Zuzana Došlá, Petr Liška. Matematika. pro nematematické obory. s aplikacemi v přírodních a technických vědách. Armstrong

w w w . g r a d a . c z

Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 170 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 401, fax: +420 234 264 400 e-mail: [email protected]

Matematika pro nematematické obory z

x

Armstrong

Dále doporučujeme:

pro nematematické obory

Kniha přirozeně navazuje na středoškolskou matematiku a obsahuje řadu řešených matematických úloh a aplikací v přírodních a technických vědách.

MATEMATIKA

Objasňuje tato témata: diferenciální a integrální počet funkcí jedné i více proměnných, posloupnosti a nekonečné řady, diferenciální rovnice prvního a druhého řádu a křivkový integrál. Z lineární algebry se věnuje tématům: matice, determinanty a systémy lineárních rovnic.

Z. Došlá P.Michael Liška

Publikace je určená studentům vysokých škol zejména přírodovědného, technického a ekonomického zaměření a obecně všem zájemcům o základy matematické analýzy a lineární algebry.

Zuzana Došlá, Petr Liška

y

s aplikacemi v přírodních a technických vědách

Zuzana Došlá, Petr Liška

Matematika pro nematematické obory z

x

y

s aplikacemi v přírodních a technických vědách

Grada Publishing

Upozornění pro čtenáře a uživatele této knihy Všechna práva vyhrazena. Žádná část této tištěné či elektronické knihy nesmí být reprodukována a šířena v papírové, elektronické či jiné podobě bez předchozího písemného souhlasu nakladatele. Neoprávněné užití této knihy bude trestně stíháno. prof. RNDr. Zuzana Došlá, DSc. Mgr. Petr Liška

Matematika pro nematematické obory s aplikacemi v přírodních a technických vědách Tiráž tištěné publikace: Kniha je monografie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 170 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 401, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou 5655. publikaci Odborná recenze: doc. RNDr. Jan Čermák, CSc. Vydání odborné knihy schválila Vědecká redakce nakladatelství Grada Publishing, a.s. Odpovědný redaktor Petr Somogyi Grafická úprava a sazba Mgr. Petr Liška Počet stran 304 První vydání, Praha 2014 Vytiskly Tiskárny Havlíčkův Brod, a.s. c Grada Publishing, a.s., 2014

c Mgr. Petr Liška Cover Illustration ISBN 978-80-247-5322-5 Elektronické publikace: ISBN 978-80-247-9206-4 (ve formátu PDF)

Obsah Předmluva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1 Lineární algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Systémy lineárních rovnic a matice . . . . . . . . . . . 1.2 Hodnost matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Gaussova eliminační metoda . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Determinant matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Vlastní čísla a vlastní vektory . . . . . . . . . . . . . . Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

11 11 16 21 25 28 29

2 Funkce jedné proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Pojem funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Polynomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Racionální lomené funkce . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Goniometrické a cyklometrické funkce . . . . . . . . Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

31 31 37 41 47 51

3 Limita, derivace a průběh funkce 3.1 Limita funkce . . . . . . . . . . . 3.2 Spojitost funkce . . . . . . . . . . 3.3 Derivace funkce . . . . . . . . . . 3.4 Extrémy funkce . . . . . . . . . . 3.5 L’Hospitalovo pravidlo . . . . . . 3.6 Konvexnost a konkávnost funkce 3.7 Asymptoty funkce . . . . . . . . 3.8 Průběh funkce . . . . . . . . . . . Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

53 54 59 60 66 75 78 79 81 92

4 Neurčitý integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Primitivní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Základní integrační metody . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Integrace racionální lomené funkce . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. 97 . 97 . 102 . 106

5

6

Matematika pro nematematické obory 4.4 Speciální integrační metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5 Určitý integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Definice a základní vlastnosti určitého integrálu . . . . 5.2 Metoda per partes a substituce pro určité integrály . . 5.3 Geometrické aplikace určitého integrálu . . . . . . . . 5.4 Nevlastní integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

117 117 122 123 128 134

6 Aproximace a interpolace . . 6.1 Diferenciál funkce . . . . . . 6.2 Lagrangeův polynom . . . . 6.3 Metoda nejmenších čtverců Cvičení . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

135 135 138 141 142

7 Nekonečné řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Číselné řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Kritéria konvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Pravidla pro počítání s číselnými řadami . . . . . . . 7.5 Mocninné řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Fourierovy řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Některé aplikace nekonečných řad . . . . . . . . . . . Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

143 143 144 147 151 153 159 164 166

8 Diferenciální rovnice prvního řádu . . . . . . . . . . 8.1 Co jsou diferenciální rovnice . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Rovnice se separovanými proměnnými . . . . . . . . 8.3 Lineární diferenciální rovnice . . . . . . . . . . . . . 8.4 Numerické řešení počáteční úlohy . . . . . . . . . . . 8.5 Aplikace diferenciálních rovnic prvního řádu . . . . . Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

167 167 170 173 179 181 187

9 Diferenciální rovnice druhého řádu 9.1 Homogenní rovnice . . . . . . . . . 9.2 Nehomogenní rovnice . . . . . . . . 9.3 Okrajová úloha . . . . . . . . . . . Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

189 190 195 201 201

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 Funkce více proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 10.1 Funkce a její definiční obor a graf . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 10.2 Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

7

Obsah

10.3 Spojitost funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 10.4 Vektorové funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 11 Parciální derivace a extrémy . 11.1 Parciální derivace . . . . . . . 11.2 Gradient, divergence a rotace 11.3 Diferenciál funkce . . . . . . . 11.4 Kmenová funkce . . . . . . . 11.5 Lokální extrémy . . . . . . . . 11.6 Absolutní extrémy . . . . . . Cvičení . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

215 215 219 223 225 226 231 235

12 Dvojný a trojný integrál . . . . . . 12.1 Co je dvojný integrál . . . . . . . 12.2 Fubiniho věta pro dvojný integrál 12.3 Transformace dvojného integrálu 12.4 Aplikace dvojného integrálu . . . 12.5 Fubiniho věta pro trojný integrál 12.6 Transformace trojného integrálu . Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

239 239 242 247 251 255 259 265

13 Křivkový integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1 Parametrické rovnice křivek . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Křivkový integrál prvního druhu . . . . . . . . . . . . 13.3 Křivkový integrál druhého druhu . . . . . . . . . . . . 13.4 Nezávislost integrálu na integrační cestě . . . . . . . . 13.5 Greenova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

267 267 270 272 275 278 279

14 Autonomní systémy v rovině 14.1 Základní pojmy . . . . . . . 14.2 Lineární autonomní systémy Cvičení . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

281 281 283 290

. . v .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . rovině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 Rejstřík . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

8

Matematika pro nematematické obory

O autorech prof. RNDr. Zuzana Došlá, DSc. Vystudovala obor Matematika na Přírodovědecké fakultě Masarykovy univerzity v Brně (dříve Univerzita J. E. Purkyně), kde také od roku 1981 působí jako vysokoškolský pedagog. Od roku 2005 je profesorkou matematiky v oboru Matematika – Matematická analýza. Ve své vědecko-výzkumné činnosti se zaměřuje na studium kvalitativních vlastností obyčejných diferenciálních a diferenčních rovnic. Je autorkou více než stovky odborných vědeckých prací, jedné zahraniční monografie, několika skript a multimediálních textů. Navázala bohatou mezinárodní spolupráci, zejména s italskými matematiky, a své výsledky publikuje v mezinárodních vědeckých časopisech. Jako pedagog se zaměřuje na výuku matematické analýzy pro učitelské studium a výuku matematiky pro nematematické obory. Dlouhodobě se podílí na popularizaci matematiky a přírodních věd. Je školitelkou doktorandů a členkou redakčních rad několika mezinárodních časopisů. Mgr. Petr Liška Je absolventem oboru Učitelství matematiky a deskriptivní geometrie pro střední školy na Masarykově univerzitě v Brně, kde v současnosti pokračuje v doktorském studiu Matematické analýzy a věnuje se kvalitativním vlastnostem obyčejných diferenciálních rovnic se zpožděním. Vyučuje matematiku pro chemiky a základy matematiky. Od roku 2010 působí jako asistent na Ústavu matematiky Lesnické a dřevařské fakulty Mendelovy univerzity v Brně, kde vyučuje základní kurzy matematiky a konstruktivní geometrie.

Předmluva Žádné lidské zkoumání nemůže být nazváno opravdovou vědou, pokud ho nemůžeme dokázat matematicky. Leonardo da Vinci

Tato učebnice obsahuje základy matematiky v rozsahu, který je obvykle probírán v prvních dvou semestrech bakalářského studia nematematických oborů. Jde o základy lineární algebry, diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více proměnných, nekonečné řady, diferenciální rovnice, křivkový integrál a autonomní systémy. Matematika bývá označována za královnu věd. Vyznačuje se nezpochybnitelností výsledků a nejvyšší mírou abstrakce a přesnosti, její krása spočívá v logické výstavbě. Při psaní této učebnice jsme si kladli následující otázky: Může být matematika stejně krásná jako hudba? Jak ukázat matematiku v tomto světle studentům, jejichž specializací matematika není? Cílem učebnice není naučit čtenáře jen derivovat a integrovat, ale vést jej také k analytickému myšlení, schopnosti definovat pojmy a formulovat problémy a tvrzení. Přitom jsme hledali vhodný poměr mezi matematickou přesností a srozumitelností tak, aby byla přístupná širokému okruhu čtenářů. V neposlední řadě jsme chtěli ukázat, že matematika nás obklopuje i v každodenním životě. V každé kapitole je nejprve uveden matematický aparát, kdy formou definic zavedeme nové pojmy a formou matematických vět popíšeme vztahy mezi nimi. Každá matematická věta má předpoklady, za kterých dané tvrzení platí. Změníme-li předpoklady, tvrzení nemusí zůstat v platnosti, na což se občas v aplikacích zapomíná. Každou matematickou větu lze zcela exaktně dokázat, avšak důkazy vzhledem k rozsahu a zaměření textu nejsou uvedeny. Pochopení matematických pojmů a algoritmů je ilustrováno na velkém počtu řešených příkladů, následně jsou předvedeny aplikace v konkrétních úlohách s přírodovědnou a technickou tematikou. 9

10


Další zajímavé aplikace matematiky najdeme v medicíně, ekonomii, v humanitních a společenských vědách. Tyto aplikace jsme pro nedostatek místa nemohli zařadit, viz např. [2], [11], [17] nebo [21]. Závěrem bychom chtěli popřát všem studentům a čtenářům, aby se pro ně matematika stala zajímavou a inspirativní součástí jejich vědního oboru. Brno, červenec 2014

Autoři

Kapitola 1

Lineární algebra Obecně se dá říci, že lineární algebra je část matematiky, která se věnuje vektorovým prostorům a lineárním transformacím těchto prostorů. Jedná se ovšem o vysoce abstraktní pojmy a pokud bychom je chtěli poctivě zavést a studovat do všech detailů, museli bychom lineární algebře věnovat celou knihu. V této kapitole se tedy zaměříme jen na nejdůležitější objekty a metody, se kterými lineární algebra pracuje. Jednou ze základních úloh lineární algebry je řešení systémů lineárních rovnic. K těmto systémům vede mnoho úloh z praxe (modelování v ekonomii, vyvažování chemických reakcí, popisy toků v sítích atd.) a navíc jsou užitečným nástrojem i v jiných odvětvích matematiky. Naučíme se tedy jednu z metod, jak takové systémy řešit – tzv. Gaussovu eliminační metodu. K tomuto účelu zavedeme základní pojmy lineární algebry: matice a hodnost matice. Dále se seznámíme s pojmem determinant matice, který budeme potřebovat v dalších kapitolách, a zavedeme tzv. vlastní čísla, jež později použijeme při řešení tzv. dynamických systémů.

1.1

Systémy lineárních rovnic a matice

Již na střední škole se řeší systém dvou lineárních rovnic ax + by = c dx + ey = f pro neznámé x, y, kde a, b, c, d, e, f jsou nějaká daná reálná čísla. Tento systém se dá řešit například sčítací metodou, tj. postupem, kdy jednu rovnici vynásobíme vhodným číslem a sečteme s druhou rovnicí tak, abychom vyloučili jednu neznámou. Tento systém můžeme interpretovat i geometricky. Každá rovnice představuje přímku v rovině a najít řešení znamená určit jejich průsečík. Dvě přímky 11

12


mohou mít buď jeden průsečík (pak má systém jedno řešení), nebo splývají (systém má nekonečně mnoho řešení), nebo nemají žádný průsečík, tj. přímky jsou rovnoběžné (systém nemá žádné řešení). Příklad 1.1. a) Systém dvou rovnic x+y =2 x−y =0

(1.1)

má právě jedno řešení, kterým je x = 1, y = 1. b) Systém x+ y =0 2x + 2y = 0

(1.2)

má nekonečně mnoho řešení. Není možné si ovšem představit, že když má tento systém nekonečně mnoho řešení, pak libovolná dvojice čísel je řešením systému. Těchto nekonečně mnoho řešení je například ve tvaru (t, −t), kde t je libovolné reálné číslo. c) Naopak systém x+ y =1 2x + 2y = 5

(1.3)

nemá žádné řešení. Podobné příklady bychom mohli uvést pro systémy více lineárních rovnic o více proměnných, přičemž naše představivost by byla limitována rovnicemi o třech neznámých, které by zastupovaly roviny v prostoru. Obecně můžeme uvažovat o libovolném počtu rovnic a neznámých, přitom se počet rovnic nemusí rovnat počtu neznámých. Definice 1.2. Systémem k lineárních rovnic o n neznámých x1 , x2 , . . . , xn rozumíme soustavu rovnic a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2

(1.4)

........................... ... ak1 x1 + ak2 x2 + · · · + akn xn = bk . Je-li b1 = b2 = · · · = bk = 0, nazývá se takovýto systém homogenní. Řešením systému (1.4) je každá uspořádaná n-tice (t1 , t2 , . . . , tn ) takových čísel t1 , t2 ,. . . , tn , která dané soustavě vyhovuje.

13

Lineární algebra

Obecně (tj. nezávisle na počtu lineárních rovnic a počtu neznámých) jsou možné tři případy. 1. Systém rovnic má právě jedno řešení. 2. Systém rovnic má nekonečně mnoho řešení. 3. Systém rovnic nemá žádné řešení. Základní otázkou tedy je, jak poznáme, který z těchto případů nastane? Odpověď úzce souvisí s pojmy matice a hodnost matice. Definice 1.3. Matice je tabulka čísel. z m řádků a n sloupců, označujeme ji  a11  a21  A = (aij ) =  .  ..

Je-li tato matice (tabulka) sestavená a12 a22 .. .

... ... .. .

am1 am2 . . .

 a1n a2n   ..  . . 

amn

Říkáme, že A je matice typu m × n, čísla aij nazýváme prvky matice. Matici typu n × 1 nazýváme sloupcový vektor a matici typu 1 × n řádkový vektor, stručně vektor . Prvky matice mohou být i některé jiné matematické objekty, např. funkce. S takovými maticemi se setkáme v kapitolách o diferenciálních rovnicích a vícerozměrných integrálech. Systém rovnic (1.4) můžeme reprezentovat následujícími maticemi a ty pak studovat místo něj. Maticí systému (1.4) nazýváme matici   a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n    A= . .. ..  . .  . . .  ak1 ak2 . . .

akn

Rozšířenou maticí systému (1.4) nazýváme matici   a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2     .. ..  . .. ..  . . . . ak1 ak2 . . .

akn bk

Ještě než se ovšem dostaneme ke studiu našeho systému, seznámíme se s maticemi podrobněji.

14


Řekneme, že dvě matice A, B téhož typu m × n jsou si rovny, jestliže jsou si rovny všechny sobě odpovídající prvky těchto matic, tj. aij = bij

pro všechny indexy i, j.

Je-li m = n, nazýváme matici A čtvercovou maticí a číslo n řádem této matice A. Prvky a11 , a22 , . . . ann tvoří hlavní diagonálu matice A. Čtvercová matice, která má na hlavní diagonále samé jedničky a jinde má všechny prvky nulové, se nazývá jednotková matice a označujeme ji E. Jsou-li všechny prvky aij rovny nule, pak se A nazývá nulová matice. S maticemi můžeme provádět následující operace. Nechť k 6= 0 je reálné číslo. Výsledkem násobení matice A číslem k je matice C, jejíž prvky jsou tvaru cij = kaij . Tedy 

a11  a21  C =k·A=k· .  ..

a12 a22 .. .

... ... .. .

am1 am2 . . .

  a1n ka11   a2n   ka21 ..  =  .. .   .

amn

ka12 ka22 .. .

... ... .. .

kam1 kam2 . . .

 ka1n ka2n   ..  . . 

kamn

Nechť A, B jsou matice téhož typu m × n. Součtem matic A, B nazýváme matici C, jejíž prvky jsou cij = aij + bij . Tedy 

a11  .. C =A+B =  .

... .. . ...

  b11 a1n ..  +  .. .   .

am1 amn  a11 + b11 . . .  .. .. =  . . am1 + bm1 . . .

bm1

... .. . ... 

a1n + b1n  .. . . amn + bmn

 b1n ..  = . 

bmn

Nechť A je matice typu m × n a B je matice typu n × p. Součinem matic A a B (v tomto pořadí) nazýváme matici C, jejíž prvky jsou cij = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . ain bnj =

n X

aik bkj .

k=1

Prvek cij tedy vznikne tak, že vezmeme i-tý řádek matice A a j-tý sloupec matice B, vynásobíme sobě odpovídající prvky a vše sečteme.

15

Lineární algebra

Poznámka 1.4. i) Sčítat lze pouze matice stejného typu. Pro matice různého typu není součet definován. ii) Operace násobení je definována pouze pro případ „m × n krát n × p“ . Z toho také vyplývá, že obecně neplatí rovnost AB = BA. Součin BA totiž vůbec nemusí být definován, přestože součin AB provést lze, viz Příklad 1.5. Nicméně i v případě, kdy lze násobit BA, rovnost AB = BA obecně neplatí. Příklad 1.5. Proveďte následující operace:

a)

1 −3

2 4

+

2 −1 −1 −2

,

b)

3 0 1 5 4 2



1 3  · 1 1 3 −1

 2 0 . 2

Řešení. a) Součet matic je definován pouze pro matice stejného typu, přičemž pak sčítáme odpovídající prvky obou matic. V našem případě dostaneme: 3 1 1+2 2−1 2 −1 1 2 . = = + −4 2 −3 − 1 4−2 −1 −2 −3 4 b) Připomeňme, že součin dvou matic je definován pouze v případě, že první z nich má tolik sloupců, kolik řádků má druhá. V našem případě je součin definován a platí: =

3 0 1 5 4 2



1 3  · 1 1 3 −1

 2 0 = 2

3 · 1 + 0 · 1 + 1 · 3 3 · 3 + 0 · 1 + 1 · (−1) 3 · 2 + 0 · 0 + 1 · 2 5 · 1 + 4 · 1 + 2 · 3 5 · 3 + 4 · 1 + 2 · (−1) 5 · 2 + 4 · 0 + 2 · 2 6 8 8 . = 15 17 14

=

Maticemi nemusíme jen reprezentovat koeficienty lineárních rovnic, můžeme jimi celé systémy rovnou zapisovat, jak ukazuje následující příklad. Příklad 1.6. Systém rovnic (1.1) lze maticově zapsat pomocí matice typu 2×2, sloupcového vektoru, jehož prvky jsou neznámé x, y, a sloupcového vektoru, jehož prvky jsou čísla 2, 0 z pravé strany rovnic: 2 x 1 1 . = 0 y 1 −1

16


Podobně systémy rovnic (1.2) a (1.3) jsou tvaru 1 x 1 1 0 x 1 1 . = a = 5 y 2 2 0 y 2 2 Systém (1.4) lze psát v maticovém tvaru

A · X = B,

kde

 x1   X =  ...  , 

xn

1.2

  b1  ..  B =  . . bn

Hodnost matice

Vraťme se nyní k otázce, který z možných případů při řešení lineárního systému rovnic nastane, tj. jak můžeme snadno rozlišit, kdy má systém právě jedno řešení, kdy nekonečně mnoho řešení a kdy žádné? Abychom na tuto otázku mohli odpovědět, musíme zavést pojem hodnost matice. Připomeňme, že vektor je uspořádaná n-tice čísel nebo též matice typu 1 × n. Součin čísla s vektorem se provádí po složkách, tj. stejně, jako by se prováděl součin čísla s maticí typu 1 × n. Podobně je součet dvou vektorů totéž jako součet dvou matic typu 1×n. Nulovým vektorem o rozumíme vektor složený se samých nul, tj. o = (0, 0, . . . , 0). Definice 1.7. Řekneme, že vektory u1 , . . . , un jsou lineárně nezávislé, jestliže z rovnosti α1 u 1 + · · · + αn u n = o plyne α1 = · · · = αn = 0. V opačném případě, tj. když existují čísla α1 , . . . , αn , z nichž alespoň jedno je různé od nuly, tak, že α1 u 1 + · · · + αn u n = o , říkáme, že vektory u1 , . . . , un jsou lineárně závislé. Například vektory u1 = (1, 2) a u2 = (0, 3) jsou lineárně nezávislé. Vytvoříme-li totiž lineární kombinaci těchto vektorů α · (1, 2) + β · (0, 3) = (α, 2α) + (0, 3β) = (α, 2α + 3β) , dostaneme vektor, který položíme roven nulovému vektoru, tj. (α, 2α + 3β) = (0, 0) . Odtud plyne, že α = 0, 2α + 3β = 0, a proto také β = 0.

17

Lineární algebra

Naopak vektory u1 = (1, 2) a u2 = (2, 4) jsou lineárně závislé, protože například platí, že 2 · (1, 2) − 1 · (2, 4) = (0, 0) . Nyní uvažujme matici A. Řádky matice můžeme chápat jako vektory a lineární nezávislost řádků matice pak znamená lineární nezávislost vektorů. Pomocí tohoto pojmu definujeme hodnost matice. Definice 1.8. Hodnost matice A je číslo, které je rovno maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků. Označujeme ji h(A). Je-li A čtvercová matice typu n × n, jejíž hodnost je rovna n, nazýváme ji regulární maticí. Je-li h(A) < n, nazývá se taková matice singulární. Jak určíme maximální počet lineárně nezávislých řádků matice? Je zřejmé, že v nulové matici neexistuje žádný lineárně nezávislý řádek. Hodnost nulové matice je tedy rovna nule. V dalším proto uvažujme pouze nenulové matice, tj. předpokládejme, že je aspoň jeden prvek této matice nenulový. U matice 2 × 2 snadno poznáme, že jsou její řádky lineárně závislé. Nenulová matice A typu 2 × 2 má hodnost jedna, pokud je druhý řádek násobkem prvního řádku, tj. matice je tvaru a11 a12 a11 a12 , = A= ka11 ka12 a21 a22 kde k je nějaké reálné číslo. V opačném případě má matice A hodnost dva. Příklad 1.9. V příkladě 1.6 jsme viděli, že levé strany systémů (1.2) a (1.3) lze maticově zapsat pomocí stejné matice 1 1 . 2 2 Hodnost této matice je rovna jedné (lineární závislost řádků je zřejmá). Naproti tomu levé strany systému (1.1) jsme zapsali pomocí matice 1 1 . 1 −1 Hodnost této matice je rovna dvěma (druhý řádek není násobkem prvního řádku). Zkoumání hodnosti matice vyššího typu než 2 × 2 je již trochu složitější. K vyšetřování lineární závislosti, resp. nezávislosti řádků matice využijeme následující věty.

18

Matematika pro nematematické obory *

Věta 1.10. Hodnost matice se nezmění, jestliže: 1. zaměníme pořadí řádků, 2. vynásobíme libovolný řádek nenulovým číslem, 3. přičteme k danému řádku (nebo odečteme od daného řádku) libovolný násobek jiného řádku. Úpravy z předchozí věty souhrnně nazýváme elementární řádkové úpravy. Pomocí těchto úprav převedeme matici na tzv. schodovitý tvar, ze kterého již snadno určíme hodnost matice. Definice 1.11. Řekneme, že A je matice ve schodovitém tvaru, jestliže v matici A každý nenulový řádek začíná větším počtem nul než předchozí řádek. Je-li nenulová matice A ve schodovitém tvaru, pak svým tvarem skutečně odpovídá tomuto názvu, neboť nuly v matici A tvoří jakési „schody“ . Přitom první řádek může (ale nemusí) začínat nulou (resp. nulami), druhý řádek však již musí začínat alespoň jednou nulou, třetí řádek musí začínat alespoň dvěma nulami atd. Příklad 1.12.  1  A= 0 0

Následující matice jsou ve schodovitém tvaru:      0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 , B =  0 0 0 , C =  0 0 1 0 . 0 3 0 0 0 0 0 0 0

Věta 1.13. Každou matici lze konečným počtem elementárních řádkových úprav převést do schodovitého tvaru. Věta 1.14. Hodnost matice ve schodovitém tvaru je rovna počtu jejích nenulových řádků. Příklad 1.15. Uvažujme matice z příkladu 1.12. Jejich hodnost je h(A) = 3,

h(B) = 1,

h(C) = 2.

Algoritmus (postup) převodu matice na schodovitý tvar je následující: 1. V prvním kroku převedeme matici do tvaru, kdy má na pozici (1, 1) (první řádek a první sloupec) nenulový prvek a11 a ostatní prvky v prvním sloupci jsou nulové, tj.   a11 ⋆ ⋆ . . . ⋆  0 ⋆ ⋆ . . . ⋆   ,  .. .. ..  .  . . 0

⋆ ⋆ ...

⋆

19

Lineární algebra

kde na pozici ⋆ stojí nějaké prvky (mohou být nenulové i nulové). Je-li a11 6= 0, dosáhneme tohoto tvaru například tak, že první řádek opíšeme, a ke druhému řádku přičteme vhodný násobek prvního řádku tak, aby na pozici (2, 1) vznikla nula. Podobně postupujeme s ostatními řádky. 2. V druhém kroku chceme „vytvořit“ nuly ve druhém sloupci pod prvkem ⋆ . Usilujeme tedy o tvar 

a11  0   0   .  .. 0

⋆ ⋆ 0 .. .

⋆ ... ⋆ ... ⋆ ... .. .

0

⋆ ...

 ⋆ ⋆  ⋆ .   ⋆

První dva řádky opíšeme a poté postupujeme obdobně jako v prvním kroku: od třetího řádku odečteme vhodný násobek druhého řádku, totéž pro čtvrtý řádek atd. 3. Postupnými úpravami převedeme matici na  a11 ⋆ ⋆ . . .  0 ⋆ ⋆ ...   0 0 ⋆ ...   . .. ..  .. . . 0

0 0 ...

schodovitý tvar  ⋆ ⋆  ⋆ .   ⋆

Počet nenulových řádků této matice je roven hodnosti zadané matice.

Uvedený algoritmus je názorně ilustrován v následujícím příkladě. Příklad 1.16. Určete  1 2 a)  3 2 5 4

hodnost matice:  5 b) 0 , 1



1 3 −1  2 −1 3 1 10 −6

 1 2 . 1

Řešení. a) Připomeňme, že v prvním kroku se snažíme získat pod prvkem na pozici (1, 1) samé nuly. První řádek proto opíšeme. Od druhého řádku odečteme trojnásobek prvního řádku a od třetího řádku odečteme pětinásobek prvního řádku. Dostaneme     1 2 5 1 2 5  3 2 0  ∼  0 −4 −15  . 5 4 1 0 −6 −24

20

Matematika pro nematematické obory V druhém kroku usilujeme o samé nuly pod prvkem na pozici (2, 2). Opíšeme proto první dva řádky a od čtyřnásobku třetího odečteme šestinásobek druhého řádku, dostáváme tak matici ve schodovém tvaru 

   1 2 5 1 2 5  0 −4 −15  ∼  0 −4 −15  . 0 −6 −24 0 0 −6

Počet nenulových řádků je tři, a proto i hodnost dané matice je tři. b) Postupujeme analogicky jako v předchozím případě: 

1 3 −1  2 −1 3 1 10 −6

  1 1 3 −1   ∼ 2 0 −7 5 1 0 7 −5

  1 1 3 −1   ∼ 0 0 −7 5 0 0 0 0

 1 0 . 0

Počet nenulových řádků výsledné schodovité matice je dva, a proto je i hodnost zkoumané matice rovna dvěma.

Nyní si konečně ukážeme, jak ze znalosti hodnosti matice systému a hodnosti rozšířené matice systému určíme počet řešení systému (1.4) (tj. zda má systém jediné řešení, nekonečně mnoho řešení, nebo nemá žádné řešení). Podmínku, kdy má systém (1.4) řešení, udává následující věta. Věta 1.17 (Frobeniova věta). Systém lineárních rovnic má řešení, právě když je hodnost matice systému rovna hodnosti rozšířené matice systému. V případě, jsou-li si hodnosti obou matic rovny, zbývá ještě zjistit, zda má systém pouze jedno, nebo nekonečně mnoho řešení. O tom rozhodneme na základě následujících dvou vět. Věta 1.18. Systém k lineárních rovnic o n neznámých má jediné řešení, jestliže je hodnost h matice systému rovna hodnosti rozšířené matice systému a navíc je rovna počtu neznámých n, tedy h = n. Z této věty plyne, že jediné řešení může mít pouze systém, kde k ≥ n. Je-li totiž k < n, pak h(A) ≤ k < n (počet lineárně nezávislých řádků je zřejmě menší nebo roven počtu všech řádků) a situace popsaná ve větě 1.18 nemůže nastat. Slovy řečeno, jediné řešení může mít pouze systém, ve kterém je alespoň tolik rovnic, kolik neznámých. Věta 1.19. Systém k lineárních rovnic o n neznámých má nekonečně mnoho řešení, jestliže se hodnost h matice systému rovná hodnosti rozšířené matice a navíc je tato hodnost menší než počet neznámých, tj. h < n. V tomto případě lze n − h neznámých volit libovolně.

21

Lineární algebra

Homogenní systém rovnic (tj. na pravé straně systému jsou samé nuly) má vždy alespoň jedno řešení, a to tzv. triviální řešení (x1 , . . . , xn ) = (0, . . . , 0). Aby měl homogenní systém netriviální řešení (a tedy nekonečně mnoho řešení), musí podle věty 1.19 platit h < n. Příklad 1.20. Uvažujme systémy z příkladu 1.1. a) Rozšířená matice systému (1.1) je

1 1 1 −1

2 0

.

Hodnost této rozšířené matice je stejná jako hodnost matice systému, a to dvě, což je zároveň také počet neznámých. To odpovídá situaci popsané ve větě 1.18 a podle ní tedy má systém (1.1) právě jedno řešení. b) Rozšířená matice systému (1.2) je

1 1 2 2

0 0

.

Hodnost této rozšířené matice je stejná jako hodnost matice systému, a to jedna, což je číslo menší než počet neznámých. To odpovídá situaci popsané ve větě 1.19, a proto má systém (1.2) nekonečně mnoho řešení. c) Rozšířená matice systému (1.3) je

1 1 2 2

1 5

.

Hodnost této rozšířené matice je dvě, ale hodnost matice systému je jedna. V tomto případě nemá podle Frobeniovy věty 1.17 systém (1.3) žádné řešení.

1.3

Gaussova eliminační metoda

Již známe odpověď na otázku, kolik řešení má systém lineárních rovnic. Zbývá tedy nalézt řešení takovéhoto systému. Základní metodou řešení systému lineárních rovnic je tzv. Gaussova eliminační metoda. Tato metoda je založena na tom, že řešení systému se nezmění, jestliže: 1. zaměníme pořadí rovnic, 2. vynásobíme libovolnou rovnici nenulovým číslem, 3. přičteme k dané rovnici libovolný násobek jiné rovnice.

22


Jde o stejné úpravy, které nezmění hodnost matice (věta 1.10). Proto při této metodě nepracujeme s danými rovnicemi, ale pouze s rozšířenou maticí systému. Tuto matici převedeme na schodovitý tvar (viz podkapitola 1.2). Potom postupně vypočteme jednotlivé neznámé tak, že začneme posledním řádkem schodovité matice a postupujeme až k prvnímu řádku. Celý tento postup je názorně předveden v následujících příkladech. Příklad 1.21. Řešte systém lineárních rovnic: a) x − 2y + z = 1 b) 3x1 − 2x2 − 3x3 + 4x4 −x + 3y + 2z = 0 x1 + x2 − x3 + x4 2x − y + 5z = 5 x2 + x4 x1 − x3 c)

x1 x1 4x1 −2x1

− x2 − x2 − 4x2 + 2x2

+ x3 − x4 = 2 + x3 + x4 = 0 + 4x3 = 4 − 2x3 + x4 = −3

d)

= −2 = 2 = 1 = 1

x + y − 2z = 2 2x + 2y + 3z = 3 5x + 5y + 4z = 1

Řešení. a) Rozšířená matice systému je tvaru 

1 −2  −1 3 2 −1

1 2 5

 1 0 . 5

První řádek ponecháme beze změny, k druhému přičteme první a od třetího odečteme dvojnásobek prvního. Dostaneme tak matici 

1 −2  0 1 0 3

1 3 3

 1 1 . 3

Nyní opíšeme první i druhý řádek a od třetího odečteme trojnásobek druhého. Získáme tak matici   1 −2 1 1  0 1 3 1 . 0 0 0 −6

Poslední řádek odpovídá rovnici −6z = 0, a proto z = 0. Po dosazení z = 0 do druhého rovnosti y + 3z = 1 dostaneme y = 1. Nakonec do prvního řádku dosadíme za y i z a vypočítáme x = 3. Systém má tedy jedno řešení (x, y, z) = (3, 1, 0).

23

Lineární algebra b) Napíšeme rozšířenou matici systému 

3 −2 −3  1 1 −1   0 1 0 1 0 −1

 4 −2 1 2   1 1  0 1

a obdobně jako v předchozím případě ji převedeme na schodovitý tvar 

3 −2 −3  0 −5 0   0 1 0 0 1 0

  4 −2 3 −2 −3 1 −8   ∼  0 −5 0 1 1  0 0 0 1 1

 4 −2 1 −8  . 6 −3

Vidíme, že hodnost matice systému je rovna hodnosti rozšířené matice systému, ale je menší než počet neznámých (h = 3, n = 4). Podle věty 1.19 platí, že takový systém má nekonečně mnoho řešení a je možné volit 4 − 3 = 1 neznámou (dostaneme tzv. volnou neznámou neboli parametr ). Z posledního řádku dostáváme 6x4 = −3, proto x4 = − 21 . Druhý řádek dává rovnost −5x2 +x4 = −8 a po dosazení za x4 = − 12 dostáváme x2 = 32 . Nakonec dosadíme za x2 a x4 do prvního řádku a dostaneme x1 − x3 = 1. Této rovnosti zřejmě vyhovuje nekonečně mnoho hodnot x1 , x3 . Zvolme např. x3 za volnou neznámou, tj. nechť x3 = t, t ∈ R. Zkoumaný systém rovnic má nekonečně mnoho řešení tvaru x1 = 1 + t,

3 x2 = , 2

x3 = t,

1 x4 = − , 2

kde t je libovolné reálné číslo (parametr). c) Stejně jako v předchozích případech převedeme rozšířenou matici systému na schodovitý tvar 1 −1 1 −1 2 . 0 0 0 −2 2

Opět dostáváme, že počet neznámých je větší než hodnost daného systému (h = 2, n = 4), a proto má systém nekonečně mnoho řešení. Volné neznámé jsou dvě, ovšem nemůžeme je volit úplně libovolně, jelikož z poslední rovnice plyne, že x4 = −1. Pak již na volbě nezáleží a zvolíme-li například x3 = s a x2 = t, dostaneme dosazením do první rovnice, že x1 = 1 + t − s. Řešením systému je tak čtveřice x1 = 1 + t − s, kde s, t jsou libovolná čísla.

x2 = t,

x3 = s,

x4 = −1,

24


d) Postupujme podobně jako v předchozích případech: 

1  2 5

1 −2 2 3 5 4

  2 1   ∼ 0 3 0 1

  2 1 −2 1   ∼ 0 7 −1 0 0 14 −9 0

 2 1 −2 0 7 −1  . 0 0 7

Z posledního řádku plyne, že daný systém nemá řešení, protože rovnici 0·x+0·y+0·z =7

nelze splnit. Tvar matice také ukazuje, že hodnost matice systému je rovna dvěma, ale hodnost rozšířené matice systému je rovna třem. Podle Frobeniovy věty (věta 1.17) tento systém nemá žádné řešení. Ukažme si nyní pár příkladů, kde se můžeme setkat se systémy lineárních rovnic v praxi. Aplikace 1.22 (Vyvažování chemických rovnic). Chemické rovnice popisují množství látek, které se v průběhu chemické reakce spotřebují a vytvoří. Například při hoření propanu se propan (C3 H8 ) spojuje s kyslíkem (O2 ) a vytváří oxid uhličitý (CO2 ) a vodu (H2 O) podle rovnice x1 C3 H8 + x2 O2 −→ x3 CO2 + x4 H2 O . Vyvažovat takovouto rovnici znamená nalézt celá čísla x1 , . . . , x4 tak, aby počet atomů jednotlivých prvků na jedné straně rovnice odpovídal počtu atomů na druhé straně. Systematické řešení tohoto problému vede k systému lineárních rovnic. V našem konkrétním případě máme tři rovnice (každou pro jeden zastoupený prvek v pořadí C, H, O) o čtyřech neznámých (jedna za každou sloučeninu v reakci):        3 0 1 0        x1 + x2 = x3 + x4 8 0 0 2 . 0 2 2 1 

Převedeme-li vektory u neznámých na pravé straně, dostaneme homogenní systém lineárních rovnic. Vyřešíme ji Gaussovou eliminační metodou a dostaneme řešení 1 5 3 x1 = t, x2 = t, x3 = t, x4 = t . 4 4 4 Jelikož chceme, aby bylo řešení celočíselné, zvolíme např. t = 4 (nejmenší vhodná volba) a dostaneme tak rovnici C3 H8 + 5 O2 −→ 3 CO2 + 4 H2 O .

25

Lineární algebra

Aplikace 1.23 (Správná dieta). V posledních letech nastal velký boom zájmu o zdravý životní styl a v souvislosti s ním i o správné stravování a různé diety. Základem je vždy najít správný poměr živin, vitamínů a minerálů, které člověk potřebuje. Problémem je, že každá potravina obsahuje různé množství užitečných látek. Celkem se takto sleduje na desítky položek. Pro jednoduchost si můžeme situaci ilustrovat na některých vitamínech a zelenině. Doporučené množství Vitamín Denní dávka B2 1,4 mg C 80 mg K 0,075 mg

Množství vitamínů v porci zeleniny Zelenina B2 C K Mrkev 0,059 mg 1,5 mg 0 mg Špenát 0,236 mg 9,8 mg 0,145 mg Rajče 0,148 mg 19,1 mg 0 mg

Pokud tedy chceme získat vitamíny B2 , C a K konzumací mrkve, špenátu a rajčete, dostáváme následující systém rovnic, kde každá rovnice zastupuje jeden vitamín a neznámé hrají roli počtu porcí jednotlivých druhů zeleniny: 0,059m + 0,236s +0,148r = 1,4 1,5m + 9,8s + 19,1r = 0 0,145s = 0,075 Řešení tohoto systému je m ≈ 14,7, r ≈ 2,8, s ≈ 0,5. Tedy abychom získali vitamíny B2 , C a K, museli bychom sníst skoro patnáct porcí mrkve, tři porce rajčete a půl porce špenátu. Poznamenejme, že jsme měli docela štěstí, jelikož nás zajímají pouze kladná řešení rovnice, ale ta nemáme zaručena. Není tedy jednoduché jídelníček správně složit z dostupných potravin.

1.4

Determinant matice

Důležitou charakteristikou čtvercové matice je determinant, číslo utvořené z jejích prvků. Pro typickou obecnou definici determinantu bychom potřebovali mnoho nových pojmů, uvedeme tedy tzv. rekurzivní definici. Definice 1.24. Determinant |A| čtvercové matice A = (aij ) typu 1 × 1 je číslo |A| = |a11 | = a11 . Determinant |A| čtvercové matice A = (aij ) typu n × n, n ≥ 2 je číslo |A| = a11 |A11 | − a12 |A12 | + · · · + (−1)

n+1

a1n |A1n | =

n X

(−1)j+1 a1j |A1j |,

j=1

kde A1j značí matici, která vznikla z matice A odebráním prvního řádku a j-tého sloupce.

26


Speciálně pro determinant |A| čtvercové matice A = (aij ) typu 2×2 dostáváme tzv. křížové pravidlo: a11 a 12 = a11 a22 − a12 a21 . |A| = a21 a22 Pro determinant |A| čtvercové matice A = (aij ) typu 3 × 3 můžeme použít tzv. Sarrusovo pravidlo: a11 a12 a13 |A| = a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a 31 a32 a33 −a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a33 a21 a12 . Podle předchozího tak můžeme snadno spočítat determinant matice 2 × 2: 7 8 = 7 · 2 − 8 · (−6) = 62, −6 2

a 3 × 3: 1 2 −1 2 1 1 = 1·1·2+2·1·3+2·(−1)·(−1)−3·1·(−1)−2·2·2−1·(−1)·1 = 3 −1 2 = 2 + 2 + 6 + 3 − 8 + 1 = 6.

Pro výpočet determinantů vyšších řádů můžeme využít i následujícího vztahu: n X |A| = (−1)l+k alk |Alk |, l ∈ N, 1 ≤ l ≤ n, k=1

ve kterém Alk je matice, která vznikne z matice A vypuštěním l-tého řádku a k-tého sloupce. Tento vztah vlastně říká, že matici je možné tzv. rozvinout podle libovolného řádku. Výpočet determinantu matice řádu n tak převedeme na výpočet n determinantů řádu n − 1. Podobně můžeme matici rozvinout i podle libovolného sloupce. Při praktickém výpočtu volíme k rozvoji řádek (sloupec), který obsahuje co nejvíce nul, jelikož pak nemusíme některé příslušné menší determinanty vůbec počítat. Praktický výpočet determinantu matice si ukážeme na následujícím příkladě. Příklad 1.25. Vypočtěte determinant: 2 3 4 5 0 −1 2 1 a) , 0 0 2 4 0 3 −6 0

b)

0 2 3 −2 1 −3 1 0 2 1 −1 0

0 1 1 3

.

27

Lineární algebra

Řešení. a) Jedná se o determinant čtvrtého řádu, použijeme rozvoj podle prvního sloupce. Algoritmus výpočtu je vidět z postupu, exponent členu (−1) je roven součtu řádkového a sloupcového indexu, které odpovídají pozici daného čísla. 2 3 4 5 −1 3 2 1 4 5 0 −1 2 1 2 2 4 +0·(−1)3 · 0 2 4 + 0 = 2·(−1) · 0 0 2 4 3 −6 0 3 −6 0 0 3 −6 0 3 3 4 5 4 5 +0 · (−1)4 · −1 2 1 + 0 · (−1)5 · −1 2 1 = 2 · (−6) = −12. 3 −6 0 0 2 4 b) V tomto případě použijeme rozvoj podle prvního řádku a dostáváme

−2 −3 1 = 2 · (−1)3 · 1 2 −1 + 1 0 3 −2 1 1 + 3 · (−1)4 · 1 0 −1 = (−2) · (−2) + 3 · (−3) = −5. 1 −1 3

0 2 3 −2 1 −3 1 0 2 1 −1 0

0 1 1 3

Předchozí postup je poměrně jednoduchý, ale je nutné si uvědomit, že pro opravdu velké matice (které by neobsahovaly řádek nebo sloupec s mnoha nulami) je nepoužitelný. Například i jen pro matici 25 × 25 by vyžadoval výpočet přibližně 1,5 × 1025 součinů, což by i počítači trvalo několik tisíc let. V podobných případech je matici potřeba upravit tak, aby obsahovala co nejvíce nul. Toho lze dosáhnout pomocí pravidel pro počítání s determinanty. 1. Vynásobíme-li libovolný řádek (sloupec) matice číslem k, determinant výsledné matice bude k-násobkem determinantu matice původní. 2. Zaměníme-li pořadí dvou řádků (sloupců) matice, determinant výsledné matice bude mít opačné znaménko než determinant matice původní. 3. Přičtením k-násobku libovolného řádku (sloupce) k jinému řádku (sloupci) se determinant matice nezmění. 4. Determinant, který má pod hlavní diagonálou samé nuly, je roven součinu prvků v této diagonále. Vztah mezi determinantem a hodností matice udává následující věta. Věta 1.26. Nechť A je čtvercová matice řádu n. Hodnost matice h(A) = n právě tehdy, když |A| = 6 0.

28


Připomeňme, že čtvercovou matici A řádu n nazýváme regulární, je-li h(A) = = n. Předchozí věta nám tedy říká, že matice A je regulární právě tehdy, když je její determinant nenulový.

1.5

Vlastní čísla a vlastní vektory

Myšlenka vlastních čísel a vlastních hodnot se objevuje na různých místech v matematice a v jejích aplikacích. Oba tyto pojmy si definujeme a naučíme se nalézt vlastní čísla matice. Jednu z mnoha aplikací vlastních čísel ukážeme později v kapitole věnované dynamickým systémům. Definice 1.27. Nechť A je čtvercová matice, λ je komplexní číslo a x je nenulový vektor, který je řešením rovnice (1.5)

Ax = λx.

Pak se komplexní číslo λ nazývá vlastní číslo matice A a vektor x se nazývá vlastní vektor matice A (příslušný vlastnímu číslu λ). Zamyslíme-li se nad geometrickou interpretací, pak vlastní vektor je takový vektor, který se po vynásobení matice pouze „natáhne“ nebo „zkrátí“ , ale nemění svůj směr. Z předchozí definice se dá i snadno vyvodit, jak vlastní čísla matice A nalézt. Přepíšeme-li rovnici (1.5), dostaneme Ax − λx = 0

⇔

(A − λE)x = 0.

Máme tak vlastně homogenní systém lineárních rovnic, u kterého požadujeme, aby měl jiné než triviální řešení. To znamená, že matice A − λE musí mít hodnost menší než n. Jinými slovy tato matice není regulární a pro její determinant musí platit |A − λE| = 0. (1.6) Rovnice (1.6) se nazývá charakteristická rovnice matice A. Příklad 1.28. Určete vlastní hodnoty matice   4 0 0 A = 5 3 2 . −2 0 2

Řešení. Matice A − λE je tvaru  4−λ 0  5 3−λ −2 0

 0 . 2 2−λ

29

Lineární algebra Vlastní čísla jsou tak řešení rovnice 4−λ 0 5 3 − λ −2 0

0 2 2−λ

= 0.

Determinant na levé straně vypočítáme podle Sarrusova pravidla a dostaneme tak rovnici (4 − λ)(3 − λ)(2 − λ) = 0. Vlastní čísla pak jsou λ1 = 2, λ2 = 3, λ3 = 4.

Cvičení 1. Gaussovou metodou řešte systém lineárních rovnic: a)

3a + 3b + 2c + d = 10 4a + 2b + 3c + d = 8 3a + 5b + c + d = 15 7a + 4b + 5c + 2d = 18

b)

a + 5b + 4c + 3d + 2e = 3 2a + b + 2c + 3d + 4e = 6 2b + 3c + d =0 3a + 4b + 5c + d + 6e = 9

c)

5x − 9y +5z = 1 2x + 3y +3z = 2 x + 8y =1 x − 2y + z = 0

d)

b+c = 0 2a + b − c = 1 a+ b−c+d= 2 a + 2b = −1

e)

a + b − 2c + d = −5 2a + 2b − c − d = 2 3a + b + c + d = 8 a− b+ c−d= 6

f)

2x − 3y +2z = 1 x − 2y + z = 0 5x − 9y +5z = 1

g)

2x − 4y − z = 0 4x − 6y − 3z = 0 x + y − 2z = 0

h)

2x − 2y + z = 0 3x − 2y − z = 0 4x + y + z = 0

i)

2a − 3b + c + 2d = 0 3a + b − 2c − d = 6 4a − 2b − 3c − 4d = −6 a + 2b + 3c − 2d = −7

j)

a + 2b − c + d = 0 −a − b + 2d = 0 2a + b + c − d = 0 a + 3c + 3d = 0

k)

2x + y − z = 0 x + y +2z = 4 4x + 3y +3z = 5

l)

3x + 2y + z = 3 x+ y+ z=2 4x + 3y +2z = 5

30


2. Vypočtěte determinant matice: a)

b)

4 −3 −1 2

d)

e)

5 −1 0 8 7 −4 2 −3 −2 g)

−1 2 −3 4

d)

2 −3  1 −2 1 −3 g)



1 2 3

0 3 3 −1 0 1 1 0

3. Určete vlastní čísla matice: 2 7 b) a) 7 2 

sin α − cos α

 1 1  2

e)

c)

3 8 2

f)

1 0 0 0 1 2 0

cos α sin α

2 −1

h)

1 4

 −1 1 1  1 1 −1  1 −1 1 h)



4 1 3

3 −2 −2 −3 −5 0 2 −2 −4

3 −1 1 2 2 3 0 1 −1 1 −2 2



 4 −7 0 2  0 3 −4 6     0 0 3 −8  0 0 0 1

5 3 5 −2 1 2

c)

f)



5 0  8 −4   0 7 1 −5

0 1 1 1

5 −4

3 4

4 −1  2 1 −1 1 0 0 1 2

 0 0   0  1

 0 0  3

Kapitola 2

Funkce jedné proměnné Obsahem této kapitoly je zavedení a popis nejdůležitějších vlastností některých základních funkcí, jimiž jsou polynomy, racionální lomené funkce a cyklometrické funkce. Správné pochopení pojmu funkce je důležité pro celý diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné a rovněž pro navazující partie, jako jsou obyčejné diferenciální rovnice.

2.1

Pojem funkce

Definice 2.1. Nechť jsou dány množiny D ⊆ R, H ⊆ R. Předpis f , který každému x ∈ D přiřazuje právě jedno y ∈ H, nazýváme funkcí jedné proměnné. Tuto funkci označujeme y = f (x). Množina D se nazývá definiční obor funkce f a značí se D(f ), množina H se nazývá obor hodnot funkce f a značí se H(f ). Již na střední škole se probírá mnoho příkladů funkcí: • lineární funkce y = ax + b, • kvadratická funkce y = ax2 + bx + c, • lineární lomená funkce (nepřímá úměra) y = xk , kde k ∈ R \ {0}, • exponenciální funkce y = ax (a > 0), speciálně y = ex , kde e je Eulerovo číslo 1 (e ≈ 2,71828), • logaritmická funkce y = loga x (a > 0, a 6= 1), speciálně pro a = e máme přirozený logaritmus y = ln x a pro a = 10 dekadický logaritmus y = log x. 1

Přesnou definici Eulerova čísla uvedeme v kapitole o nekonečných řadách.

31

32


Předpisy f : x2 + y 2 = 1 (kružnice),

g : x = y2

(parabola s osou v ose x)

popisují křivky v rovině, ale nejsou funkce proměnné x, neboť k jedné hodnotě x jsou přiřazeny dvě hodnoty y, konkrétně p √ g : y = ± x. f : y = ± 1 − x2 ,

Základní úlohou je určení definičního oboru funkce, tj. nalezení takových hodnot x, pro které má funkční předpis smysl. Příklad 2.2. Určete definiční obor funkcí: √ x−1 , b) f : y = x2 − 3x + 2, a) f : y = x−2

c)

f : y = ln(1 − x2 ).

Řešení. a) Definiční obor funkce je množina všech reálných x, pro něž podíl x−1 x−2 existuje, tj. musí platit, že x − 2 6= 0. Proto D(f ) = R \ {2}. b) Aby měl daný výraz smysl, musí být výraz pod odmocninou nezáporný. Musí tedy platit x2 − 3x + 2 ≥ 0 a odtud (x − 2)(x − 1) ≥ 0. Proto D(f ) = (−∞, 1] ∪ [2, ∞). c) Logaritmus je definován pouze pro kladná reálná čísla, musí proto platit 1 − x2 > 0 a odtud D(f ) = (−1, 1). Kromě typického zadání můžeme funkce zadat také tabulkou hodnot nebo jejich grafickou reprezentací – grafem. Definice 2.3. Grafem funkce f : D(f ) → R je množina bodů G = {(x, f (x)) ∈ R2 : x ∈ D(f )}. Známe-li graf nějaké funkce f (x), můžeme snadno nakreslit i graf funkce složitější, základní pravidla vypadají takto: 1. Graf funkce f (x) + p získáme posunutím o p jednotek grafu funkce f (x) ve směru osy y. 2. Graf funkce f (x + p) získáme posunutím o p jednotek grafu funkce f (x) ve směru osy x. Pro p kladné posunujeme doleva, pro p záporné doprava. 3. Graf funkce |f (x)| získáme tak, že část grafu, která byla pod osou, symetricky zobrazíme nad osu x. Křivka v rovině je grafem nějaké funkce právě tehdy, když neexistuje žádná přímka rovnoběžná s osou y, která by protínala tuto křivku více než jednou.

33

Funkce jedné proměnné y

y

1

1

0

1

x

(a) Přímka y = x

0

x

1

(b) Parabola y = x2

y

y

1

1 −1 0

1

x

0

x

1

−1

(c) Kubická parabola y = x3

(d) Hyperbola y =

y

1 x

y

1

0

(e) Graf funkce y = ex

x

0

1

(f) Graf funkce y = ln x

Obrázek 2.1: Grafy některých elementárních funkcí

x

34


Nyní připomeňme několik pojmů, které souvisí s funkcemi a jejich základními vlastnostmi. Definice 2.4. Funkce f se nazývá ohraničená, jestliže existuje K ∈ R, K > 0, takové, že |f (x)| ≤ K pro každé x ∈ D(f ). Řekneme, že funkce f je sudá, jestliže pro každé x ∈ D(f ) platí −x ∈ D(f ) a f (−x) = f (x) (graf je souměrný vzhledem k ose y). Řekneme, že funkce f je lichá, jestliže pro každé x ∈ D(f ) platí −x ∈ D(f ) a f (−x) = −f (x) (graf je souměrný vzhledem k počátku). Funkce f se nazývá prostá, právě když pro všechna x1 , x2 ∈ D(f ) platí: je-li x1 6= x2 , pak f (x1 ) 6= f (x2 ). Příklad 2.5. Ověřte, zda jsou následující funkce sudé nebo liché: a) f : y = 2|x| ,

b) g : y =

x3 , x2 − 1

c) h : y =

1−x . x2 + x

Řešení. a) D(f ) = R a jelikož f (−x) = 2|−x| = 2|−1||x| = 2|x| = f (x), je daná funkce sudá. b) D(g) = R a jelikož g(−x) =

(−x)3 x3 = − = −g(x), (−x)2 − 1 x2 − 1

je daná funkce lichá. c) Jelikož D(h) = R \ {−1, 0}, není funkce ani sudá ani lichá, protože pro −1 ∈ / D(h) neplatí, že 1 ∈ / D(k). √ Příklad 2.6. Funkce y = log x, y = x jsou prosté funkce. Funkce y = x2 ,

y = 2|x| ,

y = log |x|

jsou sudé, a proto nemohou být prosté. Definice 2.7. Funkce f se nazývá periodická s periodou p ∈ R, p > 0, jestliže platí, že pro každé x ∈ D(f ) je také x±p ∈ D(f ) a f (x+p) = f (x−p) = f (x). Nejmenší perioda funkce je nejmenší prvek množiny všech period této funkce. Má-li funkce periodu p, pak také čísla 2p, 3p, . . . jsou periody. Typickým příkladem periodických funkcí jsou funkce goniometrické (sinus, kosinus atd). Periodická je rovněž konstantní funkce y = c, která má za periodu dokonce libovolné kladné reálné číslo. Tato funkce nemá nejmenší periodu.

35

Funkce jedné proměnné Další vlastnosti, které funkce mohou mít, se týkají tzv. monotonie.

Definice 2.8. Nechť je dána funkce f : D(f ) → R a interval I ⊆ D(f ). Pak funkci f nazveme rostoucí na intervalu I, jestliže pro každá dvě x1 , x2 ∈ I taková, že x1 < x2 , je f (x1 ) < f (x2 ). Funkci f nazveme klesající na intervalu I, jestliže pro každá dvě x1 , x2 ∈ I taková, že x1 < x2 , je f (x1 ) > f (x2 ). Funkce, která je rostoucí nebo klesající, se nazývá ryze monotonní. Pro vyšetřování, zda je funkce rostoucí nebo klesající, můžeme používat derivaci funkce. Tuto metodu si ukážeme později ve třetí kapitole. Definice 2.9. Nechť u : A → B a f : B → R jsou funkce. Pak funkce F : A → R daná předpisem y = f (u(x)) se nazývá složená funkce. Funkce u se nazývá vnitřní složkou, funkce f vnější složkou složené funkce F . Příklad 2.10. Určete vnější a vnitřní složku složené funkce: q √ c) h : y = ln2 cos x. a) f : y = sin(x2 ), b) g : y = x−1 x+1 ,

Řešení. a) Je y = sin u, u = x2 , tj. vnější složkou je sinus a vnitřní složkou kvadratická funkce. √ b) Vnější složkou této složené funkce je y = u a vnitřní složkou je funkce u =

x−1 , x+1

x ∈ (−∞, −1) ∪ [1, ∞),

protože x musí být takové, aby x−1 x+1 ≥ 0. Je třeba si uvědomit, že funkce je zadaná svým předpisem a definičním oborem! V tomto případě není definiční obor vnitřní složky stejný jako je definiční obor funkce u (tj. R√ \ {−1}) z důvodu skládání vnější a vnitřní složky (např. u(0) = −1 a −1 není definované). c) V tomto případě má funkce h dokonce čtyři složky. Máme y = w2 ,

w = ln v,

v =

√

u,

u = cos x,

kde x je takové, že cos x > 0. Definiční obor vnitřní složky je tak π π pro k ∈ Z}. D(u) = {x ∈ R : x ∈ (4k − 1) , (4k + 1) 2 2

36


Definice 2.11. Inverzní funkcí k prosté funkci f je funkce f −1 , pro kterou platí, že D(f −1 ) = H(f ) a ke každému y ∈ D(f −1 ) je přiřazeno právě jedno x ∈ D(f ) takové, že f (x) = y. Poznamenejme, že inverzní funkci lze definovat pouze pro prosté funkce. Grafy funkcí y = f (x) a y = f −1 (x) jsou symetrické podle přímky y = x. Příklad 2.12. Najděte inverzní funkci k funkcím: a)

f: y =

2x−1 3x+5 ,

b)

c)

g : y = ln(5 − 2x),

h : y = ex−3 .

Řešení. a) Postup hledání inverzní funkce je následující. Zaměníme x a y ve funkčním předpisu a snažíme se vyjádřit y jako funkci proměnné x pomocí ekvivalentních úprav. V tomto případě dostaneme: x=

2y − 1 3y + 5

3yx + 5x = 2y − 1

⇔

⇔

⇔

y(3x − 2) = −1 − 5x

Hledaná inverzní funkce má předpis f −1 : y = −

y=−

1 + 5x . 3x − 2

1 + 5x . 3x − 2

y

y

y=

⇔

2x−1 3x+5

− 35

x

− 35

x

2 3

2 3

1+5x y = − 3x−2

Obrázek 2.2: Grafy funkcí f a f −1 b) Postupujeme obdobně jako v předchozím případě. Dostaneme x = ln(5 − 2y)

⇔

ex = eln(5−2y) ⇔

ex = 5 − 2y

Hledanou inverzní funkcí je funkce g −1 : y =

5 − ex . 2

⇔

y=

5 − ex . 2

37

Funkce jedné proměnné y y = ln x + 3

3 y = ex−3 1 1

x

3

Obrázek 2.3: Graf funkce h a funkce k ní inverzní c) Nyní máme x = ey−3

⇔

ln x = ln ey−3

⇔

ln x = y − 3

⇔

y = ln x + 3.

Inverzní funkcí k funkci h je funkce h−1 : y = ln x + 3. Obrázky 2.2 a 2.3 ilustrují důležitou vlastnost inverzních funkcí: funkce f je rostoucí na intervalu I právě tehdy když inverzní funkce f −1 je rostoucí na intervalu J, kde J = f (I).

2.2

Polynomy

Nyní se zaměříme na jednu z nejdůležitějších elementárních funkcí, na polynom. Příkladem polynomů jsou lineární a kvadratické funkce, které jsou zadány předpisy y = ax + b a y = ax2 + bx + c. Kořenem (neboli řešením) kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0,

kde a 6= 0,

je číslo, ve kterém graf kvadratické funkce ax2 + bx + c protíná osu x. Toto číslo vypočteme podle vzorce √ −b ± D x1,2 = , D = b2 − 4ac (diskriminant). 2a Obecně má kvadratická funkce: • dva reálné kořeny (je-li diskriminant D > 0), • jeden dvojnásobný reálný kořen (je-li diskriminant D = 0),

38

Matematika pro nematematické obory • nemá žádný reálný kořen (je-li diskriminant D < 0). V tomto případě je řešením kvadratické rovnice dvojice komplexně sdružených čísel α ± iβ).

Připomeňme, že komplexní čísla C jsou, zjednodušeně řečeno, takovým rozšířením reálných čísel, že v nich existují odmocniny se záporných čísel. Komplexní čísla se definují jako uspořádané dvojice reálných čísel (a, b) spolu s operacemi (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc). Místo složkového zápisu (a, b) častěji používáme algebraický tvar a + bi, kde i = (0, 1) je imaginární jednotka. Platí i2 = −1

a

i=

√

−1.

Funkce 1, x, x2 , . . . , xn a jejich lineární kombinace (tj. vynásobíme konstantou a sečteme) nazýváme polynomy. Polynomy mají řadu pěkných vlastností, např. v libovolném bodě jsou vyčíslitelné pomocí sčítání a násobení. Navíc můžeme zobecnit pojem kořen kvadratické rovnice následujícím způsobem. Definice 2.13. Funkci P : R → R tvaru P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 ,

kde

a0 , a1 , . . . , an ∈ R,

nazýváme polynomem neboli mnohočlenem. Čísla ai se nazývají koeficienty polynomu. Je-li an 6= 0, pak číslo n nazveme stupněm polynomu a značíme stP . Číslo α ∈ C se nazývá kořen polynomu P , jestliže P (α) = 0. Číslo α je k-násobným kořenem polynomu P , existuje-li polynom Q takový, že P (x) = (x − α)k Q(x), a α není kořenem polynomu Q, tj. Q(α) 6= 0. (Pro k = 1 používáme název jednoduchý kořen.) Číslo k ∈ N se pak nazývá násobnost kořene α polynomu P . Poznámka 2.14. i) Je zřejmé, že definičním oborem polynomu je množina reálných čísel. ii) Je-li P (x) = a0 6= 0 (konstantní funkce), jde o polynom nulového stupně.

Funkce jedné proměnné

39

iii) Mezi polynomy definujeme operace sčítání a násobení tak, že pro každé x ∈ R platí (P ± Q)(x) = P (x) ± Q(x) a (P · Q)(x) = P (x) · Q(x), tj. při sčítání sčítáme koeficienty u stejných mocnin proměnné x a při násobení jde o obyčejné násobení mnohočlenů. Součet (resp. rozdíl) a součin dvou polynomů je opět polynom. Následující vlastnosti jsou důležité pro práci s polynomy. Věta 2.15. Nechť P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 , kde a0 , a1 , . . . , an ∈ R je polynom stupně n ≥ 0. i) (Základní věta algebry.) Polynom P má nad komplexním oborem C právě n kořenů, počítáme-li každý kořen tolikrát, kolik je jeho násobnost. ii) Je-li komplexní číslo α k-násobným kořenem reálného polynomu P , je číslo komplexně sdružené α ¯ rovněž k-násobným kořenem polynomu P . iii) (Rozklad polynomu v oboru reálných čísel.) Jsou-li α1 , . . . , αr všechny reálné kořeny polynomu P s násobnostmi k1 , . . . , kr a (c1 ±id1 ), . . . , (cs ±ids ) všechny navzájem různé dvojice komplexně sdružených kořenů s násobnostmi r1 , . . . , rs , platí P (x) = an (x − α1 )k1 · · · · · (x − αr )kr [(x − c1 )2 + d21 ]r1 · · · · · [(x − cs )2 + d2s ]rs . iv) Dva polynomy P, Q stupně n jsou si rovny, jestliže jsou si rovny koeficienty u sobě odpovídajících mocnin. v) Nechť an = 1. Je-li celé číslo α kořenem polynomu P s celočíselnými koeficienty, pak α je dělitelem čísla a0 . Znaménko polynomu Úlohou určení znaménka polynomu rozumíme nalezení intervalů, kde je polynom kladný a kde záporný. Tato úloha je důležitá při vyšetřování průběhu funkce. K určení znaménka hodnot polynomu použijeme rozklad polynomu a následující fakt. Jsou-li x1 < x2 < · · · < xm všechny jeho navzájem různé reálné kořeny, pak v každém z intervalů (−∞, x1 ), (x1 , x2 ), . . . , (xm , ∞) je polynom stále kladný nebo stále záporný. Příklad 2.16. Určete znaménko polynomu P (x) = (x2 −x)(x−2)2 a načrtněte jeho graf. Řešení. Provedeme rozklad polynomu P (x) = x(x − 1)(x − 2)2 . Polynom má dva jednoduché kořeny x1 = 0 a x2 = 1 a jeden dvojnásobný kořen x3,4 = 2. Tato tři čísla nám rozdělí celou reálnou osu na čtyři intervaly a v každém

40


z těchto intervalů bude mít polynom stále stejné znaménko. Pro určení tohoto znaménka stačí zvolit libovolné číslo, které je uvnitř intervalu, a dosadit jej do polynomu. Zvolíme-li například číslo -2 a dosadíme-li jej do našeho rozkladu, dostaneme součin dvou záporných a jednoho kladného čísla, výsledek je tak kladné číslo. V intervalu (−∞, 0) je tedy polynom kladný. Podobně rozhodneme pro ostatní intervaly a výsledek můžeme shrnout do tabulky. x R(x)

(−∞, 0) +

(0, 1) −

(1, 2) +

(2, ∞) +

Výsledek je znázorněn na obrázku 2.4. Fakt, že má polynom nějaký kořen sudé násobnosti, se projeví tak, že v tomto bodě se graf polynomu dotýká osy x a v tomto bodě se nemění znaménko polynomu. Odtud plyne, že znaménko polynomu lze určit tak, že vybereme pouze kořeny s lichou násobností, určíme znaménko v jednom z intervalů a pak se již znaménko pro další střídá. y

y = (x2 − x)(x − 2)2

0

1

2

x

Obrázek 2.4: Graf polynomu z příkladu 2.16 Nemáme-li polynom dán jako součin závorek (tzv. kořenových činitelů), nejsou na první pohled kořeny tohoto polynomu zřejmé. Při hledání těchto kořenů si pomáháme tzv. Hornerovým schématem, které umožňuje efektivně zjistit hodnotu polynomu pro nějaké konkrétní číslo c. Mějme polynom P (x) = an xn +an−1 xn−1 +· · ·+a0 . Jeho hodnotu pro číslo c určíme pomocí následující tabulky, kterou nazýváme Hornerovo schéma.

c

an an

an−1 c · an + an−1 | {z } c1

an−2 c·c +a | 1 {z n−2} c2

··· ···

a1

a0

c·c + a1 | n−2 {z }

c·c + a0 | n−1 {z }

cn−1

cn

Poslední získaná hodnota cn je hodnota polynomu P v bodě c. Upozorněme, že v záhlaví tabulky jsou všechny koeficienty, tj. i případné nuly zastupující mocniny, které v polynomu chybí.

41


Je-li cn = 0, tj. P (c) = 0, pak číslo c je kořenem. V tomto případě jsou čísla an , c1 , . . . , cn−1 koeficienty polynomu Q(x) stupně n−1, pro který platí P (x) = = (x − c)Q(x). Tedy pro hledání dalších kořenů můžeme použít „jednodušší“ polynom Q. Příklad 2.17. Nalezněte celočíselné kořeny polynomu P (x) = x4 − 5x3 + 5x2 + 5x − 6. Řešení. Víme, že celočíselné kořeny jsou dělitelem členu a0 = −6. Proto jsou kandidáty na kořen čísla ±1, ±2, ±3, ±6. Pomocí Hornerova schématu určíme hodnoty polynomu v těchto číslech. 1 −1 2 −2 3

1 1 1 1 1 1

−5 −4 −5 −3 −5 0

5 1 6 0

5 6 0

−6 0

x = 1 je kořen x = −1 je kořen x = 2 je kořen x = −2 není kořen x = 3 je kořen

Hledané kořeny jsou čísla −1, 1, 2 a 3. Polynom proto můžeme zapsat ve tvaru P (x) = (x − 3)(x − 2)(x − 1)(x + 1).

2.3

Racionální lomené funkce

Příkladem racionální lomené funkce je nepřímá úměra a lineární lomená funkce, které jsou zadány předpisy y=

k x

a y=

ax + b , cx + d

kde c, k 6= 0 a ad − bc 6= 0.

Obě tyto funkce lze zapsat jako podíl dvou polynomů. Obecně dostáváme následující definici. Definice 2.18. Buďte P, Q nenulové polynomy. Funkce R(x) =

P (x) Q(x)

se nazývá racionální funkce (též racionální lomená funkce). Tuto funkci nazveme ryze lomenou, platí-li stP < stQ, a neryze lomenou, platí-li stP ≥ stQ.

42

Matematika pro nematematické obory 2

Příkladem ryze lomené racionální funkce jsou funkce x1 , x x+1 5 ; příkladem neryze x2 +2 x2 +1 lomené racionální funkce jsou funkce x nebo 2x2 −1 . Platí následující tvrzení: i) Definičním oborem racionální funkce R(x) =

P (x) Q(x)

je množina tvaru

D(R) = (−∞, ∞) r {α1 , . . . , αm }, kde α1 , . . . , αm jsou všechny reálné kořeny polynomu Q. P (x) neryze lomená racionální funkce, pak dělením polynomů P a Q ii) Je-li Q(x) obdržíme součet polynomu a ryze lomené racionální funkce. Například

5x + 2 x3 + 2x =x−2+ 2 . 2 x + 2x + 1 x + 2x + 1 Znaménko racionální lomené funkce Stejně jako u polynomů je důležitou úlohou při vyšetřování průběhu funkce úloha určit intervaly, kde je racionální funkce kladná a kde záporná. Pro řešení této úlohy využíváme obdobný fakt jako u polynomů. Uvažujme racionální lomenou funkci, jejíž čitatel a jmenovatel nemají společné kořeny. Jsou-li x1 < · · · < xp všechny navzájem různé reálné kořeny čitatele a jmenovatele, pak jsou v každém z intervalů (−∞, x1 ), (x1 , x2 ), . . . , (xp , ∞) všechny hodnoty funkce R(x) stále kladné nebo záporné. Příklad 2.19. Určete znaménko funkce R(x): a)

R(x) =

(x−2)(x−5) (x−3)(x+2)(x+5) ,

b)

R(x) =

(x2 −1)(x2 −2x+1)(x−2)2 . (x2 +x−2)2 (x+2)

Řešení. a) Využijme předchozího poznatku a najděme reálné kořeny čitatele a jmenovatele, jimiž jsou čísla −5, −2, 2, 3 a 5. Zvolme libovolné číslo z libovolného intervalu vymezeného těmito kořeny a zde určeme znaménko, např. pro 0 ∈ (−2, 2) platí R(0) < 0. Proto je funkce R(x) na tomto intervalu záporná, v dalších intervalech se znaménko určí obdobně. Toto pozorování lze shrnout do následující tabulky: x R(x)

(−∞, −5) −

(−5, −2) +

(−2, 2) −

(2, 3) +

(3, 5) −

(5, ∞) +

b) Čitatel i jmenovatel jsou jen částečně rozloženy, musíme proto rozklad dokončit. Dostaneme x2 −1 = (x+1)(x−1),

x2 −2x+1 = (x−1)2 ,

x2 +x−2 = (x−1)(x+2).

43

Funkce jedné proměnné Celkově má po rozložení funkce tvar R(x) =

(x − 1)3 (x + 1)(x − 2)2 (x + 1)(x − 1)(x − 1)2 (x − 2)2 = (x − 1)2 (x + 2)2 (x + 2) (x − 1)2 (x + 2)3

a po vykrácení

(x − 1)(x + 1)(x − 2)2 . (x + 2)3 Reálné kořeny jsou čísla −2, −1, 1 a 2. Postupujeme obdobně jako v předchozím případě a dostaneme: R(x) =

x R(x)

(−∞, −2) −

(−2, −1) +

(−1, 1) −

(1, 2) +

(2, ∞) +

Rozklad ryze lomené racionální funkce na parciální zlomky Tato úloha je důležitá při integrování racionálních lomených funkcí. P (x) Nechť R(x) = Q(x) je ryze lomená racionální funkce. Každou takovou funkci lze rozložit na součet parciálních zlomků následujícím způsobem: a) Je-li číslo α reálný jednoduchý kořen polynomu Q, pak rozklad funkce R obsahuje parciální zlomek tvaru A . (x − α) b) Je-li číslo α reálný k-násobný kořen polynomu Q, pak rozklad obsahuje součet k parciálních zlomků tvaru B M A + + ··· + . (x − α) (x − α)2 (x − α)k c) Jsou-li čísla α ± iβ komplexně sdružené jednoduché kořeny polynomu Q, pak rozklad obsahuje parciální zlomek tvaru Ax + B , ax2 + bx + c kde ax2 + bx + c má kořeny α ± iβ. d) Jsou-li čísla α ± iβ dvojnásobné komplexně sdružené kořeny polynomu Q, pak R obsahuje součet dvou parciálních zlomků tvaru Cx + D Ax + B + . 2 2 ax + bx + c (ax + bx + c)2 Podobně trojnásobné dvojici komplexních kořenů odpovídá součet tří parciálních zlomků atd.

44


Rozklad funkce R je součtem všech parciálních zlomků výše uvedeného tvaru, které přísluší všem kořenům polynomu Q. Konstanty v parciálních zlomcích (lze ukázat, že jsou určeny jednoznačně) nalezneme metodou neurčitých koeficientů, tj. napíšeme formální tvar rozkladu a celou rovnost vynásobíme polynomem Q. Dostaneme tak rovnost dvou polynomů pro všechna x kromě kořenů jmenovatele. Tyto polynomy jsou identické, tj. mají stejné koeficienty, které určíme pomocí dvou možných způsobů: 1. porovnáním koeficientů u odpovídajících si mocnin, 2. dosazením konkrétních hodnot x (vhodné jsou zvláště kořeny jmenovatele Q). Získáme soustavu n lineárních rovnic pro n neznámých konstant, kterou vyřešíme. Příklad 2.20. Rozložte racionální funkci na parciální zlomky: a)

R(x) =

3x+1 , x2 −2x−15

b)

R(x) =

x2 +2x+2 (x−1)(x−2)(x−3) ,

c)

R(x) =

1 , x3 (x+1)

d)

R(x) =

x4 +2x3 −10x2 +22x−71 , x2 +2x−15

e)

R(x) =

x2 +4x , x4 −16

f)

R(x) =

x+1 . (x2 +1)(x3 +x)

Řešení. a) Nejprve rozložíme kvadratický trojčlen ve jmenovateli: x2 − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3). Formální tvar parciálních zlomků bude x2

A B 3x + 1 = + . − 2x − 15 x−5 x+3

Potřebujeme určit koeficienty A, B. Po vynásobení rovnosti jmenovatelem dostáváme 3x + 1 = A(x + 3) + B(x − 5) = (A + B)x + 3A − 5B. Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin dostáváme soustavu rovnic x1 : 3 = A + B, x0 : 1 = 3A − 5B, která má řešení A = 2, B = 1. Proto je rozklad funkce R(x) =

x2

3x + 1 2 1 = + . − 2x − 15 x−5 x+3

45

Funkce jedné proměnné b) Rozklad hledáme ve tvaru A B C x2 + 2x + 2 = + + , (x − 1)(x − 2)(x − 3) x−1 x−2 x−3 odkud x2 + 2x + 2 = A(x − 2)(x − 3) + B(x − 1)(x − 3) + C(x − 1)(x − 2).

Ukažme si druhý způsob určení koeficientů A, B, C, který spočívá ve využití faktu, že daná rovnost musí platit pro všechny hodnoty x. Postupným dosazením různých hodnot za x dostaneme soustavu rovnic pro koeficienty A, B, C. Volme například x = 1, x = 2, x = 3. Dostaneme 5 = 2A,

10 = −B,

17 = 2C,

hledané koeficienty jsou A = 25 , B = −10, C = R(x) =

17 2

a rozklad

5 10 17 x2 + 2x + 2 = − + . (x − 1)(x − 2)(x − 3) 2(x − 1) x − 2 2(x − 3)

c) Hledaný rozklad bude tvaru 1 A B C D = + 2+ 3+ . + 1) x x x x+1

x3 (x

Po vynásobení společným jmenovatelem dostaneme 1 = Ax2 (x + 1) + Bx(x + 1) + C(x + 1) + Dx3 a porovnáním koeficientů získáme soustavu x3 x2 x1 x0

:0=A +D :0=A+B :0= B+ C :1= C,

která má řešení A = 1, B = −1, C = 1, D = −1. Výsledný rozklad je R(x) =

1 1 1 1 1 = − 2+ 3− . + 1) x x x x+1

x3 (x

d) Daná funkce není ryze lomená, proto vydělíme čitatele jmenovatelem (x4 + 2x3 − 10x2 + 22x − 71) : (x2 + 2x − 15) = x2 + 5 +

12x + 4 , x2 + 2x − 15

a výsledná funkce je součet polynomu a ryze lomené racionální funkce.

46

Matematika pro nematematické obory Tuto ryze lomenou funkci již můžeme rozložit na parciální zlomky: R(x) =

5 7 x4 + 2x3 − 10x2 + 22x − 71 = x2 + 5 + + . 2 x + 2x − 15 x−3 x+5

e) Nejprve je třeba rozložit jmenovatele na součin závorek: x4 − 16 = (x2 )2 − 42 = (x2 − 4)(x2 + 4) = (x − 2)(x + 2)(x2 + 4). Rozklad bude mít formální tvar x2 + 4x A B Cx + D = + + 2 . 4 x − 16 x−2 x+2 x +4 Odsud x2 + 4x = A(x + 2)(x2 + 4) + B(x − 2)(x2 + 4) + (Cx + D)(x2 − 4). Roznásobením a porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin dostaneme soustavu x3 : 0 = A + B + C x2 : 1 = 2A − 2B + D x1 : 4 = 4A + 4B − 4C x0 : 0 = 8A − 8B − 4D, jejímž řešením je A = 38 , B = 18 , C = − 21 , D = 12 . Výsledný rozklad je R(x) =

x2 + 4x 3 1 1−x = + + . 4 x − 16 8(x − 2) 8(x + 2) 2(x2 + 4)

f) Nejprve upravíme jmenovatele (x2 + 1)(x3 + x) = (x2 + 1)x(x2 + 1) = x(x2 + 1)2 . Rozklad bude tvaru (x2

A Bx + C Dx + E x+1 = + 2 + 2 . 3 + 1)(x + x) x x +1 (x + 1)2

Obdobně jako v předchozím příkladu sestavíme soustavu rovnic, kterou vyřešíme a dostaneme tak řešení R(x) =

(x2

x+1 1 x 1−x = − 2 + 2 . 3 + 1)(x + x) x x + 1 (x + 1)2

47


2.4

Goniometrické a cyklometrické funkce

Definice 2.21. Buď x ∈ R. Nechť P je koncový bod oblouku na jednotkové kružnici, jehož počáteční bod je [1, 0] a jehož délka je |x|; přitom oblouk je od bodu [1, 0] k bodu P orientován v protisměru, resp. ve směru chodu hodinových ručiček podle toho, zda x ≥ 0, resp. x < 0. Pak první souřadnici bodu P nazýváme cos x a druhou souřadnici sin x. Dále definujme tg x =

sin x , cos x

cos x . sin x

cotg x =

Funkce sin x, cos x, tg x a cotg x nazýváme funkce goniometrické.

cotg x 1 P tg x

x

sin x

1 cos x

Obrázek 2.5: Definice goniometrických funkcí Vlastnosti goniometrických funkcí Funkce sin x, tg x a cotg x jsou liché, funkce cos x je sudá. Všechny goniometrické funkce jsou periodické, funkce sin x, cos x s nejmenší periodou 2π, funkce tg x, cotg x s nejmenší periodou π. Pro goniometrické funkce platí následující vztahy: π π sin x = cos −x , cos x = sin −x , 2 2 π π tg x =cotg − x , cotg x =tg −x , 2 2 sin2 x + cos2 x = 1,

sin 2x = 2 sin x cos x,

tg x · cotg x = 1,

cos 2x = cos2 x − sin2 x.

48

Matematika pro nematematické obory y 1 − 3π 2

π

−π

−2π

y = sin x

− π2 0

π 2

2π x

3π 2

−1

(a) Graf funkce sinus y

−2π − 3π 2

− π2

−π

1

0

y = cos x π

π 2

3π 2

2π

x

−1

(b) Graf funkce kosinus

Z posledního vztahu dostaneme cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x, a odtud plynou vzorce pro poloviční argument sin2 x =

1 − cos 2x , 2

cos2 x =

1 + cos 2x . 2

Tyto vztahy použijeme později při integrování goniometrických funkcí. Nabízí se otázka, zda existují inverzní funkce k funkcím goniometrickým. Protože inverzní funkce existuje pouze k prosté funkci, můžeme inverzní funkce k funkcím goniometrickým definovat jenom v těch intervalech definičních oborů goniometrických funkcí, kde jsou tyto funkce ryze monotonní, a tedy prosté. Výběr intervalů se provádí takto: Funkce f sin x cos x tg x cotg x

D(f ) − π2 , π2 [0, π] − π2 , π2 (0, π)

H(f ) [−1, 1] [−1, 1] (−∞, ∞) (−∞, ∞)

Inverzní funkce arcsin x arccos x arctg x arccotg x

Čte se arkussinus arkuskosinus arkustangens arkuskotangens

49

Funkce jedné proměnné y y = tg x

− 3π 2 −2π

− π2

3π 2

π 2

π

0

−π

2π

x

(a) Graf funkce tangens y y = cotg x

−2π

−π

0

π

2π x

(b) Graf funkce kotangens

Definice 2.22. Inverzní funkce k funkci sin x definované na − π2 , π2 se označuje arcsin x. Inverzní funkce k funkci cos x definované na [0, π] se označuje arccos x. π π Inverzní funkce k funkci tg x definované na − 2 , 2 se označuje arctg x. Inverzní funkce k funkci cotg x definované na (0, π) se označuje arccotg x. Funkce arcsin x, arccos x, arctg x a arccotg x nazýváme cyklometrické funkce. Z vlastností goniometrických funkcí (monotonie a lichost) plynou stejné vlastnosti pro cyklometrické funkce.

50


Věta 2.23. Cyklometrické funkce mají následující vlastnosti. 1. Funkce arcsin x a arctg x jsou rostoucí, funkce arccos x a arccotg x jsou klesající. 2. Funkce arcsin x a arctg x jsou liché. Poznámka 2.24. Vzhledem k definici inverzní funkce platí: arccos(cos x) = x pro x ∈ [0, π], arcsin(sin x) = x pro x ∈ − π2 , π2 , π π arccotg (cotg x) = x pro x ∈ (0, π). arctg (tg x) = x pro x ∈ − 2 , 2 ,

Mimo uvedené intervaly ale rovnosti neplatí.

y = arccos x π 2

− π2 −1

π

y = arcsin x y = sin x

1

π 2

0

1

x

π 2

π

−1 − π2

−1 −1

(a) Graf funkce arkussinus y

0

1

x

π 2

y = cos x

(b) Graf funkce arkuskosinus y

y = tg x

π π 2

y = arccotg x

π 2

y = arctg x − π2

0

π 2

x

0

π 2

π

x

− π2

y = cotg x

(c) Graf funkce arkustangens

(d) Graf funkce arkuskotangens

Obrázek 2.6: Grafy cyklometrických funkcí Závěrem poznamenejme, že v jistém smyslu podobné vlastnosti jako goniometrické funkce mají funkce hyperbolické. Tyto funkce jsou definovány pomocí

51

Funkce jedné proměnné exponenciální funkce a definují se takto: 1 (hyperbolický sinus), sinh x = (ex − e−x ) 2 1 (hyperbolický kosinus), cosh x = (ex + e−x ) 2 sinh x (hyperbolický tangens), tgh x = cosh x cosh x cotgh x = (hyperbolický kotangens). sinh x Hyperbolické funkce splňují vztah cosh2 x − sinh2 x = 1.

Proto stejně jako se hodnoty goniometrických funkcí znázorňují na jednotkové kružnici x2 + y 2 = 1, je možné na rovnoosé hyperbole y 2 − x2 = 1 znázornit hodnoty cosh x ( x-ová souřadnice) a sinh x ( y-ová souřadnice). Odtud pochází název hyperbolické funkce.

Cvičení 1. Nakreslete grafy funkcí: a)

f : y = −2x + 1,

b)

: y = |x|,

c)

f : y = −|x + 1| + 2,

d)

f : y = x2 − 6x + 9,

e)

f : y = x2 + x + 1,

f)

f : y = |x2 − 4|,

g)

f : y = 2x+1 − 4,

h)

f : y = −( 21 )x+2 + 4,

i)

f : y = ( 12 )|x| ,

j)

f : y = log2 (x + 4) − 1,

k)

f : y = | ln x|,

l)

f : y = ln |x|.

2. Určete definiční obor funkcí: q x+2 a) f : y = 4x−6 , p log5 x + 1,

c)

f: y =

e)

f: y =

g)

f : y = ln[x2 (−x2 + 3x + 4)],

1 ln(1−x)

+

√

x + 2,

b)

f: y =

1 |x+3|−4 ,

d)

f: y =

3 4−x2

f)

f: y =

h)

f : y = ln e e−1 x .

+ ln(x3 − x),

p (x − 1)(e2x − 4ex + 3), x

52


3. Ověřte, zda jsou následující funkce sudé nebo liché: a)

f: y =

5x , 2x2 +1

b)

f: y =

x+1 x−1 ,

c)

f: y =

1−x2 , 1+x2

d)

f: y =

1 | ln |x||. x3

4. Určete vnější a vnitřní složky složené funkce: √ a) f : y = sin2 x, b) f : y = 3 2x + 1, c)

f : y = ln sin x,

d)

√ f : y = arctg 1 + x2 .

5. K daným funkcím sestrojte inverzní funkce: a)

f : y = x2 + 1,

b)

f: y =

c)

f : y = ln(2 − x),

d)

f: y =

√

3 − ex ,

2x+1 3−x .

6. Proveďte rozklad polynomů v R: a) P (x) = x5 − 5x4 + 10x3 − 10x2 + 5x − 1, b) P (x) = x4 − 4x3 − 7x2 + 22x + 24, c) P (x) = x6 − 2x4 − 11x2 + 12, d) P (x) = x5 + 5x4 + 3x3 − 13x2 − 8x + 12. 7. Určete znaménko racionální lomené funkce: a)

R(x) =

(x−1)(x+2) x(x+3) ,

b)

R(x) =

(x+3)(x+1)3 , (x−1)2 (x+2)

c)

R(x) =

(x−4)4 (x−1)3 (x2 +2)5 , (x+2)(x+3)6 (x2 −2x+2)3

d)

R(x) =

x5 (x−3)(x2 +1)3 . (x−1)4 (x+5)5 (x−2)(x2 +4)5

8. Rozložte racionální funkci na parciální zlomky: a)

R(x) =

7x+2 , x3 +8

b)

R(x) =

x2 −x+10 , (x2 −3x+10)2

c)

R(x) =

−2x2 +21x+35 (x−3)(x+2)(x+5) ,

d)

R(x) =

3x2 +x−1 , (x−1)(x2 +x−2)

e)

R(x) =

3x2 −2x−3 , x2 (x+1)

f)

R(x) =

2x2 −2x+3 , (x+2)(x2 +1)

g)

R(x) =

x , (x+1)(x2 +1)2

h)

R(x) =

x4 +6x3 +x−2 , x4 −2x3

i)

R(x) =

j)

R(x) =

x−1 , x4 +3x2 +2

−x5 +2x4 −2x3 +2x2 −x+1 . x4 (x2 +1)

Kapitola 3

Limita, derivace a průběh funkce Při studiu mnoha reálných jevů nás většinou zajímá, jak se tyto jevy mění. Například při studiu chemických reakcí nás zajímá rychlost reakce v závislost na koncentraci jednotlivých látek, při zkoumání populací studujeme změny jejich velikosti v čase, při výrobě nějakého produktu nás zase zajímá vztah nákladů a výnosů a například při skládání obyčejné krabice ze čtverce papíru nás zajímá, jak ji složit, aby byla co největší. Všechny tyto jevy mají společné to, že chceme znát rychlost změny jedné veličiny ve vztahu k nějaké jiné veličině. Tímto způsobem je navíc formulována i většina vztahů v přírodních a technických oborech. Je-li dána nějaká veličina y, která závisí na jiné veličině x, můžeme tuto závislost popsat funkcí y = f (x). Jestliže se veličina x změní z hodnoty x1 na hodnotu x2 , pak tato změna je ∆x = x2 − x1 a příslušná změna veličiny y je dána vztahem ∆y = f (x2 ) − f (x1 ). Podíl

∆y f (x2 ) − f (x1 ) = ∆x x2 − x1

(3.1)

je pak průměrná hodnota změny veličiny y v závislosti na x. Máme-li například rovnici popisující množství N kvasinek Saccharomyces cerevisiae (jsou to ty, kterým vděčíme za chléb, víno nebo pivo) v čase t N=

665 , 1 + 66 · 2−0,7726t 53

54


můžeme říci, že v čase t = 1 hod jich bylo N1 ≈ 17 jednotek a v čase t = 5 hod jich bylo N5 ≈ 120 jednotek. Tedy průměrně přibylo 20,6 jednotek za hodinu. Kvasinky se množí průběžně, proto by byla zajímavější okamžitá a ne průměrná rychlost jejich množení. Okamžitou rychlost změny můžeme odvodit tak, že se ve vztahu (3.1) s hodnotou x2 přiblížíme nekonečně blízko k hodnotě x1 . Pokud se nám to podaří, říkáme v takovém případě hodnotě tohoto podílu derivace funkce f v bodě x1 . Před tím, než se k derivaci dostaneme, musíme ještě ozřejmit, co to znamená „přiblížit se nekonečně blízko“ . To vede k pojmu limita funkce.

3.1

Limita funkce

Pro zkoumání nekonečně malých veličin používáme limitu funkce. Uveďme nejprve nepřesný, ale názorný popis limity, kdy budeme rozlišovat tři případy. Funkce y = f (x) má v bodě x0 limitu L, jestliže se s hodnotami funkce f (x) můžeme libovolně přiblížit číslu L tak, že vezmeme hodnoty x dostatečně blízké hodnotě x0 , ale různé od x0 . Zapisujeme lim f (x) = L.

x→x0

Říkáme, že funkce má ve vlastním bodě vlastní limitu. Funkce y = f (x) má v bodě x0 limitu rovnu ∞, jestliže hodnoty funkce f (x) můžeme udělat libovolně velké tak, že vezmeme hodnoty x dostatečně blízké hodnotě x0 , ale různé od x0 . Zapisujeme lim f (x) = ∞.

x→x0

Říkáme, že funkce má ve vlastním bodě nevlastní limitu. Podobně můžeme tuto limitu popsat pro −∞. Funkce y = f (x) má v bodě ∞ limitu L, jestliže se s hodnotami funkce f (x) můžeme libovolně přiblížit číslu L tak, že vezmeme hodnoty x dostatečně velké. Zapisujeme lim f (x) = L. x→∞

Říkáme, že funkce má v nevlastním bodě vlastní limitu. Podobně můžeme tuto limitu popsat pro −∞. Limita nám tedy umožňuje zapsat fakt, že se „libovolně blízko přiblížíme“ k nějakému bodu x0 . To znamená, že limita popisuje chování funkce v okolí bodu bez ohledu na to, co se děje v bodě samotném (v něm funkce může mít úplně jinou hodnotu, nebo nemusí vůbec existovat).

55

Limita, derivace a průběh funkce

Podobně dostaneme i nevlastní limitu v nevlastním bodě lim f (x) = ∞, x→∞

která znamená, že hodnoty funkce f (x) jsou tím větší, čím větší je x. Matematicky popíšeme proces „libovolně blízkého přiblížení“ pomocí okolí. Definice 3.1. Nechť x0 , δ ∈ R, δ > 0. Pak interval O(x0 ) = (x0 − δ, x0 + δ) nazveme okolím bodu x0 . Buď a ∈ R. Pak interval O(∞) = (a, ∞) nazveme okolím bodu ∞ a interval O(−∞) = (−∞, a) okolím bodu −∞. Přesnou a univerzální definici limity lze formulovat takto. Definice 3.2. Nechť x0 , L ∈ R ∪ {∞, −∞}. Řekneme, že funkce f (x) má v bodě x0 limitu rovnu číslu L a píšeme lim f (x) = L, jestliže ke každému x→x0

okolí O(L) bodu L existuje okolí O(x0 ) bodu x0 tak, že pro x ∈ O(x0 ) \ {x0 } platí f (x) ∈ O(L). Zřejmě musí platit následující věta. Věta 3.3. Funkce f má v libovolném bodě nejvýše jednu limitu. Uveďme některé názorné příklady funkcí a jejich limit. Příklad 3.4. a) Kvadratická funkce y = x2 má limitu v každém bodě, např. lim x2 = 0,

x→0

lim x2 = 4,

x→2

lim x2 = ∞.

x→∞

y

1 4

0

x

2

Obrázek 3.1: Graf funkce y =

1 x2

56


b) Racionální lomená funkce y = lim

x→0

1 = ∞, x2

má limitu v každém bodě, např.

1 x2

1 1 = , x2 4

lim

x→2

lim

x→∞

1 = 0. x2

(3.2)

c) Cyklometrická funkce y = arctg x má limitu v každém bodě, např. lim arctg x = 0,

x→0

lim arctg x =

x→1

π , 4

lim arctg x =

x→∞

π . 2

(3.3)

y bc

1

x

0

Obrázek 3.2: Graf funkce y =

sin x x

d) Funkce y = sinx x není definovaná pro x = 0 a (jak ukážeme později) má v tomto bodě limitu rovnu jedné, tj. sin x = 1. x→0 x lim

Znamená to, že pro x blízké nule je sin x ≈ 1, x

tj. sin x ≈ x.

e) Uvažujme exponenciální funkci y = ax a její limitu pro x jdoucí k ∞. Tato limita závisí na tom, zda je základ a < 1 nebo a > 1. Například 1 x = 0, lim ex = ∞. lim e−x = lim x→∞ x→∞ x→∞ e f) Funkce y = sin x nabývá pro rostoucí x všech hodnot z intervalu [−1, 1], proto neexistuje lim sin x. x→∞

Uvažujme funkci nepřímé úměry y = x1 (hyperbola) a její limitu v bodě x0 = = 0. Blížíme-li se k bodu 0 zprava, tj. dosazujeme velmi malé kladné hodnoty, funkce nabývá nekonečně velkých hodnot. Podobně blížíme-li se k 0 zleva, tj. dosazujeme velmi malé záporné hodnoty, funkce nabývá hodnot blízkých k −∞. Toto pozorování můžeme symbolicky zapsat lim

x→0−

1 = −∞ x

lim

x→0+

1 = ∞, x

57


což znamená, že funkce nemá limitu v bodě 0. V tomto případě mluvíme o tzv. jednostranných limitách. Řekneme, že funkce f (x) má v bodě x0 limitu zleva rovnu L, píšeme lim f (x) = L,

x→x− 0

jestliže se s hodnotami funkce f (x) můžeme libovolně přiblížit číslu L tak, že vezmeme hodnoty x menší než x0 a dostatečně blízké hodnotě x0 . Podobně můžeme popsat limitu zprava i příslušné nevlastní limity. Platí, že limita v nějakém bodě existuje právě tehdy, když existují v tomto bodě obě jednostranné limity a mají společnou hodnotu, což můžeme formulovat následovně. Věta 3.5. Platí lim f (x) = L právě tehdy, když lim f (x) = lim f (x) = L. x→x0

x→x− 0

x→x+ 0

Pro výpočet limit platí následující početní operace. Věta 3.6. Nechť existují obě vlastní limity lim f (x) = L1 , lim g(x) = L2 . x→x0

Pak platí:

x→x0

a) lim (f (x) ± g(x)) = L1 ± L2 , x→x0

b) lim (f (x) · g(x)) = L1 · L2 , x→x0

c) Je-li L2 6= 0, pak lim

x→x0

L1 f (x) = , g(x) L2

d) lim |f (x)| = | lim f (x)|. x→x0

x→x0

Poznámka 3.7. Pro výpočet limity podílu lim

x→x0

f (x) , g(x)

kde lim f (x) = 1,

x→x0

lim g(x) = ±∞ nebo

x→x0

lim g(x) = 0,

x→x0

platí vztahy vyjádřené symbolicky 1 = 0, ±∞

1 = +∞, +0

1 = −∞. −0

(3.4)

Je-li lim f (x) = c a lim g(x) = 0, pak je vztahy v (3.4) třeba modifikovat x→x0

x→x0

podle znaménka čísla c.

58

Matematika pro nematematické obory V případech limit typu vyjádřených symbolicky ∞ , ∞

∞ − ∞,

0 0

je situace nejednoznačná (jde o tzv. neurčité výrazy). Jak postupovat v těchto případech ukážeme později v části věnované l’Hospitalovu pravidlu. Následující věta plyne přímo z definice limity a má praktický význam. Věta 3.8. Nechť platí f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) pro x ∈ (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ), kde δ je dostatečně malé. Jestliže lim f (x) = L = lim h(x),

x→x0

x→x0

pak lim g(x) = L. x→x0

Příklad 3.9. Vypočítejte limity 2 a) lim xx2 +5 , −3 x→2

c) e)

lim

x→6

√ x−6 , x+3−3

6 , 2 x→1 x −1

lim

b)

x2 −4 2 −3x+2 , x x→2

d)

lim 2x−1 , x→∞ x +x+1

f)

lim x2 sin

lim

x→0

1 x

.

Řešení. a) Jedná se o nejjednodušší případ výpočtu. Dosadíme za x do funkčního předpisu a dostáváme přímo hodnotu limity 22 + 5 x2 + 5 = 2 = 9. 2 x→2 x − 3 2 −3 lim

b) Pokud dosadíme hodnotu x = 2, dostáváme neurčitý výraz „ 00 “ . Upravíme funkci tak, že rozložíme oba polynomy a „problematický“ výraz zkrátíme: lim

x→2 x2

x2 − 4 (x − 2)(x + 2) x+2 = lim = lim = 4. − 3x + 2 x→2 (x − 2)(x − 1) x→2 x − 1

c) Po dosazení x = 6 dostáváme neurčitý výraz „ 00 “ . Výraz rozšíříme „vhodnou jedničkou“ tak, abychom se „zbavili“ odmocniny: √ √ x+3+3 x−6 (x − 6)( x + 3 + 3) x−6 √ = lim √ = lim = lim √ x→6 x+3−9 x + 3 − 3 x→6 x + 3 − 3 x + 3 + 3 x→6 √ = lim ( x + 3 + 3) = 6. x→6

59


∞“ , který upravíme tak, že d) Dosazením x = ∞ obdržíme neurčitý výraz „ ∞ 2 z každého členu vytkneme x (obecně x na nejvyšší mocninu, která se v daném výrazu vyskytuje). Dostaneme 1 1 x2 ( x1 − x12 ) x−1 x − x2 = lim = lim = 0. x→∞ x2 (1 + 1 + 12 ) x→∞ x2 + x + 1 x→∞ 1 + 1 + 12 x x x x

lim

e) Dosazením x = 1 dostáváme „ 60 “ . V takovémto případě je nutné rozhodnout o existenci této limity pomocí jednostranných limit lim

x→1+

x2

6 = ∞, −1

lim

x→1−

x2

6 = −∞. −1

Proto daná limita neexistuje. f) Blíží-li se x k nule, lim sin

1 x

x→0

neexistuje. Jelikož platí

1 ≤ 1, −1 ≤ sin x můžeme použít větu 3.8. Vynásobením nerovnosti výrazem x2 , který je nezáporný, dostáváme 1 2 2 −x ≤ x sin ≤ x2 . x Protože lim (−x2 ) = lim x2 = 0,

x→0

platí

x→0

1 lim x sin = 0. x→0 x 2

3.2

Spojitost funkce

Pomocí limity můžeme definovat speciální vlastnost funkcí – spojitost. Spojité funkce mají řadu pěkných vlastností, jak si ukážeme v dalších kapitolách. Definice 3.10. Nechť x0 ∈ R. Řekneme, že funkce f je v bodě x0 spojitá, jestliže je limita funkce v tomto bodě rovna funkční hodnotě v tomto bodě, tj. lim f (x) = f (x0 ). x→x0

Podobně definujeme i jednostranné spojitosti pomocí jednostranných limit.

60

Matematika pro nematematické obory Všechny tzv. elementární funkce, tj. • mnohočleny, • exponenciální a logaritmické funkce, • goniometrické a cyklometrické funkce, √ • mocninná funkce (např. x, obecně funkce xa , kde a ∈ R a x > 0)

a všechny funkce, které z nich vzniknou konečným počtem aritmetických operací sčítání, odčítání, násobení a dělení, skládáním a tvořením funkcí inverzních, jsou spojité ve všech bodech, kde jsou definované. Proto je limita těchto funkcí v daném bodě rovna funkční hodnotě. Tuto skutečnost budeme v dalším textu mnohokrát využívat. Definice 3.11. Nechť f je funkce a I ⊆ D(f ) je interval. Řekneme, že funkce f je spojitá na intervalu I, jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě tohoto intervalu. Patří-li navíc levý (pravý) koncový bod do I, je v něm funkce spojitá zprava (zleva). Je-li I = [a, b], často se fakt, že je funkce na tomto intervalu spojitá, zapisuje f ∈ C[a, b]. Funkce, které jsou spojité na ohraničeném a uzavřeném intervalu, mají důležité vlastnosti (tzv. Weierstrassova věta a Bolzanova věta). Věta 3.12 (Weierstrassova věta). Nechť f je spojitá na intervalu I = [a, b]. Pak je na tomto intervalu ohraničená a nabývá zde své největší i nejmenší hodnoty. Věta 3.13 (Bolzanova věta). Nechť f je spojitá na intervalu I = [a, b]. Pak na tomto intervalu nabývá všech hodnot mezi svou největší a nejmenší hodnotou. Z posledního tvrzení plyne následující vlastnost, kterou jsme vlastně již používali při určování znaménka polynomu a racionální lomené funkce. Důsledek 3.14. Je-li funkce f spojitá na intervalu I = [a, b] a f (a)f (b) < 0, pak existuje bod c ∈ (a, b) takový, že f (c) = 0.

3.3

Derivace funkce

Vraťme se nyní zpět k našim úvahám z úvodu kapitoly o rychlosti změny. Pomocí limity teď můžeme popsat námi odvozenou okamžitou rychlost změny.

61


Definice 3.15. Buď f funkce a bod x0 ∈ D(f ). Existuje-li vlastní limita lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) , x − x0

(3.5)

nazýváme tuto limitu derivací funkce f v bodě x0 a značíme f ′ (x0 ). Derivaci funkce f v bodě x0 značíme též df dx (x0 ) nebo f (x) Podobně definujeme derivace zprava a derivace zleva: f+′ (x0 ) = lim

x→x+ 0

f (x) − f (x0 ) , x − x0

f−′ (x0 ) = lim

x→x− 0

′

x=x0

.

f (x) − f (x0 ) . x − x0

Poznámka 3.16. Bezprostředně z definice derivace plynou tyto důležité vlastnosti derivace funkce: i) Funkce má v daném bodě nejvýše jednu derivaci. ii) Položíme-li h = x − x0 , lze derivaci zapsat ve tvaru f ′ (x0 ) = lim

h→0

f (x0 + h) − f (x0 ) . h

iii) Funkce f má v x0 derivaci právě tehdy, když má v tomto bodě derivaci zprava i zleva a ty jsou si rovny. Geometrický význam derivace Nyní se podíváme na derivaci z geometrického pohledu. Nejprve připomeňme, co je to směrnice přímky. Směrnicí přímky procházející dvěma různými body (x0 , y0 ) a (x1 , y1 ) rozumíme číslo y1 − y0 = tg ϕ, k= x1 − x0 kde ϕ je úhel, který svírá přímka s kladným směrem osy x. Známe-li směrnici k, můžeme přímku zapsat rovnicí y − y0 = k(x − x0 ).

(3.6)

Směrnice tedy určuje směr přímky. Díky vlastnostem funkce tangens víme, že bude-li k kladné, bude mít přímka odchylku 0◦ < ϕ < 90◦ . Podobně, bude-li k záporné, bude pro odchylku platit 90◦ < ϕ < 180◦ . Nyní najdeme tečnu t ke grafu funkce f bodě T = (x0 , f (x0 )). Jelikož přímka je určena dvěma body a my máme k dispozici jen jeden, nejprve v daném bodě sestrojíme nějakou sečnu s, tj. přímku, která bude náš graf protínat

Toto je pouze náhled elektronické knihy. Zakoupení její plné verze je možné v elektronickém obchodě společnosti eReading.

Zuzana Došlá, Petr Liška. Matematika. pro nematematické obory. s aplikacemi v přírodních a technických vědách. Armstrong

Recommend Documents