De rij van Fibonacci Leonardo di Pisa (/ ca. 1170, “artiestennaam” Fibonacci, invoerder van de Indische cijfers in Europa), zat in 1202 met het volgende zware wiskundige probleem: Stel: een boer koopt op de markt in Pisa een pasgeboren koppeltje konijnen. Hoeveel koppeltjes zal hij daarmee kunnen kweken na een aantal maanden, wetende dat elk koppel vanaf de leeftijd van 2 maand elke maand een tweetal nieuwe konijntjes kan produceren? Laat ons voor de gemakkelijkheid even aannemen dat er telkens een mannetje en een wijfje geboren worden, dat er geen inteeltproblemen opduiken, en dat er nooit konijntjes doodgaan. Na een maand is er dus nog niks gebeurd. Na 2 maand wordt een nieuw koppeltje geboren en zijn er dus 2. Na 3 maand krijgt het eerste koppeltje weer een koppel kleintjes en zijn we dus met 3. Na 4 maand weer, en bovendien krijgt ook het tweede koppeltje vanaf nu elke maand een koppel kleintjes, dus nu zijn we met 5. Zoek nu even zelf hoe het verder gaat. Een schematische voorstelling kan hierbij zeker helpen. Als je goed hebt geredeneerd, zou je tot de volgende getallenrij moeten komen, die nog altijd genoemd wordt naar de probleemsteller:
Dat wil zeggen dat je dus telkens de twee vorige getallen moet optellen om tot het volgende te komen, en je neemt als eerste twee telkens 1. In een rekursief voorschrift uitgedrukt (un is de n-de term):
Is dit een rekenkundige, een meetkundige, of een ander soort rij? Kan je er ook een expliciet voorschrift voor bedenken? Zoek op internet dat deze getallenrij wel exakt het verloop van een mannetjesbijenpopulatie (aantal ouders, grootouders, overgrootouders, enz.) beschrijft! Maak een klein programma in Turbo Pascal of Visual Basic dat de termen van deze rij op het scherm tovert. De rij van Fibonacci is een inspiratiebron voor heel wat meer wiskundig speelgoed! Zo bv. ook een probleempje uit de kansrekening: Stel, ik wil een pad aanleggen met tegels van 1x1 en 1x2 terwijl de breedte van het pad 1 moet zijn. Op hoeveel manieren kan ik een pad met lengte n aanleggen? (Noem dit aantal an .) Fibonac ci - 1
Oplossing: Lengte = 1: 1 manier (een kleine tegel), dwz. a1 = 1; lengte = 2: 2 manieren (een grote of 2 kleine), dwz. a2 = 2; ... lengte = n: ofwel was de vorige tegel een kleine, dan zijn er dus an-1 mogelijkheden voor het stuk ervoor, ofwel was de vorige tegel een grote, dan zijn er dus an-2 mogelijkheden voor het stuk ervoor, en vermits we in een “of-probleem” het aantal mogelijkheden optellen, is dus an = an-1 + an-2 , wat verdacht veel lijkt op het Fibonacci-voorschrift! We zijn wel begonnen met 1 en 2 als eerste termen, dus de oplossing voor lengte n is dus het getal nummer n+1 uit de Fibonacci-rij: an = un+1 . Dit soort redenering wordt ook een “inductief bewijs” genoemd (Bewijs iets voor index 1; stel dat het werkt voor index n, als het dan ook werkt voor n+1, dan geldt het dus voor elke index.).
De Fibonacci-getallen zien we nog vanuit een heel andere hoek opduiken, in verhoudingen die in de natuur voorkomen, bv. bij de spiraalvormige nautilusslak...
... of in de verhouding tussen het aantal links- en rechtsdraaiende spiralen bij denneappels (hier 5/8, maar het kan ook 8/13 of 13/21 zijn)...
... of bij allerlei bloemsoorten. De reden van dit fenomeen zou te maken hebben met de meest efficiënte manier om de zaden te schikken (zoveel mogelijk op een zo klein mogelijke oppervlakte). Probeer hier het aantal links- en rechtsdraaiende spiralen te tellen ;-)
Fibonac ci - 2
Er is nog iets merkwaardigs aan de hand met de Fibonacci-rij: als je namelijk de verhoudingen berekent tussen opeenvolgende getallen un+1 /un (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, enz.), dan blijken dichter en dichter te naderen naar een welbepaalde waarde. We zullen het (niet zo simpele) bewijs u hier besparen, maar we kunnen de situatie wel “empirisch” bekijken. Probeer dit getal te benaderen met je rekenmachine of met een programma. Je zou des te dichter bij de waarde 1.618... moeten komen naarmate je teller en noemer verder uit de rij komen. De oude Grieken vonden deze verhouding blijkbaar zeer “esthetisch”, want we vinden ze terug in vele gebouwen en kunstwerken. Ook in de meest in het oog springende opdeling van schilderijen uit de renaissance (en later) kan je dikwijls dezelfde “harmonische” verhouding herkennen. Ze werd dan ook de “Gulden Snede” genoemd. Het symbool waarmee ze gewoonlijk aangeduid wordt, is de Griekse letter N (phi), ter ere van de kunstenaar Phidias.
De gulden sned e in het Parthenon (A thene): breedte = hoogte x 1.618 en z.
Dus:
of anders geschreven:
Zelfs de Egyptenaren kenden N (bv. in de pyramide van Cheops)
“Gulden driehoek” (schuine zijde = basis x N) in de Kruisiging van Raphael
Hoe groot is deze gulden snede eigenlijk juist? Als men een lijnstuk zo opdeelt dat het grootste stuk zich verhoudt tot het kleinste zoals het totaal tot het grootste stuk, dan kan dit maar op één manier. Men kan bewijzen dat deze verhouding exakt de limiet is van de verhoudingen van opeenvolgende Fibonacci-getallen, dus N.
Fibonac ci - 3
Het blijft nu een koud kunstje om de precieze waarde van N te achterhalen... Oplossing:
D.w.z.:
Het komt er dus gewoon op neer om deze vierkantsvergelijking op te lossen.
of, aangezien we hier alleen geïnteresseerd zijn in de positieve wortel:
Dit getal is dus het enige positieve getal waarvan het kwadraat juist 1 meer is dan het getal zelf, of waarvan het omgekeerde juist 1 minder is dan het getal. Dit omgekeerde wordt gewoonlijk genoteerd met de Griekse hoofdletter phi:
Toepassing: Een tip voor mensen die de schilderkunst beoefenen of graag mooie foto’s nemen: Probeer er eens op te letten dat de “hoofdlijnen” in je beeld het geheel ongeveer volgens de gulden snede verdelen. Zet een gezicht of de ondergaande zon niet in het midden, maar op ongeveer 5/8. Er is veel kans dat je vrienden je werk veel “pakkender” zullen vinde n.
Fibonac ci - 4
Voor de (wiskundige) fijnproevers... Het laatste over de Fibonacci-getallen is hiermee zeker nog niet gezegd! Probeer bv. eens een oplossing te vinden voor de volgende bizarre vergelijking:
Dit is wat men noemt een “kettingbreuk”, een breuk die oneindig lang blijft voortduren. Het lijkt dus wel onmog elijk om x echt uit te rekenen. Toch bestaat er een simpele truuk om er te komen! Oplossing: We dienen namelijk alleen maar op te merken dat het stuk na de 1 in de eerste noemer eigenlijk weer hetzelfde is, dus ook gelijk aan x is; het spelletje gaat immers oneindig lang door.
wat we weer kunnen herschrijven als een vierkantsvergelijking:
met als positieve wortel:
Wonderbaarlijk, niet? Als oefening mag je ook eens je tanden zetten in deze:
Je kan wellicht al raden wat de oplossing zal zijn, maar bewijs het ook! Fibonac ci - 5
Als je de woordjes “Fibonacci”, “gulden snede”, “golden section” in een zoekmachine intikt, zal je versteld staan van het ongelooflijk aantal fenomenen waarbij deze ogenschijnlijk simpele rij allemaal te pas komt: van spelletjes tot het verloop van aandelenkoersen,... Een interessant voorbeeld: www.pandd.demon.nl/sectioaurea.htm, waar je een expliciet voorschrift van de rij vindt (formule van Binet) en het bewijs dat de verhouding van de termen inderdaad naar N gaat (bewijs van Lucas). Literatuur: het “doeboek” Fibonacci-getallen en de gulden snede (stichting “Vierkant voor Wiskunde”, Leiden).
Koen Van de moortel, 2005 06 01; bijgewerkt 2006 06 04
Fibonac ci - 6
