klasifikasi Model Box-Jenkins Model Box-Jenkins dikelompokkan ke dalam tiga kelompok yaitu : 1. Model Autoregressive (AR) 2. Model Rataan Bergerak / Moving Average (MA) 3. Model Campuran


Model campuran ini dapat berupa model campuran model Autoregressive Moving Average (ARMA) dan model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA).

2.4.1

Model Autoregressive

Persamaan umum dari model AR(p) :

(1 − φ B − φ B 1

2

2

)

− ... − φ p B p Yt = δ + et

(2-10)

Dengan : B

= operator penggerak mundur (backward shift operator)

φ1 = parameter autoregressive ke-i (dengan i = 1,2,3,…,p) Yt = Data aktual

δ = suatu konstanta et = sisaan (residu) ke – t

2.4.2

Model Rataan Bergerak (Moving Average) Bentuk umum dari model rataan bergerak dengan ordo q atau biasa ditulis MA(q).

2.4.3

Model Campuran Autoregressive – Rataan Bergerak Secara singkat bentuk umum model campuran autoregressive rataan bergerak berordo

(p,q) yang mengkombinasikan proses autoregressive ordo p dan proses rataan bergerak ordo q atau biasa ditulis dengan ARMA(p,q).

2.4.4

Model Integrasi Autoregressive – Moving Average (ARIMA) Untuk deret waktu yang tidak stasioner, model Box-Jenkins dapat diterapkan dengan

jalan mentransformasikannya menjadi deret yang stasioner dengan pembedaan ordo pertama atau lebih. Box-Jenkins menyatakan model tersebut Integrasi Autoregressive-Rataan Bergerak (Autoregressive-Integrated-Moving Average / ARIMA).


Bentuk umum model ARIMA berordo (p,d,q) yang mengkombinasikan proses autoregressive berodo p, dan proses rataan bergerak berordo q pada deret waktu yang sudah di transformasikan dengan pembedaan ordo ke-d atau biasa ditulis dengan ARIMA(p,d,q) adalah sebagai berikut :

(1 − φ B − ... − φ 1

p

)

(

)

B p Wt = δ + 1 − θ1 B − ... − θ q B q et

(2-11)

Dengan :

φ1 = parameter autoregressive ke-i B

= operator penggerak mundur (backward shift operator)

Wt = deret yang sudah dideferensi dengan ordo d

δ = konstanta et = sisaan (residu) ke – t Dalam praktek, nilai p,d,q yang biasa digunakan adalah 0,1,2. Meskipun demikian dengan nilai p,d,q yang seperti itu dapat dibuat banyak variasi model yang cukup berguna. Persamaan model yang sederhana, ARIMA (1,1,1) adalah sebagai berikut :

Yt = (1 − φ1 )Yt −1 − φ1Yt − 2 + δ + et − θ1et −1

(2-12)

Dengan :

Yt = Data aktual

φ1 = parameter autoregressive ke-i δ = konstanta et = sisaan (residu) ke – t

2.5 Kestasioneran dan Faktor Musiman 2.5.1

Kestasioneran Kestasioneran data dapat diperiksa dengan analisa autokorelasi dan autokorelasi


Parsial. Data yang dianalisa dalam model ARIMA adalah data yang bersifat stasioner, yaitu data yang rata-rata dan variansinya relative konstan dari satu periode ke periode selanjutnya. Autokorelasi-autokorelasi dari data yang tidak stasioner berbeda secara signifikan dari nol dan mengecil secara perlahan membentuk garis lurus sedangkan autokorelasi-autokorelasi dari data stasioner mengecil secara drastis membentuk garis lengkung ke arah nol setelah periode kedua atau ketiga. Jadi bila autokorelasi pada periode satu, dua maupun periode ketiga tergolong signifikan sedangkan autokorelasi-autokorelasi pada periode lainnya tergolong tidak signifikan, maka datanya bersifat stasioner. Menurut Box-Jenkins deret data yang tidak stasioner dapat ditransformasikan menjadi deret data yang stasioner dengan melakukan pembedaan (diferensi) pada data aktual. Pembedaan ordo pertama dari data aktual dapat dinyatakan sebagai berikut :

Wt = Yt − Yt −1

(2-13)

Dengan :

Wt = deret yang sudah dideferensi dengan ordo d Yt = Data aktual Biasanya dengan melakukan pembedaan pertama dan kedua data akan menjadi data yang stasioner dengan melihat koefisien autokorelasi data pembedaan akan turun mendekati nol setelah lag ke-2 atau lag ke-3.

2.5.2

Faktor Musiman Makridakis (1991) dan Assauri (1984) mendefenisikan musiman sebagai suatu

pola yang berulang-ulang dalam selang waktu yang tetap. Pola musiman dapat berupa musiman triwulan (3 bulanan), kuartal (4 bulanan), semesteran (6 bulanan) atau tahunan (12 bulanan). Notasi ARIMA yang digunakan untuk mengatasi aspek musiman, secara umum ditulis sebagai berikut :

ARIMA( p, d , q)( P, D, Q) s Komponen (p,d,q) adalah bagian tidak musiman dari model (P,D,Q) adalah bagian musiman dari model dan S adalah jumlah periode per musim.


Model ARIMA yang mengandung faktor musiman, ARIMA (1,1,1,) (1,1,1)12 mempunyai persamaan sebagai berikut :

(1 − φ1 B )(1 − Φ 1 B12 )(1 − B)(1 − B12 )Yt

(

)

= δ + (1 − θ1 B ) 1 − Θ1 B 12 et

(2-14)

Dengan :

φ1

= Parameter autoregressive ke-1

B

= Operator penggerak mundur (backward shift operator)

Φ1

= Sudut fase (dalam radian)

Yt

= Data aktual

δ

= Konstanta

θ1

= Nilai rata – rata bergerak MA

Θ1

= Nilai SMA

et

= Sisaan (residu) ke – t

Dalam hal ini :

(1 − φ1 B )

= proses AR (1) bukan musiman

(1 − Φ B )

= proses AR (1) musiman

(1 − B )

= pembedaan ordo pertama bukan musiman

(1 − B )

= pembedaan ordo pertama musiman

(1 − θ1 B )

= proses MA (1) bukan musiman

(1 − Θ B )

= proses MA (1) musiman

12

1

12

12

1

2.5.3

White Noise Deret et , et −1 , et − 2 ,....... yang merupakan deret sisaan (residu) diharapkan bersifat


White noise maksudnya residu tersebut berdistribusi normal dengan nilai tengah nol dan varians konstan. Jika residu bersifat white noise maka residu hanya merupakan suatu proses gangguan kecil yang tidak perlu diperhatikan. Hal ini dapat dilihat dari nilai Q Box-Pierce <

χ 2 tabel dan koefisien autokorelasi dan autokorelasi parsial residu yang tidak berbeda nyata dari nol.

2.6 Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial Fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial populasi dapat di estimasi dengan menghitung fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial sampel yang biasa disebut dengan fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial contoh. Fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial dapat digunakan untuk mengidentifikasi model box-jenkins dengan melihat prilaku dari kedua fungsi tersebut.

2.6.1

Fungsi Autokorelasi

Koefisien autokorelasi merupakan derajat hubungan antara Yt dan Yt − k . Menurut Spyros Makridakis, Steven C. Wheelwright dan Victor E. McGee dengan persamaan :

∑ (Y n−k

rk =

t =1

t

)(

− Y Yt + k − Y

∑ (Y n

t =1

t

−Y

) (2-15)

)

2

Dengan :

rk

= Koefisien autokorelasi

Yt

= Data actual pada periode t

Y

= Nilai tengah (mean) dari data aktual

Yt + k

= Data aktual pada periode t dengan time lag (ketertinggalan) k

Nilai SE (Standart Error) dari rk adalah :


SE (rk ) =

1

(2-16)

n

Dengan :

rk


n

= Periode musiman

Koefisien autokorelasi dari data acak mempunyai distribusi sampling yang mendekati kurva normal baku dengan nilai tengah (mean) nol dan kesalahan standar

1

. Suatu deret bersifat

n acak

apabila

koefisien

korelasinya

berada

dalam

batas

interval

-

Z α SE (rk ) ≤ rk ≤ Z α SE (rk ) . 2

2

Fungsi autokorelasi dapat digunakan untuk pendugaan parameter model ARIMA. Makridakis (1991) menyatakan bahwa persamaan autokorelasi untuk proses MA(q) adalah sebagai berikut :

ρk =

− θ k + θ1θ k +1 + ... + θ q − k θ q 1 + θ12 + θ 22 + ... + θ q2

; k = 1,2,....., q

(2-17)

0;k=q Dengan :

ρk

= Nilai teoritis

k =q

= ketertinggalan waktu (time lag)

Proses rataan bergerak berordo q mempunyai nilai nol untuk lag lebih dari q. Karena nilai teoritis

ρ k tidak diketahui, maka nilai taksiran pendahuluan dari koefisien

θ1 ,θ 2 ,θ 3 ,.....,θ q dapat diperoleh dengan mensubstitusi autokorelasi empiris rk .

2.6.2

Fungsi Autokorelasi Parsial Koefisien autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan antara Yt

dan Yt − k , apabila pengaruh dari time lag 1,2,3,…,k-1 dianggap terpisah. Dalam analisa deret


berkala koefisien autokorelasi parsial berguna untuk membantu menetapkan model ARIMA yang tepat untuk peramalan. Koefisien

autokorelasi

parsial

berorde

m

didefenisikan

sebagai

koefisien

autoregressive terakhir dari model AR(m). Nilai koefisien autokorelasi parsial dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut :

Yt = φ k1Yt − k + ... + φ kk Yt − k + et

(2-18)

Dengan :

Yt

= Data aktual

φk

= Parameter autoregressive ke-k

Yt − k

= Nilai keterlambatan pada saat k periode

et

= Kesalahan ramalan

2.7 Pemeriksaan Ketepatan Model Setelah berhasil menaksir nilai-nilai parameter, langkah selanjutnya adalah menguji apakah model yang didefenisikan telah tepat. Untuk itu dilakukan pemeriksaan terhadap : 2.7.1

Nilai Sisaan (Residu) Model yang telah ditetapkan akan memperlihatkan perbedaan residu atau kesalahan

antara nilai-nilai data deret waktu dan nilai-nilai estimasi dari model sangat kecil atau tidak berarti. Kesalahan ramalan dapat diperoleh dari persamaan berikut :

et = Yt − Yt (h)

(2-19)

Dengan :

et

= Kesalahan ramalan

Yt

= Data aktual

Yt (h) = Nilai ramalan


et

= Kesalahan ramalan

Dari nilai-nilai kesalahan dapat diperoleh koefisien autokorelasi residu. Jika tidak terdapat pola data yang secara nyata berbeda dari nol, sehingga kesalahan diasumsikan menjadi acakan atau tidak perlu diperhatikan maka model dianggap cukup tepat.

2.7.1.1 Pemeriksaan Kesalahan Standar Residu Rumus kesalahan standar untuk memeriksa apakah rk (e) tertentu secara nyata berbeda dari nol adalah :

SE [re (k )] =

1

(2-20)

n

Dengan :

rk


n

= Periode musiman

Koefisien autokorelasi dari data random akan mempunyai distribusi sampling yang mendekati kurva normal baku dengan nilai tengah nol dan kesalahan standar

1

, sehingga

n untuk menetapkan apakah rk (e) berasal dari populasi yang mempunyai nilai autokorelasi kesalahan nol pada time lag k, dilakukan pengujian apakah rk (e) dengan tingkat kepercayaan 95% terletak dalam batas interval yang telah ditentukan dengan menggunakan persamaan :

 1   1  − 1,96  ≤ rk ≤ 1,96   n  n

(2-21)

Dengan : n

= Jumlah sampel

rk =

koefisien autokorelasi


2.7.1.2 Statistik Box-Pierce Untuk memeriksa apakah autokorelasi nilai-nilai sisaan (residu) berpola acakan (bersifat white noise), digunakan statistik Box-Pierce Sebagai berikut : m

Q = n∑ rk2 (e)

(2-22)

k =1

Dengan :

Q

= Hasil perhitungan statistik Box-Pierce

m

= Jumlah autokorelasi residu (jumlah lag)

n

= N – d – SD

N

= Jumlah anggota sampel

d

= Ordo pembedaan bukan musiman

D

= Ordo pembedaan musiman

S

= Jumlah periode per musim

rk (e) = Koefisien autokorelasi residu pada lag – k Jika model cukup tepat, maka statistik Q akan berdistribusi χ 2 dengan m-p-q-P-Q derajat kebebasan, dengan p,q adalah jumlah koefisien autoregressive serta moving-average (rataan-bergerak) bukan musiman sedangkan P , Q adalah jumlah koefisien autoregressive serta moving-average (rataan-bergerak) musiman. Pengujian hipotesis adalah tolak H 0 . Bahwa residu bersifat white noise jika nilai statistik Q χ 2 yang diperoleh dari tabel.

2.7.2

Overfitting Model ARIMA Langkah pemeriksaan ketepatan model selanjutnya adalah overfitting model ARIMA

yang telah ditetapkan. Overfitting dilakukan dengan menambahkan parameter yang diestimasi pada model yang telah ditetapkan. Nilai-nilai statistic yang telah ditetapkan untuk melihat kcocokan dari model yang sedang dipelajari. Perbandingan ini dimaksudkan untuk meyakini bahwa model yang ditetapkan adalah model yang tepat.


2.8 Peramalan Dengan Model ARIMA Box-Jenkins Setelah parameter-parameter model ARIMA diestimasi, maka langkah selanjutnya adalah menggunkana model tersebut untuk peramalan. Untuk tujuan ilustrasi, tetapkan model ARIMA (1,1,1). Agar dapat digunakan, maka model tersebut dikembangkan dalam bentuk persamaan regresi biasa, yaitu :

Yt = Yt −1 + φ1Yt −1 − φ1Yt − 2 + δ + et − θ1et −1

(2-23)

Dengan :

Yt

= Data aktual

Yt −1

= Nilai keterlambatan pertama

φ1

= Parameter autoregressive ke-i

δ

= Konstanta

et


θ1


et −1

= Sisaan (residu) ke-1

Untuk meramalkan satu periode kedepan yaitu Yt (1) , maka ditambahkan satu angka indeks yang menunjukkan waktu, yaitu :

Yt +1 = Yt + φ1Yt − φ1Yt −1 + δ + et +1 − θ1et

(2-24)

Dengan :

Yt +1

= Nilai peramalan satu periode ke depan

Yt

= Data aktual

Yt −1

= Nilai keterlambatan pertama

φ1


δ

= Konstanta


et


θ1


et +1

= Sisaan (residu) satu periode kedepan

Untuk meramalkan h periode kedepan yaitu Yt (h) maka persamaan menjadi :

Yt + h = Yt −1+ h + φ1Yt −1+ h − φ1Yt − 2+ h + δ + et + h − θ1et −1+ h

(2-25)

Dengan :

Yt + h

= Nilai peramalan h periode kedepan

Yt −1+ h = Nilai periode keterlambatan pertama saat h periode kedepan

φ1


δ

= Konstanta

et + h

= Nilai sisaan (residu) peramalan h periode kedepan

et −1+ h = Nilai sisaan (residu) keterlambatan pertama saat h periode kedepan Untuk mengetahui ketepatan ramalan ini dapat dihitung nilai MSE dan MAPE yang merupakan ukuran ketepatan ramalan. 1. MSE (Mean Square Error) 2

1 t MSE = ∑ [Yt − Yt (h)] T t =1

(2-26)

Dengan :

Yt

= Data aktual

Yt (h) = Data hasil ramalan T

= Banyak sistem (residu) 2. MAPE (Mean Absolute Presentase Error)


MAPE =

1 k  Yt − Yt (h)  ∑  Y  × 100% L t =1  t 

(2-27)

Dengan :

Yt

= Data aktual

Yt (h) = Data hasil ramalan I

= Banyak periode ramalan


( α = 0, 05 ) rumus yang digunakan untuk menentukan jumlah anggota sampel adalah:

Recommend Documents