MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch
Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková
© RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8
Vážení studenti,
dostávají se vám do rukou skripta k Matematice 1 pro obor Finance a řízení a obor Cestovní ruch. Vzhledem k tomu, že vaším hlavním studiem není matematika, je matematická teorie funkcí jedné proměnné vysvětlována bez důkazů a pokud možno co nejsrozumitelněji. Srozumitelnost je dále podpořena větším množstvím řešených příkladů. Také lineární algebra je podána zjednodušenou formou bez důkazů. Na konci každé kapitoly naleznete základní příklady k procvičení spolu s jejich výsledky. Doporučujeme si nejprve prostudovat a poté samostatně vypočítat řešené příklady, a teprve pak se obrátit k příkladům neřešeným. Přejeme vám úspěšné studium s našimi skripty, a předem děkujeme za jakékoli připomínky k jejich zlepšení.
M.Hojdarová, J.Krejčová, M.Zámková
V Jihlavě, červen 2014
Přehled základních pojmů a označení
množina všech přirozených čísel množina všech celých čísel množina všech racionálních čísel množina všech reálných čísel množina všech reálných čísel rozšířená o nevlastní body {
a
,
}
nenulové reálné číslo (
)
) { otevřený interval, ( prázdných kroužků u krajních bodů
}, graficky vyjadřujeme pomocí
〈
〉
〉 { uzavřený interval, 〈 vyplněných kroužků u krajních bodů
}, graficky vyjadřujeme pomocí
〈
)
polouzavřený (polootevřený) interval, 〈
)
{
}, grafické znázornění
(
〉
polouzavřený (polootevřený) interval, ( znázornění
〉
{
}, grafické
( (
) )
〈
otevřený interval, ( 〉
( )
otevřený interval, (
{
) )
{
} {
〉
polouzavřený interval, ( polouzavřený interval, 〈
}
)
{
} }
OBSAH 1.
2.
FUNKCE (Krejčová) ......................................................................................................................................... 1 1.1.
Reálná funkce reálné proměnné ........................................................................................................... 1
1.2.
Vlastnosti funkcí .................................................................................................................................... 5
1.3.
Inverzní funkce .................................................................................................................................... 11
1.4.
Přehled elementárních funkcí jedné proměnné .................................................................................. 11
1.4.1.
Lineární funkce............................................................................................................................ 11
1.4.2.
Lineární funkce s absolutní hodnotou ........................................................................................ 13
1.4.3.
Kvadratické funkce ...................................................................................................................... 15
1.4.4.
Mocninné funkce ........................................................................................................................ 18
1.4.5.
Lineární lomené funkce .............................................................................................................. 18
1.4.6.
Exponenciální funkce .................................................................................................................. 22
1.4.7.
Logaritmické funkce .................................................................................................................... 22
1.4.8.
Goniometrické funkce................................................................................................................. 24
1.4.9.
Cyklometrické funkce.................................................................................................................. 25
1.5.
Grafy elementárních funkcí v posunutém tvaru .................................................................................. 28
1.6.
Definiční obor ...................................................................................................................................... 31
1.7.
Cvičení ................................................................................................................................................. 33
LIMITA A SPOJITOST FUNKCE (Krejčová) ...................................................................................................... 37 2.1.
Limita funkce ....................................................................................................................................... 37
2.2.
Spojitost funkce ................................................................................................................................... 40
2.2.1.
Spojitost funkce v bodě .............................................................................................................. 40
2.2.2.
Spojitost funkce na intervalu ...................................................................................................... 41
2.3.
Výpočet limit........................................................................................................................................ 45
2.3.1.
Limity polynomů v nevlastním bodě ........................................................................................... 47
2.3.2.
Limity podílu polynomů v nevlastním bodě ................................................................................ 48
2.3.3.
Limity podílu polynomů ve vlastním bodě .................................................................................. 49
2.3.4.
Limity výrazů s odmocninami v nevlastním bodě ....................................................................... 51
2.3.5.
Limity výrazů s odmocninami ve vlastním bodě ......................................................................... 52
2.3.6. 2.4. 3.
4.
5.
6.
7.
Limity exponenciálních funkcí v nevlastním bodě ...................................................................... 53
Cvičení ................................................................................................................................................. 54
DERIVACE FUNKCÍ (Zámková) ....................................................................................................................... 56 3.1.
Definice a geometrický význam derivace ............................................................................................ 56
3.2.
Pravidla pro derivování základních elementárních funkcí ................................................................... 58
3.3.
Derivace složených funkcí.................................................................................................................... 68
3.4.
Derivace vyšších řádů .......................................................................................................................... 71
3.5.
Cvičení ................................................................................................................................................. 73
UŽITÍ DERIVACÍ (Zámková) ........................................................................................................................... 76 4.1.
Věty o střední hodnotě ........................................................................................................................ 76
4.2.
L’Hospitalovo pravidlo ......................................................................................................................... 77
4.2.1.
Neurčitý výraz typu
.......................................................................................................... 81
4.2.1.
Neurčitý výraz typu
....................................................................................................... 82
4.2.2.
Neurčité výrazy typu
,
,
........................................................................................... 83
4.3.
Asymptoty grafu funkce ...................................................................................................................... 84
4.4.
Cvičení ................................................................................................................................................. 92
VÝZNAM PRVNÍ A DRUHÉ DERIVACE PRO PRŮBĚH FUNKCE (Krejčová) ....................................................... 94 5.1.
Význam první derivace pro vyšetření monotonie funkce .................................................................... 94
5.2.
Význam druhé derivace pro vyšetření zakřivenosti grafu funkce ........................................................ 98
5.3.
Cvičení ............................................................................................................................................... 105
EXTRéMY FUNKCE A VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE (Krejčová) ............................................................ 107 6.1.
Lokální extrémy ................................................................................................................................. 107
6.2.
Globální extrémy ............................................................................................................................... 113
6.3.
Vyšetření průběhu funkce ................................................................................................................. 116
6.4.
Cvičení ............................................................................................................................................... 123
APROXIMACE FUNKCE (Hojdarová) ............................................................................................................ 126 7.1.
Co je aproximace? ............................................................................................................................. 126
7.2.
Aproximace pomocí diferenciálu ....................................................................................................... 126
7.3.
Taylorův a Maclaurinův polynom ...................................................................................................... 128
7.4.
Chyba aproximace, zbytek Taylorova polynomu ............................................................................... 132
7.5.
Důležité Maclaurinovy polynomy ...................................................................................................... 133
7.6.
Aproximace mnohočlenu vyššího stupně Taylorovým polynomem, Hornerovo schéma ................. 133
7.7.
Aproximace funkce v intervalu .......................................................................................................... 136
7.8.
Cvičení ............................................................................................................................................... 137
8.
ÚVOD DO ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC, VEKTOROVÝ PROSTOR (Hojdarová) ........................... 140 8.1.
Motivační příklad, vektorový prostor ................................................................................................ 140
8.2.
Cvičení ............................................................................................................................................... 143
9.
MATICE A MATICOVÉ ROVNICE (Hojdarová) .............................................................................................. 145 9.1.
Typy matic ......................................................................................................................................... 145
9.2.
Operace s maticemi ........................................................................................................................... 148
9.3.
Hodnost matice ................................................................................................................................. 150
9.4.
Inverzní matice .................................................................................................................................. 153
9.5.
Maticové rovnice ............................................................................................................................... 155
9.6.
Cvičení ............................................................................................................................................... 158
10.
DETERMINANTY A JEJICH VLASTNOSTI (Hojdarová) .............................................................................. 162
10.1.
Pojem determinantu ......................................................................................................................... 162
10.2.
Základní vlastnosti determinantu ...................................................................................................... 164
10.3.
Subdeterminant, algebraický doplněk determinantu ....................................................................... 165
10.4.
Výpočet inverzní matice pomocí determinantů ................................................................................ 167
10.5.
Cvičení ............................................................................................................................................... 168
11.
ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC (Hojdarová) ............................................................................. 171
11.1.
Gaussova eliminační metoda, Frobeniova věta ................................................................................. 171
11.2.
Řešení soustavy s regulární maticí Cramerovým pravidlem ............................................................. 176
11.3.
Řešení soustav lineárních rovnic s regulární maticí soustavy pomocí inverzní matice ..................... 177
11.4.
Jordanova metoda úplné eliminace ............................................................................................... 178
11.5.
Cvičení ............................................................................................................................................... 179
12.
SEZNAM LITERATURY ............................................................................................................................. 185
1. FUNKCE V této kapitole zavedeme a popíšeme nejdůležitější vlastnosti elementárních funkcí jedné proměnné.
1.1.
REÁLNÁ FUNKCE REÁLNÉ PROMĚNNÉ
DEFINICE: FUNKCE Buďte , neprázdné podmnožiny reálných čísel. Za reálnou funkci jedné reálné proměnné považujeme neprázdnou množinu uspořádaných dvojic , kde , , splňující podmínku: ke každému existuje nejvýše jedno tak, že . Zapisujeme . Skutečnost zapisujeme ( ). Množina všech přípustných se nazývá definiční obor funkce a značíme ji ( ). Není-li řečeno jinak, považujeme za definiční obor funkce množinu všech , pro která má pravá strana rovnice ( ) smysl. Množina příslušných se nazývá obor hodnot funkce a značíme ji ( ). Funkce je tedy pravidlo, které danému číslu
přiřadí jediné, přesně definované číslo .
PŘÍKLAD: Uvažujme následující funkci , zadanou tabulkou: x
-1
0
1
2
y
-4
-1
2
5
} a obor hodnot je ( ) { }. Naopak následující Definiční obor této funkce je ( ) { tabulkou není zadána funkce, protože není splněna podmínka z definice. Tzn. pro hodnotu existují dvě různé hodnoty . x
-1
0
1
1
y
-4
-1
2
5
DEFINICE: GRAF FUNKCE Grafem funkce je množina všech uspořádaných dvojic bodů { s kartézskou soustavou souřadnic.
( ) zobrazených v rovině
s osami souřadnic na sebe kolmými a se
Kapitola: FUNKCE
Kartézská soustava souřadnic je soustava souřadnic v rovině stejnými jednotkami na obou osách.
( )}
1
Na obrázku 1 je znázorněn graf funkce ( ) . Definiční obor i obor hodnot této funkce jsou všechna ( ) reálná čísla, tj. ( ) .
Obrázek 1
Na obrázku 2 je znázorněn graf funkce ( ) , jejíž definiční obor je omezen na interval 3;2 . Tedy grafem funkce již není přímka, ale pouze úsečka pro hodnoty z daného intervalu. Obor hodnot neboli množina hodnot , pro které daný graf existuje, je zúžen také na interval
( )
2;3 .
Obrázek 2
PŘÍKLAD: Určeme, jestli je následujícími grafy znázorněna funkce. Pokud ano, určeme definiční obor a obor hodnot znázorněné funkce. a)
2
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Řešení: Na obrázku je funkce, protože pro každou hodnotu existuje nejvýše jedna hodnota neboli jeden bod v grafu, viz obrázek.
Definiční obor funkce je množina čísel na ose , pro která existuje , že bod leží na grafu { }. dané funkce. Tedy ( )
Obor hodnot funkce je množina hodnot , pro které existuje , že bod leží na grafu dané { }. funkce. Tedy ( )
Kapitola: FUNKCE
a)
3
b)
Na tomto obrázku je opět graf funkce. Definiční obor funkce je polouzavřený interval. To znamená, že obsahuje pouze jeden svůj krajní bod a druhý krajní bod neobsahuje. Hodnota hodnota
do definičního oboru patří a do definičního oboru nepatří.
Tedy ( )
2; 2 .
Obor hodnot (čteme na ose y) je uzavřený interval. Tedy patří do něj oba krajní body. ( )
1;3 .
c) ( )
2;3
, ( )
d) ( )
3;2
. Obor hodnot funkce tvoří pouze hodnota 2, tedy ( )
e) ( )
4;4 , ( )
4;4 . {2}.
3;2 .
f)
Na tomto obrázku není graf funkce.
Je patrné, že např. pro hodnotu dvě různé hodnoty , ,
lze nalézt .
Tedy pro jednu hodnotu existují dvě hodnoty y, což je v rozporu s definicí funkce.
g) Jedná se o graf funkce, která má ( )
4
. Obor hodnot je ale pouze interval
( )
1; .
Pro hodnoty na ose
menší nebo rovno
h)
odpovídající bod na grafu funkce neexistuje.
Toto není graf funkce.
Pro hodnotu existují dvě hodnoty , a , což je v rozporu s definicí funkce.
i)
Obrázek je podobný předchozímu případu, ale rozdíl je v tom, že nyní pro existuje již pouze jedna hodnota , a to . Nyní se tedy jedná o graf funkce. Definiční obor je ( )
3;3 .
Obor hodnot tvoří pouze dvě hodnoty, tedy ( ) {-1;2}.
1.2.
VLASTNOSTI FUNKCÍ
DEFINICE: MONOTONIE FUNKCE Nechť
je funkce a interval je podmnožinou ( ).
Řekneme, že funkce ( ) ( ).
je na intervalu rostoucí, jestliže pro každé
taková, že
, platí
Řekneme, že funkce ( ) ( ).
je na intervalu klesající, jestliže pro každé
, taková, že
, platí
Řekneme, že platí ( ) Řekneme, že platí ( )
funkce je na intervalu nerostoucí, jestliže pro každé ( ). funkce je na intervalu neklesající, jestliže pro každé ( ).
taková, že
,
, taková, že
,
Kapitola: FUNKCE
Poznámka:
Řekneme, že funkce je na intervalu monotónní, je-li buď nerostoucí, nebo neklesající na . Řekneme, že funkce je na intervalu ryze monotónní, je-li buď rostoucí, nebo klesající na . Dále se budeme zabývat pouze
5
ryzí monotonnií, proto v následujícím textu pod pojmem monotónní budeme uvažovat výhradně ryze monotónní funkce. Funkce na obrázku 3 je klesající na intervalu ( ). a rostoucí na intervalu 〈
〉
Tato funkce tedy není monotónní na definičním oboru.
Obrázek 3
Funkce na obrázku 4 je neklesající. Je tedy monotónní na celém definičním oboru.
Obrázek 4
Funkce na obrázku 5 je klesající na intervalu ( ). a také na intervalu (
)
Nemůžeme ale říci, že je klesající na celém definičním oboru. Např. pro je ( ) a pro je ( ) . Tedy neplatí ( ) ( ).
Obrázek 5
6
DEFINICE: PERIODIČNOST FUNKCE Řekneme, že funkce je periodická, existuje-li kladné číslo takové, že platí, je-li ( ), je i ( )a ( ) platí ( ) ( ). Nejmenší číslo s touto vlastností nazýváme primitivní periodou funkce. Má-li funkce periodu , pak také čísla funkce goniometrické.
,
, atd. jsou periody. Typickým příkladem periodických funkcí jsou
Na obrázku 6 je znázorněna goniometrická funkce ( ) . Tato funkce má primitivní periodu Základní část funkce, která se stále opakuje, je znázorněna červeně.
Obrázek 6
Na obrázku 7 je funkce ( )
.
Tato funkce je rovněž periodická a má za periodu dokonce libovolné kladné reálné číslo. Tato funkce nemá primitivní periodu.
Obrázek 7
VĚTA Každá nekonstantní funkce má primitivní periodu.
DEFINICE: PARITA FUNKCE ( ) platí (
je sudá, jestliže pro každé (
Řekneme, že funkce
)
(
)
( ) a platí
( ).
( ) platí (
je lichá, pokud pro každé
)
)
Kapitola: FUNKCE
Řekneme, že funkce
( ) a platí
( ).
7
Z definice vyplývá, že funkce, které jsou sudé či liché, musí mít definiční obor symetrický dle počátku, tj. bodu . Dále, graf funkce sudé je symetrický podle osy a graf liché funkce je středově souměrný podle bodu . Paritu funkce můžeme tedy poznat z grafu funkce nebo pomocí výpočtu. Funkce na obrázku 3 a 7 jsou sudé, jejich grafy jsou symetrické podle osy y. Naopak funkce na obrázku 4, 5 a 6 jsou liché, jejich graf je souměrný podle počátku. lichá funkce
sudá funkce
Funkce na obrázku 8 ale není sudá, protože nemá symetrický definiční obor, ( ) ( ).
Pokud bychom definiční obor zúžili na interval ( ), pak by takto definovaná funkce sudá byla.
Obrázek 8
Pokud neumíme nakreslit graf funkce, lze paritu určit pomocí výpočtu hodnoty (
).
PŘÍKLAD: Určeme paritu následujících funkcí: a) b) c)
( ) ( ) ( )
d)
( )
na ( ) ( na ( ) 〈 na ( ) ( na ( )
(
) 〉 )
(
)
)
Řešení: a)
8
Definiční obor není symetrický podle , proto funkce nemůže být ani sudá, ani lichá.
b) Definiční obor této funkce je symetrický podle , funkce tedy může být sudá, či lichá. Toto ověříme výpočtem. Vyjádříme hodnotu ( ). To znamená, že do zadání funkce dosadíme místo hodnotu – . Tedy: ( ) ( ) ( ) . Tedy platí ( ) ( ), což znamená, že je funkce podle definice sudá. c) Definiční obor této funkce je opět symetrický podle , tedy provedeme výpočet ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) Nyní neplatí, že ( ) ani ( ). Tedy funkce není ani sudá, ani lichá. d) Definiční obor je opět symetrický podle a ( Tedy (
)
)
( (
) )
.
( ), z čehož plyne, že funkce je lichá.
DEFINICE: OMEZENOST FUNKCE Nechť je funkce a množina je podmnožinou definičního oboru funkce . Řekneme, že funkce je na množině zdola omezená, existuje-li reálné číslo takové, že platí ( ) pro všechna . Řekneme, že funkce je na množině shora omezená, existuje-li reálné číslo takové, že platí ( ) pro všechna . Pokud je funkce na množině omezená zdola i shora, potom je funkce na množině omezená. Poznámka: Místo termínu omezená se také používá pojem ohraničená. Graf funkce omezené shora (resp. zdola) si můžeme představit tak, že existuje rovnoběžná přímka s osou , která leží celá nad grafem funkce (resp. pod grafem funkce). Funkce omezená hodnotou 1 shora.
Kapitola: FUNKCE
Funkce omezená zdola hodnotou -1.
9
Tato funkce je omezená shora hodnotou 1 a zdola hodnotou -1. Tedy jedná se o funkci omezenou.
Tato funkce není omezená.
DEFINICE: PROSTOST FUNKCE Řekneme, že funkce
je prostá, právě když pro všechna
( ) platí: Je-li
, pak ( )
( ).
Pro funkci prostou tedy platí, že nám pro různé hodnoty nevyjde stejná hodnota . Například funkce (obrázek 10) není prostá, protože pro hodnoty a vyjde stejná funkční hodnota . Naopak funkce (obrázek 9) je prostá, protože pro každou hodnotu vyjde jiná hodnota . V grafu tuto vlastnost poznáme tak, že pro každou hodnotu odpovídající bod .
Obrázek 9
nalezneme na grafu funkce pouze jeden
Obrázek 10
VĚTA: Je-li funkce
10
na intervalu monotónní, je na tomto intervalu také prostá.
Poznámka: Připomeňme si, že pojmem monotónní myslíme ryze monotónní funkci.
1.3.
INVERZNÍ FUNKCE
DEFINICE: INVERZNÍ FUNKCE Nechť funkce je prostá. Pravidlo, které každému z množiny přiřadí jediné z množiny , pro které platí ( ) , se po přeznačení proměnných nazývá inverzní funkce k funkci . Označujeme ji . Graf funkce a graf funkce k ní inverzní jsou souměrné podle přímky kvadrantu. Z definice vyplývá, že pro funkci a funkci k ní inverzní platí: ( )
(
)
( )
(
)
, tj. podle osy prvního a třetího
Inverzní funkci k funkci ( ) určíme takto. Zaměníme formálně v zadání funkce proměnné a , máme tedy ( ). Z této rovnice vyjádříme proměnnou . Toto vyjádření je jednoznačné (jinak by to znamenalo, že inverzní funkce neexistuje, protože funkce není prostá) a definuje explicitně inverzní funkci . Některé ze základních elementárních funkcí jsou definovány jako inverzní funkce k jiným. Například inverzní funkce k logaritmické funkci je exponenciální funkce a podobně. Protože vlastnost „být inverzní funkcí” je vlastnost vzájemná, je také logaritmická funkce inverzní k funkci exponenciální. Názorný výpočet inverzní funkce si ukážeme v následující kapitole.
VĚTA: Je-li funkce
rostoucí (klesající, lichá), má tutéž vlastnost i funkce inverzní
.
Poznámka: Uvedená věta se nevztahuje na funkce sudé, protože z definice sudé funkce vyplývá, že sudá funkce není prostá. Nemůže k ní tedy existovat inverzní funkce.
1.4.
PŘEHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ
Nyní si připomeneme vlastnosti a grafy elementárních funkcí.
LINEÁRNÍ FUNKCE
Lineární funkce je funkce, která je dána ve tvaru , kde . Grafem této funkce je přímka. Pokud není zadáno jinak, definiční obor jsou všechna reálná čísla. V případě kdy tvoří obor hodnot všechna reálná čísla. Pokud obor hodnot je pouze jedna hotnota, tj. ( ) { }.
Kapitola: FUNKCE
1.4.1.
11
Speciálním případem lineárních funkcí jsou funkce, pro něž je , tj. funkce , které nazýváme konstantní funkce. Grafem těchto funkcí jsou přímky rovnoběžné s osou .
Na obrázku 11 je graf konstantní funkce
Obrázek 11
PŘÍKLAD: Nakresleme graf funkce
.
Protože grafem lineární funkce je přímka, stačí zjistit dva body grafu této funkce a spojit je. Správný graf má mít vyznačené průsečíky se souřadnicovými osami, proto určíme rovnou tyto průsečíky. Průsečík s osou zjistíme tak, že dosadíme do rovnice za nulu.
Tedy [ ]. Průsečík s osou do rovnice dosadíme za nulu.
Tedy je přímkou.
vypočítáme tak, že
. Nyní nakreslíme oba body a spojíme
Tato funkce je rostoucí, není omezená, není sudá ani lichá, je prostá.
PŘÍKLAD: Načrtněme graf funkce
12
, jejíž ( )
(
〉.
Opět určíme průsečíky s osami [ ], . Protože má funkce omezený definiční obor, grafem bude úsečka. Spočteme tedy také souřadnice koncových bodů: , . Tato funkce je omezená zdola i shora, je rostoucí a 〉. prostá. Není sudá ani lichá. ( ) (
PŘÍKLAD: Určeme inverzní funkci k funkci
.
Budeme postupovat podle návodu, který jsme uvedli v předchozí kapitole. Vyměníme v zadání funkce naopak. Poté z rovnice vyjádříme .
za
a
Vidíme, že inverzní funkcí k lineární funkci je opět lineární funkce. ( )
( )
(
)
(
)
Pokud načrtneme grafy obou funkcí, je patrné, že jsou symetrické dle přímky .
1.4.2. LINEÁRNÍ FUNKCE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU Připomeňme si nejprve pojem absolutní hodnota. Absolutní hodnota reálného čísla platí:
je-li je-li
, je | | , je | |
je číslo | |, pro které
, .
| |
PŘÍKLAD: Načrtněme graf funkce
|
|
.
√
Kapitola: FUNKCE
Další možnost, jak lze definovat absolutní hodnotu, je pomocí druhé odmocniny
13
Pro všechna , tj.
| , tj. , je | . Naopak pro . Graf funkce se tedy skládá z grafů dvou funkcí:
, pro která je | , je |
〈
pro pro
Dopočítáme průsečíky s osami. Když za |
, pro která je
) (
)
dosadíme 0, získáme průsečík s osou ,
|
Pokud do rovnice dosadíme 0 za , získáme dva průsečíky s osou . |
| |
|
nebo
.
Tato funkce není ani sudá, ani lichá, není prostá. Omezená je pouze zdola hodnotou 2. ( ) a ( ) 〈 ).
PŘÍKLAD: |
Načrtněme graf funkce Pro všechna , tj.
|. | , tj. , je | . Naopak, pro . Graf funkce se tedy skládá z grafů dvou funkcí:
, pro která je | , je | ( (
) )
pro pro
Dopočítáme průsečíky s osami. Když za
〈
)
(
)
dosadíme 0, získáme průsečík s osou , |
|
Pokud do rovnice dosadíme 0 za , získáme dva průsečíky s osou . | |
| nebo
14
|
.
, pro která je
1.4.3. KVADRATICKÉ FUNKCE Kvadratická funkce je funkce definovaná předpisem kvadratické funkce je parabola s vrcholem . Pokud je , je parabola „rozevřená dolů“.
, kde { }, . Grafem , je parabola „rozevřená nahoru“, pokud je
Definičním oborem jsou všechna reálná čísla. Oborem hodnot je v případě 〉. interval (
interval 〈
Kvadratická funkce může být zadaná ve tvaru, z kterého jsou přímo vidět souřadnice vrcholu (
), v případě
:
)
Nebo ve tvaru , z něhož po převedení na předchozí rovnici získáme vzorce pro výpočet souřadnic vrcholu. Odvoďme si tyto vzorce.
(
)
(
)
(
)
(
)
Kapitola: FUNKCE
Z tohoto tvaru je již patrné, že vzorce pro souřadnice vrcholu paraboly jsou
15
PŘÍKLAD: Načrtněme graf funkce
(
)
.
Vrchol paraboly má tedy souřadnice
. Spočítáme průsečíky s osami. Průsečík s osou : (
)
Průsečíky s osou : ( (
nebo
)
)
tedy
Můžeme určit vlastnosti této funkce. Funkce není prostá, není sudá ani lichá. Funkce je omezená pouze shora 〉. (např. hodnotou 1). ( ) a ( ) (
PŘÍKLAD: Načrtněme graf funkce
.
Na výpočet souřadnic vrcholu jsme si uvedli vzorce, tedy pomocí uvedeného vzorce, nebo jednoduše tak, že stačí dosadit ( ) . Tedy . Průsečíky s osami jsou:
16
, souřadnici
lze vypočítat také
do zadání funkce, tedy
(
)
(
)(
)
PŘÍKLAD: Určeme inverzní funkci k funkci
pro
〈
).
Definiční obor funkce je zúžen pouze na nezáporné hodnoty, protože na svém maximálním definičním oboru, tedy v , funkce není prostá, a tedy k ní inverzní funkce neexistuje. Na intervalu 〈 ) je ale funkce prostá, tedy můžeme určit inverzní funkci:
√ Inverzní funkce tedy je:
√
)
(
)
〈
).
Grafy funkcí jsou symetrické podle osy Na obrázku vidíme modrý graf funkce graf funkce .
. a červený
Kapitola: FUNKCE
její (
17
1.4.4. MOCNINNÉ FUNKCE Mocninná funkce je funkce definovaná předpisem , kde . Definiční obor funkce jsou všechna reálná čísla. Obor hodnot se liší v závislosti na . Graf funkce je také závislý na tom, jestli je liché, či sudé. Pro liché je ( ) , funkce je lichá, rostoucí, prostá a není omezená. Mezi tyto funkce patří i lineární funkce.
Na obrázku 12 jsou zobrazeny mocninné funkce pro .
Obrázek 12
Pro sudé je ( ) 〈 ), funkce je sudá, klesající 〉 , rostoucí na 〈 na ( ), není prostá a je omezená zdola. Mezi tyto funkce patří i kvadratická funkce.
Na obrázku 13 jsou zobrazeny mocninné funkce pro .
Obrázek 13
1.4.5. LINEÁRNÍ LOMENÉ FUNKCE Lineární lomená funkce je funkce definovaná předpisem
, kde
,
a navíc platí
, což zaručí, že nelze výraz ve funkčním předpisu zkrátit na konstantu. Tedy nenastane např. (
)
.
Grafem funkce je rovnoosá hyperbola se středem Definiční obor funkce je
18
{ }. Obor hodnot funkce je
. { }.
Funkce má dvě asymptoty. Tento pojem je přesně definován v odstavci 4.3. Nyní si asymptoty můžeme představit jako přímky, ke kterým se graf funkce „neomezeně přibližuje“ v krajních bodech definičního oboru. První asymptota je kolmá na osu a její rovnice je , druhá asymptota je kolmá na osu a její rovnice je . Funkce může být zadána ve tvaru, ze kterého lze přímo vyčíst souřadnice středu: , kde
. Nebo ve tvaru: ,
který lze převést na předchozí tvar a odtud vyjádřit souřadnice středu takto: ,
.
Můžeme si všimnout, že první souřadnice středu hyperboly
je bod, ve kterém funkce není definována, neboli
nulový bod ze jmenovatele dané funkce, tedy hodnota, ke které se blíží graf svými konci v
a
. Souřadnice středu
je funkční
, což zapisujeme pomocí limity
Uvedený výpočet provedeme v odstavci o limitách 2.3.2.
PŘÍKLAD: .
Ze zadání můžeme ihned vyčíst souřadnice středu hyperboly
. Spočítáme průsečíky s osami [
]
Při kreslení grafu si nejprve nakreslíme střed a skrz něj vedeme asymptoty grafu (tj. přímky, ke kterým se bude graf svými konci blížit). Asymptoty jsou kolmé na souřadnicové osy. Potom si vyznačíme v grafu průsečíky
Kapitola: FUNKCE
Načrtněme graf funkce
19
s osami a nakonec dokreslíme graf tak, aby procházel danými průsečíky a svými konci se blížil k daným asymptotám.
Určíme základní vlastnosti této funkce. Funkce je prostá, není sudá ani lichá, není omezená. Funkce je klesající na intervalu ( ) a na intervalu ( ). ( ) { }a ( ) { }.
PŘÍKLAD: Načrtněme graf funkce
.
Ze vzorců, které jsme si uvedli pro výpočet souřadnic středu hyperboly, dostaneme spočítáme průsečíky s osami:
[
a
. Dále
]
Nyní můžeme načrtnout graf funkce.
Určíme základní vlastnosti této funkce. Funkce je prostá, není sudá ani lichá, není omezená. Funkce je rostoucí na intervalu ( ) a na intervalu ( ). ( ) { }a ( ) { }.
PŘÍKLAD: Načrtněme graf funkce
20
.
Ze vzorců, které jsme si uvedli pro výpočet souřadnic středu hyperboly, dostaneme
a
. Dále
spočítáme průsečíky s osami:
[
]
Nyní můžeme načrtnout graf funkce.
Určíme základní vlastnosti této funkce. Funkce je prostá, není sudá ani lichá, není omezená. Funkce je klesající na intervalu (
). ( )
) a na intervalu (
{
}a ( )
{
}.
PŘÍKLAD: Určeme inverzní funkci k funkci
.
Funkce je prostá, existuje k ní tedy inverzní funkce. V původní funkci zaměníme neznámé a vyjádříme :
(
)
Graf funkce je na obrázku znázorněn modře, graf funkce je znázorněn červeně.
(
)
{ }
(
) ( )
Kapitola: FUNKCE
{ }
( )
21
1.4.6. EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE Exponenciální funkce je funkce definovaná předpisem
, kde
je kladné číslo různé od 1.
Grafem funkce je exponenciální křivka, která je buď rostoucí (obrázek 14) pro pro .
Obrázek 14
, nebo klesající (obrázek 15)
Obrázek 15
Definiční obor funkce jsou všechna reálná čísla, obor hodnot je ( omezená zdola 0. Osa je asymptota grafu exponenciální funkce. Příkladem rostoucí exponenciální funkce jsou: Příkladem klesající exponenciální funkce jsou:
,
, ,
( ) ,
). Funkce je prostá, není sudá ani lichá a je
. .
1.4.7. LOGARITMICKÉ FUNKCE Logaritmická funkce o základu
je funkce definovaná předpisem
, kde
Logaritmická funkce oborem této funkce interval (
je funkce, která je inverzní k exponenciální funkci ) a oborem hodnot jsou všechna reálná čísla.
Grafem funkce je logaritmická křivka, která je opět v závislosti na základu nebo klesající (obrázek 17) pro .
22
je kladné číslo různé od 1. . Proto je definičním
buď rostoucí (obrázek 16) pro
Obrázek 16
Obrázek 17
Příkladem rostoucí logaritmické funkce jsou:
,
Příkladem klesající logaritmické funkce jsou:
, ,
. ,
.
Logaritmická funkce není sudá ani lichá, není omezená a je prostá. Osa funkce.
je asymptota grafu logaritmické
PŘÍKLAD: Určeme inverzní funkci k funkci
.
Abychom vypočítali předpis inverzní funkce, tak opět zaměníme
(
za
a naopak a vyjádříme .
za
a naopak a vyjádříme .
) (
)
Určíme ještě definiční obory a obory hodnot: ( ) (
)
(
Na obrázku je graf funkce funkce červeně.
(
)
)
( ).
vyznačen modře a graf
PŘÍKLAD: (
)
.
Abychom vypočítali předpis inverzní funkce, tak opět zaměníme
Kapitola: FUNKCE
Určeme inverzní funkci k funkci
23
(
) (
)
Určíme ještě definiční obory a obory hodnot: ( ) ( ) ( ) (
)
( ).
Na obrázku je graf funkce funkce červeně.
vyznačen modře a graf
V tomto i předchozím příkladu je z obrázků patrná symetrie grafů podle osy
.
1.4.8. GONIOMETRICKÉ FUNKCE Elementární goniometrické funkce jsou čtyři: Na obrázku 18 je funkce ( )
( )
〈
.
. 〉
Funkce je lichá, omezená shora 1, zdola -1. Funkce není prostá. Funkce je periodická, s periodou .
Obrázek 18
Funkce ( )
je znázorněna na obrázku 19. ( )
〈
〉
Funkce je sudá, omezená shora 1, zdola -1. Funkce není prostá. Funkce je periodická, s periodou .
24
Obrázek 19
Na obrázku 20 je funkce Tato funkce je definována jako ( ) ( )
{
. .
} kde
.
Funkce je lichá, není omezená, není prostá. Funkce je periodická, s periodou .
Obrázek 20
Funkce
je znázorněna na obrázku 21.
Tato funkce je definována jako {
( ) ( )
.
} kde
.
Funkce je lichá, není omezená, není prostá. Funkce je periodická, s periodou .
Obrázek 21
1.4.9. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE Cyklometrické funkce jsou funkce inverzní k funkcím goniometrickým. Jedná se tedy o čtyři funkce. Víme, že inverzní funkce existují pouze k funkcím prostým, proto se při definování inverzní funkce k funkci omezíme pouze na interval 〈
〉, u funkce
na interval 〈
〉, u funkce
na interval (
)a u
Kapitola: FUNKCE
funkce na interval ( ). Tedy na intervaly, na nichž jsou původní funkce rostoucí nebo klesající a které mají jako svůj vnitřní nebo krajní bod.
25
Inverzní funkce k funkci
se značí:
(čteme: [arkussinus]) ( )
〈
〉
( )
〈
〉
Funkce je rostoucí, prostá, omezená, lichá (obrázek 22). Obrázek 22
Inverzní funkce k funkci
se nazývá:
(čteme: [arkuskosinus]) ( )
〈
( )
〉 〈
〉
Funkce je klesající, prostá, omezená, není sudá ani lichá (obrázek 23). Obrázek 23
Inverzní funkce k funkci
se nazývá:
(čteme: [arkustangens]) ( ) ( )
(
)
Funkce je rostoucí, prostá, omezená a lichá (obrázek 24).
Obrázek 24
26
Inverzní funkce k funkci
se nazývá:
(čteme: [arkuskotangens]) ( ) ( )
(
)
Funkce je klesající, prostá, omezená, není sudá ani lichá (obrázek 25).
Obrázek 25
PŘÍKLAD: Určeme inverzní funkci k funkci
(
)
.
Vyjádříme nejdříve předpis inverzní funkce: (
) (
(
) (
Proto ( )
〈
〉
(
Argument funkce 〈 〉, tedy:
(
Proto (
〉
)
〈
) musí být z intervalu 〈
) 〉, tedy:
).
) musí být z intervalu
( )
Na obrázku vidíme modrý graf funkce a červený graf funkce a je patrná jejich symetrie podle osy .
Kapitola: FUNKCE
(
Argument funkce
)
27
PŘÍKLAD: (
Určeme inverzní funkci k funkci
)
.
Vyjádříme nejdřív předpis inverzní funkce: (
) (
(
) (
(
Argument funkce (
)
)
) musí být z intervalu
), tedy:
Proto ( )
〈
〉
(
Argument funkce reálné číslo, tedy (
( )
). ) může být jakékoliv ( )
Na obrázku vidíme modrý graf funkce graf funkce .
1.5.
a červený
GRAFY ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ V POSUNUTÉM TVARU
Grafy elementárních funkcí, které jsme si popsali v předchozích kapitolách, lze také posunovat či překlápět. Ukážeme si tyto operace na různých funkcích. Tyto operace platí pro všechny výše uvedené funkce, nejen pro ty, na kterých to zde názorně aplikujeme.
POSUNUTÍ VE SMĚRU OSY : Pokud argument funkce bude místo – .
28
( hodnota
) , posunujeme graf funkce ( ) ve směru osy
o hodnotu
Graf funkce že graf funkce doprava.
( ), získáme tedy tak, posuneme o jedničku
POSUNUTÍ VE SMĚRU OSY :
Graf funkce ( ), získáme tak, že graf funkce posuneme o jedničku doleva.
( )
Pokud k funkci přičteme (resp. odečteme) nějakou konstantu, posouvá to graf funkce ( ) o hodnotu .
grafu funkce
získáme posunutím o hodnotu dolu.
OTOČENÍ KOLEM OSY :
Graf funkce funkce
získáme posunutím grafu o jedna nahoru.
( )
Pokud je funkce vynásobená konstantou , pak se otáčí graf funkce ( ) kolem osy . Neboli část grafu funkce ( ), která je pod osou , se otočí kolem osy nahoru a ta část grafu, která je nad osou , se otočí kolem osy dolů.
Kapitola: FUNKCE
Graf funkce
29
Graf funkce tedy dostaneme tak, že otočíme graf funkce kolem osy .
OTOČENÍ KOLEM OSY
(
( ) tedy vznikne otočením kolem osy .
ABSOLUTNÍ HODNOTA FUNKCE
vznikne otočením kolem osy .
)
Pokud je argument funkce vynásobený hodnotou Graf funkce grafu funkce
Graf funkce grafu funkce
, pak se otáčí graf funkce ( ) kolem osy . Graf funkce vznikne otočením grafu funkce kolem osy .
| ( )|
Pokud je funkce v absolutní hodnotě, znamená to, že všechny její záporné hodnoty se násobí číslem neboli všechny body funkce pod osou se otáčí kolem této osy nahoru. Ta část grafu funkce ( ), která je nad osou , se neotáčí nikam.
30
| | získáme otočením Graf funkce záporné části grafu funkce (tj. části která je pod osou ) kolem osy nahoru.
1.6.
| Graf funkce části grafu funkce
| získáme otočením záporné nad osu .
DEFINIČNÍ OBOR
Při určování definičního oboru elementární funkce, hledáme množinu všech hodnot , které lze dosazovat do funkčního předpisu ( ). Na základě znalostí definičních oborů základních elementárních funkcí tedy stanovujeme podmínky, které musí být splněny, aby daná funkce byla definována. Za základní elementární funkce označujeme všechny funkce zavedené v předchozích kapitolách. Každá reálná funkce jedné reálné proměnné, která z těchto základních funkcí vznikne konečným počtem algebraických operací a konečným počtem operací skládání, je elementární. Nyní ještě zavedeme pojem složená funkce.
DEFINICE: SLOŽENÁ FUNKCE Nechť a jsou funkce. Pak funkce daná předpisem ( ( )) se nazývá složená funkce. Funkce se nazývá vnitřní složkou, funkce vnější složkou složené funkce . Připomeneme si definiční obory některých elementárních funkcí, tedy podmínky, za nichž mají smysl vyšetřované složené funkce.
( )
( )
( ) √ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) Kapitola: FUNKCE
31
PŘÍKLAD: (
Určeme definiční obor
)
.
Definiční obor funkce je množina všech reálných , pro něž dané funkce existují. Logaritmus existuje pouze pro 〉, proto musí kladná reálná čísla, proto musí platit , arkussinus je definován na množině 〈 platit
. Nyní vyřešíme tyto nerovnice a definiční obor bude průnik řešení těchto nerovnic.
(
(
)(
)
(
)
)
(
)
(
(
)
〈
〉
)
Průnik řešení jednotlivých nerovností je definiční obor zadané funkce, tedy ( )
(
〉.
PŘÍKLAD: √
Určeme definiční obor funkce
.
Ze zadání funkce plynou tyto podmínky:
(
)
(
(
)
〉
(
(
,
,
.
〈
)
)
Průnik řešení jednotlivých nerovností je definiční obor funkce, tedy ( )
〈
〉
(
PŘÍKLAD: Určeme definiční obor funkce Stanovíme podmínky:
(
) √
,
. .
(
32
〉
)(
)
〉.
(
(
)(
)
)
(
)
( Tedy ( )
(
(
)
(
)
(
)
)
(
(
)
)
).
PŘÍKLAD: Určeme definiční obor funkce
(
Stanovíme podmínky:
,
)
(
,
)
. (
(
(
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
)
První nerovnici splňují hodnoty
(
(
)
)
)
)
(
).
Definiční obor zadané funkce je pak průnik množin, v nichž jsou splněny jednotlivé podmínky, tedy ( )
b)
(
)
CVIČENÍ
1) Určete definiční obor funkce:
a)
)
√
(
)
Kapitola: FUNKCE
1.7.
(
33
(
c) d) e)
)
(
√
)
(
)
√
[a) 〈
), b) 〈
〉, c) (
〉
(
〉, e) (
), d) (
)]
2) Určete inverzní funkce k daným funkcím a určete definiční obor a obor hodnot obou funkcí: a) b) c)
(
)
(
d) e)
) (
) ( )
[a) (
b) (
c)
(
) )
—
(
)
)
〈
(
)
( ) ( )
( ( )
d) e)
)
(
)
( )
(
(
) (
〉
)
) (
(
( )
(
( ) )
)
( )
{ }, (
( )
), 〈
〉,
)
( )
,
( )
(
)]
3) Určete, jestli jsou tyto funkce prosté, sudé, nebo liché a ohraničené. a) b)
|
|
c) d) e) [a) není prostá, je sudá, omezená shora 2, b) není prostá, sudá, omezená shora a zdola 0, c) prostá, lichá, neomezená, d) prostá, ani sudá, ani lichá, omezená zdola –
a shora 0, e) prostá, lichá, omezená shora zdola
4)
Načrtněte grafy těchto funkcí: a) b) c)
|
|
i) j)
d)
(
)
(
)
e) f) g) h)
34
(
)
(
)
a ]
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Kapitola: FUNKCE
Výsledné grafy funkcí:
35
g)
h)
i)
j)
36
2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 2.1.
LIMITA FUNKCE
Definice limity funkce je založena na pojmu okolí bodu. Začněme tedy touto definicí.
DEFINICE: OKOLÍ BODU Nechť
.
( )
(
( )
(
) je -okolí bodu )
(
Pokud
{
(
)
(
)
(
(
)
(
)
(
.
) je prstencové -okolí bodu
.
}, pak definujeme: ), ).
Poznámka: Rozdíl mezi okolím bodu a prstencovém okolí bodu je tedy v tom, že do prstencového okolí bodu bod .
nepatří
DEFINICE: LIMITA FUNKCE Nechť
{
}. Funkce
má v bodě
limitu , píšeme: ( )
jestliže ke každému okolí
( ) existuje okolí
( )
( ), pak pro každé
( ) platí ( )
( ).
Poznámka: nahradíme
( ) levým okolím
( ) ( )
Pokud pro
nahradíme
( ) pravým okolím
( ) ( )
V příp dě
e jed á p uze jed
Definice tedy říká, že funkce má v bodě jsou funkční hodnoty ( ) blízké číslu . Na hodnotě funkce v bodě
á k í (pro
(
), jedná se o limitu zleva a píšeme
(
), jedná se o limitu zprava a píšeme
evé p
limitu , jestliže pro hodnoty
nezáleží, dokonce v něm funkce
p vé) blízké hodnotě
nemusí být ani definována.
, ale různé od
,
Kapitola: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
Pokud pro
37
Na obrázku 26 je okolí ( ) zobrazeno zeleně a prstencové okolí ( ) červeně.
Obrázek 26
Pokud je reálné číslo, mluvíme o limitě ve vlastním bodě, pokud je nebo , mluvíme o limitě v nevlastním bodě. Podobně pokud je reálné číslo, říkáme, že funkce má vlastní limitu, pokud je nebo , říkáme, že funkce má nevlastní limitu. Limita v bodě také nemusí existovat. Jinak řečeno, limita tedy vyjadřuje hodnotu, ke které se blíží funkční hodnoty a mohou této hodnoty I dosáhnout (čteme na ose ), když se po ose přibližujeme k hodnotě (ale tuto hodnotu nedosáhneme).
PŘÍKLAD: Určeme následující limity funkce, která je znázorněna na obrázku 27. ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
38
Obrázek 27
VĚTA: Funkce
má v libovolném bodě nejvýše jednu limitu.
VĚTA: Funkce
má v bodě
limitu rovnou číslu
právě tehdy, existují-li ( ),
( )
a platí-li ( ) Podle obrázku 27 tedy můžeme říci, že obě jednostranné limity, naproti tomu různé.
( )
( ) existuje a rovná se , protože tuto hodnotu nabývají i ( ) neexistuje, protože hodnoty jednostranných limit jsou
PŘÍKLAD: Určeme následující limity funkce , která je znázorněna na obrázku 28. ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
Obrázek 28
( ) ( ) ( )
Kapitola: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
( )
39
2.2.
SPOJITOST FUNKCE
Zavedeme nejprve spojitost funkce v bodě (tzv. lokální spojitost) a poté spojitost funkce na intervalu (tzv. globální spojitost).
2.2.1. SPOJITOST FUNKCE V BODĚ Spojitost funkce v bodě je definována pomocí limity.
DEFINICE: SPOJITOST FUNKCE V BODĚ Funkce
je spojitá v bodě
, jestliže existuje vlastní limita ( )
( ) a platí:
( )
Poznámka: Nahradíme-li v definici oboustrannou limitu limitou zleva, případně limitou zprava, jedná se o spojitost zleva, ( )a případně zprava. Tedy funkce je spojitá zprava v bodě , jestliže existuje vlastní limita platí: ( )
( )
Bod spojitosti musí být vnitřním bodem definičního oboru funkce, tedy nějaké jeho okolí náležet do definičního oboru funkce. Pro funkci
na obrázku 29 platí:
( )
( )
Tyto hodnoty se sobě rovnají, funkce je tedy v bodě spojitá.
Obrázek 29
40
( ) musí celé
Naopak, na obrázku 30 platí:
( )
( )
Protože jsou tyto hodnoty různé, funkce není spojitá v bodě . Obrázek 30
VĚTA: SPOJITOST ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ V BODĚ Nechť
je elementární funkce s definičním oborem ( ) a nechť
( )
Je-li
Je-li
( )
( ) pro nějaké
, je
spojitá v
zleva.
Je-li
( )
( ) pro nějaké
, je
spojitá v
zprava.
vnitřním bodem ( ), je funkce
spojitá v
.
2.2.2. SPOJITOST FUNKCE NA INTERVALU DEFINICE: SPOJITOST FUNKCE NA INTERVALU ( ) je interval libovolného typu.
Nechť
Je-li otevřený interval, je funkce
Je-li je polouzavřený nebo uzavřený interval, je funkce vnitřním bodě a jednostranně spojitá v krajních bodech.
spojitá na , jestliže je spojitá v každém jeho bodě. spojitá na , je-li spojitá v každém jeho
Tedy pokud se jedná o uzavřený interval , pak je funkce spojitá na , je-li spojitá v každém jeho vnitřním bodě, v levém krajním bodě je spojitá zprava a v pravém krajním bodě je spojitá zleva.
VĚTA: SPOJITOST ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ NA INTERVALU Nechť je elementární funkce a nechť je interval libovolného typu, který je podmnožinou definičního oboru funkce . Potom je spojitá na . Tato věta se využívá při výpočtu limit a to tak, že pokud počítáme limitu elementární funkce zároveň ( ), pak je tato limita rovna její funkční hodnotě v tomto bodě.
v bodě
a
Kapitola: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
Poznámka:
41
PŘÍKLAD: Vypočítejme limitu:
.
Tato funkce je elementární, můžeme tedy vypočítat limitu přímo dosazením hodnoty 1 do výrazu.
Limity elementárních funkcí ve vlastních bodech tedy můžeme získat přímo dosazením, limity elementárních funkcí v nevlastních bodech lze někdy vyčíst z grafu funkce.
PŘÍKLAD: V následujících příkladech určíme limity základních elementárních funkcí pomocí grafů.
Limity lineární lomené funkce:
neexistuje Limity exponenciálních funkcí:
e e e
42
( ) ( ) ( )
Limity logaritmické funkce:
Limity goniometrických funkcí:
ee
uje uje
Kapitola: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
ee
43
Limity cyklometrických funkcí:
44
2.3.
VÝPOČET LIMIT
Pro výpočet limit platí následující pravidla pro početní operace.
VĚTA: Jsou-li
a
funkce,
, pak platí:
( ( )
( ( )
( )
( )
( )
( )
| ( )|
( ))
( )
( ))
( ),
( )
|
( ),
, ( )|,
pokud existují limity na pravých stranách a algebraické operace na pravých stranách jsou definovány. Při výpočtu můžeme narazit na situace, kdy není hned jasné, jestli limita vůbec existuje nebo jaká je její hodnota. Mluvíme o tzv. neurčitých výrazech. Jedná se o výrazy následujících typů, k jejichž zápisu budeme používat tyto závorky ‖ ‖. ‖
‖
‖
‖
‖ ‖
‖ ‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
Pro výpočet limity složené funkce jsou užitečné následující dvě věty.
VĚTA: Předpokládejme, že
, ( )
a existuje okolí
( ) tak, že pro všechna
( ) ( ) platí ( )
. Potom
Kapitola: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
V těchto případech lze využít různé algebraické úpravy, které nám pomohou získat výraz, jehož hodnotu lze již vypočítat, nebo lze využít l’Hospitalovo pravidlo, které bude uvedeno v odstavci 4.2.
45
( ( )) Poznámka: Tato věta platí i pro jednostranné limity.
PŘÍKLAD: Vypočtěme limitu:
Jedná se o limitu složené funkce. Vypočtěme tedy nejprve limitu vnitřní funkce. ( ) Nyní vypočítáme limitu vnější funkce. ( ) Tedy
VĚTA: Předpokládejme, že
,
. Nechť
( ) ( ( ))
a funkce
je spojitá v bodě . Potom
( )
PŘÍKLAD: Vypočtěme limitu:
Jedná se o limitu složené funkce. Vypočtěme tedy nejprve limitu vnitřní funkce. ( ) Limitou vnitřní funkce je konečné reálné číslo, v jehož okolí je vnější funkce Tedy platí:
46
( ) definovaná a spojitá.
VĚTA: O LIMITĚ SEVŘENÉ FUNKCE Nechť platí:
a nechť pro funkce ,
platí ( )
a
( )
( ) kde
. Potom
( )
( ) v nějakém okolí
( ) bodu
. Nechť
( )
.
Poznámka: Tato věta platí i pro jednostranné limity. Využití této věty ilustruje následující příklad.
PŘÍKLAD: Vypočtěme limitu:
Po dosazení nelze určit limitu Protože
, tedy
a tedy nelze ihned určit hodnotu dané limity. , je zřejmé, že platí:
Dle předchozí věty tedy:
Nyní si ukážeme, jak se postupuje při výpočtu různých druhů limit.
2.3.1. LIMITY POLYNOMŮ V NEVLASTNÍM BODĚ
‖
‖
Pokud nám ale po dosazení vyjde neurčitý výraz, musíme použít nějakou úpravu daného výrazu, aby výpočet vedl k výrazu, jehož hodnotu určit lze. Při výpočtu limit polynomů používáme vytýkání nejvyšší mocniny v daném výrazu. Pomocí vytýkání získáme výrazy ve tvaru ‖ Uvažujme předchozí příklad, ale pro
‖, o kterých víme, že jsou rovny nule.
: ‖
‖
(
)
‖
(
)‖
Kapitola: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
Některé limity jdou vypočítat přímo dosazením.
47
PŘÍKLAD: Vypočtěme limity: ‖
‖
(
‖
‖
)
‖
(
(
)‖ ‖
)
(
)‖
2.3.2. LIMITY PODÍLU POLYNOMŮ V NEVLASTNÍM BODĚ V těchto případech po dosazení opět vycházejí neurčité výrazy, proto zde postupujeme podobně jako v předchozích příkladech, tj. vytýkáme nejvyšší mocninu v čitateli a nejvyšší mocninu ve jmenovateli zlomku.
PŘÍKLAD: Vypočtěme limity: (
)
(
)
‖
(
)
(
)
(
‖
(
)
)
(
) (
( )
(
) (
)
(
)
‖
)
(
)
‖
(
)
(
‖
)
‖
‖
(
) (
)
‖
‖
‖
V odstavci 1.4.5. Lineární lomené funkce jsme si uvedli, že souřadnici pomocí limity:
48
‖ )
(
)
(
) ‖
‖
) (
(
)
(
‖
středu hyperboly lze spočítat také
Nyní si již tento výpočet můžeme dokázat: (
)
(
)
‖
‖
2.3.3. LIMITY PODÍLU POLYNOMŮ VE VLASTNÍM BODĚ V tomto případě mohou nastat tři situace. Buď lze vypočítat limitu přímo dosazením: ‖ Nebo nám vyjde neurčitý výraz ‖ ‖, který značí, že
‖
je kořenem polynomu v čitateli i ve jmenovateli, lze tedy
oba výrazy rozložit na součin a zlomek zkrátit. Tímto postupem převedeme příklad na výraz, který již lze vypočítat. Další možnost, kterou lze v tomto případě využít je L´Hospitalovo pravidlo, které si popíšeme v odstavci 4.2.
PŘÍKLAD: Vypočtěme limity: ‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖
(
)
(
)(
)
( (
)( )(
) )
( (
)( )(
‖ ‖
‖ ‖ ) )
(
)
‖
‖
Třetí situace je případ, kdy nám po dosazení vyjde nula pouze ve jmenovateli zlomku a v čitateli bude nenulová konstanta. ‖
V tomto případě spočítáme jednostranné limity. Protože pro výrazy následujícího typu již lze určit jejich hodnotu, použijeme tento symbolický zápis a předpokládáme, že konstanta :
Pro
‖
‖
‖
‖
budou výsledky s opačným znaménkem. Ukažme si tento postup na příkladech.
Kapitola: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
‖
49
PŘÍKLAD: Vypočítejme limitu:
Po dosazení dostaneme výraz ‖ ‖. Vypočítejme tedy jednostranné limity: ‖
‖
‖
‖
Protože jsou jednostranné limity různé, pak daná limita
neexistuje.
PŘÍKLAD: Vypočítejme limitu: (
)
Po dosazení dostaneme výraz ‖ ‖. Vypočítejme tedy jednostranné limity:
(
)
(
)
‖
‖
‖
‖
Protože jsou jednostranné limity stejné, pak i původní limita
(
.
)
PŘÍKLAD: Vypočítejme limitu:
Po dosazení dostaneme výraz ‖ ‖. Vypočítejme tedy jednostranné limity:
(
)(
)
(
)(
)
Protože jsou jednostranné limity různé, pak daná limita
50
‖
‖
‖
‖ neexistuje.
PŘÍKLAD: Vypočítejme limitu:
Po dosazení dostaneme výraz ‖ ‖. Vypočítejme tedy jednostranné limity:
(
)
(
)
‖
‖
‖
‖
Protože jsou jednostranné limity stejné, pak i původní limita
.
2.3.4. LIMITY VÝRAZŮ S ODMOCNINAMI V NEVLASTNÍM BODĚ Pokud nelze určit hodnotu limity přímo dosazením, použijeme opět vytýkání nejvyšší mocniny.
PŘÍKLAD: Vypočtěme limity: √
‖
‖
√
‖
‖
√
(
‖
(
√
)
(√
)‖ √
‖
(
)
(
√
Může ale nastat situace, kdy nám po vytýkání opět vyjde neurčitý výraz ( √
‖ ‖
)
√
‖ (
(
)
(
)‖
).
√
)
‖
(√
)
)‖
V tomto případě použijeme jinou metodu, a to vhodné rozšíření výrazu tak, aby mohl být využit vzorec ( ) ( ) , který umožní zbavit se odmocniny, jak je zřejmé na příkladu. √
(√
√
)
(√
√ √
)(√ √
√
‖ ‖
)
Kapitola: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
‖
√
51
Tedy rozšířili jsme výraz zlomkem, který má v čitateli a ve jmenovateli stejný výraz, tedy tento zlomek má hodnotu 1 a nezmění původní zadání příkladu. Výraz ve zlomku má opačné znaménko než zadaný výraz, což nám umožní využít výše uvedený vzorec a zbavit se odmocniny v čitateli zlomku.
PŘÍKLAD: Vypočtěme limitu: √
(√
√
√ )
√
√
√
√
√
√
√
‖
√
‖
V některých případech je třeba využít obě metody, tzn. rozšíření i vytýkání. Tuto situaci si ukážeme na následujícím příkladu.
PŘÍKLAD: Vypočtěme limitu: √
(√
√
)
√
√
√
‖ (√
‖
√
)
2.3.5. LIMITY VÝRAZŮ S ODMOCNINAMI VE VLASTNÍM BODĚ V těchto případech využíváme opět rozšiřování daných výrazů.
PŘÍKLAD: Vypočtěme limity:
√
√
)(√
)
√
√ (√
√
‖ ‖
√
(
√
‖ ‖
√
√
√
√
)
(√
)
√ √
‖ ‖
( (
52
)(
) √
√
( )
(
)(
) √
)
√
Někdy je potřeba provést rozšíření zlomku jak výrazem ve jmenovateli, tak výrazem v čitateli.
PŘÍKLAD: Vypočtěme limitu: √
‖ ‖
√
√
√
√ (
√ )(√
√
)
√
(
√
(
)(
)(√
)
√
)
(
(√
)
√
)
2.3.6. LIMITY EXPONENCIÁLNÍCH FUNKCÍ V NEVLASTNÍM BODĚ Při výpočtu limit exponenciálních funkcí vycházíme ze dvou základních limit: pro hodnoty | | pro hodnoty Pokud nelze limitu spočítat hned po dosazení, tak se snažíme v zadaném výrazu opět pomocí vytýkání získat exponenciální funkce se základem z intervalu ( ).
PŘÍKLAD: Vypočtěme limity: ‖
‖
‖
‖
‖
(
‖
)
(( )
(
( )
)
( ) )
‖
‖
(
(
)‖
)‖
PŘÍKLAD: Vypočtěme limity: (
( ) )
(
( ) )
( )
(
( ) )
(
( ) )
‖
‖
Kapitola: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
Stejný postup používáme i v případě, kdy počítáme limitu z podílu exponenciálních funkcí.
53
( ( ) (
)
( ( )
( ) )
(
) ( ) )
Při výpočtu lze také využít základních vlastností (
‖
‖
): (
)
PŘÍKLAD: Vypočtěme limity: (
)
(( )
( )
)
( ( ) ( )
(( ) ( ( )
) )
‖
)
‖
Dále se budeme limitám ještě věnovat v odstavci L’Hospitalovo pravidlo.
2.4.
CVIČENÍ
1) Určete limity elementárních funkcí: a) b) c) d) e)
(
( )
)
[a) 0, b) 2) Vypočtěte limity: a)
f)
b)
g)
c)
h)
d) e)
54
√
i) j)
√
√
, c) 0, d)
, e)
]
(
)
√
q)
l) m)
√
p)
√
√
√
r)
n)
s)
o)
t)
[a)
, b)
, c) 2, d) m)
√ (
, e)
)
, f) -12, g) 16, h) , i) 0, j) -1, k) 0, l)
, n) 0, o) 0, p) 0, q) neexistuje, r) , s)
,
, t) 0]
Kapitola: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
k)
55
3. DERIVACE FUNKCÍ 3.1.
DEFINICE A GEOMETRICKÝ VÝZNAM DERIVACE
Připomeňme, že směrnice přímka určená bodem
přímky je definována jako tangens úhlu a směrnicí má rovnici: (
poznamenejme, že Na grafu funkce má směrnici:
který přímka
svírá s osou . Tedy
)
není svislá. ( ) zvolme dva různé body
(
Budeme-li přibližovat bod k bodu , postupně přecházet v tečnu v bodě
(
( ),
)
)
(obr. 31). Sečna
( )
, tj. hodnota se bude blížit k nule, bude sečna se směrnicí . Matematický zápis tohoto procesu je: (
)
se směrnicí
( )
Obrázek 31: Geometrický význam derivace
DEFINICE: DERIVACE FUNKCE V BODĚ Existuje-li limita
(
Derivaci v bodě též značíme
)
(
)
, nazýváme ji derivací funkce
( ) nebo
( ), popř.
v bodě
a značíme ji
( ).
( ).
Poznámka: Limita v předchozí definici může být reálné číslo (pak hovoříme o vlastní derivaci funkce v bodě ) nebo (nevlastní derivace v bodě ). Derivace také nemusí vůbec existovat. V tomto textu pod pojmem derivace budeme chápat vlastní derivaci.
56
Poznámka: (
Z obr. 31 je patrné, že
)
(
( )
)
(
)
. Toto ekvivalentní vyjádření bývá pro definici
derivace též často používáno. Poznámka: Nahradíme-li oboustrannou limitu v definici derivace limitou zprava, resp. zleva, hovoříme o derivaci zprava, resp. zleva.
VĚTA: ROVNICE TEČNY A NORMÁLY Tečna v bodě
( ) má rovnici: ( )
Normála
(přímka kolmá k tečně) v bodě
( ) (
)
( ) má rovnici:
( )
(
(
)
) je-li
( )
Obrázek 32: Tečna a normála ke grafu funkce
Pokud ( ) je tečna vodorovná přímka, jejíž rovnice v bodě svislá přímka, jejíž rovnice je
( ) je
( ) Normála je pak
DEFINICE: DERIVACE FUNKCE NA OTEVŘENÉM INTERVALU Má-li funkce v bodě ( ).
derivaci pro každé
(
)
, říkáme, že má derivaci na otevřeném intervalu
Má-li funkce v bodě
(na otevřeném intervalu) derivaci, pak je v bodě
(na otevřeném intervalu) spojitá.
Obrácená věta neplatí, tj. funkce spojitá v bodě nemusí mít v tomto bodě derivaci. Například funkce daná předpisem ( ) | | je v bodě spojitá, ale derivace ( ) neexistuje, což lze dokázat z definice derivace – nerovnají se derivace zprava a zleva.
Kapitola: DERIVACE FUNKCÍ
VĚTA:
57
Poznámka: Fyzikální význam derivace. Předpokládejme, že v časovém intervalu se po přímce pohybuje zleva doprava hmotný bod, jehož poloha v čase je určena souřadnicí ( ) bodu dané přímky. Průměrná rychlost v daném časovém intervalu je: ( )
( )
Okamžitou rychlost v nějakém čase zjistíme tak, že budeme „zmenšovat“ velikost časového intervalu, tj. budeme se „blížit k bodu “. Matematicky vyjádřeno pomocí limity: ( )
( )
( )
Vidíme, že fyzikální význam derivace je v tomto případě okamžitá rychlost hmotného bodu. Podobně obecněji, jestliže ( ) je fyzikální veličina závisející na čase, charakterizuje ( ) okamžitou velikost její změny v čase
3.2.
PRAVIDLA PRO DERIVOVÁNÍ ZÁKLADNÍCH ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ
Při praktickém počítání většinou neurčujeme derivace funkcí užitím definice, tj. jako limitu, ale pomocí pravidel a vzorců, které jsou z definice derivace odvozeny.
VĚTA: ( )a
Mají-li funkce
( ) derivace, platí pravidla:
(derivace součinu konstanty a funkce)
je-li
(derivace součtu nebo rozdílu funkcí)
(
(derivace součinu funkcí)
(
)
(derivace podílu funkcí)
je-li
( )
VĚTA: Pro derivace základních elementárních funkcí platí vzorce:
58
, kde
(
)
(
)
(
)
(
je konstanta,
, speciálně (√ ) , , )
,
√
,
(
)
)
( )
(
(
)
(
)
(
(
(
)
(
)
(
(
)
, , ,
)
, )
, ,
√
,
√
)
, )
.
Uvedené vzorce platí pro ty hodnoty , které jsou vnitřními body definičního oboru dané funkce. Použití vzorců a pravidel si nyní ukážeme na příkladech. Budeme přitom předpokládat, že prováděné operace se uskutečňují na vnitřních bodech definičního oboru uvažovaných funkcí.
PŘÍKLAD: Z definice derivace odvoďme derivaci funkce ( )
.
Dle definice je: (
( )
)
( )
(
)
(
pro každé
)
(
)
.
PŘÍKLAD: Derivujme funkci
.
(
)
(
(
)
)
(
PŘÍKLAD: Derivujme funkci
√
√
K řešení využijeme pravidla a vzorce pro derivování:
)
(
)
.
Kapitola: DERIVACE FUNKCÍ
K řešení využijeme pravidla a vzorce pro derivování:
59
(
)
(
( )
) (
(√ ) )
(
(√ )
(√ )
) (
( )
( )
(
(
)
) (
√ √
)
√
PŘÍKLAD: Derivujme funkci K řešení využijeme pravidla a vzorce pro derivování: (
)
(
(
)
) (
(
)
)
PŘÍKLAD: Derivujme funkci K řešení využijeme pravidla a vzorce pro derivování: (
)
( (
√
√
)
(
)
(
) )
PŘÍKLAD: (
Derivujme funkci
)
K řešení využijeme pravidlo pro součin funkcí a vzorce pro derivování: (
) (
)
( (
60
) )
(
) ( (
) )
) (
)
PŘÍKLAD: Derivujme funkci K řešení využijeme pravidlo pro součin funkcí a vzorce pro derivování: (
) (
)
(
(
) (
)
)
PŘÍKLAD: Derivujme funkci K řešení využijeme pravidlo pro součin funkcí a vzorce pro derivování: (
) (
)
(
) (
)
PŘÍKLAD: Derivujme funkci K řešení využijeme pravidlo pro podíl funkcí a vzorce pro derivování: ) (
)
( ) ( )
( (
) (
(
(
(
)
)
)
)
)
PŘÍKLAD: Derivujme funkci K řešení využijeme pravidlo pro podíl funkcí a vzorce pro derivování:
Kapitola: DERIVACE FUNKCÍ
(
61
(
) (
) (
) (
) (
(
)
)
) (
(
(
(
)
)
)
(
)
PŘÍKLAD: Derivujme funkci
√
K řešení využijeme vzorce pro derivování:
√ √
√
(
)
(
)=
( )
√
Lze využít i pravidlo pro podíl, potom: (
) (√ )
(
) (√ )
(√ ) (
(√ )
)
(√ ) √ √
(√ )
PŘÍKLAD: Vypočtěme hodnotu derivace funkce
v bodě
K řešení využijeme vzorce pro derivování a hodnotu ( ( )
62
) ( )
pak přímo dosadíme do
:
PŘÍKLAD: Vypočtěme hodnotu derivace funkce
v bodě
K řešení využijeme pravidlo pro součin funkcí a vzorce pro derivování, zpravidla funkci dále neupravujeme a hodnotu přímo dosadíme do : (
) (
( )
)
(
) (
)
( ) (
)
PŘÍKLAD: Vypočtěme hodnotu derivace funkce
v bodě
K řešení využijeme pravidlo pro podíl funkcí a vzorce pro derivování, zpravidla funkci dále neupravujeme a hodnotu přímo dosadíme do : (
) (
(
) (
( )
( )
)
(
) (
(
)
(
)
)
) (
)
(
(
) )
PŘÍKLAD: Vypočtěme rovnici tečny a rovnici normály křivky
v bodě
K řešení využijeme rovnice tečny a normály: ( ) (
( )
( )
) (
)
a vzorce pro derivování. Nejprve určíme bod dotyku tečny: druhou souřadnici bodu nulovou: ( )
( ) ( )
protože po dosazení (
Směrnice tečny je rovna derivaci dané funkce v tomto bodě. Protože ( ) ( ) rovna ( ) Tečna křivky
v bodě
má pak rovnici:
do zadání obdržíme
) (
)
, je směrnice tečny
Kapitola: DERIVACE FUNKCÍ
( )
63
( )
( ) ( (
( (
)
))
)
Normála křivky
v bodě
má pak rovnici:
( )
(
( ) (
( (
)
))
)
PŘÍKLAD: Vypočtěme rovnici tečny a rovnici normály křivky ( )
Nejprve určíme bod dotyku tečny:
[
] protože po dosazení do zadání obdržíme druhou
( )
( )
souřadnici bodu nulovou:
v bodě
Směrnice tečny je rovna derivaci dané funkce v tomto bodě. Protože rovna
( )
Tečna křivky
( ) v bodě
[
( )
( ) (
(
Normála křivky
) (
v bodě ( )
)
) )
[
( )
(
64
] má pak rovnici:
(
] má pak rovnici: (
)
)
(
)
, je směrnice tečny
PŘÍKLAD: Vypočtěme rovnici tečny a rovnici normály křivky
v bodě
( )
Nejprve určíme bod dotyku tečny:
[
] protože po dosazení
( )
souřadnici bodu rovnu jedné polovině: ( )
.
Směrnice tečny je rovna derivaci dané funkce v tomto bodě. Protože směrnice tečny rovna Tečna křivky
( ) v bodě
( ) [
( )
(
)
) (
)
(
)
, je
)
( ) (
)
)
[
v bodě ( )
] má pak rovnici:
( )
(
(
] má pak rovnici:
(
Normála křivky
(
do zadání obdržíme druhou
)
(
(
)
)
PŘÍKLAD: Vypočtěme rovnici tečny a rovnici normály křivky ( )
Nejprve určíme bod dotyku tečny: souřadnici bodu rovnu jedné: ( )
v bodě
( )
protože po dosazení .
Směrnice tečny je rovna derivaci dané funkce v tomto bodě. Protože ( )
Tečna křivky
(
)
, je směrnice tečny rovna
)
v bodě
má pak rovnici:
( ) (v grafu červená) Normála křivky
(
v bodě
má pak rovnici:
Kapitola: DERIVACE FUNKCÍ
( )
do zadání obdržíme druhou
65
(v grafu růžová)
PŘÍKLAD: Vypočtěme hodnotu čísla , aby přímka
byla tečnou grafu
K řešení využijeme rovnici tečny a vzorce pro derivování. ( )
( ) (
( )
( )
) ( )
Převedeme zadanou přímku do tvaru (1), neboli vyjádříme :
Dle (1) je zřejmé, že
( )
.
Nyní derivujeme zadaný funkční předpis paraboly a položíme jej roven právě jedné: ( )
Dále dosadíme nalezený bod
do rovnice zadané paraboly: ( )
(
)
(
)
(
)
( ) A pak již můžeme ze získaných hodnot zkonstruovat rovnici tečny dle (1): (
66
)
(1)
Při porovnání obou výše uvedených rovnic tečny je patrné, že:
PŘÍKLAD: Vypočtěme hodnotu čísla , aby přímka
byla normálou grafu
K řešení využijeme rovnici normály a vzorce pro derivování: ( )
(
(
( ) )
(
)
) ( )
(2)
Převedeme zadanou přímku do tvaru (2):
Dle (2) je zřejmé, že
( )
. Nyní derivujeme zadanou parabolu a derivaci položíme rovnu právě dvěma: ( )
Pak dosadíme nalezený bod
do rovnice zadané paraboly: ( )
( )
( )
( )
Při porovnání obou výše uvedených rovnic normály je patrné, že:
Kapitola: DERIVACE FUNKCÍ
A pak již můžeme zkonstruovat rovnici normály dle (2):
67
PŘÍKLAD: Určete rovnici tečny a rovnici normály ke grafu funkce
Hledáme bod
tak, že
( )
Bodem dotyku je tedy bod
, která je rovnoběžná s přímkou
:
protože
( )
. Potom
( ) ( ) Rovnice tečny je proto ( )
( ) ( (
) )
Rovnice normály je pak ( )
( ) (
3.3.
(
) )
DERIVACE SLOŽENÝCH FUNKCÍ
VĚTA: DERIVACE SLOŽENÉ FUNKCE Má-li funkce
derivaci v bodě
a funkce
derivaci v bodě
( ), je derivace složené funkce ( ( ))
rovna součinu derivací jejích jednotlivých funkcí (vnitřní a vnější), tj. ( ( ( ))) Má-li složená funkce intervalu platí
( )
PŘÍKLAD: Derivujme funkce:
68
( ( )) derivaci v každém bodě intervalu ( ( ( ))
( ).
( ( ))
( ).
), pak pro její derivaci na tomto
a)
,
b)
,
c)
K řešení využijeme větu o derivaci složené funkce a vzorce pro derivování. a) Funkce
( ) a vnitřní funkci
má vnější funkci ( ) ( ) (
b) Funkce
)
.
) má vnější funkci
( ) c) Funkce
(
( )
(
( ) a vnitřní funkci
) ( ) a vnitřní funkci (
. Proto
.
má vnější funkci ( ) ( )
. Proto
)
. Proto
.
PŘÍKLAD: Derivujme funkci
√
.
K řešení využijeme větu o derivaci složené funkce a vzorce pro derivování. Funkce
√
√ a vnitřní funkci
má vnější funkci (
√
)
(
√
. Proto )
(
)
√
(
)
√
PŘÍKLAD: Derivujme funkci
.
K řešení využijeme větu o derivaci složené funkce a vzorce pro derivování. Funkce
má vnější funkci
a vnitřní funkci (
)
. Proto (
)
Poznámka: Při derivování vícenásobně složené funkce uplatníme pravidlo opakování. Derivace vícenásobně složené funkce ( ( ( ))), je pak rovna součinu derivací jednotlivých funkcí: ( ( ( )))
( ( ))
( ).
PŘÍKLAD: Derivujme funkci
(
)
K řešení využijeme předchozí poznámku a vzorce pro derivování. Funkce
( (
)) je složena ze tří funkcí
( ( )) ,
( ),
. Pak tedy
Kapitola: DERIVACE FUNKCÍ
( )
69
( (
(
))
)
PŘÍKLAD: √
Derivujme funkci Funkce
√
(
(
).
) je složena ze tří funkcí
√ ( ),
( ),
√
. Pak tedy
√
PŘÍKLAD: Derivujme funkci Funkce
. ( )
je složena ze tří funkcí
( ),
,
(
. Pak tedy
)
PŘÍKLAD: Derivujme funkci
. ( )
(
) (
(
)
)
( )
)
PŘÍKLAD: Derivujme funkci
(
) . ( (
(
Poznámka:
70
)
)
) ( (
) (
(
(
) ( )
)
) (
)
( )
( )
Při výpočtu derivace obecné exponenciální funkce exponenciální a logaritmické funkce ve tvaru: ( )
, kde ( )
, využijeme vyjádření pomocí
( )
Tuto funkci pak můžeme derivovat jako složenou funkci.
PŘÍKLAD: Derivujme funkci
pro
.
K řešení využijeme předchozí poznámku, větu o derivaci složené funkce a vzorce pro derivování. Přepíšeme si funkci pomocí exponenciální a logaritmické funkce:
Nyní funkci můžeme derivovat jako složenou funkci. (
)
(
3.4. Derivaci
).
DERIVACE VYŠŠÍCH ŘÁDŮ funkce
nazýváme derivací 1. řádu neboli první derivací funkce .
DEFINICE: DERIVACE DRUHÉHO ŘÁDU Nechť
v bodě
a značíme ji
(
( ). Existuje-li limita
je funkce a bod
)
(
)
, nazýváme ji druhou derivací funkce
( ).
Podobně lze definovat derivaci n-tého řádu:
( )
( )
(
(
)
( )) .
Poznámka: Derivaci 2. řádu neboli druhou derivaci funkce prakticky počítáme jako ( ) , tj. derivaci první derivace funkce ( ) ( ( )) . a značíme ji ( ). Podobně počítáme derivaci 3. řádu
PŘÍKLAD: Vypočtěme derivaci druhého řádu funkce
.
Nejprve vypočteme a upravíme první derivaci:
.
Potom
(
)
.
Kapitola: DERIVACE FUNKCÍ
První, druhou a třetí derivaci označujeme čárkami. Čtvrtou a vyšší derivaci pak značíme arabskou číslicí v závorce.
71
PŘÍKLAD: Vypočtěme derivaci druhého řádu funkce
.
Nejprve vypočteme a upravíme první derivaci: Potom
(
)
.
.
PŘÍKLAD: Vypočtěme derivaci druhého řádu funkce
. (
Nejprve vypočteme a upravíme první derivaci:
)
(
(
)
)
( (
) (
)
.
Potom (
(
)
(
)
) (
(
Po úpravě
(
)
) ((
)
(
(
) (
) (
)
) ( (
) )
))
.
PŘÍKLAD: Vypočtěme derivaci třetího řádu funkce
v bodě
.
Nejprve vypočteme a upravíme první derivaci: (
)
Potom druhou: ((
) )
(
) (
)
(
Třetí derivace je pak (
) (
)
(
) )
( V bodě
)
je třetí derivace rovna ( )
72
(
(
) (
)
( (
) )
(
)
)
)
Poznámka: Ekonomické aplikace derivace MIKROEKONOMIE - Kardinalistické pojetí optima spotřebitele - Přebytek spotřebitele
PŘÍKLAD: Celkový užitek statku
je dán rovnicí
. Cena statku
je
Kč. Spočítejte optimum
spotřebitele. P, U
MU
E P*
Teorie: Bod optima spotřebitele je dán průsečíkem a přímky dané konstantní cenou, neboť spotřebitel je ochoten zaplatit za statek maximálně tolik jednotek Kč, kolik mu daný statek přináší užitku.
Q*
Q
Řešení (Bod optima):
Podmínka optima:
{ Protože
}
(mezní užitek) je klesající, bereme v potaz jen kořen v klesající části paraboly, tj.
Optimum spotřebitele jsou tedy
3.5.
jednotky statku
v celkové výši
.
Kč.
CVIČENÍ
1) Derivujte:
√
(
[a) b) c)
) √
Kapitola: DERIVACE FUNKCÍ
a) b) c) d)
73
(
d)
)
2) Derivujte: a) b) c) √
d)
[a)
b)
c) 3) Vypočtěte hodnotu první derivace dané funkce v bodě a)
v bodě
b)
v bodě
)
d)
) √
]
:
v bodě
c) d)
(
(
√
v bodě
√
[a) 4) Vypočtěte rovnici tečny a normály dané křivky v bodě a)
( )
v bodě
b)
( )
v bodě
c)
( )
d)
( )
(
)
b)
c)
d)
]
:
v bodě
v bodě [a) b) c) d)
5) Derivujte složenou funkci: a)
(
) (
b)
)
c) d)
74
(
)
]
(
e) f)
)
√ (
[a)
)
b)
(
c)
)
√
(
d)
) e)
f) 6) Vypočtěte hodnotu první derivace dané složené funkce v bodě a)
(
)
b) c)
√(
)
]
:
v bodě
v bodě √
v bodě [a)
b)
c)
]
7) Vypočtěte derivaci druhého řádu dané funkce: a) b) c) [a) b)
(
)
c)
]
8) Vypočtěte derivaci vyšších řádů dané funkce: a) b)
b)
(
)
]
Kapitola: DERIVACE FUNKCÍ
[a)
75
4. UŽITÍ DERIVACÍ 4.1.
VĚTY O STŘEDNÍ HODNOTĚ
VĚTA: ROLLEOVA VĚTA O STŘEDNÍ HODNOTĚ 〉 Nechť je funkce spojitá na uzavřeném intervalu 〈 , nechť má vlastní derivaci ( ) v každém bodě ) a platí ( ) ( ) tak, že ( ) otevřeného intervalu ( ( ). Pak existuje bod .
Obrázek 33: Rolleova věta
VĚTA: LAGRANGEOVA VĚTA O STŘEDNÍ HODNOTĚ Nechť je funkce
〉 spojitá na uzavřeném intervalu 〈 , má vlastní derivaci ). Pak existuje bod ( ) tak, že platí:
( ) v každém bodě
otevřeného intervalu (
( )
( )
( ) (
)
j
( )
( )
( )
Obrázek 34: Lagrangeova věta
VĚTA: CAUCHYOVA VĚTA O STŘEDNÍ HODNOTĚ Nechť funkce v každém bodě
76
〉 jsou spojité na uzavřeném intervalu 〈 ( ). Pak existuje bod ( ) tak, že platí:
které mají vlastní derivace
( )
( )
( ) ( ( )
( ))
( ) ( ( )
( ))
Jedná se o zobecnění Lagrangeovy věty. ( ) ( ) Je-li ( ) Geometrický význam. Označme body roviny ( ), Rolleova věta zaručuje (za dalších předpokladů), že existuje alespoň jeden vnitřní bod , v němž je derivace nulová, tj. tečna ke grafu funkce v bodě ( ) je rovnoběžná s osou . Na obr. 33 jsou takové body dva: a . Pokud je funkce konstatní jsou takovými body všechny body otevřeného intervalu ( ). Lagrangeova věta, která ji zobecňuje, pak říká, že existuje alespoň jeden vnitřní bod takový, že tečna v bodě ( ) je rovnoběžná s úsečkou ̅̅̅̅ , viz obr. 34. I Cauchyovu větu lze znázornit obdobně na křivce dané parametricky. Výše uvedené věty lze použít např. při důkazu l’Hospitalova pravidla nebo u Lagrangeova tvaru zbytku Taylorova polynomu, viz odstavec 7.4.
4.2.
L’HOSPITALOVO PRAVIDLO
L’Hospitalovo pravidlo je velmi silným prostředkem k výpočtu limit.
DEFINICE: NEURČITÉ VÝRAZY TYPU ‖ ‖ ‖ ( ) ( )
je pro
neurčitý výraz typu ‖ ‖, jestliže je: ( )
Říkáme, že podíl
( ) ( )
je pro
neurčitý výraz typu ‖
( ) ‖ jestliže je:
( ) V definici je kromě limitního přechodu , , , .
( ) možné uvažovat kterýkoli z dříve popsaných limitních přechodů
Obdobně se definují další neurčité výrazy typů ‖ výrazem typu ‖ ‖ rozumíme ( ) ( ) , kde: ( )
‖, ‖
‖, ‖
‖, ‖
‖, ‖
‖. Např. neurčitým
( )
Výpočet limit těchto neurčitých výrazů můžeme provádět pomocí tzv. l’Hospitalova pravidla (čteme [lopitalova]).
VĚTA: L’HOSPITALOVO PRAVIDLO Je-li
( ) ( )
neurčitým výrazem typu ‖ ‖ nebo neurčitým výrazem typu ‖
existuje také
( ) ( )
a platí:
‖ a existuje-li
( ) ( )
, pak
Kapitola: UŽITÍ DERIVACÍ
Říkáme, že podíl
‖
77
( ) ( )
( ) ( )
Poznámka: L’Hospitalovo pravidlo pak můžeme využít i pro případ limity ‖
‖.
L’Hospitalovo pravidlo je tedy velmi silným prostředkem k výpočtu limit, nikoliv však univerzálním – ( ) ( )
( )
nemusí existovat, což však neznamená, že neexistuje ‖
( )
Např.
‖
L’Hospitalovo pravidlo zde ale použít nelze, protože
neexistuje. Proto počítejme danou limitu
jiným způsobem: (
)
(
)
neboť Předpoklady l’Hospitalova pravidla jsou tedy velmi důležité. Uvědomme si dále, že l’Hospitalovo pravidlo též nelze použít pro případ limity ‖ aby limita čitatele i jmenovatele byla
‖. Je totiž podstatné,
‖
. Např.
‖ nelze řešit s využitím
l’Hospitalova pravidla. Tento typ limit se řeší pomocí jednostranných limit, což jsme si ukázali v odstavci 2.3.3.
PŘÍKLAD: Vypočtěme
.
Protože po dosazení
obdržíme
(
)
(
a
)
, jedná se o typ
‖ ‖. Použitím l’Hospitalova pravidla pak dostaneme: ‖
‖
‖
(
) ( ‖
) ‖
‖
PŘÍKLAD: Vypočtěme
.
Po dosazení 0 do čitatele i jmenovatele obdržíme typ ‖ ‖. Použitím l’Hospitalova pravidla pak dostaneme:
78
(
‖ ‖
) (
)
PŘÍKLAD: Vypočtěme
. čitatele i jmenovatele obdržíme typ ‖
Po výpočtu limit pro
‖. Použitím l’Hospitalova pravidla pak
dostaneme: ‖
( (
‖
) )
‖
‖
PŘÍKLAD: Vypočtěme
. čitatele i jmenovatele obdržíme typ ‖
Po výpočtu limit pro
‖. Opětovným použitím l’Hospitalova
pravidla dostaneme: ‖
( (
‖
) )
‖
‖
‖
‖
PŘÍKLAD: Vypočtěme
. čitatele i jmenovatele obdržíme typ ‖
Po výpočtu limit pro
‖. Opětovným použitím l’Hospitalova
pravidla dostaneme: ‖
(
‖
)
(
‖
) ‖
‖
‖
PŘÍKLAD: Vypočtěme
.
dostaneme: ‖
‖
( (
) )
‖ ‖ ‖ ‖
Kapitola: UŽITÍ DERIVACÍ
Po dosazení 0 do čitatele i jmenovatele obdržíme typ ‖ ‖. Opětovným použitím l’Hospitalova pravidla
79
PŘÍKLAD: Vypočtěme
. čitatele i jmenovatele obdržíme typ ‖
Po výpočtu limit pro
‖. Opětovným použitím l’Hospitalova
pravidla dostaneme: ‖ ‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
PŘÍKLAD: Vypočtěme
.
Po dosazení 0 do čitatele i jmenovatele obdržíme typ ‖ ‖. Opětovným použitím l’Hospitalova pravidla dostaneme: ‖
‖
‖ ‖ ‖ ‖
Poznámka: U některých příkladů se doporučuje využívat krácení. Např. pokud jsou v zadání goniometrické funkce apod. Všimněme si, jak se výpočet u předchozího příkladu zjednoduší: ‖
‖
‖ ‖
(
)
PŘÍKLAD: Vypočtěme limity v krajních bodech ( ) a bodech nespojitosti funkce ( ) K řešení využijeme dosavadní znalosti o limitách. Definiční obor funkce je ( )
80
{
}.
.
Limity v krajních bodech ( ) (
) (
‖
)
‖
nebo využijeme l’Hospitalova pravidla: ‖
Body nespojitosti jsou dva:
,
‖
‖
‖
. Vypočítáme limity v těchto bodech nespojistosti funkce: (
)( (
)
(
)
)
‖
‖
Je tedy nutné vypočítat jednostranné limity:
Tedy
‖
‖
‖
‖
neexistuje. (
)( (
)
(
)
‖
)
Dále se budeme zabývat neurčitými výrazy typu ‖
‖, ‖
‖, ‖
‖, ‖
Ukážeme, jak lze tyto neurčité výrazy upravit na tvar typu ‖ ‖ nebo ‖
(
)
‖, ‖
‖
‖.
‖, které nám umožní dokončit
výpočet pomocí l’Hospitalova pravidla.
4.2.1. NEURČITÝ VÝRAZ TYPU ‖ Neurčitý výraz typu ‖
‖
‖ převedeme na neurčitý výraz typu ‖ ‖ nebo ‖
‖ podle schématu:
PŘÍKLAD: Vypočtěme
.
K řešení využijeme předchozí schéma, l’Hospitalovo pravidlo a vzorce pro derivování. Po dosazení
do zadání obdržíme typ ‖
‖ Použitím schématu a l’Hospitalova pravidla dostaneme:
Kapitola: UŽITÍ DERIVACÍ
nebo
81
‖
(
‖
‖
)
‖
‖
Snadno se přesvědčíme, že převedení na tvar
‖
‖
‖ není výhodné.
PŘÍKLAD: Vypočtěme Po dosazení
. do zadání obdržíme typ ‖
‖. Použitím schématu a l’Hospitalova pravidla dostaneme: ‖
‖
‖
‖
‖
‖
PŘÍKLAD: Vypočtěme
.
Po dosazení
do zadání obdržíme typ ‖ ‖
‖. Použitím schématu a l’Hospitalova pravidla dostaneme: ‖
‖
4.2.1. NEURČITÝ VÝRAZ TYPU ‖ U neurčitého výrazu typu ‖
‖
‖
‖
‖
‖ se zpravidla jedná o rozdíl lomených funkcí. Převedením na společného
jmenovatele obdržíme neurčitý výraz typu ‖ ‖ nebo ‖
‖.
PŘÍKLAD: Vypočtěme
(
).
K řešení využijeme l’Hospitalovo pravidlo a vzorce pro derivování. Po dosazení do zadání obdržíme typ ‖ l’Hospitalova pravidla dostaneme:
82
‖. Převedením na společného jmenovatele a využitím
(
‖
)
(
)
‖
‖
‖
(
(
(
)
)
)
PŘÍKLAD: Vypočtěme
(
).
Po dosazení do zadání obdržíme typ ‖ l’Hospitalova pravidla dostaneme: (
‖. Převedením na společného jmenovatele a využitím
‖
) (
)
4.2.2. NEURČITÉ VÝRAZY TYPU ‖ Neurčité výrazy typu ‖
‖, ‖
‖, ‖
‖
‖
(
‖
‖, ‖
)
(
)
‖, ‖
‖
‖ řešíme užitím schématu: (
jehož pomocí výpočet převedeme na typ ‖
)
pro
kladné,
‖.
PŘÍKLAD: Vypočtěme
.
K řešení využijeme předchozí schéma, l’Hospitalovo pravidlo a vzorce pro derivování. Po dosazení
do zadání obdržíme typ ‖
‖. Využitím schématu a l’Hospitalova pravidla dostaneme: ‖
‖
kde
potom
PŘÍKLAD: Vypočtěme
.
‖
‖
‖
Kapitola: UŽITÍ DERIVACÍ
‖
83
Po dosazení
do zadání obdržíme typ ‖ ‖
‖. Využitím schématu a l’Hospitalova pravidla dostaneme: ‖
kde ‖
‖
potom
PŘÍKLAD: Vypočtěme Po dosazení
(
) .
do zadání obdržíme typ ‖ (
)
‖
‖ Využitím schématu a l’Hospitalova pravidla dostaneme: (
‖
(
)
)
kde (
(
)
)
‖
‖
‖
(
)
‖
potom (
4.3.
)
ASYMPTOTY GRAFU FUNKCE
Při určování rovnice tečny ke grafu funkce ( ) v bodě definovaná. Nyní se budeme zabývat případy:
( ) jsme předpokládali, že funkce
je v bodě
funkce není v bodě definovaná, bod je nevlastním bodem, funkce je definovaná v bodě , ale není zde spojitá.
„Tečny“ grafu funkce v těchto bodech se nazývají asymptoty grafu funkce. Asymptotu grafu funkce tedy chápeme jako přímku, ke které se graf funkce „neomezeně přibližuje“, když se vzdaluje od počátku.
84
Funkce nemusí mít žádnou asymptotu, nebo jich může mít několik. Žádnou asymptotu nemají například elementární funkce , , , a funkce, které vzniknou jejich sčítáním, √ , odečítáním, násobením, apod. Naproti tomu exponenciální, logaritmické a racionální lomené funkce obvykle alespoň jednu asymptotu mají.
DEFINICE: ASYMPTOTA BEZ SMĚRNICE Říkáme, že přímka je asymptotou bez směrnice (svislou asymptotou) grafu funkce ( ), jestliže v bodě , ve kterém není definována nebo je nespojitá, nastane některý z těchto čtyř případů: ( )
,
( )
,
( )
( )
PŘÍKLAD: je asymptotou bez směrnice (svislou asymptotou) grafu funkce ( )
Přímka
Označujeme: Symbol
, neboť
|
| označuje skutečnost, že se funkce k svislé asymptote blíží zprava k
a zleva k
.
Obrázek 35: Graf funkce
DEFINICE: ASYMPTOTA SE SMĚRNICÍ
v v
( ) ( )
( ( )
)
( ( )
)
Kapitola: UŽITÍ DERIVACÍ
je asymptotou se směrnicí (šikmou asymptotou) grafu funkce ( ), jestliže platí:
Říkáme, že přímka
85
Hodnoty se pro a nemusí, ale mohou sobě rovnat. Jestliže nevlastní (tj. rovno ), asymptota se směrnicí neexistuje. Pokud je e případ šikmé asymptoty, a to vodorovnou asymptotu k
nebo je , jedná se o zvláštní
PŘÍKLAD: Určeme asymptoty grafu funkce
K řešení využijeme definice asymptot. { }, tedy funkce není definovaná pro ( ) směrnice. Vypočtěme jednostranné limity: ‖
‖
a v tomto bodě by proto mohla být asymptota bez
‖
‖
Limita je nevlastní jak zprava, tak zleva, proto přímka je asymptotou bez směrnice. Přičemž stačí vypočítat pouze jednu z těchto jednostranných limit, abychom mohli rozhodnout o existenci asymptoty bez směrnice. Pokud chceme načrtnout graf funkce je ale vhodné vypočítat obě tyto limity. Označujeme | . Hledejme nyní asymptoty se směrnicí . Podle definice vypočtěme:
( Výpočet je pro
(
(
) )
(
)
stejný.
Tedy asymptotou se směrnicí je pro obě asymptoty.
86
)
přímka
Na obrázku 36 je znázorněna zadaná funkce a
Obrázek 36
PŘÍKLAD: Určeme asymptoty grafu funkce K řešení využijeme definice asymptot. { }, tedy funkce není definovaná pro ( ) asymptoty bez směrnice. Vypočtěme jednostranné limity: ‖ ‖
a
‖
, v těchto bodech by proto mohly být
‖
‖
‖
‖ ‖
Limity jsou nevlastní jak zprava, tak zleva, proto přímky i jsou asymptotami bez směrnice. Označení u obou těchto asymptot bude | . Hledejme nyní asymptoty se směrnicí . Podle definice vypočtěme:
(
(
(
) )
(
)
stejný.
Tedy asymptotou se směrnicí je pro
přímka
Kapitola: UŽITÍ DERIVACÍ
Výpočet je pro
)
87
PŘÍKLAD: Určeme asymptoty grafu funkce
K řešení využijeme opět definice asymptot. { }, tedy funkce není definovaná pro ( ) směrnice. Vypočtěme jednostranné limity:
‖
a v tomto bodě by proto mohla být asymptota bez
‖
‖
‖
Limita je nevlastní jak zprava, tak zleva, proto přímka je asymptotou bez směrnice. Označujeme Hledejme nyní asymptoty se směrnicí . Podle definice vypočtěme: ‖ ‖ Asymptota se směrnicí pro
‖
‖
‖
neexistuje. Ověřme nyní výpočet pro ‖
( Tedy asymptotou se směrnicí je pro
88
‖
)
( přímka
)
‖
‖
‖
, tzv. vodorovná asymptota, tedy osa .
| .
PŘÍKLAD: Určeme asymptoty grafu funkce
K řešení využijeme definice asymptot. a daná funkce je na celém ( ) spojitá, proto graf funkce nemá asymptoty bez směrnice.
Hledejme nyní asymptoty se směrnicí
. Podle definice vypočtěme: ‖
Protože pro
výpočet proběne stejně, tedy (
Pro
)
(
)
‖
)
(
)
‖
‖
však dostaneme jiný výsledek: (
Tedy pro
‖
má asymptota se směrnicí rovnici
a pro
(
)‖
má rovnici
Kapitola: UŽITÍ DERIVACÍ
Platí ( )
89
PŘÍKLAD: (
Určeme asymptoty grafu funkce
)
K řešení využijeme opět definice asymptot. Platí ( ) protože , tedy , což platí pro všechna spojitá, proto graf funkce nemá asymptoty bez směrnice. Hledejme nyní asymptoty se směrnicí
Výpočet je pro
(
)
( (
)
. Podle definice vypočtěme: ‖
stejný.
Tedy neexistuje ani asymptota se směrnicí.
90
‖ )
. Daná funkce je na celém ( )
PŘÍKLAD: Určeme asymptoty grafu funkce
Definičním oborem funkce je ( ) rovnoběžné s osou ):
(
). Hledejme nejprve asymptoty bez směrnice (svislé asymptoty, tj.
(
)
Jelikož je tato limita nevlastní, má graf funkce asymptotu o rovnici Dále hledejme asymptoty se směrnicí ve tvaru
. Podle definice vypočtěme:
‖
)
‖
Graf funkce má tedy ještě asymptotu o rovnici
‖ .
Kapitola: UŽITÍ DERIVACÍ
(
‖
91
4.4.
CVIČENÍ
1) Vypočtěte limity: a)
√ (
b)
d) )
(
e)
c)
)
f)
[a)
b)
c)
d)
e)
[a)
b)
c)
d)
e)
f)
]
2) Vypočtěte limity: a)
d)
b)
e)
c)
f) f)
3) Vypočtěte limity: a) (
b)
)
c) [a)
b)
c)
4) Vypočtěte asymptoty grafu funkce: a) b) c)
f) (
)
(
)
g) h)
√
i)
d) e)
(
)
j)
[a)
pro b)
pro c) nemá asymptoty d)
e)
92
pro pro
f) asymptoty bez směrnice nemá pro
i) asymptoty bez směrnice nemá asymptota pro j)
pro h)
pro
neexistuje,
pro pro
]
Kapitola: UŽITÍ DERIVACÍ
g) asymptoty bez směrnice nemá
pro
93
5. VÝZNAM PRVNÍ A DRUHÉ DERIVACE PRO PRŮBĚH FUNKCE 5.1.
VÝZNAM PRVNÍ DERIVACE PRO VYŠETŘENÍ MONOTONIE FUNKCE
Pomocí první derivace lze vyšetřovat monotonii funkce, tj. intervaly, kde funkce roste, či klesá.
VĚTA: VÝZNAM PRVNÍ DERIVACE PRO PRŮBĚH FUNKCE Nechť funkce
má vlastní první derivaci ve všech bodech otevřeného intevalu
je-li
( )
pro každé
, pak je
rostoucí na ;
je-li
( )
pro každé
, pak je
klesající na ;
je-li
( )
pro každé
, pak je
konstantní na .
Pokud na intervalu existuje bod
, pro který platí, že
( )
( ). Potom platí
, nazýváme tento bod stacionární.
V případě, že je funkce navíc (jednostranně) spojitá v některém z krajních bodů intervalu , platí příslušná vlastnost na intervalu obsahujícím tento krajní bod (tyto krajní body). Tedy funkce může být rostoucí, resp. klesající, i na uzavřeném či polouzavřeném intervalu. Postup při vyšetřování monotonie funkce můžeme shrnout do následujících kroků: 1) Určíme definiční obor funkce. 2) Vypočítáme první derivaci zadané funkce. 3) Určíme stacionární body dané funkce, tzn. vypočítáme, ve kterých bodech je první derivace rovna nule. Určíme také body, ve kterých derivace neexistuje. 4) V intervalech, které jsou tvořeny definičním oborem rozděleným pomocí bodů nalezených v předchozím kroku, určíme znaménka derivace. V intervalech, kde je derivace kladná, je funkce rostoucí, v intervalech, kde je derivace záporná, je funkce klesající. Pokud je funkce navíc (jednostranně) spojitá v krajních bodech, přidáme do těchto intervalů i tyto body. Postup si ukážeme na následujícím příkladu.
PŘÍKLAD: Vyšetřeme monotonii funkce ( )
.
( ) 1) ( ) 2) 3) Položíme první derivaci rovnu nule. Tedy řešíme rovnici: (
) )( ) Stacionární body jsou dva: , . Body, ve kterých derivace neexistuje, žádné nemáme. )( )( Definiční obor je rozdělen stacionárními body na tři intervaly: ( ). 4) Určíme znaménko derivace v jednotlivých intervalech. Toto lze provést dosazením libovolného čísla z každého intervalu do derivace a určením znaménka této hodnoty. (
94
(
)
(
Vybereme např. hodnotu a dosadíme do derivace: (
)
(
)
(
Vybereme např. hodnotu dosadíme do derivace:
a
Vybereme např. hodnotu dosadíme do derivace:
( )
)
) a
( )
〉 a na intervalu 〈 ) a klesající je na intervalu 〈 〉. Daná funkce je rostoucí na intervalu ( Krajní body těchto intervalů patří do definičního oboru funkce a daná funkce je v těchto bodech spojitá, proto jsme je přidali do nalezených intervalů. Poznámka: Nelze říci, že je daná funkce rostoucí na sjednocení nalezených intervalů. Tedy pokud je funkce rostoucí na ( 〉〈 ) nemůžeme napsat, že je rostoucí na ( 〉 〈 )! Dle definice rostoucí funkce na intervalu pro libovolná čísla z tohoto intervalu taková, že , má platit ( ) ( ). Ale pokud zvolíme např. a , potom ( ) a ( ) Tudíž funkce není rostoucí na sjednocení těchto dvou intervalů.
PŘÍKLAD: Určeme maximální intervaly monotonie funkce ( )
.
1) Víme, že ve jmenovateli zlomku nesmí být . Proto:
Definiční obor je ( ) (
(
)(
(
)
)
}
)
3) Položíme první derivaci rovnu nule.
Stacionární bod je pouze . Body, ve kterých derivace neexistuje, jsou shodné s body, ve kterých funkce není definována, tj. . 4) Nyní máme čtyři intervaly, ve kterých určíme znaménko derivace: ( (
)
) ( ((
)
( ) )
( ((
Funkce je rostoucí na intervalech (
)
) ( )
) )
), (
( (
)
(
)
( ( )
)
〉 a klesající na intervalech 〈
) (
) (
).
)
Kapitola: VÝZNAM PRVNÍ A DRUHÉ DERIVACE PRO PRŮBĚH FUNKCE
( )
2)
{
95
PŘÍKLAD: Určeme maximální intervaly monotonie funkce ( )
.
1) Víme, že ve jmenovateli zlomku nesmí být . Proto:
Tato podmínka je splněna vždy, tedy definiční obor je ( ) (
( )
2)
)
(
)
3) Položíme první derivaci rovnu nule. (
)
(
) (
(
) )( ) . Body, ve kterých derivace neexistuje, žádné nejsou. Získali
Stacionární body jsou dva , )( )( jsme tři intervaly: ( ). 4) Určíme znaménko derivace v jednotlivých intervalech. ( (
)
( ((
) (
(
) ) )
)
( )
Tedy daná funkce je klesající na intervalech (
)
(
( (
)
〉, 〈
(
( )
)
)
(
) a rostoucí na intervalu 〈
) )
〉.
PŘÍKLAD: Určeme maximální intervaly monotonie funkce ( )
.
1) Definičním oborem logaritmické funkce jsou pouze kladná čísla, ( ) ( ) 2) 3) Položíme první derivaci rovnu nule.
(
)
Tedy stacionární bod je . Derivace existuje ve všech bodech definičního oboru. Definiční obor rozdělíme pouze na dva intervaly. 4) Určíme znaménko derivace v jednotlivých intervalech. ( (
96
)
)
( ( )
)
Daná funkce je klesající na intervalu (
〉 a rostoucí na intervalu 〈
).
PŘÍKLAD: Určeme maximální intervaly monotonie funkc e , tak ( )
1) Protože
( )
.
{ }
( ) 2) . 3) Položíme první derivaci rovnu nule. (
)
proto řešíme pouze Stacionární bod je
. Bod, ve kterém derivace neexistuje, je shodný s bodem, který nepatří
do definičního oboru funkce. 4) Definiční obor rozdělíme na intervaly a určíme znaménko derivace v jednotlivých intervalech.
(
)
)
(
(
)
( )
Funkce je klesající na intervalech (
)
(
), (
)
〉 a rostoucí na intervalu 〈
( ( )
(
) )
).
PŘÍKLAD: Určeme maximální intervaly monotonie funkc e , ( )
1) Protože 2)
( )
(
{
( )
.
}
)
3) Položíme první derivaci rovnu nule. (
)
Tato funkce nemá žádné stacionární body. Bod, ve kterém neexistuje derivace, je shodný s bodem, ve kterém není funkce definována. 4) Intervaly jsou dány pouze definičním oborem.
Kapitola: VÝZNAM PRVNÍ A DRUHÉ DERIVACE PRO PRŮBĚH FUNKCE
(
97
( (
)
) (
( ( )
)
Daná funkce je pouze rostoucí na intervalech (
) (
), (
)
).
PŘÍKLAD: Určeme maximální intervaly monotonie funkc e
( )
.
( )
1)
( ) 2) ( ) 3) Položíme první derivaci rovnu nule. (
)
tedy řešíme pouze
Tato funkce nemá žádné stacionární body. Derivace existuje pro všechna reálná čísla. 4) Definiční obor není žádnou hodnotou rozdělen. Interval je tedy pouze jeden. ( ( )
) (
)
Daná funkce je pouze rostoucí na .
5.2.
VÝZNAM DRUHÉ DERIVACE PRO VYŠETŘENÍ ZAKŘIVENOSTI GRAFU FUNKCE
Pomocí druhé derivace lze vyšetřovat „zakřivenost“ funkce, čímž máme na mysli konvexnost nebo konkávnost funkce. Tyto pojmy můžeme zavést pomocí následující definice, v níž předpokládáme, že má funkce derivaci na intervalu .
DEFINICE: KONVEXNOST A KONKÁVNOST Řekneme, že je funkce konvexní na intervalu , jestliže pro všechna ( ) pod tětivou určenou těmito body, neboli pro všechna ( ) a ( )
98
( )
( )
(
)
( )
, (
, leží graf funkce mezi body ) platí nerovnost:
Řekneme, že funkce je konkávní na intervalu , jestliže pro všechna ( ) nad tětivou určenou těmito body, neboli pro všechna body ( ) a ( )
( )
( )
(
)
,
, leží graf funkce mezi ) platí nerovnost:
(
( )
VĚTA: Nechť funkce je konvexní (resp. konkávní) na otevřeném intervalu ( ). Nechť je spojitá zprava v bodě 〉. zleva v bodě . Potom je konvexní (resp. konkávní) na uzavřeném intervalu 〈 Typickým příkladem konvexní funkce je funkce ( ) ( ) (obr. 38).
Obrázek 37
a
(obr. 37) a příkladem konkávní funkce je funkce
Obrázek 38
VĚTA: VÝZNAM DRUHÉ DERIVACE PRO PRŮBĚH FUNKCE Nechť
je funkce spojitá na otevřeném intervalu a má na tomto intervalu vlastní druhou derivaci.
Je-li
( )
pro každé
, pak je
konvexní na .
Je-li
( )
pro každé
, pak je
konkávní na .
Funkce, která je konvexní, resp. konkávní, na sousedních intervalech, nemusí být konvexní, resp. konkávní, na jejich sjednocení, i když je spojitá ve společném bodě těchto dvou intervalů.
VĚTA: ( )
Nechť
,
. Pak
pokud je
na intervalech (
)a(
), je
konvexní na intervalu (
);
pokud je
na intervalech (
)a(
), je
konkávní na intervalu (
).
Kapitola: VÝZNAM PRVNÍ A DRUHÉ DERIVACE PRO PRŮBĚH FUNKCE
Při vyšetřování zakřivenosti funkce používáme následující větu.
99
DEFINICE: INFLEXNÍ BOD Řekneme, že je inflexním bodem funkce , jestliže je vnitřním bodem definičního oboru funkce , ve kterém existuje vlastní první derivace a navíc funkce je vlevo od bodu konvexní a vpravo od tohoto bodu konkávní, anebo naopak. Místo pojmu inflexní bod, lze také říci, že má funkce v bodě inflexi. Z předchozí definice a věty vyplývá, že pokud má funkce v bodě tečnu a v intervalech nalevo a napravo od tohoto bodu mění druhá derivace znaménko, pak je inflexní bod. Pokud druhá derivace nalevo a napravo od tohoto bodu nemění své znaménko, pak funkce nemá v bodě inflexi. Tyto situace ilustrují následující obrázky.
Obrázek 39
Na obrázku 39 má funkce v bodě inflexní bod. Nalevo od tohoto bodu je funkce konkávní, napravo konvexní.
Obrázek 40
Na obrázku 40 je funkce nalevo od bodu konvexní a napravo také. V tomto bodě tedy nemá tato funkce inflexi.
Na obrázku 41 je funkce nalevo od bodu konkávní a napravo konvexní. Ale v bodě funkce nemá tečnu, tedy v tomto bodě funkce nemá inflexi.
Obrázek 41
Postup při vyšetřování zakřivenosti je pro elementární funkce podobný jako při vyšetřování monotonie funkce, můžeme jej opět shrnout do následujících kroků:
100
1) Určíme definiční obor funkce. 2) Vypočítáme druhou derivaci zadané funkce. 3) Určíme body, ve kterých je druhá derivace rovna nule. Určíme také body, ve kterých druhá derivace neexistuje. 4) V intervalech, které jsou tvořeny definičním oborem rozděleným pomocí bodů nalezených v předchozím kroku, určíme znaménka druhé derivace. V intervalech, kde je druhá derivace kladná, je funkce konvexní, v intervalech, kde je druhá derivace záporná, je funkce konkávní. Body, které patří do definičního oboru funkce, existuje v nich tečna k dané funkci a navíc v nich druhá derivace mění znaménko, nazveme inflexními body.
PŘÍKLAD: Vyšetřeme zakřivenost funkce ( ) 1)
( )
2)
( )
,
.
( )
3) Položíme druhou derivaci rovnu nule. ( ) ( )( ) Body, ve kterých je druhá derivace rovna nule, jsou dva, a to a . Jedná se o body, ve kterých funkce může mít, ale také nemusí inflexi. Derivace existuje pro všechna reálná čísla. 4) Definiční obor rozdělíme na tři intervaly a určíme znaménko druhé derivace v jednotlivých intervalech.
(
)
) (
( ( )
)
,
jsou (
〉, 〈
)
(
)
( )
Funkce je konvexní na intervalech ( v bodech
)
, ( )
) a konkávní na intervalu 〈 . Inflexní body tedy jsou: [
〉. Funkční hodnoty ], [
].
PŘÍKLAD: Vyšetřeme zakřivenost funkce
( )
.
( ) 1) ( ) 2) ( ), ( ) ( 3) Položíme druhou derivaci rovnu nule.
)
( ) tedy ( ) Našli jsme jeden bod podezřelý z inflexe, . Derivace existuje pro všechna reálná čísla. 4) Definiční obor rozdělíme na dva intervaly a určíme znaménko druhé derivace v jednotlivých intervalech.
Kapitola: VÝZNAM PRVNÍ A DRUHÉ DERIVACE PRO PRŮBĚH FUNKCE
(
101
( ( )
) (
( )
( )
) (
)
〉 a konvexní na intervalu 〈
Funkce je konkávní na intervalu (
). Inflexní bod je
.
PŘÍKLAD: Vyšetřeme zakřivenost funkce ( )
.
1) Protože funkce obsahuje logaritmickou funkci, definiční obor jsou pouze kladná čísla, ( ) ( )
2)
(
)
( )
,
3) Položíme druhou derivaci rovnu nule.
√ Získali jsme jeden podezřelý bod z inflexe. Derivace je definována na celém definičním oboru funkce. 4) Definiční obor rozdělíme na dva intervaly a určíme znaménko druhé derivace v jednotlivých intervalech. ( √ )
(√
( )
)
( )
Funkce je konkávní na intervalu ( √ 〉 a konvexní na intervalu 〈√
). Inflexní bod je [√
PŘÍKLAD: Vyšetřeme zakřivenost funkce
( )
.
1) Protože ve funkci je zlomek, nesmí se jmenovatel rovnat nule, ( ) 2)
( )
,
( )
3) Položíme druhou derivaci rovnu nule.
102
{ }.
√
].
Tato situace nemůže nastat, tedy nemáme žádný bod podezřelý z inflexe. Derivace je definována na celém definičním oboru funkce. 4) Definiční obor je rozdělen na dva intervaly, ve kterých nyní určíme znaménko druhé derivace. ( (
) (
)
(
) (
)
( )
)
Funkce je konvexní na intervalech (
), (
). Inflexní bod nemá.
PŘÍKLAD Vyšetřeme zakřivenost funkce
( )
.
1) Jmenovatel zlomku se nesmí rovnat nule: ( a ( )
{
( )
,
2)
)(
)
}. ( )
( (
) )
3) Položíme druhou derivaci rovno nule. (
) )
Tato situace nemůže nastat, tudíž nemáme žádný bod podezřelý z inflexe. Derivace je definována na celém definičním oboru funkce. 4) Definiční obor je rozdělen na tři intervaly, ve kterých nyní určíme znaménko druhé derivace. ( (
)
(
) ( (
)
(
Funkce je konkávní na intervalech ( nemá.
), (
PŘÍKLAD: Vyšetřeme zakřivenost funkce
( )
(
(
( )
)
)
.
) )
( )
)
( (
) a konvexní na intervalu (
) )
). Inflexní bod
Kapitola: VÝZNAM PRVNÍ A DRUHÉ DERIVACE PRO PRŮBĚH FUNKCE
(
103
1) Definiční obor logaritmické funkce jsou pouze kladná čísla, ( ) ( )
2)
(
).
( )
,
3) Položíme druhou derivaci rovnu nule.
(
)(
Řešením rovnice jsou dva body:
a
)
. Bod
ale nepatří do definičního oboru funkce.
Máme pouze jeden bod podezřelý z inflexe. Derivace je definována na celém definičním oboru funkce. 4) Definiční obor je rozdělen na dva intervaly, ve kterých nyní určíme znaménko druhé derivace. ( (
)
(
)
)
( )
〉 a konvexní na intervalu 〈
Funkce je konkávní na intervalu (
). Inflexní bod je [
].
PŘÍKLAD: Vyšetřeme zakřivenost funkce ( )
(
)
1) Logaritmická funkce má definiční obor pouze kladná čísla, proto: ( Z čehož získáme ( ) 2)
( )
,
( )
(
)
). (
(
)(
)
(
) )
3) Položíme druhou derivaci rovnu nule. (
)
(
) (
)
Tato situace nemůže nastat, tedy nemáme žádný bod podezřelý z inflexe. Derivace je definována na celém definičním oboru funkce. 4) Definiční obor tvoří pouze jeden interval, není žádným bodem rozdělen. ( ( )
104
) (
(
) )
Funkce je na celém definičním oboru konkávní a nemá žádný inflexní bod.
5.3.
CVIČENÍ
1) Určete intervaly, na kterých jsou funkce rostoucí, resp. klesající. a)
( )
b) c)
( ) ( )
d) e) f)
( ) ( ) ( )
g) h) i)
( ) ( ) ( )
(
j)
( )
√
k)
( )
l)
( )
( )(
(
) )
)
[a) rostoucí ( 〉〈 b) klesající (
〉〈 ), klesající 〈 〉, rostoucí 〈 〉〈
〉, ),
〉〈 ), klesající 〈 √ )( ) ( √ 〉, √ 〉 〈√ 〉〈 〉, klesající 〈 〉〈 d) rostoucí ( ), 〉, rostoucí 〈 e) klesající ( ), )( f) rostoucí ( ), 〉〈 〉, g) rostoucí ( ), klesající 〈 〉 〈 〈 〉, h) rostoucí ( ), klesající
c) rostoucí (
〉〈
i) rostoucí (
l) klesající (
), klesající 〈
〉, klesající 〈 j) rostoucí 〈 〉, rostoucí 〈 k) klesající ( 〉〈 ), rostoucí 〈
〉, 〉, ), 〉]
a) b)
( ) ( )
c)
( )
d)
( )
e)
( )
f)
( )
g)
( )
(
(
)
)
[a) konvexní (
〉〈
( )
i)
( )
j)
( )
k)
( )
l)
( )
m)
( )
), konkávní 〈 〉 〈
b) konvexní ( c) konvexní (
h)
〉〈
(
(
), konkávní 〈 ), konkávní 〈
)〈
), konkávní (
f) konkávní (
)
〉, inflexní body
d) konvexní ( e) konvexní (
)
,
〉, inflexní body
〉, inflexní body
[ [
], ],
)(
), žádný inflexní bod,
〉(
), inflexní bod
), konvexní (
,
), žádný inflexní bod,
Kapitola: VÝZNAM PRVNÍ A DRUHÉ DERIVACE PRO PRŮBĚH FUNKCE
2) Určete intervaly, na kterých jsou funkce konvexní, resp. konkávní, a určete inflexní body.
105
g) konvexní (
〉〈
), konkávní 〈 h) konkávní (
i) konvexní (
〉, inflexní body 〉, konvexní 〈
), konkávní (
j) konkávní ( e 〉, konvexní 〈e k) konkávní (
) 〈e
l) konkávní (
), inflexní bod
〉, konvexní 〈
,
), žádný inflexní bod, ), inflexní bod [e
), konvexní ( e 〉, inflexní bod [e
m) konvexní (
106
,
), inflexní bod [
e ], ], ],
), žádný inflexní bod]
6. EXTRÉMY FUNKCE A VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE 6.1.
LOKÁLNÍ EXTRÉMY
DEFINICE: LOKÁLNÍ EXTRÉMY Řekneme, že funkce pro všechna (
má v
( ) lokální maximum, resp. lokální minimum, existuje-li ) platí: ( )
Existuje-li
tak, že pro všechna ( )
pak řekneme, že funkce
má v bodě
( ) resp. ( ) (
tak, že
( )
) platí:
( ) resp. ( )
( )
ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum.
Lokální maximum, lokální minimum, ostré lokální maximum a ostré lokální minimum nazýváme souhrnně lokální extrémy. Poznámka: Lokální extrémy mohou být pouze ve vnitřních bodech definičního oboru, nikoliv v krajních bodech, protože je nutné aby ( ) ( ).
VĚTA: NUTNÁ PODMÍNKA PRO LOKÁLNÍ EXTRÉM Má-li funkce
v bodě
( ) lokální extrém, pak derivace
( ) buďto neexistuje, nebo je rovna nule.
VĚTA: PRVNÍ POSTAČUJÍCÍ PODMÍNKA PRO LOKÁLNÍ EXTRÉM Předpokládejme, že funkce
je spojitá v bodě
a že existuje okolí (
) bodu
tak, že platí:
Je-li ( ) na intervalu ( ostré lokální maximum.
)a
( )
na intervalu (
), má funkce
v bodě
Je-li ( ) na intervalu ( ostré lokální minimum.
)a
( )
na intervalu (
), má funkce
v bodě
Pokud derivace na intervalech ( v bodě lokální extrém.
)a(
) nemění znaménko, pak nemá funkce
Kapitola: EXTRéMY FUNKCE A VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE
Nutná podmínka nám říká, jak lze nalézt body „podezřelé“ z lokálního extrému. Jsou to tedy buďto stacionární body, nebo body, ve kterých derivace není definována. Abychom dále určili, které z podezřelých bodů jsou opravdu lokálními extrémy, k tomu nám slouží postačující podmínka. Následující dvě věty udávají postačující podmínky pro existenci lokálního extrému.
107
VĚTA: DRUHÁ POSTAČUJÍCÍ PODMÍNKA PRO LOKÁLNÍ EXTRÉM Nechť
( )
.
Je-li
( )
, pak má funkce
v bodě
ostré lokální minimum.
Je-li
( )
, pak má funkce
v bodě
ostré lokální maximum.
( )
a
Poznámka: Nevýhodou je, že věta neřeší situaci, kdy
( )
.
První postačující podmínka je založena na monotonii funkce. Tedy pokud je stacionární bod a na intervalu vlevo od tohoto bodu je funkce rostoucí a na intervalu vpravo od tohoto bodu je funkce klesající, potom je v tomto bodě ostré lokální maximum. Viz obrázek 42 bod .
Naopak bod je ostré lokální minimum, protože nalevo od tohoto bodu je funkce klesající a napravo od tohoto bodu je funkce rostoucí.
Obrázek 42
Druhá postačující zakřivenosti funkce.
podmínka
je
založena
na
Pokud je ve stacionárním bodě druhá derivace kladná, lze si funkci představit v okolí tohoto bodu jako konvexní, proto je v tomto bodě lokální minimum, obrázek 43, bod . Pokud je ve stacionárním bodě druhá derivace záporná, lze si funkci představit v okolí tohoto bodu jako konkávní, jedná se tedy o lokální maximum, bod .
Obrázek 43
Při vyšetřování nezáleží na tom, jestli použůijeme první, či druhou postačující podmínku. Většinou se rozhodneme podle toho, jak náročné je vypočítat druhou derivaci funkce. V následujících příkladech si ukážeme obě možnosti.
108
PŘÍKLAD: Najděme lokální extrémy funkce ( )
.
Definiční obor této funkce jsou všechna reálná čísla. Dále najdeme podle nutné podmínky body podezřelé z extrému. K tomu potřebujeme první derivaci funkce. ( ) Body, ve kterých derivace neexistuje, žádné nejsou. Spočítáme stacionární body funkce:
(
)
Tedy stacionární body jsou dva: a . Nyní pomocí postačující podmínky určíme, jestli má funkce v těchto bodech lokální extrémy. Ukážeme si použití první postačující podmínky. Stačí určit znaménka první )( )( derivace na intervalech ( ). Postupujeme stejně jako při vyšetřování monotonie funkce. ( ( )
) (
(
)
(
( )
)
)
( )
+
-
+
PŘÍKLAD: Najděme lokální extrémy funkce ( ) Určíme ( )
a
( )
. . Derivace existuje pro všechna reálná čísla. Najdeme stacionární body:
(
)
Stacionární body jsou tři: a . Nyní pomocí postačující podmínky určíme, jestli má funkce v těchto bodech lokální extrémy. Ukážeme si použití druhé postačující podmínky. Stačí určit znaménka druhé derivace ve stacionárních bodech. ( ) (
) ( ) ( )
(
)
Kapitola: EXTRéMY FUNKCE A VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE
Na prvním intervalu je funkce rostoucí, potom klesající, a nakonec opět rostoucí. Z tohoto nákresu (z první postačující podmínky) je zřejmé, že v bodě je ostré lokální maximum funkce a v bodě má funkce ostré lokální minimum. Nakonec uvedeme funkční hodnoty v těchto bodech. Tedy dosadíme dané body do ( ) zadání funkce . Hodnota lokálního maxima je ( ) ( ) a hodnota lokálního minima je ( ) .
109
Z druhé postačující podmínky plyne, že funkce má ostré lokální maximum v bodě a ostré lokální minima v bodech a . Funkční hodnoty v těchto bodech jsou: ( ) , ( ) a ( ) . Body můžeme opět zapsat pomocí souřadnic: .
PŘÍKLAD: Najděme lokální extrémy funkce ( )
.
Protože funkce obsahuje zlomek, ( )
{
}. Určíme první derivaci: ( )
(
)
.
Derivace existuje na celém definičním oboru funkce. Najdeme stacionární body:
(
)
Tato funkce nemá žádné stacionární body. Nemáme žádné body podezřelé z lokálních extrémů, funkce tedy žádné lokální extrémy nemá.
PŘÍKLAD: Najděme lokální extrémy funkce ( ) Protože funkce obsahuje logaritmickou funkci, ( ) ( )
(
). Spočtěme první derivaci: .
Derivace existuje na celém definičním oboru. Najdeme stacionární body:
Stacionární bod je pouze jeden bodě lokální extrém.
. Nyní pomocí první postačující podmínky určíme, jestli má funkce v tomto
( (
110
)
(
) )
( ( )
)
má funkce ostré lokální maximum. Funkční hodnota je ( )
V bodě
.
PŘÍKLAD: Najděme lokální extrémy funkce Určíme ( )
( )
.
a první derivaci: ( )
(
)
.
Derivace existuje na celém definičním oboru. Najdeme stacionární body: (
( (
)
(
a
. Nyní pomocí první postačující podmínky určíme, jestli má funkce
) )
( )
Funkce má ostré lokální minimum v bodě ( ) a ( ) .
(
)
(
)
( ( )
a ostré lokální maximum v bodě
(
) )
. Funkční hodnoty jsou
PŘÍKLAD: Najděme lokální extrémy funkce ( )
.
Protože ve jmenovateli zlomku nesmí být nula, je ( ) ( )
(
{ )
}. Určíme první derivaci funkce: (
)
.
Derivace existuje na celém definičním oboru. Najdeme stacionární body:
(
)
Kapitola: EXTRéMY FUNKCE A VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE
Stacionární body jsou v tomto bodě lokální extrém.
)
111
Stacionární body jsou dva:
a
. Nyní bude výhodné použít první postačující podmínku. Protože
spočítat druhou derivaci by bylo náročnější. Určíme znaménka první derivace v následujících intervalech:
( (
)
(
) (
(
)
( )
)
( )
)
a ( )
a ostré lokální maximum v bodě
)
( ) (
Funkce má ostré lokální minimum v bodě v těchto bodech jsou: ( )
(
)
. Funkční hodnoty
.
PŘÍKLAD: Najděme lokální extrémy funkce ( )
.
Protože funkce obsahuje logaritmickou funkci, tak ( )
(
( )
). Derivace je rovna: .
Derivace existuje na celém definičním oboru. Najdeme stacionární body:
(
)
nebo Stacionární body jsou dva: vypočítat druhou derivaci funkce:
. Použijeme nyní druhou postačující podmínku. Musíme tedy
( ) (
) ( )
112
Funkce má ostré lokální maximum v bodě ) v těchto bodech jsou: ( a ( )
6.2.
a ostré lokální minimum v bodě
. Funkční hodnoty
.
GLOBÁLNÍ EXTRÉMY
DEFINICE: GLOBÁLNÍ EXTRÉMY Buď funkce
definovaná na množině
.
Jestliže a platí ( ) maximum v bodě .
( ) pro všechna
, říkáme, že funkce
má na
globální
Jestliže a platí ( ) minimum v bodě .
( ) pro všechna
, říkáme, že funkce
má na
globální
Ostré globální extrémy jsou takové extrémy, které se vyskytnou právě jednou. Lze je definovat tedy takto: Jestliže v bodě Jestliže v bodě
a platí ( )
( ) pro všechna
, říkáme, že funkce
má na
ostré globální maximum
a platí ( )
( ) pro všechna
, říkáme, že funkce
má na
ostré globální minimum
.
.
Poznámka: Někdy se místo pojmu globální extrémy používá také absolutní extrémy. Postačující podmínku pro existenci globálních extrémů udává následující věta.
Funkce spojitá na uzavřeném intervalu 〈
〉 má na tomto intervalu globální maximum i globální minimum.
Z předchozí věty plyne, že k nalezení extrémů spojité funkce na uzavřeném intervalu stačí najít podezřelé body a spočítat v nich jejich funkční hodnotu. Bod s nejvyšší hodnotou bude globální maximum a bod s nejnižší funkční hodnotou je globální minimum funkce. Podezřelé body získáme stejně jako podezřelé body u lokálních extrémů (tj. jsou to stacionární body či body, ve kterých funkce nemá derivaci) a navíc mezi podezřelé body zařadíme i krajní body daného intervalu.
Kapitola: EXTRéMY FUNKCE A VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE
VĚTA: WEIERSTRASSOVA VĚTA
113
Na obrázku 44 máme znázorněnou funkci , jejíž lokální extrémy jsou označeny modře (Lmin, Lmax). Pokud budeme počítat globální extrémy této funkce 〉, znamená to, že hledáme bod na intervalu 〈 s nejvyšší (resp. nejnižší) funkční hodnotou na tomto intervalu, tzn. na červené části grafu funkce . Globální extrémy mohou nastat buď v lokálních extrémech, nebo v krajních bodech intervalu. Na obrázku 44 vidíme, že funkce má na intervalu 〈 〉 globální maximum v bodě Lmax a globální minimum v krajním bodě intervalu . Oba extrémy jsou ostré. Obrázek 44
PŘÍKLAD: Najděme globální extrémy funkce ( )
na intervalu 〈
〉.
Funkce je spojitá na celém definičním oboru a zadaný interval je podmnožinou definičního oboru, můžeme využít Weierstrassovu větu. Lokální extrémy této funkce jsme počítali v předchozí kapitole, známe tedy již stacionární body: a . Máme celkem čtyři podezřelé body, dva stacionární body a dva krajní body zadaného intervalu. Nyní stačí vypočítat funkční hodnoty v těchto bodech: (
)
(
) ( ) ( )
Globální maximum je v bodě
a globální minimum je v bodě
.
PŘÍKLAD: Najděme globální extrémy funkce ( )
na intervalu 〈
〉.
Funkce je spojitá na reálných číslech, proto můžeme využít Weierstrassovu větu. Spočítáme stacionární body. ( )
(
)
Stacionární body jsou: a . Nesmíme zapomenout zkontrolovat, jestli nalezené body leží v zadaném 〉, proto tento bod nezařazujeme mezi podezřelé intervalu. V tomto případě bod neleží v intervalu 〈 body. Máme celkem tři podezřelé body. Vypočítáme funkční hodnotu v těchto bodech: (
) ( )
114
( ) Globální maximum je v bodě
a globální minimum je v bodě
.
PŘÍKLAD: Najděme globální extrémy funkce ( )
na intervalu 〈
〉.
Funkce je spojitá na ( ) ( ), tedy i na zadaném uzavřeném intervalu a můžeme využít Weierstrassovu větu. Spočítáme stacionární body. ( )
(
)
Bod nepatří do definičního oboru funkce, tedy stacionární bod je pouze 〉, proto mezi podezřelé body patří pouze krajní body intervalu: do intervalu 〈
. Tento bod ale nepatří
( ) ( ) Globální maximum je v bodě
a globální minimum je v bodě
.
PŘÍKLAD: Najděme globální extrémy funkce ( )
√
na intervalu 〈
〉.
〉, tedy i na zadaném uzavřeném intervalu a můžeme využít Weierstrassovu Funkce je spojitá na ( ) 〈 větu. Spočítáme stacionární body. ( )
√
(
)
a
derivace neexistuje. Stacionární
√
( ) ( ) Globální maximum je v bodě
a globální minimum je v bodě
.
PŘÍKLAD: Najděme globální extrémy funkce ( )
na intervalu 〈
) ( Definiční obor funkce je ( ). Na intervalu 〈 větu. Nejprve zjistíme stacionární body: ( )
(
〉. 〉 je tedy funkce spojitá. Použijeme Weierstrassovu
)
Kapitola: EXTRéMY FUNKCE A VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE
Derivace je definována na intervalu ( ), tudíž v bodech bod je pouze . Podezřelé body jsou tři:
115
Derivace je definována na celém definičním oboru. Stacionární bod neexistuje. Podezřelé body jsou pouze krajní body intervalu: ( ) ( ) Globální maximum je v bodě
a globální minimum je v bodě
.
PŘÍKLAD: Najděme globální extrémy funkce ( )
na intervalu 〈
〉.
Funkce je spojitá na množině všech reálných čísel, tedy i na zadaném uzavřeném intervalu a můžeme využít Weierstrassovu větu. Spočítáme stacionární body. ( )
(
)(
)
Stacionární body jsou: a . V daném intervalu ale leží pouze bod bodem intervalu. Podezřelé body jsou pouze dva: (
, který je zároveň krajním
)
( ) Globální maximum je v bodě
6.3.
a globální minimum je v bodě
.
VYŠETŘENÍ PRŮBĚHU FUNKCE
Důležitým nástrojem při vyšetřování průběhu funkce je derivace. Chování funkce lze popsat pomocí dříve zavedených vlastností funkce, které dokážeme zjistit právě pomocí derivace. Při vyšetřování průběhu funkce
postupujeme takto:
1) 2) 3) 4) 5) 6)
Určíme definiční obor funkce. Vyšetříme, zda uvedená funkce je sudá, resp. lichá, resp. periodická. Stanovíme průsečíky funkce s osou a určíme intervaly, kde je funkce kladná, resp. záporná. Vypočítáme limity v krajních bodech definičního oboru. Určíme asymptoty funkce. Pomocí první derivace určíme intervaly, v nichž je funkce rostoucí, resp. klesající. A stanovíme lokální extrémy. 7) Pomocí druhé derivace určíme intervaly, v nichž je funkce konvexní, resp. konkávní. A stanovíme inflexní body. 8) Načrtneme graf funkce.
PŘÍKLAD: Vyšetřeme průběh funkce ( )
116
.
Při vyšetřování budeme postupovat podle návodu. ( ) 1) { } 2) Zjistíme hodnotu ( (
)
). (
)
Protože ( ) ( ), funkce je sudá. Tzn. graf funkce bude osově souměrný podle osy y. 3) Průsečíky funkce s osou jsou body, které mají funkční hodnotu rovnu nule. Tedy: 0 Tato rovnice nemá řešení, tzn. graf funkce nemá žádné průsečíky s osou x. Dále určíme intervaly, kde je funkce kladná, nebo záporná. Protože funkce je spojitá na intervalech ( ), ( ), ( )a nemá žádné průsečíky s osou , musí uvnitř těchto intervalů nabývat hodnot se stejným znaménkem. Stačí tedy dosadit z každého intervalu libovolné číslo do dané funkce a zjistit znaménko. (
G r a f
(
)
(
)
(
( )
)
)
( )
), ( ) pod osou a na intervalu ( ) nad osou . Funkce je na intervalech ( 4) Krajní body definičního oboru jsou čtyři: . Ve vlastních bodech musíme spočítat jednostranné limity. Potřebujeme tedy určit celkem šest limit:
( )
‖ ‖
‖ ‖
( )
‖
‖
( )
‖
‖
( )
‖
‖
( )
‖
‖
5) Nejprve určíme asymptoty bez směrnice. Tyto asymptoty mohou být pouze v bodech, kde není funkce definována, tj. . Vzhledem k tomu, že jednostranné limity, které jsme již počítali v bodě 4, jsou nevlastní, funkce v těchto bodech má dvě svislé asymptoty: a . Nyní určíme asymptoty se směrnicí. Tato asymptota má rovnici , musíme vypočítat a : ( ( Asymptota se směrnicí pro 6) Spočítáme první derivaci:
‖
)
) má rovnici
‖ ‖
‖
.
( )
( ) Položíme-li derivaci rovnu nule, najdeme jeden stacionární bod derivace na jednotlivých intervalech: (
)
(
)
(
)
. Určíme znaménka první
(
)
Kapitola: EXTRéMY FUNKCE A VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE
( )
117
(
)
(
)
( )
Funkce je klesající na intervalech ( pouze lokální minimum v bodě 7) Spočítáme druhou derivaci:
( )
)( 〉 a rostoucí na intervalech 〈 . Hodnota lokálního minima je ( ) . ( )
(
Položíme-li druhou derivaci rovnu nule, dostaneme
)(
). Funkce má
) , z čehož plyne, že druhá derivace nemá
žádný nulový bod. Funkce tedy nemá žádné inflexní body. Určíme znaménka druhé derivace na intervalech: ( (
)
(
) ( )
)
( ( )
) ( Funkce je konkávní na intervalech ( ) a konvexní na intervalu ( 8) Nyní můžeme podle získaných údajů nakreslit graf funkce .
PŘÍKLAD: Vyšetřeme průběh funkce ( ) 1)
118
( )
.
)
).
2) Zjistíme hodnotu (
).
( ) ( ) Platí ( ) ( ), proto je funkce sudá. 3) Vypočítáme průsečíky s osou :
Průsečík je jeden, a to bod . Dále určíme intervaly, kde je funkce kladná nebo záporná. Protože funkce je spojitá na intervalech ( )a( ), musí uvnitř těchto intervalů nabývat hodnot se stejným znaménkem. Stačí dosadit z každého intervalu libovolné číslo do dané funkce a zjistit znaménko. ( ) ( ) )
( )
Funkce na svém definičním oboru nabývá pouze kladných hodnot, kromě bodu bude ležet nad osou . 4) Krajní body definičního oboru jsou dva: . ( ) ‖ ‖ ( )
‖
‖
5) Protože definiční obor jsou všechna reálná čísla, tak funkce Vypočítáme, jestli funkce má asymptoty se směrnicí: ‖ ( Asymptota se směrnicí pro 6) Spočítáme první derivaci:
má rovnici
nemá žádné asymptoty bez směrnice.
‖ ‖
)
‖
.
( ) Položíme-li derivaci rovnu nule, najdeme jeden stacionární bod derivace na jednotlivých intervalech: ( (
. Graf funkce tedy
) )
(
)
( )
〉 a rostoucí na intervalu 〈 Funkce je klesající na intervalu ( minimum v bodě . Hodnota lokálního minima je ( ) . 7) Spočítáme druhou derivaci: ( ) ( Položíme-li druhou derivaci rovnu nule, dostaneme:
. Určíme znaménka první
)
). Funkce má pouze lokální
Kapitola: EXTRéMY FUNKCE A VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE
(
119
√ √
Po usměrnění zlomku dostaneme √
( (
)
(
√
√
)
(
( )
)
Funkce je konkávní na intervalech ( √
hodnoty v bodech dva [
. Určíme znaménka druhé derivace na intervalech:
√
]a[
a
√
√
√
)
( )
√
〉 〈
√
jsou (
√
)
) a konvexní na intervalu 〈 √
( )
√
√
〉. Funkční
. Inflexní body tedy máme
].
8) Nyní můžeme podle získaných údajů nakreslit graf funkce .
PŘÍKLAD: Vyšetřeme průběh funkce ( ) ( ) 1) { } 2) Zjistíme hodnotu ( (
)
(
.
). ) (
)
Protože ( ) ( ) ani ( ) 3) Vypočítáme průsečíky s osou :
Průsečík s osou
120
( ), funkce není ani sudá, ani lichá.
neexistuje. Dále určíme intervaly, na kterých je funkce kladná, nebo záporná.
(
)
(
( )
)
( )
) nad osou Graf funkce je na intervalu ( 4) Krajní body definičního oboru jsou tři: ( )
a na intervalu ( .
) pod osou .
( ) ( )
‖
‖
( )
‖
‖
5) Asymptota bez směrnice je , jednosměrné limity jsme již počítali v předchozím bodě. Nyní budeme počítat asymptoty se směrnicí:
( Asymptota se směrnicí pro 6) Spočítáme první derivaci:
(
)
(
)
‖
‖
)
má rovnici
(
)
(
)
.
( )
(
)
(
)
(
〉, 〈 Funkce je klesající na intervalech ( lokální minimum a lokální maximum 7) Spočítáme druhou derivaci:
,
)
(
) a rostoucí na intervalech 〈 .
( )
( ) Druhá derivace se nikdy nerovná nule, funkce tedy nemá inflexní body. (
)
. Určíme znaménka první
(
) a konvexní na intervalu ( Funkce je konkávní na intervalu ( 8) Nyní můžeme podle získaných údajů nakreslit graf funkce .
)
).
)(
)
〉. Funkce má
Kapitola: EXTRéMY FUNKCE A VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE
( ) Položíme-li derivaci rovnu nule, najdeme dva stacionární body derivace na jednotlivých intervalech:
121
PŘÍKLAD: Vyšetřeme průběh funkce ( )
.
( ) 1) 2) Zjistíme hodnotu ( ). ( ) ( ) Platí ( ) ( ), proto je funkce lichá. 3) Vypočítáme průsečíky s osou : Vyřešit tuto rovnici není snadné. Jeden kořen ale vidíme hned, a to je . Pokud nelze rovnici řešit základními elementárními úpravami, tak rovnici dále neřešíme a znaménka funkce na intervalech vyšetřovat nebudeme. 4) Krajní body definičního oboru jsou dva: . ( ) ( ) 5) Definiční obor jsou všechna reálná čísla, funkce Vyšetříme, jestli funkce má asymptoty se směrnicí:
tedy nemá žádné asymptoty bez směrnice.
‖ ( Asymptota se směrnicí pro
) má rovnici
. 6) Spočítáme první derivaci: ( )
122
(
‖ )
a asymptota pro
má rovnici
Položíme-li derivaci rovnu nule, najdeme jeden stacionární bod derivace na jednotlivých intervalech: )
(
)
Funkce je na obou intervalech rostoucí a nemá tedy ve stacionárním bodě je rostoucí na svém celém definičním oboru, tedy . 7) Spočítáme druhou derivaci: ( )
( Položíme-li druhou derivaci rovnu nule, získáme bod intervalech: (
) . Určíme znaménka druhé derivace na
)
(
〉 a konvexní na intervalu 〈 Funkce je konkávní na intervalu ( 8) Nyní můžeme podle získaných údajů nakreslit graf funkce .
6.4.
CVIČENÍ
1) Určete lokální extrémy daných funkcí: a)
( )
b)
( )
c) d)
( ) ( )
e)
( )
lokální extrém. Navíc
f)
( )
g)
( )
h)
( )
i)
( )
)
). Inflexní bod je
.
Kapitola: EXTRéMY FUNKCE A VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE
(
. Určíme znaménka první
123
j)
( ) [a) lokální maximum
, lokální minimum
,
b) lokální maximum nemá, lokální minimum [
],
c) lokální maximum , lokální minimum , d) lokální maximum , lokální minima , e) lokální maximum , lokální minimum , f) nemá žádné lokální extrémy, g) lokální maximum nemá, lokální minima , h) lokální maximum , lokální minimum , i) lokální maximum , lokální minimum , j) lokální maximum nemá, lokální minimum ] 2) Určete globální extrémy daných funkcí na daném intervalu: a) b) c)
( ) ( ) ( )
d)
( )
e)
( )
,〈 ,〈
〉 ,〈
,〈 (
)
〉 〉
〉 ,〈
〉
f)
( )
g)
( )
h) i)
( ) ( )
j)
( )
,〈
〉 ,〈
〉 ,〈
〉 ,〈
,〈
〉
[a) globální maxima , globální minima b) globální maximum , globální minimum c) globální maximum , globální minimum ], globální minimum
,
e) globální maximum [
], globální minimum
,
, globální minimum
,
g) globální maximum
b)
( )
c)
( )
d)
( )
e)
( )
Řešení:
124
, globální minimum [
h) globální maximum i) globální maximum
, globální minimum , globální minimum
j) globální maximum
, globální minimum [
3) Vyšetřete průběh následujících funkcí a načrtněte jejich graf: ( )
, , ,
d) globální maximum [
f) globální maximum
a)
〉
], , , ]]
b)
c) d)
Kapitola: EXTRéMY FUNKCE A VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE
a)
e)
125
7. APROXIMACE FUNKCE 7.1.
CO JE APROXIMACE?
Představme si, že máme počítat hodnoty funkcí v různých bodech jejich definičního oboru. Samozřejmě umíme sčítat, odčítat, násobit a dělit a jistě i umocňovat přirozeným exponentem, (což je opakované násobení). Ale odmocninu již patrně těžko zvládneme bez kalkulačky, o goniometrických funkcích není sporu – žádné „sinování“ a „kosinování“ lidé běžně nezvládají. Jak je tedy možné, že existují již odedávna matematické tabulky sinu a kosinu nebo tabulky logaritmické, jakým způsobem tyto hodnoty vypočítává kalkulačka? Takové hodnoty se počítají pomocí tak zvané aproximace funkce – tj. nahrazení funkce, jejíž hodnoty neumíme počítat, vhodnou funkcí, jejíž hodnoty počítat umíme. Šikovnou funkcí pro aproximaci je například mnohočlen, který obsahuje sčítání, odčítání, násobení a umocňování přirozeným číslem. Samozřejmě požadujeme, aby se takový mnohočlen příliš nelišil od naší funkce – tedy musíme zajistit stejný typ monotonie a stejný typ zakřivenosti. Uvedené vlastnosti závisí na první a druhé derivaci. Ukazuje se, že čím více derivací funkce a mnohočlenu je shodných, tím lépe mnohočlen aproximuje naši funkci. Aproximaci konkrétní funkce lze provádět buď v bodě a jeho okolí, nebo v celém intervalu, v němž je funkce spojitá. Podíváme se nejdříve na aproximaci funkce v okolí daného bodu.
7.2.
APROXIMACE POMOCÍ DIFERENCIÁLU
Podívejme se na následující obrázek, podobný tomu, který ilustroval zavedení derivace funkce v bodě . Úsečka vyznačená na obrázku jako ( )( ) je velikost takzvaného diferenciálu funkce, který vypočítáme jako: ( )
df(a)(h) =
( ) (
neboli
)
(3)
Diferenciál je vlastně přírůstek funkce na tečně a liší se od skutečného přírůstku funkce ( )
(
)
( )
který udává přesně změnu funkce, změní-li se hodnota argumentu o číslo . Číslo je přírůstkem nezávisle proměnné neboli pro diferenciál má pak tvar:
. Často ho v souvislosti s diferenciálem značíme
a vzorec
( ) Blíží-li se k nule, tedy jsme-li dostatečně blízko bodu , liší se diferenciál ( ) od přírůstku funkce nepatrně, to znamená, že ho můžeme použít k přibližnému výpočtu hodnoty ( ) Přesně se hodnota (
) vypočte: (
přibližně se vypočte (
)
( )
( )
( )
( ) neboli: (
126
)
)
( )
( )
( ) jen
Tomuto výpočtu pro malá h (| |
říkáme )
aproximace
hodnoty
funkce
diferenciálem.
Výpočet
je velmi přesný
Obrázek 45 - Ilustrace diferenciálu
Ukažme si přesnost takového postupu na příkladě.
PŘÍKLAD: 5
Násobení by bylo velice pracné. Výsledek by měl 10 desetinných míst, a tolik jich obvykle nepotřebujeme. Počítejme tedy přibližně – pomocí diferenciálu: Použijeme funkci ( )
, tedy pro nás
.
Kapitola: APROXIMACE FUNKCE
Vypočtěme (1,03)
127
je blízko hodnoty . Spočítáme tedy ( )
Hodnota
hodnotu diferenciálu pro Je tedy (
a
, neboť je 1
)
(znaménko
a opravíme tuto hodnotu tak, že k ní přičteme – čteme: rovná se přibližně)
Porovnáme-li získaný výsledek s přesně realizovaným výpočtem na deset desetinných míst, zjistíme, že získaná desetinná místa jsou stejná. Přesný výsledek uvedený na desetinných míst je jednu setinu při velice snadném a rychlém výpočtu.
, a odtud vidíme, že jsme udělali chybu menší než
PŘÍKLAD: Pomocí diferenciálu vypočtěme přibližně
.
Tuto hodnotu neumíme spočítat ručně. Víme, že
. Opravíme ji diferenciálem takto:
Přesnost je opět velká, tabulkový výsledek na šest desetinných míst je roven číslu 0,039979, chyba našeho -6 výpočtu je tedy 21. 10 . Poznámka: Je-li
, je
neboli
(
(
)– ( )
)– ( )
( )
( ).
Hodnota derivace v bodě tedy přibližně vyjadřuje přírůstek funkce při změně argumentu o 1. Tohoto faktu se v ekonomických aplikacích často užívá.
7.3.
TAYLORŮV A MACLAURINŮV POLYNOM
Pokud nám nestačí počet správně nalezených desetinných míst, které dostaneme při výpočtu pomocí aproximace diferenciálem, a žádáme-li přesnější výsledek, použijeme aproximaci nějakou jinou funkcí. Častá aproximace je aproximace polynomem (mnohočlenem). Víme, že pro každých prochází.
bodů v rovině existuje polynom stupně
nebo stupně nižšího, který těmito body
Konkrétně pro každý bod existuje vodorovná přímka, která jím prochází, pro každé dva body existuje přímka, která jimi prochází, pro každé tři body existuje parabola, která jimi prochází, anebo pokud body leží v jedné přímce, existuje přímka, která jimi prochází, atd.
128
Aproximace Taylorovým polynomem je založena na jednoduchém principu, a to, že dvě funkce jsou si v okolí bodu tím podobnější, čím více se shodují jejich derivace všech řádů v bodě Hledáme tedy polynom ( ) pro který platí, že jeho derivace v bodě jsou stejné jako derivace funkce ( ) v bodě .
DEFINICE: TAYLORŮV POLYNOM Nechť funkce ( ) má všechny derivace až do řádu se středem v bodě následovně: ( )
( )
( )
(
)
( )
(
v bodě . Pak definujeme Taylorův polynom
( )
)
(
( )( )
)
(
( ) stupně
)
což lze krátce zapsat: ( )
( )
Ukažme si nyní, jaký význam má číslo
∑
( )
(
)
neboli počet členů zkonstruovaného Taylorova polynomu.
Představme si, že chceme vypočítat (jednoho radiánu). Za střed Taylorova polynomu vezmeme bod 0, v němž hodnotu funkce sinus známe a víme, že je rovna nule, přičemž číslo 1 je poblíž čísla 0. Provádíme-li výpočet pomocí prvních dvou členů Taylorova polynomu, aproximujeme vlastně diferenciálem – viz vztah (3) v odstavci 7.2. Dostáváme (
)
to znamená, že . Funkci tedy nahrazujeme v okolí bodu Ilustrace této situace je na obrázku 46. Taylorův polynom ( ) je zde vyznačen červeně.
funkcí
( )
.
Pro
dostáváme pak hodnotu
Druhá derivace funkce
je v bodě 0 rovna nule, to znamená, že je
Přidejme třetí derivaci, ta je (
neboli funkci
.
) Potom:
aproximujeme funkcí
( )
.
( )
( )
Kapitola: APROXIMACE FUNKCE
Obrázek 46
129
dosadíme-li do
( ) číslo 1, dostaneme
( )
. Kontrolou na kalkulačce zjistíme, že = 0,83333,
a přesněji zjištěná tabulková hodnota sin 1 = 0,841471, viz obr. 47.
Obrázek 47
Zde je dobře patrné, že by bylo zbytečné pokračovat ve zvyšování stupně Taylorova polynomu. Výsledek by sice byl přesnější, ale je otázkou, jestli nám získaný počet desetinných míst již nestačí. Proto se v praxi používá většinou Taylorův polynom stupně dva nebo tři, který je pro běžné účely dostatečně přesnou aproximací funkce ( ) v okolí středu , v daném příkladu . Přesnost aproximace samozřejmě není pro všechny funkce stejná, závisí na vlastnostech konkrétní funkce ( ) v okolí středu, např. na strmosti funkce a tvaru jejího oblouku. Taylorův polynom, který má střed polynomy stupně jedna a tři pro funkci
, se nazývá Maclaurinův polynom. Našli jsme tedy Maclaurinovy .
Další vlastnosti Taylorova polynomu: ( )
Je-li funkce ( ) sudá, pak se koeficienty
, je-li funkce ( ) lichá, pak se tyto koeficienty rovnají nule pro sudá . dostaneme z Taylorova polynomu nekonečnou řadu zvanou Taylorova řada nebo též Taylorův rozvoj funkce.
u
v polynomu rovnají nule pro všechna lichá
PŘÍKLAD: √ v okolí bodu
Najděme Taylorův polynom stupně 2, který aproximuje funkci
, a odhadněme
pomocí něho √ . √ .
Vypočtěme první a druhou derivaci funkce
√
√
Dosaďme do funkce a jejích derivací střed Napišme
130
( ) dosazením do vzorce:
. Je
( )
,
( )
,
( )
.
( )
(
)
( – )
Všimněme si, že se Taylorův polynom dále neroznásobuje, aby bylo hned patrné, jaký je střed tohoto polynomu. Vše se vztahuje ke středu a pro přesnost aproximace je důležité, jak daleko je od středu. Dále je: ( – )
√
( – )
Příklad:
Je
( ) pro funkci
( )
e
e v bodě
e a
( ) ( )
Tedy je
( )
e
. Jedná se o Maclaurinův polynom. . Do funkce a jejích derivací dosadíme střed: ( )
( )
.
Kapitola: APROXIMACE FUNKCE
Najděme
131
7.4.
CHYBA APROXIMACE, ZBYTEK TAYLOROVA POLYNOMU
Položme si otázku, jaká chyba vzniká při nahrazení funkce ( ) Taylorovým polynomem.
DEFINICE: ZBYTEK TAYLOROVA POLYNOMU Předpokládejme, že funkce ( ) má všechny derivace až do řádu ( ( ) stupně se středem v bodě . Potom definujeme zbytek
) včetně, a uvažujme Taylorův polynom
( ) Taylorova polynomu takto: ( )
( )–
( )
Tento zbytek v absolutní hodnotě udává chybu, které se dopustíme, nahradíme-li funkci ( ) Taylorovým polynomem -tého stupně. Existuje více tvarů takových zbytků, my si zde uvedeme jeden z nich, takzvaný Lagrangeův tvar zbytku. Za předchozích předpokladů existuje číslo mezi čísly (
( ) kde
(
)
( ) značí derivaci (
(
a )
tak, že platí:
( ) ( – ) )
)-ho řádu v bodě .
Problém je, že neznáme přesně tento bod , víme jen, že je mezi body a . Není však nutné znát přesnou velikost chyby, stačí zjistit její horní odhad, abychom chybu spíše přecenili nežli nedocenili. K tomu stačí 〉 nebo 〈 〉 odhadnout shora absolutní hodnotu (n+1)-ní derivace funkce f na intervalech 〈 Ukažme si to na příkladu.
PŘÍKLAD: Odhadněme chybu výpočtu √ při přibližném výpočtu √ Taylorovým polynomem 2. stupně (provedeném v odstavci 7.3.). Byl zvolen střed a = 4, to znamená, že číslo bude v intervalu ( Vypočteme třetí derivaci funkce y=√ y´´´=
√
)
a hledáme její maximum na intervalu <4,5>.
, což je funkce klesající. Nabývá tedy svého maxima v bodě a = 4 a je ( )
Pro celý zbytek pak v intervalu (
√
) platí ( )
(
) ,
to znamená, že chyba je na intervalu (4,5) menší nebo rovna absolutní hodnotě tohoto zbytku. Pro
132
, dostáváme
|
( )|
.
Výsledek 2,2344, který jsme pro odmocninu z pěti získali v odstavci 7.3. je tedy přesný na tři desetinná místa a můžeme psát √
7.5.
(Přesnější výsledek získaný na kalkulačce je 2,236068).
DŮLEŽITÉ MACLAURINOVY POLYNOMY
Nyní uveďme několik důležitých Taylorových polynomů základních elementárních funkcí v bodě neboli Maclaurinových polynomů těchto funkcí, spolu s Lagrangeovým tvarem zbytku. Bod leží mezi body 0 a .
e
( ) e
( )
–
(
)
(
(
)
(
(
)
(
(
)
(
)
(
)
)
( )
)
( )
)
( )
(
(
)
) (
)
(
)
(
)
Pokuste se odvodit některý z těchto uvedených Maclaurinových polynomů sami.
Poznámka: Jak již bylo uvedeno, je polynom pouze cizí slovo pro mnohočlen, jsou tedy obě slova zaměnitelná. V této části je použito názvu mnohočlen pro danou funkci a slovo polynom pro aproximační funkci – Taylorúv polynom; důvod je pouze ten, abychom I názvem odlišili, že se jedná o dvě různé funkce. Někdy je vhodné nahradit i samotný mnohočlen Taylorovým polynomem, neboli nahrazujeme vlastně jeden mnohočlen mnohočlenem jiným. Sice hodnoty mnohočlenu počítat umíme, ale výpočet hodnoty původního mnohočlenu může být velmi zdlouhavý, pokud se jedná o mnohočlen vyššího stupně, a je-li navíc argument neceločíselný. Při přesném výpočtu hodnot funkce nám vzniká velký počet desetinných míst, která nás obvykle nezajímají, a výsledek pak zaokrouhlujeme, tedy je přesný výpočet prováděn vlastně zbytečně.
Kapitola: APROXIMACE FUNKCE
7.6. APROXIMACE MNOHOČLENU VYŠŠÍHO STUPNĚ TAYLOROVÝM POLYNOMEM, HORNEROVO SCHÉMA
133
(Např. u mnohočlenu 10. stupně bychom při přesném výpočtu hodnoty v bodě výsledek s dvaceti desetinnými místy).
dostali přesný
Proto vytvoříme Taylorův polynom a počítáme rovnou přibližně, s tím, že docílíme přesnosti na prvních několika desetinných místech. (Např. v uvedeném případě by nám Taylorův polynom 3. stupně poskytl přesnost na 4–6 desetinných míst). Pokud vyžadujeme větší přesnost, zvětšíme stupeň stávajícího Taylorova polynomu, čili přidáme jeho další členy. Poznámka: Taylorův polynom mnohočlenu je konečný, jelikož mnohočlen stupně má pouze nenulových derivací. My ho ale nepotřebujeme celý, takže opět vznikne zbytek, se kterým se bude pracovat stejně jako doposud. Nejdříve se naučíme rychle počítat hodnotu mnohočlenu v daném bodě. Mějme mnohočlen: e eu jeho hodnotu v bodě mnohočlen uzávorkováním na tvar ( ) dosadíme číslo .
, tedy ( (((
( ) Výpočet provedeme takto: nejprve upravíme ) ) ) a do tohoto tvaru
Vypočteme-li postupně čísla:
….
( ).
pak je
Popsaný výpočet lze zapsat pomocí schématu, které se nazývá Hornerovo schéma, a má tvar:
a0 c__ b0
a1
a2
… an
b0c b1c … bn-1c b1
b2
bn = P( c)
Schéma sestrojíme tak, že do prvního řádku napíšeme koeficienty daného mnohočlenu ( ) pokud některá z mocnin chybí, píšeme jako koeficient nulu. Na začátek druhého řádku napíšeme číslo a do třetího řádku číslo . Nyní začneme počítat a druhý řádek se třetím doplňujeme současně. Do druhého řádku píšeme postupně násobky čísel , , … a třetí řádek dostáváme sečtením prvních dvou řádků ve sloupcích.
134
PŘÍKLAD: Vypočtěme hodnotu mnohočlenu ( ) v bodě
–
–
–
.
Napoprvé se rozepíšeme trochu podrobněji: 1 3 1
-2
3
-2
-5
3.1
3.1
3.6
3.16
-2+3=1
3+3=6
-2+18=16 -5+48=43
A je tedy ( )
.
Poznámka: Hornerovo schéma nám tak umožňuje počítat hodnotu mnohočlenu pouze pomocí násobení a sčítání, není třeba umocňovat.
PŘÍKLAD: Určeme hodnotu polynomu ( ) v bodě
–
.
Hornerovo schéma: 1 2 1
0
2 -3
1
-1
2
4 12 18 38
2
6
19 37, a tedy je P( )
9
.
Hornerovo schéma má dále následující vlastnost: provádíme-li výpočet opakovaně na 3. řádku předchozího schématu, kde vynecháme poslední vypočtenou hodnotu, dostáváme jako výslednou poslední hodnotu přímo koeficient Taylorova rozvoje opakování ostaneme
( )
( )( )
, tedy při prvním opakování dostáváme první derivaci v bodě , při dalším
atd.
Najděme
( ) pro mnohočlen ( )
v bodě
Dále vypočtěme přibližně (
Opakované Hornerovo schéma dává:
).
Kapitola: APROXIMACE FUNKCE
PŘÍKLAD:
135
3 -2 6 -2 1 1 1 3 1 3 1
3 1
7 5 6
1 7
5 6 7 = P(1)
3 4
11 16
3 3
1
( )
4 11 16 22 = 7 18
7 18 34 =
( )
3 10 ( )
3 10 28 = a Taylorův rozvoj má tedy tvar: ( )
(
)
(
)
Budeme-li nyní počítat hodnotu mnohočlenu ( ) pro 6 desetinných mist, (přesná hodnota by měla 12 desetinných míst). (
7.7.
(
)
, lze ji rychle spočítat s přesností na
)
APROXIMACE FUNKCE V INTERVALU
Je-li dána funkce na nějakém interval tabulkově, neboli pomocí jejích hodnot v konkrétních bodech z tohoto intervalu, je možné za předpokladu spojitosti funkce na tomto intervalu použít tak zvanou intervalovou aproximaci funkce. Existuje více způsobů intervalové aproximace, podle toho, jaké požadavky jsou kladeny na aproximační funkci. Velmi používaná je takzvaná metoda nejmenších čtverců, s níž se setkáte ve statistice. My si všimneme pouze jednoho způsobů aproximace polynomem, jímž je Lagrangeův interpolační polynom. Pro tabulku funkce o
bodech ( -ové souřadnice těchto bodů nazýváme uzly) … …
lze odvodit Lagrangeův polynom ve tvaru ( ) pro . aproximovaná funkce.
136
∑
( (
)( )(
) ( ) (
)( )(
) ( ) (
) )
Zřejmě platí Ln (xi) = yi , tedy Ln(x) nabývá v uzlových bodech stejných hodnot jako
Je-li
, dostaneme rovnici paraboly procházející třemi danými body – jedná se o kvadratickou interpolaci.
Poznámka: Jsou-li body v tabulce od sebe stejně vzdáleny – takzvané ekvidistantní body – a dva po sobě jdoucí mají vzdálenost – takzvaný krok – lze zavést do Lagrangeova polynomu substituci a Lagrangeův polynom lze pak převést na tvar, jehož koeficienty jsou tabelovány ve speciálních tabulkách.
PŘÍKLAD: ( ) pro funkci ( ) danou tabulkou:
Sestrojme Lagrangeův interpolační polynom
( )
(
)( (
)(
) )
X
0
1/6
½
y
0
1/2
1
(
)
(
)
(
)
(
)
– ( )
Odtud můžeme například spočítat neznámou hodnotu tabulkové funkce v bodě ( Přibližná hodnota funkce (
)
(
)
) je tedy rovna 0,32. v intervalu 〈
(Všimněte si, že daná tabulka může být např. tabulkou funkce hodnota funkce
7.8. 1) Pro funkci hodnotu 2,1.
〉. Pro srovnání:
přesná na 4 desetinná místa je 0,3090).
CVIČENÍ najděte hodnotu přírůstku i diferenciálu při změně argumentu z hodnoty 2 na
2) Jak se přibližně změní hodnota funkce
3) Užitím diferenciálu vypočtěte přibližnou hodnotu a) b)
.
při změně
z hodnoty na hodnotu + 0,01.
Kapitola: APROXIMACE FUNKCE
Je tedy
137
c) d) e)
e
(
)
pro
)
)
)
)
)
4) Má funkce y = | | diferenciál v bodě x = 0? Své tvrzení zdůvodněte. e á 5) Najděte Maclaurinův polynom funkce
. ) e .
6) Najděte Maclaurinův polynom funkce
[
]
7) Napište Taylorův polynom n-tého stupně pro funkci y = v okolí bodu ( )
.
(
)
(
)
(
)
(
)
3
8) Napište Taylorovu řadu funkce y = x ln x v bodě a = 1. )
[(
(
)
]
9) Pomocí Taylorova polynomu vypočtěte funkční hodnotu arctg 0,88 s přesností na tři desetinná místa . Kolik členů musíte uvažovat? e x
10) Ukažte, že při výpočtu hodnot funkce y = e v intervalu (
〉 pomocí Maclaurinova polynomu 3. stupně je
chyba menší než 0,01. Vypočtěte √
4
3
11) Napište Taylorův polynom pro mnohočlen P(x) = x – 5x +11x – 8 v bodě schéma. [
( )
(
)
(
. Použijte Hornerovo
) 4
( 3
)
(
) ]
2
12) Pomocí Hornerova schématu vypočtěte P(1), P´(1) a P´´(1) pro funkci P(x) = x – 5x + x – 3x + 4 a napište Taylorův polynom 2. stupně v bodě a=1. [
( ) ( ) 10
( ) ( 6
2
)
( ) (
)
]
13) Taylorovým polynomem 2. stupně aproximujte mnohočlen P(x) = x – 3x + x + 2 a přibližně jím vypočtěte P(1,03).
138
(
( )
80
)
(
40
20
14) Najděte první tři členy Taylorova polynomu pro funkci P(x) = x -x +x vypočtěte hodnotu P(x) pro x = 1,005. ( )
(
)
)
(
)
v bodě x = 1 a přibližně jím
(
)
(
)
15) Sestrojte Maclaurinův polynom 2. stupně pro aproximaci funkce y = cos x v okolí bodu 0. Dále zjistěte, jaká je přesnost aproximace pro | | 0,1. ( )
[
ed je pře
de e
í ]
2x
16) Najděte Maclaurinův polynom se zbytkem pro funkci y = e , n = 5. [
kde je
ez
]
kde je
ez
]
17) Najděte Maclaurinův polynom se zbytkem pro funkci y = arcsin x, n = 2. [
(
)
18) Sestrojte Lagrangeův interpolační polynom L3(x) pro funkci f(x) danou v intervalu 〈 A
, B[
] , C[
〉 tabulkově třemi body
] .Navrhněte, kterou funkci bychom mohli tímto polynomem aproximovat. [ ( )
19) Křivku, která prochází body A polynomem v intervalu 〈 〉
, B
, C
, D
v〈
〉]
aproximujte Lagrangeovým interpolačním
( ) 20) Pomocí Lagrangeova interpolačního polynomu vypočtěte přibližně tg 35°. Použijte známé hodnoty pro
X
0
2
3
5
f(x)
1
3
2
5 [ ( )
]
Kapitola: APROXIMACE FUNKCE
21) Sestrojte Lagrangeův interpolační polynom, který je dán body v následující tabulce:
139
8. ÚVOD DO ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC, VEKTOROVÝ PROSTOR 8.1.
MOTIVAČNÍ PŘÍKLAD, VEKTOROVÝ PROSTOR
Mějme soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých. x1 + 2x2 + x3 = 8 - x1 + x2 + 2x3 = 7 x1 + 3x2
=7
Tato soustava by již byla poměrně obtížněji řešitelná, pokud bychom dosazovali z jedné rovnice do druhé, jak bylo zvykem při počítání soustavy dvou rovnic o dvou neznámých na střední škole. Víme ale, že existuje druhý způsob řešení, který spočívá v tom, že jednu rovnici vynásobíme vhodným číslem a sečteme s druhou rovnicí, a tak docílíme toho, že jedna neznámá ze soustavy vypadne. Pak se již druhá neznámá snadno vypočítá. Tento druhý postup budeme nyní používat a vytvoříme pro něj algoritmus. Abychom nemuseli stále opisovat neznámé, uděláme si tabulku koeficientů stojících u těchto neznámých a budeme počítat jen s touto tabulkou. Na pravou stranu za čáru si napíšeme pravé strany rovnic, se kterými samozřejmě děláme tytéž úpravy jako s levými stranami. Dostaneme tabulku: (
| ) , která se nazývá rozšířená matice soustavy.
Tabulka, která neobsahuje sloupec pravých stran, pouze koeficienty u neznámých, tedy tabulka (
)
se nazývá matice soustavy lineárních rovnic. Dále budeme pracovat s rozšířenou maticí. Budeme se snažit vyloučit ze druhé a třetí rovnice neznámou , neboli budeme chtít mít nuly v 1. sloupci ve druhém a třetím řádku. Nejprve sečteme druhý a první řádek a výsledky píšeme do druhého řádku, poté vynásobíme 1. řádek číslem (-1), sečteme se třetím řádkem a výsledek píšeme do třetího řádku. Dostáváme: (
|
).
Nyní můžeme vyměnit pořadí druhé a třetí rovnice, abychom získali u neznámé x2 jedničku. Dostáváme: (
|
)
Dále budeme násobit druhý řádek číslem (-3) a sečteme ho s řádkem třetím, aby ve třetí rovnici vypadlo x2. Dostaneme: ( Ze třetího řádku potom dostaneme, že
140
|
).
to znamená že
tedy
. Dosadíme za
. Dosadíme za
i
do druhého řádku, a dostaneme
do prvního řádku a dostáváme
to znamená, že . Výsledek zapíšeme přehledně ve tvaru aritmetického vektoru, což je uspořádaná trojice reálných čísel, u nás trojice ( ). Říkáme, že se jedná o vektor z vektorového prostoru Zkoušku provedeme dosazením tohoto vektoru do všech tří daných rovnic, kde se levá strana musí po dosazení rovnat straně pravé. Popsaná metoda se nazývá Gaussova eliminační metoda. Při řešení příkladu jsme prováděli úpravy se řádky – násobili jsme je reálným číslem nebo sčítali. Stejné operace lze provádět s aritmetickými vektory.
DEFINICE: ARITMETICKÝ VEKTOROVÝ PROSTOR Symbolem Vn, n reálných čísel, tj.
N, budeme značit aritmetický vektorový prostor, který je tvořen uspořádanými n-ticemi
{(
)
}
Prvky prostoru Vn se nazývají vektory. Budeme je značit malými tučnými písmeny, např. a, b.
po složkách, tj. (a1, …,an) + (b1, …, bn) = (a1+b1, …, an+bn) a
r(a1, …an) = (ra1, …, ran) .
Výraz r1u1+ r2u2 + … + rnun , kde ui
a rí R pro i = 1,2, …, n se nazývá lineární kombinace vektorů u1 , ….un s koeficienty r1, …, rn.
Vektor o = (0, 0,…, 0) se nazývá nulový vektor a vektor -a = (-a1, …, -an) se nazývá opačný vektor k vektoru a = (a1, …an). Zavedený aritmetický vektorový prostor je zvláštním případem (říkáme realizací) algebraické struktury zvané vektorový prostor.
DEFINICE : VEKTOROVÝ PROSTOR Neprázdná množina X s operacemi součet prvkú z X, která každým prvkům x y X přiřazuje prvek x + y X, a násobek prvku, která každému r R a každému x X přiřazuje prvek r x X, je vektorovým prostorem, jsou-li pro všechny prvky x, y, w X a r; s R splněny následující vlastnosti: x+y=y+x x + (y + w) = (x + y) + w; existuje prvek o X tak, že x + o = x; r(x + y) = r x + r y; (r + s)x = r x + s x; r(s x) = (r s)x; 1 x = x, 0 x = o. Prvky z X nazýváme vektory , o je nulový vektor.
Kapitola: ÚVOD DO ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC, VEKTOROVÝ PROSTOR
Součet vektoru a násobení vektoru reálným číslem r jsou pro prvky tohoto prostoru definovány
141
Jednou z realizací může být výše uvedený aritmetický vektorový prostor, který splňuje všechny vlastnosti obecného vektorového prostoru zvané též axiomy vektorového prostoru. O další realizaci pohovoříme v následující kapitole. Jak je vidět, axiomy jsou vlastně komutativní zákon, asociativní zákon a distributivní zákony. Dále je v prostoru velmi důležitá existence nulového vektoru o. Při řešení soustavy lineárních rovnic lze řádky rozšířené matice soustavy považovat za vektory (budeme je později nazývat řádkové vektory matice). V případě naší soustavy to byly vektory z aritmetického prostoru V4 (uspořádané čtveřice). Tyto vektory jsme modifikovali pomocí tzv. elementárních úprav: záměna pořadí vektorů; vynásobení některého z vektorů nenulovým reálným číslem; nahrazení některého z vektorů součtem tohoto vektoru s násobkem jiného vektoru. V případě, že úpravy provádíme s řádkovými vektory matice, dostáváme provedením těchto úprav matici, která je s původní maticí ekvivalentní (přechod od jedné ke druhé značíme ) a nemění řešení soustavy. Při řešení soustavy jsme pomocí ekvivalentních úprav získali „trojúhelníkovou“ matici soustavy, která je speciálním případem matice v Gaussově tvaru, o které bude řeč později. Docílili jsme toho přímým chodem Gaussovy metody. Jednotlivé neznámé pak z takto upravené soustavy vypočítáme zpětným chodem, tj. zezdola nahoru.
DEFINICE: LINEÁRNÍ ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST VEKTORŮ Říkáme, že vektory u1, u2, …, uk jsou lineárně nezávislé jestliže platí podmínka: kdykoliv je r1u1 + r2u2+ … + rkuk = o ; potom r1 = r2 = … = rk = 0. (tj. nulový vektor o je lineární kombinací vektorů u1 , …uk pouze s nulovými koeficienty r1,…,rk) Vektory, které nejsou lineárně nezávislé, se nazývají lineárně závislé. Poznámky:
Je-li alespoň jeden z vektorů u1, …uk nulový, jsou tyto vektory lineárné závislé Jeden vektor u je lineárně závislý právě tehdy, když je nulový. Dva vektory u, v jsou lineárně závislé, právě když je jeden z nich násobkem druhého. Vektory u1, …uk jsou lineárně závislé právě když alespoň jeden z nich je možné vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních.
Při elementárních úpravách se může stát, že se některý řádek rozšířené matice soustavy celý vynuluje (říkáme, že je nulový), což znamená, že vektor tohoto řádku je závislý na předchozích vektorech, tj. příslušná rovnice je závislá na předchozích rovnicích, a je tedy nadbytečná. Může se také stát, že se vynuluje řádek matice soustavy, ale příslušný řádek rozšířené matice soustavy nulový není. V tom případě dostáváme rovnici typu 0 = k, kde k , která zjevně nemůže být splněna. To znamená, že soustava nemá řešení. Ukážeme si to na následujícím příkladě:
142
x1 + x2 + x 3 = 3 2x1 + 3x2 + x3 = 6 x1 + 2x2
=4
Napišme si rozšířenou matici a provádějme elementární úpravy s řádky, jak bylo popsáno výše. Dostaneme postupně: (
| )
(
|
)
(
|
).
V posledním řádku jsme dostali 0 = 1. Soustava tedy nemá řešení. Pokud se stane, že pro řešitelnou soustavu zbude po elementárních úpravách méně nenulových řádků rozšířené matice, než je neznámých, má pak soustava nekonečně mnoho řešení. Tímto případem se budeme podrobně zabývat později. Poslední operací s vektory, kterou si zde zavedeme, je skalární součin dvou vektorů, který budeme potřebovat v další kapitole.
DEFINICE: SKALÁRNÍ SOUČIN Mějme dva vektory u,v Vn . Skalární součin vektorů u.v = u1v1 + u2v2 + …+ unvn
u = (u1,…,un) a v = (v1, …, vn) je reálné číslo
8.2.
CVIČENÍ
1) Řešte soustavu Gaussovou metodou: x– y+z= 0 2x + y – z = 6 2y + z = -5 (
)
2) Řešte soustavu Gaussovou metodou: x – 3y + 2z = 0 2x + y – 4z = 0 3x + y + z = 0 (
)
Kapitola: ÚVOD DO ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC, VEKTOROVÝ PROSTOR
Např. skalární součin vektorů u = (3, 4, -1) a v = (2, 5, 3) je reálné číslo u.v = 3.2 + 4.5 + (-1).3 = 23 .
143
3) Řešte soustavu Gaussovou metodou: x + 2y – z = 2 2x + 3y + z = 6 3x + 4y + 3z = 6 e á ře e í 4) Řešte soustavu Gaussovou metodou: 3x + 4y + 6z = - 30 x + 3y + 7z = 4x + y
0
= - 61 (
5)
)
Řešte soustavu Gaussovou metodou: x
–z y
-x
=0 –t
+z
=0 –u
-y
+ t -z
=0 –v=0
+u -t
=0 +v=0 (
)
6) Řešte soustavu Gaussovou metodou: x + y+
z=0
3x – 2y – 5z = 7 -2x + 3y + 15z = 2 (
)
7) Řešte soustavu Gaussovou metodou: -x + y + z = -4 x + 3y – 2z = 1 x + 7y – 3z = -3 e á ře e í
144
8) Řešte soustavu Gaussovou metodou: 2x + 3y – 5z + 6t + 2u = 5 10x – y + 3z – 7t + 7u = -3 -x + 2y – 5z + 2t + u = 8 3x – y + 6z -– 3t + 2u = 5 x + y – z + t+ u= 4 3y – 6z + 3t + 2u = 12 (
)
(
)]
9) Řešte soustavu Gaussovou metodou: 2x – y +
z +v = 1
y + 12z
= 2
x + y + 22z + v = 3 x – 2y
– v = -5 [
9. MATICE A MATICOVÉ ROVNICE 9.1.
TYPY MATIC
DEFINICE MATICE:
(
řádcích a
sloupcích tvaru:
)
se nazývá matice typu (
)
Čísla se nazývají prvky matice. Řádkový index označuje řádek, sloupcový index označuje sloupec, ve kterém prvek leží. Pokud hovoříme o reálné matici. Vektory vektory
= ( =(
), … ), …,
= ( =(
) se nazývají řádkové vektory matice A (stručněji řádky), ) se nazývají sloupcové vektory matice A (stručněji sloupce).
Kapitola: MATICE A MATICOVÉ ROVNICE
Tabulka čísel o
145
Prvky, které mají řádkový a sloupcový index stejný, tvoří hlavní diagonálu matice a nazývají se diagonální prvky.
Pokud , je matice čtvercová, pokud písmeny a jejich prvky pak malými písmeny.
je matice obdélníková. Matice obvykle značíme velkými
Tak např.: (
)
je čtvercová matice typu (2,2), a toto vyjadřujeme kratším způsobem – čtvercová matice je řádu 2. (
)
je obdélníková matice typu (2,3). Povšimněme si některých speciálních matic: Nulová matice je matice složená ze samých nul. Např. matice (
)
je obdélníková nulová matice typu (3,2). Jednotková matice je čtvercová matice, která má v hlavní diagonále jedničky a na ostatních místech nuly. Značí se obvykle E nebo I. (My ji budeme značit E). Např. (
)
je jednotková matice řádu 2, (
)
je jednotková matice řádu 3. Opačná matice . Tedy k matici
k původní matici
(
je stejného typu a má všechny prvky s opačnými znaménky než matice
) je opačná matice (
146
)
Transponovaná matice udě á e up vé vek
k matici je matice, u . Je-li tedy původní matice typu ( (
níž z řádkových vektorů matice ), je transponovaná matice typu ( ).
) je typu (
(
) je typu (
A
),
).
Diagonální matice je matice, jejíž všechny nediagonální prvky jsou nulové a alespoň jeden diagonální prvek je od nuly různý. Např. (
) je diagonální matice typu (
).
Skalární matice je diagonální matice, která má v hlavní diagonále stejná reálná čísla. Např. (
) je skalární matice řádu 3.
Symetrická matice S je taková čtvercová matice, pro kterou platí
, to znamená, že je symetrická podle
své hlavní diagonály. Např. (
)
je symetrická matice řádu 3. Samozřejmě, že všechny jednotkové matice, nulové čtvercové matice a skalární čtvercové matice jsou symetrické. Horní a dolní trojúhelníkové matice jsou takové čtvercové matice, kde diagonální prvky jsou různé od nuly a pro horní trojúhelníkovou matici jsou všechny prvky ležící pod hlavní diagonálou nulové, u dolní trojúhelníkové matice jsou všechny prvky nad hlavní diagonálou nulové.
(
)
je horní trojúhelníková matice řádu 3 a matice ( je dolní trojúhelníková.
)
Kapitola: MATICE A MATICOVÉ ROVNICE
Tak např. matice
147
9.2.
OPERACE S MATICEMI
DEFINICE: ROVNOST MATIC Dvě matice jsou si rovny, jsou-li stejného typu a mají-li na odpovídajících místech se stejnými indexy stejné prvky.
DEFINICE: SOUČET DVOU MATIC, NÁSOBENÍ MATICE REÁLNÝM ČÍSLEM Mějme dvě matice A, B stejného typu (m,n). Součet dvou matic je matice A+B téhož typu, která má prvky pro i = 1, …, m; j = 1, …, n . Mějme matici A typu (m,n). Je dáno reálné číslo r R. r-násobek matice A je matice rA stejného typu, která má prvky r pro i = 1,…,m ; j = 1,…, n . (Násobíme-li nulou, dostáváme tedy nulovou matici, která je téhož typu jako matice původní).
PŘÍKLAD: Mějme matici
(
). Matice (
Je-li
(
),
(
).
), potom je součet (
).
Z uvedených definic součtu matic a násobení matice reálným číslem je zřejmé, že lze zavést vektorový prostor matic typu (m,n). Tento vektorový prostor má stejné vlastnosti jako aritmetický vektorový prostor Vn, liší se pouze tvarem objektů. Nulovým vektorem v prostoru Mm;n je nulová matice O. Podobně jako v aritmetickém vektorovém prostoru platí A + O = A pro každou matici A Mm;n. Dále definujme rozdíl matic A - B jako matici A + (-1)B. V tomto vektorovém prostoru je -B = (-1)B opačným vektorem k vektoru B. Dále definujme součin dvou matic. Na rozdíl od součtu není tato operace definovaná na prostoru
.
Násobit lze jen takové matice, kde levá matice má stejný počet sloupců jako má pravá matice řádků. Tedy máme-li matici typu ( ) a matici typu ( ) musí platit , aby bylo možné vypočítat a pro realizaci součinu matic musí být n . Odtud již vidíme, že násobení matic není obecně komutativní, někdy jdou matice násobit jen jedním směrem, a druhým ne, a v případě, že lze provést obojí násobení, výsledné matice si nemusí být rovny, dokonce ani nemusí být téhož typu. Násobení se pak provádí tak, že skalárně násobíme -tý řádek matice stojící v součinu vlevo se všemi sloupci matice stojící vpravo, a tím dostáváme -tý řádek výsledné matice, (viz definice skalárního součinu v odstavci 8).
148
DEFINICE : SOUČIN MATIC Mějme dvě matice, A = ( ) typu (m,p), B = ( ) typu (p,n). Součin C = ( ) je matice typu (m,n), kde každý prvek je skalárním součinem i-tého řádku matice A s j-tým sloupcem matice B, tj. ∑ kde
. Výsledná matice C je pak typu (
a
).
PŘÍKLAD: ( Matice
je typu (
) a matice
)
je typu (
(
)
).
Součin lze provést (počet sloupců matice matice je pak typu ( ) , a je:
je tři a počet řádků matice
( (
(
) )
)
(
je také tři). Výsledná
)
Součin lze též provést (počet sloupců levé matice a počet řádků pravé matice – takzvaný styčný rozměr – je 2), a výsledná matice je typu ( ) (
) (
(
)
)
(
)
Čtvercové matice téhož řádu lze samozřejmě násobit oběma směry, ale výsledné matice nemusí být stejné, součinem dvou nenulových matic může být dokonce i nulová matice (tato vlastnost nikdy neplatí při násobení reálných čísel – násobíme-li dvě nenulová čísla, nemůže být výsledkem nula). (
) a
( (
) je ) a
(
).
Je-li jedna ze dvou matic jednotková nebo skalární, je násobení matic komutativní (přesvědčte se sami). Pokud pro čtvercové matice platí A
=B
, říkáme, že matice A a B spolu komutují.
Základní pravidla pro počítání s maticemi shrneme v následující větě:
Kapitola: MATICE A MATICOVÉ ROVNICE
Např. pro matice
149
VĚTA: A, B, C jsou matice, E je jednotková matice, O je nulová matice, r je reálné číslo.
r(AB) = (rA)B = A(rB) (AB)C = A(BC) A(B+C) = AB + AC (A+B)C = AC + BC 0A = O EA= A , AE = A
První dvě vlastnosti jsou asociativní zákony, druhé dvě distributivní zákony. Je-li matice obdélníková, pak jednotkové matice z poslední vlastnosti jsou v první a druhé rovnosti navzájem odlišného typu.
Mocnina matice se zavádí pouze pro přirozený exponent, a to tak, že: , atd. Dělení matic není definováno. Poznámka: Soustavu rovnic lze pomocí matic napsat ve tvaru Ax = b, kde A je matice koeficientů u jednotlivých neznámých, x je vektor řešení a b je vektor pravých stran. Vektory jsou zapsány ve sloupcích, aby bylo možné provést násobení. Tak např. naše úvodní soustava z kapitoly 8 by byla zapsána v maticovém tvaru takto: (
)( ) =( ) .
9.3.
HODNOST MATICE
DEFINICE HODNOSTI MATICE : Hodnost matice A je celé nezáporné číslo h(A), které je matici A přiřazeno takto: hodnost nulové matice je nula, (tj. h(O) = 0); pro nenulovou A je hodnost h(A) rovna maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků v matici A. (tj. h(A) = k, jestliže matice A obsahuje k lineárně nezávislých řádků a každá skupina jejích (k + 1) řádků je lineárně závislá). Hodnost matice se hledá pomocí převedení matice na Gaussův tvar elementárními úpravami.
DEFINICE: ELEMENTÁRNÍ ÚPRAVY MATICE, EKVIVALENTNÍ MATICE Elementární úpravy matice jsou tyto úpravy:
150
záměna pořadí řádků; vynásobení některého řádku matice nenulovým reálným číslem;
přičtení libovolného násobku některého řádku matice k jinému řádku matice.
Provedením konečného počtu elementárních úprav na matici A dostaneme matici B, která je ekvivalentní s původní maticí A. Přechod k ekvivalentní matici značíme A B . je é
Ekvivalence matic je symetrická vlastnost. Je-li A
kv v e
í
ej u
ej é
pu
VĚTA : Ekvivalentní matice mají stejnou hodnost.
DEFINICE : GAUSSŮV TVAR MATICE Říkáme, že matice
je v Gaussově tvaru, jestliže platí:
a)
je-li první nenulový prvek -tého řádku a první nenulový prvek -tého řádku a je-li je ; b) každý nenulový řádek matice má nižší řádkový index než kterýkoli nulový řádek této matice.
, pak
Tak např. matice (
)
není v Gaussově tvaru, poněvadž není splněna podmínka b). Matice (
)
též není v Gauussově tvaru, jelikož není splněna podmínka a). První nenulový prvek prvního řádku ( sloupcový index . První nenulový prvek 2. řádku ( ) má sloupcový index . Platí, že není . jsou v Gaussově tvaru: (
)
(
)
(
)
Všimněme si, že horní trojúhelníková matice definovaná v odstavci 9.1. je speciálním případem matice v Gaussově tvaru. Gaussův tvar existuje pro každou matici, která není nulová. Ovšem k jedné matici A lze nalézt různými elementárními úpravami různé matice v Gaussově tvaru. Všechny ale mají stejný počet nenulových řádků.
VĚTA: Nenulové řádkové vektory v matici v Gaussově tvaru jsou lineárně nezávislé.
Kapitola: MATICE A MATICOVÉ ROVNICE
Matice
) má , ale
151
Důsledek: Je-li tedy matice v Gaussově tvaru, je její hodnost rovna počtu nenulových řádků. Poznámka: Všimněme si, že úpravy s řádky odpovídají práci s lineárními rovnicemi z odstavce 8.1. Pořadí rovnic jsme mohli též libovolně měnit, každou rovnici bylo možné násobit číslem různým od nuly a přičíst ji k rovnici jiné. Poznámka: elementární transformace matic lze provádět také se sloupcovými vektory. Dostáváme tak sloupcově ekvivalentní matice, které mají též stejnou hodnost jako matice původní. Důsledkem toho je zřejmě následující věta.
VĚTA : T
T
Nechť A je transponovaná matice k matici A. Pak je h(A)= h(A ) .
Vznikne-li totiž řádkovými úpravami z matice matice která je v Gaussově tvaru, vznikne z matice týmiž elementárními úpravami se sloupci matice , která je též v Gaussově tvaru. Jelikož je ( ) ( ), je též ( ) ( ) ( ) ( ) Odtud rovněž plyne další vlastnost hodnoati, a to:
VĚTA : Mějme matici A typu (m,n). Pro její hodnost platí h(A) řádků a počtu sloupců.
min (m, n) , tj. je menší nebo rovna minimu z počtu
PŘÍKLAD: Převeďme matici
(
) na Gaussův tvar. Nejprve použijeme úpravu a) a vyměníme vzájemně řádek
druhý a první, abychom dostali jedničku do horního levého rohu. Dostáváme matici (
).
Nyní potřebujeme získat nuly v prvním sloupci pod jedničkou. Použijeme úpravy b) a c). Vynásobíme nejprve 1. řádek číslem (-3), a pak ho přičteme k druhému řádku. Poté vynásobíme opět 1. řádek číslem (-4) a přičteme ho ke třetímu řádku. Získali jsme (
152
)
(
).
Nyní už nelze pracovat s prvním řádkem. Ve druhém kroku (získání nul ve druhém sloupci) použijeme druhý řádek. Tam bohužel nemáme jedničku, ale číslo (-4). Musíme tedy pro získání nuly pod touto minus čtyřkou provést násobení druhého řádku číslem (-7) a třetího řádku číslem 4 a pak řádky sečíst. Dostáváme (
)
(
).
Tato matice již je v Gaussově tvaru. Posloupnost elementárních úprav, které zvolíme k převedení matice do Gaussova tvaru, není určena jednoznačně. Pokud zvolíme jiné elementární úpravy, můžeme dostat výslednou matici v Gaussově tvaru s jinými prvky. Jak jsme již řekli, všechny takto získané matice budou mít ale jedno společné, a to počet nenulových řádků, což je hodnost matice. Hodnost naší matice je rovna třem. Zapíšeme ( ) .
9.4.
INVERZNÍ MATICE
V tomto odstavci budeme hovořit pouze o čtvercových maticích.
DEFINICE REGULÁRNÍ A SINGULÁRNÍ MATICE : Říkáme, že čtvercová matice řádu
je regulární, jestliže ( )
, a je singulární, jestliže ( )
.
DEFINICE INVERZNÍ MATICE : e
uje p uze ke
ve
vé e u á í
Povšimněme si, že součin matice s maticí k ní inverzní komutuje s nulovou, jednotkovou a skalární maticí.
, je určena jednoznačně, a platí pro ni
je komutativní. Rovněž tak čtvercová matice
Ukažme si, že pokud ke čtvercové matici existuje inverzní matice Předpokládejme, že existují dvě různé inverzní matice . Potom je: ( což je spor s předpokladem, že
)
(
)
p k je určena jednoznačně.
,
.
Výpočet inverzní matice přímo z definice by byl velice zdlouhavý a vedl by k řešení soustav rovnic. Existují ale další způsoby, jak inverzní matici nalézt. Jedním z nich je výpočet inverzní matice pomocí elementárních úprav. Nejprve je třeba si uvědomit, že každá elementární úprava čtvercové matice je ekvivalentní s násobením matice speciální regulární maticí z levé strany. Matici získáme tak, že provedeme v jednotkové matici tutéž elementární úpravu, kterou chceme dosáhnout u matice .
Kapitola: MATICE A MATICOVÉ ROVNICE
Inverzní matice
153
Chceme-li např. v matici
(
) vynásobit 1. řádek konstantou (
úpravy dosáhnout též tak, že v jednotkové matici (
ho ke 2. řádku. Dostáváme tak matici ( což je skutečně původní matice
) vynásobíme 1. řádek konstantou
) a touto maticí
) (
)
a přičíst ho ke 2. řádku, lze této
(
a přičteme
vynásobíme zleva matici . )
po žádané elementární úpravě.
Libovolnou regulární matici můžeme konečným počtem řádkových elementárních úprav převést na jednotkovou matici . To znamená, že existuje posloupnost matic, kterými násobíme postupně matici zleva, a výsledkem je matice . Označme tuto posloupnost matic (je to vlastně součin matic, které představují jednotlivé elementární úpravy) písmenem . Je pak . Provedeme-li tytéž úpravy na matici jednotkovou, dostáváme matici , jelikož je . Ze vztahu ovšem vyplývá, že ,a je tedy matice inverzní k matici . Proto provádíme výpočet inverzní matice
takto:
Napíšeme si vedle sebe matici a jednotkovou matici téhož řádu. Získáme obdélníkovou matici tvaru ( ) Na tuto matici provádíme elementární úpravy tak, aby vlevo od svislé čáry vznikla jednotková matice Vpravo potom dostáváme inverzní matici .
PŘÍKLAD: Najděme inverzní matici k matici
(
).
Použijeme matici (
|
)
a vlevo vytváříme postupně jednotkovou matici. Nejprve opišme 1. řádek, pak ho vynásobme číslem -3 a přičtěme k 2. řádku. Dostáváme matici (
|
).
Nyní upravíme druhý sloupec této matice na sloupec jednotkové matice. Druhý řádek nejprve vydělíme číslem -2, a dostaneme matici (
|
)
Nulu nad jedničkou získáme tak, že původní 2. řádek sečteme s 1. řádkem. Dostáváme (
154
|
).
Poněvadž vlevo od svislé čáry se již nachází jednotková matice, je vpravo od svislé čáry matice inverzní k matici . Proveďme zkoušku: Jestli jsme počítali správně, musí platit (
) (
)
Tato rovnost skutečně platí (přesvědčte se sami). (
Je tedy
) , což lze čitelněji zapsat tak, že vytkneme číslo
před matici, (vytýkáme ze všech
jejích prvků), a dostaneme (
).
To místo, kde má být ve vytvářené jednotkové matici jednička, nazýváme klíčové místo, prvek, který je na tomto místě, je klíčový prvek. Je tedy nutné v každém sloupci ponechat klíčový prvek a všechny ostatní prvky téhož sloupce anulovat. Často klíčový prvek upravíme vhodnou elementární transformací na jedničku, aby se anulování ostatních prvků sloupce provádělo snadněji. Pokud by matice nebyla regulární, vynuluje se nám při elementárních úpravách nějaký řádek a matici není možno vytvořit.
9.5.
MATICOVÉ ROVNICE
Maticové rovnice jsou rovnice, jejichž levé i pravé strany jsou matice nebo algebraické výrazy obsahující matice. Řešit maticovou rovnici znamená najít buď všechny prvky neznámé matice nebo případně pouze některé neznámé prvky matice tak, aby platila rovnost. Máme-li například rovnici
(
kde
),
(
) a
je neznámá matice, vypočteme si nejprve obecně, že
a potom provedeme příslušnou maticovou operaci. Je
–
(
), neboli matice (
Dále mějme rovnici Vypočítáme si nejprve
, kde matice neboli
.
(
) ). Známe tedy její dva prvky a dva jsou neznámé.
Kapitola: MATICE A MATICOVÉ ROVNICE
–
155
(
) (
)=(
).
Rovnice má tedy tvar (
)=(
).
Odtud máme tři rovnice
Této soustavě vyhovují dvě dvojice čísel, a to buď Existují tedy dvě matice
a
, nebo
.
, které vyhovují dané maticové rovnici. (
) a
(
).
Povšimněme si nyní rovnic, které obsahují násobení neznámé matice danou maticí. Mějme rovnici tvaru . Vzhledem k tomu, že dělení matic není definováno, musíme odstranit matici Vynásobme maticovou rovnici inverzní maticí zleva. Dostaneme
z levé strany jiným způsobem.
. Víme, že , tedy je , neboli je . (Násobení jednotkovou maticí ať zleva nebo zprava totiž násobenou matici nemění, jednotková matice se chová podobně jako jednička v oboru reálných čísel). Kdybychom vynásobili rovnici maticí zprava, nedostaly by se matice a vedle sebe, neboť neplatí komutativní zákon pro součin matic, a matici bychom nezískali. Musíme tedy rozlišovat, zda máme násobit zprava, nebo zleva, jelikož násobení matic není komutativní. Tak např. rovnici
musíme násobit maticí
zprava a dostáváme, že .
Rovnici
156
musíme násobit maticí
zleva a maticí
zprava.
Dostaneme
což je
tedy je
PŘÍKLAD: Řešme maticovou rovnici ( – kde
(
),
(
Nejprve musíme násobit maticí
),
(
),
(
).
zprava a dostaneme ( –
a dále je třeba násobit maticí (
)
)
)
opět zprava a dostáváme (
)
Toto provedeme s danými maticemi. (Vypočítejte sami.) –
(
)
( ( –
)
) (
)
(
)
(
)
(
Postupným násobením matic v zapsaném pořadí dostáváme (
PŘÍKLAD: Najděme matici X z maticové rovnice AX + B = D – 5X.
).
)
Kapitola: MATICE A MATICOVÉ ROVNICE
A je tedy pak
157
Nejprve si převedeme neznámou na levou stranu rovnice: Je AX – 5X = D – B . Nyní je třeba vytknout neznámou matici X. Vytkneme ji doprava, (poněvadž násobení matic není komutativní, musí X zůstat vpravo), a k reálnému číslu 5 musíme přidat matici jednotkovou, aby bylo možno rozdíl provést. Dostáváme (A – 5E) X = D – B . -1
Dále vynásobíme rovnici zleva inverzní maticí (A – 5E) a dostáváme X = (A – 5E)
9.6.
-1
(D – B) .
CVIČENÍ
1) Vypočtěte A+B a 2A-B pro matice A=(
),B=(
). [(
) (
)]
2) Pro matice z příkladu 1 vypočtěte AB a BA. [(
) (
)]
3) Vypočtěte A+B a 3B-A pro matice A=(
), B =(
).
[(
) (
)]
4) Pro matice z příkladu 3 vypočtěte AB a BA. [(
) (
)]
[(
)]
) (
)]
5) Vypočtěte A+B pro matice A= (
), B=(
).
6) Pro matice z příkladu 5 vypočtěte AB a BA.
[(
158
7) Vypočtěte matici D = (
) (
3
8) Vypočtěte A , pro A = (
9) Vynásobte matice A = (
) (
) [(
)]
[(
)]
).
)aB=(
).
[
ee
uje
(
)]
2
10) Určete matici B = 2A – 3A + 4E, kde matice A=(
).
[(
)]
11) Najděte hodnost matic A a B, a rozhodněte, zda jsou regulární, nebo singulární:
A=(
), B=( ( )
). je e u á í ( )
je
uá í
12) Najděte inverzní matice k daným maticím pomocí eliminační metody: A=(
)
b) A = (
)
A=(
)
c)
d) A = (
) (
)
e) A = (
f)
A=(
)¨
)
Kapitola: MATICE A MATICOVÉ ROVNICE
a)
159
)
(
) )
(
)(
13) Najděte matici X, která vyhovuje dané maticové rovnici: a) AX = B, A = (
b) XB = C, B = (
c)
), B = (
), C = (
AXB = C, A = (
3
d) A – XB = -2E, A = (
e) AX = B, A = (
f)
A - XA = B, A = (
g)
BX - E = 3X – A, A = (
2
h) AX – X = A + E, A = (
160
)
)
), B = (
), C = (
), B = (
), B = (
)
)
), B = (
), B = (
)
)
)
)
)
)
( )(
[
)
) ) )
(
)
]
)
( (
)
( (
)
)
(
(
)
[
)
)
(
)
) (
(
)
(
)
)
)
) (
)
(
)
)
(
)
(
)
)
]
Kapitola: MATICE A MATICOVÉ ROVNICE
)
)
161
10.
DETERMINANTY A JEJICH VLASTNOSTI
10.1.
POJEM DETERMINANTU
Ke každé reálné čtvercové matici je určitým předpisem přiřazeno reálné číslo, které se nazývá determinant matice a značí se . Vysvětlíme si, jak se zavádí. { }. Prosté zobrazení množiny na sebe sama se nazývá permutace množiny Mějme množinu . Každá permutace přiřadí prvku prvek , přičemž a též . Např. pro množinu { }, { }, {
{
} dostáváme permutace { }.
}, {
Např. pro permutaci {
}, (což je základní permutace), a dále {
},
} je tedy j1 = 1, j2 = 3, j3 = 2 .
Počet permutací ( ) je roven Říkáme dále, že dvojice prvků permutace tvoří inverzi, je-li a přitom je obsahuji-li sudý počet inverzí, a je lichá, obsahuje-li lichý počet inverzí.
. Permutace je sudá,
DEFINICE DETERMINANTU Determinant
ke čtvercové matici řádu je reálné číslo, které je rovno součtu součinů typu , kde znaménko před součinem je plus, je-li permutace sudá, a mínus, je-li permutace lichá. ∑(
Zapíšeme
)
přes všechny permutace sloupcových indexů, kde
Pro
je počet inverzí v permutaci.
1 je matice řádu jedna, tedy jedno číslo, (
nelze permutovat a determinant Pro
),
.
je matice tvaru (
a máme jednu permutaci sudou {
)
} a jednu permutaci lichou {
}. Tedy
Tento determinant lze snadno počítat takzvaným křížovým pravidlem, které spočívá v tom, že vynásobíme prvky v hlavní diagonále a odečteme součin prvků v takzvané vedlejší diagonále.
162
Determinant se na rozdíl od matice značí svislými čarami.
Tak např.: | Pro
|
–
je matice tvaru A=(
)
a permutací je 6, jak jsme zjistili již výše. Tři z nich jsou sudé a tři z nich liché. }, { }a{ Sudé jsou permutace { též dvě inverze. Liché jsou permutace { inverze. Tedy
}, neboť první má 0 inverzí, druhá má dvě inverze a třetí má }, { }a{ }, první a druhá mají 1 inverzi a třetí má 3
což lze realizovat takzvaným Sarrusovým pravidlem tak, že násobíme nejprve prvky hlavní diagonály a pak se posouváme rovnoběžně doprava, kde si vpravo pomocně připíšeme za svislou čáru 1. a 2. sloupec. Až dojdeme na konec, začneme násobit z pravého horního rohu podobně a opět se posouváme rovnoběžně, ale doleva. K součinům vytvořeným zprava přidáváme znaménko mínus. Tedy např. mějme determinant |
|
Přidáme si k determinantu dva pomocné sloupce, první a druhý, a dostáváme |
.
Nyní násobíme diagonálně z levého horního rohu a posouváme se rovnoběžně. Součiny ve směru hlavní diagonály jsou
Pokračujeme z pravého horního rohu diagonálně, posouváme se a členy mají znaménko minus. Součiny ve směru vedlejší diagonály jsou
Nyní vše sečteme a dostáváme 0 + 24 + 9 -6 - 2– 0, což se rovná 25. Je tedy
Kapitola: DETERMINANTY A JEJICH VLASTNOSTI
|
163
PŘÍKLAD: Vypočítejme
|
|.
Napíšeme si |
|
–
–
a počítáme –
–
–
–
Tedy
10.2.
ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI DETERMINANTU
Všechny vlastnosti determinantu lze dokázat pomocí práce s permutacemi a jejich inverzemi. My si je zde pouze uvedeme. Poněvadž stejné vlastnosti platí jak pro řádky, tak pro sloupce determinantu, nazveme řádek i sloupec determinantu řadou determinantu.
VĚTA – VLASTNOSTI DETERMINANTU Nechť A, B jsou čtverové matice stejného řádu. Porom platí: 1) 2) 3) 4) 5) 6)
7) 8) 9) 10)
164
Má-li matice jednu řadu složenou ze samých nul, pak je Má-li matice dvě rovnoběžné řady stejné, je její determinant roven nule. Je-li v matici jedna řada násobkem jiné rovnoběžné řady, je její determinant roven nule. Zaměníme-li v matici spolu dvě rovnoběžné řady, změní její determinant znaménko. Nahradíme-li v matici jednu řadu jejím -násobkem, dostaneme matici , pro kterou platí Tedy při násobení determinantu reálným číslem se násobí pouze jedna řada determinantu, a ne všechny prvky jako u matice. Determinant horní nebo dolní trojúhelníkové matice je roven součinu prvků hlavní diagonály (speciálně ). Přičteme-li v matici k jedné řadě -násobek jiné rovnoběžné řady, hodnota jejího determinantu se nezmění. Determinant regulární matice je různý od nuly, determinant singulární matice je roven nule. ( )
PŘÍKLAD: (k vlastnosti 6): vezměme , který je uveden na konci podkapitoly 8.1., a je roven minus čtyřem. Vezmemeli takový, že 1. řádek determinantu násobíme pěti a ostatní ponecháme beze změny, je |
|
a tento determinant má po vypočtení Sarrusovým pravidlem hodnotu tedy skutečně .
(přesvědčte se sami). Je
PŘÍKLAD:
(k vlastnosti 7) : Mějme determinant det A = |
pomocí vlastnosti 7. Je det A = 1
10.3.
= 12
| . Tento determinant vypočteme snadno
.
SUBDETERMINANT, ALGEBRAICKÝ DOPLNĚK DETERMINANTU
DEFINICE SUBDETERMINANTU : Subdeterminant determinantu -tého řádu je determinant řádu nižšího než , který dostaneme z původního determinantu vynecháním stejného počtu svislých a vodorovných řad. Např. pro |
|
| a|
|, kde jsme vynechali 2. řádek a 2. sloupec, | kde jsme vynechali 2. řádek a 3. sloupec.
DEFINICE ALGEBRAICKÉHO DOPLŇKU : Algebraický doplněk
k prvku
v determinantu -tého řádu je subdeterminant (
vynecháním -tého řádku a -tého sloupce z původního determinantu a násobený číslem (
)-ho řádu získaný )
.
Kapitola: DETERMINANTY A JEJICH VLASTNOSTI
který je 3.řádu, můžeme nalézt 9 subdeterminantů 1. řádu (což jsou jednotlivé prvky determinantu) a 9 subdeterminantů 2. řádu, z nichž pro příklad uveďme dva:
165
Tedy např. pro prvek
výše uvedeného
, tedy pro jedničku v levém horním rohu je algebraický doplněk (
a pro prvek
)
|
|
|
|
|
|
je algebraický doplněk (
)
.
VĚTA – ROZVOJ DETERMINANTU: Pro determinant čtvercové matice řádu n platí kde je index libovolného zvoleného řádku, což znamená, že prvky i-tého řádku násobíme jejich algebraickými doplňky a tyto výsledky sečteme; postup se nazývá rozvoj podle -tého řádku. Rozvoj lze též provést pomocí libovolného sloupce kde j je index libovolně vybraného sloupce. Tato metoda se obzvláště hodí pro výpočet determinantů vyššího řádu než 3, protože tam již nelze použít Sarrusovo pravidlo. Nicméně je možné ji použít i na výpočet determinantu řádu 3. Metoda je vhodná především, obsahuje-li determinant více nul v jedné řadě. Tuto řadu si pak vybereme, rozvádíme podle ní, a tím se sníží počet doplňků, které musíme počítat.
PŘÍKLAD: Vypočítejme
|
|.
V každé řadě máme nejvýše dvě nuly. Vezmeme tedy jednu řadu se dvěma nulami, vyberme např. 1. řádek a provedeme rozvoj. Dostaneme: (
)
|
|
(
)
|
|
a dále lze dopočítat buď Sarrusovým pravidlem, nebo rozvádíme znovu, pro 1. determinant vybereme na rozvoj 2. sloupec a pro 2. determinant vybereme 1. sloupec. (
166
)
(
)
|
|
(
)
(
)
|
|
(
)
Jiná možnost pro výpočet determinantu vyššího řádu je využít elementárních úprav a vlastností determinantů, převést příslušnou matici na diagonální tvar, a pak je podle vlastnosti 7) determinant roven součinu prvků v hlavní diagonále. V tomto případě je třeba si skutečně dobře uvědomit, které elementární úpravy nemění determinant, a které ano.
10.4.
VÝPOČET INVERZNÍ MATICE POMOCÍ DETERMINANTŮ
VĚTA : í
Mějme čtvercovou regulární matici A. Inverzní matici transponovaná matice algebraických doplňků. Je pak
lze vypočítat pomocí adjungované matice
což je
PŘÍKLAD: Najděme inverzní matici k matici
(
).
Nejprve vypočítáme: – Agebraické doplňky jsou: (
)
(
)
(
)
(
)
Tyto doplňky napíšeme transponovaně a dostaneme matici .
Tuto matici vynásobíme číslem
)
, což je = 1.
Inverzní matice je tedy (
)
Všimněte si, že u matice řádu 2 kromě výpočtu převrácené hodnoty determinantu vlastně jen vyměníme prvky v hlavní diagonále a u druhých dvou prvků změníme znaménko. Výpočet je tedy velmi rychlý. Obecně tedy pro regulární matici 2.řádu je (
)
Kapitola: DETERMINANTY A JEJICH VLASTNOSTI
(
167
U matice řádu 3 je třeba vypočítat jeden determinant 3. řádu a 9 algebraických doplňků – determinantů 2. řádu. Nicméně u celočíselné matice nepočítáme po celou dobu výpočtu s nepříjemnými zlomky, což se často stává u výpočtu inverzní matice pomocí elementárních úprav, pokud její determinant je v absolutní hodnotě velký.
PŘÍKLAD: (
Najděme inverzní matici k matici Nejprve si vypočítáme determinant
)
– proveďte sami. Je
.
Nyní počítáme algebraické doplňky k jednotlivým prvkům po řádcích a píšeme si je rovnou do sloupců (transponovaně): k a11 : A11 = |
| = 17 , k a21 : A21 =
|
| = 9 , k a31 : A31 = |
k a12 : A12 = -|
| = 2 , k a22 : A22 = |
| = -1 , k a32 : A32 = - |
k a13 : A13 = |
| = -8 , k a23 : A23 = - |
| = -3 , k a33 : A33 = |
Inverzní matice k matici
| = -12 | = -1 |=4
je matice: (
)
(
)
neboť jsme dosazovali do vzorce z definice, který měl v našem případě podobu -1
A =
(
10.5. 1)
) .
CVIČENÍ
Určete typ následujících permutací: a) P1 = {
}
b) P2 = {
}
c)
P3 = {
} )
168
á
) udá ) udá
2)
Určete znaménka členů determinantu stupně :
a) n = 7 ; a35 a71 a56 a17 a23 a42 a64 b) n = 8 ; a41 a87 a23 a72 a16 a58 a64 a35 c) n = 5 ; a24 a5k a35 a1m a41 )
)pu
)pu p
u p
Vypočítejte následující determinanty: D1 = |
|
D2 = |
|
D9 = |
D3 = |
D10 = |
|
D4 = |
|
D5 = |
|
|
D11 = |
|
|
D12 D6 = |
|
|
| D13 = |
D7 = |
|
D8 = |
|
(
[ 4)
|
)
]
Řešte rovnice:
a)
|
b) |
√
| = 0
|=|
|
)
)
Kapitola: DETERMINANTY A JEJICH VLASTNOSTI
3)
u
169
5)
Řešte nerovnice:
a)
|
b) |
|
|
3x + 4
|
| ⟨
) 6)
Pomocí determinantů vypočtěte inverzní matice k maticím
A=(
a
), B = (
)
, a řešte maticovou rovnici:
), C = (
)
Pomocí determinantů vypočtěte inverzní matici k matici
(
)
(
)
(
[ 7)
)
)]
a řešte maticovou rovnici: ,
A=(
), B = (
)
(
[
170
(
)
)
]
11.
ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC 11.1.
GAUSSOVA ELIMINAČNÍ METODA, FROBENIOVA VĚTA
DEFINICE : Soustavou lineárních rovnic rozumíme
rovnic o
neznámých, kde
může i nemusí být rovno :
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22 x2 + … + a2nxn = b2 ……. am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm . x1 , x2 , … , xn jsou neznámé, b1 , b2 , … , bn jsou konstanty , které vytvářejí sloupec pravých stran, matice koeficientů aij se nazývá matice soustavy, táž matice rozšířená vpravo o sloupec pravých stran rovnic, se nazývá rozšířená matice soustavy. Řešit soustavu znamená najít všechny -tice neznámých, které soustavě vyhovují – to znamená po dosazení vytvářejí identitu všech levých a pravých stran. Tuto soustavu lze zapsat v maticovém tvaru , kde je matice soustavy, matice pravé strany typu (
případně
Ax = b
) e je matice neznámých typu ( ) neboli sloupcový vektor pravých stran.
up v vek
ez á
a
je
Gaussova metoda pro řešení soustavy lineárních rovnic spočívá v tom, že pracujeme s rozšířenou maticí soustavy. Nejprve ji převedeme na Gaussův tvar přímým chodem Gaussovy metody. Poté vypočítáváme neznámé postupně od konce zpětným chodem Gaussovy metody. Vše si ukážeme na příkladech.
PŘÍKLAD: Řešme soustavu Gaussovou metodou (jedná se o první příklad z kapitoly 8).
-x1 + x2 + 2x3 = 7 x1 + 3x2
=7
Napišme si rozšířenou matici soustavy a upravme ji postupně na Gaussův tvar (
| )
(
|
)
(
|
).
Tím končí přímý chod metody. Nyní ze třetího řádku vypočteme x 3 . Je 6x3 = 18, tedy x3 = 3. Toto x3 dosadíme do 2. řádku a vypočteme z něho x2. Je x2 - 3 = -1 , a tedy x2 = 2. Z prvního řádku spočteme x1, poté co dosadíme za x3 a x2. Je x1 + 2.2 + 3 = 8 , tedy je x1 = 1. Celé řešení napíšeme přehledně ve tvaru X = ( 1, 2, 3)
T
Kapitola: ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC
x1 + 2x2 + x3 = 8
171
(písmeno T znamená transponování, jelikož ve skutečnosti nám vzhledem k maticovému zápisu soustavy rovnic vychází sloupcový vektor, který pro větší přehlednost a úsporu místa zapisujeme jako vektor řádkový). Zkoušku provedeme tak, že trojici čísel dosadíme do všech rovnic a kontrolujeme, zda nám vyšla identita.
PŘÍKLAD: Řešme soustavu: x1 + 2x2 - x3 = 6 x1 - x2 + x 3 = 2 2x1 + x2
= 5
Opět upravujeme rozšířenou matici na Gaussův tvar. (
| )
(
|
)
Vidíme, že tato soustava nemá řešení, jelikož neplatí, že
(
|
).
.
Jak tedy poznáme, že soustava nemá řešení? Při úpravě rozšířené matice vyjdou v některém řádku vlevo od svislé čáry samé nuly a vpravo od čáry je nenulové číslo. To ovšem znamená, že hodnost matice soustavy je menší než hodnost rozšířené matice soustavy. O tom hovoří první část důležité věty o řešitelnosti soustav lineárních rovnic, která se nazývá Frobeniova věta. Vyslovíme si ji později.
PŘÍKLAD: Řešme soustavu: x1 + 2x2 - x3 = 6 x1 - x2 + x 3 = 2 2x1 + x2
= 8
Je (
| )
(
|
)
(
|
).
Poslední řádek nám říká, že nula se rovná nule, což je zřejmá identita. Zbývají nám dvě rovnice, které mají ale tři neznámé. První dvě neznámé se vyskytují v trojúhelníkové matici hodnosti 2, třetí neznámá je zde navíc. Nazveme ji parametr, převedeme ji na druhou stranu rovnice, a obě první neznámé vyjádříme pomocí ní. Vzhledem k tomu, že parametr může být jakékoli reálné číslo, má soustava nekonečně mnoho řešení. Z druhého řádku je - 3x2 = - 4 - 2x3 ,
172
je tedy x2 =
+ x3,
a z prvního řádku je x1 = 6 - 2. (
) + x3 =
-
x3.
Řešení opět zapíšeme přehledným způsobem X = (
- x3 ,
+
T
x3 , x 3 ) , x3
R.
Řešení, které obsahuje parametry, se nazývá obecné řešení. Je v něm obsaženo nekonečně mnoho řešení pro různé volby parametrů. Počet parametrů v řešení je roven číslu
– ( ).
Povšimněme si, kdy má soustava nekonečně mnoho řešení. Hodnost matice soustavy a hodnost rozšířené matice soustavy byla stejná, ale rovnala se dvěma a neznámé přitom byly tři. Proto se z jedné neznámé stal parametr. Zkouška se opět provádí dosazením obecného řešení do všech rovnic soustavy. Nyní již můžeme vyslovit Frobeniovu větu.
VĚTA: FROBENIOVA VĚTA O ŘEŠITELNOSTI SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC Soustava AX = B , kde Ar = ( A │B ) je rozšířená matice soustavy, je řešitelná právě když ( ) Je-li
(
)
počet neznámých, má soustava jediné řešení, právě když je ( )
(
)
( )
(
)
a má nekonečně mnoho řešení, právě když je
Soustava, která má tvar AX = o , tj. vektor pravých stran je nulový vektor, se nazývá homogenní soustava.
Homogenní soustava má několik zvláštností. Elementárními transformacemi nemůže z nulové matice vzniknout nic jiného než zase nulová matice, proto na pravé straně rovnic zůstávají samé nuly. Není tedy nutné pro úpravy psát rozšířenou matici soustavy, ale jen matici soustavy. Dále je zřejmé, že nemůže vzniknout situace, kdy soustava nemá řešení (nulový vektor je zřejmě řešením, a elementárními úpravami nemůže vzniknout rovnice 0 = k, kde k ). Z toho vyplývá, že homogenní soustava je vždy řešitelná. Pokud je hodnost matice soustavy rovna počtu neznámých (jedno řešení), bude z poslední rovnice poslední neznámá rovna nule, atd., čili všechny neznámé se budou rovnat nule. Takové řešení složené ze samých nul se nazývá triviální řešení. Teprve pokud bude hodnost matice soustavy menší než počet neznámých (nekonečně mnoho řešení), můžeme volbou parametrů docílit nenulového netriviálního řešení.
Kapitola: ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC
DEFINICE :
173
VĚTA : Jakékoliv netriviální řešení homogenní soustavy lze vyjádřit jako lineární kombinaci počtu n – h(A) lineárně nezávislých řešení – tak zvaných fundamentálních řešení.
VĚTA O TVARU ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ SOUSTAVY : Je-li soustava Ax = b řešitelná, pak všechna její řešení lze vyjádřit jako x = u + v , kde u je jedno zvolené řešení nehomogenní soustavy a v je řešení příslušné homogenní soustavy Ax = o se stejnou maticí A.
PŘÍKLAD: Řešme soustavu: x1 + x 2 + x 3 = 0 2x1 – 3x2 + 4x3 = 0 5x1 – 7x2 + 8x3 = 0 Matici soustavy upravíme na Gaussův tvar. (
)
(
)
(
)
Hodnost matice je tři, to znamená, že řešením jsou samé nuly. Je tedy jediné řešení T
X = ( 0, 0, 0 ) , Jedná se o triviální řešení.
PŘÍKLAD: Řešme soustavu x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 -x1 + 2x2 – 4x3 + x4 = 0 3x2 – 3x3 + 2x4 = 0 Matici soustavy upravíme na Gaussův tvar. (
174
)
(
)
(
)
h(A) = 2 . Počet neznámých je 4, tedy řešení bude mít dva parametry. Ze druhého řádku vyjádříme x 2. 3x2 = 3x3 – 2x4 , tedy je x2 = x3 - x4 . Z prvního řádku je pak x1 = -2x3 - - x4. Obecné řešení je tvaru T
X = ( -2x3 - x4 , x3 - x4 , x3, x4 ) , kde x3 , x4
.
PŘÍKLAD: Řešme soustavu x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4 2x1 – x2 + x3 – x4 = 1 x1 – x2 + x 3 + x 4 = 0 x1 - 2x2
- 2x4 = -3
Místo klasického řešení pomocí rozšířené matice lze použít předchozí větu o vztahu mezi řešením nehomogenní a homogenní soustavy. Nedá velkou práci uhodnout, že jedno řešení nehomogenní soustavy je vektor u = (1, 1, 1, 1). Budeme tedy řešit pouze homogenní soustavu se stejnou maticí soustavy a uhodnutý vektor k jejímu řešení přičteme.
Je (
)
(
)
(
) . Hodnost matice soustavy je 3,
homogenní soustava má nekonečně mnoho řešení tvaru v = ( 0, -x4, 0, x4), x4 R. K tomuto obecnému řešení přičteme vektor u, a dostaneme vektor x všech řešení nehomogenní soustavy, kterých je též nekonečně mnoho. T
Na závěr této podkapitoly vyslovíme důležitou větu pro soustavy s regulární maticí A, která plyne z Frobeniovy věty.
VĚTA: Soustava rovnic s regulární maticí soustavy je vždy řešitelná a má jediné řešení. Dále se budeme zabývat různými způsoby řešení soustav s regulární maticí. Prvním ze způsobů je již uvedená Gaussova metoda, která je co do počtu elementárních operací metodou nejvhodnější. V následujících podkapitolách se seznámíme s několika dalšími metodami.
Kapitola: ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC
x = ( 1, 1-x4 , 1, 1+x4) , x4 R .
175
11.2.
ŘEŠENÍ SOUSTAVY S REGULÁRNÍ MATICÍ CRAMEROVÝM PRAVIDLEM
Cramerovo pravidlo je metoda pro řešení soustav lineárních rovnic pomocí determinantů. Pro neznámou
kde
v soustavě lineárních rovnic platí:
dostaneme z determinantu matice soustavy
záměnou -tého sloupce za sloupec pravých stran.
Vzhledem k tomu, že výpočet determinantů vyšších řádů než 3 je poměrně obtížný, používá se tato metoda většinou jen pro soustavy s regulární maticí velikosti maximálně 3 3.
PŘÍKLAD: Cramerovým pravidlem řešme soustavu: x1 + 2x2 + 3x3 = 6 4x1 + x2 + 4x3 = 9 3x1 + 5x2 + 2x3 = 10 Determinant příslušný k matici soustavy |
|
Dále vypočteme
Je tedy x1 = x2 = x3 =
det A1 = |
| = 41,
det A2 = |
| = 41,
det A3 = |
| = 41.
= 1.
Řešení je T
X = (1, 1, 1 ) . Zkoušku provedeme opět dosazením do všech rovnic.
176
11.3. ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC S REGULÁRNÍ MATICÍ SOUSTAVY POMOCÍ INVERZNÍ MATICE Již bylo uvedeno, že soustavu lze napsat v maticovém tvaru neznámých typu ( ) a je matice pravých stran typu ( ).
, kde
je čtvercová řádu ,
je matice
Vyjádříme z maticové rovnice . Tedy je
Tímto způsobem lze řešit též soustavu se čtvercovou regulární maticí. Vzhledem k tomu, že výpočet inverzní matice je poměrně obtížný, dáváme většinou přednost Gaussově eliminační metodě. Jen pokud bychom měli několik soustav se stejnou maticí soustavy a různými sloupci pravých stran, „vyplatilo“ by se nám vypočítat inverzní matici a poté ji násobit zprava maticí složenou z různých sloupců pravých stran.
PŘÍKLAD: Řešme soustavu pomocí inverzní matice x1 + 3x2 - x3 = 0 2x1 - x2 + x3 = 3 -x1 + 2x2 + 2x3 = 1 Matice soustavy
(
) . K této matici vytvoříme matici inverzní buď elementárními
úpravami, nebo pomocí adjungované matice algebraických doplňků – proveďte sami. Výsledná inverzní matice (
)
Provedeme násobení ).( ) = ( )
Řešení můžeme zapsat X = ( 1, 0, 1)
T
a zkoušku provedeme obvyklým způsobem – dosazením do všech rovnic. Pokud by bylo pravých stran více, udělali bychom si zkoušku pro výpočet inverzní matice, aby byla zaručena její správnost, dříve než s ní začneme násobit matici tvořenou sloupci pravých stran.
Kapitola: ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC
.(
177
11.4.
METODA ÚPLNÉ ELIMINACE (JORDANOVA)
Tato metoda pracuje opět s rozšířenou maticí soustavy, ale místo úpravy na Gaussův tvar upravujeme tuto matici tak, aby matice soustavy přešla na jednotkovou matici, (podobně jako při hledání inverzní matice), která ovšem může mít přeházené řádky, viz následující příklad. Pak máme v každém řádku jednu vypočítanou neznámou a metoda již nemá zpětný chod. Nicméně elementárních úprav je více než u Gaussovy metody, takže pro ruční počítání není metoda příliš vhodná. Používá se hlavně pro počítačové zpracování soustav.
PŘÍKLAD: Řešme soustavu úplnou eliminací: x1 - 2x2 + 4x3 = 3 2x1 - 4x2 + 3x3 = 1 3x1 - x2 + 5x3 = 2 Matice soustavy je
(
). Budeme vytvářet postupně zleva sloupce jednotkové matice, začneme
jako u Gaussovy metody. (
| )
(
|
)
Nyní se hodí vytvořit jedničku ve druhém sloupci a třetím řádku, tedy vydělíme třetí řádek pěti
(
|
)
a vynulujeme sloupec nad touto jedničkou.
| | (
)
Nyní si připravíme jedničku ve druhém řádku a třetím sloupci, tedy 2. řádek vydělíme číslem (-5).
| | (
)
Poté vytvoříme nuly nad a pod jedničkou ve třetím sloupci. Dostáváme konečně (
178
|
).
T
Řešení je tedy X = ( -1, 0, 1 ) .
11.5.
CVIČENÍ
1) Homogenní soustavy rovnic řešte Gaussovou metodou: a) x1 - 3x2 + 2x3 = 0 x1 - x2 + x 3 = 0 2x1 + x2 - 3x3 = 0 b) x1 + x 2 +
x3 + x4 = 0
x1 – x2 – 2x3 + x4 = 0 2x1
– x3 + 2x4 = 0
3x1 – x2 – 3x3 + 3x4 = 0 c) 2x1 – x2 + 3x3 = 0 x1 + 2x2 – 5x3 = 0 3x1 + x2 – 2x3 = 0 d) x1 + x 2 + x 3 = 0 3x1 – x2 + 2x3 = 0 x1 – 3x2
=0
e) x1 + 2x2 + 4x3 – 3x4 = 0
4x1 + 5x2 – 2x3 + 3x4 = 0 3x1 + 8x2 + 24x3 – 19x4 = 0 f) 4x1 – x2 + x3 – x4 = 0 x1 + 2x2 – 3x3 – 2x4 = 0 2x1 – 5x2 + 5x3 – 5x4 = 0 7x1 – 4x2 + 5x3
=0
Kapitola: ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC
3x1 + 5x2 + 6x3 – 4x4 = 0
179
)(
)
)(
)
) (–
)(
)
)
) ( [
2) Nehomogenní soustavy rovnic řešte Gaussovou metodou: a) 2x1 + 2x2 – x3 + x4 = 4 4x1 + 3x2 – x3 + 2x4 = 6 8x1 + 5x2 – 3x3 + 4x4 = 12 3x1 + 3x2 – 2x3 + 2x4 = 6 b) 2x1 + 3x2 + 4x3 + x4 = 12 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 13 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 11 4x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 14 c) x1 + 2x2 – x3 = 6 x1 - x2 + x 3 = 2 2x1 + x2
180
=8
) )(
)
]
d) x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4 x1 - x2 – x3 – x4 = -2 2x1
+ x4 = 3
x1 + 3x2 + 3x3 + 3x4 = 10 e) x 1 + x 2 + x 3 + x4 = 4 x1 – x2 – x3 – x4 = -2 2x1 + 3x2 – 2x3
= 0
3x1 + 2x2 – 3x3 – x4 = 1 f) x1 + 2x2 + x3
=0
2x1 + x2 + x3 – x4 = 1 3x2 + x3 + x4 = -1 g) 2x1 + x2 – x3 + 2x4 = 5 x1 – x2 + 3x3 – x4 = 1 3x1 + 2x2 – 2x3 + 3x4 = 4 h) 2x1 – x2 + 3x3 – x4 = 1
3x1 –2x2 – 2x3 + 3x4 = 3 7x1 – 5x2 – 9x3 + 10x4 = 8 i) x1 – x2 + 3x3 – x4 + x5 = 2 2x1 + 5x2
+ 3x4 – x5 = 1
2x1 – 3x2 + 7x3 + x4 – 2x5 = 3
Kapitola: ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC
x1 – x2 – 5x3 + 4x4 = 2
181
j) 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 5x4 = 3 9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 = 1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5 7x1 + x2 + 6x3 – x4 = 7
)(
)
)( ) ( )(
) )
)(
)
)
ář )
)(
)
)(
)
)(
)
)(
[
)
3) Soustavy lineárních rovnic řešte Cramerovým pravidlem: a) 2x1 – 3x2 = 1 3x1 – 4x2 = 2 b) 3x1
- x3 = 1
2x1 - x2 + x3 = 5 x1 + x 2 + x 3 = 2
182
í
]
c) 6x1 – 2x2 + 6x3 = 2 x1 + x 2 – x3 = 0 3x1 + x2 – 2x3 = -3 d) x1 + x2 + 2x3 = 4 x1 – x2 + x 3 = 1 2x1 – 3x2 + x3 = 0
[ )(
)
)(
)
)(
)
)(
) ]
4) Soustavy lineárních rovnic řešte Jordanovou eliminační metodou: a) 2x1 + x2 + 3x3 = 3 4x1 + 2x2 + 5x3 = 5 3x1 + 4x2 + 7x3 = 2 b) x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 -x1 – x2 + x3 + x4 = -1 -x1 + x2 + x3 – x4 = 0
x1 + x2+ 5x3 + x4 = 0 [ )( 5) Soustavy lineárních rovnic řešte pomocí inverzní matice k matici soustavy: a) 6x1 - 3x2
= 24
4x2 - 7x3 = -13 5x1
+ 6x3 = 43
)
)(
) ]
Kapitola: ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC
x1 – x2 + x3 – x4 = -1
183
b) x1 + 2x2 + 3x3 = 5, . . . = 4, . . . = 5, . . . = 8 2x1 + 5x2 + 3x3 = 3, . . . = 5, . . . = 8, . . . = 15 x1
+ 8x3 = 17, . . . = 9, . . . = 8, . . . = 9
c) x1 + x2 + x3 = 3, . . . = 4, . . . = 1 , . . . = 3 x1 – x2 – x3 = -3, . . . = 0, . . . = -1, . . . = -1 x1 + 2x2 – x3 = -3, . . . = 3, . . . = 2, . . . = 2
)(
184
)
)(
) (
) (
) (
)
)(
) (
) (
) (
)
12.
SEZNAM LITERATURY
1) 2)
Bican, L.: Lineární algebra a geometrie, Academia Praha, 2009. ISBN 978-80-200-1707-9. Budinský, B. – Charvát, J.: Matematika I. 1. vyd. Nakladatelství technické literatury-Alfa, Praha
3)
1987. Coufal, J. – Klůfa, J.: Učebnice matematiky I. 1.vyd. Vysoká škola ekonomická, Praha 1996.
4)
ISBN: 978-80-86119-76-9. Došlá, Z.: Matematika pro chemiky. Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity, Brno 2010.
5)
ISBN 978-80-210-5263-5. Došlá, Z. – Kuben, J.: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. 1. vyd. Přírodovědecká fakulta
6)
Masarykovy univerzity, Brno 2008. ISBN 80-210-3121-2. Gillman, L. – McDowell, R.: Matematická analýza. 1. vyd. Nakladatelství technické literatury,
7)
Praha 1980. Hojdarová, M.: Lineární algebra - skripta pro počítačové systémy a aplikovanou Informatiku,
8)
VŠPJ 2012. ISBN 978-80-87035-65-8. Hojdarová, M.: Matematika 3 - Numerické metody, skripta VŠZ Praha, SPN, 1976.
9) 10)
Jarník, V.: Diferenciální počet I. 6. vyd. Academia, Praha 1974. Kaňka, M. – Coufal, J. – Klůfa, J.: Učebnice matematiky pro ekonomy. 1. vyd. Ekopress, Praha
11)
2007. ISBN 978-80-86929-24-8. Kaňka, M.: Matematické praktikum – sbírka řešených příkladů z matematiky pro studenty vysokých škol. 1. vyd. Ekopress, Praha 2010. ISBN 978-80-86929-65-1.
12)
Kaňka, M.: Sbírka řešených příkladů z matematiky pro studenty vysokých škol. 1. vyd. Ekopress,
13)
Praha 2009. ISBN 978-80-86929-53-8. Klůfa, J.: Matematika pro studenty VŠE. 1. vyd. Ekopress, Praha 2011. ISBN 978-80-86929-74-3.
14)
Mařík, R.: Interaktivní matematika – diferenciální počet. Home Page of Robert Mařík [online]. 2013, [cit. 2014-01-28]. Dostupné z:
15)
http://user.mendelu.cz/marik/wiki/doku.php?id=interaktivni_matematika.md Moučka, J. – Rádl, P.: Matematika pro studenty ekonomie. 1. vyd. Grada Publishing, Praha 2010.
16)
ISBN 978-80-247-3260-2. Rádl, P. – Černá, B. – Stará, L.: Základy vyšší matematiky. 2. přepr. vyd. Mendelova zemědělská
17) 18)
a lesnická univerzita, Brno 2009. ISBN 978-80-7375-099-2. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I. 7.vyd. Prometheus, Praha 2000. ISBN 80-7196-180-9. Veselý, J.: Matematická analýza pro učitele, první díl. 1. vyd. Matfyzpress, Praha 1997. ISBN 80-
Kapitola: SEZNAM LITERATURY
85863-23-5.
185
